2019新版考研数学模拟题库(含参考答案)
2019最新考研数学模拟测试题目(含参考答案)
2019最新考研数学模拟试题(含答案)学校:__________ 考号:__________一、解答题1. 确定下列函数的单调区间:(1) 3226187y x x x =---;解:所给函数在定义域(,)-∞+∞内连续、可导,且2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-可得函数的两个驻点:121,3x x =-=,在(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞内,y '分别取+,–,+号,故知函数在(,1],[3,)-∞-+∞内单调增加,在[1,3]-内单调减少.(2) 82 (0)y x x x=+>; 解: 函数有一个间断点0x =在定义域外,在定义域内处处可导,且282y x '=-,则函数有驻点2x =,在部分区间(0,2]内,0y '<;在[2,)+∞内y '>0,故知函数在[2,)+∞内单调增加,而在(0,2]内单调减少.(3) ln(y x =;解: 函数定义域为(,)-∞+∞,0y '=>,故函数在(,)-∞+∞上单调增加. (4) 3(1)(1)y x x =-+;解: 函数定义域为(,)-∞+∞,22(1)(21)y x x '=+-,则函数有驻点: 11,2x x =-=,在1(,]2-∞内, 0y '<,函数单调减少;在1[,)2+∞内, 0y '>,函数单调增加. (5) e (0,0)n x y x n x -=>≥;解: 函数定义域为[0,)+∞,11e e e ()n x n x x n y nx x x n x -----'=-=-函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y '>,函数单调增加;在[,]n +∞上0y '<,函数单调减少.(6) sin 2y x x =+;解: 函数定义域为(,)-∞+∞,πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2x x x n n n y x x x n n n ⎧+∈+∈⎪⎪=⎨⎪-∈-∈⎪⎩Z Z 1) 当π[π,π]2x n n ∈+时, 12cos 2y x '=+,则 1π0cos 2[π,π]23y x x n n '≥⇔≥-⇔∈+; πππ0cos 2[π,π]232y x x n n '≤⇔≤-⇔∈++. 2) 当π[π,π]2x n n ∈-时, 12cos 2y x '=-,则 1ππ0cos 2[π,π]226y x x n n '≥⇔≤⇔∈-- 1π0cos 2[π,π]26y x x n n '≤⇔≥⇔∈-. 综上所述,函数单调增加区间为πππ[,] ()223k k k z +∈, 函数单调减少区间为ππππ[,] ()2322k k k z ++∈. (7) 54(2)(21)y x x =-+.解: 函数定义域为(,)-∞+∞.4453345(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)y x x x x x x x '=-++-+⋅=+-- 函数驻点为123111,,2218x x x =-==, 在1(,]2+∞-内, 0y '>,函数单调增加, 在111[,]218-上, 0y '<,函数单调减少, 在11[,2]18上, 0y '>,函数单调增加, 在[2,)+∞内, 0y '>,函数单调增加.故函数的单调区间为: 1(,]2-∞-,111[,]218-,11[,)18+∞.2.求下列函数在所示点的导数:(1)()sin cos t f t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭,在点π4t =;。
2019新考研高等数学模拟考题(含参考答案)
2019最新考研数学模拟试题(含答案)学校:__________ 考号:__________一、解答题1.求对数螺线a r e θ=相应θ=0到θ=φ的一段弧长. 解:l =⎠⎛0φr 2+r ′2d θ =⎠⎛0φe 2a θ+a 2e 2a θd θ=1+a 2a ()e a φ-1.2.计算下列向量场A 的散度与旋度:(1)()222222,,y z z x x y =+++A ;解:()0,2,,y z z x x y ---(2)()222,,x yz x y z x yz =A ;解:()()()()2222226,,,xy x z y y x z z y x ---(3),,y x z yz z x x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭A . 解:111yz zx xy ++,2222221,,y y z z x x xyz z y x z y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭3.利用四阶泰勒公式,求ln1.2的近似值,并估计误差.解:23455ln(1) (01)2345(1)x x x x x x x θθ+=--+-<<+ 234(0.2)(0.2)(0.2)ln1.2ln(10.2)0.20.18227234∴=+≈-++= 5555(0.2)(0.2)(0.2)7105(10.2)5n R θ-=<≈⨯+4.某人走过一桥的速度为4km ·h -1,同时一船在此人底下以8 km ·h -1的速度划过,此桥比船高200m ,求3min 后,人与船相离的速度.解:设t 小时后,人与船相距s 公里,则d d s s t === 且120d 8.16d t s t ==≈ (km ·h -1)5.计算曲线y =cosh x 上点(0,1)处的曲率.解:sinh ,cosh .y x y x '''==当x =0时,0,1y y '''== ,故 23/21.(1)y k y ''=='+ 6.验证:拉格朗日定理对函数3()2f x x x =+在区间[0,1]上的正确性.验证:因为()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,满足拉格朗日定理的条件. 由(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-得2322ξ=+解得ξ=,即存在ξ=使得拉格朗日定理的结论成立.7.⑴ 证明:不等式ln(1) (0)1x x x x x<+<>+ 证明:令()ln(1)f x x =+在[0,x]上应用拉格朗日定理,则(0,),x ξ∃∈使得 ()(0)()(0)f x f f x ξ'-=- 即ln(1)1x x ξ+=+,因为0x ξ<<,则11x x x x ξ<<++ 即ln(1) (0)1x x x x x<+<>+ ⑵ 设0, 1.a b n >>>证明:11()().n n n n nb a b a b na a b ---<-<-证明:令()nf x x =,在[b ,a]上应用拉格朗日定理,则(,).b a ξ∃∈使得 1(), (,)n n n a b n a b b a ξξ--=-∈因为b a ξ<<,则111()()()n n n nba b n a b na a b ξ----<-<-, 即11()().n n n n nb a b a b na a b ---<-<-⑶ 设0a b >>证明:ln .a b a a b a b b --<<。
2019新考研数学模拟测试题目(含答案)
2019最新考研数学模拟试题(含答案)学校:__________考号:__________一、解答题1.计算下列积分(n 为正整数): (1)1;nx ⎰解:令sin x t =,d cos d x t t =,当x =0时t =0,当x =1时t=π2, ππ122000sin cos d sin d cos nn n t x t t t t t==⎰⎰⎰ 由第四章第五节例8知101331π, 24221342, 253n n n n n n x n n n n n --⎧⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⋅⋅⎪-⎩⎰为偶数, 为奇数. (2) π240tan d .n x x ⎰解: πππ2(1)22(1)22(1)444000π2(1)4110tan tan d tan sec d tan d 1tan d tan 21n n n n n n n I x x x x x x x x x x I I n ------==-=-=--⎰⎰⎰⎰由递推公式 1121n n I I n -+=- 可得 111(1)(1)[(1)].43521n n n I n π--=---+-+-2.求22224428u x y z x y x y z =+++-+-在点,,,1,1,1,1,1,1(000)()()O A B ---的梯度,并求梯度为零的点.解:()()()()54,2,8,2,10,6,10,6,10,3,,42-------3.设生产q 件产品的总成本C (q )由下式给出:C (q )=0.01q 3-0.6q 2+13q .(1)设每件产品的价格为7元,企业的最大利润是多少?(2)当固定生产水平为34件时,若每件价格每提高1元时少卖出2件,问是否应该提高价格?如果是,价格应该提高多少?解:(1) 利润函数为32322()70.010.6130.010.66()0.03 1.26L q q q q q q q qL q q q =-+-=-+-'=-+-令()0L q '=,得 231206000q q -+=即 2402000q q -+=得20q =-(舍去) 2034.q =+≈此时, 32(34)0.01340.63463496.56L =-⨯+⨯-⨯=(元)(2)设价格提高x 元,此时利润函数为 2()(7)(342)(34)220379.44L x x x C x x =+--=-++令()0L x '=, 得5x =(5)121.5696.56L =>故应该提高价格,且应提高5元.4.如果()f x '在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导且()0,()0,f a f x '''≥>证明:()()f b f a >. 证明:因为()f x '在[a , b ]上连续,在(a ,b )内可导,故在[a ,x ]上应用拉格朗日定理,则(,),()a x a x b ξ∃∈<<,使得()()()0f x f a f x aξ''-''=>-, 于是()()0f x f a ''>≥,故有()()f b f a >5.利用洛必达法则求下列极限:⑴ πsin 3lim tan 5x x x →; ⑵ 3π2ln sin lim (2)x x x π→-; ⑶ 0e 1lim (e 1)x x x x x →---; ⑷ sin sin lim x a x a x a→--; ⑸ lim m m n n x a x a x a →--; ⑹ 1ln(1)lim cot x x arc x→+∞+; ⑺ 0ln lim cot x x x +→; ⑻ 0lim sin ln x x x +→;。
2019考研数学模拟测试考题(含参考答案)
2019最新考研数学模拟试题(含答案)学校:__________ 考号:__________一、解答题1.用定积分的几何意义求下列积分值:10(1)2 d x x ⎰; 解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的面积,故原式=1.0(2)(0)x R >⎰ .解:由几何意义可知,该定积分的值等于以原点为圆心,半径为R 的圆在第一象限内的面积,故原式=21π4R .2.求下各微分方程的通解:(1)22e x y y y '''+-=;解: 2210r r +-=1211,2r r ∴=-= 得相应齐次方程的通解为 1212e e x xy c c -=+令特解为*e x y A =,代入原方程得 2e e e 2e x x x x A A A +-=,解得1A =, 故*e x y =,故原方程通解为 212e e e xx x y c c -=++. 2(2)25521y y x x '''+=--;解:2250r r +=1250,2r r ==- 对应齐次方程通解为 5212e x y c c -=+令*2()y x ax bx c =++, 代入原方程得 222(62)5(32)521ax b ax bx c x x ++++=--比较等式两边系数得137,,3525a b c ==-= 则 *321373525y x x x =-+ 故方程所求通解为 532212137e 3525x y c c x x x -⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭. (3)323e x y y y x -'''++=;解:2320r r ++=121,2r r =-=-,对应齐次方程通解为 212e e x x y c c --=+令*()e xy x Ax B -=+代入原方程得 (22)e 3e x x Ax B A x --++=解得 3,32A B ==- 则 *23e 32x y x x -⎛⎫=-⎪⎝⎭ 故所求通解为 22123e e e 32x x x y c c x x ---⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. (4)25e sin 2x y y y x '''-+=;解:2250r r -+=1,212r i =±相应齐次方程的通解为12e (cos 2sin 2)x y c x c x =+令*e (cos 2sin 2)xy x A x B x =+,代入原方程并整理得 4cos24sin 2sin 2B x A x x -=得 1,04A B =-= 则 *1e cos 24x y x x =- 故所求通解为 121e (cos 2sin 2)e cos 24x x y c x c x x x =+-. (5)2y y y x '''++=;解:2210r r ++=。
2019年新考研高数模拟训练考题(含答案)
2019最新考研数学模拟试题(含答案)学校:__________考号:__________一、解答题1.试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a ,b ,c ,d ,使得x =-2处曲线有水平切线,(1,-10)为拐点,且点(-2,44)在曲线上.解:令f (x )= ax 3+bx 2+cx +d联立f (-2)=44,f ′(-2)=0,f (1)=-10,f ″(1)=0可解得a =1,b =-3,c =-24,d =16.2.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积:(1)星形线x = a cos 3t ,y = a sin 3t ;(2)双纽线r 2 = a 2cos2θ;(3)圆x 2+y 2 = 2ax .解:(1)()()()()()2π3202π2π242222002π202π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8L A y x a t a t t t a t t t a t t t a t t t a t t t t t a t t t a =-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ,y =r sin θ得cos x a =sin y a =从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ.于是面积为:[]π24π4π24π4212d d 2cos 2d sin 22L A x y y x a a a θθθ--=⋅-===⎰⎰ (3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为cos 02πsin x a a y a θθθ=+⎧≤≤⎨=⎩ 故()()[]()2π022π021d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin LA x y y x a a a a a θθθθθθθ=-=-=+=⋅-⎰⎰⎰3. 设212s gt =,求2d d t s t =. 解:d d s gt t =,故2d 2d t s g t ==.4.讨论下列函数在指定点的连续性与可导性: (1) sin ,0;y x x == 解:因为0,0lim 0x x y y =→==所以此函数在0x =处连续. 又00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x ---→→--'===-- 00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x +++→→-'===- (0)(0)f f -+''≠,故此函数在0x =处不可导. (2) 21sin ,0, 0;0,0,x x y x x x ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩ 解:因为201lim sin 0(0),x x y x→==故函数在0x =处连续. 又2001sin ()(0)(0)lim lim 00x x x f x f x y x x →→-'===-,。
2019新版考研高数模拟训练考题(含解析)
2019最新考研数学模拟试题(含答案)学校:__________ 考号:__________一、解答题1.求下列不定积分,并用求导方法验证其结果正确否:d (1)1e xx+⎰; 解:原式=e d 11de ln(1e ).e (1e )e 1e x x xx x x xx x c ⎛⎫==-++- ⎪++⎝⎭⎰⎰ 验证:e 1(ln(1e ))1.1e 1ex xx xx c '-++=-=++ 所以,结论成立.(2)ln(x x ⎰;解:原式=ln(ln(.x x x x x c -=-验证:ln(ln(x x x x c '⎡⎤=++⎣⎦ln(x =所以,结论成立.2(3)ln(1)d x x +⎰;解:原式=2222ln(1)2d ln(1)22arctan 1x x x x x x x x c x+-=+-+++⎰. 验证:2222222ln(1)2ln(1).ln(1)22arctan 11x x x x x x x x c x x'=++⋅-+=+⎡⎤+-++⎣⎦++ 所以,结论正确.(4)x ;解:原式=9212)arcsin (.232x x x c ++=++验证: 921arcsin (232x x '+⎡++⎢⎣211(2)32x=++==所以,结论正确.(5)sin(ln)dx x⎰;解:1sin(ln)d sin(ln)cos(ln)dx x x x x x xx=-⋅⋅⎰⎰sin(ln)cos(ln)sin(ln)dx x x x x x=--⎰所以,原式=().sin(ln)cos(ln)2xcx x+-验证:()sin(ln)cos(ln)2xcx x'⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦()111sin(ln)cos(ln)cos(ln)sin(ln)22sin(ln).xx x x xx xx⎛⎫=+-⋅+⋅⎪⎝⎭=故结论成立.2e(6)d(e1)xxxx+⎰;解:原式=1e1d d de1e1e11ee1xx x x xxx xx x x--⎛⎫-=-+=-+⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰ln(1e).e1xxxc--=-+++验证:22(e1)e e eln(1e)(e1)1e(e1)e1x x x xxx x xxx xxc---'-++--⎡⎤=-=-++⎢⎥++++⎣⎦.故结论成立.23/2ln(7)d(1)xxx+⎰;解:原式=1ln d d ln(.x x x cx=-=-++⎰验证:ln(x c'⎤-+⎥⎦2223/223/2(1ln )(1)ln ln .(1)(1)x x x x x x x =++-==++所以,结论成立.sin (8)d 1cos x xx x++⎰;解:原式=2d cos d d tan ln(1cos )1cos 22cos 2xx xx x x x x -=-++⎰⎰⎰tan tan d ln(1cos )22tan ln(1cos )ln(1cos )2tan 2x xx x x xx x x c x x c=--+=++-++=+⎰验证:2221sin sin (tan )tan sec 22221cos 2cos 2cos 22x x x x x x xx c x x x x +'+=+⋅=+=+ 所以,原式成立.(9)()d xf x x ''⎰;解:原式=d ()()()d ()().x f x xf x f x x xf x f x c ''''=-=-+⎰⎰验证:[]()()()().()()f x xf x f x xf x xf x f x c ''''''''=+-=-+ 故结论成立.(10)sin d n x x ⎰ (n >1,且为正整数).解:1sin d sin dcos n n n I x x x x -==-⎰⎰1221212cos sin (1)cos sin d cos sin (1)sin d (1)sin d cos sin (1)(1)n n n n n n n nx x n x x xx x n x x n x x x x n I n I ------=-+-=-+---=-+---⎰⎰⎰ 故 1211cos sin .n n n n I x x I n n---=-+ 验证: 1211cos sin sin d n n n x x x x n n --'-⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰22222111sin cos (1)sin cos sin 111sin (1sin )sin sin sin .n n n n n n n n x x n x x x n n n n n x x x x n n n x -----=-⋅-⋅+--=--+= 故结论成立.2.求22224428u x y z x y x y z =+++-+-在点,,,1,1,1,1,1,1(000)()()O A B ---的梯度,并求梯度为零的点.解:()()()()54,2,8,2,10,6,10,6,10,3,,42-------3.设()Q Q T =表示重1单位的金属从0C ︒加热到C T ︒所吸收的热量,当金属从C T ︒升温到()C T T +∆︒时,所需热量为()(),Q Q T T Q T ∆=+∆-Q ∆与T ∆之比称为T 到T T +∆的平均比热,试解答如下问题:⑴ 如何定义在C T ︒时,金属的比热; 解:0()()lim()T Q T T Q T Q T Tν∆→+∆-'==∆⑵ 当2()Q T aT bT =+(其中a , b 均为常数)时,求比热. 解:()2Q T a bT ν'==+.4.设12()()()()0n p x f x f x f x =≠,且所有的函数都可导,证明:1212()()()()()()()()n n f x f x f x P x P x f x f x f x ''''=+++证明:1212121212()1[()()()()()()()()()]()()()()().()()()n n n n n P x f x f x f x f x f x f x f x f x f x P x P x f x f x f x f x f x f x ''''=+++'''=+++5.根据下面所给的值,求函数21y x =+的,d y y ∆及d y y ∆-: ⑴ 当1,0.1x x =∆=时; 解:2222()1(1)2210.10.10.21d 2210.10.2d 0.210.20.01.y x x x x x x y x x y y ∆=+∆+-+=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=. ⑵ 当1,0.01x x =∆=时.解:222210.010.010.0201d 2210.010.02d 0.02010.020.0001.y x x x y x x y y ∆=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=6.利用四阶泰勒公式,求ln1.2的近似值,并估计误差.解:23455ln(1) (01)2345(1)x x x x x x x θθ+=--+-<<+ 234(0.2)(0.2)(0.2)ln1.2ln(10.2)0.20.18227234∴=+≈-++=5555(0.2)(0.2)(0.2)7105(10.2)5n R θ-=<≈⨯+7.计算正弦曲线y =sin x 上点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的曲率. 解:cos ,sin y x y x '''==- .当π2x =时,0,1y y '''==- , 故 23/21.(1)y k y ''=='+8.设总收入和总成本分别由以下两式给出:2()50.003,()300 1.1R q q q C q q =-=+其中q 为产量,0≤q ≤1000,求:(1)边际成本;(2)获得最大利润时的产量;(3)怎样的生产量能使盈亏平衡? 解:(1) 边际成本为:()(300 1.1) 1.1.C q q ''=+=(2) 利润函数为2()()() 3.90.003300() 3.90.006L q R q C q q q L q q=-=--'=-令()0L q '=,得650q = 即为获得最大利润时的产量. (3) 盈亏平衡时: R (q )=C (q ) 即 3.9q -0.003q 2-300=0 q 2-1300q +100000=0 解得q =1218(舍去),q =82.9.验证:函数()lnsin f x x =在π5π[,]66上满足罗尔定理的条件,并求出相应的ξ,使()0f ξ'=.证:()l n s i f x x =在区间π5π[,]66上连续,在π5π(,)66上可导,且π5π()()l n 266f f ==-,即在π5π[,]66上满足罗尔定理的条件,由罗尔定理,至少存在一点π5π(,),66ξ∈使()0f ξ'=.事实上,由cos ()cot 0sin x f x x x '===得ππ5π(,),266x =∈故取π2ξ=,可使()0f ξ'=.10.下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ?⑴ 2, 01,() [0,1] 0, 1, x x f x x ⎧≤<=⎨=⎩; ⑵ ()1, [0,2] f x x =-; ⑶ sin , 0π,() [0,π] . 1, 0,x x f x x <≤⎧=⎨=⎩解:⑴ ()f x 在[0,1]上不连续,不满足罗尔定理的条件.而()2(01)f x x x '=<<,即在(0,1)内不存在ξ,使()0f ξ'=.罗尔定理的结论不成立. ⑵ 1, 12,()1, 0 1.x x f x x x -≤<⎧=⎨-<<⎩(1)f '不存在,即()f x 在区间(0,2) 内不可导,不满足罗尔定理的条件.而1, 12,()1, 0 1.x f x x <<⎧'=⎨-<<⎩即在(0,2)内不存在ξ,使()0f ξ'=.罗尔定理的结论不成立.⑶ 因(0)1(π)=0f f =≠,且()f x 在区间[0,π] 上不连续,不满足罗尔定理的条件. 而()cos (0π)f x x x '=<<,取π2ξ=,使()0f ξ'=.有满足罗尔定理结论的π2ξ=. 故罗尔定理的三个条件是使结论成立的充分而非必要条件.11.⑴ 证明:不等式ln(1) (0)1xx x x x<+<>+ 证明:令()ln(1)f x x =+在[0,x]上应用拉格朗日定理,则(0,),x ξ∃∈使得()(0)()(0)f x f f x ξ'-=-即ln(1)1x x ξ+=+,因为0x ξ<<,则11x xx x ξ<<++即ln(1) (0)1xx x x x<+<>+ ⑵ 设0, 1.a b n >>>证明:11()().n n n n nb a b a b na a b ---<-<-证明:令()nf x x =,在[b ,a]上应用拉格朗日定理,则(,).b a ξ∃∈使得1(), (,)n n n a b n a b b a ξξ--=-∈因为b a ξ<<,则111()()()n n n nb a b n a b na a b ξ----<-<-,即11()().n n n n nba b a b na a b ---<-<-⑶ 设0a b >>证明:ln .a b a a ba b b--<< 证明:令()ln f x x =在[b ,a]上应用拉格朗日定理,则(,).b a ξ∃∈使得1ln ln ()a b a b ξ-=-因为b a ξ<<,所以1111, ()a b a b a b a b a bξξ--<<<-<, 即ln a b a a b a b b--<<. ⑷ 设0x >证明:112x +>证明:令()f x =[0,]x x ∈,应用拉格朗日定理,有()(0)()(0), (0,)f x f f x x ξξ'-=-∈ ()()(0)f x f x f ξ'=⋅+112x=+<+即112x +>12.利用0sin lim1x xx→=或等价无穷小量求下列极限:002000sin (1)lim ;(2)lim cot ;sin 1cos 2(3)lim ;sin arctan 3(5)lim;(6)lim 2sin ;2x x x x x n n x n mxx x nx x x x x xx →→→→→→∞-22102320020041arctan (7)lim ;(8)lim ;arcsin(12)sin arcsin 2tan sin cos cos (9)lim ;(10)lim ;sin 1cos 4(12)lim 2sin t x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x αβ→→→→→→-----+ 222200;an ln cos ln(sin e )(13)lim ;(14)lim .ln cos ln(e )2x x x x x ax x x bx x x→→+-+-解:(1)因为当0x →时,sin ~,sin ~,mx mx nx nx 所以00sin limlim .sin x x mx mx mnx nx n→→==00002000limcos cos (2)lim cot lim cos lim 1.sin sin sin lim1cos 22sin sin (3)lim lim 2lim 2.sin sin x x x x x x x x x x x x x x x xx x xx x x x x x x x→→→→→→→→=⋅===-=== (4)因为当0x →时,2221ln(1e sin )~e sin 1~2x x x x x +,所以22200002e sin sin lim lim 2e lim 2.12x x x x x x x x x x x→→→→⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭ (5)因为当0x →时,arctan3~3,x x 所以00arctan 33limlim 3x x x xxx →→==.sinsin 22(6)lim 2sin lim lim .222n n n n n n n n nx xx x x x x x →∞→∞→∞=⋅==(7)因为当12x →时,arcsin(12)~12x x --,所以22111122224141(21)(21)lim lim lim lim(21) 2.arcsin(12)1212x x x x x x x x x x x x →→→→---+===-+=---- (8)因为当0x →时,22arctan ~,sin~,arcsin ~,22x xx x x x 所以 2200arctan lim lim 2sin arcsin 22x x x x xx x x →→==⋅.(9)因为当0x →时,2331sin ~,1cos ~,sin ~2x x x x x x -,所以 233300001tan sin sin (1cos )2lim lim lim sin sin cos cos 11lim .2cos 2x x x x x x x x x x x x xx x x →→→→⋅--==⋅== (10)因为当0x →时,sin~,sin~2222x x x x αβαβαβαβ++--,所以22002222sinsincos cos 22lim lim 222lim1().2x x x x xx xx x x xx αβαβαβαβαββα→→→+---=+--⋅⋅==-(11)因为当0x →时,~)~,x x --所以000 1.x x x →→→==-=-(12)因为当0x →时,sin ~,sin 2~2,x x x x 所以2222200222200201cos 42sin 2lim lim 2sin tan sin (2sec )2(2)8lim lim (2sec )2sec 84.lim(2sec )x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x →→→→→-=++⋅==++==+ (13)因为ln cos ln[1(cos 1)],ln cos ln[1(cos 1)],ax ax bx bx =+-=+- 而当0x →时,cos 10,cos 10ax bx -→-→故 ln[1(cos 1)]~cos 1,ln[1(cos 1)]~cos 1,ax ax bx bx +--+-- 又当x →0进,2222111cos ~,1cos ~,22ax a x bx b x --所以 22220000221ln cos cos 11cos 2lim lim lim lim .1ln cos cos 11cos 2x x x x a xax ax ax a bx bx bx b b x→→→→--====-- (14)因为当0x →时,222sin 0,0e exx x x →→故 222222sin sin ln ~,ln ~,11e ee e x x xx x xx x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以22222222200022222000020sin ln 1ln(sin e )ln(sin e )ln e e lim lim lim ln(e )2ln(e )ln e ln 1e sin sin sin e lim lim e lim e lim e e 1 1.x x xx x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x →→→→→→→⎛⎫+ ⎪+-+-⎝⎭==+-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=13.求下列曲线的拐点:23(1) ,3;x t y t t ==+解:22223d 33d 3(1),d 2d 4y t y t x t x t +-== 令22d 0d yx=,得t =1或t =-1 则x =1,y =4或x =1,y =-4当t >1或t <-1时,22d 0d yx >,曲线是凹的,当0<t <1或-1<t <0时,22d 0d yx<,曲线是凸的,故曲线有两个拐点(1,4),(1,-4). (2) x =2a cot θ, y =2a sin 2θ. 解:32d 22sin cos 2sin cos d 2(csc )y a x a θθθθθ⋅⋅==-⋅- 222442222d 11(6sin cos 2sin )sin cos (3tan )d 2(csc )y x a a θθθθθθ=-+⋅=⋅-- 令22d 0d y x =,得π3θ=或π3θ=-, 不妨设a >0tan θ>>时,即ππ33θ-<<时,22d 0d y x >,当tan θ>tan θ<π3θ<-或π3θ>时,22d 0d y x <,故当参数π3θ=或π3θ=-时,都是y的拐点,且拐点为3,2a ⎫⎪⎭及3,2a ⎛⎫⎪⎝⎭.14.利用重要极限10lim(1)e uu u →+=,求下列极限:2221232cot 00113(1)lim ;(2)lim ;12(3)lim(13tan );(4)lim(cos 2);1(5)lim [ln(2)ln ];(6)lim.ln xx x x xx x x x x x x x x x xx x x x+→∞→∞→→→∞→+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+-+-解:1112222111(1)lim lim e 1lim 11x xxx x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+++ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1022121553555(2)lim lim lim 1112222x x x x x x x x x x x -++→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥-⎝⎭⎣⎦102551051055lim e 1e .1lim 122x x x x x -→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=+⎢⎥ ⎪+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 22233112cot 323tan 23tan 000(3)lim(13tan )lim e .lim(13tan )(13tan )xx x x x x x x x →→→⎡⎤⎡⎤+===+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎣⎦[][][]cos 211cos 212221cos 2121cos 2120220333ln ln cos21(cos21)03(cos21)ln 1(cos21)0cos213limlim ln 1(cos21)2sin 3limln lim (4)lim(cos 2)lim elim elim ee e x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x ----→→→→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭→→→-+-→-⋅+--⋅=====[]1cos 212201(cos21)sin 6ln e lim 6116ee e .x x x x x -→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭⎛⎫-⋅⋅ ⎪-⨯⨯-⎝⎭===22222(5)lim [ln(2)ln ]lim 2ln lim 2ln 12222lim ln 2ln 1lim 12ln e 2.x x x x xxx x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞+⎛⎫+-=⋅⋅=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭== (6)令1x t =+,则当1x →时,0t →.1110001111limlim 1.ln ln(1)ln eln lim ln(1)lim(1)x t tt t t x tx t t t →→→→-=-=-=-=-=-+⎡⎤++⎢⎥⎣⎦15.计算下列积分(n 为正整数): (1)1;n x ⎰解:令sin x t =,d cos d x t t =, 当x =0时t =0,当x =1时t=π2, ππ12200sin cos d sin d cos n n n tx t t t t t==⎰⎰⎰由第四章第五节例8知11331π, 24221342, 253n n n n n n x n n n n n --⎧⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⋅⋅⎪-⎩⎰为偶数, 为奇数.(2)π240tan d .n x x ⎰解:πππ2(1)22(1)22(1)44400π2(1)411tantan d tansec d tan d 1tan d tan 21n n n n n n n I x x x x x x x xx x I I n ------==-=-=--⎰⎰⎰⎰由递推公式 1121n n I I n -+=-可得 111(1)(1)[(1)].43521n nn I n π--=---+-+-16.用定义判断下列广义积分的敛散性,若收敛,则求其值:22π11(1)sin d x x x+∞⎰; 解:原式=22ππ1111lim sin d lim coslim cos1.b bb b b x bx x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎰ 2d (2);22xx x +∞-∞++⎰解:原式=02200d(1)d(1)arctan(1)arctan(1)(1)1(1)1x x x x x x +∞+∞-∞-∞+++=+++++++⎰⎰πππππ.4242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭(3)e d n x x x +∞-⎰(n 为正整数)解:原式=10e d deen x n xn xn x x x x +∞+∞+∞----+-=-⎰⎰100e d !e d !n x x n x x n x n +∞+∞---=+===⎰⎰(4)(0)a a >⎰;解:原式=00000πlim lim arcsin lim arcsin .12a a xa a εεεεεε+++--→→→⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰e1(5)⎰;解:原式=()e e 0110πlim arcsin(ln )lim lim arcsin .ln(e )2x εεεεεε+++--→→→===-⎰1(6)⎰.解:原式=110+⎰2121221111202lim 2lim πππlim lim 2222π.424εεεεεε++-→→→→=+⎛⎫=+=⋅+=- ⎪⎝⎭⎰⎰17.设星形线的参数方程为x =a cos 3t ,y =a sin 3t ,a >0求d) 星形线所围面积;e) 绕x 轴旋转所得旋转体的体积; f) 星形线的全长.解:(1)D =4⎠⎛0ay d x =4⎠⎜⎛π2a sin 3t d ()a cos 3t =12a 2⎠⎜⎛0π2sin 4t cos 2t d t=12a 2⎠⎜⎛0π2()sin 4t−sin 6t d t =38πa 2. (2)V x =2π⎠⎛0a y 2d x =2π⎠⎜⎛π2()a sin 3t 2d ()a cos 3t=6πa 3⎠⎜⎛0π2 sin 7t cos 2t d t=32105πa 3(3)x t ′=-3a cos 2t sin t y t ′=3a sin 2t cos t x t ′2+y t ′2=9a 2sin 2t cos 2t ,利用曲线的对称性,l =4⎠⎜⎛0π2x t ′2+ y t ′2d t =4⎠⎜⎛π2 3a sin 2t cos 2t d t=12a ⎠⎜⎛0π214sin 22t d t =6a ⎠⎜⎛0π2 sin2t d t =[]3a ()-cos2t π2=6a .18.求下列函数在[-a ,a ]上的平均值:(1)()f x=解:200111π1.arcsin 2422aa a a x y x x a a a a -⎡====+⎢⎣⎰⎰ (2) 2().f x x =解:2223001111d d .233aa a a a y x x x x x a a a -⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰⎰19.将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数. 解:21113212x x x x =-++++ 而()()()011113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑又()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n nn n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑20.求抛物面壳221()(01)2z x y z =+≤≤的质量,此壳的面密度大小为z ρ=. 22221:():22xy z x y D x y ∑=++≤221d d ()d 2xy D M s z s x y x y ∑∑ρ===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12π222122225322220d (1)d 2π1)(1)(1)2π2π221)(1)(1)21553r r r r r r d r r r θ=+=+-++⎡==+-+⎢⎥⎣⎦⎰21.求面密度为0ρ的均匀半球壳x 2+y 2+z 2=a 2(z ≥0)对于z 轴的转动惯量。
2019考研数学模拟测试题目(含参考答案)
2019最新考研数学模拟试题(含答案)学校:__________ 考号:__________一、解答题1.把长为10m ,宽为6m ,高为5m 的储水池内盛满的水全部抽出,需做多少功?解:如图19,区间[x ,x +d x ]上的一个薄层水,有微体积d V =10·6·d x(19)设水的比重为1,,则将这薄水层吸出池面所作的微功为d w =x ·60g d x =60gx d x .于是将水全部抽出所作功为w =⎠⎛0560gx d x=60g 2x 2⎪⎪5=750g (KJ) .2.证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5).证明:略3.一点沿对数螺线e a r ϕ=运动,它的极径以角速度ω旋转,试求极径变化率. 解: d d d e e .d d d a a r r a a t tϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅=4.计算正弦曲线y =sin x 上点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的曲率. 解:cos ,sin y x y x '''==- . 当π2x =时,0,1y y '''==- ,故 23/2 1.(1)y k y ''=='+5.国民收入的年增长率为7.1%,若人口的增长率为1.2%,则人均收入年增长率为多少? 解:人均收入年增长率=国民收入的年增长率-人口增长率=7.1%-1.2%=5.9%.习题三6.求下列极限问题中,能使用洛必达法则的有( ).⑴ 201sinlim sin x x x x →; ⑵ lim (1)x x k x →+∞+; ⑶ sin lim sin x x x x x→∞-+; ⑷ e e lim .e e x x x x x --→+∞-+ 解:⑴ ∵200111sin2sin cos lim lim sin cos x x x x x x x x x →→-=不存在,(因1sin x ,1cos x 为有界函数) 又2001sin1lim lim sin 0sin x x x x x x x →→==, 故不能使用洛必达法则.⑶ ∵sin 1cos lim lim sin 1cos x x x x x x x x→∞→∞--=++不存在, 而sin 1sin lim lim 1.sin sin 1x x xx x x x x x x →∞→∞--==++ 故不能使用洛必达法则.⑷ ∵e e e e e e lim lim lim e e e e e ex x x x x xx x x x x x x x x ------→+∞→+∞→+∞-+-==+-+ 利用洛必达法则无法求得其极限. 而22e e 1e lim lim 1e e 1e x x xx x xx x ----→+∞→+∞--==++. 故答案选(2).7.证明下列不等式:(1) 当π02x <<时, sin tan 2;x x x +>。
2019新考研数学模拟测试题库(含参考答案)
2019最新考研数学模拟试题(含答案)学校:__________考号:__________一、解答题1.讨论下列广义积分的敛散性:2d (1)(ln )kxx x +∞⎰;解:原式=2122112,1ln(ln )1d(ln ),1(ln )1(ln )1(ln 2),1(ln )11k k kk k x x k x k x k x kk +∞+∞-+∞-+∞-⎧=∞=⎪⎪⎪=∞<=⎨-⎪⎪=>⎪--⎩⎰ 故该广义积分当1k >时收敛;1k ≤时发散.d (2)()()bkaxb a b x >-⎰.解:原式=1100011lim ()()1,1lim ()d()1lim 1ln()b k k b a k a b a k b x b a k k b x b x k k b x εεεεεε+++-----→→-→⎧>⎧⎪⎪=-⎨--⎪-<---=⎪⎨-⎩⎪⎪-=-⎩⎰ 发散,发散, 综上所述,当k <1时,该广义积分收敛,否则发散.2.计算下列向量场A 的散度与旋度: (1)()222222,,y z z x x y =+++A ; 解:()0,2,,y z z x x y --- (2)()222,,x yz x y z x yz =A ;解:()()()()2222226,,,xy x z y y x z z y x --- (3),,y x z yz z x x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭A .解:111yz zx xy ++,2222221,,y y z z x x xyz z y x z y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭3.验证函数e sin xy x =满足关系式220y y y '''-+= 证明:e (sin cos )xy x x '=+e (sin cos )e (cos sin )2cos e x x x y x x x x x ''=++-=⋅故222cos e e (2sin 2cos )2e sin 0xxxy y y x x x x '''-+=⋅-++=4.利用泰勒公式求下列极限:⑴ 30sin lim ;x x x x →- ⑵ tan 0e 1lim ;x x x →- (3) 21lim[ln(1)].x x x x →∞-+ 解:⑴ 34sin 0()3!x x x x =-+ 343300[0()]sin 13!lim lim 6x x x x x x x x x x →→--+-∴== ⑵tan 2e 1tan 0(tan )x x x =++tan 200e 11tan 0(tan )1lim lim 1x x x x x x x→→-++-∴== (3) 令1x t=,当x →∞时,0t →,2222022011111lim[2ln(1)]lim[ln(1)]lim{[()]}21()1lim().22x t t t t x x t t o t x t t t t o t t →∞→∞→→-+=-+=--+=-=5.一个水槽长12m ,横截面是等边三角形,其边长为2m ,水以3m 3·min -1的速度注入水槽内,当水深0.5m 时,水面高度上升多快? 解:当水深为h 时,横截面为212s h ==体积为22212V sh '====d d 2d d V hh t t=⋅ 当h =0.5m 时,31d 3m min d Vt-=⋅.故有d 320.5d h t=⋅, 得d d 4h t = (m 3·min -1).6.验证:拉格朗日定理对函数3()2f x x x =+在区间[0,1]上的正确性.验证:因为()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,满足拉格朗日定理的条件. 由(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-得2322ξ=+ 解得ξ=,即存在ξ=使得拉格朗日定理的结论成立.7.设21lim51x x mx nx →++=-,求常数m , n 的值. 解:要使21lim51x x mx nx →++=-成立,则21lim()0x x mx n →++=,即10m n ++= 又2112limlim 2511x x x mx n x mm x →→+++==+=- 得3,4m n ==-8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:32(1) 535y x x x =-++;解:23103y x x '=-+610y x ''=-,令0y ''=可得53x =. 当53x <时,0y ''<,故曲线在5(,)3-∞内是凸弧; 当53x >时,0y ''>,故曲线在5[,)3+∞内是凹弧. 因此520,327⎛⎫⎪⎝⎭是曲线的唯一拐点.(2) e xy x -=;解:(1)e , e (2)xxy x y x --'''=-=- 令0y ''=,得x =2当x >2时,0y ''>,即曲线在[2,)+∞内是凹的; 当x <2时,0y ''<,即曲线在(,2]-∞内是凸的. 因此(2,2e -2)为唯一的拐点.4(3) (1)e x y x =++;解:324(1)e , e 12(1)0xxy x y x '''=++=++> 故函数的图形在(,)-∞+∞内是凹的,没有拐点. (4) y =ln (x 2+1);解:222222(1), 1(1)x x y y x x -'''==++ 令0y ''=得x =-1或x =1.当-1<x <1时,0y ''>,即曲线在[-1,1]内是凹的.当x >1或x <-1时,0y ''<,即在(,1],[1,)-∞-+∞内曲线是凸的. 因此拐点为(-1,ln2),(1,ln2).arctan (5) e x y =;解:arctan arctan 222112e ,e 1(1)x xx y y x x -'''==++令0y ''=得12x =. 当12x >时,0y ''<,即曲线在1[,)2+∞内是凸的; 当12x <时,0y ''>,即曲线在1(,]2-∞内是凹的, 故有唯一拐点1arctan 21(,e)2. (6) y =x 4(12ln x -7).解:函数y 的定义域为(0,+∞)且在定义域内二阶可导.324(12ln 4),144ln .y x x y x x '''=-=令0y ''=,在(0,+∞),得x =1.当x >1时,0y ''>,即曲线在[1,)+∞内是凹的; 当0<x <1时,0y ''<,即曲线在(0,1]内是凸的, 故有唯一拐点(1,-7).9.试决定22(3)y k x =-中的k 的值,使曲线的拐点处的法线通过原点. 解:224(3),12(1)y kx x y k x '''=-=- 令0y ''=,解得x =±1,代入原曲线方程得y =4k , 只要k ≠0,可验证(1,4k ),(-1,4k )是曲线的拐点.18x k y =±'=±,那么拐点处的法线斜率等于18k ,法线方程为18y x k=. 由于(1,4k ),(-1,4k )在此法线上,因此148k k=±, 得22321, 321k k ==-(舍去)故8k ==±10.证明:(1)120lim 0;nn x →∞=⎰证明:当102x ≤≤时,0,n n x ≤≤于是1112200110d (),12n n x x n +≤≤=⋅+⎰⎰ 而111lim()0,12n n n +→∞⋅=+由夹逼准则知:12lim 0.nn x →∞=⎰(2)π40lim sin d 0.n n x x →∞=⎰证明:由中值定理得π440ππsin d sin (0)sin ,44n n x x ξξ=⋅-=⎰其中π0,4ξ≤≤故π4πlim sin d lim sin 0 ( 0sin 1).4n n n n x x ξξ→∞→∞==≤<⎰11.求下列极限:203ln(12)d (1)lim;xx t tx→+⎰解:原式21222300ln(12)22lim lim ln(12).333x x x x x x →→+==+= 2220020e d (2)lim .e d x t x x tt t t→⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 解:原式2222222002e d e e d 1lim2lim2lim2.12e e xxt xt xxx x x t tx x x →→→⋅====+⎰⎰12.设()()f x x a x ϕ=-,其中a 为常数,()x ϕ为连续函数,讨论()f x 在x a =处的可导性. 解:()()()()()lim lim ()()()()()()lim lim ()x a x a x a x a f x f a x a x f a a x a x af x f a a x x f a a x a x a ϕϕϕϕ++--+→→-→→--'===----'===---.故当()0a ϕ=时,()f x 在x a =处可导,且()0f a '= 当()0a ϕ≠时,()f x 在x a =处不可导.13.求下列不定积分,并用求导方法验证其结果正确否:d (1)1e xx+⎰; 解:原式=e d 11de ln(1e ).e (1e )e 1e x x xx x x xx x c ⎛⎫==-++- ⎪++⎝⎭⎰⎰ 验证:e 1(ln(1e ))1.1e 1ex xx xx c '-++=-=++ 所以,结论成立.(2)ln(x x ⎰;解:原式=ln(ln(.x x x x x c -=-验证:ln(ln(x x x x c '⎡⎤=++⎣⎦ln(x =所以,结论成立.2(3)ln(1)d x x +⎰;解:原式=2222ln(1)2d ln(1)22arctan 1x x x x x x x x c x+-=+-+++⎰. 验证:2222222ln(1)2ln(1).ln(1)22arctan 11x x x x x x x x c x x'=++⋅-+=+⎡⎤+-++⎣⎦++ 所以,结论正确.(4)x ;解:原式=9212)arcsin (.232x x x c ++=++验证:921arcsin (232x x '+⎡++⎢⎣211(2)32x =++== 所以,结论正确.(5)sin(ln )d x x ⎰;解: 1sin(ln )d sin(ln )cos(ln )d x x x x x x x x=-⋅⋅⎰⎰sin(ln )cos(ln )sin(ln )d x x x x x x =--⎰所以,原式=().sin(ln )cos(ln )2xc x x +- 验证: ()sin(ln )cos(ln )2x c x x '⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦()111sin(ln )cos(ln )cos(ln )sin(ln )22sin(ln ).x x x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+⋅ ⎪⎝⎭= 故结论成立.2e (6)d (e 1)xx x x +⎰; 解:原式=1e 1d d d e 1e 1e 11e e 1x x x x xx x x x x x --⎛⎫-=-+=-+ ⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰ ln(1e ).e 1x xxc --=-+++ 验证:22(e 1)e e e ln(1e )(e 1)1e (e 1)e 1x x xx xx x x x x x x c ---'-++--⎡⎤=-=-++⎢⎥++++⎣⎦. 故结论成立.23/2ln (7)d (1)xx x +⎰; 解:原式=1ln d d ln(.x x x c x =-=-++⎰验证:ln(x c '⎤-+⎥⎦2223/223/2(1ln )(1)ln ln .(1)(1)x x x x x x x =++-==++所以,结论成立.sin (8)d 1cos x xx x++⎰;解:原式=2d cos d d tan ln(1cos )1cos 22cos 2x x xx x x x x -=-++⎰⎰⎰tan tan d ln(1cos )22tan ln(1cos )ln(1cos )2tan 2x xx x x xx x x c x x c=--+=++-++=+⎰验证:2221sin sin (tan )tan sec 22221cos 2cos 2cos 22x x x x x x xx c x x x x +'+=+⋅=+=+ 所以,原式成立.(9)()d xf x x ''⎰;解:原式=d ()()()d ()().x f x xf x f x x xf x f x c ''''=-=-+⎰⎰验证:[]()()()().()()f x xf x f x xf x xf x f x c ''''''''=+-=-+ 故结论成立.(10)sin d n x x ⎰ (n >1,且为正整数).解:1sin d sin dcos n n n I x x x x -==-⎰⎰1221212cos sin (1)cos sin d cos sin (1)sin d (1)sin d cos sin (1)(1)n n n n n n n nx x n x x xx x n x x n x x x x n I n I ------=-+-=-+---=-+---⎰⎰⎰ 故 1211cos sin .n n n n I x x I n n---=-+ 验证: 1211cos sin sin d n n n x x x x n n --'-⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰ 22222111sin cos (1)sin cos sin 111sin (1sin )sin sin sin .n n n n n n n n x x n x x x n n n n n x x x x n n n x -----=-⋅-⋅+--=--+= 故结论成立.14.(1) 设1()f x x=,求00()(0);f x x '≠解:00021()().x x f x f x x =''==-(2) 设()(1)(2)(),f x x x x x n =--⋅⋅-求(0).f '解:00()(0)(0)limlim(1)(2)()0(1)!x x n f x f f x x x n x n →→-'==--⋅⋅--=-15.判定下列级数的敛散性:(1) 1n ∞=∑;(2)()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+;(3) ()23133222213333nn n--+-++-;(4)155n +++++;解:(1) (11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞,故级数发散.(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=,故原级数收敛,其和为15. (3)此级数为23q =-的等比级数,且|q |<1,故级数收敛. (4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠,故级数发散.16.若2lim n n n U →∞存在,证明:级数1nn U∞=∑收敛.证:∵2lim n n n U →∞存在,∴∃M >0,使|n 2U n |≤M ,即n 2|U n |≤M ,|U n |≤2Mn而21n Mn ∞=∑收敛,故1n n U ∞=∑绝对收敛.17.(1)解:112xn n =∞相当于P 级数中P x = 当1P >时112p n n =∞收敛,1P ≤时,112pn n=∞发散. 从而当1x >时,112x n n =∞收敛,1x ≤时,112xn n=∞发散. 从而112xn n=∞的收敛域为(1,)+∞ 从而111(1)2n x n n+=∞-的收敛域为(0,1)(1,)+∞. (2)解:当1x >时,112x n n =∞收敛,则111(1)2n xn n +=∞-收敛.当0x ≤时,111(1)2n x n n+=∞-发散,(0)n U当01x <<时,111(1)2n x n n+=∞-收敛.(莱布尼兹型级数)18.将f (x ) = 2+|x | (-1≤x ≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.解:f (x )在(-∞,+∞)内连续,其傅里叶级数处处收敛,由f (x )是偶函数,故b n =0,(n =1,2,…)()()11010d 22d 5a f x x x x -==+=⎰⎰()()()1112cos d 22cos d 0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx xn n n -==+=⎧⎪-=⎨=⎪⎩⎰⎰所以()()()221cos 21π542π21n n xf x n ∞=-=--∑,x ∈[-1,1]取x =0得,()2211π821n n ∞==-∑,故()()22222111111111π48212n n n n n n n n ∞∞∞∞=====+=+-∑∑∑∑ 所以211π6n n ∞==∑19.设f (x )是周期为2的周期函数,它在[-1,1]上的表达式为f (x )=e -x,试将f (x )展成傅里叶级数的复数形式.解:函数f (x )在x ≠2k +1,k =0,±1,±2处连续.()()()[]()()()π1π111π11211e d e e d 221e 21πe e 1121π1πsinh111πn i x l x in x l n l x n i n n c f x x xl n i n in in ------+--===-+-=⋅⋅-+-=⋅⋅-+⎰⎰故f (x )的傅里叶级数的复数形式为()()()()π21π1sinh1e 1πn in xn in f x n ∞=-∞⋅--=+∑ (x ≠2k +1,k =0,±1,±2,…)20.求如图所示的三角形脉冲函数的频谱函数.解:()202202E T E t t T f t E T E t t T ⎧+-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩()()02022e d 22e d e d 41cos 2i t Ti t i tT F f tt E E t t E t E t T T E T T ωωωωωω+∞--∞---=⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰21.设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段,证明:(),d 0LP x y x =⎰其中P (x , y )在L 上连续.证:设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段,则 L :12x ab t b y t =⎧≤≤⎨=⎩,始点参数为t =b 1,终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰22.计算()()d d Lx y x y x y ++-⎰,其中L 是(1)抛物线y 2=x 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧; (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段;(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线; (4)曲线x = 2t 2+t +1, y = t 2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 解:(1)L :2x y y y ⎧=⎨=⎩,y :1→2,故()()()()()2221232124321d d 21d 2d 111232343L x y x y x yy y y y y yy y y yy y y ++-⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ (2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2,y :1→2 故()()()()()2121221d d 32332d 104d 5411L x y x y x yy y y y y y yy y ++-=-+⋅+-+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎣⎦=⎰⎰⎰ (3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1,从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2,则L =L 1+L 2.且 L 1:1x y y =⎧⎨=⎩,y :1→2;L 2:2x x y =⎧⎨=⎩,x :1→4;故()()()()()12122211d d 101d 1d 212L x y x y x yy y y y y y y ++-=+⋅+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰()()()()()()24144211d d 220d 12d 22272L x y x y x yx x x x x x ++-=++-⋅⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰从而()()()()()12d d d d 1271422LL L x y x y x yx y x y x y++-=+++-=+=⎰⎰⎰(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0,终点(4,2)对应的参数t 2=1,故()()()()()()122132014320d d 32412d 10592d 10592432323L x y x y x y t t t tt t tt t t tt t t t ++-⎡⎤=++++--⋅⎣⎦=+++⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰23.求下列函数在所示点的导数: (1)()sin cos t f t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭,在点π4t =;解:()π4f ⎛⎫⎪'= ⎝ (2)()22,x y g x y x y +⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭,在点()(),1,2x y =;解:()111,224g ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3)sin cos u v u T u v v v ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,在点π1u v ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 解:1010101T -⎛⎫⎛⎫ ⎪'=- ⎪ ⎪π⎝⎭ ⎪⎝⎭(4)2222232u x y v x x y w x y y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩在点()3,2-. 解:6266362-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭24.求22224428u x y z x y x y z =+++-+-在点,,,1,1,1,1,1,1(000)()()O A B ---的梯度,并求梯度为零的点.解:()()()()54,2,8,2,10,6,10,6,10,3,,42-------25.利用换元法求下列积分:2(1)cos()d x x x ⎰;解:原式=22211cos d sin .22x x x c =+⎰(2)x ;解:原式=12333(sin cos )d(sin cos )(sin cos ).2x x x x x x c ---=-+⎰2d (3)21xx -⎰;解:原式=1d 112x c =+-+⎰.c =+3(4)cos d x x ⎰;解:原式=231(1sin )dsin sin sin .3x x x x c -=-+⎰(5)cos cos d 2xx x ⎰;解:原式=1133d sin sin .cos cos 232222x x x x c x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰ (6)sin 2cos3d x x x ⎰;解:原式=111(sin 5sin )d cos cos5.2210x x x x x c -=-+⎰2arccos (7)xx ;解:原式=2arccos 2arccos 1110d(2arccos )10.22ln10x xx c -=-⋅+⎰ 21ln (8)d (ln )x x x x +⎰; 解:原式=21(ln )d(ln ).ln x x x x c x x-=-+⎰(9)x ;解:原式=2.c =+⎰ln tan (10)d cos sin xx x x⎰;解:原式=21ln tan d(ln tan )(ln tan ).2x x x c =+⎰5(11)e d x x -⎰;解:原式=51e 5x c --+.d (12)12xx-⎰; 解:原式=1ln .122c x -+-(13)t ; 解:原式=.c =-⎰102(14)tan sec d x x x ⎰;解:原式=10111tan d(tan )tan .10x x x c =+⎰2d (15)ln xx x⎰;解:原式=21(ln )d(ln ).ln x x c x--=+⎰(16)x ⎰;解:原式=ln .c =-+⎰sin cos x x解:原式=2d d tan ln .tan tan cos tan x xc x x x x ==+⎰⎰ 2(18)e d x x x -⎰;解:原式=22211e d()e .22x x x c ----=-+⎰10(19)(4)d x x +⎰;解:原式=111(4)11x c ++. (20)⎰解:原式=123311(23)d(23)(23)32x x x c ----=--+⎰.2(21)cos()d x x x ⎰;解:原式=2211sin()sin().22d x x c =+⎰(22)x ; 解:原式=122222d 1()d()2x x a a x a x -⎛⎫ ⎪=--⎰arcsin .xa c a=⋅ d (23)e ex xx-+⎰; 解:原式=2d(e )arctane .1(e )x xx c =++⎰ ln (24)d xx x⎰; 解:原式=21ln d(ln )(ln ).2x x x c =+⎰23(25)sin cos d x x x ⎰;解:原式=223511sin (1sin )d(sin )sin sin .35x x x x x c -=-+⎰解:原式32tan 444sec cos 1sin d d d(sin )tan sin sin x tt t tt t t t t t =-==⎰⎰⎰令311,3sin sin c t t=-++ 又cos t t ==故上式.c =+ (27)d ln |1|ln(1.1tt t t c c t =-++=++(28);x 解:原式3sec 223tan d 3(sec 1)d 3tan 3x tt t t t t t c ==-=-+⎰⎰令,又3tan arccos ,t t x ===故上式33arccosc x+.(29);解:原式2tan 3sec d cos d sin sec x ttt t t t c t ===+⎰⎰令,又sec t =所以sin t =,故上式c =.(30).解:原式sin cos d sin cos x ttt t t =+⎰令① sin d sin cos tt t t +⎰②① + ② = t + c 1② - ① = ln |sin t +cos t | + c 2故cos 1d ln sin cos sin cos 2211arcsin ln .22t t t ct t t t x c x =++++=++⎰26.作适当坐标变换,计算下列二重积分: (1)22d d Dx y x y ⎰⎰,其中D 是由xy =2, xy =4, x =y , y =3x 在第一象限所围平面区域;(2)()222d d ,{1};(,)D x y D x y y x y x =+≤+⎰⎰(3)122201d ()d ,xxx x y y --+⎰⎰令x =v , x +y =u ;(4)22222222d d ,:1;D x y x y x y D a b ab ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭⎰⎰ (5){}2222d d ,;9(,)4Dx y D x y x y x y =+≤+-⎰⎰(6){}2222d d ,.4(,)2Dx y D x y x y x y y =+≤+-⎰⎰解:(1)积分区域D 如图10-23所示:图10-23令xy =u ,yv x=,则4,13)x y u v ==≤≤≤≤(,)1.(,)2xxx y u v J yy u v v uv ∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂ 于是:4333422221212241311281d d d d d d ln 3.ln 22323D u v u x y x y u u v v u u v v v ≤≤≤≤=⋅==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2)积分区域D 如图10-24所示。
2019新版考研高等数学模拟考试考题(含答案解析)
若 则 都是方程 的根,
若 ,则 ,由零点定理知,至少 ,使 ,
即 ,即 是方程 的根,
综上所述,方程 在 内至少有一根.
15.设星形线的参数方程为x=acos3t,y=asin3t,a>0求
d)星形线所围面积;
e)绕x轴旋转所得旋转体的体积;
f)星形线的全长.
(3)函数在x=(2n+1)π (n∈z)处间断,在间断点处,级数收敛于0,当x≠(2n+1)π时,由f(x)为奇函数,有an=0,(n=0,1,2,…)
所以
(x≠(2n+1)π,n∈z)
(4)因为 作为以2π为周期的函数时,处处连续,故其傅里叶级数收敛于f(x),注意到f(x)为偶函数,有bn=0(n=1,2,…),
2019最新考研数学模拟试题(含答案)
学校:__________姓名:__________班级:__________考号:__________
题号
一
总分
得分
一、解答题
1.求下列各曲线所围图形的面积:
(1)与x2+y2=8(两部分都要计算);
解:如图D1=D2
解方程组得交点A(2,2)
(1)
∴,
.
(2)与直线y=x及x=2;
(9)极坐标曲线ρ=asin3φ;
解:
.
(9)
(10)ρ=2acosφ;
解:
.
(10)
2.设 ,求 .
解:
3.设 ,其中a为常数, 为连续函数,讨论 在 处的可导性.
解:
.
故当 时, 在 处可导,且
当 时, 在 处不可导.
4.试求过点(3,8)且与曲线 相切的直线方程.
2019新考研数学模拟测试考题(含答案解析)
2019最新考研数学模拟试题(含答案) 学校:__________ 考号:__________一、解答题1.试决定22(3)y k x =-中的k 的值,使曲线的拐点处的法线通过原点. 解:224(3),12(1)y kx x y k x '''=-=- 令0y ''=,解得x =±1,代入原曲线方程得y =4k ,只要k ≠0,可验证(1,4k ),(-1,4k )是曲线的拐点.18x k y =±'=±,那么拐点处的法线斜率等于18k ,法线方程为18y x k =. 由于(1,4k ),(-1,4k )在此法线上,因此148k k =±, 得22321, 321k k ==-(舍去)故8k ==±.2.求下列欧拉方程的通解:2(1)0x y xy y '''+-=解:作变换e t x =,即t =ln x ,原方程变为 (1)0D D y Dy y -+-=即 22d 0d yy t -=特征方程为 210r -=121,1r r =-=故 12121e e t t y c c c c x x -=+=+.23(2)4x y xy y x '''+-=.解:设e t x =,则原方程化为3(1)4e t D D y Dy y -+-=232d 4e d tyy t -=①特征方程为 240r -=122,2r r =-=故①所对应齐次方程的通解为2212e e t t y c c -=+又设*3e t y A =为①的特解,代入①化简得941A A -=15A =, *31e 5t y = 故 223223121211e e e .55t t t y c c c x c x x --=++=++3.求下列函数的高阶导数:⑴ e sin ,x y x =⋅求(4)y ; ⑵ 22e ,x y x =⋅求(6)y ; ⑶ 2sin ,y x x =⋅求(80)y .解:⑴e sin e cos e (sin cos )x x x y x x x x '=⋅+⋅=+(4)e (sin cos )e (cos sin )2cos e 2e (cos sin )2e (cos sin )2e (sin cos )=4e sin x x x x x x x y x x x x x y x x y x x x x x ''=++-=⋅'''=-=-+---⑵ 6(6)2(6)260(e )()i x i i i y C x -==∑22(6)22(5)22(4)622524222(e )6()(e )15()(e )2e 622e 1522e 32e (21215)x x x x x xx x x x x x x x '''=++=+⋅⋅+⋅⋅=++⑶ 80(80)2()(80)800()(sin )i i i i y C x x -==∑2(80)(79)(78)22(sin )802(sin )31602(sin )πππsin(80)+160sin (79)6320sin (78)222sin 160cos 6320sin .x x x x x x x x x x x x x x x =+⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅++⋅=--4.已知()f x ''存在,求22d d y x: ⑴ 2()y f x =; ⑵ ln ()y f x =.解:⑴ 22()y xf x ''= 222222()22()2()4()y f x x xf x f x x f x '''''=+⋅'''=+。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2019最新考研数学模拟试题(含答案)学校:__________考号:__________一、解答题1.计算下列定积分:3(1);x ⎰解:原式43238233x ==-221(2)d x x x --⎰;解:原式01222211()d ()d ()d x x x x x x x x x -=-+-+-⎰⎰⎰1232233210111111132233251511.6666x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++= π(3)()d f x x ⎰,其中π,0,2()πsin ,π;2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩ 解:原式πππ2π222π0π221πd sin d cos 1.28x x x x xx=+=-=+⎰⎰ 222(4)max{1,}d ;x x -⎰解:原式121122233211212011d d d 2.333x x x x x x x -----=++=++=⎰⎰⎰(5).x解:原式πππ242π04d (cos sin )d (sin cos )d sin cos x x x x x x x x x ==-+--⎰⎰⎰ππ24π04(sin cos )(cos sin )1).x x x x =++--=2.当Σ为xOy 面内的一个闭区域时,曲面积分()d d ,,R x y x y z ∑⎰⎰与二重积分有什么关系?解:因为Σ:z =0,在xOy 面上的投影区域就是Σ故()()d d d d ,,,,0R x y R x y x y z x y ∑∑=±⎰⎰⎰⎰当Σ取的是上侧时为正号,Σ取的是下侧时为负号.3.证明:3()21f x x =-和()g x =. 证:由321y x =-解得x =故函数3()21f x x =-的反函数是)y x =∈R ,这与()g x =,所以3()21f x x =-和()g x =.4.设()f x 在[0,1]上连续,且0()1f x ≤≤,证明:至少存在一点[0,1]ξ∈,使()f ξξ=.证:令()()F x f x x =-,则()F x 在[0,1]上连续,且(0)(0)0,(1)(1)10,F f F f =≥=-≤ 若(0)0f =,则0,ξ=若(1)1f =,则1ξ=,若(0)0,(1)1f f ><,则(0)(1)0F F ⋅<,由零点定理,至少存在一点(0,1)ξ∈,使()0F ξ=即()f ξξ=. 综上所述,至少存在一点[0,1]ξ∈,使()f ξξ=.5.若()f x 在[,]a b 上连续,12n a x x x b <<<<<,证明:在1[,]n x x 中必有ξ,使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.证: 由题设知()f x 在1[,]n x x 上连续,则()f x 在1[,]n x x 上有最大值M 和最小值m ,于是12()()()n f x f x f x m M n+++≤≤,由介值定理知,必有1[,]n x x ξ∈,使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.习题二6.设函数2,1,(),1.x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩ 为了使函数()f x 在1x =点处连续且可导,,a b 应取什么值?解:因211lim ()lim 1(1)x x f x x f --→→=== 11lim ()lim()x x f x ax b a b ++→→=+=+ 要使()f x 在1x =处连续,则有1,a b +=又211()(1)1(1)limlim 2,11x x f x f x f x x ---→→--'===-- 111(1)lim lim ,11x x ax b ax af a x x +++→→+--'===--要使()f x 在1x =处可导,则必须(1)(1)f f -+''=, 即 2.a =故当2,1a b ==-时,()f x 在1x =处连续且可导.7.求下列函数的导数: ⑴ π3ln sin 7S t =+; 解:3S t '=⑵ y x =;解:12)y x x x '=+=+ ⑶ 2(1)sin (1sin )y x x x =-⋅⋅-; 解:222222sin (1sin )(1)cos (1sin )(1)sin (cos ) 2sin 2sin cos cos sin 2sin 2y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x=--+--+--=-+--+⑷ 1sin 1cos x y x-=-;解:22cos (1cos )(1sin )sin 1sin cos (1cos )(1cos )x x x x x xy x x ------'==--⑸ πtan e y x =+; 解:2sec y x '= ⑹ sec 3sec xy x x=-;解:2sec tan sec 3sec tan x x x xy x x x -'=-⑺ 2ln 2lg 3log y x x x =-+; 解:11112323(1)ln10ln 2ln1012y x x x x n '=-+⋅=-+⋅⋅ ⑻ 211y x x =++.解:22(12)(1)x y x x -+'=++8.求自由落体运动21()2s t gt =的加速度. 解:()s t gt '=()[()]s t s t g ''''==即为加速度.9.利用麦克劳林公式,按x 乘幂展开函数23()(31)f x x x =-+. 解:因为()f x 是x 的6次多项式,所以(4)(5)(6)23456(0)(0)(0)(0)(0)()(0)(0).2!3!4!5!6!f f f f f f x f f x x x x x x ''''''=++++++计算出:(0)1,(0)9,(0)60,(0)270f f f f ''''''==-==-, (4)(5)(6)(0)720,(0)1080,(0)720.f f f ==-=故23456()193045309.f x x x x x x x =-+-+-+10.已知函数()f x 在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,且()()0f a f b ==,试证:在(a ,b )内至少有一点ξ,使得()()0, (,)f f a b ξξξ'+=∈.证明:令()()e ,xF x f x =⋅()F x 在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,且()()0F a F b ==,由罗尔定理知,(,)a b ξ∃∈,使得()0F ξ'=,即()e ()e f f ξξξξ'+=,即()()0, (,).f f a b ξξξ'+=∈11.证明:场()()()()2,2,2yz x y z x z x y z x y x y z =++++++A 是有势场,并求其势函数. 解:略。
12.某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如12题图所示),设截面积为am 2,问底宽x 为多少时,才能使所用建造材料最省? 解:由题设知21π22x xy a ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭得 21π18π8a x a y x x x -==-12题图 截面的周长212112π()2πππ,2424π2()1,4a a l x x y x x x x x x x x al x x=++⋅=+-+=++'=+-令()0l x '=得唯一驻点x =.即当x =.13.在下列各题中,验证所给二元方程为所给微分方程的解:22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+=证:方程22x xy y C -+=两端对x 求导:220x y xy yy ''--+=得22x yy x y-'=-代入微分方程,等式恒成立.故是微分方程的解.2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-==证:方程ln()y xy =两端对x 求导:11y y x y''=+ () 得(1)yy x y '=-.()式两端对x 再求导得22211(1)1y y x x y y ⎡⎤''+=-⎢⎥--⎣⎦将,y y '''代入到微分方程,等式恒成立,故是微分方程的解.14.利用基本积分公式及性质求下列积分:2(1)5)d x x -;73(2)3e d x x x ⎰;解:原式=(3e)(3e)d .ln(3e)xxx c =+⎰23(3)d ;1x x ⎛ +⎝⎰ 解:原式=321d 23arctan 2arcsin .1x x x x c x -=-++⎰ 22(4)d ;1x x x +⎰解:原式=22211d d d arcsin .11x xx x x x c x x +-=-=-+++⎰⎰⎰ 2(5)sin d 2xx ⎰; 解:原式=1cos 1d sin .222x x x x c -=-+⎰21(6);1x x ⎛- ⎝⎰解:原式=357144444d d 4.7x x x x x x c ---=++⎰⎰2d (7);x x⎰解:原式=21d x x c x-=-+⎰.(8);x ⎰解:原式=35222d 5x x x c =+⎰.(9)解:原式=25322d 3x x x c --=-+⎰.2(10)(32)d ;x x x -+⎰解:原式=32132.32x x x c -++ 422331(11)d ;1x x x x +++⎰1x +3(12)d 2e x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰;解:原式=2e 3ln .x x c ++(13)e d ;1x xx -⎛⎫⎝⎰解:原式=e d e .xx x x c -=-⎰ 2352(14)d ;3x xxx ⋅-⋅⎰解:原式=5222d 5d 2233ln 3xxx x x c ⎛⎫⎛⎫-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. (15)sec (sec tan )d x x x x -⎰;解:原式=2sec d sec tan d tan sec x x x x x x x c -=-+⎰⎰.1(16)d 1cos 2x x+⎰;解:原式=22111d sec d tan 2cos 22x x x x c x ==+⎰⎰.cos 2(17)d cos sin xx x x-⎰;解:原式=(cos sin )d sin cos .x x x x x c +=-+⎰22cos 2(18)d cos sin xx x x⎰. 解:原式=2211d d cot tan .sin cos x x x x c x x -=--+⎰⎰ 15.讨论下列广义积分的敛散性:2d (1)(ln )kxx x +∞⎰;解:原式=2122112,1ln(ln )1d(ln ),1(ln )1(ln )1(ln 2),1(ln )11k k kk k x x k x k x k x kk +∞+∞-+∞-+∞-⎧=∞=⎪⎪⎪=∞<=⎨-⎪⎪=>⎪--⎩⎰ 故该广义积分当1k >时收敛;1k ≤时发散.d (2)()()bkaxb a b x >-⎰.解:原式=1100011lim ()()1,1lim ()d()1lim 1ln()b kk b a k a b a k b x b a k k b x b x k k b x εεεεεε+++-----→→-→⎧>⎧⎪⎪=-⎨--⎪-<---=⎪⎨-⎩⎪⎪-=-⎩⎰ 发散,发散, 综上所述,当k <1时,该广义积分收敛,否则发散.16.设星形线的参数方程为x =a cos 3t ,y =a sin 3t ,a >0求d) 星形线所围面积;e) 绕x 轴旋转所得旋转体的体积; f) 星形线的全长.解:(1)D =4⎠⎛0ay d x =4⎠⎜⎛π2a sin 3t d ()a cos 3t =12a 2⎠⎜⎛0π2sin 4t cos 2t d t=12a 2⎠⎜⎛0π2()sin 4t−sin 6t d t =38πa 2.(2)V x =2π⎠⎛0a y 2d x =2π⎠⎜⎛π2()a sin 3t 2d ()a cos 3t =6πa 3⎠⎜⎛0π2 sin 7t cos 2t d t=32105πa 3(3)x t ′=-3a cos 2t sin t y t ′=3a sin 2t cos t x t ′2+y t ′2=9a 2sin 2t cos 2t ,利用曲线的对称性,l =4⎠⎜⎛0π2x t ′2+ y t ′2d t =4⎠⎜⎛π2 3a sin 2t cos 2t d t=12a ⎠⎜⎛0π214sin 22t d t =6a ⎠⎜⎛0π2 sin2t d t =[]3a ()-cos2t π2=6a .17.有一等腰梯形闸门,它的两条底边各长10m 和6m ,高为20m ,较长的底边与水面相齐,计算闸门的一侧所受的水压力. 解:如图20,建立坐标系,直线AB 的方程为 y =-x10+5.压力元素为 d F =x ·2y d x =2x ⎝⎛⎭⎫-x 10+5d x所求压力为F =⎠⎛0202x ⎝⎛⎭⎫-x10+5d x =⎣⎡⎦⎤5x 2-115x 3200 =1467(吨) =14388(KN)18.将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数.解:21113212x x x x =-++++ 而()()()011113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑又()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n nn n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑(20)19.求矩形脉冲函数(),00,A t Tf t ≤≤⎧=⎨⎩其他的傅氏变换解:()()()01e ed ed i x Ti xi x A F f t A t t i ωωωωω-+∞---∞-===⎰⎰20.求下列函数的傅里叶积分:(1)()e ,00,0t t f t t -⎧≥=⎨<⎩(2)()1,101,010,t f t t --<<⎧⎪=<<⎨⎪⎩其他解:(1)()()02e d e e d 1111i t t i t Ff t t t i i ωωωωωω+∞+∞----∞==⋅-==++⎰⎰()()2220111e d e d 2π2π11cos sin d 2π11cos sin d π1i ti t i f F t t t t t t t ωωωωωωωωωωωωωωω+∞+∞-∞-∞+∞-∞+∞-==++=++=+⎰⎰⎰⎰ (2) ()()()()110e d d e d e 21cos i t i t i tF f tt t ti ωωωωωω+∞--∞---==+--=⎰⎰⎰()()()()()()()()01121cos e d e d 2π2π11cos d cos sin π1sin 1cos d π2sin 1cos d 0,1πi ti t f F t i t i t i t t t ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω+∞+∞-∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-==-=+-=-=≠⎰⎰⎰⎰⎰21.设L 为xOy 面内x 轴上从点(a ,0)到点(b ,0)的一段直线,证明:()(),d 0d bLaP x y x P x,x =⎰⎰,其中P (x , y )在L 上连续.证:L :0x xa xb y =⎧≤≤⎨=⎩,起点参数为x =a ,终点参数为x =b .故()(),d ,0d bLaP x y x P x x =⎰⎰22.证明下列曲线积分与路径无关,并计算积分值: (1)()()()()1,10,0d d x y x y --⎰;(2)()()()()3,423221,2d d 663x y xy y x y xy +--⎰; (3)()()1,221,1d d x y x x y-⎰沿在右半平面的路径;(4)()()6,81,0⎰沿不通过原点的路径;证:(1)P =x -y ,Q =y -x .显然P ,Q 在xOy 面内有连续偏导数,且1P Q y x∂∂==-∂∂,故积分与路径无关.取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段,则L 的方程为:y =x ,x :0→1.于是()()()()11,100,00d 0d d x x y x y ==--⎰⎰(2) P =6xy 2-y 3,Q =6x 2y -3xy 2.显然P ,Q 在xOy 面内有连续偏导数,且2123Pxy y y∂=-∂,2123Qxy y x∂=-∂,有P Q y x ∂∂=∂∂,所以积分与路径无关. 取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线,则()()()()()()[]3,423221,2432214323212d d 663d d 63966434864236x y xyy x y xy y x y y x y y x x +--=+--=+⎡⎤--⎣⎦=⎰⎰⎰(3)2y P x =,1Q x =-,P ,Q 在右半平面内有连续偏导数,且21P y x ∂=∂,21Q x x ∂=∂,在右半平面内恒有P Qy x∂∂=∂∂,故在右半平面内积分与路径无关. 取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段,则()()()21,2211,1d d d 11x y x x y y -==--⎰⎰(4) P,Q =,且P Qy x∂∂==∂∂在除原点外恒成立,故曲线积分在不含原点的区域内与路径无关, 取L 为从(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线,则()()686,811,0801529x y =+⎡=+⎣=⎰⎰⎰23.设在半平面x >0中有力()3k F xi yj r=-+构成力场,其中k为常数,r ,证明:在此力场中场力所做的功与所取的路径无关. 证:场力沿路径L 所作的功为. 33d d Lk k W x x y y r r =--⎰ 其中3kx P r =-,3kyQ r =-,则P 、Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续偏导数,并且 53(0)P kxy Q x y r x∂∂==>∂∂ 因此以上积分与路径无关,即力场中场力所做的功与路径无关.24.设a 为非零常数,b 为正常数,求y =ax 2+bx 在以0和ba为端点的闭区间上的最大值和最小值.解:20y ax b '=+=得2b x a =-不可能属于以0和ba为端点的闭区间上, 而 22(0)0,bb y y a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,故当a >0时,函数的最大值为22bb y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,最小值为(0)0y =;当a <0时,函数的最大值为(0)0y =,最小值为22bb y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.25.设22()yz f x y =-,其中f (u )为可导函数,验证: 211z z zx x y y y∂∂+=∂∂. 证明:∵2222z yf x xyf x f f ''∂⋅=-=-∂, 222(2)2z f y f y f y f y f f ''∂-⋅⋅-+==∂, ∴22222112211z z yf f y f y zx x y y f yf yf f y y''∂∂++=-+==⋅=∂∂⋅26.设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解:a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k 在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .27.已知a , b 的夹角2π3ϕ=,且3,4==b a ,计算: (1) a ·b ; (2) (3a -2b )·(a + 2b ).解:(1)a ·b =2π1cos ||||cos3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b2223||44||334(6)41661.=+⋅-=⨯+⨯--⨯=-a a b b28.解:设四面体的底为BCD ∆,从A 点到底面BCD ∆的高为h ,则13BCDV Sh =⋅⋅,而11948222BCDSBC BD i j k =⨯=--+= 又BCD∆所在的平面方程为:48150x y z +-+= 则43h ==故1942323V =⋅⋅=29.通过两点(1,1,1,)和(2,2,2)作垂直于平面x +y -z =0的平面. 解:设平面方程为Ax +By +Cz +D =0 则其法向量为n ={A ,B ,C } 已知平面法向量为n 1={1,1,-1} 过已知两点的向量l ={1,1,1} 由题知n ·n 1=0, n ·l =0 即00, .0A B C C A B A B C +-=⎧⇒==-⎨++=⎩所求平面方程变为Ax -Ay +D =0又点(1,1,1)在平面上,所以有D =0 故平面方程为x -y =0.30.求下列直线的夹角:(1)533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩ 和 2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩;(2)2314123x y z ---==- 和 38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩ 解:(1)两直线的方向向量分别为:s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321ij k--={3,4, -1}s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381i j k-={10, -5,10}由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直,夹角为π2. (2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是1212cos 0.2064785θθ⋅==≈⋅'≈︒s s s s31.求下列函数的全微分: (1)22ex y z +=;(2)z =;(3)zy u x =; (4)yz u x =.解:(1)∵2222e 2,e 2x y x y z zx y x y++∂∂=⋅=⋅∂∂ ∴222222d 2e d 2ed 2e(d d )x y x y x y z x x y y x x y y +++=+=+(2)∵22223/21()z xy y x y x x y ∂⎛⎫-=⋅=- ⎪+∂+⎝⎭2223/2()z x yx y ∂==∂+ ∴ 223/2d (d d ).()xz y x x y x y =--+(3)∵11,ln z z z y y z u u y x x x zy x y--∂∂==⋅⋅∂∂ 2ln ln y z ux x y y z∂=⋅⋅⋅∂ ∴211d d ln d ln ln d .z z zy y z y z u y x x x x zy y x x y y z --=+⋅+⋅⋅⋅(4)∵1y zu y x x z-∂=∂ 1ln yz u x x y z ∂=⋅⋅∂ ln y z u y x x z z 2∂⎛⎫=⋅⋅- ⎪∂⎝⎭∴121d d ln d ln d .y y yz z z y y u x x x x y x x z z z z -⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅- ⎪⎝⎭32.求下列复合函数的偏导数或全导数: (1)22,cos ,sin ,z x y xy x u v y u v =-==求z u ∂∂,zv∂∂; (2)z =arc tanx y , x =u +v ,y =u -v , 求z u ∂∂,z v∂∂; (3)ln(e e )x yu =+, y =x 3, 求d d ux; (4) u =x 2+y 2+z 2, x =e cos t t , y =e sin t t , z =e t , 求d d u t. 解:(1)222(2)cos (2)sin 3sin cos (cos sin )z z x z yxy y v x xy v u x u y u u v v v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-∂∂∂∂∂=-223333(2)sin (2)cos 2sin cos (sin cos )(sin cos ).z z x z yxy y u v x xy u v v x v y v u v v v v u v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--⋅+-⋅∂∂∂∂∂=-+++(2)222222211111x z z x z y y x v y u x u y uyx yu v x x y y ∂∂∂∂∂--⎛⎫-=⋅+⋅=⋅+⋅== ⎪∂∂∂∂∂++⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222111(1)11.x z z x z y y v x v y vyx x y y y x ux y u v -∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++ (3)33222d d d 11e 3e e 3e e e 3.d d d e e e e e e e e x y x x x y x y x y x y x x u u x u y x x x x x x y x ∂∂++=⋅+⋅=⋅+⋅⋅==∂∂++++ (4)d d d d d d d d u u x u y u z t x t y t z t∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂ 22(e cos e sin )2(e sin e cos )2e 4e t t t t t t x t t y t t z =-+++⋅=.33.设流速(),,y x c =-A (c 为常数),求环流量: (1)沿圆周221,0x y z +==; 解:2π(2)沿圆周()2251,0x y z -+==. 解:2π34.设(),,()yz xy xF u u F u x=+=为可导函数,证明: .z z xy z xy x y∂∂+=+∂∂ 证明:2()()()()z y y y xF u F u F u y F u x x x ∂⎛⎫''=+⋅+=+-- ⎪∂⎝⎭1()().z x xF u x F u y x∂''=+⋅=+∂ 故[]()()()()()()().z z F u y xy x y x F u F u y x y x xF u xy yF u xy yF u xy xF u xy z xy '∂∂⎡⎤'+=+++-⎢⎥∂∂⎣⎦''=+-++=++=+35.x 轴上的点的坐标有什么特点?y 轴上的点呢?z 轴上的点呢? 答:x 轴上的点,y =z =0; y 轴上的点,x =z =0; z 轴上的点,x =y =0.36.22()z f x y =+,其中f 具有二阶导数,求22222,,.z z zx x y y ∂∂∂∂∂∂∂ 解:2,2,z zxf yf x y∂∂''==∂∂ 222222224,224,z f x xf f x f xzxf y xyf x y∂''''''=+⋅=+∂∂''''=⋅=∂∂ 由对称性知,22224.z f y f y∂'''=+∂37.已知过去几年产量和利润的数据如下:解:在直角坐标系下描点,从图可以看出,这些点大致接近一条直线,因此可设f (x )=ax +b ,求[]621()i i i u y ax b ==-+∑的最小值,即求解方程组66621116611,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组,得29834402240034026320a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得 a =0.884, b =-5.894 即 y =0.884x -5.894,当x =120时,y =100.186(310元).38.解:因为(,)Df x y d σ⎰⎰为一常数,不妨设(,)Df x y C =⎰⎰则有(,)x y f xy C =+ 从而有(,)()x y Df xy f uv C dudv =++⎰⎰而{}2(,)0 1.0D x y x y x=≤≤≤≤21(,)00()u x y f xy uv C dv du ⎡⎤∴=+⎰⎰+⎣⎦2120012u xy uv cv du ⎡⎤=+⎰+⎢⎥⎣⎦ 152012xy u cu du ⎡⎤=+⎰+⎢⎥⎣⎦163011123xy u cu ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦11123xy C =++18C ∴=故(,)18x y f xy ∴=+39.在直角坐标系下计算三重积分: (1)23d d d xy z x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面z = x y 与平面y = x , x =1和z =0所围成的闭区域; (2)()3d d d 1x y zx y z Ω+++⎰⎰⎰,其中Ω为平面x = 0, y = 0, z = 0, x +y +z = 1所围成的四面体;(3)2d d d z x y z Ω⎰⎰⎰,Ω是两个球:x 2+y 2+z 2≤R 2和x 2+y 2+z 2≤2Rz (R >0)的公共部分; (4)d d d xyz x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由x = a (a >0), y = x , z = y , z = 0所围成;(5)e d d d yx y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由x 2+z 2-y 2=1, y =0, y =2所围成;(6)sin d d d y x x y z x Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由π0,2y y x z ==+=所围成。