第三讲 二次函数与几何变换计算 (教师版)

年九年级·十一短期课
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数学第3讲
知识点一：
二次函数平移型：平移型的函数数形结合需要将运动对象集中在某一个函数上，例如
2y ax bx c =++向上平移m 个单位，y=kx b +向右平移n 个单位，可以看作是一次函数y kx b =+向右平移n 个单位且向下平移m 个单位。

知识点二：
二次函数翻折型： 这种类型翻折通常采取两种考法：① 根据题意直接沿平行于x 轴的
直线翻折；② 通过绝对值符号，如2y ax bx c =++达到的翻折。

对应翻折后的曲线解析式通常为翻折前解析式的相反数。

解题步骤：① 根据题意画出对应类型的函数图形；② 针对类似y kx b =+的直线，先画出
y kx =的直线，再将该直线上下平移；③通常所要求的界限值出现在特殊点时或者直线与抛物线相切时。

数形结合与平移
二次函数与几何变换
知识导读
数形结合与平移、翻折有关
典型例题
【例1】如图，抛物线2286y x x =-+-与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y=x+m 与C 1、C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A ． ﹣2＜m ＜18
B ． ﹣3＜m ＜﹣7
4
C ． ﹣3＜m ＜﹣2
D ． ﹣3＜m ＜﹣
15
8
【答案】D
【巩固】【2017鄂州】已知正方形ABCD 中A （1，1）、B （1，2）、C （2，2）、D （2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m 个单位（m ＞0）与正方形ABCD 的边（包括四个顶点）有交点，则m 的取值范围是__________． 【答案】28m ≤≤
【变式】【2016-2017梅苑9月月考】若关于x 的方程2
20x x t +-=（t 为实数）
在23x -≤≤范围内有解，则t 的范围为__________．
【答案】115t -≤≤
【例2】【2016·新观察四调模拟4】抛物线y ＝x 2－2x －3向左平移n 个单位（n ＞0），平移后y 随x 增大而增大的部分为P ，直线y ＝－3x －3向下平移n 个单位．当平移后的直线与P 有公共点时，则n 的范围为__________． 【答案】1n ≥
【答案】7010
k <≤
【答案】15
3 8
m
<<
（2）已知抛物线y1＝1
4
(x－x1)(x－x2)交x轴于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且点A在点B
的左边，直线y2＝2x＋t经过点A．若函数y＝y1＋y2的图象与x轴只有一个公共点，则线段AB的长为___________.
【答案】8
数形结合与翻折
典型例题
【例1】【2016·新观察四调模拟2】已知二次函数y ＝x 2－2x －3的图象与x 轴相交于A 、B 两点，点A 在点B 的左侧，其顶点为M ．将此二次函数图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当直线y ＝x ＋n 与此图象有且只有两个公共点时，则n 的取值范围为__________． 【答案】13
4
n >或31n -<<
【巩固】（1）如图，直线y=-4
3
x+4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标__________．
【答案】(7,3)
【变式】（1）对于函数y x-3=通常采取的方式是将y x-3=函数x 轴下方的图像沿x 轴翻到
上方。

将21y -x 2x 42=++的函数图像记为P ，直线1y x n 2=+与图像P 有且只有三个交点，
则n 的取值为__________． 【答案】1或
338
（2）【2015-2016梅苑】已知抛物线y=x 2-2x+a 的图象与x 轴的两个不同交点与原点的距离之和不超过4，则a 的取值范围为__________． 【答案】31a -<≤
【例1】【2016·勤学早四调模拟4】已知函数22
(1)1(3)(5)1(3)x x y x x ⎧--<⎪
=⎨--≥⎪⎩
，点P(a ，ka)在该函数的图象上．若这样的点P 恰好有三个，则k 的值为__________．
【答案】1
【巩固】已知函数222(0)
2(0)x x x y x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩
，将此函数的图象记为P ．若直线y ＝x ＋b 与图形P
恰有两个公共点，则b 的值为__________． 【答案】
1
4
【变式】（1）【2016~2017蔡甸区月考】在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′）.给出如下定义：若(0)
(0)y x y y x ⎧'=⎨
-<⎩
≥，则称点Q 为点P 的“可控变点” . 如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（-1，3）的“可控变点”为点（-1，-3）.
① 若点（-1，-2）是一次函数y=x+3图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为____________.
②若点P 在函数216y x =-+（5x a -≤≤）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y ′的取值
数形结合与分段函数
典型例题
范围是1616y '-≤，则实数a 的取值范围是_________________.
③已知函数2145y x x =--，21y k =+，12y y =有两解，求k 取值范围__________．
【例1】对于a 、b 、c 三个数中，最大数记作max{a ，b ，c}，22112112x ,x max(,x ),x x
x x x ⎧=⎨⎩≥≥，则
}{
2max 2,y x x =--的最小值为__________．
【答案】0
【巩固】 【2016·武汉四调】我们把a 、b 两个数中较小的数记作min{a ，b}，直线y ＝kx －k －2（k ＜0）与函数y ＝min{x 2－1，－x ＋1}的图象有且只有2个交点，则k 的取值为__________．
【答案】2-5
3
-或1-
【例2】对于a 、b 、c 三个数中，最大数记作max{a ，b ，c}，例如21,2=23⎧⎫
-⎨⎬⎭⎩
，，若直线
1
2
y x k =-+与函数}{
2y max 1,3,23x x x x =+--++的图像有且只有两个交点，则k 的取值
条件为__________．
数形结合与新定义
模块三 典型例题
【答案】7316
k <
【巩固】对于a 、b 、c 三个数中，最小数记作min{a ，b ，c}，,min(a,b),a a b
b a b ⎧=⎨
⎩
≤≥，则 {}2min 52,2y x x x =--的最大值为__________．
【答案】3
【例3】【2016年元月调考】我们把a 、b 、c 三个数的中位数记作mid|a ，b ，c|，直线y ＝kx ＋
1
2
（k ＞0）与函数y ＝mid|x 2－1，x ＋1，－x ＋1|的图象有且只有2个交点，则k 的取值范围为__________． 【答案】
1524k <<或5142
k -<<-
【巩固】【2016-2017C 组联盟期中】设二次函数y 1=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（a≠0，x 1≠x 2）的图象与一次函数y 2=dx+e （d≠0）的图象交于点（x 1，0），若函数y=y 1+y 2的图象与x 轴仅有一个交点，则（ ）
A ． a （x 1﹣x 2）2=d
B a （x 1+x 2）2=d ．
C ．a （x 1﹣x 2）=d
D ． a （x 2﹣x 1）=d 【答案】D
【解析】21()y d x x =-
21221121(d )y y y ax ax ax x ax x dx =+=+--+-
当1x x =时，0y = 所以21
12d ax ax x a
---
=
化简得21()a x x d -=
【变式】（1）我们把x 的非负数记作{}abs x ，直线2y kx k =+与函数2{23}y abs x x =--的图像有且只有2个公共点，则k 的取值范围为________________． 【答案】0k ≥
（2）【16年江汉中考模拟】对于平面直角坐标系中任意两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），称|x 1-x 2|+|y 1-y 2|为P 1、P 2两点的直角距离，记作：d （P 1，P 2）．P 0（2，-3）是一定点，Q （x ，y ）是直线y =kx+b 上的一动点，称d （P 0，Q ）的最小值为P 0到直线y=kx+b 的直角距离．若P （a ，-3）到直线y=x+1的直角距离为6，则a= __________． ． 【答案】2或-10 【解析】设Q （m,m+1） 3=1
6m a m -+⎧⎪⎨
-=⎪⎩
或3(m 1)6a m =⎧⎪⎨--+=⎪⎩ 解得24a m =⎧⎨=-⎩或104a m =-⎧⎨=-⎩
或2
2a m =⎧⎨=⎩或1010a m =-⎧⎨=-⎩
所以210a =-或
【例1】【2014~2015江汉区期中】在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋(k －1)x －k 与直线y ＝kx ＋1交于A 、B 两点，点A 在点B 的左侧. ①当k ＝1时，直接写出A 、B 两点的坐标.
②抛物线y ＝x 2＋(k －1)x －k （k ＞0）与x 轴交于点C 、D 两点（点C 在点D 的左侧），将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，得到如图2所示的图形，若直线y ＝kx ＋1与这个图形只有两个公共点，请求出此时k 的取值范围.
【答案】①A(-1，0) B(2，3)
②3
04k <<
【解析】C(-k,0) D(1,0) 翻折后y=-x 2-(k-1)x-k
联立2(2k 1)x 10k +-+-=△=x
二次函数几何变换计算
典型例题
34k =-或34
所以3
04
k <<
【巩固】【2015～2016江汉区】如图，已知抛物线经过A （1，0），C （0，4）两点，交x 轴于另一点B ，其对称轴是X=﹣1.5． ①求抛物线对应的函数关系式；
②点D 在抛物线上，连接BD 交y 轴于点E ，连接AE ，若AE ⊥BD ，求点D 的坐标； ③将△AOC 绕坐标平内一点Q(n ，2)旋转180°后得到△A´O´C´（点A 、C 的对应点分别为A´、C´)，当△A´O´C´的三条边与抛物线共有两个公共点时，求n 的取值范围．
【答案】①y=-(x+1.5)2
+6.25②D(1.5,-2.75)③21n -<<-或17032
n << ②设E(0，m)由222AE BE AB += m=2或-2 当m=2时
()212
2 1.5 6.25
y x y x ⎧
=+⎪⎨
⎪=-++⎩
所以 1.52.25x y =⎧⎨=⎩或4
0x y =-⎧⎨=⎩
当m=-2时
()2122 1.5 6.25y x y x ⎧=--⎪⎨
⎪=-++⎩
0.52.25x y =⎧⎨
=⎩或4
0x y =-⎧⎨=⎩
所以D(1.5，-2.75)
【变式】（1）【2016-2017C 组联盟】期中如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：
22y ax bx a =+-关于y 轴对称且有最小值1-.
①求抛物线C 1的解析式；
②在图1中抛物线C 1顶点为A ，将抛物线C 1绕 点B 旋转180°后得到抛物线C 2，直线y=kx ﹣2k+4总经过一定点M ，若过定点M 的直线与抛物线C 2只有一个公共点，求直线l 的解析式．
③如图2，先将抛物线 C 1向上平移使其顶点在原点O ，再将其顶点沿直线y=x 平移得到抛物线C 3，设抛物线C 3与直线y=x 交于C 、D 两点，求线段CD 的长；
【答案】①21y x =-
②4y =+-
4y =-++
【解析】②2(2)1
24
y x y kx k ⎧=--+⎨
=-+⎩ 2=120k -=△
k =±③韦达定理
22(m 1)0x x m m -+++=
2
1
C D C D
x x m x x m m +=+⎧⎪⎨=+⎪⎩ 所以
C D x -=
【题1】已知函数()()222020x x x y x x x ⎧-+⎪=⎨-<⎪⎩
≥，将此函数的图像记为P ，若直线y=x+b 与图像P
恰
有两个公共点，则b 的值为__________ 【答案】14
【题2】令a 、b 、c 三个数中最大数记作max{a ，b ，c}，直线1
2
y x t =
+，与函数y ＝max{－x 2＋4，x －2，－x －2}的图象有且只有3个公共点，则t 的值为__________ 【答案】1或6516
【题3】已知, A(－1, 7), B(2, 1), 若抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2＋1
2
m 和线段AB 只有唯一公共点, 则满足条件的m 的值是__________． 【答案】125
【题4】定义符号min[a ，b]的含义为：当a≥b 时，min[a ，b]＝b ；当a ＜b 时，min[a ，b]＝a ，如min[1，－2]＝－2，min[－1，2]＝－1．已知当1
2
-≤x≤2时，min[x 2－2 x －3，k(x －1)]＝
x 2－2 x －3，则k 的取值范围是__________． 【答案】736
k -<<
【题5】定义函数f （x ），当x≤3时，f （x ）=x 2﹣2x ，当x ＞3时，f （x ）=x 2﹣10x+24，若方程f （x ）=2x+m 有且只有两个实数解，则m 的取值范围为__________． 【答案】4m -≥
【题6】直线1
2y kx =+（k ＞0）与函数()
()()
21212212x x y x x x x +⎧⎪=+-<<⎨⎪
-+⎩≥≤的图象有且仅有2个交点，则
k 的取值范围是__________．
【答案】
112k <≤或5=4
k
【题7】当－1≤x≤2时，函数y ＝2x 2－4ax ＋a 2＋2a ＋2有最小值为－1，则a 的所有可能的值为__________． 【答案】-1，-5
【解析】当1a -≤，1x =-
2min 64y a a =++
当12a -<<，x a =
2min 22y a a =-++
当2a ≥，2x =
2min 610y a a =-+
又因为min =1y - 所以1a =-或5-
【题8】【2016年九年级元调模拟】如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴的交点C ， 且A （1，0），C （0，3），OB ＝OC ． （1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E 是第二象限抛物线上的一个动点，连接BE 、CE ，求四边形ABEC 面积的最大
值，并写出此时点E 的坐标；
（3）点P 在抛物线的对称轴上，将线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点A′恰好落在此抛物线上，求点P 的坐标．
【答案】①223y x x =--+②
31524
（-，-）③P （-1，-2）或P(-1，-1) 【解析】②过E 做EF ⊥X 轴于F ，令E(t,-t 2-2t+3)
ABCE BEF AOC CEFO S S S S =++△△
23375
(t )228
=-++
当32t =-时，75
8MAX S = 则E 315
24
（-，-）
③令P （-1，t ）
`A PD △≌PAM △
所以A`(-1+t,t+2) 将点A`代入抛物线 t=-2或1
【题9】【2016~2017二十五中】如图 ，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a≠0）交x 轴于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），交y 轴正半轴于点C ，且OC ＝3OA.
(1) 求此抛物线的解析式. (2) 设点P 的坐标为(t ，1)，将线段AP 绕点P 逆时针旋转90°得线段PA 1．若A 1在抛物线上，求点P 的坐标.
(3) 设点P 的坐标为(m ，n)，将线段AP 绕点P 逆时针旋转90°得线段PA 2．若A 2在抛物线上，求n 的取值范围
.
【答案】①223y x x =-++②
P 12⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭1
或12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
1③25
8n ≤ 【解析】②
AMP △≌1PNA △
()11,A t t +-
将A 1代入抛物线
t =
③同理可得1(m n,n m 1)A +--代入
22(23)40m n m n n +-+--=只需使m 有解即可
所以0≥△
258
n ≤。