线性规划求最值(详细).
教学课题：线性规划求最值
教学课题：线性规划求最值教学目标：理解线性规划的一般概念，掌握线性规划的基本解题步骤，能够从现实情境中抽象出二元一次不等式组，建立目标函数，并求目标函数的最大及最小值。
通过本节课学习，进一步认识数学在实际生活中的应用，渗透数形结合及数学建模思想，培养学生数学来源于生活、应用于生活的意识。
教学重点：利用二元一次不等式组所表示的平面区域解决目标函数的最值问题。
教学难点：掌握利用数形结合的思想方法在目标函数有不同变化的情形下解决最值问题。
教学过程：一、问题提出有同学提出这样的问题：问题：已知变量x,y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。
若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。
分析解答：如图，做出可行域，由，表示斜率为a -，纵截距为z 的平行直线系，要使的目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值。
则直线y ax z =-+过A 点且在直线4x y +=与3x =之间。
即1a -<-，则的取值范围是(1,)+∞二、引入课题本题通过做出可行域，挖掘a -与z 的几何意义，借助数形结合，利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a 的不等式组，即可求解。
从中锻炼学生较强的基本功，对处理几何动态生成问题能力要求较高。
我们都知道，二元一次不等式组可以表示平面区域，也称约束条件，在线性约束条件下求目标函数的最大最小值问题成为线性规划问题。
处理线性目标函数最值，应注意多用数形结合的数学思想作指导，目标直线要画准确，移动时保持平行，尤其注意直线斜率的应用，它能准确的确定直线的位置。
本节课我们通过几何画板这个画图软件，来探讨一下不同的目标函数在约束条件下的最值取得的技巧和方法。
问题串：求下面目标函数的最值。
1、约束条件为4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，目标函数为2z x y =+。
线性规划求最大值或最小值
线性规划求最大值或最小值linprog2011-09-03 18:43:17| 分类：Matlab | 标签：最优值最优解最大值最小值linprog 函数格|字号大中小订阅式: linprog (f,a,b,a1,b1,xstart,xend)f:求解最小函数的表达式系数矩阵是m*1的矩阵a: w不等式条件约束矩阵其均为形式b:a 对应不等式右边的常数项a1:=等式条件约束矩阵b1:a1 对应不等式右边的常数项xstart:x 的取值范围的最小值的系数矩阵为n*1 的矩阵xend:x 的取值范围的最大值的系数矩阵为n*1 的矩阵函数说明: 不存在的项填写[] 即可函数功能: 线性规划求最优值.例子1:求f=3*x1+6*x2+2*x3 的最大值满足的条件是3*x1+4*x2+x3 w 2x1+3*x2+2*x3 w 1且x1 、x2、x3 均大于等于0Matlab 求解如下a =[ 3 4 11 32 ]b =[ 21 ]f=[ -3 -6-2 ] %这里为什么会是负数, 因为Matlab 求的是f 的最小值, 要求最大值则取要求系数的相反数即可x=[ 0 00 ]linprog (f,a,b,[],[],x,[]) %执行的matlab 命令后输出的如下内容. 注意这里的[] 表示那一项不存在. 当然最后那一个[] 也可以不要即linprog(f,a,b,[],[],x)Optimization terminated.ans =0.40000.20000.000 0%即x1=0.4,x2=0.2,x3=0 为最优解. 带回原式我可以知道f 的最大值=3*0.4+6*0.2=2.4例子2:求f=-2*x1-3*x2-x3 的最小值满足的条件是x1+x2+x3W 3x1+4*x2+7*x3+x4=9且x1、x2、x3、x4均大于等于0Matlab 求解如下原题等价于求f=-2*x1-3*x2-x3+0*x4 的最小值其条件等价于x1+x2+x3+0*x4W3x1+4*x2+7*x3+x4=9则在Matlab 输入如下内容a=[1 1 1 0] b=[3] a1=[1 4 7 1] b1=[9]x=[ 00]f=[ -2-3-1 0]linprog (f,a,b,a1,b1,x) %执行命令或者输入linprog(f,a,b,a1,b1,x,[])Optimization terminated.ans =1.00002.00000.00000.0000 %说明x1=1,x2=2,x3=0,x4=0 取得最小值说明：任何线性规划问题都可以转化为上面的问题求解.细节问题请Google线性规划标准形式1、当目标函数求最大值时，例如求f=a1*x1+a2*x2+ ……+an*xn的最大值时这个时候等价于求f=-a1*x1-a2*x2- ......... -an*xn 的最小值2、当约束条件为a1*x1+a2*x2+ ....... +an*xn >b这种形式的时候其约束等价于a1*x1+a2*x2+ ...... +an*xn -xnn=b 即多了一个xnn(xnn > 0)变量3、当一个变量比如x1是无约束的变量时，其实等价于x1=x2-x3即把一个变量x1分解成2个变量x2与x3之差(x2、x3> 0)把是x1的地方替换为(x2-x3)即可求解线性规划问题:J TPmin f r smch t hnt Apq，jf - fw7b jr线性规划问题其中，f, x, b, beq, lb, ub为向量,A, Aeq为矩阵。
不等式简单的线性规划问题利用简单的线性规划求最值
线性规划问题的应用
生产计划
如何安排各种资源（如人力、原材 料、设备等）以生产出最大利润或 最小成本的产品。
货物运输
如何安排车辆或船只运输货物，使 得运输成本最低或运输时间最短。
资源分配
如何将有限的资源分配给不同的项 目或任务，以获得最大的效益。
配料问题
如何在满足一定质量要求的条件下 ，使用最少的原料或以最小的成本 配制出所需的产品。
引入人工变量
对于不等式约束条件，可以引入人工变量来扩展变量的维度，将不等式约束条件 转换为等式约束条件。
不等式约束条件下线性规划问题的求解方法
将不等式约束条件加入目标函数中
将不等式约束条件加入目标函数中，并求解目标函数的最小值或最大值。
利用线性规划求解
对于不等式约束条件下线性规划问题，可以利用线性规划的求解方法，如单 纯形法、椭球法等来求解目标函数的最小值或最大值。
数据科学
1. 研究大数据分析中的优化问题；2. 探索高效的数据处理和特征提取方法；3. 提高数据 分析和处理的精度和效率。
THANKS
谢谢您的观看
迭代法
通过不断迭代，逼近最优解。
优化问题的实际应用
资源分配问题
如何分配有限资源，使得产出最大化或成本最小 化。
运输问题
如何制定最优运输计划，使得运输成本最低且满 足需求。
选址问题
如何在多个候选地点中选择最优地点，使得某项 业务运营成本最低或收益最大。
06
总结与展望
不等式简单的线性规问题求解方法的优缺点
05
利用简单的线性规划解决优化问题
优化问题的定义与分类
定义
优化问题是在一定约束条件下，寻求一个或多个自变量取何值时，使得目标 函数取得极值（极大值或极小值）。
使用Pythonscipylinprog线性规划求最大值或最小值(使用Python学习数学
使用Pythonscipylinprog线性规划求最大值或最小值（使用Python学习数学Python的scipy库中的linprog函数可以用于求解线性规划问题。
线性规划是一种数学优化问题，旨在找到使得线性目标函数在一组线性约束条件下最大或最小的变量值。
首先，我们需要导入必要的库和函数：```pythonfrom scipy.optimize import linprog```linprog函数的基本语法如下：```pythonlinprog(c, A_ub=None, b_ub=None, A_eq=None, b_eq=None, bounds=None, method='simplex', callback=None, options=None) ```其中，参数c是目标函数的系数，说明了我们希望最大化或最小化的变量。
系数向量的长度就是变量的个数。
参数A_ub和b_ub是不等式约束条件，表示一个或多个线性不等式约束条件。
A_ub是一个矩阵，每一行表示一个不等式约束，而b_ub是一个向量，表示不等式约束的右边界。
参数A_eq和b_eq是等式约束条件，用于表示一个或多个线性等式约束条件。
A_eq是一个矩阵，每一行表示一个等式约束条件，而b_eq是一个向量，表示等式约束的右边界。
参数bounds用于指定变量的上下界限制。
参数method指定求解器的类型，默认为simplex，还可以选择revised simplex（改进型单纯形法）、interior-point（内点法）等。
让我们来看一个简单的线性规划问题结局具体的使用方法。
假设我们想要最大化目标函数z=3x+4y，同时满足以下两个不等式约束条件：x>=0、y>=2，以及以下两个等式约束条件：x+y=4、2x+y<=9：```pythonc=[-3,-4]A_ub = [[-1, 0], [0, -1], [-2, -1]]b_ub = [0, -2, -9]A_eq = [[1, 1]]b_eq = [4]bounds = [(None, None), (2, None)]```然后，我们调用linprog函数来求解问题：```pythonresult = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, bounds=bounds)```最后，我们可以打印结果：```pythonprint(result)```完整代码如下：```pythonfrom scipy.optimize import linprogc=[-3,-4]A_ub = [[-1, 0], [0, -1], [-2, -1]]b_ub = [0, -2, -9]A_eq = [[1, 1]]b_eq = [4]bounds = [(None, None), (2, None)]result = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, bounds=bounds)print(result)```运行这段代码，我们将得到以下输出：```con: array([0.])fun: -10.0message: 'Optimization terminated successfully.'nit: 4slack: array([2., 0., 5.])status: 0success: Truex: array([2., 2.])```结果中包含了最优解、目标函数的最优值、限制条件的松弛变量等信息。
利用简单的线性规划求最值 课件
作出直线 y＝34x，平移得最优解 M(3,5)，N(5,3 x＝5，y＝3 时，zmax＝3.
答案：A
[研一题]
[例 2]
x－y＋2≥0， 已知x＋y－4≥0，
2x－y－5≤0，
求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值；
(2)z＝2xy＋＋11的取值范围．
名称
意义
最优解
线性规划 问题
使目标函数取得 最大值或最的小可值行解
线性约束
在
条件下求线性目标函数的最大值或最小
值问题
[小问题·大思维] 1．在线性约束条件下，最优解唯一吗？
提示：最优解可能有无数多个，直线l0：ax＋by＝0与可 行域中的某条边界直线平行时求目标函数z＝ax＋by＋c 的最值，最优解就可能有无数多个．
4．在线性目标函数z＝x－y中，目标函数z的最大、最小 值与截距的对应关系又是怎样的？ 提示：z的最大值对应截距的最小值，z的最小值对应 截距的最大值．
[研一题]
[例 1]
x≥－3， 设 x、y 满足约束条件－y≥4－x＋4，3y≤12，
4x＋3y≤36，
求目
标函数 z＝2x＋3y 的最小值与最大值．
[自主解答] 由约束条件画出可行域(如图所示)为矩 形ABCD(包括边界)．
点C的坐标为(3,1)，z最大即直线y＝－ax＋8在y轴上 的截距最大，
∴－a<kCD，即－a<－1. ∴a>1. 即a的取值范围为(1，＋∞)．
在例3的条件下，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大 值的点有无数个，求a的取值范围．
[自主解答] 作出可行域如图，并求 出顶点的坐标 A(1,3)、 B(3，1)、C(7,9)． (1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域 内任一点(x，y)到定点 M(0,5)的距离的 平方，过 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 上，故 z 的最小值|MN|2＝92.
线性规划求最大值或最小值
线性规划求最大值或最小值linprog2011-09-03 18:43:17| 分类：Matlab | 标签：最优值最优解最大值最小值linprog |字号大中小订阅函数格式:linprog(f,a,b,a1,b1,xstart,xend)f:求解最小函数的表达式系数矩阵是m*1的矩阵a:≤不等式条件约束矩阵其均为形式b:a对应不等式右边的常数项a1:=等式条件约束矩阵b1:a1对应不等式右边的常数项xstart:x的取值范围的最小值的系数矩阵为n*1的矩阵xend:x的取值范围的最大值的系数矩阵为n*1的矩阵函数说明:不存在的项填写[]即可函数功能:线性规划求最优值.例子1:求f=3*x1+6*x2+2*x3的最大值满足的条件是3*x1+4*x2+x3≤2x1+3*x2+2*x3≤1且x1、x2、x3均大于等于0Matlab求解如下a =[ 3 4 11 32 ]b =[ 21 ]f=[ -3-6-2 ]%这里为什么会是负数,因为Matlab求的是f的最小值,要求最大值则取要求系数的相反数即可. x=[ 00 ]linprog(f,a,b,[],[],x,[])%执行的matlab命令后输出的如下内容.注意这里的[]表示那一项不存在.当然最后那一个[]也可以不要即linprog(f,a,b,[],[],x)Optimization terminated.ans =0.40000.20000.0000%即x1=0.4,x2=0.2,x3=0为最优解.带回原式我可以知道f的最大值=3*0.4+6*0.2=2.4例子2:求f=-2*x1-3*x2-x3的最小值满足的条件是x1+x2+x3≤3x1+4*x2+7*x3+x4=9且x1、x2、x3、x4均大于等于0Matlab求解如下原题等价于求f=-2*x1-3*x2-x3+0*x4的最小值其条件等价于x1+x2+x3+0*x4≤3x1+4*x2+7*x3+x4=9则在Matlab输入如下内容a=[1 1 1 0]b=[3]a1=[1 4 7 1]b1=[9]x=[ 00]f=[ -2-3-10]linprog(f,a,b,a1,b1,x)%执行命令或者输入linprog(f,a,b,a1,b1,x,[])Optimization terminated.ans =1.00002.00000.00000.0000%说明x1=1,x2=2,x3=0,x4=0取得最小值说明:任何线性规划问题都可以转化为上面的问题求解.细节问题请Google线性规划标准形式1、当目标函数求最大值时,例如求f=a1*x1+a2*x2+……+an*xn的最大值时这个时候等价于求f=-a1*x1-a2*x2-……-an*xn的最小值2、当约束条件为a1*x1+a2*x2+……+an*xn≥b这种形式的时候其约束等价于a1*x1+a2*x2+……+an*xn-xnn=b即多了一个xnn(xnn≥0)变量3、当一个变量比如x1是无约束的变量时,其实等价于x1=x2-x3即把一个变量x1分解成2个变量x2与x3之差(x2、x3≥0)把是x1的地方替换为(x2-x3)即可求解线性规划问题：线性规划问题其中，f, x, b, beq, lb, ub为向量, A, Aeq为矩阵。
线性规划求最值(详细)
其中P( x, y), M (1,0) 2 2 由图知 PM 1的最小值 AM 1
解：z （x 1) y 1 PM 1
2
2
补：x y OP
2 2
2
zmin 2 1 1
2
A P( x, y)
O
其中P( x, y)
2
B
由图知 OP 的最小值 d
z=2x+y
可行解： 满足约束条件的解(x,y) 即不等式组的解 可行域: 可行解组成的集合 （阴影部分） A(5,2),B(1,1) 最优解： 使目标函数取得最值的可行解 y x=1 2x+y=ｚ 线性规划问题： 可行域 线性目标函数在线性约 最优解 束条件下的最值 的问题
o
1 x-4y+3=0
A（5，2）
(1)求z x y 10y 25最小值
x y20 (2) x，y满足 x y 4 0 2x y 5 0 2 2
2 2
2 y 1 ( 2)求 的范围 x 1
x y20 C
M
(1)解：z x （y - 5） PM
其中P( x, y), M (0,5)
(1)画区域
（2）z 2 x 3 y化为y x 3 2 z 3 表示斜率为 ，纵截距为 的一组平行线 3 3
x 2 y 8 （4）解方程组 得点A(4,2) 4 x 16
(3)直线过点 A 时纵截距最大，此时z最大,过点 O 时z最小
zmax 2 4 3 6 14 Zmin 0 注：斜率越大， 倾斜角越大
2
由图知 PM 最小值 d 2
2
A
N
线性规划求最值的常见题型
y
x+y=1 x-y=0
1
C
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
y=-1
B(-1,-1)
������0（2，-1）A
[类题通法] 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理 解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可 行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点 或最小值点．
(2)������ = ������������++31的最值.
从目标函数的 几何意义思考
非线性目标函 数
（1）������ = (������ + 3)2+(������ + 1)2的最大值和最小值
可求得������可���目���9���行标���,���域8函���������中数.=的���的������点几������������到������何���������P2意=点义=的���可���距2���表���离22示的5=为平654
线性规划求最值的常见题型
龙海一中 徐艺凤
线性规划求最值常见的题型有
一、求线性目标函数的最值问题 二、求非线性目标函数的最值问题 三、实际问题中的最值问题
题型一、求线性目标函数的最值
x-y≥0 例1.设x,y满足约束条件： x+y-1 ≤ 0
y ≥ -1
线性目标函 数
求z=2x+y最大值与最小值。
在这里甲、乙两个电视 台的广告时间为主要变 量，公司的收益为两个 电视台获得的收益总和， 故可设两个电视台的广 告时间,列出不等式组
和建立目标函数。
间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ [解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别
线性规划经典例题及详细解析
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题1. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题2. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 。
3. 已知变量x ，y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则 yx的取值范围是（ ）.A. [95，6]B.（－∞，95]∪[6，＋∞）C.（－∞，3]∪[6，＋∞）D. [3，6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题4. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是 。
四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题5. 已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。
若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。
6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ）A. －3B. 3C. －1D. 1五、求可行域的面积7. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为 （ ）A. 4B. 1C. 5D. 无穷大图1解析：1.如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18。
图22. 如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。
由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。
22x y +的最小值是为5。
线性规划最值问题
C 1,1
1
0
x1
x
x 4y 3 0 例:变量x,y满足 3 x 5 y 25 0， x 1 (1)设z=4x-3y,求z的最大值； y (2)设z= ，求z的最小值；
x
y
5
22 A 1, 5
y y0 ( 2) z x x0 z的值是可行域中的点 与原点O连线的斜率。
y1 (其中k为小于零的常数)时， 的最小值为2， x
能力提升
则实数k的值是________． -3
解析：不等式组所表示的 可行域如图所示， 点P(x，y)为可行域内的点时
k 1 y1 3 有 ＝kBP≥kBA＝ ＝2， x k 3 解得k＝－3.
一个半平面内的点的坐标适合不等式 Ax＋By＋C＞0 , 而另一个半平面内的点的坐标适合不等式Ax＋By＋C＜0 , 即直线Ax＋By＋C＝0划分平面所成两个半平面的点,分 别由不等式Ax＋By＋C＞0与Ax＋By＋C＜0决定.因此, 如同前面所学平面内的直线可以视为二元一次方程的 几何表示一样,半平面就是二元一次不等式的几何表示．
B 5,2
1
C 1,1
1
观察可知zmin kOB
x
2 5
0
x 4y 3 0 例:变量x,y满足 3 x 5 y 25 0， x 1 (3)设z= x 2 y 2 ,求z的取值范围.
( 3) z x 2 y 2的几何意义 是可行域中的点到原点 O
基础自查
(2)判断不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域,可在直 线Ax＋By＋C＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点， 如选原点或坐标轴上的点来验证 Ax＋By＋C 的 符号的正负．当C≠0时，常选用 原点 ． 2．二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中， 表示平面区域，直线l应画成 虚线 ，画不等式 Ax＋By＋C≥0所表示的区域时,应把边界画成 实线 ．
线性规划求最值(详细)
z=2x+y
可行解： 满足约束条件的解(x,y) 即不等式组的解 可行域: 可行解组成的集合 （阴影部分） A(5,2),B(1,1) 最优解： 使目标函数取得最值的可行解 y x=1 2x+y=ｚ 线性规划问题： 可行域 线性目标函数在线性约 最优解 束条件下的最值 的问题
o
1 x-4y+3=0
A（5，2）
B（1，1） 3x+5y-25=0
x
理解记忆：三个转化 转化
约束条件
可行域
一组平行线 A Z y x Β B
寻找平行线的 最大(小) 纵截距
目标函数 Z=Ax+By
转化
最优解
转化
四个步骤： 1.画：画可行域 2.移：线性目标函数表示的一组平行线中，利用平移方 法找出与可行域公共点且纵截距最大或最小的直线 3. 求：求交点点的坐标，并求最优解 4.答：
B A
(3)平移直线y x
O
(4)直线过点 A 时z值最大;过点 B时z值最小.
解方程组求交点A(1,1),B(0,3)
Zmax 1 1 0, Zmin 0 3 3
基本概念： 线性约束条件：
目标函数，线性目标函数
x 4 y 3 3 x 5 y 25 x 1
一、目标函数
A 1 z Ax By即y x z表示一组平行线， B B A 1 其中 为斜率， z为纵截距， B B 当B>0时, 当直线向上平移时,所对应的截距随之增大;z 增大 . ---------向下----------------------------------减小. Z 减小. 当B<0时, 当直线向上平移时,所对应的截距随之增大，但z 减小 . ---------向下----------------------------------减小，但z 增大.
线性规划距离式斜率式求最值
，若目标
【答案】A
函数 （其中 ) 【解析】解：如图所示，线性规划区域为三角形 ABC，而a目标函0数,的b斜率为0k 的a <最0， 大值为 3,则 b
a
0,b
( 0A,()1a
b2).
1 3
(1a3
b2)(a(B2b)) 13
(5. 2ba
12ab)(C
)
.2
1 (5 2 2a 2b) 3 3 ba
|PQ|有最小值为32. 答案：A
| x | | y | 2
1.(2011
杭西高
8
月高三数学试题)若平面区域
y
2
k
(x
1)
是一个三角形，
l2 y
则 k 的取值范围是
]
l1
O
l3
x
【答案】 ,2
0,
2 3
l4
A(-1,-2))
【解析】如图直线 y 2=k(x 1)恒过点 A(-1,-2），符合条件的
可行解
满足线性约束条件 x，y 的解(x，y)叫做 ________
可行域
所有可行解组成的集合叫做________
最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 线性规划问题
或最小值的问题
考点二 求线性目标函数的最值
【例 2】
(2010·福建)若 x，y∈R，且xx≥－坐标A(1,3)、 B(3,1)、C(7,9)． (1) 易知可行域内各点均在直线x＋2y－4＝0的上方， (2) 故x＋2y－4>0， 将C(7,9)代入z得最大值为21. (2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方， 过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值为|MN|2＝92. (3)z＝2·xy－－－－121 表示可行域内任一点(x，y)与定点Q －1，－12 连线的斜率
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（2）z 2 x 3 y化为y x 3 2 z 3 表示斜率为 ，纵截距为 的一组平行线 3 3
x 2 y 8 （4）解方程组 得点A(4,2) 4 x 16
(3)直线过点 A 时纵截距最大，此时z最大,过点 O 时z最小
zmax 2 4 3 6 14 Zmin 0 注：斜率越大， 倾斜角越大
注意：斜率大小及截距符号。
解：z x y化为y x z， 与直线y x平行,纵截距为-z
直线过点 A 时z值最大; 过点 B 时z值最小.
x 0 1. x , y满足 x 2 y 3 2 x y 3
求z=x-y的最值
B A
解方程组得点A(1,1),B(0,3)
z=2x+y
可行解： 满足约束条件的解(x,y) 即不等式组的解 可行域: 可行解组成的集合 （阴影部分） A(5,2),B(1,1) 最优解： 使目标函数取得最值的可行解 y x=1 2x+y=ｚ 线性规划问题： 可行域 线性目标函数在线性约 最优解 束条件下的最值 的问题
o
1 x-4y+3=0
A（5，2）
1.二元一次方程Ax+By+C=0 对应的图形为 直线 . 2.二元一次不等式Ax + By + C＞(<)0表示对应直线 Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平面区域。 3.>0 (或<0) 时, 直线画成虚线;区域不包括边界直线 ≥0(或≤0)时,- --- --- - -实线.区域包括- - - - - -- -4. P(x0,y0)在Ax+By+C<0表示的区域内，则 Ax0+By0+C<0 - - -- - - -- 在Ax+By+C>0- - - -- - -，则Ax0+By0+C>0 5.点P(x1,y1), Q(x2,y2) 在直线Ax+By+C=0的 同侧同号， ( Ax +By +C)(Ax +By +C) >0 1 1 2 2 (1)同侧，则 异侧异号 ( Ax +By +C)(Ax +By +C) <0 1 1 2 2 (2)两侧，则
可求A(3,-3 - k )
zmin 2 3 4(3 k ) 6 k 0
x yk 0
A
3
4.z=mx+y(m>0)取得最大值的最优解有无数个,求m
解：z mx y化为y mx z m 0
B（1，1） 3x+5y-25=0
x
一、目标函数
A 1 z Ax By即y x z表示一组平行线， B B A 1 其中 为斜率， z为纵截距， B B 当B>0时, 当直线向上平移时,所对应的截距随之增大;z 增大 . ---------向下----------------------------------减小. Z 减小. 当B<0时, 当直线向上平移时,所对应的截距随之增大，但z 减小 . ---------向下----------------------------------减小，但z 增大 .
O
zmax 1 1 0, zmin 0 3 3 3 z 0
x y 5 0 z 2 x 4 y最小值 -6，求k 3. x 3 x y 5 0 x y k 0 1 z 解： z 2 x 4 y化为 y x 2 2 1 与y x平行 2 当直线过 A 点，z最小. O
B A
(3)平移直线y x
O
(4)直线过点 A 时z值最大;过点 B时z值最小.
解方程组求交点A(1,1),B(0,3)
Zmax 1 1 0, Zmin 0 3 3
基本概念： 线性约束条件：
目标函数，线性目标函数
x 4 y 3 3 x 5 y 25 x 1
x 0 求z=x-y的最值 2. x , y满足 y 0 x y 1
(2) z x y化为y x z，斜率为1， 纵截距为-z的一组平行线 l
(4)直线过点A时纵截距-z最小，z最大; 过点B时纵截距-z最大，z最小. 交点A(1,0),B(0,1) (1)画区域
x y 5 0 x y 0 x 3
y
x+y=0
5
-5 O
x
x-y+5=0
x=3
注：不等式组表示的平面区域是各不等式 所表示平面区域的公共部分。
1.点(-1,2)和(3,- 3)在直线3x+y-a=0两侧，则a的范围 解：点(-1,2)和(3,- 3)在直线3x+y-a=0的两侧，将这两 点坐标代入3x+y-a=0后，符号相反，
6.二元一次不等式Ax+By+C> 0(<0) 对应区域判别方法:
特殊点法
直线定界，特殊点定域； 当C≠0时,取原点(0,0)为特殊点， 当C=0时, (1,0)或(0, 1) 为特殊点。
若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域， 否则是另一侧区域为需画区域。
例：画出不等式组
表示的平面区域.
B
(3)平移直线y x
O
A
x y 1
Zmax 1 0 1, Zmin 0 1 1.
注意： 目标函数化为斜截式后， 分析斜率大小；z的系数符号。
x 0 1. x , y满足 x 2 y 3 2 x y 3
求z=x-y的最值
(2) z x y化为y x z， 斜率为1，纵截距为-z的 一组平行线 l
.
∴(-3+2+a)(9-3-a) <0， 得－1＜a＜6.
2.点(-1,2) 在5x+y-a<0表示的区域内，则a的范围 -5+2-a <0，得a>-3 .
x+2y≤8 例1. 4x≤16 求z=2x+3y的最值 4y≤12 x≥0 ,y≥0
B(2,3)
3
O 2
4z
AHale Waihona Puke 补(1)求z=x+4y的最值 (2)求z=x+2y的最值