留数在定积分计算中的应用

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留数定理在定积分中的应用

留数定理在定积分中的应用摘要留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文介绍留数定义和留数定理以及一些改进的留数计算方法，并讨论了留数理论在定积分计算中的应用。

关键词留数定理；定积分；应用1．留数定义定理及其他一些定理1．1 留数的定义设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓΓ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z as f z =．1．2 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D 是由复周线012C C C C --=+++…nC -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰．定理1 []1（留数定理）设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分）()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．2．留数定理在计算积分中的应用2．1 形如()20cos ,sin f x x dx π⎰型的积分这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。

§5.3—留数在定积分计算中的应用

0
π
dx 2 ( a 0). a sin x
8
§ 5.3
例2
π
留数在定积分中的应用
计算
0
π
dx 2 ( a 0). a sin x
π dx dx 1 π d2 x 解： 0 2 a sin x 0 a 1 cos 2 x 2 0 a 1 cos 2 x 2 2 令 2x t,
留数，从而简化计算.
1
主要内容：
一、形如二、形如
0 R(cos , sin )d R( x )dx

2π
三、形如
R( x )e aixdx (a 0)
四、小结与思考
2
§ 5.3
2π
留数在定积分中的应用
一、形如 0 R(cos , sin )d 的积分
z1. .
CR
zk 都包在这积分路线内.此时
R
.
0
.
R
x
C R 与 R, R 一起构成封闭曲线C , R(z)在C及其
内部(除去有限孤立奇点）处处解析. 根据留数定理得 :
R R( x )dx C
R
R
R( z )dz 2π i Res[R( z ), zk ],
此式不因 C R 的半径 R 不断增大而有所改变.
18
§ 5.3
因为
留数在定积分中的应用
1 z
z
mn
R( z )

1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m
1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m
1

18_留数在定积分计算上的应用

由于
i z i z e |e | 1 y R s i n d z d s e d s e d C C C 0 R z R |z | R R
2 e
所以
R s i n 2 0

d 2 e
R (2 / ) 2 0

R d ( 1 e ) . R
2 0 i
为 s i n 和 c o s 的有理函数，令 z e , 则 d z i e d ,
i
2 2 1 z 1 1 z 1 i i i i s i n ( e e ) , c o s ( e e ) . 2 i 2 i z 2i 2 z
l l l2 的一部分。实积分要变为闭路积分， 1 则实函数必须解析延拓到复平面上包含闭路的一个区域中,让实积分成为闭路积分的一部分：
a
0
l1
b
z ) dz x ) dx z ) dz f( f( f(
l a l 2
b
1 . 形如 ( c o s, s i n ) d ，其中 R ( c o s, s i n ) R
d x 例2 计算 I , 0 1 c o s 2 x

的值. 0 1
解：令
2 x , d 2 d x ; x : 0 , : 0 2
2 d 1 1 d z / i z 1 d z I 1 2 01 zz 2 c o s 2 i z 2 z z 1 z 1 1 2
z 在上半平面内有一级极点ai, 2 2 z a
解:这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的.R(z)

留数在定积分计算中的应用

留数在定积分计算中的应用
作者：何裕平
来源：《科技风》2019年第25期
摘要：将留数定理应用在定积分计算中是一種较新的计算方法，能够将实积分转变为复积分，降低计算难度和繁琐程度，保证计算效率。

本文将结合具体立体，对留数定理在定积分计算中的应用进行分析。

关键词：定积分;反常积分;函数
留数定理由柯西积分定理及公式推广而来，可被用于解析函数中，某闭曲线路径积分的计算，也能在实积分的计算中使用。

这一计算过程就被称为围道积分法。

计算过程中，将实积分转变为复积分，根据留数定理，再将其转换为对留数的计算，化简整个过程。

留数在定积分计算中的应用需要满足以下条件：被积函数必须和某个解析函数相关，且该定积分能够被转换成沿闭路的积分。

下面将结合具体例题，分析留数定理的应用。

参考文献：
[1]朱传喜.复变函数与积分变换.江西高校出版社.
[2]钟玉泉.复变函数论.高等教育出版社.
作者简介：何裕平（1965-），男，汉族，硕士，高级讲师，研究方向：数学。

留数定理

5! z0
5!
[方法三] 用洛朗展开式求c-1就比较方便，因为
z
- sin z6
z
1 z6
z
-
z
-
1 z3 3!
1 z5 5!
-
1 3!z3
-
1 5!z
.
所以
Res
z
- sin z6
z
,
0
c-1
-
1 5!
考虑：多值函数的留数计算。
四、无穷远点的留数及计算方法
1. 定义：设函数f (z)在圆环域R<|z|<内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线，则积分
3）如果z0是f (z)的极点, 则可以利用以下的规则：
（极点留数的计算规则）
规则1 如果z0为f (z)的一级极点, 则
Res[
f
(z),
z0
]
lim (z
zz0
-
z0
)
f
(z)
规则2 如果z0为f (z)的m级极点，则
Res[
f
(z),
z0 ]
1 (m -1)!
lim
zz0
d m-1 d z m-1
[( z
-
z0 )m
f
(z)]
规则3
设 f (z) P(z)
Q(z)
,
P(z)及Q(z)在z0都解析, 如
果P(z0)0, Q(z0)=0, Q’(z0)0, 则z0为f(z)的一级极
点, 且
Res[
f
( z ),
z0
]
P(z0 ) Q(z0 )
注意规则3的应用条件
例1:
Res[

留数在定积分计算上的应用

2
f z dz 2 i Re s f z , z k 其中C为单位圆： z 1 正向.
C k 1
n
zk k 1,2,, n 为包含在C内的f(z)的孤立奇点.
f(z)为z的有理函数,且在C上分母不为零,满足留数定理的条件,而
例1 计算I
为了使积分路线不通过奇点,取图示路线。
按照柯西-古萨基本定理,有
e e e e C R z dz R x dx Cr z dz r x dx 0
r R
iz
ix
iz
ix
从而上式中
r e R ix
ix e R r e r e dx ，令 x t，则 R dt r dx R x t x
0

i Re sRz , zk
1 R x dx R x dx 2
应用公式 R x dx 2 i Re sRz , zk 要注意:

(1) R(x)中分母的次数至少比分子的次数高二次.并且R(z)在实轴上没有孤立奇点. (2)zk是 R(z)所有的在上半平面内的奇点. 2 x dx .a 0, b 0的值。例2 计算积分 I 2 2 2 2 x a x b [解] 这里 m 4, n 2, m n 2， z2 并且实轴上Rz 2 z a 2 z 2 b 2 没有孤立奇点,因此积分是存在的。
aRsin e d 0
2 ay e ds z

aR
2 2
0
2 1 e aR aR

y 1

2
y
2

留数在定积分计算中的应用

p]

lim
z p
(
z

p)
1 z4 2iz2(1 pz)(z

p)
因此

1 2ip2 (1
p4 p2
, )
I

2π
i
1 p2 2ip2

1 2ip2 (1
p2 p2 )

2π 1
p2 p2
.
例2
计算
π
0
1

dx sin 2
. x
解
π
0
1

dx sin 2
x

π
0
1

1
dx cos
2x

0π 2

d2 x 1 cos
2
x
2
令 2x t,

02 π
3
dt cos
t
1

z 1
3

(z2
1)
dz 2z 2

6
z

. 1
极点为 : z1 3 2 2
z2 3 2 2
CR Q(z)

0
P(R ei Q( R
)iR ei ei )
d
;
由于分母Q(z)的次数比分子P(z)的次数至少高两次,则
zP(z) 0, 当z 时. 即 Q(z)
P( R ei )R ei Q(R ei )
0,
当z

R 时.
从而
R :
R(z)dz 0 ;
m ema. 4a
注意以上两型积分中被积函数中的R(z)在实轴

留数在定积分计算中的应用

3
§5.3 留数在定积分计算中的应用
第五章 P120 例5.24
留解由 1 2 p cos p2 (1 p)2 2 p(1 cos ) 及 0 p 1,
数及
可知被积函数的分母不为零，因而积分是有意义的。
其应
(1) 令 z ei ,
用
则 d d z , cos z z1 ,
在上半平面内， i 为一阶极点，
数
及其
eiaz
Res[ f (z) , i ] 2z
ea
. 2i
应
z i
用
(2)
e ia x
ea
x2 1 dx 2 πi 2i
πea,
0
cos a x x2 1
dx
πea
2
;
同理
0
cos b x x2 1
iz
2
cos 2 ei2 ei2 z2 z2 ,
2
2
4
§5.3 留数在定积分计算中的应用
第
五
章
留
数
解
(2)
I
| z|1
z2 z2 2

1
2
p
z
1
z 1

p2
dz iz
及
2
其应用
| z|1
1 z4 2i z2(1 pz)(z
及
其应
(3)

x2
x cos 2x
x
10
dx

π 3
e3 (cos1 3sin1);
用

x2

第五章留数留数在定积分计算中的应用

个有界区域，函数 f(z) 在 D 内除有限个孤立
奇点 z1 , z2 ,..., zn外处处解析. C是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线,那么我们有：
n

C
f ( z )dz 2i Res[ f理的基本思想
D
zn C3 Cn z1 z2
z3
C1
显然，函数在z0处的留数C1就是积分 1 f ( z )dz 2 i C 的值.
其中，C为函数f ( z )的去心邻域0 z - z0 R 内绕z0的闭曲线，方向为逆时针方向.
注：留数Res[f(z), z0] 与圆C的半径r无关.
二、留数定理
定理 5.1 （留数定理）设 D 是复平面上的一

C
f ( z )dz 0
如果z0是f(z)的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零。
定义5.1 设z0是解析函数f ( z )的孤立奇点，我们把f ( z )在z0处的洛朗展开式中负一次幂项的系数C1称为f ( z )在z0处的留数.记作 Re s[ f ( z ), z0 ]，即 Re s[ f ( z ), z0 ] C-1
求沿闭曲线C积分求C内各孤立奇点处的留数.
三、留数的计算
求函数在孤立奇点处的留数的一般方法 ——将函数在以z0为中心的圆环内展开为洛朗级数，求出级数中C-1(z-z0)-1项的系数C-1
如果z0是可去奇点，则Res[f(z), z0]=0;
如果z0是本性奇点，则往往只能用展开成洛朗
级数的方法来求C-1.
Res[f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z )
z z0
P( z ) lim( z z0 ) z z0 Q ( z ) Q ( z0 ) P( z0 ) / Q '( z0 ).

数学物理方法-5.3 留数在定积分计算上的应用

定积分计算：类型2
形如 R( x)dx 的积分，其中R是有理函数，而且分母至少比分子高2次，R在实轴上没有奇点结论：

R( x)dx 2i Res[ R( z ), zk ]
其中，zk是R(z)在上半平面内的所有极点。
注： 1、不包括无穷远点； 2、R(z)在上半平面内的奇点中只有极点，为什么？
类型3举例
cos x x 2 4 x 5 dx cos x i sin x eix x 2 4 x 5 dx x 2 4 x 5 dx 2i(Res[ f ( z),2 i]) ei ( 2i ) i i Res[ f ( z ),2 i] e 2i (cos 2 sin 2) (2 i 2 i) 2e 2e
定积分计算：类型3
形如
iax R ( x ) e dx, (a 0) 的积分，其中R是有理函数，
而且分母至少比分子高1次，R在实轴上没有奇点。结论：

R( x)eiaxdx 2i Res[ R( z )eiaz , zk ]
其中，zk是R(z)在上半平面内的所有极点。注：（和类型2相比较） 1、要求分母比分子高1次；
类型2举例
2 x 例3： dx 0 1 x4 1 解： 0 R( x)dx R( x)dx i Re s[ R( z ), zk ] 2 3i / 4 z1 ei / 4和 z2 e 位于上半平面，都是1级极点
z3 e5i / 4 , z4 e7i / 4是R( z )位于下半平面内的奇点 z2 z12 Res[ R( z ), z1 ] lim ( z z1 ) 4 z z1 1 z ( z1 z2 )( z1 z3 )( z1 z4 ) 2 z2 z2 Res[ R( z ), z2 ] lim ( z z2 ) 4 z z2 1 z ( z2 z1 )( z2 z3 )( z2 z4 )

第5章2留数定积分计算上的应用

x2
( x2 a2 )( x2 b2 ) d x
解
原式=2
i
{Res[ ( z 2
z2 a2)
(z2
b2 )
, ai ]
z2
Res[ (z2 a2 ) (z2 b2 )
, bi
]}
2
i[
2z
z2 (z2
b2
)
za
i
z 2 (z2 a2)
]
zb i
上半在
平i(面b内2ai的a奇2 点
aa2ib,i
1
z4 2z2 1 d z 的奇点为 0, 1
4i |z|1 z2 (2z2 5z 2)
2
2
[
(
z4 2z2 2z2 5z
1) 2
z0
z4 z2
令2z
2
z
1e
i
,
(4z 5)
z
z2
则 1 ]
21
( 5 3)
sin 2zi
2 44 4
4
2. 设 Q( x) 与 P( x) 为互质多项式， Q( x)的次数比 P( x) 的次数至少高二次
d x 11
0x
2
例7
计算
0
x sin 2 x 1 x4
dx
解
x cos 2x ix sin 1 x4
2x
d
x
x ei2 x d x 1 x4
2
i(Res[1ze
i2z
z4
i
,e 4
]Res[
z ei2z 1 z4
i 3
,e 4
])
) 2 i
1 (4z2
ei2z

留数定理和定积分计算上的应用

R es[ f (z),- 1]}
由规则1, 得
Res[
f
( z ),1]
lim( z
z1
-1)
z ez z2 -1
lim
z1
z ez z 1
e 2
Res[
f
(z), -1]
lim ( z
z-1
1)
z ez z2 -1
lim
z-1
z ez z -1
e-1 2
.
因此
ÑC
z z2
ez -
1
d
z
2πi(e 2
讨论问题：柯西积分定理、柯西积分公式与留数定理的关系如何？
n
f(z)dz2πiRefs(z[),zk]
C
k1
三、留数的计算 1、留数只对孤立奇点而言才有意义。
2、求罗朗级数中c-1(z-z0)-1项的系数c-1。
如果知道奇点的类型, 对求留数可能更有利。 1）如z0是f (z)的可去奇点, 则Res[f (z), z0]=0;
z
z
(
ez z-
1) 2
lim
z 0
(z
ez - 1)2
1.
Resf[(z)1,](2-11)!lzi m1 ddz(z-1)2
留数定理和定积分计算上的应用
§1 留数定理 §2 留数在定积分计算上的应用（一） §3 留数在定积分计算上的应用（二）
§1 留数定理
如果函数f (z)在z0的邻域内解析, 根据柯西积分定理
f (z)dz 0.
C
如果z0为f (z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去
心邻域0<|z-z0|<R内，包含z0的任意一条正向简单闭

留数定理在定积分中的应用

留数定理在定积分中的应用1．留数定义及留数定理1．1 留数的定义设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓΓ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z as f z =．1．2 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D 是由复周线012C C C C --=+++…n C -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰．定理1 []1（留数定理）设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分）()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．（1）证明以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ⋅=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得()()1knk Cf z dz f z dz =Γ=∑⎰⎰，由留数的定义，有()()2Re kkz a f z dz i s f z π=Γ=⎰．特别地，由定义得 ()2Re kkz a f z dz i s π=Γ=⎰，代入（1）式得 ()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．2．留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．2．1 形如()20cos ,sin f x x dx π⎰型的积分这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。

留数在定积分计算中的应用

留数在定积分计算中的应用
0. 一般性陈述
在高等数学以及实际问题中，常常需要计算一些定积分或广义积分，而这些积分中被积函数的原函数，往往不能用初等函数表示出来；有的即使可以求出原函数，但计算也往往比较复杂。利用留数定理，要计算某些类型的定积分或广义积分，只须计算某些解析函数在孤立奇点的留数！！！
关键：如何把计算积分的问题转化成计算留数的问题。
（1）被积函数与某一个解析函数相关联, （2）积分线可化成沿着某个闭路的积分。
2
1. 几种特殊类型的积分
利用留数定理计算定积分或广义积分没有普遍适用的方法，我们只考虑几种特殊类型的积分：
(1) 形如 2R(cos,sin)d的积分(三角有理函 ) 数积分 0
z ai
(z a )z i( a)i2
于是，有
R(x)eixdx2iRse[R(z)eiz,a]i其. 中f (z) R(z)eiz
z2
z a2
eiz.
18
2. 综合举例
例4 计算sinxdx的值
0x
挖洞!
解：因s为 ixn 是偶函 , 数 sixn d ， x1所 s ixn 以 dx
iz
sin1(eiei)z21,co s1(eiei)z21.
2i
2zi
2
2z
（2）积分线可化成沿着某个闭路的积分.
当 :02时z，恰好 |z| 沿 1正向绕. 行一周
于是，有
要求： 1. 圆周无奇点.
2 R(cos,sin)d 0
|z|1R
z2 1 ,
2z
z22 zi1i1zdz
2. 圆内只有有限个孤立奇点.
(2) 形如 R(x)d的 x 积分

14留数在定积分计算上的应用

9
由留数定理:
∫− R R( x )e
+∞
R
aix
dx + ∫ R( z )e dz = 2π i ∑ Res[ R( z )e , zk ]
aiz
aiz
R → +∞ :
∫C
CR
R( z )e aiz dz → 0 .
R
∫−∞ R( x )e
+∞
aix
dx = 2π i ∑ Res[ R( z )e , zk ]
6
取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点
zk 都包在这积分路线内. 这里可补线 C R
(以原点为中心 , R为半径的在上半平面的半圆周)
y
CR
C R 与 [− R, R]一起构成封闭曲线C ,
R(z)在C及其内部(除去有限孤立奇点）处处解析. 根据留数定理得 :
. −R
+∞
0
. R
x
∫− R R( x )dx + ∫C
8
aix ( ) dx (a > 0) 的积分 R x e 三、形如 ∫−∞
+∞
积分存在要求: R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次, 并且R(z)在实轴上无孤立奇点. 同前一型: 补线 C R
C R 与 [− R, R] 一起构成封闭
y . −R
CR
0
. Rx
曲线C ,使R(z)所有的在上半平面内的极点 zk 都包在这积分路线内 .
2 1 z − 1 cosθ = (e iθ + e − iθ ) = z + 1 , 1 iθ − iθ , sinθ = (e − e )= 2 2z 2i 2iz 2

留数定理在定积分当中的应用

一绪论1研究背景及意义留数,也称残数,是指函数在其孤立奇点处的积分. 综观复分析理论的早期发展,这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义. 同时,它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段,通过函数的选取,积分路径的选取等等,求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况,为积分理论的发展奠定了充分的基础[1 ] .1825 年,柯西(Cauchy) 在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中,基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题,并给出了关于留数的定义[2 ] . 随后,柯西进一步发展和完善留数的概念,形成了如下定义[3],若函数f(z)在D（a，r）\｛a｝上全纯，其中r＞0.a为f （z）的孤立奇点，f（z）在a的留数定义为Res（f，a）=柯西所给的这一定义一直沿用到了现在,推广到了微分方程,级数理论及其他一些学科, 并在相关学科中产生了深远影响, 成为一个极其重要的概念. 因而很自然地产生了这样一个问题:柯西为什么要定义这一概念或者说,什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想,揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义.二留数定理2.1 留数的定义如果函数f（z）在点a的邻域K：|z-a|＜R内解析，围线C全含于K（包围a或不包围a），则但如果a是f（z）的孤立奇点，即f（z）在点a的去心邻域K-｛a｝：0<|z-a|<R内解析，围线C是K-｛a｝中包围a的围线，则上式不一定成立，故留数定义如下：定义如果函数f（z）以a为孤立奇点，即f（z）在K-｛a｝：0<|z-a|<R中解析，则积分：|z-a|=称为f（z）在点a处的留数或残数（residue），记作f（z），或简记为Resf（a）或Res（f，a）。

显然，只要，上述积分的数值与的大小无关．2.2 Cauchy 留数定理利用Cauchy 积分定理，可以推出下面关于围线积分的Cauchy 留数定理设函数f（z）在围线或复围线C所围成的区域D中有孤立奇点a1、a2、……、an，，此外f（z）在上解析，则有.利用Cauchy 留数定理，只要算出各孤立奇点处的留数，即可得出围线积分，所以关键在于计算留数．2.3留数的算法设a为f(z)的n阶极点,f(z)=,其中在点a解析，则证：推论 1 设a为f（z）的一阶极点则.推论 2 设a为f（z）的一阶极点, 则.三留数定理的应用3.1用留数定理计算实积分A.计算型积分这里表并且在[0,2π]上连续.若命z=,则,,。

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)
,
I
2
π
i
1 p2 2ip2
1 p4
2ip2
(1
p2)
2π 1
p2 p2
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例2
计算 I
dx ,
0 1 cos 2x
0 1的值.
解：令 2x , d 2dx; x :0 , :0 2
z2 z2
1
dz
1 z4
I |z|1
2
1
2
p
z
z 1
p2
iz
|z|1 2iz2 (1 pz)(z p) dz |z|1 f (z)dz
2
z2 z2
1
1
{
2
1 2 p
z z1 p2
iz
2
z4 1
1
z4 1
1
2iz2 z pz2 p p2z 2iz2 z(1 pz) p(1 pz)
z
| 足够大时)
R(z)d z | R(z) | d s M π R M π 0
CR
CR
R2
R
R
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
因此
R(x)d x 2 πi
Res[R(z), zk ].
如果R( x)为偶函数,
R(x)d x 1
2.
形如 R(x)d x的积分
当被积函数 R(x)是 x 的有理函
数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且 R(x)
在实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的.

留数在积分计算中的应用杨瑛最终版

山西师范大学本科毕业论文留数在积分计算中的应用姓名杨瑛学院数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级12级双学位学号1154050131指导教师籍慧洁答辩日期成绩留数在积分计算中的应用内容摘要积分计算不但是高等数学中的一大主要内容，还是其他学科在处理实际生活问题时需要解决的一大问题。

有的被积函数往往很难求出原函数，这时我们需要用到新的计算积分的方法——留数。

留数是积分计算的又一重要工具，一般的积分计算我们可以采用牛顿—莱布尼茨公式、柯西积分定理、高阶求导公式、换元法等方法，而相对复杂的积分计算则需要采用新的运算方法，而留数及留数理论就起到至关重要的作用。

本文首先，系统的归纳总结了留数在有限奇点及无穷远点处的定义，留数定理及相关理论以及留数的计算方法；其次具体的介绍了留数定理在定积分计算中的应用，主要包括三角函数有理式积分计算、有理函数积分计算、有理函数乘三角函数积分计算、两类特殊的广义积分计算以及利用泊松积分 202π=⎰∞+-dx e x 作辅助函数计算弗莱聂耳积分⎰+∞2cos dx x 及⎰+∞2sin dx x ；最后对本文进行了小结.本文对留数理论的应用进行了分析总结，旨在为解决复杂积分问题提供理论依据，同时也为解决生活实际中的积分问题提供理论方法.【关键词】留数留数定理复积分实积分极点零点广义积分Application of Residue in Regulation CaculatingAbstractIntegral computation is not only the main contents in higher mathematics, or other subjects in dealing with real life need to solve a major problem. Some integrand is often difficult to find out the function, at this moment, we need to use new method for calculating integral residue.Residue is the important tool of integral calculation, the general integral calculation we can use Newton, leibniz formula,Cauchy integral theorem, higher-order derivative formula, change element method and other methods but relatively complex integral calculation requires new methods of operation, so the residue and residue theory will play a crucial role. Summarized in this paper, first of all, the system residue in limited singularity at infinity and place, the definition of residue theorem and the related theory and the method for calculating the residue; Second specific residue theorem is introduced in the application of the definite integral calculation, mainly including trigonometric function rational expression of integral calculation, rational function integral calculation, rational function by trigonometric function integral calculation, the generalized integral calculation of two kinds of special and Poisson integral is used as the auxiliary function calculation the Frensnel integral; Finally, this article has carried on the summary.In this paper, the application of residue theory are analyzed and summarized, aimed to provide theoretical basis for solving the problem of complex integral, as well as provide theoretical method to solve the integral problem in actual life.【Key Words】Residue The residue theorem Complex function integral Real integral The pole Zero Generalized integral目录一、引言 (1)二、留数的定义及相关定理 (1)（一）定义 (1)（二）主要定理及证明 (1)三、留数的求法及应用 (4)（一）留数的求法 (4)（二）应用留数求复积分 (6)四、应用留数计算定积分 (8)（一）三角函数有理式积分 (8)（二）有理函数积分 (9)（三）三角函数乘有理函数积分 (12)（四）两类特殊路径上的广义积分 (15)（五）利用函数2cz e计算积分 (19)五、小结 (21)参考文献 (22)致谢 (23)留数在积分计算中的应用学生姓名：杨瑛指导老师：籍慧洁一、引言积分计算不仅是高等数学的重要内容，也是其他学科在处理实际问题时需要解决的重要问题。

留数在定积分计算中的应用

留数定理在定积分中的应用

§5.3—留数在定积分计算中的应用

18_留数在定积分计算上的应用

留数在定积分计算中的应用

留数定理

留数在定积分计算上的应用

留数在定积分计算中的应用

留数在定积分计算中的应用

第五章 留数 留数在定积分计算中的应用

数学物理方法-5.3 留数在定积分计算上的应用

第5章2留数定积分计算上的应用

留数定理和定积分计算上的应用

留数定理在定积分中的应用

留数在定积分计算中的应用

14留数在定积分计算上的应用

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第五章留数留数在定积分计算中的应用