二次型的正定性及其应用

毕业论文题目：二次型的正定性及其应用

学生姓名：孙云云

学生学号：0805010236

系别：数学与计算科学系

专业：数学与应用数学

届别：2012 届

指导教师：李远华

目录

摘要 (1)

前言 (2)

1 二次型的概念 (2)

1.1 二次型的矩阵形式 (2)

1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (2)

2 二次型的正定性一些判别方法及其性质 (3)

3 二次型的应用 (8)

3.1 多元函数极值 (8)

3.2 线性最小二乘法 (13)

3.3 证明不等式 (15)

3.4 二次曲线 (18)

结论 (18)

致谢 (19)

参考文献 (19)

二次型的正定性及其应用

学生：孙云云

指导老师：李远华

淮南师范学院数学与计算科学系

摘要：二次型与其矩阵具有一一对应关系，本文主要通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用。通过研究二次型的性质并利用正（负）定矩阵判断多元函数的极值、证明不等式，由矩阵的特征值求多元函数的最值，再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形状。

关键词：二次型；矩阵；正定性；应用

The second type of positive definite matrix and its

applications

Student: Sun YunYun

Instructor: Li YuanHua

Department of mathematics and Computational Science, Huainan Normal University

Abstract:Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, this paper mainly through the study of the matrix is qualitative to study the second type is qualitative and its application. Through the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix function of many extreme value, to testify inequality, the characteristic value of the matrix for the most value of a function of many, then the degradation by linear replace judgment of the shape of the quadratic curves.

Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application

前言

二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义. 1 二次型的概念

定义1.1 设P 是一个数域，ij a ∈p,n 个文字1x ,2x ,…, n x 的二次齐次多项式

2

22

12111

1212131311222

23232211

(,,...,)22...22...2......n n

n n n n n nn n ij i j

i j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x ===++++++++++=∑∑),...,2,1,,(n j i a a ji ij ==称为数域p 上的一个n 元二次型，简称二次型.当ij a 为实

数时，f 称为实二次型.当ij a 为复数时,称 f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即12(,,...,)n f x x x =2221112...n n d x d x d x +++称f 为标准型. 1.1 二次型的矩阵形式

二次型12(,,...,)n f x x x 可唯一表示成12(,,...,)n f x x x =T x Ax ，其中

12(,,...,)T n x x x x =，()ij n n A a ⨯=为对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称A 为二次型的矩阵（必是对称矩阵），称A 的秩为二次型f 的秩. 1.2 正定二次型与正定矩阵的概念

定义1.2 设12(,,...,)n f x x x =T x Ax 是n 元实二次型（A 为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数12,,...,n c c c 都有12(,,...)0n f c c c >，则称f 为正定二次型,称A 为正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c ≥，则称f 为半正定二次型，称A 为半正定矩阵;如果12(,,...)0n f c c c <，则称f 为负定二次型，称A 为负定矩阵;如果

12(,,...)0n f c c c ≤，称f 为半负定二次型，称A 为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型，称A 为不定矩阵. 定义1.2 另一种定义 具有对称矩阵A 的二次型,AX X f T =

(1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0

成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.

注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.

二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.

2 二次型的正定性一些判别方法及其性质

定理2.1 设A 为正定矩阵,若B A ≌)(合同与B A ,则B 也是正定矩阵.

定理 2.2 对角矩阵),,,(21n d d d diag D =正定的充分必要条件是

),,2,1(0n i d i =>.

定理2.3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是A 的特征值全大于零. 定理2.4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数.n p =

定理2.5 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C ,使

C C A T =.即E A 与合同.

推论2.1 若A 为正定矩阵,则0||>A .