面板数据模型与应用

3. 面板数据模型估计方法
• 混合最小二乘（Pooled OLS）估计 （适用于混合模型） • 平均数（between）OLS估计 （适用于混合模型和个体随机效应模型） • 离差变换（within）OLS估计
（适用于个体固定效应回归模型）
• 一阶差分（first difference）OLS估计 （适用于个体固定效应模型）
2.2.2 时点固定效应模型（time fixed effects model）
如果一个面板数据模型定义为， yit = t + Xit ' +it, i = 1, 2, …, N
其中t 是模型截距项，随机变量，表示对于 T 个截面有 T 个不同 的截距项，且其变化与 Xit 有关系；yit 为被回归变量（标量） ，it 为误差项（标量） ，满足通常假定条件。Xit 为 k 1 阶回归变量列 向量（包括 k 个回归变量） ，为 k 1 阶回归系数列向量，则称此 模型为时点固定效应模型。
2.3 随机效应模型
对于面板数据模型 yit = i + Xit' +it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T 如果i 为随机变量，其分布与 Xit 无关； Xit 为 k 1 阶回归变量列向 量（包括 k 个回归量） ，为 k 1 阶回归系数列向量，对于不同个体回 归系数相同，yit 为被回归变量（标量） ，it 为误差项（标量） ，这种模 型称为个体随机效应回归模型（随机截距模型、随机分量模型） 。其 假定条件是 i iid(, 2) it iid(0, 2) 都被假定为独立同分布，但并未限定何种分布。 同理也可定义时点随机效应回归模型和个体时点随机效应回归模型， 但个体随机效应回归模型最为常用。
2.2.2 时点固定效应模型（time fixed effects model）
设定时点固定效应模型的原因。假定有面板数据模型 yit = 0 + 1 xit +2 zt +it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T 其中0 为常数，不随时间、截面变化；对于 T 个截面有 T 个不同的 截距项，zt 表示随不同截面（时点）变化，但不随个体变化的难以 观测的变量。令t = 0 +2 zt，上式变为 yit = t + 1 xit +it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T 这正是时点固定效应模型形式。对于每个截面，回归函数的斜率 相同（都是1） ，t 却因截面（时点）不同而异。可见时点固定效应 模型中的截距项t 包括了那些随不同截面（时点）变化，但不随个 体变化的难以观测的变量的影响。t 是一个随机变量。 以家庭消费性支出与可支配收入关系为例， “全国零售物价指数” 就是这样的一个变量。对于不同时点，这是一个变化的量，但是对 于不同省份（个体） ，这是一个不变化的量。
2.1 混合模型（Pooled model）。
如果一个面板数据模型定义为，
yit = + Xit ' +it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T
其中yit为被回归变量（标量），表示截距项，Xit为k 1阶回归变量列 向量（包括k个回归量），为k 1阶回归系数列向量，it为误差项（标 量）。则称此模型为混合回归模型。混合回归模型的特点是无论对任何 个体和截面，回归系数和都相同。 如果模型是正确设定的，解释变量与误差项不相关，即Cov(Xit,it) = 0。 那么无论是N，还是T，模型参数的混合最小二乘估计量 （Pooled OLS）都是一致估计量。
1．面板数据定义
面板数据（panel data）也称作时间序列与截面混合数据（pooled time series and cross section data）。面板数据是截面上个体在不同时点的 重复观测数据。 panel 原指对一组固定调查对象的多次观测，近年来panel data已经成 为专业术语。
2.2.3 个体时点固定效应模型
如果一个面板数据模型定义为， yit = 0 +i +t + Xit ' +it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T 其中 yit 为被回归变量（标量） ；i 是随机变量，表示对于 N 个个体有 N 个不同的截距项，且其变化与 Xit 有关系；t 是随机变量，表示对于 T 个截面（时点）有 T 个不同的截距项，且其变化与 Xit 有关系；Xit 为 k 1 阶回归变量列向量（包括 k 个回归量） ；为 k 1 阶回归系数 列向量；it 为误差项（标量）满足通常假定(it Xit, i, t) = 0；则称此 模型为个体时点固定效应模型。 如果模型形式是正确设定的，并且满足模型通常的假定条件，对模型 进行混合 OLS 估计，全部参数估计量都是不一致的。正如个体固定 效应回归模型可以得到一致的、甚至有效的估计量一样，一些计算方 法也可以使个体时点双固定效应模型得到更有效的参数估计量。
2.3 随机效应模型
对于个体随机效应模型，E(i Xit) = ，则有，E(yit xit) = + Xit'， 对 yit 可以识别。所以随机效应模型参数的混合 OLS 估计量具有一致 性，但不具有有效性。 注意：术语“随机效应模型”和“固定效应模型”用得并不十分恰当。 其实固定效应模型应该称之为“相关效应模型” ，而随机效应模型应 该称之为“非相关效应模型” 。因为固定效应模型和随机效应模型中 的i 都是随机变量。
N=30，T=50的面板数据示意图
中国各省级地区消费性支出占可支配收入比例走势图
1．面板数据定义
面板数据分两种特征：（1）个体数少，时间长。（2）个体数多，时间 短。面板数据主要指后一种情形。 面板数据用双下标变量表示。
yi t, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T
i对应面板数据中不同个体。N表示面板数据中含有N个个体。t对应面板 数据中不同时点。T表示时间序列的最大长度。
利用面板数据建立模型的好处是：（1）由于观测值的增多，可以增加 估计量的抽样精度。（2）对于固定效应回归模型能得到参数的一致估 计量，甚至有效估计量。（3）面板数据建模比单截面数据建模可以获 得更多的动态信息。
2．面板数据模型分类
用面板数据建立的模型通常有3种，即混合模型、固定效应模型和随机 效应模型。
• 可行GLS（feasible GLS）估计
（适用于随机效应模型）
3．面板数据模型估计方法
面板数据模型中的估计量既不同于截面数据估计量，也不同于时间序列 估计量，其性质随设定固定效应模型是否正确而变化。 3.1 混合最小二乘（Pooled OLS）估计 混合 OLS 估计方法是在时间上和截面上把 NT 个观测值混合在一起，然 后用 OLS 法估计模型参数。给定混合模型 yit = + Xit ' +it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T 如果模型是正确设定的，且解释变量与误差项不相关，即 Cov(Xit,it) = 0。 那么无论是 N，还是 T，模型参数的混合最小二乘估计量都具有 一致性。 对于经济序列每个个体 i 及其误差项来说通常是序列相关的。NT 个相关 观测值要比 NT 个相互独立的观测值包含的信息少。 从而导致误差项的标 准差常常被低估，估计量的精度被虚假夸大。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.2 固定效应模型（fixed effects model） 。
解释设定个体固定效应模型的原因。假定有面板数据模型 yit = 0 + 1 xit +2 zi +it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T 其中0 为常数， 不随时间、 截面变化；每个个体回归函数的斜率1 相同； zi 表示随个体变化，但不随时间变化的难以观测的变量。上述模型可以 被解释为含有 N 个截距，即每个个体都对应一个不同截距的模型。令 i = 0 +2 zi，于是变为 yit = i + 1 xit +it, i = 1, 2, …, N; t = 1, 2, …, T 以家庭消费性支出与可支配收入关系为例， 省家庭平均人口数就是这样 的一个变量，即对于短期面板，这是一个基本不随时间变化的量，但是 对于不同的省份，这个变量的值是不同的。 因为 zi 是不随时间变化的量， 所以当对个体固定效应模型中的变量进行 差分时，可以剔除那些随个体变化，但不随时间变化的 zi 的影响。
3.2 平均数（between）OLS 估计
平均数 OLS 估计法的步骤是首先对面板数据中的每个个体求平均数，共得到 N 个平均数（估计值） 。然后利用 yit 和 Xit 的 N 组观测值估计参数。以个体固 定效应回归模型 yit = i + Xit ' +it 为例，首先对面板中的每个个体求平均数，从而建立模型
第 4 章 面板数据模型与应用
1．面板数据定义 2．面板数据模型分类 3．面板数据模型估计方法 4．面板数据模型检验与设定方法 5．面板数据建模案例分析 6．面板数据的单位根检验 7．EViwes 应用 8．面板数据模型的协整检验
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《面板数据的计量经济分析》，白仲林著，张晓峒主审， 南开大学出版社，2008，书号ISBN978-7-310-02915-0。
2.2 固定效应模型（fixed effects model） 。
个体固定效应模型的强假定条件是， E(iti, Xit) = 0, i = 1, 2, …, N
i 作为随机变量描述不同个体建立的模型间的差异。 因为i 是不可观测
的，且与可观测的解释变量 Xit 的变化相联系，所以称为个体固定效应 模型。 注意： （1） 在 EViews 输出结果中i 是以一个不变的常数部分和随个体变化的 部分相加而成。 （2）在 EViews 5.0 以上版本个体固定效应对话框中的回归因子选项中 填不填 c 输出结果都会有固定常数项。 （3）个体固定效应回归模型的估计方法有多种，首先设法除去i 的影 响，从而保证估计量的一致性。