(完整版)空间几何体与球的切接问题
立体几何中球与几何体的切接问题
立体几何中球与几何体的切接问题（精讲+精练）一、外接球如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．二、内切球球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．【常用结论】①外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2．)，秒杀公式：R2＝a2＋b2＋c24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：②外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型，一般用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝x2＋y2＋z28 (三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．A BCDA1B1C1D1类型ⅠA BCDA1B1C1D1类型ⅡA BCDA1B1C1D1类型ⅢA BCDA1B1C1D1例外型2R=③外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝，．④外接球模型四：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O 的位置是△CBD的外心O 1△AB 2D 2的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝，． ⑤外接球模型五：有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC ⊥平面BCD ，如类型Ⅰ，△ABC 与△BCD 都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC 是等边三角形，△BCD 是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC 与△BCD 都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC 与△BCD 的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O 即为球心．类型Ⅳ，△ABC 与△BCD 都一般三角形，解决方法是过△BCD 的外心O 1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A －BCD 的高为h ，外接球的半径为R ，球心为O ．△BCD 的外心为O 1，O 1到BD 的距离为d ，O 与O 1的距离为m ，则Error!解得R ．可用秒杀公式：R 2＝r 12＋r 22－l 24(其中r 1、r 2为两个面的外接圆的半径，l 为两个面的交线的长)AB C D A 1B 1C 1D 12h 2224h R r ∴=+O 1C 1AA 1B 1O B CRrh2hO 22h 2224h R r ∴=+r h C DB R A O 1O2h r hC D BR A O 1O2h O 2D 2B 2⑥外接球模型六：圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R ＝h 2＋r 22h(其中h 为几何体的高，r 为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)⑦内切球思路：以三棱锥P －ABC 为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P－ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，球心为O ，建立等式：V P －ABC ＝V O －ABC ＋V O －PAB ＋V O －PAC ＋V O －PBC ⇒V P －ABC ＝13S △ABC ·r ＋13S △PAB ·r ＋13S △PAC ·r ＋13S △PBC ·r ＝13(S △ABC ＋S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC )·r ； 第三步：解出r ＝3V P －ABC SO －ABC ＋S O －PAB ＋S O －PAC ＋S O －PBC ＝3V S 表．【典例1】（2023·浙江·高三校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是 ．类型Ⅰ类型Ⅱ类型ⅢABCDO 1O R rm h －m R dd 类型Ⅳ因为正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为则正四面体为，设球的半径为R ，则， 解得，所以则正方体的棱长为，【典例2】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD 中，，ABCD 外接球的体积为（）A ．B CD ．则故11A CB D -2436R ππ=3R =16AC =23AB CD ==AC BD ==AD BC ==45π22222220,29,41,a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩22a b R +=【典例3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（ ） A ．B ．C ．D ．【典例4】（2023·安徽宣城·高三统考期末）在三棱锥中，△ABC 是边长为3的等边三角形，侧棱PA ⊥平面ABC ，且，则三棱锥的外接球表面积为 ．【答案】【解析】根据已知，底面是边长为3的等边三角形，平面， 可得此三棱锥外接球，即以为底面以为高的正三棱柱的外接球．111ABC A B C -40π1,120AB AC AA BAC ∠===16+8+8+16+-P ABC 4PA =-P ABC 28πABC PA ⊥ABC ABC PA的中点，的外接圆半径为所以球的半径为所以四面体外接球的表面积为故答案为：．【典例5】（2023·四川乐山·高三期末）已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为．取BC 中点G ，连接AG,DG ，则分别取与的外心的球心，由ABC r AN =R OA ==-P ABC 28πABC ABC BC DBC △ABC ⊥BCD D ABC -ABC DBC A BCD -AB AC DB DC BC =====2213122AG DG ⎛⎫∴==-=⎪⎝⎭【典例6】（2023·山东滨州·高三校考期中）已知正四棱锥的底面边长为侧棱长为6，则该四棱锥的外接球的体积为．，显然正四棱锥令，则在中，所以该四棱锥的外接球体积为【典例7】（2023·高三课时练习）边长为的正四面体内切球的体积为（）A B C．DP ABCD-221133PO PA AO=-=PO AO R==1|33OO=1Rt AO O△22R AOA O==1π6设正四面体的内切球半径为由等体积法可得因此，该正四面体的内切球的体积为【题型训练1-刷真题】一、单选题322144243A BCDB ACE V V --⎛⎫=-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ABCD (21123A BCD V r S -==2．（2022·全国·统考高考真题）已知球上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（A ．B ．【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点1312，底面所在圆的半径为[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为则，所以，所以正四棱锥的体积2a 2222l a h =+2232(3a =+26h l =2222a l h =-13V Sh =二、填空题【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；（2）若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的三条线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解；（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．【题型训练2-刷模拟】一、单选题）故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱直三棱柱的外接球的体积为（ ）A ．B ． 【答案】C【分析】将直三棱柱放入长方体中，借助长方体的外接球求解8π316π34．（2023秋·四川眉山的球面上，则该圆柱的体积为（A ．【答案】C【分析】设圆柱的底面半径为 A ．B ．【答案】B π12π外接球球心位置，求出外接球半径，即可求得答案 因为由于平面平面故平面，又M 为的外心，⊥22AB BC AC ===ACD ⊥ABC BM ⊥ACD DM ADC △的外接球，结合直三棱柱的性质求外接圆半径接球， 设四面体的外接球的球心为，半径为，，则， 的外接球表面积为.AEF A BCD -O R 132AB ==22217R O O r =+=24π28πR =8．（2023·四川成都·校联考二模）在三棱锥平面，若三棱锥A ．【答案】B【分析】根据三棱锥中线面关系可先确定球心【详解】 的中点为，连接，因为，又因为平面平面，平面PAC ⊥ABC 231O 1PO AC ⊥112AO AC ==221(26)PA AO =-=PAC ⊥ABC是边长为 10．（2023春·四川绵阳底面是正方形，（ ）A ．【答案】CABCD 89π【详解】 的边长为，在等边三角形平面，∴平面是等边三角形，则，设四棱锥外接球的半径为，为正方形为四棱锥P －ABCD 外接球球心，则易知ABCD 2x PAB ⊥ABCD PE ⊥PAB 3PE x =()211233633ABCD S PE x x ⋅⋅=⨯⨯=R 1O故选：C12．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知在三棱锥平面，则三棱锥A．B．⊂ABC-P ABC π4【点睛】求解几何体外接球有关的问题，关键点在于找到球心的位置，然后计算出外接球的半径接法和补形法，直接法是根据几何体的结构来找到球心；补形法是补形成直棱柱、长方体（正方体）等几何体，并根据这些几何体的结构找到球心并求得半径13．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）球，.若由，则，即又，故，仅当BCD BD CD ⊥BD =24π9πR =32R =1BD =22BD CD ++4CD AC ⋅≤AC所以，四面体外接球即为长方体外接球，则半径由题意，四面体的四个侧面均为全等三角形，形内角，的外接球的直径，要想体积最设，则，，所以当时，，则有三棱锥所以． 故选：A16．（2023·河南·统考三模）如图，该几何体为两个底面半径为的体积为V 1，它的内切球的体积为V A ． B ．AB x =PA x =6BC x =-PC 2x =min 26PC =3min 4π86π3V R ==2:3的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，求出半径，再根据球的体积公17．（2023·福建宁德·校考模拟预测）将一个半径为半径为（）A．C．313+ () 2313-【点睛】关键点点睛：此题考查圆锥的内切球问题，解题的关键是表示出圆锥的体积，化简后利用导数求出其最大值，从而可确定出圆的大小，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题18．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥A ． C ． 【答案】B所以故其内切圆表面积为故选：B ．19．（2023·全国·高三专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为(823)π-(863)π-1133P ABCD ABCD V S PH S -=⋅=表面积24π(8r =-将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，故外接球的半径为故外接球的的表面积为. 故选：D.21．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知正三棱锥221232+29π故选：A.22．（2023·全国·高三专题练习）已知圆台则该圆台的体积为（ ）A ．B ．【答案】B72π3143设上底面半径易知，作，垂足为1O B r =1BC O B r ==AC 2BD O A ⊥故选：A【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.24．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（26323R +B ACD -因为，所以当平面平面时，平面平面，所以此时四面体的高最大为因为，所以BA BC =BO ⊥BAC ⊥DAC BO ⊂BAC BO B ACD -DA DC =二、填空题故答案为：26．（2023秋·四川眉山，则该三棱柱的外接球的表面积为【答案】又由三棱柱的高为，则球心因此球半径R 满足：所以外接球的表面积故答案为：4π2360π322R r d =+24πS R ==60π【点睛】求解正棱锥有关问题，要把握住正棱锥的性质，如底面是正多边形，定点在底面的射影是底面的中心等等.求解几何体外接球有关问题，目是求球的表面积还是求体积28．（2023·河南·统考模拟预测）在菱形ABC16【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则 由，以为坐标原点， 设内切圆半径，易知由等面积可得，解得设四面体外接球球心为所以易知在平面射影为4,3AB BC ==AB ⊥B ,BA BC ABC r 12S lr =PABC O 'ABC31．（2023春·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）底面，，若【答案】32．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）在边长为段，的中点，连接ABCD AC BD O = 163π-AB BC DE【答案】【分析】由题意可知两两垂直，所以将三棱锥就是三棱锥的外接球的直径，求出体对角线的长，则可求出外接球的表面积【详解】由题意可知两两垂直，且 33．（2023秋·河南周口这个圆台的体积为 【答案】【分析】根据圆台与球的性质结合圆台的表面积、体积公式计算即可6π,,OD OE OF ,,OD OE OF OD =1423π故答案为： 34．（2023·全国·高三专题练习）【答案】【分析】作出内切球的轴截面，再根据几何关系求解即可 设该内切球的球心为所以，由已知得所以，在中，142π38πO OE OF OB ===2,BD DF ==AOF AO【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理求得方体的六个面的对角线，利用等体积法求出内切球半径，运算求解即可 设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为则，解得又因为三棱锥是长方体切掉四个角的余下部分，23π222222749a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩a b c ⎧⎪⎨⎪⎩A BCD -'因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直中，面与面的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面最大即可，而且；，当时，取得最大值 因为，，所以由余弦定理知所以，易得. =ABC -ADC ABC DCB DAB S S = sin DCB DC BC ∠⋅⋅π2DCB ∠=DBC S △2DB =32EB ED ==22sin 3DED '∠=63DD '=设，高，则,在Rt 中，所以正四棱锥的体积，故当调递减，2AB a =PO h =2OD a =MOD 13V Sh =2282(4)V h h h h '=-+=--。
与球有关的切接问题全解
在截面三角形 SDC 内作一个与边 SD 和 DC 相切，
圆心在高 SE 上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接
球的球心同为 O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE ＝ 23a，CE＝
33a，则有 R＋r＝
23a，R 2－r2＝|CE |2＝a32，解得
R?
6 a, r ? 6 a
4
12
如果还原到正方体中去考虑呢？
3
|A 1O|＝R ′＝
a 2
注意：球心均在正方体的中心位置
(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球： ① 如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相
等，则可以补形为一个正方体，正方体
的外接球的球心就是三棱锥的外接球的
球心．即三棱锥 A1-AB 1D1 的外接球的球心和正方体
ABCD -A1B1C1D1 的外接球的球心重合．如图，设 AA 1
练习 1.在正三棱锥 S-ABC 中，M 是 SC 的中点，且 AM
⊥SB ，底面边长 AB ＝2 2，则正三棱锥 S-ABC 的外接球
的表面积为
()
A．6π
B．12π
C．32π
D．36π
解析
解析：如图，由正三棱锥的性质易知 SB ⊥AC，结合 AM ⊥SB 知 SB ⊥平 面 SAC ，所以 SB ⊥SA ，SB ⊥SC.又 正三棱锥的三个侧面是全等的三角 形，所以 SA ⊥SC ，所以正三棱锥 S-ABC 为正方体的一个角，所以正三棱锥 S-ABC 的外接 球即为正方体的外接球．由 AB ＝2 2，得 SA ＝SB ＝SC ＝2，所以正方体的体对角线为 2 3，所以所求外接球的 半径 R＝ 3，所求表面积为 4πR2＝12π. 答案：B
练习2.四面体ABCD的四个顶点都在球 O的球面上,AB⊥平面
空间几何体的切接球问题(八个模型)
微专题 立体几何3空间几何体的外接球与内切球——八个模型一些提速的小结论：1.设正三角形边长为a ，则其高h =，外接圆半径r a =，面积2S =；2.设正四面体棱长为a ，则其高h =，外接球半径R =外，内切球半径4h R ==内，体积312V a =，正四面体相对棱的距离为2d =模型一 墙角模型模型解读：类似于三角形有且仅有唯一一个外接圆，将三角形补成平行四边形，则该平行四边形外接圆与三角形外接圆是同一个外接圆；三菱锥有且仅有一个外接球，特殊情况下，将其补成一个长方体，则该长方体与三棱锥有共同的外接球。
根据对称性，长方体体对角线即为外接球的直径。
模型公式：2222)2(c b a R ++=或2222c b a R ++=； 秒杀公式：()222S a b c π=++，()222222V ab c a b c π=++++适用情况：几何体中有三条两两垂直的棱时（非必要条件，见图3）。
（柱体适应模型1）c abCP A Babc 图2PCBAabc 图3CBPAa bc PCO 2BA典型例题例1、已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32例2、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 9π 例3、若三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 29π跟踪练习1、已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为2、若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ A ） A.3B.6C.36D.93、（2018宝鸡模拟）已知底面边长为12的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ D ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π4、（广东省汕头市达濠华桥中学2017-2018学年期末）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑， PA ⊥平面ABC ， 2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ C ）A. 8πB. 12πC. 20πD. 24π5、（2020·安徽高三（理））已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形，若此正三角形的边长为a ，则这个球的表面积为（ D ）． A ．234a πB ．23a πC ．26a πD ．232a π6、（2020延安高考模拟）刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ B ）A ．B ．C ．D ．7、（2020菏泽高三模拟）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（ C ） A ．B ．C ．D ．8、（2020届·厦门市五月质量检测理6）某三棱锥的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（ B ） A.9π B.27π C.81π D.108π9、已知一个三棱锥的三视图如图，其中俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为2，则该三棱锥的体积为（C ）（A ）2 （B ）43 （C ）23（D ）2210、（2017云南第二次统一检测）已知体积为6的长方体的八个顶点都在球O 的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为343O 的体积等于（ A ） A ．323π B ．73π C ．332πD ．1172π11、（2017江西赣州模拟）在四面体SABC 中，SA ⊥平面ABC ，∠ABC =90°，SA =AC =2，AB =1，则该四 面体的外接球的表面积为 . 8π提升练习1、在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥，若侧棱3SA =三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。
(完整版)空间几何体与球的切接问题
空间几何体与球的切、接问题1.体积为 8 的正方体的极点都在同一球面上，则该球的表面积为（）B.323种类一：三条棱两两垂直可转变为长方体（正方体）2.在三棱锥P ABC中，PA平面ABC , AC BC , AC BC 1， PA3则三棱锥外接球的体积为3.已知球 O 上四点 A、B、C、D，DA平面ABC,AB BC, DA AB BC a ,则球 O 的体积等于圆柱的外接球ORBC2设柱体的高为l ,底面外接圆的半径为r,则有R r2l24.直三棱柱 ABC－ A1B1C1的 6 个极点都在球 O 的球面上”，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝ 12，则球 O 的半径为种类二：有一条侧棱垂直于底面可转变为直棱柱5.已知三棱锥 P-ABC 中，三角形 ABC 为等边三角形，且 PA=8，PB=PC= 13 ,AB=3 ，则其外接球的体积为6.在三棱锥 P ABC 中, PA平面ABC , AC1， BC 2， PA 6，ACB 120 ，求三棱锥的外接球的表面积。
圆锥的外接球O O1A设椎体的高为 h, 底面外接圆的半径为 r, 则有R r 22 h R7.正四棱锥的极点都在同一球面上．若该棱锥的高为４，底面边长为２，则该球的表面积为（）A. 81D.27448.在三棱锥 A-BCD中 ACD 与 BCD 都是边长为 2 的正三角形，且平面 ACD 平面BCD,求三棱锥外接球的体积练习 1、在四周体P ABC 中，PC平面ABC，AB=AC=1，BC=2 ，PC= 3 .则该四周体外接球的表面积为.练习 2、正三角形 ABC的边长为 2，将它沿高 AD翻折，使点 B 与点 C 间的距离为2 ，此时四周体ABCD外接球表面积为____________练习 3．已知三棱锥 S-ABC的全部极点都在球 O 的球面上， SC是球 O 的直径。
若平面 SCA⊥平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 S-ABC的体积为 9，则球 O 的表面积为 ________。
立体几何中球的内切和外接问题(完美版)
2 3 A． 3
B． 3 3
3 3 C． 2
正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为 2 ， MN 是它的内切球的一条弦 （我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦） ， P 为正方体表面上 的动点，当弦 MN 的长度最大时， PM PN 的取值范围是 ．
，∴ ， ，∴
，
， .
∴外接球的半径为
，∴球的表面积等于
解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小 圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利 c 用正弦定理得到小圆半径 sin C 2r ，从而解决问题。
5
A．
正棱锥的外接球的球心是在其高上
,侧棱 PA 与底面 ）
例 5 在三棱锥 P－ABC 中，PA＝PB=PC=
测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心
例 7、.若三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2， SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为（ ）
B.
C.1
D.
S
O
，即 .
C M B
A
7
，
解： 因为 所以 在 且
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。
D
1 r S全 3 2 2 3 r 3
E
r
6 2 S球 85 2 6
1 1 V多面体 S 全 r V S全 内切球 多 面 体3
3
r内 切 球
变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截 面的可能图形是（ ）
考点三 4
组合体的表面积与体积
与球有关的切接问题全解精品PPT课件
·a2＝
3
a2，其内切球半径为正四面体高的
1 4
，即r＝
1 4
6 ·3
a＝
6 12
a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝
πa2 6
，则
S1 S2
＝ π63aa22＝6π3.
【变式训练】已知正三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为 3 的球面
上,且PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到平面ABC的距离为
在截面三角形 SDC 内作一个与边 SD 和 DC 相切，
圆心在高 SE 上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接
球的球心同为 O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝ 23a，CE＝
33a，则有 R＋r＝
23a，R2－r2＝|CE|2＝a32，解得
R
6 a,r 6 a
4
12
如果还原到正方体中去考虑呢？
球 O 的球面上，且 AB＝3，BC＝ 3，过点 D 作 DE 垂直 于平面 ABCD，交球 O 于 E，则棱锥 E-ABCD 的体积为 ________．
思考：可以还原到什么几何体中考虑？
解析
解析：如图所示，BE 过球心 O， ∴DE＝ 42－32－ 32＝2， ∴VE -ABCD＝13×3× 3×2＝2 3. 答案：2 3
练习 1.在正三棱锥 S-ABC 中，M 是 SC 的中点，且 AM
⊥SB，底面边长 AB＝2 2，则正三棱锥 S-ABC 的外接球
的表面积为
()
A．6π
B．12π
C．32π
D．36π
解析
解析：如图，由正三棱锥的性质易知 SB⊥AC，结合 AM⊥SB 知 SB⊥平 面 SAC，所以 SB⊥SA，SB⊥SC.又 正三棱锥的三个侧面是全等的三角 形，所以 SA⊥SC，所以正三棱锥 S-ABC 为正方体的一个角，所以正三棱锥 S-ABC 的外接 球即为正方体的外接球．由 AB＝2 2，得 SA＝SB＝SC ＝2，所以正方体的体对角线为 2 3，所以所求外接球的 半径 R＝ 3，所求表面积为 4πR2＝12π. 答案：B
与球有关的切、接问题(有答案)
【MeiWei_8i 重点借鉴文档】与球有关的切、接问题i .球的表面积公式：S= 4 n 2；球的体积公式 v =3 T R 332 •与球有关的切、接问题中常见的组合： 1⑴正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为 a ，内切球的半径为r , /『址''、 外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ，连接CD ，SE 为正四面体的高，在 "气雾 截面三角形SDC 内作一个与边 SD 和DC相切，圆心在高 SE 上的圆.因为(2)正方体与球：① 正方体的内切球：截面图为正方形 EFHG 的内切圆，如图所示.设正方体的棱长为 a ,则0J1= r = a(r 为内切球半径).② 与正方体各棱相切的球：截面图为正方形 EFHG 的外接圆，则 |G0|= R = ■^2a.(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方 体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.即三棱锥A i -AB i D i的外接球的球心和正方体 ABCD-A i B i C i D i 的外接球的球心重合.如图，设AA i = a ,贝V R = 2 a.②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外2 2 | 2 22a +b +c i R= 4 = 4（l 为长方体的体对角线长）.角度一：正四面体的内切球正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为0.此时，CO = 0S = R , OE = r , SER 2- r2=|CE|2=t ，解得 R=T ,_612 a .③ 正方体的外接球：截面图为正方形ACCA 的外接圆，则|A i O|= R接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.1 . (2015长春模拟)若一个正四面体的表面积为S i,其内切球的表面积为S2,则詈=解析：设正四面体棱长为 a ,则正四面体表面积为 S i = 4 •j 3 a 2 = V 3a 2，其内切球半径为正四面体高的4,即r = if a ，因此内切球表面积为 角度二：直三棱柱的外接球 2. （2015唐山统考）如图，直三棱柱 ABC-A i B i C i 的六个顶点都在半径 为1的半球面上，AB = AC ,侧面BCC i B i 是半球底面圆的内接正方形，则 侧面ABB i A i 的面积为（ ） 2 S 2 = 4 n = 2 na ~6 A . 2 B . iC. 2 D. 解析：选C 由题意知，球心在侧面BCC i B i 的中心O 上，BC 为截面 圆的直径，•••ZBAC = 90 ° △KBC 的外接圆圆心 N 是BC 的中点，同理△A i B i C i 的外心 M 是B i C i 的中心.设正方形 BCC i B i 的边长为 R , Rt △OMC i 中， X X ,,,,,, I x \ IX \ r OM = 2，MC i = 2，OC i = R = i （R 为球的半径），• 2 + 2 = i ，即卩 R = 2,则 AB = AC = i , •S 矩形 ABB i A i = ：：：»2 X i =，j 2. 角度三：正方体的外接球 3 •一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示 （图中 三个四边形都是边长为 2的正方形），则该几何体外接球的体积为 俯视图解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；2R = 2.3（R 为球的半径），.・.R =〔 3,二球的体积V = 詁3= 4 3 n. 答案：4 ,3n 角度四：四棱锥的外接球 4. （20RR 大纲卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上， 若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为（ ） 81 n27 n A.〒B . 16 € . 9—解析：选A 如图所示，设球半径为R,底面中心为0 '且球心为0,T 正四棱锥P-ABCD 中 AB = 2,「.A0 ' = 2.•.•PO ' = 4,.••在 Rt△KOO '中，AO 2= AO ' 2+ OO ' 2,A R 2= ( 2)2+ (4- R)2，解得9，.••该球的表面积为4 T R 2= 4 %X 卽=字 故选A.［类题通法］“切”“接”问题的处理规律1.“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过 作截面来解决•如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.2.“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题•解决这类问题的关键是抓住 外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.［牛刀小试］1 . （2015云南一检）如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于 的圆，那么这个空间几何体的表面积等于（ ）解析：选A 易知该几何体为球，其半径为5,则表面积为S = 4U R 2= 100 n.2. （20RR 陕西高考）已知底面边长为1,侧棱长为.2的正四棱柱的各顶点均在同一个 球面上，则该球的体积为（）32 nA. . 4 T C . 2 n3解析：选D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径 =玮石齐花2=1，所以v 球=4n ><13=节故选D .3 .已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为 3的球面上，当正六棱柱的底面边长为【MeiWei 81重点借鉴文档】A . 100 n B.^^^C. 25 n25 n DP4 n D E4 n V= 4"x f5、3_ 125n5 •一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的体积与球 O 的体积的比值为 __________解析：设等边三角形的边长为 2a ,则V 圆锥=寸•na 3 ;又 R 2 = a 2+ （ 3a -33R ）2,所以R = 故V 球=43n \2^a I 3=3爭n3,则其体积比为 备［高考全国课标卷真题追踪］1. （15课标1理）已知A, B 是球0的球面上两点，• AOB =90°, C 为该球面上的动点,若O - ABC 三棱锥体积的最大值为 36,则球O 的表面积为（C ）（A ） 36： （B ） 64 二（C ） 144二（D ） 256 ■: 2. （13课标1理）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器高8cm,将一个球放在容器口 ，再向容器注水，当球面恰好接 触水面时测得水深为 6cm,如不计容器的厚度，则球的体积为（A ）(A)叫m 33(B )866ncm 33(C )咤cm 3(D )2048ncm 33. （12课标理）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球 0的球面上，，ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球0的直径，且SC = 2,则此棱锥的体积为（A ）（卡歆昨（心6时，其高的值为（ ）A . 3萌BpC . 2 竝D . 2眾h2解析：选D 设正六棱柱的高为h ，则可得（6）2+牛=32,解得h = 2 3.4. （2015 •西四校联考）将长、宽分别为 4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到四面体A-BCD ，则四面体A-BCD 的外接球的体积为 _______________ .解析：设AC 与BD 相交于O ,折起来后仍然有 OA = OB = OC = OD ,•••外接球的半径2从而体积4. （12课标文）平面：•截球0的球面所得圆的半径为1,球心0到平面〉的距离为，2,则此球的体积为（B ）（A ） 6 n （B ） 4 3n （C ） 4 6 n （D ） 6 3n 5. （10新课标理）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（B ）6. （10新课标文）设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a ,其顶点都在一个球面上的表面积为（B ）2 2 2 2（A ） 3二 a （B ） 6二 a （C ） 12 二a （D ） 24 二 a7. （07新课标文）已知三棱锥 S - ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上，球心0在AB 上, SO_底面ABC , AC =£齐，则球的体积与三棱锥体积之比是（D ）A . nB . 2 nC . 3 nD . 4 n8. （13新课标2文）已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 »2,底面边长为.3,则以O 为2球心，OA 为半径的球的表面积为 24二。
空间几何体的外接球内切球问题
空间几何体的外接球内切球问题空间几何体的外接球、内切球问题自己总结供参考红岩外接球问题一.棱锥的外接球三棱锥都有外接球；底面有外接圆的任意棱锥都有外接球。
1.确定棱锥外接球球心的通法先找到棱锥底面的外接圆的圆心D ，过D 作底面的垂线ＤＰ交一侧棱的中垂面于O ，点O 即为外接球的球心。
练习：1.三棱锥S-ABC 的各顶点都在同一球面上，若SB ⊥平面ABC ,SB=6，AB=AC=2120BAC ∠=?，则此球的表面积等于。
2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为。
3.四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32=AC ，6=BD ，则该球的表面积为（）A ．π14 B.π15 C.π16 D.π182.补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一结论求解。
练习：1.三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（）A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．224a π2.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π3.,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )A.3πB.4πD.6π4.3.公共边所对的两个角为直角确定球心法练习1.在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π2.空间四边形ABCD中，1,AB BC AD DC ====ABCD 的外接球的表面积为4.利用轴截面截球为大圆确定球半径正四、六、八棱锥的外接球的一个轴截面为大圆，该圆的半径等于外接球的半径. 练习：1.正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .2.正六棱锥EF S ABCD -的底面边长为1S A B C D 、、、、、E 、F 都在同一球面上，则此球的表面积为 .3.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_ C_ A_ O_ D _ BA B．13π C．23π D二.棱柱的外接球底面有外接圆的直棱柱才有外接球。
球与几何体的切接问题
球与几何体的切接问题整理人：元丽丽【相关知识】一、长方体的外接球1、球心：体对角线的交点；2、半径：()为长方体的长、宽、高c b a c b a r ,,2222++=. 二、正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球：1、外接球：（1）球心：正方体的中心； （2）半径：()为正方体的棱长a a r 23=； 2、内切球：（1）球心：正方体的中心； （2）半径：()为正方体的棱长a a r 2=； 3、与各条棱都相切的球：（1）球心：正方体的中心； （2）半径：()为正方体的棱长a a r 22=. 三、正四面体的外接球与内切球（正四面体可以看作正方体的一部分）1、外接球：（1）球心：正四面体的中心； （2）半径：()为正四面体的棱长a a r 46=； 2、内切球：（1）球心：正四面体的中心； （2）半径：()为正四面体的棱长a a r 126=. 题型一 几何体的外接球1、棱长为1的正四面体外接球的体积为 .2、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 .3、如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为 .4、若棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 .5、已知三棱柱111C B A ABC -的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为 .6、已知直三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，1AA =12，则球O 的半径为 .7、已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，32=⊥SA ABC SA ，平面， 6021=∠==BAC AC AB ，，,则球O 的体积为 .题型二 几何体的内切球1、半径为R 的球的外切圆柱（球与圆柱的侧面、两底面都相切）的表面积为 ，体积为 .2、若正四面体的棱长为a ，则其内切球的半径为 .3、如图，已知球O 的棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为 .3、在封闭的直三棱柱111C B A ABC -内有一个体积为V 的球.若，6,=⊥AB BC AB 8=BC ,31=AA ,则V 的最大值为 .4、一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削，打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径为 .5、如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为6、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积为；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积为 .。
几何体与球的切接问题
(2)正方体的外接球：
D A C
①球心是正方体中心； ②半径 r＝ 3 a(a 为正方体的棱长)； 2
B
题型二：棱锥的外接球
P
1.正棱锥的外接球
P
A
O1 B
C
O
O
C A
O1
B
正棱锥的外接球球心必在正棱锥的高所在直线上
2. 一条侧棱垂直底面的棱锥的外接球 将一条侧棱垂直底面的棱锥的 外接球问题转化为直棱柱的外 接球求解
.
思考题：(2018· 江西宜春模拟 ) 一个几何体的三视图如图所 示，则该几何体的外接球的表面积为( )
A．36π 9 C. π 2
B．8π 27 D. π 8
★注意★ 锥体的外接球问题关键是确定球心位置： (1)将锥体还原或补形为正方体或长方体，进而确定球心； (2) 锥体的外接球球心一定在过底面的外心与底面垂直的直 线上； (3)球心到各顶点的距离都相等； (4)球心一定在外接球的直径上！
①内切球：球心是正四面体的中心； 6 ②半径 r＝ a(a 为正四面体的棱长)． 12
B C
V棱锥
1 S全 r 3
S底 h S全 r
几何体的内切球 例 4： (1)半径为 R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底 面都相切)的表面积为________，体积为________．
(2)如图，已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 的内切球，则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为( 6 A. 6 π π π B. 3 C. 6 3 D. 3 π )
内切球、外接球的定义：
内切球：几何体各个面均与球面相切 外接球：几何体的各个顶点均在球面上
球心性质：
立体几何中球内切和外接问题(完美版)
例4、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 。求棱锥的 全面积和它的内切球的表面积。
解法2： 设球的半径为 r，则 VA- BCD =
A
VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
1 3
2
V A BCD
3
2 4
6
1
O
D
1
3 r S全 3 2 2 3 r
例4、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥的全面
积和它的内切球的表面积。
A
解法1： 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 )
在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高，
1
O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
O
FD
B
O1
E
C 作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
A. 6 B. 2
C. 3
D．2
一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内．接．于．
半径为 3 的球，则该棱柱体积的最大值为（ ）
A． 2 3 3
B． 3 3
C． 3 3 2
D． 6 3
正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2 ， MN 是它的内切球的一条弦 （我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦）， P 为正方体表面上
27
B． 6
2
C． 6
8
D． 6
24
4
举一反三-突破提升
已知三棱锥 S—ABC 的三条侧棱两两垂直， 且 SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为( )
A．36
立体几何中球的内切和外接问题(完美版)
1
剖析定义
一、由球心的定义确定球心
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的 所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简 单多面体的外接球球心。
1 一、定义法 针对讲解
D
AO
C
图4 B
2 求正方体、长方体的外接球的有关问题
2
求正方体、长方体的外接球的有关问题
则（ D ）
①
②
③
④
• A．以下四个图形都是正确的 • C．只有④是正确的
B．只有②④是正确的 D．只有①②是正确的
解法2：
A B
O D
C 求正多面体外接球的半径
A B
O D
C
求正方体外接球的半径
4
直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。
例 4、（2014）已知三棱柱 若该棱柱的体积为
3
6
4 举一反三-突破提升
3.(2015 南昌二模）某几何体的三视图如图，该几何体的 顶点都在球O 的球面上，球O的表面积是 （ C ）
A.2 B.4 C .8 D.16
O • F D BC 2 6 O1E 2 且AE 3
B
O1
E
1
3
2
S全
3
2 2
6
3 2 6 4
C
9 26 3
作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r
∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
r 1r
S球 8 5 2 6 2 3
r
62
例4、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 。求棱锥的
球与空间几何体的切接问题【手机阅读】
A．
3π 2
B．3π
C．
2π 3
D．2π
【答案】A 【解析】
如图，取 BD 的中点为 E，BC 的中点为 O，连 接 AE，OD，EO，AO.因为 AB＝AD，
11
所以 AE⊥BD． 由于平面 ABD⊥平面 BCD， 所以 AE⊥平面 BCD． 因为 AB＝AD＝CD＝1，BD＝ 2，
所以 AE＝ 22，EO＝12.
A．
3 2
B．2 3 3
【答案】B
【解析】
设球 O 的半径为 R，
C．23
D．13
因为 S△AOC＋S△BOC＝12R2(sin∠AOC＋sin∠BOC)，
所以当∠AOC＝∠BOC＝90°时， S△AOC＋S△BOC 取得最大值，此时 OA⊥OC． OB⊥OC，OB∩OA＝O，所以 OC⊥平面 AOB，
则 V 的最大值是( )
9
A．4π B．
2
32
C．6π D．
3
【答案】B
【解析】要使球的体积V 最大，必须球的半径 R
最大．由题意知球与直三棱柱的上下底面都相
3
切时，球的半径取得最大值 ，此时球的体积
2
为 4 R3 4 ( 3)3 9 ，故选 B．
3
32 2
◇ 4．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的 高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是( ) A．16π B．20π C．24π D．32π 【答案】C 【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四 棱柱的高为 4，体积为 16，可求得底面边长为 2， 故球的直径为 22＋22＋42＝2 6，半径为 6， 球的表面积为 24π，故选 C． 点评：长方体的体对角线的长等于其外接球的 直径．设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c， 其外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2． ◇ 5．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均
立体几何中的与球有关的内切外接问题分解课件
设多边形的边数为$n$，则球的半径$r = frac{a}{2sinfrac{180^circ}{n}}$，其中$a$为多边形的外接圆半径。
球与圆柱体的内切总结词Fra bibliotek详细描述
当一个球完全内切于一个圆柱体时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，且圆柱的轴线通过球心。
设圆柱体的底面圆心为$O_1$，顶面 圆心为$O_2$，球心为$O$。由于球 内切于圆柱体，所以$OO_1 = OO_2 = r$，其中$r$为球的半径。同时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，所以底面圆心到球心的距离 等于底面圆的半径，顶面圆心到球心 的距离等于顶面圆的半径。
公式
设圆柱体的底面半径为$R_1$，顶面 半径为$R_2$，高为$h$，则球的半 径$r = frac{R_1 + R_2 + h}{2}$。
球与圆锥体的内切
总结词
当一个球完全内切于一个圆锥体时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，且圆锥的轴 线通过球心。
详细描述
设圆锥体的底面圆心为$O_1$，球心为$O$。由于球内切于圆锥体，所以$OO_1 = r$， 其中$r$为球的半径。同时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，所以底面圆心到球 心的距离等于底面圆的半径。
04
球的内切外接问题应用
球在几何题中的应用
球与多面体的内切和外接
在几何题目中，经常涉及到球与多面体的内切和外接问题，需要利用球心到多面 体的顶点的距离等于半径的原理来解决。
球的切线和割线定理
切线和割线定理是球在几何题中的重要应用，通过这些定理可以推导出球与其他 几何形状的位置关系。
球在物理题中的应用
02
球的内切问题
球与多边形的内切
高考数学专题四立体几何 微专题26 球的切接问题
14h＝
6 12 a.
设小球的半径为r，小球也可看作一个小的正
四面体的内切球，且小正四面体的高h小＝h－ 2R＝ 66a， 所以 r＝14h 小＝246a＝R2. 故该模型中 5 个球的表面积之和为 4πR2＋4×4πr2＝8πR2＝8π×1644a2＝3πa2.
(2)(2023·益阳质检)金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬
设O为正四面体P－ABC内切球的球心，则内切球的半径为OO1＝r，
∴VP － ABC ＝ VO － ABC ＋ VO － PAB ＋ VO－PBC＋VO－PAC， ∴13S△ABC·PO1＝13S△ABC·r＋13S△PAB·r ＋13S△PBC·r＋13S△PAC·r， ∵S△ABC＝S△PAB＝S△PBC＝S△PAC， ∴PO1＝4r，∴正四面体 P－ABC 内切球的半径 r＝ 26，直径 2r＝ 6， 设正方体玩具的棱长为 a，则其体对角线长为 3a，
R2＝
36a－R2＋
33a2，
解得 a＝2 2，
过点O作OF⊥AC，垂足为F， 在 Rt△OCF 中，可得 OF＝ OC2－CF2＝
R2－A2C2＝ 32－ 22＝1， 即小球的最大半径r＝1.
总结提升
1.几何体的外接球，常用的方法有构造法、截面法. 2.几何体的内切球 求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为 顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分 割棱锥的体积之和求内切球的半径.
跟踪训练2 (1)在四面体A－BCD中，BA，BC，BD两两互相垂直，BA＝ 1，BC＝BD＝2，则四面体A－BCD内切球的半径为
4－ 6 A. 10
√C.4－5 6
5－ 6 B. 10
高考数学专题19 几何体中与球有关的切、接问题(解析版)
专题19 几何体中与球有关的切、接问题球的截面的性质(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为r ＝R 2－d 2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①假设球为正方体的外接球，那么2R ＝3a ；②假设球为正方体的内切球，那么2R ＝a ；③假设球与正方体的各棱相切，那么2R ＝2a .(2)假设长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，那么2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 一、题型选讲题型一 、几何体的外接球解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，那么球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．例1、【2021年高考全国Ⅰ卷理数】,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，假设⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，那么球O 的外表积为 A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得24,2r r π=π=∴，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin60AB r =︒=1OO AB ∴==1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的外表积2464S R ππ==.应选：A.此题考查球的外表积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于根底题.例2、【2021年高考天津】假设棱长为 A ．12π B ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的外表积为2244336S R πππ==⨯=. 应选：C ．此题考查正方体的外接球的外表积的求法，求出外接球的半径是此题的解题关键，属于根底题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：〔1〕三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；〔2〕直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；〔3〕如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 例3、〔2021届山东省潍坊市高三上学期统考〕边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，那么过A ，B ，C ，D 四点的球的外表积为〔 〕A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【答案】C【解析】边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，构成以D 为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1,12R ==24(52S ππ==，应选C.例4、〔2021届山东省日照市高三上期末联考〕四棱锥P ABCD -的体积是，底面ABCD 是正方形，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，那么四棱锥P ABCD -外接球体积为〔 〕A ．BCD ．【答案】A【解析】设AB 的中点为Q ，因为PAB ∆是等边三角形，所以PQ AB ⊥，而平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以PQ ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -的体积是，13AB AB PQ =⨯⨯⨯13AB AB AB =⨯⨯，所以边长6AB =，PQ =OH x =，OM x =，()(222222R OA OM AM x ==+=+，2222223R OP OH PH x ==+=+，x =2212321R =+=343V R π==球.应选：A.例5、〔2021届山东省德州市高三上期末〕中国古代数学经典?九章算术?系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD =ED =，假设鳖臑P ADE -的外接球的体积为，那么阳马P ABCD -的外接球的外表积等于______.【答案】20π 【解析】四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴⊥，即AD CE ⊥，且AD =ED ，所以，ADE ∆的外接圆半径为122AE r ===设鳖臑P ADE -的外接球的半径1R ，那么3143R π=，解得1R =.PA ⊥平面ADE ，1R ∴=，可得2PA ==PA ∴正方形ABCD 的外接圆直径为22r AC ==，2r ∴=PA ⊥平面ABCD ，所以，阳马P ABCD -的外接球半径2R ==因此，阳马P ABCD -的外接球的外表积为22420R ππ=. 故答案为：20π.题型二、几何体的内切球求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．例6、【2021年高考全国Ⅲ卷理数】圆锥的底面半径为1，母线长为3，那么该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如下图， 其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM =122S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，那么：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：22r，其体积：3433V r =π=π.. 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出适宜的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.例7、〔2021届山东省潍坊市高三上期中〕如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如下图粽子形状的六面体，那么该六面体的外表积为__________；假设该六面体内有一小球，那么小球的最大体积为___________．【答案】2 729【解析】〔1〕因为16(1222S =⨯⨯⨯=，所以该六面体的外表积为2. 〔2〕由图形的对称性得，小球的体积要到达最大，即球与六个面都相切时，2倍，所以六面体体积是6. 由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为R ，所以16()63R R =⨯⇒=，所以球的体积3344()393297V R ππ===.故答案为：. 二、达标训练1、〔2021届山东省泰安市高三上期末〕正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，那么该正三棱锥外接球的外表积是〔 〕 A ．16π B ．20πC ．32πD ．64π【答案】D【解析】如下图，因为正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，那么263AE ==6SE ===, 又由球心O 到四个顶点的距离相等，在直角三角形AOE 中，,6AO R OE SE SO R ==-=-，又由222OA AE OE =+，即222(6)R R =+-，解得4R =， 所以球的外表积为2464S R ππ==， 应选D.2、【2021年高考全国II 卷理数】△ABC 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.假设球O的外表积为16π，那么O 到平面ABC 的距离为A B ．32C ．1D 【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，那么2416R π=π，解得：2R =.设ABC △外接圆半径为r ，边长为a ，ABC △的等边三角形，212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴==∴球心O 到平面ABC 的距离1d =.应选：C ．此题考查球的相关问题的求解，涉及到球的外表积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.3、【2021年高考全国Ⅰ卷理数】三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，那么球O 的体积为A ．B ．C ．D【答案】D 【解析】解法一：,PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体的一局部，2R ==即344π33R V R =∴=π==，应选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC △为边长为2的等边三角形，CF ∴，又90CEF ∠=︒，12CE AE PA x ∴===， AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 的中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=，2212122x x x ∴+=∴==，，PA PB PC ∴=== 又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==，2R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，应选D.此题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．4、【2021年高考全国Ⅰ卷理数】设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为 A． B ．C ．D ．【答案】B【解析】如下图，设点M 为三角形ABC 的重心，E 为AC 中点，当点D 在平面ABC 上的射影为M 时，三棱锥D ABC -的体积最大，此时，4OD OB R ===，2ABCS AB ==△，6AB ∴=,点M 为三角形ABC 的重心，23BM BE ∴==Rt OBM ∴△中，有2OM ==，426DM OD OM ∴=+=+=， ()max 163D ABC V -∴=⨯= B.5、【2021年新高考全国Ⅰ卷】直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．【答案】2. 【解析】如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A BC D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，所以1D E=111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥， 因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11BC CB ，设P 为侧面11BC CB 与球面的交线上的点，那么1DE EP ⊥，1D E ，所以||EP ===所以侧面11BC CB 与球面的交线上的点到E因为||||EF EG ==11BC CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ， 因为114B EFC EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得2FG π==.故答案为：2. 6、〔2021届山东省滨州市三校高三上学期联考〕三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，6ABC π∠=，3SA =，1BC =，直线SB 和平面ABC 所成的角大小为3π.假设三棱锥S ABC -的四个顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为________.【答案】13π【解析】如图：SA ⊥平面ABC ，那么SBA ∠为直线SB 和平面ABC 所成的角，即3SBA π∠=在Rt SAB ∆中：tan 3SAAB π=== 如图，设O 为三棱锥S ABC -外接球的球心，G 为ABC ∆外接圆圆心，连结,,,,OA OB GA GB OG ，那么必有OG ⊥面ABC在ABC ∆，2222cos31216AC AB BC AB BC π=+-⋅⋅=+-=， 那么1AC = 其外接圆半径122,1sin sin 6AC r r ABC π====∠， 又1322OG SA ==， 所以三棱锥S ABC -外接球半径为R ===该球的外表积为21344134S R πππ==⨯=, 故答案为：13π.7、〔2021届山东省枣庄、滕州市高三上期末〕如图，在三棱锥P -ABC 中，,PA AB ⊥PC BC ⊥，,AB BC ⊥22,AB BC ==PC ，那么PA 与平面ABC 所成角的大小为________；三棱锥P -ABC外接球的外表积是________.【答案】45︒ 6π【解析】如图，作平行四边形ABCD ，连接PD ，由AB BC ⊥，那么平行四边形ABCD 是矩形．由BC CD ⊥，BC PC ⊥，PC CD C =，∴BC ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴BC PD ⊥，同理可得AB PD ⊥，又AB BC B ⋂=，∴PD ⊥平面ABCD ．,PD CD PD AD ⊥⊥，PAD ∠是PA 与平面ABC 所成角．由2,CD AB PC ===1PD =，又1AD BC ==，∴45PAD ∠=︒．∴PA 与平面ABC 所成角是45︒．由,PA AB ⊥PC BC ⊥知PB 的中点到,,,A B C P 的距离相等，PB 是三棱锥P -ABC 外接球的直径．由BC ⊥平面PCD 得BC PC ⊥，PB ===24()62PB S ππ==． 故答案为：45︒；6π．8、〔2021届山东省烟台市高三上期末〕三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的外表上，PA ⊥平面ABC ，6PA =，AB =2AC =，4BC =，那么：〔1〕球O 的外表积为__________；〔2〕假设D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，那么截面面积的最小值是__________．【答案】52π 4π【解析】〔1〕由题,根据勾股定理可得AC AB ⊥,那么可将三棱锥P ABC -可放入以,,AP AC AB 为长方体的长,宽,高的长方体中,那么体对角线为外接球直径,即2r ==,那么r =,所以球的外表积为224452r πππ=⨯=；〔2〕由题,因为Rt ABC ,所以D 为底面ABC 的外接圆圆心,当DO ⊥截面时,截面面积最小,即截面为平面ABC ,那么外接圆半径为2,故截面面积为224ππ⨯=故答案为：〔1〕52π；〔2〕4π9、〔2021届山东省滨州市高三上期末〕在四面体S ABC -中，2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC =，AC =________，该四面体外接球的外表积为________.8π【解析】因为2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC ，AC =AB ==因此222BC AC AB +=，那么AC BC ⊥；取AB 中点为O ，连接OS ，OC ，那么OA OB OC OS ====所以该四面体的外接球的球心为O ，半径为OC =所以该四面体外接球的外表积为248S ππ=⋅=；又因为SA SB =，所以SO AB ⊥；因为底面三角形ABC 的面积为定值122AC BC ⋅=，SO因此，当SO ⊥平面ABC 时，四面体的体积最大，为13ABC V S SO =⋅=故答案为：(1). (2). 8π10、〔2021届山东省济宁市高三上期末〕下列图是两个腰长均为10cm 的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 沿BD 折成直二面角A BD C --，那么三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________3cm ．【答案】【解析】由题设可将该三棱锥拓展成如下图的正方体，那么该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，由于正方体的对角线长为2l R ==即球的半径R =该球的体积343V R π==，应填答案．。
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空间几何体与球的切、接问题
1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
π12.A B.3
32π C.8π D.π4 类型一：三条棱两两垂直可转化为长方体（正方体）
2.在三棱锥 ABC P - 中，31,,===⊥⊥PA BC AC BC AC ABC PA ，平面 则三棱锥外接球的体积为
3.已知球O 上四点A 、B 、C 、D ，ABC DA 平面⊥,a BC AB DA BC AB ===⊥,,则球O 的体积等于
圆柱的外接球
4.直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为
类型二：有一条侧棱垂直于底面可转化为直棱柱
5.已知三棱锥P -ABC 中，三角形ABC 为等边三角形，且PA=8，PB=PC=13,AB=3，则其外接球的体积为
6.在三棱锥ABC P -中, 120621,=∠===⊥ACB PA BC AC ABC PA ，，，平面， 求三棱锥的外接球的表面积。
圆锥的外接球
7.正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为４，底面边长为２，则该球的表面积为（ ）
A.481π
B.16π
C.9π
D.427π
8.在三棱锥A -BCD 中ACD ∆与∆BCD 都是边长为2的正三角形，且平面ACD ⊥平面BCD,求三棱锥外接球的体积
练习1、在四面体中，平面，AB=AC=1，BC=2，PC=3.则该四面体外接球的表面积为 .
练习2、正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为
2，此时四面体ABCD 外接球表面积为____________
练习3．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。
若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。
P ABC -⊥PC ABC。