1-1 映射与函数
高等数学上册1.1 映射与函数
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.
X
定义域
D =X
第一节 映射与函数
()
()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.
Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.
高一数学第二单元1：映射与函数(附答案)
高一（上）数学单元同步练习及期末试题（三）（第三单元 映射与函数）[重点难点]1． 了解映射的概念及表示方法，能识别集合A 与B 之间的一种对应是不是从集合A 到集合B 的映射；了解一一映射的概念。
2． 理解函数的概念，明确确定函数的三个要素；掌握函数的三种表示方法；理解函数的定义域、函数值和值域的意义，会求某些函数的定义域、函数值和简单函数的值域。
3． 理解函数的单调性和奇偶性的概念；掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程。
4． 了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系；会求一些简单函数的反函数。
一、选择题1．已知集合P={40≤≤x x }，Q={20≤≤y y }，下列不表示从P 到Q 的映射是（ ）（A ）f ∶x →y=21x （B ）f ∶x →y=x 31 （C ）f ∶x →y=x 32（D ）f ∶x →y=x2.下列命题中正确的是( )(A)若M={整数},N={正奇数},则一定不能建立一个从集合M 到集合N 的映射(B)若集合A 是无限集,集合B 是有限集,则一定不能建立一个从集合A 到集合B 的映射 (C)若集合A={a},B={1,2},则从集合A 到集合B 只能建立一个映射 (D)若集合A={1，2}，B={a},则从集合A 到集合B 只能建立一个映射3．集合A={x R x x ∈≠,1}⋃{x R x x ∈≠,2},集合B=（-∞，-1）⋃（1，2）⋃（2，+∞），则A 、B 之间的关系是（ ） （A ）A=B （B ）A ⊆B （C ）A ⊇B （D ）A ⊂B 4．下列函数中图像完全相同的是（ ） （A ）y=x 与y=2x （B ）y=xx 与0x y = （C ）y=(x )2与y=x （D ）y=)1)(1(11-+=-⋅+x x y x x 与 5.f(x)是一次函数且2f(1)+3f(2)=3,2f(－1)－f(0)=-1,则f(x)等于（ ）（A ）9194+x （B ）36x －9 （C ）9194-x （D ）9-36x 6.若f(x)=21x x+，则下列等式成立的是（ ）（A ）f()()1x f x= （B ）f(x 1)=-f(x)（C ）f(x 1)=)(1x f （D ）)(1)1(x f x f -= 7.函数y=2122--+-+x x xx的定义域是（ ） （A ）-21-≤≤x （B ）-21≤≤x （C ）x>2 （D ）x 1≠ 8.函数y=122+-x x 的值域是（ ）（A ）[0，+∞] （B ）（0，+∞） （C ）（-∞，+∞） （D ）[1，+∞ ]9．下列四个命题（1）f(x)=x x -+-12有意义;(2)函数是其定义域到值域的映射;(3)函数y=2x(x N ∈)的图像是一直线；（4）函数y=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0,0,22x x x x 的图像是抛物线，其中正确的命题个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）410．已知g(x)=1-2x,f[g(x)]=)0(122≠-x xx ,则f(21)等于（ ） （A ）1 （B ）3 （C ）15 （D ）3011．下列函数中值域是R +的是（ ）（A ）y=132+-x x （B ）y=2x+1(x>0) （C ）y=x 2+x+1 （D ）y=112-x12.若函数y=f(x)的定义域为（0，2），则函数y=f(-2x)的定义域是（ ） （A ）（0，2） （B ）（-1，0） （C ）（-4，0） （D ）（0，4） 13．函数y=13+-+x x 的值域是（ ）(A)(0,2］ (B)[-2,0] (C)[-2,2] (D)(-2,2) 14.下列函数中在（-∞，0）上单调递减的是（ ） （A ）y ＝1-x x （B ）y=1-x 2（C ）y=x 2+x （D ）y=-x -115．设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0，+∞）上为增函数，则f(-2),f(-π)、f(3)的大小顺序是（ ）（A ）f(-π)>f(3)>f(-2) （B ）f(-π)>f(-2)>f(3) （C ）f(-π)<f(3)<f(-2) （D ）f(-π)<f(-2)<f(3)16.函数y=xx ++-1912是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）非奇非偶数17．函数y=4(x+3)2-4的图像可以看作由函数y=4(x-3)2+4的图象，经过下列的平移得到（ ） （A ）向右平移6，再向下平移8 （B ）向左平移6，再向下平移8 （C ）向右平移6，再向上平移8 （D ）向左平移6，再向上平移818．若函数f(x)=x 2+bx+c 对任意的实数t,都有f(2+t)=f(2-t),那么（ ） （A ）f(2)<f(1)<f(4) （B ）f(1)<f(2)<f(4) （C ）f(2)<f(4)<f(1) （D ）f(4)<f(2)<f(1)19.f(x)=x 5+ax 3+bx-8且f(-2)=0，则f(2)等于（ ） （A ）-16 （B ）-18 （C ）-10 （D ）10 20．命题（1）y=R x d cx b ax ∈++(且x c d -≠)与y=)(cax R x a cx b dx ≠∈-+-且互为反函数；（2）函数y=f(x)的定义域为A ，值域为C ，若其存在反函数，则f 必是A 到C 上的一一映射；（3）偶函数一定没有反函数；（4）f(x)与f -1（x ）有相同的单调性，其中正确命题的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题1．若一次函数f(x)的定义域为[-3，2]，值域为[2，7]，那么f(x)= 。
1-1 映射与函数
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
微分学
导数
分析 引论
微分
极限
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
切线、法平面 、梯度…
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
函数的特性
1．有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K 1 , 使得 f ( x ) K 1 对任一 x X 都成立 y 则称函数f (x)在X上有上界
K 1 称为函数f (x)在X上的一个上界
类似可以定义函数f (x)在X上有下界
o
x
函数的特性
1．有界性
映射，这个映射称为映射g和f 构成的复合映射，记作
即：
Y1
注 （1）映射g和f 构成复合映射的条件： （2） 映射g和f 的复合是有顺序的
例题 例1 写出下列映射的定义域和值域，并回答如下问题： （1）映射f 是否单射？是否满射？ （2）若存在逆映射，求出逆映射 1. 设
对每个
2. 设映射f 将平面上的一个圆心在原点单位圆周上的点
（3） 映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称
X
非空集X 非空集X 实数集X
f
X上的泛函 X上的变换
Y
数集Y 非空集X 实数集Y
X上的函数
概念
集 合 区 邻 间 域
映 射
构造
逆映射
函 数
逆映射
湘教版高中数学必修一课件1-2-1对应、映射和函数必修1
预习测评
1． 下列从集合A到集合B的对应f是映射的是( )． A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值 答案 A
2．下列各组函数表示同一函数的是 A．y＝xx2－－39与 y＝x＋3
自学导引
1．映射的定义：设A，B是两个__非__空_的集合，如果按照某种 对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都 有_唯__一__元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B 的_映__射__，记作__f_：__A_→__B_． 在映射f：A→B中，集合A叫作映射的__定__义__域__，与A中元 素x对应的B中的元素y叫x的_象__(image)，记作y＝f(x)G，x 叫作y的_原__象__(inverseimage)．
解 (1)对于任意一个非零实数 x，2x被 x 唯一确定，所以当 x
≠0 时，x→2x是函数，这个函数也可以表示为 f(x)＝2x(x≠0)．
(2)当x＝4时，y2＝4，得y＝2或y＝－2，不是有唯一值和x对 应，所以，x→y(y2＝x)不是函数． (3)是函数，满足函数的定义，在A中任取一个值，B中有唯 一确定的值和它对应． 点评 1.判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A、B， 一个对应关系f，A中任一对B中唯一(即多对一或一对一)． 2．函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否 具有函数关系，只要检验： (1)变量x的取值集合和两变量x、y的对应关系是否给出； (2)根据给出的对应关系，自变量x在其取值集合中的每一个 值，是否都有唯一确定的值y与之对应．
高中数学课件
《高等数学》第一节：映射与函数
[
, ] 2 2
y
y tan x 定义域 (,) y x 值域 ( 2 , 2 ) 2 y arctan x
2
2
0
2
x
| arctanx |
定义域 (,)
2
2
y
y x
0
2
y arc cot x x
x
shx e e 双曲正切 thx x chx e e x 反双曲正切
1 1 x y arthx ln . 2 1 x
(3)非初等函数 狄利克雷函数、 取整函数、 分段函数等
练习
[ x] (1) f ( x )定义域为 (0,1)，求 g( x ) f ( )的定义域 . x D { x R | x 1且x 2,3,}.
cos
,
(2)初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
例3：双曲函数与反双曲函数 双曲函数 反双曲函数
e x e x 双曲正弦 shx 2 e x e x 双曲余弦 chx 2
x
反双曲正弦 y arshx ln( x x 2 1) 反双曲余弦 y archx ln( x x 2 1)
高 等 数 学
研究对象 研究内容 研究工具
上册 极限
一元函数 微分学与积分学 函数 微分方程 空间解析几何与向量代数 多元函数 微分学与积分学 下册 无穷级数
高 等 数 学
应用
用哪个？ 条件？
不合条件， 改造！
高数0101映射与函数
U (a , ) { x a x a } (a , a ).
a
a
o
a
x
点a的去心邻域, 记作 U (a , ) { x 0 x a }.
a
左 邻域 :
a
a
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
分段点 连结点
三、函数的几何特性
1 函数的有界性:
设X D, 若M 0, 使得对 x X , 有 f ( x ) M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界, 否则称无界. 上界, 下界
y M y=f(x) o x 有界 X M y
求反函数的步骤
y f ( x) x f 1 ( y) y f 1 ( x).
2 反函数、复合函数
反函数 复合函数 设有函数链 y f (u ), u D1 ① ②
且 g ( D) D 1
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 g ( D) D 1 不可少.
• 函数的表示方法: 公式法 表格法 图示法
单值函数与多值函数：
已知x 2 y 2 1表示xoy坐标平面上的单位圆 , 由方程x 2 y 2 1可解出 y 1 x 2
问y与x的关系怎么称呼?
按定义, 函数是单值函数， 类似地, 称此处y与x处的关系为多值函数．
单值函数与多值函数： 如果给定一个法则，当自变量在定义域内 任取一个数值时，对应的函数值不总是唯一的， 称这种法则确定了一个多值函数．
例如, 函数链 : y arcsinu , 可定义复合函数
高数课件-映射与函数
义的一切实数组成的合集，这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下，一
般的用算是表达的函数可用“y=∱（x）”表达，而不必再出Df。
例如，函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1，1 ，函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
（-1，1）。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公 式法）。其中，用图形法表下）的像，并记作∱（χ）,即
y=∱（χ）, 而元素χ称为元素y（在映射∱下）的一个原像；集合X称为映射∱的定义域，记作Df， 即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射∱的值域，记作Rf或者∱（χ），即
Rf=∱(X)= f(x) I χ∈X
在上述映射的定义中，需要注意的是：
映 射
与
主讲人： 日期 :
函 数
第一节 映射与函数
映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一 种。本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等。
一.映射
1.映射概念 定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则∱，使得对X中的每个元素χ，按法则∱， 在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称∱为从X到Y的映射，记作
由复合映射的定义可知，映射ℊ和∱构成复合映射的条件是：ℊ的值域Rg必须包含 在∱的定义域内，即Rg⊂Df,否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射ℊ和∱的复 合是有顺序的，∱∘ℊ有意义并不表示ℊ∘∱也有意义。即使∱∘ℊ与ℊ∘∱都有意义，复合映 射∱∘ℊ与ℊ∘∱也未必相同。
例4
设有映射ℊ：R→ -1，1 ，对每个x∈R，ℊ（x)=sinx；映射∱： -1，1 → 0，1 ， 对每个 u∈ -1，1 ，∱（u)= 1- u2,则映射ℊ和∱构成的复合映射∱∘ℊ：R→ 0，1
1-1函数与映射
在[1，+ ]，有界；在(0, 1)无界。
2019年12月24日星期二
蚌埠学院 高等数学
18
2）单调性
设函数 f (x)的定义域为D, 区间I D,
如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2, 当 x1 x2时,
恒有 (1) f (x1) f (x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调增加的 ;
蚌埠学院 高等数学
21
设D关于原点对称 , 对于x D, 有
f (x) f (x) 称 f (x)为奇函数 ;
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
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4）周期性 设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的
y sin x2 y u u sin v v x2
或 y u u sin x 注：不是任何函数都可以复合成一个函数。 如： y u 与 u sin x 不能进行复合。
2019年12月24日星期二
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4. 函数的运算
和、差、积、商。 注：只有具备公共定义域的函数才能运算 。
y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
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3）奇偶性
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
映射、对应和函数1
中都有唯一的元素和它对应.
8
四.映射与函数的联系和区别
映射、对应和函数 2019/4/29
映射:
设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,
对A中的任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y
与x对应,则称f是集合A到集合B的映射。
记作 f: A → B 函数： 设集合A是一个非空的数集，对A内任意数x，按
如果A、B是非空数集，那么A到B 的映射f:A B 就叫做A到B的函数
记作： y=f(x)
函数是一种特殊的映射
10
映射、对应和函数
例3：在下列对应中、哪些是映射、那些映射是20函19/4数/29 、
那些不是？为什么？
（1）设A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，对应关系：
f(x)=2x+1,x∈A .
设A,B是两个非空集合,如果按照 某种对应法则f,对A中的任意一个 元素x,在B中有且仅有一个元素y与 x对应,则称f是集合A到集合B的映 射.
这时, X称作y的原象,y称作是x在映射f的作
用的象,记作f(x), 于是
y=f(x).
映射f也可记为:
f: A →B
X → f(x)
4
二、对概念的认识
映射、对应和函数 2019/4/29
照 确定的法则f，都有唯一确定的数值y与它应，则这 种对应关系叫做集合A上的一个函数。
记作 y=f(x),x∈A
联系：都是从A到B 的单值对应 区别：构成函数的两个集合必须是数集，而构成映射的两个集
合可以是其它集合
9
四.映射和函数的联系和区别
映射、对应和函数 2019/4/29
因此还可以用映射的概念来定义函数：
教学设计1第2课时映射与函数
教学设计1第2课时映射与函数一、教学内容本节课的教学内容来自小学数学教材《数学》的第七章第一节，主要内容包括映射与函数的概念、特点和运用。
具体内容有：1. 映射的概念：介绍映射是一种数学关系，是一种从一种数学对象到另一种数学对象的规则。
2. 函数的概念：介绍函数是一种特殊的映射，具有输入和输出的关系，每个输入都对应一个唯一的输出。
3. 映射与函数的特点：介绍映射和函数的单射、满射和一一对应的特性。
4. 映射与函数的运用：介绍如何运用映射和函数解决实际问题，如坐标系中的点与坐标的对应关系。
二、教学目标1. 学生能够理解映射和函数的概念，掌握它们的基本性质。
2. 学生能够运用映射和函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 学生能够培养逻辑思维能力，提高对数学概念的理解和运用能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：映射和函数的概念及其性质的理解和运用。
2. 教学重点：掌握映射和函数的概念，能够运用映射和函数解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2. 学具：教材、练习本、铅笔、橡皮。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实际例子，如地图上的位置对应关系，引导学生思考数学中的映射和函数概念。
2. 概念讲解：讲解映射和函数的概念，引导学生理解映射和函数的基本性质。
3. 例题讲解：通过具体的例题，解释映射和函数的概念及其运用。
4. 随堂练习：学生独立完成随堂练习，巩固映射和函数的概念。
5. 小组讨论：学生分组讨论如何运用映射和函数解决实际问题，分享解题思路。
7. 课后作业：布置相关的作业题目，让学生进一步巩固映射和函数的概念。
六、板书设计板书设计如下：映射与函数1. 映射的概念：数学关系，从一种数学对象到另一种数学对象的规则。
2. 函数的概念：特殊的映射，具有输入和输出的关系，每个输入都对应一个唯一的输出。
3. 映射与函数的特性：单射、满射、一一对应。
4. 映射与函数的运用：解决实际问题，如坐标系中的点与坐标的对应关系。
一、函数与映射的基本概念
一、函数与映射的基本概念一、基本概念1．函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称这样的对应“f :A →B ”为从集合A 到B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合C={y|y = f （x ）,x ∈A }叫做函数的值域)(B C ⊆. 函数符号y =f (x )表示“y 是x 的函数”，或简记为f (x )．这里的“f ”即对应法则，它确定了y 与x 的对应关系．从函数概念看，“定义域、值域和对应法则”是构成函数的三个要素，其中，“定义域和对应法则”是两个关键性要素，定义域和对应法则一旦确定，函数的值域也随之确定．2、对应法则是指y 与x 的对应关系，它含有两层意思，一是对应的过程（形式），即由x 求出y 的运算过程，一般体现在函数的解析表达式中；二是运算的结果（本质），即y 的值，两个对应法则是否相同，要看对于同一个自变量的值所得到的函数值是否相同，有时形式上不同的对应法则本质上是相同的。
例如：x x x y x y ++=+=22cos sin 1与的对应法则是相同的。
3、同一个函数两个函数当且仅当定义域和对应法则二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件．4、变换字母在函数的定义域及对应法则不变的条件下，用不同的字母表示自变量及对应法则，这对于函数本身并无影响，比如f （x ）=x 2+1，g （t ）= t 2+1，都表示同一函数.5、区间及其表示方法．区间是数学中常用的表示数集的术语与符号．设b a R b a <∈,、，规定闭区间: [a ，b ]={}b x a x ≤≤|，开区间:（a ，b ）={}b x a x <<|， 半开半闭区间:（a ，b ]={}b x a x ≤<|，[a ，b ）={}b x a x <≤|． 其中a 、b 分别为区间的左端点、右端点，b -a 为区间长度．符号+∞读作正无穷大，﹣∞读作负无穷大，它们都不是一个具体的数． 用+∞或-∞作为区间的端点，表示无穷区间，并且只能用开区间的形式． 如：{}a x x a >=+∞|),(，{}}|),(b x x b <=-∞，R =+∞-∞),(6．映射的概念：映射是两个集合间的一种特殊的对应关系，即若按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任一元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A 、B 和对应法则f ）就叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ．在映射f ：A →B 中，若A 中元素a 与B 中元素b 对应，则b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象．因而，映射可以理解为“使A 中任一元素在B 中都有唯一象”的特殊对应（即单值对应）．如果映射f ：A →B 满足①A 中不同元素在B 中有不同的象；②B 中任一元素均有原象，那么这个映射就是A 到B 上的一一映射．7、映射与函数的关系函数是映射，但映射不一定是函数。
高数1-1映射与函数
则称函数 f ( x )在区间 I上是单调增加的 ;
y
y = f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 D , 区间I ∈ D ,
为单射, 则存在一新映射 其中
f (D )
y = f −1(x) , x∈ f (D )
例如, 映射 其逆映射为
(2) 复合映射 引例.
D 1
D
手电筒
D 2
D 复合映射
定义. 设有映射链
u = g(x)∈g(D ) ∀x∈D ∀u∈D 1 ) 则当 g(D ⊂D 时, 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复 1
{ x a < x < b} 称为开区间 称为开区间,
o a b 称为闭区间, { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间 o a
记作 (a , b )
x 记作 [a , b] x
b
称为半开区间, { x a ≤ x < b} 称为半开区间
记作 [a , b ) 记作 (a , b]
{ x a < x ≤ b} 称为半开区间 称为半开区间,
定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 定义 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应 , 则 称 f 为从 X 到 Y 的映射 记作 f : X →Y. 映射, 映射
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y = f (x). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; 定义域 Y 的子集 f (X) ={ f (x) x∈X } 称为 f 的 值域 . 注意: 注意 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
高等数学1-1映射与函数
A : y 1 cos 2x ，y 2 cos x
B: y
1 x 1 x
，y
1 x 1 x
C:y
2x
, y 1 x 1 x
1 x 1 x
D : y ln x2, y 2 ln x
EX2
下列函数能否复合为函数 y f [g( x)]，
称为由函数y与u构成的复合函数,它的定义域为D, 变量u称为中间变量.
讨论： 函数
何时可复合？ຫໍສະໝຸດ 可得复合函数显然 不能构成复合函数 .
复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
例如 y cot x , 2
（1）基本初等函数：幂函数,指数函数,对数函数, 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
一、集合
1.集合概念 P1-2 2.集合的运算
定义 给定两个集合 A, B,
并集
或
定义下列运算:
交集
且
差集
且
余集
3.区间和邻域: 区间—P3-4
邻域-- 设a与是两个实数 , 且 0. 数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
幂函数、指数函数、对数函数 三角函数、反三角函数
（2）初等函数：由常数及基本初等函数经过有 限次四则运算和复合步骤所构成 ,并可用一个 式子表示的函数 ,称为初等函数 .
小结
基本概念 集合, 区间, 邻域 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 复合函数 基本初等函数与初等函数
EX1
g( x)的值域与 f (u) 的定义域之交集是空集.
经典高等数学课件D01-1映射与函数1
几何表示：
oa
b
x
区间长度: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
9
类似的有：
闭区间: [a,b] {x | a x b};a [a,b], b[a,b].
oa
b
x
半开区间：(a,b] {x | a x b} 和 [a,b) {x | a x b};
a0
绝对值不等式:
x a (a 0) a x a;
常用数学符号： , , , , max, min
x a (a 0) x a 或 x a; a b a b a b .
14
二、映射:
定义: 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应, 则称
19
(4)定义域及其求法：有实际背景的函数要考虑实际意义； 对于抽象地用算式表达的函数通常约定这种函数 的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围. (自然定义域) 在这个约定下,表示函数时,不必写出 D,只用y f ( x)表示函数，如y 1 x2
1)分式函数：分母不等于零的自变量的值. 2)开偶次方：2n u(x), 须使u( x) 0；
即U(a, ) {x x a δ} {x a δ x a δ} (a δ,a δ).
(2)几何意义:
δ
aδ
a
aδ x
o
(3)点a的去心的
0
邻域：记作：U
(a
,
)或U
0 δ
(a
).
U(a, ) {x 0 x a δ} (a δ,a) (a,a δ)
a的左 邻域(a , a) ； a的右 邻域(a, a )
1-1映射与函数
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(3)常用的集合记号 常用的集合记号 集合 A∗ :集合 内排除 的集 集合A内排除 的集. 集合 内排除0的集 集合A +:集合 内排除0与负数的集 集合B内排除 与负数的集. 集合 内排除 与负数的集 N={全体自然数}，Z={全体整数}， ={全体自然数 ={全体整数 ={全体自然数} ={全体整数} Q={全体有理数}，R={全体实数}. ={全体有理数 ={全体实数 ={全体有理数} ={全体实数}. (4) 集合的关系 则称A是 的子集 的子集， ⊂ 如果 x ∈ A ，必有x ∈ B ,则称 是B的子集，记为 A⊂ B. 则称A与B相等 相等, 若 A ⊂ B ，且 B ⊂ A ,则称A与B相等,记为 A = B . 则称A是 的真子集 的真子集, 若 A ⊂ B ，且 A ≠ B ,则称 是B的真子集,记为 A ⊂ B . ≠ 不含任何元素的集合，则称为空集记为 不含任何元素的集合，则称为空集记为Φ. Φ是任何集合的 空集记为 是任何集合的 子集. 子集
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2 例1 设 f : R → R , 对每个x ∈ R , f ( x ) = x . 显然, 是一个映射, 显然 f 是一个映射 f 的定义域 Df = R ,值域 Rf = y y ≥ 0 , 值域
( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
（3）分配律 ( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) ）
(A∩B) ∪C = (A∪C) ∩(B∪C)
( A ∪ B ) C = AC ∩ B C （4）对偶律 ） ( A ∩ B ) C = AC ∪ B C
2.1.1映射与函数2教案学生版
第2课时映射与函数【学习要求】1.了解映射、一一映射的概念；2.初步了解映射与函数间的关系；3.会判定一些对应关系是不是映射、一一映射．【学法指导】通过对教材上实例的研究，引入映射的概念. 通过映射与函数的对比，加深对函数概念的理解，进一步体会特殊与一般的辩证关系.填一填：知识要点、记下疑难点1.映射的概念设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x 称作y的原象．2.映射的定义域、值域集合A到B的映射f可记为f：A→B或x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)．3.一一映射的概念如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射 .4.函数与映射的关系由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，特殊在构成函数的两个集合A、B 必须是数集.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 大家想一想，如果我们都没有名字了，这个世界将会怎样？一个人可以有小名，有笔名，有外号，有学名，是一人多名，也可能是多人一名，但为了便于管理，政府部门规定，每人只能有一个法定的名字，这样，每个人都有了唯一确定的身份证上的名字，人与名字的关系是居民集合到声音符号集合的一种确定的对应．在数学里，把这种集合到集合的确定性的对应说成映射．探究点一映射的概念及应用问题1 初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例，你能举出几个？问题3 数轴上的点集与实数集R，通过怎样的法则构成一种对应？问题4函数关系实质上是两个集合之间的一种对应关系，这两个集合有什么特点？问题5 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的两集合中的元素之间的对应关系，即映射．你能给映射下个定义吗？问题6 映射与函数存在怎样的关系？例1 在下面的图(1)(2)(3)中，用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则，试判断由A 到B 是不是映射？是不是函数关系？跟踪训练1 以下给出的对应是不是从集合A 到集合B 的映射？(1)集合A ＝{P|P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ＝{(x ，y)|x∈R，y∈R}，对应法则f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(2)集合A ＝{x|x 是三角形}，集合B ＝{x|x 是圆}，对应法则f ：每一个三角形都对应它的内切圆；(3)集合A ＝{x|x 是新华中学的班级}，集合B ＝{x|x 是新华中学的学生}，对应法则f ：每一个班级都对应班里的学生．例2 已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y)|x ，y∈R}，f ：A→B 是从A 到B 的映射，f ：x→(x＋1，x 2＋1)，求A 中元素2的象和B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54的原象．跟踪训练2 已知f ：A→B 是映射，且f ：(x ，y)→(x＋y ，xy)，则(－2,3)在f 作用下对应B 中的元素是________，则________________在f 作用下对应B 中的元素是(2，－3)．探究点二 一 一 映射的概念问题1 根据映射的定义，说出在探究点一的问题2、问题3中，是什么集合到什么集合的映射？问题2 对于“数轴上的点集”到“实数集R”的映射，除满足对于点集中的任意一个点在R 中都有唯一的实数与之对应外，还同时满足对于R 中任意一个实数在点集中也有唯一的点与之对应，我们称这个映射为一一映射．那么，如何定义一一映射？例3 已知A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，且n∈N＋，f：x→y＝px＋q是从A到B的一个一一映射，已知1的象是4,7的原象是2，求p，q，m，n的值．跟踪训练3 下列映射是不是A到B上的一一映射？为什么？练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是( )2.已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素是A中元素在映射f：A→B下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是 ( )A．4 B．5 C．6 D．73.设集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,9,25,49,81,100}，下面的对应法则f能构成A到B的映射的是 ( ) A．f：x→(2x－1)2 B．f：x→(2x－3)2C．f：x→x2－2x－1 D．f：x→(x－1)24.集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有________个．课堂小结：1.判断对应是否是集合A到集合B的映射，首先应看A中的每一个元素是否都在B中有且有唯一的象，对于映射f：A→B，A中元素与B中元素的对应关系，可以是一对一，多对一，但不能一对多．2.函数、映射与对应的关系可用下面的图形形象的表示。
高等数学 第六版 1-1函数
x1 , x2 R ,
f ( x1 ) f ( x1 x2 ) < x1 x1 x2 f ( x2 ) f ( x1 x2 ) < x2 x1 x2
f ( x) L.
注:(1)界是不惟一的; (2)上述定义中的“≤”与“≥”可去掉等号． (3)可定义函数在定义域D的某子集上有(无)界的定义．
1 1 例4. 证明函数 f ( x) sin 在(0,1]上无界. (P42第7题) x x 1 证: M 0, 取 x , （M ] 1 2 [ ） 而 f ( x) [ M ] 1 ＞M , 所以f (x)在(0,1]上无界. （ ） 2
狄里克雷函数
1, 0,
x 为有理数 x 为无理数
例6. 证明函数f(x)=xcosx不是周期函数. (P22 13(4)) 证: 设T(>0)是函数的周期， 则f(x+T)= f(x)
即(x+T)cos(x+T) =xcosx 令x=0得, TcosT=0,得cosT=0.矛盾,所以f(x)不是周期函数．
(1) (2)
即
f ( x1 )( x1 x2 )< x1 f ( x1 x2 )
(1)′
(2)′ f ( x2 )( x1 x2 )< x2 f ( x1 x2 ) 两式相加得 [ f ( x1 ) f ( x2 )]( x1 x2 )< ( x1 x2 ) f ( x1 x2 ) 约去 x1 x2 得: f ( x1 ) f ( x2 )< f ( x1 x2 ). (3) 奇偶性 (定义略) 例5. 证明定义在(-a,a)上的函数f(x),必定可以表示为奇函 数与偶函数的和. 证: 设 f ( x) 表示成(-a,a)上的奇函数g(x)与偶函数h(x)的和 即 f ( x) g ( x) h( x) 解得 h( x) 1 [ f ( x) f ( x)]
同济7版高等数学精品智能课件-第1章-第1节-集合、映射、函数
f : XY，则对每个 (x , y) X，有唯一确定的(x , 0) Y 与之对应．显然f 是一个映射，定义域 Df = X ，值域 Rf = Y ．在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在 原点的单位圆上的点投影到 x 轴上的区间 [ -1 , 1 ]上．
第一节 映射与函数
注意
(1) 映射 g 和 f 能构成复合映射的条件是：Rg Df . (2) 映射 g 和 f 构成复合映射是有顺序的，f g 有 意义时， g f 可能没意义，即使它们同时都有意义，但 不一定表示同一映射．
三、函数
第一节 映射与函数
1. 函数的概念
定义 设数集合 D R ，则称映射 f : D R为定义 在 D 上的函数，通常简记为
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
对每个
x
π 2
,
π 2
,
f (x) = sin x ．则f 是一个映射，定义域
Df
π 2
,
π 2
,
y
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ．
1
π 2
f (x) = sin x
二、映射
第一节 映射与函数
1. 映射的概念
定义 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应
规则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应,
则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
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例： f ( x ) x 2 在[0, )上单调增加
在 ( , 0]上单调减少 在 ( , )上不是单调的
函数的几种特性
3．函数的奇偶性
设函数f (x) 的定义域D关于原点对称
如果对于任一 x D, f ( x ) f ( x )恒成立
那么称函数f (x)为偶函数
四则运算
函 数
构造 复合映射
构造
基本初等函数
基本初等函数与初等函数
基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次
的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数
否则称为非初等函数
概念
概念 初等函数
逆映射
集 合 区 邻 间 域
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射 若对X中任意两个不同的元素
则称f为X到Y的单射 若映射 f 既是满射又是单射, 则称 f 为一一映射或双射. X f
它们的像
逆映射 若f 是从X到Y的单射，可定义一个从 对每个 规定
到X的新映射g
这x满足
这个映射g称为f的逆映射，记作 注 (1) 只有单射才存在逆映射 (2) 逆映射
1 y f ( x ), x f ( D) y f ( x ), x D 的反函数记成 一般地，
注 (1) f 在D上单调增加（减少），f 1 必定存在
1 且 f 在f (D)上也单调增加（减少）
(2) 函数y=f (x)与其反函数 y f 1 ( x ) 的图形 关于直线y=x对称
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
y
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1 ) f ( x2 )
那么称函数f (x)在区间I上是单调增加的 o 类似可定义函数f (x)在区间I上是单调减少的 x1 x2 x
概念
概念
集 合 区 邻 间 域
映 射
逆映射
反函数 复合函数
四则运算
函 数
构造
构造 复合映射
函数的四则运算
设函数 f , g 的定义域依次为 D1 , D2 D D1 D2 则可以定义这两个函数的下列运算： 和（差） f
g
( f g )( x ) f ( x ) g ( x ), x D
y cos x
y 1
2
y ln arctan( x 2
cos a
x
ye
arctan x2 1
例7
x2 x 0 f ( x) x ( x) ln x e x 0 求 f ( ( x)) 及定义域 上述函数可以复合成 ( f ( x)) 吗
积 f g
( f g )( x ) f ( x ) g ( x ), x D
f f f ( x) 商 , x D \ x | g ( x ) 0 ( x ) g g g( x)
概念
概念 初等函数
逆映射
集 合 区 邻 间 域
映 射
反函数 复合函数
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
y
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1 ) f ( x2 )
那么称函数f (x)在区间I上是单调增加的 o 类似可定义函数f (x)在区间I上是单调减少的 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数 x1 x2 x
x 例：y x x0 x0
x
可表示为 y x 2 , 故为初等函数.
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K 1 , 使得 f ( x ) K1 对任一 x X 都成立 y 那么称函数f (x)在X上有上界
K 1 称(x)在X上有下界
o
x
函数的几种特性
(2) 若函数f (x)在X上有上(下)界，则上(下)界不唯一 例：f ( x )
1 在 (0, 1)内有下界，但没有上界 x 在 (1, 2)内既有下界，也有上界
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在正数M , 使得| f ( x ) | M 对任一 x X 都成立 y 那么称函数f (x)在X上有界 如果这样的 M不存在 即：
Rg D f 注 (1) 函数g 与函数f 构成复合函数 f g 的条件：
(2) 在一定条件下两个以上函数也可构成复合函数. 例： y u , u cot v , v x 2 x y cot D x|2kπ x (2k 1)π, k Z 2
例6 分析下述函数的复合过程
预备知识
逻辑符号 对任意的，对所有的，(Any) 存在一个，（Exist) 充要条件 A是B的充分条件，B是A的必要条件 A是B的充要条件 绝对值不等式
或
第一讲 映射与函数
映 射
特例
函 数
概念
映 射
函 数
映射的概念
定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得 对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，那么称f为从X到Y的映射，记作：y=f (x) f X x y
满射、单射和双射 若f是从集合X到集合Y的映射 若
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射 若对X中任意两个不同的元素
则称f为X到Y的单射 若映射 f 既是满射又是单射, 则称 f 为一一映射或双射. X f Y
它们的像
逆映射
满射、单射和双射 若f是从集合X到集合Y的映射 若
映 射
反函数 复合函数
四则运算
函 数
构造 复合映射
构造
基本初等函数
非初等函数举例
分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示 符号函数 取整函数
1, x 0 y sgn x 0, x 0 1, x 0
y
1
1
o
y
x
注 分段函数不一定就是非初等函数！ 2 1 o 1 2 3 4
1 x Q 狄利克雷函数 f ( x ) C 0 x Q
y
1
o
x
概念
概念
集 合 区 邻 间 域
映 射
逆映射
反函数
函 数
构造
构造 复合映射
反函数
概念 则它存在逆映射 f 1 : f ( D) D 设函数 f : D f ( D) 是单射，
称映射 f 1 为函数f 的反函数.
如果对于任一 x D, f ( x ) f ( x )恒成立 那么称函数f (x)为奇函数
注
偶函数的图形关于y轴对称, 奇函数的图形关于原点对称
函数的几种特性
3．函数的奇偶性 e x e x 例： chx 2 称为双曲余弦函数
e x e x shx 2 称为双曲正弦函数
M 0, x1 X , 使 | f ( x1 ) | M
就称函数f (x)在X上无界 注 函数f (x)在X上有界 函数f (x)在X上既有上界，又有下界 例： f ( x ) sin x 在 ( , )内有界，f ( x )
o
x
1 在 (0, 1)内无界 x
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K 1 , 使得 f ( x ) K1 对任一 x X 都成立 y 那么称函数f (x)在X上有上界
K 1 称为函数f (x)在X上的一个上界
类似可以定义函数f (x)在X上有下界
o
x
注 (1) 有界性的概念须明确数集 X D
函数的要素
1．定义域 (1) 定义域是非空的数集 (2) 定义域的求法： 使表达式有意义的自变量的集合. 例3 求函数 f ( x ) ln( 4 x 3) arcsin( 2 x 1) 的定义域 2．对应法则
解析法 表格法 图象法 (1) 表示法：
(2) 解析式的理解：一系列的运算程序
例题 例1 写出下列映射的定义域和值域，并回答如下问题： (1) 映射f 是否单射？是否满射？ (2) 若存在逆映射，求出逆映射 1. 设
对每个
2. 设映射f 将平面上的一个圆心在原点单位圆周上的点
投影到x轴的区间 3. 设 对每个 上
例2 设有映射 映射
对每个 对每个
求复合映射
概念
概念
Y
原像
定义域
像 值域
注 定义域、值域的范围、对应法则； （1） 映射的三要素：
（2） 映射的像唯一，但原像不一定唯一； （3） 映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称
X
非空集X 非空集X
f
X上的泛函 X上的变换
Y
数集Y 非空集X 实数集Y
实数集X
X上的函数
概念
集 合 区 邻 间 域
映 射
的定义域 值域
概念
集 合 区 邻 间 域
映 射
逆映射
函 数
构造 复合映射
复合映射
定义 设有两个映射 其中 则由映射g和f 可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个 映成 这个对应法则确定了一个从X到Z的
映射，这个映射称为映射g和f 构成的复合映射，记作
即：
Y1
注 (1) 映射g和f 构成复合映射的条件： (2) 映射g和f 的复合是有顺序的