复变函数课后习题答案(全)
复变函数论第三版课后习题答案
第一章习题解答(一)1.设z ,求z 及Arcz 。
解:由于3i z e π-== 因此1z =,2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±。
2.设121z z =,试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解:由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 因此()64641212222i i i i z z e ee e πππππ--=== 54()146122611222i i i i z e e e z e πππππ+-===。
3.解二项方程440,(0)z a a +=>。
解:12444(),0,1,2,3k i i z a e aek πππ+====。
4.证明2221212122()z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义。
证明:由于2221212122Re()z z z z z z +=++ 2221212122Re()z z z z z z -=+- 因此2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是:平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5.设z 1,z 2,z 3三点适合条件:0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1,z 2,z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的极点。
证 由于1321===z z z ,知321z z z ∆的三个极点均在单位圆上。
因为 33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=因此, 12121-=+z z z z , 又 )())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z , 同理33231=-=-z z z z ,知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
复变函数论第三版课后习题答案解析
第一章习题解答(一)1.设z ,求z 及Arcz 。
解:由于3i z e π-== 所以1z =,2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±L 。
2.设121z z =,试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解:由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。
3.解二项方程440,(0)z a a +=>。
解:12444(),0,1,2,3k ii za e aek πππ+====。
4.证明2221212122()z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义。
证明:由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是:平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5.设z 1,z 2,z 3三点适合条件:0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1,z 2,z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z,知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以, 12121-=+z z z z ,又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ,同理33231=-=-z z z z ,知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
复变函数课后部分答案
3 5 z i, 2 2
.
5 Argz arctan 2k , k 0, 1, 3
2.当x, y等于什么实数时,等式 x 1 i( y 3) 1 i 5 3i 成立。
解: 原式等价于x 1 i( y 3) 2 8i,
由这四个偏导数连续,可知u,v在整个复平面可微;
柯西 黎曼方程在x 0, y 1时成立,
所以f ( z)只在z i点可导,在整个复平面上处处不解析。
知识点7.
课堂练习:
5.若e2z-1 = 1,求z的值。
解:
2 z 1 Ln1 ln1 2k i 2k i,
5.指出下列各题中点z的轨迹,并作图: 1 ) z 2 3i 5;
解: 1 )设z = x+iy,
x iy 2 3) 5,
( x 2) 2 ( y 3) 2 5,
为一圆周: ( x 2)2 ( y 3)2 25;
知识点3.
课堂练习:
2.若(1 i)n (1 i)n , 试求n的值。
解:由已知可得,
n n n n n 2 2 (cos i sin ) 2 (cos i sin ), 4 4 4 4 即 n n n n sin sin 2 k . 4 4 4 4 n 2
解: 1 )函数的奇点是 z 0, z i.
2)函数的奇点是z 1, z i.
exp[exp( i)] exp[cos 1 i sin 1]
ecos1[cos(sin1) i sin(sin1)]
Im{exp[exp(i)]} ecos1 sin(sin1);
复变函数(第四版)课后习题答案
(3 + 4i )(2 − 5i ) = 5
2i
29 , 2
26 ⎡ (3 + 4 i )(2 − 5 i ) ⎤ ⎡ (3 + 4 i )(2 − 5 i ) ⎤ = arg ⎢ Arg ⎢ + 2kπ = 2 arctan − π + 2kπ ⎥ ⎥ 2i 2i 7 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = arctan 26 + (2k − 1)π , 7 k = 0,±1,±2, " .
{
}
{
}
Arg i8 − 4i 21 + i = arg i8 − 4i 21 + i + 2kπ = arg(1 − 3i ) + 2kπ
(
)
(
)
= −arctan3 + 2kπ 2.如果等式 解:由于
k = 0,±1,±2, ".
x + 1 + i(y − 3) = 1 + i 成立,试求实数 x, y 为何值。 5 + 3i x + 1 + i(y − 3) [x + 1 + i(y − 3)](5 − 3i ) = 5 + 3i (5 + 3i )(5 − 3i ) =
2 2
= ( z1 + z2 )( z1 + z2 ) + ( z1 − z2 )( z1 − z2 ) = 2( z1 z1 + z2 z2 )几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。 12.证明下列各题: 1)任何有理分式函数 R ( z ) =
2 2
1 ; 3 + 2i
1 3i (2) − ; i 1− i
复变函数课后部分答案
1 u v . 4
2 2
7.已知映射 z , 求:
3
2)区域0 arg z
解: 2)设z = re ,
3
3
在平面上的像。
i 3 3 3i
i
w (re ) r e ,
3 映成0 arg z .
映射 z 将区域0 arg z
8.下列函数何处可导?何处解析? 1 )f ( z) x2 yi; 3) f ( z) xy 2 ix 2 y;
其实,世上最温暖的语言,“ 不是我爱你,而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇!只有彼此以诚相待,彼此尊重, 相互包容,相互懂得,才能走的更远。 相遇是缘,相守是爱。缘是多么的妙不可言,而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时,错过一世! 择一人深爱,陪一人到老。一路相扶相持,一路心手相牵,一路笑对风雨。在平凡的世界,不求爱的轰轰烈烈;不求誓 言多么美丽;唯愿简单的相处,真心地付出,平淡地相守,才不负最美的人生;不负善良的自己。 人海茫茫,不求人人都能刻骨铭心,但求对人对己问心无愧,无怨无悔足矣。大千世界,与万千人中遇见,只是相识的 开始,只有彼此真心付出,以心交心,以情换情,相知相惜,才能相伴美好的一生,一路同行。 然而,生活不仅是诗和远方,更要面对现实。如果曾经的拥有,不能天长地久,那么就要学会华丽地转身,学会忘记。 忘记该忘记的人,忘记该忘记的事儿,忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合,月有阴晴圆缺。对于离开的人,不必折磨自己脆弱的生命,虚度了美好的朝夕;不必让心灵痛苦不堪, 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪,告诉自己,日子还得继续,谁都不是谁的唯一,相信最美的风景一直在路上。 人生,就是一场修行。你路过我,我忘记你;你有情,他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人,然而事与愿违时, 你越渴望的东西,也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望,就会像肥皂泡一样破灭,只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风,有多少故事留下感动。愿曾经的相遇,无论是锦上添花,还是追悔莫及;无论是青涩年华的懵懂赏 识,还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往,依然如花芬芳四溢,永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实,人生之路的每一段相遇,都是一笔财富,尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上,他们都会丰富你的生命,使 你的生命更充实,更真实;丰盈你的内心,使你的内心更慈悲,更善良。所以生活的美好,缘于一颗善良的心,愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来,愿相亲相爱的人,相濡以沫,同甘共苦,百年好合。愿有情有意的人,不离不弃,相惜相守,共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了,依然是彼此手心里的宝,感恩一路有你!
复变函数课后部分习题解答
1.2求下列各式的值。
〔1<3-i>5 解:3-i=2[cos< -30°>+isin<-30°>]=2[cos30°- isin30°] <3-i>5=25[cos<30°⨯5>-isin<30°⨯5>]=25<-3/2-i/2> =-163-16i1.2求下列式子的值〔2〔1+i 6解:令z=1+i 则x=Re 〔z=1,y=Im 〔z=1 r=z =22y x +=2tan θ=x y =1x>0,y>0∴θ属于第一象限角∴θ=4π ∴1+i=2〔cos4π+isin 4π ∴〔1+i 6=〔26〔cos 46π+isin 46π =8〔0-i=-8i1.2求下式的值 <3>61-因为-1=〔cos π+sin π所以61-=[cos<ππk 2+/6>+sin<ππk 2+/6>] <k=0,1,2,3,4,5,6>. 习题一1.2〔4求<1-i>31的值。
解:<1-i>31 =[2<cos-4∏+isin-4∏>]31 =62[cos<12)18(-k ∏>+isin<12)18(-k ∏>] <k=0,1,2> 1.3求方程3z +8=0的所有根。
解:所求方程的根就是w=38-因为-8=8〔cos π+isin π 所以38-= ρ [cos<π+2k π>/3+isin<π+2k π>/3] k=0,1,2 其中ρ=3r =38=2即1w =2[cos π/3+isin π/3]=1—3i2w =2[cos<π+2π>/3+isin<π+2π>/3]=-23w =2[cos<π+4π>/3+isin<π+4π>/3]= 1—3i习题二1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域,并指明它是有界还是无界的,单连通还是多连通的。
复变函数论第三版课后习题答案
第一章习题解答(一)1.设z ,求z 及Arcz 。
解:由于3i z e π-== 所以1z =,2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±。
2.设121z z =,试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解:由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。
3.解二项方程440,(0)z a a +=>。
解:12444(),0,1,2,3k ii za e aek πππ+====。
4.证明2221212122()z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义。
证明:由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是:平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5.设z 1,z 2,z 3三点适合条件:0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1,z 2,z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z,知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以, 12121-=+z z z z ,又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ,同理33231=-=-z z z z ,知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
复变函数课后部分答案
1 u v . 4
2 2
7.已知映射 z , 求:
3
2)区域0 arg z
解: 2)设z = re ,
3
3
在平面上的像。
i 3 3 3i
i
w (re ) r e ,
3 映成0 arg z .
映射 z 将区域0 arg z
8.下列函数何处可导?何处解析? 1 )f ( z) x2 yi; 3) f ( z) xy 2 ix 2 y;
3)u xy2 , v x 2 y,
u u v v y2, 2 xy, 2 xy, x 2 , u, v在复平面上可微; x y x y
y 2 x,2 xy 2 xy,
f ( z)在原点(0,0)上满足C R条件;
f ( z)仅在(0,0)上可导,在复平面上处处不解析。
9.指出下列函数的解析性区域,并求其导数。 1 3 1 )z 2iz; 3) 2 ; z 1
解: 1 )在整个复平面上解析 ,f ' ( z ) 3z 2i; 2z 3)除z 1点外处处解析, f ' ( z ) 2 ; 2 ( z 1)
2
11.求下列函数的奇点: z 1 z 3 1 ) 2 ; 2) . 2 2 z ( z 1) ( z 1) ( z 1)
x 1 2 有 , y 3 8
x 1 即 . y 11
3.将下列复数化为三角式和指数式: 1 ) 5i; 3)1 i 3;
解: 1 )z
i 2
;
3) z 2[cos( ) i sin( )] 2e ; 3 3
复变函数与积分变换 全套 课后答案
1 π
k 0,1
i π π ∴ z1 6 4 cos i sin 6 4 e 8 8 8 πi 9 9 z2 6 4 cos π i sin π 6 4 e 8 . 8 8 1 1 9
9.设 z e
3 2 2 2 2 x x 2 y 2 2 xy 2 y x y 2x y i
x3 3xy 2 3x 2 y y 3 i
∴ Re z 3 x 3 3xy 2 ,
Im z 3 3x 2 y y 3 .
z w z 2 Re z w w z w z 2 Re z w w
zw zw 2 z w
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
并给出最后一个等式的几何解释. 证明: z w z 2 Re z w w 在上面第五题的证明已经证明了. 下面证 z w z 2 Re z w w . ∵ z w z w z w z w z w
2 i 3 2i 2 i 3 2i 2 i 3 2i 4 7i
④解:
1 i 1 i 2 2 2 2
1 i 1 i 1 i 2 2 2 4、证明:当且仅当 z z 时,z 才是实数.
z z z w w z w w z zw z w w z w
≤
2
2
2
2
2 Re z w
8复变函数课后题答案(中国石油大学)
习题八答案 1. 求下列函数的拉氏变换:(1) 3,,2()cos ,;2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 解:由拉氏变换的定义知:22220231[()]3cos 1.1s s st stL f t e dt etdt e e s s ππππ+∞−−−−⎛⎞=+=−−⎜⎟+⎝⎠∫∫(2) ()cos ()sin ().f t t t t u t δ=⋅−⋅解:由拉氏变换的定义以及单位脉动函数的筛选性质知:0202221[()]cos ()sin ()cos |111.11st st st t L f t t t e dt t u t e dt t e s s s s δ+∞+∞−−−==⋅⋅−⋅⋅=⋅−+=−=++∫∫2. 求下列函数的拉氏变换:(1)2()1;f t t =−解:由拉氏变换的线性性质知:2332!121[()][][1].L f t L t L s s s s=−=−=− (2) ()1;tf t te =−解:由拉氏变换的线性性质和位移性质知:211[()][1][].(1)t L f t L L te s s =−=−− (3) ()cos ;f t t t =解:法一:利用位移性质。
()cos .2it ite ef t t t t −+==由拉氏变换的位移性质知:222211111[()][][].222()()(it its L f t L te L te s i s i s −⎡⎤−=+=+=⎢⎥−++⎣⎦211) 法二:利用微分性质。
令 则()cos ,g t t =2221()[()],'().1(s s G s L g t G s s s −===++21) 由拉氏变换的微分性质知:[cos ][()]'().L t t L tg t G s ==−即 2221[()].(1)s L f t s −=+ (4) 2()sin 6;tf t et −=解:因为 26[sin 6],36L t s =+ 故由拉氏变换的位移性知:26[()].(2)36L f t s =++ (5) 2()cos ;f t t = 解:1cos 2().2tf t +=故22211112[()][][cos 2].22224(4)s s L f t L L t s s s s +=+=+⋅=++ (6)()(1);tf t u e −=−解:因为1,10(1),0,10ttte u e e −−−⎧−>⎪−=⎨−<⎪⎩ 即: 1,0(1).0,0t t u e t −>⎧−=⎨<⎩ 故01[()]1.st L f t e dt s+∞−=⋅=∫(7) 2()(1);tf t t e =−解:22()(1)2.ttttf t t e t e te e =−=−+ 法一:利用拉氏变换的位移性质。
复变函数习题答案习题详解
第一章习题详解1. 求下列复数z 的实部与虚部,共轭复数、模与辐角: 1)i231+ 解:()()()132349232323231231ii i i i i -=+-=-+-=+实部:133231=⎪⎭⎫⎝⎛+i Re 虚部:132231-=⎪⎭⎫⎝⎛+i Im共轭复数:1323231ii +=⎪⎭⎫⎝⎛+ 模:1311323231222=+=+i辐角:πππk arctg k arctg k i i Arg 23221331322231231+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+arg 2) ii i --131 解:()()()2532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=++---=+-+-=-- 实部:23131=⎪⎭⎫⎝⎛--i i i Re 虚部:25131-=⎪⎭⎫⎝⎛--i i i Im共轭复数:253131i i i i +=⎪⎭⎫⎝⎛-- 模:234434253131222==+=--iii 辐角:πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--arg3)()()ii i 25243-+解:()()()22672267272625243ii ii ii i --=-+=--=-+ 实部:()()2725243-=⎪⎭⎫⎝⎛-+i i i Re虚部:()()1322625243-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-+i i i Im 共轭复数:()()226725243ii i i +-=⎪⎭⎫⎝⎛-+ 模:()()2925226272524322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+ii i辐角:()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 4) i ii +-2184解:i i i i ii 31414218-=+-=+-实部:()14218=+-i i i Re 虚部:()34218-=+-i ii Im共轭复数:()i i i i 314218+=+- 模:1031422218=+=+-i ii辐角:()()πππk arctg k arctg k i i i i ii Arg 23213244218218+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=++-=+-arg2. 当x 、y 等于什么实数时,等式()i iy i x +=+-++13531成立?解:根据复数相等,即两个复数的实部和虚部分别相等。
复变函数课后习题答案
习题一 P311题 (2)i ii i -+-11 = 1)1(2)1(--++i i i i =223i --)R e (z 23-= ; 21)(-=z I m ; z = 23-2i + ; z =210;arg(z) = arctan-31π (4) 8i i i +-214 i i +-=41 i 31-= ;;1)Re(=z ;3)Im(-=z ;31i z += ;10=z 3a r c t a na r g -=z ; 5题(2) πππi e i 2)sin (cos 22=+=-;(4)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-)43sin(arctan )43cos(arctan 5)43sin(arctan )43cos(arctan 91634i i i;5θi e = );43arctan(-=θ (6) θθθθθθθθϑθθ7sin 7cos )()()2sin 2(cos )sin (cos )7(4322323i e e e e e i i i i i i i -====+---- ; 8题(2) 16)2()1(848==+πie i (4));3432sin 3432(cos2163ππππ-+-=--k i k i ;431arctan ππθ-=-= ;2,1,0=K);1(24)2222(2360i i K -=-= );125sin 125(cos261ππi K += );1213sin 1213(cos 262ππi K +=12题(2) ;3)2(=-z R e 即 ;3])2[(e =+-iy x R ;32=-x 5=x 直线(6) ;4)arg(π=-i z ;4))1(arg(π=-+y i x arctan;41π=-x y ;11=-xy 1+=x y 以i 为起点的射线(x>0). 13题(1) 0)(<z I m ; 即y<0, 不含实轴的下半平面,开区域,无界,单连通。
复变函数(第四版)课后习题答案
y
1
−z
z
z
o
x
-z
z
−1
1
z
z
18.已知两点 z1 与 z2 (或已知三点 z1, z2 , z3 )问下列各点位于何处?
(1)
z
=
1 2
(z1
+
z2
)
(2) z = λz1 + (1 − λ )z2 (其中 λ 为实数);
(3)
z
=
1 3
=|
z
|
ei Arg z
⋅
−i π
e2
i⎜⎛ Arg z− π
= |z|e ⎝ 2
⎟⎞ ⎠
,可知复数的模不变,
辐角减少 π 。 2
11.证明:| z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = 2(| z1 |2 + | z2 |2 ) ,并说明其几何意义。
证明: | z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) + (z1 − z2 )(z1 − z2 )
解:设 A = a1 + ib1 , z1 = x1 + iy1 , z = x + iy ,则有 1) z = z1 + A ;2) z = z1(cosα + i sinα ) = z1eiα 。
10.一个复数乘以-i,它的模与辐角有何改变?
( ) 解:设复数 z =| z | eiArgz ,则 z − i
34
= 1 [5x + 3y − 4]+ i(− 3x + 5y −18) = 1 + i
最新复变函数课后习题答案(全)
习题一答案1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数:(1)132i+(2)(1)(2)ii i--(3)131ii i--(4)8214i i i-+-解:(1)1323213i zi-==+,因此:32 Re, Im1313 z z==-,232arg arctan,31313z z z i==-=+(2)3(1)(2)1310i i izi i i-+===---,因此,31Re, Im1010z z=-=,131arg arctan,31010z z z iπ==-=--(3)133335122i i iz ii i--=-=-+=-,因此,35Re, Im32z z==-,535,arg arctan,232iz z z+==-=(4)82141413z i i i i i i=-+-=-+-=-+因此,Re1,Im3z z=-=,arg arctan3,13z z z iπ==-=--2.将下列复数化为三角表达式和指数表达式:(1)i(2)1-+(3)(sin cos)r iθθ+(4)(cos sin)r iθθ-(5)1cos sin (02)iθθθπ-+≤≤解:(1)2cos sin22ii i eπππ=+=(2)1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=(3)(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=(4)(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=(5)21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3. 求下列各式的值:(1)5)i - (2)100100(1)(1)i i ++-(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- (4)23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-(5(6解:(1)5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin()))66i i ππ=-+-=-+(2)100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )33)sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-)sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)12)sin(2)]1212ii πθππθθ-=-+-=(4)23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- (5=11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++1, 0221, 122, 2i k i k i k +=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩(6=11(2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++88, 0, 1i i e k e k ππ==⎪=⎩4.设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z解:12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-,所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+,12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5. 解下列方程: (1)5()1z i += (2)440 (0)z a a +=>解:(1)z i += 由此25k iz i e iπ=-=-,(0,1,2,3,4)k=(2)z==11[cos(2)sin(2)]44a k i kππππ=+++,当0,1,2,3k=时,对应的4(1),1),1),)i i i i+-+---6.证明下列各题:(1)设,z x iy=+z x y≤≤+证明:首先,显然有z x y=≤+;其次,因222,x y x y+≥固此有2222()(),x y x y+≥+从而z=≥。
复变函数习题及解答
(1);(2);(3);(4);(5);(6)答案(1)实部-1;虚部;模为2;辐角为;主辐角为;原题即为代数形式;三角形式为;指数形式为.(2)略为(3)略为(4)略为(5)略为:(6)该复数取两个值略为计算下列复数1);2);答案1);2);计算下列复数(1);(2);答案(1)(2)已知为实数,求复数的实部和虚部.【解】令,即为实数域(Real).平方得到,根据复数相等,所以即实部为虚部为说明已考虑根式函数是两个值,即为值.如果试证明对于任何复常数有【证明】因为,所以如果复数是实系数方程的根,则一定也是该方程的根.证因为,,…,均为实数,故,,…,.且,故由共轭复数性质有:.则由已知.两端取共轭得即.故也是之根.注此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证.此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的.这一点在代数学中早已被大家认识.特别地,奇次实系数多项式至少有一个实零点.证明:,并说明其几何意义.若,试求的值.【解】因为所以即为所以将下列复数表为的幂的形式(1);(2)答案证明:如果是1的n次方根中的一个复数根,但是即不是主根,则必有对于复数,证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式:成立。
【证明】对任意n个复数,由三角不等式知再由关于实数的柯西不等式得,证毕。
证明成立.下列不等式在复数平面上表示怎样的点集1);2);3);4);5)(答 1)平面上由与所构成的宽度为1的铅直带形域;2)以为心,内半径为2,外半径为3的圆环域;3)顶点在原点,开度为的角形区域;4)宽度为的说平带形域,边界为,;5)以为心,为半径的圆之外部区域)指出下列关系表示的点之轨迹或范围;并说明是何种点集1)2)解 1)令,由知且即这样的点为平面上从点出发(但不含点)与实轴倾角为的射线.此射线所形成的点集既非开集,也非闭集.2)设,则原条件即为即由模的定义得化简得这是一椭圆,长半轴为,短半轴为,中心在原点,它是有界闭集(全部为边界点).描述下列不等式所确定的点集,并指出是区域还是闭区域,有界还是无界,单连通还是多(或复)连通.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)解(1)是以i为圆心、在以2为半径的圆外,3为半径的圆内的圆环,是有界闭区域、多连通.(图形略)(2)即是下半平面,无界单连通闭区域.(3)到3的距离比到2的距离大,因此,它是左半平面,去掉一点,是无界的多连通的区域.(4)在直线的上方,其中.无界单连通区域(5)即或是无界多连通区域(6)此不等是焦点在和初,长半轴为5/2的椭圆内部,为有界单连通闭区域).(7)这是半支双曲线:,部分是无界单连通区域.(8)不等式即,或,只有当,成立,因此,只代表复平面上一个点.已知映射,求(1) 圆周的象;(2)直线的象;(3)区域的象.答案 (1) ,为圆周(2)直线(3)先看直线 x=1的象,而 z=0 的象在圆的外部,因此的象是圆的内部即为讨论下列函数在指定点的极限存在性,若存在求出其值,并判断在该点的连续性.1), 2),解 1),则,,,又注意即在点处极限存在且连续.2)设,则显然,在点极限存在且连续.但注意不存在,事实上,令,有,对不同值有不同结果,故知不存在.所以,不存在.由连续与极限的关系知在处极限不存在、不连续.注这两个问题均通过极限存在的充要条件将问题转化为两个二元实函数在对应点处极限存在性的判断问题,这是最常用的方法.在问题1)中,又根据连徐的另一等价定义,立即得到在处不仅极限存在,而且在该点连续的结论;在2)中,实际上是一复变量实值函数,即,所以由充要条件只需判断一个二元实函数在点的极限存在性.由该二元实函数在点极限不存在即得在处极限的不存在性.若函数在点点连续,证明(1)在该点连续;(2)的模在该点连续.本章计算机编程实践与思考(说明:读者可参考第五部分计算机仿真编程实践)使用Matlab,或Mathcad,或Mathmatic计算机仿真求解下列复数的实部、虚部;共轭复数;模与辐角;计算机仿真计算:计算机仿真求解方程计算机仿真编程实践:若对应为的根,其中且取整数.试用计算机仿真编程验证下列数学恒等式成立.用计算机编程实践方法(Matlab,Mathcad,Mathmatic,C/C++)实现:(1)绘出单位圆及其内接正十七边形;(2)计算机编程求出边长;(3)能否对多变形进行推广,得出相应的计算机仿真计算方法.计算机仿真编程验证对复平面任意两个以上的不重合的有限远点,(即保证分母不为零),恒等式是否还成立呢注意式中自然数,而m, k为1至N的整数.(提示:利用随机函数产生随机数,从而验证恒等式是否成立)。
(完整版)复变函数习题答案第2章习题详解
第二章习题详解1. 利用导数定义推出: 1)()1-=n n nzz '(n 为正整数)解: ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z nn n n n z n n z n∆∆∆∆∆∆∆∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++=-+=--→→Λ22100121limlim '()()11210121----→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=n n n n z nz z z z n n nz ∆∆∆Λlim 2) 211z z -=⎪⎭⎫⎝⎛'解: ()()2000111111z zz z z z z z z z z z z z z z z -=+-=+-=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→→∆∆∆∆∆∆∆∆∆lim lim lim '2. 下列函数何处可导?何处解析? 1)()iy x z f -=2解:设()iv u z f +=,则2x u =,y v -=x x u 2=∂∂,0=∂∂y u ,0=∂∂xv,1-=∂∂y v 都是连续函数。
只有12-=x ,即21-=x 时才满足柯西—黎曼方程。
()iy x z f -=∴2在直线21-=x 上可导,在复平面内处处不解析。
2)()3332y i x z f +=解:设()iv u z f +=,则32x u =,33y v =26x x u =∂∂,0=∂∂y u ,0=∂∂xv ,29y y v =∂∂都是连续函数。
只有2296y x =,即032=±y x 时才满足柯西—黎曼方程。
()3332y i x z f +=∴在直线032=±y x 上可导,在复平面内处处不解析。
3)()y ix xy z f 22+=解:设()iv u z f +=,则2xy u =,y x v 2=2y x u =∂∂,xy y u 2=∂∂,xy xv 2=∂∂,2x y v =∂∂都是连续函数。
复变函数(第四版)课后题(附答案)
1 +2
i
⎫ ⎬ ⎭
=
3 13
,
Im⎨⎧ ⎩3
1 + 2i
⎫ ⎬ ⎭
=
−
2 13
,
1 = 1 (3 + 2i) , 1 = ⎜⎛ 3 ⎟⎞ 2 + ⎜⎛ − 3 ⎟⎞2 = 13 ,
3 + 2i 13
3 + 2i ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ 13
Arg⎜⎛ ⎝
3
1 +2
i
⎟⎞ ⎠
=
arg⎜⎛ ⎝
3
1 +2
Im⎨⎧ ⎩
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)⎫
⎬ ⎭
=
−13
,
1
⎡ ⎢ ⎣
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)⎤
⎥ ⎦
=
−
7 2
+
l3i
(3 + 4i)(2 − 5i) = 5 29 ,
2i
2
Arg⎢⎣⎡
(3
+
4
i)(2
2i
−
5
i)⎤
⎥⎦
=
arg⎢⎣⎡
(3
+
4
i)(2
2i
−
5
i)⎤
⎥⎦
+
2kπ
=
2
arctan
26 7
−
π
+
2kπ
= arctan 26 + (2k −1)π ,
7
k = 0,±1,±2," .
( ) ( ) (4) i8 − 4i21 + i = i2 4 − 4 i2 10i + i = (−1)4 − 4(− )1 10i + i
复变函数习题及解答
第一章 复变函数习题及解答1.1 写出下列复数的实部、虚部;模和辐角以及辐角的主值;并分别写成代数形式,三角形式和指数形式.(其中,,R αθ为实常数)(1)1-; (2)ππ2(cosisin )33-; (3)1cos isin αα-+;(4)1ie +; (5)i sin R e θ; (6)i +答案 (1)实部-1;虚部 2;辐角为4π2π,0,1,2,3k k +=±±;主辐角为4π3;原题即为代数形式;三角形式为4π4π2(cosisin )33+;指数形式为4πi 32e .(2)略为 5πi 35π5π2[cos sin ], 233i e +(3)略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα(4)略为 i;(cos1isin1)ee e +(5)略为:cos(sin )isin(sin )R R θθ+(6)该复数取两个值略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθθθθθθθ+=+=+1.2 计算下列复数 1)()103i 1+-;2)()31i 1+-;答案 1)3512i 512+-;2)()13π/42k πi632e 0,1,2k +=;1.3计算下列复数(1 (2答案 (1(2)(/62/3)i n eππ+1.4 已知x 的实部和虚部.【解】令i ,(,)p q p q R =+∈,即,p q 为实数域(Real).平方得到2212()2i x p q xy +=-+,根据复数相等,所以即实部为 ,x ±虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值,即为±值.1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有||1az bbz a +=+【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=,所以1.6 如果复数b a i +是实系数方程()01110=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根,则b a i -一定也是该方程的根.证 因为0a ,1a ,… ,n a 均为实数,故00a a =,11a a =,… ,n n a a =.且()()kkz z =,故由共轭复数性质有:()()z P z P =.则由已知()0i ≡+b a P .两端取共轭得 即()0i ≡-b a P .故b a i -也是()0=z P 之根.注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证.此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的.这一点在代数学中早已被大家认识.特别地,奇次实系数多项式至少有一个实零点.1.7 证明:2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义. 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-,试求n 的值.【解】 因为222244444444(1)2(cos sin )2(cos sin )(1)2(cos sin )2(cos sin )n nnnn n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π=所以4,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±1.9将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 (1) cos5θ; (2)sin5θ答案 53244235(1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθθθθθθ-+-+1.10 证明:如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根,但是1≠w 即不是主根,则必有1.11 对于复数,k k αβ,证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式:22221111||(||||)||||n n nnk k k k k kk k k k αβαβαβ====≤≤∑∑∑∑ 成立。
复变函数课后习题答案(全)
习题一答案1.求以下复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数:( 1)1(2)i2i1)(i2)3(i(3)13i(4)i84i 21i i1i解:( 1)z132i 32i13,所以: Re z 3,Im z2,13 13( 2)z(ii2)1i3i ,1)(i3i10所以, Re z 3 ,Im z1,1010( 3)z 13ii33i35i i1i2,2所以, Re z 3 ,Im z5,32( 4)z i 84i 21i 1 4i i 1 3i 所以, Re z1,Im z3,2.将以下复数化为三角表达式和指数表达式:( 1)i ()13i() r (sin i cos ) 23( 4)r (cos i sin) (5)1 cos i sin(02)解:( 1)i cos i sini e2222(cos 2i sin22(2)13i)i 2e333( 3)r (sin i cos) r[cos()i sin()]() i re 222( ) r (cosi sin )r[cos( ) i sin( )] rei4(5) 1 cosi sin2sin 22i sin cos2 2 23. 求以下各式的值:(1)( 3i)5( 2) (1 i )100(1 i)100(13i )(cosi sin)(cos5 i sin 5 )2 (3)i )(cosi sin ) (4)(cos3 i sin 3 )3(1(5) 3i ( 6)1 i解:( 1) ( 3 i )5[2(cos() i sin())] 56 6(2) (1 i )100(1i)100(2i )50( 2i )502(2)50251(1 3i )(cos i sin )(3)i )(cosi sin )(1(4) (cos5i sin 5 ) 2 (cos3i sin 3 )3(5) 3i3cosi sin22(6) 1i2(cosi sin )444. 设z 1 1i, z 23 i, 试用三角形式表示 z z 与z 121 2z 2解: zcos i sin, z 22[cos() i sin( )] ,所以14466z 1z 2 2[cos(4) i sin(4)] 2(cos i sin ) ,6 612 125. 解以下方程:(1) (z i )51z4a 40 ( a 0)( 2)解:( 1) zi51,由此z51i2k ii , (k0,1,2,3,4)e5( 2)z4a44 a4 (cos i sin)a[cos 1(2k)i sin1(2k)] ,当 k0,1,2,3 时,对应的4个根分别为:44a(1i ),a(1i),a( 1 i ),a(1i)22226.证明以下各题:( 1)设z x iy, 则x yz x y 2证明:第一,明显有z x2y2x y ;其次,因 x2y2 2 x y , 固此有 2( x2y2 )( x y )2 ,进而 z x2y2x y2。
3复变函数 课后答案(王绵森 著) 高等教育出版社
习题一解答1.求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。
(1)i 231+; (2)i13i i 1−−; (3)()()2i 5i 24i 3−+; (4)i 4i i 218+−解 (1)()()()2i 31312i 32i 32i 32i 31−=−+−=+ 所以133=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+i 231Re ,1322i 31Im −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+,()2i 31312i 31+=+,131********i 3122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+, k π2i 231arg i 231Arg +⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+",2,1,0,232arctan ±±=+−=k k π(2)()()()()i,25233i 321i i)(1i 1i 13i i i i i 13i i 1−=+−−−=+−+−−−=−−所以,23i 13i i 1Re =⎭⎬⎫⎩⎨⎧−− 25i 13i i 1Im −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−25i 23i 13i i 1+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−,2342523i 13i i 122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−−, k π2i 1i 3i 1arg i 1i 3i 1Arg +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−− ",±,±,=,+−=210235arctan k k π.(3)()()()()()()()()()42i 7i 262i 2i 2i 5i 24i 32i 5i 24i 3−−=−−−+=−+ 13i 27226i7−−=−−=所以()()272i 5i 24i 3Re −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+,()()132i 5i 24i 3Im −=⎭⎫⎩⎨⎧−+,()()l3i 272i 5i 24i 3+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+()()22952i5i 24i 3=−+, ()()()()k ππk π2726arctan 22i 2i 52i 43arg i 2i 52i 43Arg +−=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+ ()",2,1,0,12726arctan±±=−+=k k π.(4)()()()()i i 141i i i 4i i 4i i 10410242218+−−−=+−=+−3i 1i 4i 1−=+−=所以{}{}3i 4i i Im 1,i 4i i Re 218218−=+−=+−3i 1i 4i i 218+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−,10|i 4i i |218=+− ()()()2k π3i 1arg 2k πi 4i i arg i 4i i Arg 218218+−=++−=+−=.2,1,0,k 2k πarctan3"±±=+−2.如果等式()i 13i53y i 1x +=+−++成立,试求实数x , y 为何值。
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习题一答案1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数:(1)132i+(2)(1)(2)ii i--(3)131ii i--(4)8214i i i-+-解:(1)1323213i zi-==+,因此:32 Re, Im1313 z z==-,232arg arctan,31313z z z i==-=+(2)3(1)(2)1310i i izi i i-+===---,因此,31Re, Im1010z z=-=,131arg arctan,31010 z z z iπ==-=--(3)133335122i i iz ii i--=-=-+=-,因此,35Re, Im32z z==-,535,arg arctan,232iz z z+ ==-=(4)82141413z i i i i i i=-+-=-+-=-+因此,Re1,Im3z z=-=,arg arctan3,13z z z iπ==-=--2. 将下列复数化为三角表达式和指数表达式: (1)i (2)1-+ (3)(sin cos )r i θθ+(4)(cos sin )r i θθ- (5)1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解:(1)2cossin22iii e πππ=+=(2)1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=(3)(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=(4)(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=(5)21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3. 求下列各式的值:(1)5)i - (2)100100(1)(1)i i ++-(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- (4)23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-(5(6解:(1)5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin()))66i i ππ=-+-=-+(2)100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin)33)sin()][cos()sin()]44i ii iππθθππθθ-+-+=-+--+-)sin()](cos2sin2)1212i iππθθ=-+-+(2)12)sin(2)]1212iiπθππθθ-=-+-=(4)23(cos5sin5)(cos3sin3)iiϕϕϕϕ+-cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)iiiϕϕϕϕϕϕ+==+-+-(5=11cos(2)sin(2)3232k i kππππ=+++1,0221,122,2i ki ki k+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩(6=11(2)sin(2)]2424k i kππππ=+++88,0,1iie ke kππ==⎪=⎩4.设12,z z i==-试用三角形式表示12z z与12zz解:12cos sin, 2[cos()sin()]4466 z i z iππππ=+=-+-,所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+,12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5. 解下列方程: (1)5()1z i += (2)440 (0)z a a +=>解:(1)z i += 由此25k i z i ei π=-=-, (0,1,2,3,4)k =(2)z==11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++,当0,1,2,3k =时,对应的4(1), 1), 1), )i i i i +-+--- 6. 证明下列各题:(1)设,zx iy =+z x y≤≤+证明:首先,显然有z x y =≤+;其次,因222,x y x y +≥ 固此有2222()(),x y x y +≥+从而z =≥。
(2)对任意复数12,,z z 有2221212122Re()z z z z z z +=++ 证明:验证即可,首先左端221212()()x x y y =+++,而右端2222112211222Re[()()]x y x y x iy x iy =+++++-2222112212122()x y x y x x y y =+++++221212()()x x y y =+++,由此,左端=右端,即原式成立。
(3)若a bi +是实系数代数方程101100nn n a za z a z a --++++=L的一个根,那么a bi -也是它的一个根。
证明:方程两端取共轭,注意到系数皆为实数,并且根据复数的乘法运算规则,()nn zz =,由此得到:10110()()0n n n a z a z a z a --++++=L由此说明:若z 为实系数代数方程的一个根,则z 也是。
结论得证。
(4)若1,a =则,b a ∀≠皆有1a ba ab-=-证明:根据已知条件,有1aa =,因此:11()a b a b a b a ab aa ab a a b a ---====---,证毕。
(5)若1, 1a b <<,则有11a bab-<- 证明:222()()a b a b a b a b ab ab -=--=+--,2221(1)(1)1ab ab ab a b ab ab -=--=+--,因为1, 1a b <<,所以,2222221(1)(1)0a b a b a b +--=--< ,因而221a b ab -<-,即11a bab-<-,结论得证。
7.设1,z ≤试写出使n z a +达到最大的z 的表达式,其中n 为正整数,a 为复数。
解:首先,由复数的三角不等式有1n n z a z a a +≤+≤+,在上面两个不等式都取等号时n z a +达到最大,为此,需要取nz与a 同向且1n z =,即n z 应为a 的单位化向量,由此,n a z a=,z =8.试用123,,z z z 来表述使这三个点共线的条件。
解:要使三点共线,那么用向量表示时,21z z -与31z z -应平行,因而二者应同向或反向,即幅角应相差0或π的整数倍,再由复数的除法运算规则知2131z z Arg z z --应为0或π的整数倍,至此得到:123,,z z z 三个点共线的条件是2131z z z z --为实数。
9.写出过1212, ()z z z z ≠两点的直线的复参数方程。
解:过两点的直线的实参数方程为:121121()()x x t x x y y t y y =+-⎧⎨=+-⎩,因而,复参数方程为:112121121()()z x iy x iy t x x iy iy z t z z =+=++-+-=+-其中t 为实参数。
10.下列参数方程表示什么曲线(其中t 为实参数)(1)(1)z i t =+ (2)cos sin z a t ib t =+ (3)iz t t=+解:只需化为实参数方程即可。
(1),x t yt ==,因而表示直线y x =(2)cos ,sin x a t y b t ==,因而表示椭圆22221x y a b+=(3)1,x t y t==,因而表示双曲线1xy = 11.证明复平面上的圆周方程可表示为 0zz az az c +++=, 其中a 为复常数,c 为实常数 证明:圆周的实方程可表示为:220x y Ax By c ++++=,代入, 22z z z z x y i+-==,并注意到222x y z zz +==,由此 022z z z zzz AB c i+-+++=, 整理,得 022A Bi A Bi zz z z c -++++= 记2A Bi a +=,则2A Bia -=,由此得到0zz az az c +++=,结论得证。
12.证明:幅角主值函数arg z 在原点及负实轴上不连续。
证明:首先,arg z 在原点无定义,因而不连续。
对于00x <,由arg z 的定义不难看出,当z 由实轴上方趋于0x 时,arg zπ→,而当z 由实轴下方趋于0x 时,arg z π→-,由此说明0lim arg z x z →不存在,因而arg z 在0x 点不连续,即在负实轴上不连续,结论得证。
13.函数1w z=把z 平面上的曲线1x =和224x y +=分别映成w 平面中的什么曲线解:对于1x =,其方程可表示为1zyi =+,代入映射函数中,得211111iyw u iv z iy y-=+===++, 因而映成的像曲线的方程为 221, 11yu v y y-==++,消去参数y ,得2221,1u v u y +==+即22211()(),22u v -+=表示一个圆周。
对于224x y +=,其方程可表示为2cos 2sin z x iy i θθ=+=+代入映射函数中,得11cos sin 2cos 2sin 2i w u iv z i θθθθ-=+===+因而映成的像曲线的方程为 11cos , sin 22uv θθ==-,消去参数θ,得2214u v +=,表示一半径为12的圆周。
14.指出下列各题中点z 的轨迹或所表示的点集,并做图: 解:(1)0 (0)z z r r -=>,说明动点到0z 的距离为一常数,因而表示圆心为0z ,半径为r 的圆周。
(2)0,z z r -≥是由到0z 的距离大于或等于r 的点构成的集合,即圆心为0z 半径为r 的圆周及圆周外部的点集。
(3)138,z z -+-=说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常数,因而表示一个椭圆。
代入,zx iy ==化为实方程得22(2)11615x y -+=(4),z i z i +=-说明动点到i 和i -的距离相等,因而是i 和i -连线的垂直平分线,即x 轴。
(5)arg()4z i π-=,幅角为一常数,因而表示以i 为顶点的与x 轴正向夹角为4π的射线。