矩阵的初等变换
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所有与矩阵 A等价的矩阵组成的一个集合， 称为一个等价类，标准形 F是这个等价类中最简 单的矩阵.
三、小结
1.初等行(列)变换
1ri 2ri
k
rj
ci
ci
k ;
c
j
;
3ri krj ci kcj .
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
2. A 初等变换 B A ~ B.
统称为矩阵的
(1) 对调矩阵的两行。
初等行变换
(2) 用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。
(3) 将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数k后
加到另一行对应元素上。
二、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
x1
x
x2
M
xn
b1
b
b2
M
bm
Ax b 则，线性方程组可表示为
一、消元法解线性方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
等价关系的性质： （1） 反身性 A A； （2）对称性 若 A B ,则 B A;
0 0 1 0 1
P1
0 1
1 0
0 0
0
0
P2
1 1
0
0
0
1
c
1
1
P3
k 1
1
求P1P2 P3
解： (1) P1 P2 P3
0 0 1 01
1
0
1
0
0
1
k
1 0 0 0
1
1
0
0
0
1
c
1
1
0 0 1 0 1
一般记法：
Ei, jA表示A的第i行与第j行对换, AEi, j表示A的第i列与第j列对换.
E i k A表 示A的 第i行 乘k , AE i k 表 示A的 第i列 乘k .
E ijk A表 示A的 第j行 乘k加 到 第i行 上, AE ijk 表 示A的 第i列 乘k加 到 第j列 上.
例2： (1) 设初等矩阵
B
5
0 0 0 0 0
B5
对应的方程组为
x1 x2
x3 x3
4 3
x4 3
或令x3 c,方程组的解可记作
x1 c 4 1 4
x
x2
x3 x4
c 3 c 3
c
1 1
0
3 0 3
其中c为任意常数.
矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵. 特点：
（1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零；
（3）传递性 若 A B,B C,则 A C. 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价
用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：
2 1 1 1 2
B
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
1 1 2 1 4
r1 r2 r3 2
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj）.
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
矩阵的初等变换
初 等 行 变 换 初 等 列 变 换
通常称 (1) 对换变换 (2) 倍乘变换 (3) 倍加变换
x1 c 4
x
x2 x3 x4
c
c
3
,
3
1 4
即x
c
1 1
3 0
0 3
（2）
其中c为任意常数.
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法．
2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换
（1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换）
（2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k 替换 i ）
k a11
0 1
a21 a31
a12
a22
a32
a11 ka31
a21
a31
a12 a32
a22
a32
b11
(3)
b21
b31
b12 b22 b32
b13 1
b23 b33
0 0
0 0 1
0 1 0
b11 b21 b31
b13 b23 b33
b12
3.矩阵等价具有的性质
1反身性; 2 对称性; 3传递性.
思考题
已知四元齐次方程组
I
:
x1 x2
x2 x4
0 0
及另一
四元齐次方程组II 的通解为
k10,1,1,0T k2 1,2,2,1T k1,k2 R.
问I 与II 是否有非零公共解?若有,求出来;若没
有,说明理由.
思考题解答
1
E(ij(k))
1 k
第i行
1
第j行
1
初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
变换 ri rj 的逆变换是其本身， 则E(i, j)1 E(i, j) ；
变换
Biblioteka Baidu
ri
k
的 逆 变 换 为 ri
1 k
，
则 E(i(k ))1 E(i( 1 )); k
变换 ri krj 的逆变换为ri (k )rj， 则 E(ij(k))1 E(ij(k)) .
2
32
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
解
(1)
1 2 3 2
23 3 21
4 31
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x1 x2 x3 x4 2, 2 x1 3 x2 x3 x4 2,
2 3
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
a21
x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
用矩阵形式表示此线性方程组：
a11
a21
M
a12 L a1n x1 b1
a22 L
a2n
x2
b2
M M M M M
am1
am 2
L
amn
xn
bm
令 A aij mn
本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩 阵的秩的概念,并提出求秩的有效方 法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性 方程组有非零解的充分必要条件和非齐次 线性方程组有解的充分必要条件，并介绍 用初等变换解线性方程组的方法．内容丰 富，难度较大.
线性方程组的一般形式
a11 x1 a12 x 2 a1n xn b1
三种初等变换对应着三种初等方阵.
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
1、对调两行或两列
对调 E 中第 i, j 两行，即(ri rj )，得初等方阵
1
1
0 1
第
i
行
1
E(i, j)
1 1 0
第
j
行
1
1
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x2 5 x2
2 x3 5 x3
2 x4 3 x4
0, 6,
2 3
3 x2 3 x3 4 x4 3, 4
(B1 ) (B2 )
2 1 2
3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4,
x2 x3 x4 0, 2x4 6,
1 0
0
c5
4c1
3c2
3c3
0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 044
0 0 0
1 0 0
000033033
F
矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形.
特点：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全 为零.
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
F Er O O O mn
此标准形由m,n,r 三个数唯一确定，其中r 就是 行阶梯形矩阵中非零行的行数.
对于任何矩阵Amn ,总可经过有限次初等行 变换把他变为行阶梯形和行最简形.
注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行 阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标 准形．
1 0 1 0 4
例如，B 5
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4 c1 c2
x4 3,
1 2 3 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
3 4
4 23
x2 x3 x4 0, x4 3,
2 3
0 0,
4
用“回代”的方法求出解：
(B3 ) (B4 )
于是解得
x1 x2
x3 x3
4 3
x4 3
其中x3为任意取值.
或令x3 c,方程组的解可记作
初等变换
初等矩阵
初等逆变换
初等逆矩阵
a11 a12 L
A
a21
a22
L
a31 a32 L
a1n a2n
初 uuu等uu变 uuu换ur
suuuuuuuuuuu
a11 ka21
a3n 初等逆变换 a31
a12 L ka22 L a32 L
a1n
ka2n
B
a3n
1 0 0
0 0
k 0
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj )
[或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )，
（3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i k j 替换 i ）
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) i j (B), 则(B) i j ( A); 若( A) i k (B), 则(B) i k ( A); 若( A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
2 2 3
1 3
6
1 1
9
1 1
7
2 2
B1
9
r2 r31
1
12
12
4 1
r2 4r3
Br13 r4
22r1 332r1
01
03 06
21 51 39
12 15 73
2 2 9243
r3 r4
36032rr11
B2
r2 2 r3 5r2 r4 3r2
1 1 2 1 4
0 0
1 0
1 0
1 2
0 6
B3
0 0 0 1 3
1 rBr343 2rr34000
11 10 00 00
12 11 00 00
12 11 20 10
14 10 16 03
4 030rr34 2Brr344
r1 r2 r2 r3
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
解 将II 的通解代入I 得
kk1 22kk12
2k2 0 k2 0
k1 k2 .
故II 与I 的公共解为
k10,1,1,0T k2 1,2,2,1T k2 1,1,1,1T
所有非零公共解为
k 1,1,1,1T k 0.
一、初等矩阵的概念
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
0 1
A
B,
1 0 0
0
1
0B A
k
0 0 1
例1：计算
1 0 0 a11 a12 L
(1)
0 0
k 0
0 1
a21 a31
a22 a32
L L
a1n a2n a3n
a11 ka21 a31
a12 ka22 a32
L L L
a1n
ka2n
a3n
1
(2)
0 0
0 1 0
（2）、每个台 阶 只有一行，
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
B
5
0 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
行阶梯形矩阵B5还称为行最简形矩阵，即非 零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列 的其他元素都为零.
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 1 1 1 2
B
(
A
b)
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
则对方程组的变换完全可以转换为 对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．
即，求解线性方程组实质上是对增广矩阵施行 3种初等运算：
b22
b32
定理：
设A是m n矩 阵 ， 对A施 行 一 次 初 等 行 变 换 ， 相 当 于 在A的 左 边 乘 一 个 相 应 的m阶 初 等 矩 阵 ； 对A施 行 一 次 初 等 列 变 换 ，相 当 于 在A的 右 边 乘 一 个 相 应 的n阶 初 等 矩 阵 。
证明：具体验证即可.
三、小结
1.初等行(列)变换
1ri 2ri
k
rj
ci
ci
k ;
c
j
;
3ri krj ci kcj .
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
2. A 初等变换 B A ~ B.
统称为矩阵的
(1) 对调矩阵的两行。
初等行变换
(2) 用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。
(3) 将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数k后
加到另一行对应元素上。
二、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
x1
x
x2
M
xn
b1
b
b2
M
bm
Ax b 则，线性方程组可表示为
一、消元法解线性方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
等价关系的性质： （1） 反身性 A A； （2）对称性 若 A B ,则 B A;
0 0 1 0 1
P1
0 1
1 0
0 0
0
0
P2
1 1
0
0
0
1
c
1
1
P3
k 1
1
求P1P2 P3
解： (1) P1 P2 P3
0 0 1 01
1
0
1
0
0
1
k
1 0 0 0
1
1
0
0
0
1
c
1
1
0 0 1 0 1
一般记法：
Ei, jA表示A的第i行与第j行对换, AEi, j表示A的第i列与第j列对换.
E i k A表 示A的 第i行 乘k , AE i k 表 示A的 第i列 乘k .
E ijk A表 示A的 第j行 乘k加 到 第i行 上, AE ijk 表 示A的 第i列 乘k加 到 第j列 上.
例2： (1) 设初等矩阵
B
5
0 0 0 0 0
B5
对应的方程组为
x1 x2
x3 x3
4 3
x4 3
或令x3 c,方程组的解可记作
x1 c 4 1 4
x
x2
x3 x4
c 3 c 3
c
1 1
0
3 0 3
其中c为任意常数.
矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵. 特点：
（1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零；
（3）传递性 若 A B,B C,则 A C. 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价
用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：
2 1 1 1 2
B
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
1 1 2 1 4
r1 r2 r3 2
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj）.
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
矩阵的初等变换
初 等 行 变 换 初 等 列 变 换
通常称 (1) 对换变换 (2) 倍乘变换 (3) 倍加变换
x1 c 4
x
x2 x3 x4
c
c
3
,
3
1 4
即x
c
1 1
3 0
0 3
（2）
其中c为任意常数.
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法．
2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换
（1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换）
（2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k 替换 i ）
k a11
0 1
a21 a31
a12
a22
a32
a11 ka31
a21
a31
a12 a32
a22
a32
b11
(3)
b21
b31
b12 b22 b32
b13 1
b23 b33
0 0
0 0 1
0 1 0
b11 b21 b31
b13 b23 b33
b12
3.矩阵等价具有的性质
1反身性; 2 对称性; 3传递性.
思考题
已知四元齐次方程组
I
:
x1 x2
x2 x4
0 0
及另一
四元齐次方程组II 的通解为
k10,1,1,0T k2 1,2,2,1T k1,k2 R.
问I 与II 是否有非零公共解?若有,求出来;若没
有,说明理由.
思考题解答
1
E(ij(k))
1 k
第i行
1
第j行
1
初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
变换 ri rj 的逆变换是其本身， 则E(i, j)1 E(i, j) ；
变换
Biblioteka Baidu
ri
k
的 逆 变 换 为 ri
1 k
，
则 E(i(k ))1 E(i( 1 )); k
变换 ri krj 的逆变换为ri (k )rj， 则 E(ij(k))1 E(ij(k)) .
2
32
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
解
(1)
1 2 3 2
23 3 21
4 31
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x1 x2 x3 x4 2, 2 x1 3 x2 x3 x4 2,
2 3
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
a21
x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
用矩阵形式表示此线性方程组：
a11
a21
M
a12 L a1n x1 b1
a22 L
a2n
x2
b2
M M M M M
am1
am 2
L
amn
xn
bm
令 A aij mn
本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩 阵的秩的概念,并提出求秩的有效方 法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性 方程组有非零解的充分必要条件和非齐次 线性方程组有解的充分必要条件，并介绍 用初等变换解线性方程组的方法．内容丰 富，难度较大.
线性方程组的一般形式
a11 x1 a12 x 2 a1n xn b1
三种初等变换对应着三种初等方阵.
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
1、对调两行或两列
对调 E 中第 i, j 两行，即(ri rj )，得初等方阵
1
1
0 1
第
i
行
1
E(i, j)
1 1 0
第
j
行
1
1
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x2 5 x2
2 x3 5 x3
2 x4 3 x4
0, 6,
2 3
3 x2 3 x3 4 x4 3, 4
(B1 ) (B2 )
2 1 2
3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4,
x2 x3 x4 0, 2x4 6,
1 0
0
c5
4c1
3c2
3c3
0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 044
0 0 0
1 0 0
000033033
F
矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形.
特点：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全 为零.
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
F Er O O O mn
此标准形由m,n,r 三个数唯一确定，其中r 就是 行阶梯形矩阵中非零行的行数.
对于任何矩阵Amn ,总可经过有限次初等行 变换把他变为行阶梯形和行最简形.
注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行 阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标 准形．
1 0 1 0 4
例如，B 5
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4 c1 c2
x4 3,
1 2 3 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
3 4
4 23
x2 x3 x4 0, x4 3,
2 3
0 0,
4
用“回代”的方法求出解：
(B3 ) (B4 )
于是解得
x1 x2
x3 x3
4 3
x4 3
其中x3为任意取值.
或令x3 c,方程组的解可记作
初等变换
初等矩阵
初等逆变换
初等逆矩阵
a11 a12 L
A
a21
a22
L
a31 a32 L
a1n a2n
初 uuu等uu变 uuu换ur
suuuuuuuuuuu
a11 ka21
a3n 初等逆变换 a31
a12 L ka22 L a32 L
a1n
ka2n
B
a3n
1 0 0
0 0
k 0
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj )
[或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )，
（3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i k j 替换 i ）
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) i j (B), 则(B) i j ( A); 若( A) i k (B), 则(B) i k ( A); 若( A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
2 2 3
1 3
6
1 1
9
1 1
7
2 2
B1
9
r2 r31
1
12
12
4 1
r2 4r3
Br13 r4
22r1 332r1
01
03 06
21 51 39
12 15 73
2 2 9243
r3 r4
36032rr11
B2
r2 2 r3 5r2 r4 3r2
1 1 2 1 4
0 0
1 0
1 0
1 2
0 6
B3
0 0 0 1 3
1 rBr343 2rr34000
11 10 00 00
12 11 00 00
12 11 20 10
14 10 16 03
4 030rr34 2Brr344
r1 r2 r2 r3
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
解 将II 的通解代入I 得
kk1 22kk12
2k2 0 k2 0
k1 k2 .
故II 与I 的公共解为
k10,1,1,0T k2 1,2,2,1T k2 1,1,1,1T
所有非零公共解为
k 1,1,1,1T k 0.
一、初等矩阵的概念
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
0 1
A
B,
1 0 0
0
1
0B A
k
0 0 1
例1：计算
1 0 0 a11 a12 L
(1)
0 0
k 0
0 1
a21 a31
a22 a32
L L
a1n a2n a3n
a11 ka21 a31
a12 ka22 a32
L L L
a1n
ka2n
a3n
1
(2)
0 0
0 1 0
（2）、每个台 阶 只有一行，
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
B
5
0 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
行阶梯形矩阵B5还称为行最简形矩阵，即非 零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列 的其他元素都为零.
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 1 1 1 2
B
(
A
b)
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
则对方程组的变换完全可以转换为 对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．
即，求解线性方程组实质上是对增广矩阵施行 3种初等运算：
b22
b32
定理：
设A是m n矩 阵 ， 对A施 行 一 次 初 等 行 变 换 ， 相 当 于 在A的 左 边 乘 一 个 相 应 的m阶 初 等 矩 阵 ； 对A施 行 一 次 初 等 列 变 换 ，相 当 于 在A的 右 边 乘 一 个 相 应 的n阶 初 等 矩 阵 。
证明：具体验证即可.