自动控制原理课程设计-倒立摆系统控制器设计

1 引言
支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。

倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。

1.1 问题的提出
倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其他驱动设备）。

对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。

通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。

倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。

当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。

1.2 倒立摆的控制方法
倒立摆系统的输入来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。

直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。

作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。

当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。

为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，
需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。

本次设计中我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，然后通过开环响应分析对该模型进行分析，并利用学习的古典控制理论和Matlab /Simulink仿真软件对系统进行控制器的设计，主要采用根轨迹法，频域法以及PID（比例-积分-微分）控制器进行模拟控制矫正。

2 直线倒立摆数学模型的建立
直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一，直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件。

系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。

实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。

这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。

鉴于小车倒立摆系统是不稳定系统，实验建模存在一定的困难。

因此，本文通过机理建模方法建立小车倒立摆的实际数学模型，可根据微分方程求解传递函数。

2.1 微分方程的推导（牛顿力学方法）
微分方程的推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。

做以下假设：
M小车质量m摆杆质量
b小车摩擦系数I 摆杆惯量
F加在小车上的力x小车位置
摆杆与垂直向上方向的夹角
摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）
图2-1 直线一级倒立摆模型
系统中小车和摆杆的受力分析图是图2。

其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图2所示，图示方向为矢量正方向。

图2-2 小车及摆杆受力分析
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
N x b F x M --=•••
(2-1)
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
)sin (θl x dt d m N +=22
(2-2)
即：
θθθθsin cos 2
•••••-+=ml ml x m N
(2-3)
把这个等式代入式(1)中，就得到小车运动方程（第一个运动方程）：
F ml ml x b x m M =-+++••••••θθθθsin cos )(2
(2-4)
为了推出摆杆的运动方程（第二个运动方程），对摆杆垂直方向上的合力进行分析，
可以得到下面方程：
)cos (θl dt d m mg P 22
=-
(2-5)
θθθθcos sin 2
•••--=-ml ml mg P (2-6)
力矩平衡方程如下：
••=--θθθI Nl Pl cos sin (2-7)
注意：方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=
(6)和（3）代入(7)，约去P 和N ，得到摆杆运动方程（第二个运动方程）：
θθθcos sin )(••••-=++x ml mgl ml I 2 (2-8)
设φπθ+=（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即1<<φ，则可以进行线性化近似处理：
012=-=-=)(,sin ,cos dt
d θφθθ 用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：
⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+•••••••••u
ml x b x m M x ml mgl ml I φφφ)()(2 进行拉氏变换，得：
⎩⎨⎧=Φ-++=Φ-Φ+)()()()()()()()()(s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I 222
22
（2-9）
由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：
)()()(s s g ml
ml I s X Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=22，即：mgl s ml I mls s X s -+=Φ222
)()()( （2-10） （10）式称为摆杆角度与小车位移的传递函数
如令••=x v ，则有：
mgl s ml I ml s V s -+=Φ22)()()(
（2-11）
（11）式称为摆杆角度与小车加速度间的传递函数，由于伺服电机的速度控制易于实现在实验中常采用此式。

把（10）式代入（9）式的第二个方程中，得到：
)()()(()()()(s U s s ml s s s g ml
ml I b s s s g ml ml I m M =Φ-Φ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++Φ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++22222
q
bmgl s q mgl m M s q ml I b s s q ml s U s -+-++=Φ)()()()(223 （2-12）
其中，[]
22)())((ml ml I m M q -++=
（12）式称为摆杆角度与外加作用力间的传递函数
2.2 实际系统的模型参数
M ：小车质量
1.096kg m ：摆杆质量
0.109kg b ：小车摩擦系数 0.1N/sec
l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m
I ：摆杆惯量
0.0034kgm 2 2.3 实际数学模型
把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。

1) 摆杆角度和小车位移的传递函数：
2
2()0.02725()0.01021250.26705s s X s s Φ=-
(2-13)
2) 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：
2()0.02725()0.01021250.26705s V s s Φ=-
(2-14)
3) 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： 32() 2.35655()0.088316727.9169 2.30942s s U s s s s Φ=+--
(2-15)
4) 小车位置和加速度的传递函数
2()1()X s V s s =
(2-16)
3 开环系统的时域分析
3.1 摆杆角度为输出响应的时域分析
本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，摆杆角度为输出响应，此时的传递函数为
26705.00102125.002725.0)()()(222-=-+=Φs mgl s ml I ml s V s (3-1)
图3.1 摆杆角度的单位脉冲响应曲线图
图3.2 摆杆角度的单位阶跃响应曲线图
3.2 小车位置为输出响应的时域分析
采用以小车的加速度作为系统的输入，小车位置为响应，则此时的传递函数为
2()1()X s V s s (3-2)
图3.3 小车位置的单位脉冲响应曲线图
图3.4 小车位置的单位阶跃响应曲线图
由于以上时域分析中所有的传递函数的响应图都是发散的，所以系统不稳定，需要校正。

4 根轨迹法设计
4.1 原系统的根轨迹分析
本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，摆杆角度为输出响应，此前已经得出的传递函数为
26705.00102125.002725.0)()()(222-=-+=Φs mgl s ml I ml s V s
(4-1)
运行结果： 闭环零点z =Empty matrix: 0-by-1
闭环极点p =5.1136 -5.1136
图4.1 原系统根轨迹曲线图
可以看出，系统无零点，有两个极点，并且有一个极点为正。

画出系统闭环
传递函数的根轨迹如图2-6，可以看出闭环传递函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左跑到位于原点的零点处，这意味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即系统总是不稳定的。

4.2 串联超前校正装置设计
对此系统设计控制器，使得校正后系统的要求如下：
调整时间：
0.5(2%)s t s =； 最大超调量：
%
10%≤p σ
4.2.1确定闭环期望极点的位置 由最大超调量 2(/1)10%p e ζζπ
σ--=≤
(4.2)
4.2 闭环主导极点所在的极坐标图
在此我们对超调量留有一定余量，令 %5%p σ= 可以得到：0.687710ζ= 由cos ζθ=可以得到：
0.812466θ= (弧度)
其中β为位于第二象限的极点和O 点的连线与实轴负方向的夹角。

又由：40.5s n
t s ςω=
≤
对调节时间留有一定余量，令4
0.5s n
t s ςω=≤ (±2%的误差带)
取其为0.2s ，可以得到：
29.067500n ω=，于是可以得到期望的闭环主导极
点为：
(cos sin )n j ωθθ-+
代入数据后，可得期望的闭环主导极点为：
1,2 19.990010 21.102584
S j =-±
4.2.2 超前校正传递函数设计
未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上，不通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前校正，设控制器为：
1
()(1)1c c
s z Ts K s Ts s p α
αα++==≤++ (4-3)
4.2.3 校正参数计算
计算超前校正装置应提供的相角，已知期望的闭环主导极点和系统原来的极点的相角和为：
2
11() 4.624226
d i i G s S P ==--=-∑ (4-4)
因此校正装置提供的相角为：
3.14(
4.624226) 1.482633φ=---=
(4-5)
又已知 0.812466θ=
对于最大的α值的γ角度可由下式计算得到：
1
=
() 0.4232462
γπθφ--= (4-6)
j ω
S
γ
θ
σ
p Z c
Z
O
图4.3直线一级倒立摆根轨迹计算图
由于角度都已求出，线段SO 的长度即为自然频率的大小，故可用正弦定理计算，求出超前校正装置的零点和极点（正弦定理） 分别为：
p = -66.835473z
c z = -12.641783
4.2.4 超前校正控制器 校正后系统的开环传递函数为：
20.02725(12.641783)
()0.01021250.2670566.835473K s G s s s +=
-+ (4-7)
由幅值条件()()1d d G s H s =，并设反馈为单位反馈，所以有K=729.65 对相应参数保留五位有效值，于是我们得到了系统的控制器：
729.65(12.642)
()66.835c s G s s +=
+
(4.8)
4.2.5 matlab 环境下串联超前校正后的根轨迹图
在 MATLAB 中编写如下的m 文件,对系统进行仿真,运行即可以得到以上的计算结果，校正后系统的跟轨迹如下图所示：
图4.4 串联超前校正后系统的根轨迹图
从图4.4中可以看出，系统的三条根轨迹都有位于左半平面的部分，选取适当的 K 就可以稳定系统。

4.2.6 simulink环境下对串联超前校正的仿真
图4.5 串联超前校正simulink流程图
图4.6 串联超前校正后的阶跃响应曲线
4.3 串联滞后-超前校正装置设计
4.3.1 控制器的设计
可以看出，系统在0.5s 的时间内可以稳定，响应比较迅速，超调比较小。

为使系统满足相应的要求，减少稳态误差，在超前校正的基础上可以引入滞后校正装置。

滞后校正的传递函数采用
2
2 ()
0.1
s
Gc s
s +
=
+(4-9) 则此时总的超前-滞后校正传递函数为
22729.65(12.642)()()0.166.835s s Gc s Gc s s s ++=
++ (4-10)
4.3.2 simulink 环境下对串联超前校正的仿真
图4.7 串联滞后-超前校正simulink 流程图
图4.8 串联超前校正后的阶跃响应曲线
由上图可以看出，加入滞后环节中超调量增加不是很大，但是稳态误差已经明显减少了,所以说串联滞后-超前装置对于改善系统性能来说作用比较理想
5 频域法设计
5.1 系统频域响应分析
系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。

在频率响应方法中，在一定范
围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。

频率响应可以采用以下两种方法进行分析：一种为伯德图，采用两幅分离图，一幅表示幅频特性，一幅表示相频特性；另一种是奈奎斯特图，表示的是当ω从0 变化到无穷大时，向量()G j ω 的矢端轨迹。

奈奎斯稳定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝对稳定性和相对稳定性。

根据式（2-17）我们已经得到了直线一级倒立摆的数学模型，实际系统的开环传递函数为：
()()20.02725
0.01021250.26705
s V s s Φ=
-
其中输入为小车的加速度()V S ,输出为摆杆的角速度()S φ。

利用Matlab 绘制系统的Bode 图（图5.1）和Nyquist 图（图5.2）如下。

图 5.1 直线一级倒立摆系统的Bode 图
图 5.2 直线一级倒立摆系统的Nyquist 图
由4.1节中的计算可知：系统不存在零点，但存在两个极点，其中一个极点位于S 平面的右半部分。

根据奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件是：当ω由-∞→+∞变化时， ()()G j ωH j ω曲线逆时针包围[]GH 平面上()-1,j0点的次数R 等于开环传递函数右极点个数P 。

对于直线一级倒立摆，由图5-1和
图5-2我们可以看出，开环传递函数在S 右半平面有一个极点。

因此，
()()G j ωH j ω曲线逆时针包围()-1,j0点的次数R=1。

而本系统的奈奎斯特图并没有逆时针包围
()-1,j0点一圈即1R ≠。

因此系统不稳定，需要设计控制器来稳定系统。

5.2 频域法控制器设计
直线一级倒立摆的频率响应设计可以表示为如下问题： 考虑一个单位负反馈系统，其开环传递函数为：
()()2
0.02725
0.01021250.26705
s V s s Φ=-
设计控制器()c G s ，使得系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为50，增益
裕量等于或大于10dB 。

5.2.1 控制器的选择
根据图5-1和图5-2可以初步观察出，给系统增加一个超前校正就可以满足设计要求，设超前校正装置为：
()1
111c c c
s Ts T G s K K Ts s T
ααα++==++ （5-1）
则已校正系统具有开环传递函数()()c G s G s ，设
()()12
0.027250.0102125-0.26705
K
G s KG s s ⨯==
（5-2）
其中c K K α=。

5.2.2 系统开环增益的计算
根据稳态误差要求计算增益K
()()2001
0.02725lim lim 1010.010215-0.26705
p c c s s s T K G s G s K s s T
α→→+
==⨯=+ (53)-
可以得到：
98c K K α==
（5-4）
于是有：
120.0272598
()0.01021250.26705
G s s ⨯=
-
（5-5）
5.2.3 校正装置的频率分析
利用MATLAB画出()1G s的Bode图和Nyquist图，如图5.3、图5.4所示。

图5.3 校正装置的Bode图
图5.4 校正装置的Nyquist图
可以看出，系统的相位裕量为0︒。

根据设计要求，系统的相位裕量为50︒，
因此需要增加的相位裕量为50︒，增加超前校正装置会改变 Bode 图的幅值曲
线，这时增益交界频率会向右移动，必须对增益交界频率增加所造成的()G j ω的相位滞后增量进行补偿。

因此，假设需要的最大相位超前量为55º。

由
（5-6）
计算可以得到α值：
5.2.4 控制器转折频域和截止频域的求解
确定了衰减系统，就可以确定超前校正装置的转角频率1T ω=和1T ωα=，可以看出，最大相位超前角m φ
发生在两个转角频率的几何中心上，即1/T ωα=，在1/T ωα=点上，由于包含(Ts +1) /(αTs +1)项，所以幅值的变化为：
1ω=(T α)11+j
1+j ωT
1α==1+j ωT 1+j αα
又因为1120lg ()20lg
10.5700G j ωα==分贝，并且()120lg 10.5700G j ω=分贝对应于rad/s 因此我们选择此频率作为新的截止频率c ω，这一
频率相应于)T (1c α=ω，即 )T (1c α=ω 于是求得
=89.8944
（5-7）
（5-8）5.2.5 校正装置的确定
由式（5-8）可以确定校正装置为：
（5-9）利用Matlab绘制校正后系统的Bode图和Nyquist图，如下图所示。

图5.5 校正后系统的Bode图
图 5.6 校正后系统的Nyquist 图
从图5-5中可以看出，系统具有要求的相角裕量和幅值裕量；从图5-6中
可以看出，曲线绕()1,0j -点逆时针一圈R=1，与校正后系统开环传递函数右极点个数P=1相等，即R=P 。

因此，校正后的系统稳定，校正后系统的单位阶跃响应如图5.7，单位脉冲响应如图5.8。

图 5.7 校正后系统的单位阶跃响应
图 5.8 校正后系统的单位脉冲响应
从图5-7和图5-8可以看出，系统在遇到干扰后，在1秒内可以达到新的
平衡，但是超调量比较大。

换而言之，系统存在一定的稳态误差，为使系统获得快速响应特性，又可以
得到良好的静态精度，可以采用滞后－超前校正（通过应用滞后－超前校正，低频增益增大，稳态精度提高，又可以增加系统的带宽和稳定性裕量）。

5.3
控制器改进
从上图可知，超前校正后系统仍然存在一定的稳态误差，可以考虑采用滞后
-超前校正，设滞后-超前控制器为：
12111()()()1()()c c s s T T G s K s s T T ββ++=++ （5-10）
根据滞后-超前控制器思想，利用MATLAB 编程（源程序见附录二）求得
结果如下：最优校正方案的串联滞后-超前校正环节的极点为：z =2；最优校正方案的串联滞后-超前校正环节的零点为：p =0.1988。

最优校正方案的滞后-超前校正后的开环传递函数为：
（5-11）由于-2零点和－0.1988极点比较接近，所以该零点对相角裕度影响等不是很大，滞后-超前校正后的系统Bode 图和Nyquist图分别如图5.9、图5.10所
示：
图5.9 最优校正后系统的Bode图
图5.10 最优校正后系统的Nyquist图
滞后-超前单位脉冲响应曲线和单位阶跃响应曲线如图5.11、图5.12所示：
图5.11 最优校正后系统的单位阶跃响应
图5.12 最优校正后系统的单位脉冲响应
可见，系统性能有了一定提高，基本满足设计要求。

6 PID控制设计
6.1 PID简介
PID控制器又称PID调节器，是工业过程控制系统中常用的有源校正装置，目前应用比较广泛的主要有电子式PID控制器和气动式PID控制器。

在自控原理中，经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型。

但是很多场合下，不能也没有必要对控制系统建立精确的数学模型，这种情况下PID控制器的优势得以显现：结构简单，容易调节，且不需要对系统建立精确的模型，在控制上应用较广。

6.2 PID 控制设计分析
我们注意到，PID 控制器设计之初并不需要对被控系统进行精确的分析。

为
了突出PID 控制的这一优势，我们采用实验的方法对系统进行控制器参数的设
置，即在Matlab 中利用Simulink 仿真测试来确定PID 控制器的参数。

其系统结构框图如下所示
()f s v
=(
r s
图 6.1 PID 控制结构图
由于()0r s =，为了方便查看我们将上图进行转换，转换结果如下。

()f s =()
s
图 6.2 PID 控制等效结构图
该图更加方便我们理解PID 控制器的作用，系统的输出为
()()()()()()()()1()()()()()()1()()
num G s num denPID den y s F s F s F s numPID num G s PID s denPID den numPID num denPID den ===+++ 其中各个参数的含义如下：
::PID ::PID num numPID den denPID 被控对象传递函数分子项
控制器传递函数分子项
被控对象传递函数分母项
控制器传递函数分母项
通过分析上式便可以评价PID 控制器控制的效果，进而得出系统性能的相关指标。

主要依据图像所反映出系统性能的欠缺进行有针对性的调节，其中P 反映误差信号的瞬时值大小，改变快速性；I 反映误差信号的累计值，改变准确性；D 反映误差信号的变化趋势，改变平稳性。

6.3 PID 控制器的参数测定
通过刚刚的分析，我们已经得出了PID 控制系统的传递函数如式（6-1）。

2
13()c K G s K K s s =++ （6-1）
在Simulink 环境中建立PID 控制模型，之后可以根据6.2中提到的控制
规律进行参数选取，进而求得合适的参数。

图 6.3 PID 控制系统仿真
双击PID 控制器，选择参数进行仿真。

经过多次参数选取，得到了比较合
适的参数，如图6.4。

图6.4 PID参数选择仿真结果如图6.5，图6.6所示。

图6.5 小车位移
图6.6 摆杆角度
控制效果比较理想，PID 控制器的传递函数为
450()41040c G s s s =++ （6-2）
此外，还可以通过在根轨迹中增加零极点，借助SISO 工具进行PID 控制
器的参数的选择。

由于此前已经叙述过该过程，在此不做赘述。

7 总结与体会
本次设计主要是通过利用频率法的方法对直线一级倒立摆进行校正（不包括
起摆程序），通过此次课程设计我不仅更加熟练掌握了利用MATLAB 在自动控制领域的应用，对设计的控制器进行仿真，观察仿真的Bode 图和奈奎斯特图是否符合我的设计要求。

而且通过实际的控制应用使我对在课堂上学到的知识有了更深的理解。

在课程设计过程中，培养了自己的独立创新、刻苦钻研以及编程能力，为今后的学习工作打下了良好的基础，这些都是在课堂上学不到的。

通过此次完整的完成设计，使我受益匪浅。

第一、学会了如何运用自己所学的知识结合实际进行综合的设计，以培养
自己独立的进行设计的技能。

第二、要学会如何利用网络及重大的网上数字图书馆检索设计所需的文献资
料，在使用中学习，在学习中提高。

这一点很重要，不仅扩宽了我们的知识面，而且培养了对庞大的资料库进行有用信息的检索能力和处理能力。

第三、此次实验报告共29页，通过这样的形式提高了我们课程设计报告撰
写水平，提高了我们书面表达能力。

也为今后很好的表达自己的思想打下了良好
的基础。

第四、本次设计令我收获最多的就是掌握了MATLIB在自动控制领域的强大功能，它可以利用你输入的函数直观的绘制出伯德图和奈奎斯特图进行判断我们设计的控制器是否符合要求，还可以将设计的传递函数进行仿真，通过曲线反映出此函数的校正能力。

这对今后的学习和工作有很大的帮助。

最后，通过此次课程设计是我懂得了自动控制理论这门课的强大生命力，以前上课的时候总是感觉过于枯燥乏味，但是这次设计让我彻底的改变了想法，让我有了作为一名自动化人的自豪和骄傲。

也使我明白了只有在应用中才能真正的体现出他的价值来。

特别是当今社会的飞速发展，时代对自动控制理论的要求也越来越高了。

我们一定要在大学这个人生的黄金学习时间里更好的学会如何利用网络和图书馆拓展我们的知识，通过实践来弥补能力上的不足，通过课程设计培养自己的各方面的能力，为我们以后的工作打下了坚实的基础。

8 参考文献
[1] 涂植英，陈今润.自动控制原理.重庆:重庆大学出版社,2005
[2] 胡寿松.自动控制原理.北京:科学出版社,2001
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