空间解析几何知识点资料讲解
空间解析几何知识点
空间解析几何知识点在数学中，解析几何是研究几何图形与代数表达式之间关系的分支学科。
解析几何广泛应用于物理、工程学和计算机图形学等领域。
而在解析几何中，空间解析几何是其中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何形状和位置关系。
本文将就空间解析几何的一些重要知识点进行探讨。
一、平面与直线的表示在空间解析几何中，平面和直线是两个基本的几何概念。
我们可以通过向量和点坐标来表示平面和直线。
对于平面来说，如果已知平面上的一个点A和两个不共线的向量AB和AC，那么平面上的任意一点P都可以表示成向量AP的线性组合，即P=A+x(AB)+y(AC)，其中x、y为实数。
而对于直线来说，如果已知直线上的一个点A和一个不为零的向量u，那么直线上的任意一点P都可以表示成P=A+tu，其中t 为实数。
二、平面与平面的位置关系在空间解析几何中，平面与平面的位置关系有三种情况：相交、平行和重合。
我们可以通过向量来判断平面与平面的位置关系。
如果两个平面的法向量不平行，那么它们一定相交于一条直线；如果两个平面的法向量平行但不重合，那么它们一定平行；如果两个平面的法向量相等，那么它们重合。
三、直线与直线的位置关系在空间解析几何中，直线与直线的位置关系也有三种情况：相交、平行和重合。
我们同样可以通过向量来判断直线与直线的位置关系。
如果两条直线的方向向量不平行，那么它们一定相交于一个点；如果两条直线的方向向量平行但不重合，那么它们一定平行；如果两条直线的方向向量相等，并且经过它们的一点也相等，那么它们重合。
四、平面与直线的位置关系在空间解析几何中，平面与直线的位置关系也有三种情况：相交、平行和包含。
对于平面与直线的相交关系，我们可以通过求解平面与直线的交点来判断。
如果平面与直线有且只有一个交点，那么它们相交；如果平面与直线没有交点，那么它们平行；如果平面包含直线，那么它们重合。
五、球面与直线的位置关系在空间解析几何中，球面与直线的位置关系也有三种情况：相交、不相交和切线。
空间解析几何知识点
空间解析几何知识点1. 空间直角坐标系- 定义：由三条互相垂直的直线（x轴、y轴、z轴）确定的坐标系。
- 坐标表示：任意一点P的坐标表示为(x, y, z)。
- 距离公式：两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)之间的距离为√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)。
2. 向量及其运算- 向量定义：具有大小和方向的量。
- 向量表示：向量a表示为a = (a1, a2, a3)。
- 向量加法：a + b = (a1+b1, a2+b2, a3+b3)。
- 向量数乘：k * a = (ka1, ka2, ka3)。
- 向量点积：a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
- 向量叉积：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 -a2b1)。
- 向量模：|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
- 向量方向余弦：向量a的方向余弦为(a1/|a|, a2/|a|, a3/|a|)。
3. 平面方程- 点法式：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0，其中A、B、C为平面的法向量，(x0, y0, z0)为平面上一点。
- 两点式：(y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)，表示过两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)的平面。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
4. 直线方程- 参数式：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct，其中(x0,y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
- 点向式：(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c，其中(x0, y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是三维空间中研究点、线、面等几何对象的数学分支。
通过坐标系和向量等数学工具，可以描述和分析三维空间中的几何形状、位置关系和运动方式。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、坐标系、向量运算和几何性质，并应用于实际问题。
一、空间解析几何的基本概念在空间解析几何中，我们首先需要了解点、直线、平面和空间的基本概念。
1. 点：点是空间中最基本的几何对象，用坐标表示。
在三维空间中，一个点可以由三个坐标确定，分别表示其在x轴、y轴和z轴上的位置。
2. 直线：直线是由无数个点组成的，在空间中没有宽度和厚度。
直线可以由一个点和一个方向向量确定，或者由两个不重合的点确定。
3. 平面：平面是由无数个点组成的，在空间中有宽度但没有厚度。
平面可以由一个点和两个不共线的方向向量确定，或者由三个不共线的点确定。
4. 空间：空间是由所有的点组成的，是点的集合。
在空间中，我们可以研究点、直线、平面和它们之间的相互关系。
二、空间解析几何的坐标系为了方便描述和计算，在空间解析几何中常常使用坐标系来表示点、向量和几何对象。
常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴、y轴和z轴。
在直角坐标系中，点的坐标表示为(x, y, z)，它们分别表示点在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
2. 柱面坐标系：柱面坐标系由极径、极角和高度构成。
极径表示点到z轴的距离，极角表示点在xy平面上的投影与x轴正半轴之间的夹角，高度表示点在z轴上的投影长度。
三、空间解析几何的向量运算在空间解析几何中，向量是一个有大小和方向的量。
向量可以表示位移、速度、力等物理量，也可以用来表示线段、直线、平面等几何对象。
1. 向量的表示：在空间解析几何中，向量通常用有序数组表示，如a = (a₁, a₂, a₃)。
其中，a₁、a₂和a₃分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
2. 向量的运算：空间解析几何中的向量运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
高等数学中的空间解析几何
高等数学中的空间解析几何一、引言空间解析几何是高等数学中的重要分支之一，它研究的是空间中的点、直线、平面等几何对象的性质和相互关系。
在实际应用中，空间解析几何广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域。
本教案将从基本概念入手，逐步展开论述空间解析几何的相关内容。
二、点与向量1. 点的坐标表示- 在直角坐标系中，点的坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示点在x轴、y轴、z轴上的投影。
- 点的坐标可以用向量表示，即P = x*i + y*j + z*k，其中i、j、k分别是x轴、y轴、z轴的单位向量。
2. 向量的基本性质- 向量的模：向量AB的模表示为|AB|，定义为AB的长度。
- 向量的方向角：向量AB的方向角表示为(α, β, γ)，其中α、β、γ分别表示向量AB与x轴、y轴、z轴的夹角。
- 向量的共线性：若向量AB与向量CD平行或共线，则存在实数k，使得AB = kCD。
三、直线与平面1. 直线的方程- 点向式方程：直线L上一点P的坐标为(x0, y0, z0)，且向量v = (a, b, c) 与直线L平行，则直线L的点向式方程为(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c)，其中t为实数。
- 参数方程：直线L上一点P的坐标为(x0, y0, z0)，且向量v = (a, b, c) 与直线L平行，则直线L的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中t为参数。
- 一般方程：直线L的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数。
2. 平面的方程- 点法式方程：平面π上一点P的坐标为(x0, y0, z0)，且法向量n = (A, B, C)垂直于平面π，则平面π的点法式方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中D = -Ax0 -By0 - Cz0。
- 一般方程：平面π的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数。
空间解析几何
空 间
证
将直线 L1 化为参数方程
y z
2t t
2
5，
L1
L2
解 析 几 何
代入方程又Ls21解 得1,
t 1，故两直线相交于点(1,3,1)．
2,1，
s2
3,1,1，
故所求平面的 法向量 可取
i jk
n s1 s2 1
2
1 1,2, 5 ，
311
所求平面的方程为 x 2 y 5z 0.
几 何
(4 )若b,c 不是共线向量, a 是 b,c 平面上的一个
向量当且仅当存在 , 使得 a b c
杨建新
空间解析几何
1 已知 a,b,c 都是单位向量，且 a b c 0, 求 ab bc ca
解 由于 a b c 0, 于是 (a b c) (a b c) 0,
a
xb |2 xb
| a |2 | | a |)
2
1 |a
|
lim
x0
2xa
b
x
x2
|
b
|2
a b | b | cos(a ^ b) 1 |a|
杨建新
空间解析几何
6、设向量 p、q、r 两两垂直，且 | p | 1，| q | 2，
|r |
3，求向量
s
p
q
r
的模及
s
（1）向量 (2) 向量 a
a
的模为
| a |
的方向角的余弦为
x2 a
y2 z2 的方向余弦。
cos cos
x
,
x2 zy2 z2 .
x2 y2 z2
cos
y ,
x2 y2 z2
空间解析几何基础
空间解析几何基础空间解析几何是数学中一个重要的分支，它研究了在三维空间中点、直线、平面和曲线的性质和相互关系。
本文将介绍空间解析几何的基础概念和常见问题的解决方法，帮助读者掌握这一领域的基本知识。
一、点的表示和坐标系在空间解析几何中，点的位置通常通过坐标来表示。
我们常用的坐标系是三维直角坐标系，它由三个相互垂直的坐标轴组成，分别记为x 轴、y轴和z轴。
一个点的坐标可以用一个有序数对(x, y, z)来表示，其中x表示点在x轴上的投影，y表示点在y轴上的投影，z表示点在z轴上的投影。
二、直线的表示和性质在空间解析几何中，直线可以通过两点或者一点和方向向量来表示。
假设直线上有两点A和B，我们可以通过将这两点的坐标代入参数方程：x = xA + t(xB - xA)y = yA + t(yB - yA)z = zA + t(zB - zA)其中t为参数，可以取任意实数。
由参数方程可以得到直线的一些性质，比如两点确定一条直线以及直线上所有点的坐标满足参数方程。
三、平面的表示和性质与直线类似，平面可以通过三点或者一个点和两个方向向量来表示。
假设平面上有三点A、B和C，我们可以通过将这三点的坐标代入方程：Ax(x - xA) + Ay(y - yA) + Az(z - zA) = 0其中Ax、Ay和Az分别表示平面的法向量的分量，(x, y, z)为平面上任意一点的坐标。
由方程可以得到平面的一些性质，比如平面上的所有点的坐标满足平面方程。
四、空间图形的距离和角度在空间解析几何中，我们常常需要计算点到点、点到直线、点到平面和直线间的距离，以及直线与平面的夹角。
这些计算可以通过向量的方法进行。
点P到直线L的距离可以通过向量PA与直线的方向向量的叉乘来计算，即：d = |PA × n| / |n|其中n为直线L的方向向量，|·|表示向量的模。
类似地，点P到平面的距离可以通过向量PA与平面的法向量的点积来计算，即：d = |PA · n| / |n|两条直线的夹角可以通过它们的方向向量的夹角来计算，即：cosθ = |n₁ · n₂| / (|n₁| |n₂|)其中n₁和n₂分别为两条直线的方向向量，θ为夹角。
第一节 空间解析几何的基本知识.
曲面在 xOy 平面上方
z y
x
当 x 0, y 0 时, z 0
曲面通过坐标原点，我们把坐标原点叫 做椭圆抛物线的顶点
• M2
Q Ny
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例 1 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
2、球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R的球面
方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有
| MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点Ｍ 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
• x y 0 表示母线平行于
z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
z
o y
x
z
o y
x
一般地,在三维空间
第一节空间解析几何基础知识
(7.4)
其 中 a,b,c,d 为 常 数 , 且 a,b,c 不 全 为 零 . 例 如 , 当 a=b=d=0, 而 c≠0 时 , 得平面方程 z=0, 也就是 xOy 平 面.若a≠0,b≠0,c=d=0时,得平面方程ax+by=0.该平 面垂直与xOy平面,且z轴在该平面上.
11
2.柱面 设L是空间中的一条曲线,与给定直线l平行的
界点的集合,称为D的边界.
30
开区域、闭区域 设D为一开集,P1和P2为D内任 意两点,若在D内存在一条或由有限条直线段组成 的折线将P1和P2连接起来,则称D为连通区域,简 称为区域或开区域;区域与区域的边界点构成的 集合称为闭区域.
31
有界区域、无界区域 若存在正数R,使得
D DR (O)则称D为有界区域;否则,称D为无界区
16
3.二次曲面 三元二次方程 a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0 (7.5) 所表示的空间曲面称为二
次
曲
面
,
其
中
ai,bi,ci(i=1,2,3) 和d均为常数,且ai,bi不全 为零.
17
(1)球面 球心在原点，半径为R的球面： x2+y2+z2=R2 (R>0) (7.6)
( x 2) ( y 3) ( z 4) ( 29)
2 2 2
2
所以球心坐标为(2,－3,－4),半径 R 29 .
25
二次曲面用三元二次方程表示： a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0 (7.5) 而 x2+y2+z2－4x+6y+8z=0 表示一个圆. 因此,由(7.5)式所表示的曲面方程是球面方 程的必要条件是:
空间解析几何知识点总结
空间解析几何知识点总结
空间解析几何是解析几何的一个重要分支，它研究的是三维空间中点、直线、平面等几何对象的性质和相互关系。
以下是空间解析几何的一些重要知识点总结：
1. 空间直角坐标系，空间解析几何的基础是空间直角坐标系，通常用三个相互垂直的坐标轴来表示三维空间中的点的位置。
2. 点的坐标，在空间直角坐标系中，点的位置可以用三个坐标（x, y, z）来表示，其中x、y、z分别代表点在x轴、y轴、z轴上的投影长度。
3. 点的距离公式，两点在空间中的距离可以通过三维空间中的距离公式来计算，即d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-
z1)²)。
4. 向量的运算，空间解析几何中，向量是一个重要的概念，它可以表示空间中的位移和方向。
向量的加法、减法、数量积和向量积是空间解析几何中常见的运算。
5. 空间直线的方程，空间直线可以用参数方程、对称方程和一般方程来表示，这些方程形式各有特点，可以根据具体问题的需要选择合适的表示形式。
6. 空间平面的方程，空间平面可以用点法式方程、一般方程等形式来表示，点法式方程可以直观地表示平面的法向量和过某一点的特点。
7. 空间几何体的性质，空间解析几何还涉及到一些空间几何体的性质，如球、圆柱、圆锥等的方程和性质。
8. 空间解析几何与其它学科的应用，空间解析几何在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用，例如在三维建模、空间定位、运动轨迹分析等方面发挥着重要作用。
以上是空间解析几何的一些重要知识点总结，希望对你有所帮助。
如果你还有其他问题，可以继续问我。
空间解析几何简介-资料
s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s
a2 a1
2. 向量的减法
bab(a) 特别 ba当 时 ,有
a
b
ba
aaa(a)0
a
三角不等式
ba
a bab
a bab
3. 向量与数的乘法 是一个数 , 与
a
的乘积是一个新向量,
记作 a.
规定 : 0时，a与 a同， 向 a a ;
总之: 运算律
:
结 分合 配00律 律时 时,,a (( a a a与 )0 a ) a a . 反 ( ， a 向 a ) a a a a 1 1 可a a ;见 a ;a ;
(ab)a b
若a0,则有单位a向 量a1 a. 因此 a aa
A
B ,
为其方向角.
方向角的余弦称为其方向余弦.
co srx
x x2 y2 z2
z
r
o y
x
co srx
x x2 y2 z2
cos
y r
y x2 y2 z2
z
r
o y
x
cos
z r
z x2 y2 z2
方向余弦的性质: c2 o s c2 o s c2 o s 1 向量 r的 r 单rr位 :(向 c 量 ,o c o s,cso ) s
ur o Ae 1
u e
ur
2
r M B y
此x e u 式r 1 ,称y e u u 为r 2 ,z 向e u r 3 量称 r为 的向 坐量 标r r分沿解三式个坐, 标轴方向x的分向量N.
四、利用坐标作向量的线性运算 设 a (a x,a y,a z)b , (b x,b y,b z),为实数，则
空间解析几何基础
空间解析几何基础空间解析几何是数学中的一个重要分支，它描述了空间中点、直线、平面的性质和它们之间的关系。
本文将介绍空间解析几何的基本概念和应用，帮助读者更好地理解这一领域的知识。
一、空间直角坐标系空间解析几何中使用的坐标系是三维直角坐标系，它由三个互相垂直的坐标轴组成：x轴、y轴和z轴。
一般情况下，我们将x轴水平向右延伸，将y轴水平向上延伸，将z轴垂直向上延伸。
在这个坐标系中，每个点都可以用三个坐标值表示，分别代表其在x、y、z轴上的距离。
二、空间中的点和向量在空间解析几何中，点是最基本的概念之一。
一个点可以用它在空间直角坐标系中的坐标表示。
例如，点P的坐标可以表示为P(x,y,z)。
除了点，向量也是空间解析几何中的重要概念。
向量可以表示从一个点到另一个点的有向线段。
向量的表示方式有多种，其中一种常用的表示方式是向量的起点坐标和终点坐标。
例如，向量AB可以表示为⃗AB。
三、空间中的直线直线是空间解析几何中的另一个重要概念。
空间中的直线可以用一般式方程、点向式方程或者参数方程来表示。
1. 一般式方程一般式方程表示为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D为常数。
这种表示方式可以方便地表示直线在空间直角坐标系中的位置。
2. 点向式方程点向式方程表示为⃗r = ⃗a + t⃗v，其中⃗r为直线上的任意点，⃗a为直线上的已知点，⃗v为直线的方向向量，t为参数。
这种表示方式更加灵活，可以方便地描述直线上的任意点。
3. 参数方程参数方程表示为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中x0、y0、z0为直线上的已知点，a、b、c为参数。
这种表示方式可以将直线的方程分解为三个分量方程，容易进行计算和推导。
四、空间中的平面平面是空间解析几何中的另一个重要概念。
和直线一样，平面可以用不同的方程表示。
1. 一般式方程一般式方程表示为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D为常数。
空间解析几何知识点
, ， ( 为正数）
圆锥面
,由直线 或 绕 轴旋转而成
椭圆抛物面
， , （ 为正数）
双曲抛物面
, , （ 为正数）
单叶双曲面
, ，
双叶双曲面
，
四、平面的表示
方程的形式
相关系数的意义
点法式
方程
为平面上一点， 为平面的法向量
一般式
为平面的法向量
三点式
方程
,
为平面上的三点
截距式
分别为平面在 轴上的截距
五、直线的表示
方程的形式
相关系数的意义
参数式方程
为直线上一点, 为直线的方向向量
标准方程（对称式)
同上
一般式方程
直线的方向向量为
两点式方程
, 为直线上两点,直线的方向向量为
二、向量的运算
定义
坐标表示
备注
向量的数量积
向量的向量积
方向与 、 都垂直,且 、 与 成右手系
=
与 平行
三、ﻩ几类常见的二次曲面及其标准方程
曲面名称
方程
旋转曲面
曲线 绕 轴旋转构成
绕 轴旋转构成
球面
,半径 ,球心
椭球面
抛物柱面
, ; ， ； , （ 为正数）
第七章空间解析几何与向量代数
一、向量的有关定义和性质
定义
坐标表示
备注
向量
（矢量)
具有大小和方向的量
将 的起点放原点,其终点坐标为 ,则 =
=
①向量：
②零向量:
③设
，
则
向量
的模
向量的大小（或长度）
设 ， 则
向量的方向余弦
空间解析几何经典笔记
一.空间解析几何1.向量的线性运算定义：既有大小又有方向的量称为向量。
1.向量的线性运算：（1）向量的加法：向量的加法服从平行四边形法则，满足交换律和结合律（2）向量的数乘：向量的数乘满足结合率和分配律（3）共线向量和共面向量：定义一：方向相同或相反的向量称为共线向量，平行于同一平面的向量称为共面向量；定义二：两向量a、b共线的充分必要存在不全为零的常数λ、μ，使得λa+μb=0。
定义三：三向量a、b、c共面的充分必要条件是存在不全为零的常数k1、k2、k3，使得k1a+k2b+k3c=0。
2.向量的坐标表达式及其运算a=（a x，a y，a z）=a x i+a y j+a z k叫做向量的坐标表达式，（a x，a y，a z）叫向量的坐标。
设a=（a x，a y，a z），b=（b x，b y，b z）则：a+b=（a x+b x）i+（a y+b y）j+（a z+b z）ka+b=（a x-b x）i+（a y-b y）j+（a z-b z）kλα=λ a x i+λa y j+λa z k非零向量a与三条坐标轴正向的夹角α、β、γ称为他的方向角，向量的模、方向角与坐标之间有如下关系：a x=|a|cosαa y=|a|cosβa z=|a|cosγ其中cosα、cosβ、cosγ称为向量a的方向余玄。
利用向量的坐标可得向量的模与方向余弦如下：|a|=a x2+a y2+a z2cosα=a xa x2+a y2+a z2cosβ=aa x2+a y2+a z2，cosγ=a za x2+a y2+a z2 cos2α+ cos2β+ cos2γ=1以向量a的方向余玄为坐标的向量（cosα，cosβ，cosγ）是与向量a同方向的单位向量。
例题：已知两点A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2）以及实数λ≠-1，在直线AB上求点M，使AM=λMB解：计算略。
答案：OM=x1+λx21+λ，y1+λy21+λ，z1+λz21+λ这是向量OM的坐标，也是M点的坐标。
空间解析几何基础知识 介绍
3º 二次曲面
z
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c4) 椭圆抛物面
x y 2z p q
z x
2 2
( p与q同号)
z o y
x
o
y
p0,q0
p0,q0
9
(5) 双曲抛物面(马鞍面)
x y 2 z ( p与q同号) p q
2 2
z o x
10
空间解析几何 基础知识
1
一、空间直角坐标系
1、坐标系的建立
三个坐标轴的正方 向符合右手系.
定点 o 横轴 x
z
竖轴
y 纵轴
即以右手握住 z 轴， 当右手的四个手指 从 x 轴正向以
空间直角坐标系
2 大拇指的指向就是 z 轴的正向. 度转向 y 轴正向时，
2
角
2º 球面方程
R M0 M
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R2 .
y
(6) 双曲抛物面(马鞍面)
x y 2z p q
2 2
z
o x y
11
球心在原点时方程为
x y z R .
2
2
2
2
3
二、曲面及其方程
定义: 若曲面S与三元方程F (x, y, z) = 0 有如下关系:
z
那末, 方程F (x, y, z) =0叫 做曲面S的方程, 而曲面S 叫做方程F (x, y, z) =0的图
o
F (x, y, z) = 0 S
形.
x
y
4
三、常见的空间曲面
1º 平面
平面的一般方程:
空间解析几何知识点
， ， }
二、向量的运算
定义
坐标表示
备注
向量的数量积
向量的向量积
方向与 、 都垂直，且 、 与 成右手系
=
与 平行
三、几类常见的二次曲面及其标准方程
曲面名称
方程
旋转曲面
曲线 绕 轴旋转构成
绕 轴旋转构成
球面
，半径 ，球心
椭球面
， 为椭球面的半径
圆柱面
， ，
椭圆柱面
， ，
抛物柱面
， ； ， ； ， （ 为正数）
空间解析几何知识点
第七章空间解析几何与向量代数
一、向量的有关定义和性质
定义
坐标表示
备注
向量
（矢量）
具有大小和方向的量
将 的起点放原点，其终点坐标为 ，则 =
=
①向量：
②零向量：
③设
，
则
向量
的模
向量的大小（或长度）
设 ， 则
向量的方向余弦
设 与三坐标轴正向的夹角为 、 、 ，则 、 、 为 的方向余弦
五、直线的表示
方程的形式
相关系数的意义
参数式方程
为直线上一点， 为直线的方向向量
标准方程（对称式）
同上
一般式方程
直线的方向向量为
两点式方程
， 为直线上两点，直线的方向向量为
双曲柱面
， ， （ 为正数）
圆锥面
，由直线 或 绕 轴旋转而成
椭圆抛物面
， ， （ 为正数）
双曲抛物面
， ， （ 为正数）
单叶双曲面
， ，
双叶双曲面
，
四、平面的表示
方程的形式
相关系数的意义
空间解析几何复习概论
空间解析几何复习概论一、基本概念1.平面：由无穷多条相互平行且等距的直线组成。
2.空间：由无穷多个不在同一平面上且彼此相交的直线组成。
3.点：空间中不具有长度、宽度和高度的几何体。
点用大写字母表示，如A、B、C等。
4.直线：由无穷多个点连成的几何体。
直线用小写字母表示，如l、m、n等。
5.射线：由一个端点和无穷多个通过该端点的点组成的几何体。
6.距离：点与点之间的最短距离。
二、基本性质1.两点确定一条直线。
2.三点不在同一直线上的话，确定一个平面。
3.三线相交于一点。
4.两平行线及其相交线确定两个全等的内角。
即对顶角。
5.平行线与截割线所截割的两平行线上的对应角相等。
三、相关公式1.空间直线的方程：设直线上一点为P(x₁,y₁,z₁)，直线的方向向量为a(m,n,p)，则直线的方程为x-x₁/m=y-y₁/n=z-z₁/p。
2. 点到直线的距离：设直线上一点为P(x₁, y₁, z₁)，直线的方向向量为a(m, n, p)，另一点为A(x, y, z)，则点A到直线的距离为d = ，am+bn+cp，/√(a²+b²+c²)。
3.两点间的距离：设A(x₁,y₁,z₁)和B(x₂,y₂,z₂)是空间中的两个点，则两点间的距离为d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²)。
4. 平面的方程：设平面上一点为P(x₁, y₁, z₁)，平面的法向量为n(a, b, c)，则平面的方程为ax+by+cz+d=0，其中d=-ax₁-by₁-cz₁。
5. 点到平面的距离：设平面上一点为P(x₁, y₁, z₁)，平面的法向量为n(a, b, c)，另一点为A(x, y, z)，则点A到平面的距离为d = ，ax+by+cz+d，/√(a²+b²+c²)。
四、解题技巧1.点、直线和平面位置关系的判断：通过计算点的坐标或者向量的判断，判断点、直线和平面之间的位置关系。
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方程的形式
相关系数的意义
参数式方程
为直线上一点， 为直线的方向向量
标准方程（对称式）
同上
一般式方程
直线的方向向量为
两点式方程
， 为直线上两点，直线的方向向量为
双曲柱面
， ， （ 为正数）
圆锥面
，由直线 或 绕 轴旋转而成
椭圆抛物面
， ， （ 为正数）
双曲抛物面
， ， （ 为正数）
单叶双曲面
， ，
双叶双曲面
，
四、平面的表示
方程的形式
相关系数的意义
点法式
方程
为平面上一点， 为平面的法向量
一般式
为平面的法向量
三点式
方程
，
为平面上的三点
截距式
分别为平面在 轴上的截距
空间解析几何知识点
第七章空间解析几何与向量代数
一、向量的有关定义和性质
定义
坐标表示
备注
向量
（矢量）
具有大小和方向的量
将 的起点放原点，其终点坐标为 ，则 =
=
①向量：
②零向量：
③设
，
则
向量
的模
向量的大小（或长度）
设 ， 则
向量的方向余弦
设 与三坐标轴正向的夹角为 、 、 ，则 、 、 为 的方向余弦
设向量 = ，则
， ， }
二、向量的运算
定义
坐标表示
备注
向量的数量积
向量的向量积
方向与 、 都垂直，且 、 与 成右手系
=
与 平行
三、几类常见的二次曲面及其标准方程
曲面名称
方程
旋转曲面
曲线 绕 轴旋转构成
绕 轴旋转构成
球面
，半径 ，球心
椭球面
， 为椭球面的半径
圆柱面
， ，椭圆柱面源自， ，抛物柱面， ； ， ； ， （ 为正数）