数学归纳法(难点突破,教师版)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
情况． 6. 数学归纳法常用于与正整数有关命题的证明可用数学归纳法．例如根据递推公式写出数 列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证
明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要 注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂
②假设 n＝k(k≥6)时结论成立，那么 n＝k＋1 时，Sk＋1 在 Sk 的基础上新增加的元素在(1，k＋ 1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：
a．若 k＋1＝6t，则 k＝6(t－1)＋5，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋k－2 1＋k－3 2＋3
＝(k＋1)＋2＋k＋2 1＋k＋3 1，结论成立；
数学归纳法
1. 明确数学归纳法的两步证明
【迎考策略】
数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，
两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起
着“已知条件”的作用，在 n＝k＋1 时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关
键是“一凑假设，二凑结论”． 2. 用数学归纳法证明等式应注意的问题 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式
＝(sinA·sinA)coskA+(sinA·sinkA)cosA 及①和归纳假设，知 cos(k+1)A 和 sinA·sin(k+1)A 都是有理数 即当 n＝k+1 时，结论成立 综合①②可知对任意正整数 n，cosnA 是有理数。 证法(二) (2014 级李煦恒提供)：n＝1 时 cosA 是有理数，n＝2 时，cos2A＝2cos2A-1 是有理 数； 假设 n＝k 和 k+1 时，命题成立，即 coskA，cos(k+1)A 为有理数； 而 cos(k+2)A＝cosAcos(k+1)A-sinAsin(k+1)A＝cosAcos(k+1)A+12[cos(k+2)A-coskA] 整理得 cos(k+2)A＝2cosAcos(k+1) A-coskA，由假设 cos(k+2)A 为有理数。 由数学归纳法，命题得证。
n＋2＋n2＋n3，n＝6t，
n＋2＋n－2 1＋n－3 1，n＝6t＋1，
f(n)＝
n＋2＋n2＋n－3 2，n＝6t＋2， n＋2＋n－2 1＋3n，n＝6t＋3，
n＋2＋n2＋n－3 1，n＝6t＋4，
n＋2＋n－2 1＋n－3 2，n＝6t＋5
(t∈N*)
下面用数学归纳法证明：
①当 n＝6 时，f(6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立．
b．若 k＋1＝6t＋1，则 k＝6t，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋2k＋3k＋1
＝(k＋1)＋2＋
k＋1 2
－1＋
k＋1 3
(1)当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归
纳法．
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由 n = k 成立，推证 n = k +1 时也成立，证明时用上
归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明． 4. “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模 式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证 明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应 用．其关键是观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．
2．(2015·江苏高考)已知集合 X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，设 Sn＝{(a，b)|a 整除
b 或 b 整除 a，a∈X，b∈Yn}，令 f(n)表示集合 Sn 所含元素的个数． (1)写出 f(6)的值； (2)当 n≥6 时，写出 f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)Y6＝{1,2,3,4,5,6}，S6 中的元素(a，b)满足： 若 a＝1，则 b＝1,2,3,4,5,6；若 a＝2，则 b＝1,2,4,6；若 a＝3，则 b＝1,3,6. 所以 f(6)＝13. (2)当 n≥6 时，
两边各有多少项，以及初始值 n0 的值．
(2)由 n = k 到 n = k +1 时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用 n = k 时的式子，即
充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．弄清左端应增加的项， 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配 方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘 掉．[来 3. 数学归纳法证明不等式的注意问题
5. 使用数学归纳法需要注意的三个问题 在使用数学归纳法时还要明确： (1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础， 第二步是递推的依据，二者缺一不可；
(2)在运用数学归纳法时，要注意起点 n0 ，并非一定取 1，也可能取 0,2 等值，要看清题
目；Байду номын сангаас
(3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由 n = k 到 n = k +1 时命题变化的
项相消等方法达到证明的目的．
【真题展示】
1.(2010 年)已知△ABC 的三边长为有理数 ⑴求证 cosA 是有理数 ⑵对任意正整数 n，求证 cosnA 也是有理数 证法(一)：(1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知 cosA＝AB22+AABC·A2-CBC2 (2)用数学归纳法证明：cosnA 和 sinA·sinnA 都是有理数（辅助命题） ①当 n＝1 时，由(1)知 cosA 是有理数，从而有 sinA·sinA＝1-cos2A 也是有理数， ②假设当 n＝k(k≥1)时，coskA 和 sinA·sinkA 是有理数， 当 n＝k+1 时，由 cos(k+1)A＝cosA·coskA-sinA·sinkA sinA·sin(k+1)A＝sinA(sinA·coskA+cosA·sinkA)
明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要 注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂
②假设 n＝k(k≥6)时结论成立，那么 n＝k＋1 时，Sk＋1 在 Sk 的基础上新增加的元素在(1，k＋ 1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：
a．若 k＋1＝6t，则 k＝6(t－1)＋5，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋k－2 1＋k－3 2＋3
＝(k＋1)＋2＋k＋2 1＋k＋3 1，结论成立；
数学归纳法
1. 明确数学归纳法的两步证明
【迎考策略】
数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，
两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起
着“已知条件”的作用，在 n＝k＋1 时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关
键是“一凑假设，二凑结论”． 2. 用数学归纳法证明等式应注意的问题 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式
＝(sinA·sinA)coskA+(sinA·sinkA)cosA 及①和归纳假设，知 cos(k+1)A 和 sinA·sin(k+1)A 都是有理数 即当 n＝k+1 时，结论成立 综合①②可知对任意正整数 n，cosnA 是有理数。 证法(二) (2014 级李煦恒提供)：n＝1 时 cosA 是有理数，n＝2 时，cos2A＝2cos2A-1 是有理 数； 假设 n＝k 和 k+1 时，命题成立，即 coskA，cos(k+1)A 为有理数； 而 cos(k+2)A＝cosAcos(k+1)A-sinAsin(k+1)A＝cosAcos(k+1)A+12[cos(k+2)A-coskA] 整理得 cos(k+2)A＝2cosAcos(k+1) A-coskA，由假设 cos(k+2)A 为有理数。 由数学归纳法，命题得证。
n＋2＋n2＋n3，n＝6t，
n＋2＋n－2 1＋n－3 1，n＝6t＋1，
f(n)＝
n＋2＋n2＋n－3 2，n＝6t＋2， n＋2＋n－2 1＋3n，n＝6t＋3，
n＋2＋n2＋n－3 1，n＝6t＋4，
n＋2＋n－2 1＋n－3 2，n＝6t＋5
(t∈N*)
下面用数学归纳法证明：
①当 n＝6 时，f(6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立．
b．若 k＋1＝6t＋1，则 k＝6t，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋2k＋3k＋1
＝(k＋1)＋2＋
k＋1 2
－1＋
k＋1 3
(1)当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归
纳法．
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由 n = k 成立，推证 n = k +1 时也成立，证明时用上
归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明． 4. “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模 式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证 明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应 用．其关键是观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．
2．(2015·江苏高考)已知集合 X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，设 Sn＝{(a，b)|a 整除
b 或 b 整除 a，a∈X，b∈Yn}，令 f(n)表示集合 Sn 所含元素的个数． (1)写出 f(6)的值； (2)当 n≥6 时，写出 f(n)的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)Y6＝{1,2,3,4,5,6}，S6 中的元素(a，b)满足： 若 a＝1，则 b＝1,2,3,4,5,6；若 a＝2，则 b＝1,2,4,6；若 a＝3，则 b＝1,3,6. 所以 f(6)＝13. (2)当 n≥6 时，
两边各有多少项，以及初始值 n0 的值．
(2)由 n = k 到 n = k +1 时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用 n = k 时的式子，即
充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．弄清左端应增加的项， 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配 方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘 掉．[来 3. 数学归纳法证明不等式的注意问题
5. 使用数学归纳法需要注意的三个问题 在使用数学归纳法时还要明确： (1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础， 第二步是递推的依据，二者缺一不可；
(2)在运用数学归纳法时，要注意起点 n0 ，并非一定取 1，也可能取 0,2 等值，要看清题
目；Байду номын сангаас
(3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由 n = k 到 n = k +1 时命题变化的
项相消等方法达到证明的目的．
【真题展示】
1.(2010 年)已知△ABC 的三边长为有理数 ⑴求证 cosA 是有理数 ⑵对任意正整数 n，求证 cosnA 也是有理数 证法(一)：(1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知 cosA＝AB22+AABC·A2-CBC2 (2)用数学归纳法证明：cosnA 和 sinA·sinnA 都是有理数（辅助命题） ①当 n＝1 时，由(1)知 cosA 是有理数，从而有 sinA·sinA＝1-cos2A 也是有理数， ②假设当 n＝k(k≥1)时，coskA 和 sinA·sinkA 是有理数， 当 n＝k+1 时，由 cos(k+1)A＝cosA·coskA-sinA·sinkA sinA·sin(k+1)A＝sinA(sinA·coskA+cosA·sinkA)