非线性粘滞阻尼器系统的刚性性质与动力时程分析
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收稿日期：2015-09-28；修改日期：2016-01-08 基金项目：国家自然科学基金项目(11172210)；土木工程防灾国家重点实验室探索性研究课题项目(SLDRCE14-B-20)；中央高校基本科研业务费 专项资金项目 通讯作者：彭勇波(1978―)，男，湖北人，副研究员，博士，主要从事工程结构的振动控制及其可靠度研究(E-mail: pengyongbo@tongji.edu.cn). 作者简介：陈建兵(1975―)，男，湖北人，教授，博士，主要从事随机动力学以及基于概率密度演化理论的结构可靠度研究 (E-mail: chenjb@tongji.edu.cn)； 曾小树(1992―)，男，湖北人，硕士生，主要从事高层建筑结构抗风舒适度研究(E-mail: 13_zengxiaoshu@tongji.edu.cn).
(5)
满足以下条件的方程： 1) Re( j ) 0 , j 1, 2,, m ； 2) s : max Re( j ) / min Re( j ) 1 定 义
1≤ j≤m 1≤ j≤m
为刚性方程[9]。其中 j 为雅可比矩阵的特征值，s 是刚性比。 为了考察非线性粘滞阻尼器对系统刚性特征 的影响，取如下系统参数：质量 m=1.0×105 kg，阻
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尼比为=0.05，周期取 Tn=1 s、3 s、5 s，系统的速 0.0001 m/s (速度较小时阻尼力随着 度取较小值 u 速度的变化而快速变化)。采用非线性粘滞阻尼器， 阻尼系数为 cD=30 kN · s/m，阻尼指数分别取 = 1.0、0.7、0.5、0.3，采用式(5)计算系统的刚性比， 结果见表 1。
表 1 给定系统在不同 值下的刚性比(表中 i 为虚数单位) Table 1 Stiff ratios of specified systems with different values (i denotes imaginary unit)
m=1×105 kg
=0.05
T=1.0 s
=1.0
(3) 由此得到雅克比矩阵为： 1 0 1 J k cD y2 c m m m 则其特征方程为： 1
(4)
k m
1 0 cD y2 c m m 1 c cD y2 k 2 0 m m m
第 33 卷第 7 期 2016 年 7 月
Vol.33 No.7 July 2016
工
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学 204
ENGINEERING MECHANICS
文章编号：1000-4750(2016)07-0204-08
非线性粘滞阻尼器系统的 刚性性质与动力时程分析
陈建兵1，曾小树1，彭勇波2
(1. 同济大学土木工程学院，土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092；2. 同济大学上海防灾救灾研究所，上海 200092)
[3]
(t ) cu (t ) ku (t ) cD sgn(u (t )) u (t ) p(t ) (1) mu
式中：m、c、和 k 分别表示系统的质量、阻尼和刚 (t ) 和 u (t ) 分别表示系统的位移、速度 度； u (t ) 、 u 和加速度； cD 表示阻尼系数； 为阻尼指数，当
，式 (1) 可以写成以下状态方程的 y1 u ， y2 u
形式：
1 y2 y (2) cD y2 sgn( y2 ) c k y y y 2 2 1 m m m 求式(2)的雅可比矩阵的关键求导过程如下： d(y2 ) 1 , y2 y2 ≥ 0 d[ y2 sgn( y2 )] dy2 dy 2 d[ ( y2 ) ] y 1 , y 0 2 2 dy2
=1.0 时式(1)为线性阻尼力公式，当 =0 时式(1) 为摩擦阻尼力公式，工程中通常取 0.3 ≤ ≤ 1.0 ， 越小其非线性越强，大多数粘滞阻尼器取值为 0.3 ≤ ≤ 0.5 ； sgn() 表示符号函数。
对式(1)进行特征分析(此时可令 p (t ) 0 )，令
TIME-HISTORY ANALYSIS AND STIFF PROPERTIES OF NONLINEAR VISCOUS DAMPER SYSTEMS
CHEN Jian-bing1 , ZENG Xiao-shu1 , PENG Yong-bo2
(1. School of Civil Engineering & State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. Shanghai Institute of Disaster Prevention and Relief, Tongji University, Shanghai 200092, China)
摘
要：粘滞阻尼器在工程中得到了日益广泛的应用，其出力存在分数指数律的非线性关系。工程中常用的阻尼
指数为 0.3~0.5，在此情况下，传统的非线性时程分析方法如 Newmark 积分及新近发展的 KR-方法等，均可能出 现不稳定或数值脉冲现象，而经典的能量等效线性化方法则存在迭代求解及精度不高等问题。该文首次分析了该 类粘滞阻尼器系统的刚性特征。在此基础上引入向后差分格式，并与耗能等效格式、Newmark 积分格式和 KR- 方法在精度、稳定性和计算效率等方面进行了对比分析。数值分析结果表明，向后差分法格式既能保证算法的稳 定性、又具有足够的精度和效率。 关键词：粘滞阻尼器；非线性；刚性系统；向后差分方法；动力时程分析 中图分类号：TU352.1 文献标志码：A doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2015.09.0800
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由于性能稳定、经济可靠，粘滞阻尼器近年来 在工程结构抗震及风振控制等方面得到了广泛的 应用[1
－2]
1 粘滞阻尼器系统的刚性特征
考虑一个附加粘滞阻尼器的单自由度系统，受 到时变荷载 p(t)的作用，其运动方程可以表示为：
。粘滞阻尼器是一类速度相关型阻尼器，
其力学性能可以用力-速度的分数指数律关系表示， 因而附加粘滞阻尼器后的结构系统是非线性系统。 粘滞阻尼器- 结构系统的时程分析对粘滞阻尼器的 选择与优化具有重要的意义。在工程实践中，人们 常用的有等效线性化方法与直接积分方法等两类 方法。在等效线性化方法中，最具代表性的是耗能 等效线性化方法 ，该方法利用一个等效的线性系 统表示原非线性系统，其等效原则为使两个系统中 的阻尼器耗能相等。这一方法在非线性粘滞阻尼器 系统分析中得到了广泛的应用[4]。然而，在推导等 效线性系统的阻尼比时，该方法需假定结构的响应 为正弦函数，这与实际工程激励、如地震动和风荷 载等随机过程相去甚远，因而导致额外的误差。此 外，在分析过程中需要进行迭代，因此计算效率不 高。基于这一背景，Di Paola 等[5]提出了随机等效 线性化方法，该方法假定结构外激励为高斯过程， 应用随机等效线性化技术(SLT) 推导得到等效线性 系统的阻尼比。不难发现，高斯过程假定在一定程 度上内蕴了激励的随机性本质，但仍然与一般工程 随机激励存在显著差异，难以在工程应用中获得推 广。直接积分方法避免了上述问题，对于非线性系 统往往具有更好的适用性。其中，应用最广泛的是 Newmark 积分方法[6]，但该方法是一类条件稳定算 法，其适用性有一定限制。最近发展起来的 CR 算 法，结合动力方程传递函数的极点，构造出一种显 式的无条件稳定算法，为非线性系统的求解提供了 新思路[7]。 在此基础上， 通过结合广义方法和传递 函数极点发展的 KR-算法也是一种显式的无条件 稳定方法，对于一般非线性系统同样适用[8]。遗憾 的是，在具有分数阻尼指数的粘滞阻尼器非线性系 统分析中，对工程中常用的阻尼指数小于 0.5(一般 为 0.3~0.5)的情况，上述时域分析方法均可能出现 严重的数值脉冲现象。 本文通过研究附加粘滞阻尼器系统的动力方 程，首次分析了该类系统的刚性特征，揭示了数值 脉冲现象发生的根本原因。在此基础上，引入向后 差分格式(Backward Difference Formulas, BDFs)，并 将其与 Newmark 积分、KR-方法和耗能等效格式 在精度、稳定性和经济性等方面进行了对比，证实 了该方法的优越性。
Abstract: The fluid viscous dampers (FVDs) have received great appeals in engineering applications. Generally, the output force against the damper velocity is a nonlinear function in the form of fractional-power law. The usual damping exponent in practical applications is usually 0.3-0.5, within which the traditional time-integration methods for nonlinear analysis, such as the Newmark formula and the newly developed KR- formula, etc., would suffer from instability and spurious numerical pulses; whereas the conventional energy-equivalence based formulas suffers from iteration and relatively low accuracy. In the present paper, the stiff properties of the viscously damped nonlinear systems are systematically analyzed. Then the backward difference formulas (BDFs) are introduced. The advantages of the BDFs over the above mentioned formulas are demonstrated through comparative studies. The accuracy, stability and efficiency of these formulas are examined. Numerical results reveal that the BDFs operate well in guaranteeing the stability of the algorithm, and in gaining high accuracy of solutions of stiff systems. Key words: fluid viscous dampers; nonlinearity; stiff systems; backward difference formulas; time-history analysis
0.25－2.08i 0.17－2.08i 0.21－1.23i 0.46+ 6.27i 0.25+2.08i 0.21+1.23i — — —
=0.7
收稿日期：2015-09-28；修改日期：2016-01-08 基金项目：国家自然科学基金项目(11172210)；土木工程防灾国家重点实验室探索性研究课题项目(SLDRCE14-B-20)；中央高校基本科研业务费 专项资金项目 通讯作者：彭勇波(1978―)，男，湖北人，副研究员，博士，主要从事工程结构的振动控制及其可靠度研究(E-mail: pengyongbo@tongji.edu.cn). 作者简介：陈建兵(1975―)，男，湖北人，教授，博士，主要从事随机动力学以及基于概率密度演化理论的结构可靠度研究 (E-mail: chenjb@tongji.edu.cn)； 曾小树(1992―)，男，湖北人，硕士生，主要从事高层建筑结构抗风舒适度研究(E-mail: 13_zengxiaoshu@tongji.edu.cn).
(5)
满足以下条件的方程： 1) Re( j ) 0 , j 1, 2,, m ； 2) s : max Re( j ) / min Re( j ) 1 定 义
1≤ j≤m 1≤ j≤m
为刚性方程[9]。其中 j 为雅可比矩阵的特征值，s 是刚性比。 为了考察非线性粘滞阻尼器对系统刚性特征 的影响，取如下系统参数：质量 m=1.0×105 kg，阻
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尼比为=0.05，周期取 Tn=1 s、3 s、5 s，系统的速 0.0001 m/s (速度较小时阻尼力随着 度取较小值 u 速度的变化而快速变化)。采用非线性粘滞阻尼器， 阻尼系数为 cD=30 kN · s/m，阻尼指数分别取 = 1.0、0.7、0.5、0.3，采用式(5)计算系统的刚性比， 结果见表 1。
表 1 给定系统在不同 值下的刚性比(表中 i 为虚数单位) Table 1 Stiff ratios of specified systems with different values (i denotes imaginary unit)
m=1×105 kg
=0.05
T=1.0 s
=1.0
(3) 由此得到雅克比矩阵为： 1 0 1 J k cD y2 c m m m 则其特征方程为： 1
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k m
1 0 cD y2 c m m 1 c cD y2 k 2 0 m m m
第 33 卷第 7 期 2016 年 7 月
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文章编号：1000-4750(2016)07-0204-08
非线性粘滞阻尼器系统的 刚性性质与动力时程分析
陈建兵1，曾小树1，彭勇波2
(1. 同济大学土木工程学院，土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092；2. 同济大学上海防灾救灾研究所，上海 200092)
[3]
(t ) cu (t ) ku (t ) cD sgn(u (t )) u (t ) p(t ) (1) mu
式中：m、c、和 k 分别表示系统的质量、阻尼和刚 (t ) 和 u (t ) 分别表示系统的位移、速度 度； u (t ) 、 u 和加速度； cD 表示阻尼系数； 为阻尼指数，当
，式 (1) 可以写成以下状态方程的 y1 u ， y2 u
形式：
1 y2 y (2) cD y2 sgn( y2 ) c k y y y 2 2 1 m m m 求式(2)的雅可比矩阵的关键求导过程如下： d(y2 ) 1 , y2 y2 ≥ 0 d[ y2 sgn( y2 )] dy2 dy 2 d[ ( y2 ) ] y 1 , y 0 2 2 dy2
=1.0 时式(1)为线性阻尼力公式，当 =0 时式(1) 为摩擦阻尼力公式，工程中通常取 0.3 ≤ ≤ 1.0 ， 越小其非线性越强，大多数粘滞阻尼器取值为 0.3 ≤ ≤ 0.5 ； sgn() 表示符号函数。
对式(1)进行特征分析(此时可令 p (t ) 0 )，令
TIME-HISTORY ANALYSIS AND STIFF PROPERTIES OF NONLINEAR VISCOUS DAMPER SYSTEMS
CHEN Jian-bing1 , ZENG Xiao-shu1 , PENG Yong-bo2
(1. School of Civil Engineering & State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. Shanghai Institute of Disaster Prevention and Relief, Tongji University, Shanghai 200092, China)
摘
要：粘滞阻尼器在工程中得到了日益广泛的应用，其出力存在分数指数律的非线性关系。工程中常用的阻尼
指数为 0.3~0.5，在此情况下，传统的非线性时程分析方法如 Newmark 积分及新近发展的 KR-方法等，均可能出 现不稳定或数值脉冲现象，而经典的能量等效线性化方法则存在迭代求解及精度不高等问题。该文首次分析了该 类粘滞阻尼器系统的刚性特征。在此基础上引入向后差分格式，并与耗能等效格式、Newmark 积分格式和 KR- 方法在精度、稳定性和计算效率等方面进行了对比分析。数值分析结果表明，向后差分法格式既能保证算法的稳 定性、又具有足够的精度和效率。 关键词：粘滞阻尼器；非线性；刚性系统；向后差分方法；动力时程分析 中图分类号：TU352.1 文献标志码：A doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2015.09.0800
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由于性能稳定、经济可靠，粘滞阻尼器近年来 在工程结构抗震及风振控制等方面得到了广泛的 应用[1
－2]
1 粘滞阻尼器系统的刚性特征
考虑一个附加粘滞阻尼器的单自由度系统，受 到时变荷载 p(t)的作用，其运动方程可以表示为：
。粘滞阻尼器是一类速度相关型阻尼器，
其力学性能可以用力-速度的分数指数律关系表示， 因而附加粘滞阻尼器后的结构系统是非线性系统。 粘滞阻尼器- 结构系统的时程分析对粘滞阻尼器的 选择与优化具有重要的意义。在工程实践中，人们 常用的有等效线性化方法与直接积分方法等两类 方法。在等效线性化方法中，最具代表性的是耗能 等效线性化方法 ，该方法利用一个等效的线性系 统表示原非线性系统，其等效原则为使两个系统中 的阻尼器耗能相等。这一方法在非线性粘滞阻尼器 系统分析中得到了广泛的应用[4]。然而，在推导等 效线性系统的阻尼比时，该方法需假定结构的响应 为正弦函数，这与实际工程激励、如地震动和风荷 载等随机过程相去甚远，因而导致额外的误差。此 外，在分析过程中需要进行迭代，因此计算效率不 高。基于这一背景，Di Paola 等[5]提出了随机等效 线性化方法，该方法假定结构外激励为高斯过程， 应用随机等效线性化技术(SLT) 推导得到等效线性 系统的阻尼比。不难发现，高斯过程假定在一定程 度上内蕴了激励的随机性本质，但仍然与一般工程 随机激励存在显著差异，难以在工程应用中获得推 广。直接积分方法避免了上述问题，对于非线性系 统往往具有更好的适用性。其中，应用最广泛的是 Newmark 积分方法[6]，但该方法是一类条件稳定算 法，其适用性有一定限制。最近发展起来的 CR 算 法，结合动力方程传递函数的极点，构造出一种显 式的无条件稳定算法，为非线性系统的求解提供了 新思路[7]。 在此基础上， 通过结合广义方法和传递 函数极点发展的 KR-算法也是一种显式的无条件 稳定方法，对于一般非线性系统同样适用[8]。遗憾 的是，在具有分数阻尼指数的粘滞阻尼器非线性系 统分析中，对工程中常用的阻尼指数小于 0.5(一般 为 0.3~0.5)的情况，上述时域分析方法均可能出现 严重的数值脉冲现象。 本文通过研究附加粘滞阻尼器系统的动力方 程，首次分析了该类系统的刚性特征，揭示了数值 脉冲现象发生的根本原因。在此基础上，引入向后 差分格式(Backward Difference Formulas, BDFs)，并 将其与 Newmark 积分、KR-方法和耗能等效格式 在精度、稳定性和经济性等方面进行了对比，证实 了该方法的优越性。
Abstract: The fluid viscous dampers (FVDs) have received great appeals in engineering applications. Generally, the output force against the damper velocity is a nonlinear function in the form of fractional-power law. The usual damping exponent in practical applications is usually 0.3-0.5, within which the traditional time-integration methods for nonlinear analysis, such as the Newmark formula and the newly developed KR- formula, etc., would suffer from instability and spurious numerical pulses; whereas the conventional energy-equivalence based formulas suffers from iteration and relatively low accuracy. In the present paper, the stiff properties of the viscously damped nonlinear systems are systematically analyzed. Then the backward difference formulas (BDFs) are introduced. The advantages of the BDFs over the above mentioned formulas are demonstrated through comparative studies. The accuracy, stability and efficiency of these formulas are examined. Numerical results reveal that the BDFs operate well in guaranteeing the stability of the algorithm, and in gaining high accuracy of solutions of stiff systems. Key words: fluid viscous dampers; nonlinearity; stiff systems; backward difference formulas; time-history analysis
0.25－2.08i 0.17－2.08i 0.21－1.23i 0.46+ 6.27i 0.25+2.08i 0.21+1.23i — — —
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