第二章 泊松过程
二章Poisson过程-精品文档
k t exp t Poison分布，即：p N s t N t k ,k 0 , 1 ,
• 例2.1顾客依Poisson过程到达某商店，速率为4人／小时。 已知商店上午9：oo开门。试求到9：30时仅到一位顾客，
而到11：30时总计已到达5位顾客的概率。
互独立同分布的随机变量，且与 相互独立， N t, t 0
称随机过程 为复合泊松过程。 X t, t 0
i位旅客的 NtΒιβλιοθήκη 位客人，就是 。 Et Wi i1
Nt
W t ．而所要求的平均总等待时间
• 为求出它可以先求条件期望：
N t n E t W N t n t W N t n i i E 1 1 i i n nt E W t n i N 1 i
m 12 sds 195
12 0
195 195 p N 12 N 0 100 e ! K 0 K
100 K
• 2.3.2 复合Poisson过程 • 定义2.3设 是一个泊松过程， 是一列相 Y1,Y2 , N t, t 0
• 注意到给定 N 的联合密度是与 ( 0, t ] t n , W , i 1 , 2 , , n i 上均匀分布中随机样本 ，的次序统计量 U i 1 , 2 , ,n i,
U i 1 , 2 , ,n的联合密度是一样的。所以： i,
n n n nt E W t n E U E U iN i i i 1 i 1 i 1 2
的Poisson过程到达车站。若火
泊松过程poisson
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
泊松过程
i 1
i
设 E[ X n ] ，由于Xn为非负随机变量且不恒为0，所以 有 0 。 因为Sn代表n次更新所花费的时间，则 N (t ) sup{n; Sn t}
由于>0，故当n∞时，要求Sn 趋于∞；反之，若Sn∞， 必然要求n ∞ ，这就说明在有限长的时间内只能出现 有限次更新。 t 有限时：
§4.4 泊松过程
一、计数过程 1、定义：在[0,t]内出现事件A的总数所组成的过程{N(t), t≥0}称为计数过程。计数过程{N(t), t≥0}应满足下列条件： （1） N(t) ≥0； （2） N(t) 一个是正整数； （3）如果两个时刻s,t, 且s<t, 则N(s)≤N(t)。 （4）对于s < t，N(t)-N(s)代表在时间间隔[s,t]内出 现事件A的次数。
[t 2、设有 t1 t 2 t3 t 4 ， 1 , t 2 )和[t 3 , t 4 ) ，是两个不相交 的时间间隔，若 [ N (t 2 ) N (t1 )]与[ N (t 4 ) N (t3 )] 相互统计 独立，则N(t)为独立增量计数过程。
3、若 [ N (t s) N (t )] 仅与s有关而与t无关，则称N(t)为 平稳增量计数过程。
由福克-普朗克方程可得： dp j (t ) j 1 p j 1 (t ) ( j j ) p j (t ) j 1 p j 1 (t ) dt 直接求解以上方程组比较困难，一般仅讨论平稳分布， t∞时的极限情况。 二、排队和服务问题 1、基本概念：任何排队过程包括三个不同的历程： 1）到达过程 2）排队过程 3）服务过程 排队服务系统一般用G1/G2/n/m 表示，其中： G1— 顾客到达服从G1分布； G2—服务时间服从G2分布；n — 服务员数目；m —顾客排队容许长度（或系统容量），m = ∞时不写出，为等待制系统。
随机过程——泊松过程(2)
4.2.2 复合Poisson过程
二、定义
设 N t , t 0 为一齐次 Poisson 过程，n , n 1是 i.i.d 序列，且与N t , t 0相互独立，令
Yt n1 n
Nt
Y 则称随机过程 t , t 0 为复合 Poisson 过程.
• 4.1 到达时间间隔与等待时间分布 • 4.1’ Poisson过程的分解 • 4.2 非齐次和复合Poisson过程
4.1’ Poisson过程的分解
一、Poisson过程的分解
N t , t 0为 一 齐 次 sson 程， 有 时 会 Poi 过
将 事 件 分 类 ，型 和II型 ， 事 件 被 分 为 哪 I 一类依赖于发生的时，即事件发生在 间 时 刻s， 则 以 概 率 s 被 归 为 型 ， 以 P I 的归类独立，则有如结论： 下
s 0
P0 t , s 1 t s h oh
ln P0 t , s t x dx m t s m t
P0 t , s e
m t s m t
再来看k 1的情形
4.2.1 非齐次P机过程 N t 是一个计数过程，若满 足
(2)N t 是独立增量过程 .
(1) N 0 0
(4)h 0，PN t h N t 1 t h oh
则 称N t 具 有 强 度 函 数t 的 非 齐 次 为 Poisson 程 . 过
u t s P0 t , s t
k 1 e iuk t s Pk t , s t s Pk 1 t , s
iuk iu
泊松过程
泊松过程一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。
泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
Poisson过程（Poisson process，大陆译泊松过程、普阿松过程等，台译卜瓦松过程、布瓦松过程、布阿松过程、波以松过程、卜氏过程等），是以法国数学家泊松（1781 - 1840）的名字命名的。
泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。
我们说一个随机过程N(t) 是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重叠）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。
在区间内发生的事件的数目的概率分布为：其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。
所以，如果给定在时间区间之中事件发生的数目，则随机变数呈现泊松分布，其参数为。
更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得•在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变数是独立的。
•在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变数，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变数。
）泊松过程是莱维过程（Lévy process）中最有名的过程之一。
时间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。
一个时间齐次、一维的泊松过程是一个纯出生过程，是一个出生-死亡过程的最简单例子。
泊松过程公式范文
泊松过程公式范文泊松过程（Poisson process）是概率论中的一种重要的随机过程。
它以数学家西莫恩·庞加莱（Siméon Denis Poisson）的名字命名，他在19世纪早期首次引入了这个概念。
泊松过程是一种离散时间（时间按照一定的间隔划分）连续状态（可以不断地发生事件）的随机过程。
泊松过程的定义是：在一段时间内，事件发生的次数服从泊松分布（Poisson distribution）。
这段时间可以是无穷小的时间间隔，也可以是有限的时间窗口。
泊松过程的关键特征是事件之间的时间间隔都是独立的且呈指数分布。
所谓指数分布是指事件之间的时间间隔满足指数分布的概率密度函数，即事件发生的概率与时间间隔的长度成正比。
泊松过程的数学定义可以表示为：P(N(t)=k)=(e^(-λt)*(λt)^k)/k!其中，N(t)表示在时间t内发生的事件次数，k表示事件的个数，λ表示单位时间内平均发生的事件个数。
根据泊松过程的定义，可以得到一些重要的性质和公式。
首先是事件发生的概率。
在时间t内发生k次事件的概率可以用公式P(N(t)=k)表示，其中λt表示单位时间内平均发生的事件个数。
这个公式是泊松分布的概率质量函数。
其次是事件之间的时间间隔。
由于泊松过程中时间间隔是独立的且呈指数分布，所以事件发生的时间间隔满足无记忆性（memoryless）的特性。
无记忆性意味着事件的发生与之前的事件的发生时间无关，只与发生事件的频率有关。
再次是事件的到达间隔。
事件的到达间隔是指两个连续事件之间的时间间隔。
根据泊松过程的定义，事件的到达间隔呈指数分布。
事件的到达间隔的期望值（也称为平均间隔）为1/λ，即单位事件到达的平均时间间隔。
最后是超过特定事件个数的概率。
假设我们需要计算在一定时间内超过n次事件发生的概率。
可以用公式P(N(t) > n) = 1 - P(N(t) <= n)= 1 - ∑(i=0 to n) (e^(-λt) * (λt)^i) / i!来计算。
第二章-泊松过程-随机过程
布的指数随机变量。Sn Xi ,n 1，第 n 个事件在时刻 Sn 发生，N(t) i1
表示到时刻 t 为止已发生的“事件”的总数，即 N (t) sup{n : Sn t}， 则
计数过程{N(t),t≥0}是参数为的泊松过程。
三、来到时刻的条件分布（conditional distribution of the arrival
X1=x1
X2=x2
x1
x1+ x2
Xn-1=xn-1 x1+ x2+…+ xn-1
Xn>t x1+ x2+…+ xn-1+t
所以，从上可得，Xn 也是一个具有均值 1/的指数随机变量，且 Xn
独立于 X1, …, Xn-1。
注记 这个命题不应使我们惊奇。平稳独立增量的假定等价于说在概率 意义上过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已 发生的一切(由独立增量)，且有与原过程完全一样的分布(由平稳增量)。 换言之，过程无记忆，因此指数间隔是预料之中的。
n
f ( yi1 ) f ( yin ) f ( yi ) ， 所 以 Y(1),Y(2),, Y(n) 的 联 合 密 度 为 i1 n
f ( y1, y2 , , yn ) n! f ( yi ), y1 y2 yn i1
若 Yi，i=1,2,,n,都是(0,t)上均匀分布，则由上面的讨论可知，顺序统
Pn (t ) Pn (t ) Pn1(t ) 于是
Pn (t ) et ( Pn1(t )etdt Cn )
P1(t ) et ( P0 (t )etdt C1 )＝et ( etetdt C1 )＝et (t C1 )，
泊松过程
第二讲 泊松过程1．随机过程和有限维分布族现实世界中的随机过程例子：液体中，花粉的不规则运动：布朗运动；股市的股票价格； 到某个时刻的电话呼叫次数；到某个时刻服务器到达的数据流数量，等。
特征：都涉及无限多个随机变量，且依赖于时间。
定义（随机过程） 设有指标集T ，对T t ∈都有随机变量)(t X 与之对应，则称随机变量族}),({T t t X ∈为随机过程。
注 一个随机过程是就是一个二元函数E T t X →⨯Ωω:),(。
固定ω，即考虑某个事件相应的随机变量的值，得到函数R T t X →:),(ω称为样本函数或轨道或一个实现。
映射的值域空间E 称为状态空间。
例 随机游动(离散时间，离散状态)质点在直线上每隔单位时间位置就发生变化，分别以概率p 或概率p -1向正或负向移动一个单位。
如果以n S 记时刻n 质点所处的位置，那么就得到随机过程{,0}n S n ≥。
这里指标集},1,0{ =T ，状态空间},1,0,1,{ -=E 。
如果记n X 为时刻n ，质点的移动，那么{,1}n X n ≥也是随机过程。
两个过程的区别：{}n S 不独立；{}n X 独立； 两个过程的关系：01nn kk S S X==+∑习题 计算n ES 和n DS （设00S =）。
提示 利用∑==nk kn XS 1，其中k X 是时刻k 的移动方式。
习题 设从原点出发，则()/2()/2()/2,2()0,21n k n k n k n n C q p n k iP S k n k i +-+⎧+===⎨+=-⎩。
例 服务器到达的数据流(连续时间，离散状态)在],0[t 内，到达服务器的数据包个数记为)(t N ，那么}0),({≥t t N 也是个随机过程，其指标集}{+∈=R t T ，状态空间},1,0{ =E 。
例 布朗运动（连续时间，连续状态）直线上质点的位移是连续的。
在时刻t 的位置为t X 。
泊松过程
pk (t +h) −pk (t) o(h) , = −λpk (t) +λpk−1(t) + h h pk'(t) = −λpk (t) + λpk−1(t) h ,(k = 0,1,2,L ) 令 →0得 ， pk (0) = P{N(0) = k} = 0
k=1时 k=1时, p1'(t) = −λp1(t) + λe−λt p1(0) = 0 解得： (t)＝ 所以k=1时结论成立。 k=1时结论成立 解得：p1(t)＝λte-λt，所以k=1时结论成立。
(λt)k−1 −λt e 。 假设k-1时结论成立， pk−1(t) = 假设k 时结论成立， (k −1)! pk'(t) = −λpk (t) + λpk−1(t) (λt)k −λt 解 , 得 pk (t) = e 。 pk (0) = 0 k!
结论成立。 结论成立。 由归纳法知，对一切k=0,1,2, k=0,1,2,…，结论成立。 由归纳法知，对一切k=0,1,2, ，结论成立。 (λt)k −λt 得证
j=0
k
k
{N(t) = j}P N(h = k − j} { ) = ∑P
) ) ) p ) = ∑pj(t)pk−j(h = pk(t)p0(h +pk−1(t)p1(h + ∑ j(t)pk−j(h
j=0 j=0
j=0 k
k−2
(t)[1(t)[λh+o(h)]+o(h)， ＝pk(t)[1-λh+o(h)]+pk-1(t)[λh+o(h)]+o(h)，
定义3 如果取非负整数值得计数过程{N(t),t 0}满足下列 {N(t),t≥ 定义3 如果取非负整数值得计数过程{N(t),t≥0}满足下列 条件： 条件： N(0)＝ a) N(0)＝0； 具有独立增量； b) 具有独立增量； P{N(h)=1}＝ h+0(h)； c) P{N(h)=1}＝λh+0(h)； P{N(h)≥2}＝ d) P{N(h)≥2}＝0(h) 则称{N(t),t 0}为参数(或平均率、强度) {N(t),t≥ 齐次) 则称{N(t),t≥0}为参数(或平均率、强度)为λ的(齐次)泊 松过程。 松过程。 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤.令 例1 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤 令X(t)表 表 示电话交换台在(0,t]内收到的呼唤次数 则{X(t),t≥0}满足定义 内收到的呼唤次数,则 满足定义3 示电话交换台在 内收到的呼唤次数 ≥ 满足定义 的条件, 是一个泊松过程. 的条件 故{X(t), t≥0}是一个泊松过程 ≥ 是一个泊松过程 考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客,若记 若记X(t)为在时间 例2 考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客 若记 为在时间 [0,t]内到达售票窗口的旅客数 则{X(t),t≥0}为一泊松过程 内到达售票窗口的旅客数,则 内到达售票窗口的旅客数 ≥ 为一泊松过程
泊松过程
泊松过程
泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
它是一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数的过程。
一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变数是独立的。
在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变数，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变数。
）泊松过程是莱维过程（Lévy pro cess）中最有名的过程之一。
时间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。
一个时间齐次、一维的泊松过程是一个纯出生过程，是一个出生——死亡过程的最简单例子。
对泊松过程，通常可取它的每个样本函数都是跃度为1的左（或右）连续阶梯函数。
可以证明，样本函数具有这一性质的、随机连续的独立增量过程必是泊松过程，因而泊松过程是描写随机事件累计发生次数的基本数学模型之一。
直观上，只要随机事件在不相交时间区间是独立发生的，而且在充分小的区间上最多只发生一次，它们的累
计次数就是一个泊松过程。
2-1泊松过程
det P 1 t dt
t P t t C e 1
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
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结 束
《应用随机过程》电子课件 张 峰
第二章 Poisson 过程
二、Poisson过程的两个等价定义的证明 t P 0 0 P t te 由初始条件 1 1
b P N t h N t 2 P N h 2 o h
P N (t h)- N (t )=1 he
h
(3)
证：由（1）显然可得Poisson过程是平稳过程
k! h 1 h o h h o h
mN t EN (t )= t
DN t DN (t )= t
均方值函数
2 N
t EN (t )=DN t EN t t t
2 2
2
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第二章 Poisson 过程
t 再由 P0 0 0 P N t 0 e
。Leabharlann hNORTH UNIVERSITY OF CHINA
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《应用随机过程》电子课件 张 峰
第二章 Poisson 过程
二、Poisson过程的两个等价定义的证明
2 定义2 定义1 即:由(2),(3) (1) 证：当 k 1 时，Pk t h P N (t h) k
泊松过程
Wn = ∑ Ti
i =1
n
(n ≥ 1)
t
Wn —— 第n次事件 发生的时刻，或称等待时间， 次事件A发生的时刻 次事件 发生的时刻，或称等待时间， 或者到达时间 Tn —— 从第 次事件 发生到第 次事件 发生的 从第n-1次事件 发生到第n次事件 次事件A发生到第 次事件A发生的 时间间隔，或称第n个时间间隔 时间间隔，或称第 个时间间隔
=C
k n
s s 1 − t t
k
n−k
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件 已经发生 n 次，求第 次(k < n) 内事件A已经发生 求第k次
事件A发生的时间 的条件概率密度函数。 事件 发生的时间Wk 的条件概率密度函数。 发生的时间
n重贝努利试验中事件 重贝努利试验中事件A发生的 [二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的 ] 次数， 次数，则 X ~ B (n, p)
P ( X = k ) = n p k q n−k k
E ( X ) = np , D ( X ) = npq
是常数， [泊松定理] 在二项分布中，设 np=λ 是常数，则有 ] 在二项分布中，
jω X ( t )
]=e
(1) 泊松过程的数字特征
均值函数 方差函数 相关函数 协方差函数
m X (t ) = E[ X (t )] = λt
2 σ X (t ) = D X (t ) = λ t
R X ( s, t ) = E[ X ( s ) X (t )] = λ s (λ t + 1) , ( s < t )
P{ X ( s ) = k X (t ) = n} =
泊松过程
泊松过程泊松过程是指一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。
泊松过程是由法国著名数学家泊松（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。
我们说一个 随机过程 N(t)是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重迭）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。
在区间[t,t + τ]内发生的事件的数目标机率分布为：其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。
所以，如果给定在时间区间[t,t + τ]之中事件发生的数目，则随机变量N(t + τ) - N(t)呈现泊松分布，其参数为λτ。
更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重迭）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变量是独立的。
在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变量。
） 考虑一个泊松过程，我们将第一个事件到达的时间记为T1。
此外，对于n>1，以Tn记在第n-1个事件与第n个事件之间用去的时间。
序列{Tn,n=1,2,...}称为到达间隔时间列。
Tn(n=1,2,...)是独立同分布的指数随机变量，具有均值1/λ。
Definition of the Poisson processWe describe the situation by the counting process N(t), t > 0, which counts the number of events that have occurred between time 0 and time t. Our model has a single parameter, λ > 0, which isthe average arrival rate per unit time. Before defining the model formally, we make some preliminary calculations based on the following three natural assumptions:• The probability of an event occurring in a short interval of time [t,t+h] is λh+o(h) as h → 0.• The probability of two or more events occurring in interval [t, t + h] is o(h) as h → 0.• The numbers of events occurring in disjoint time intervals are independent.Examples:1.Insurance claims. Insurance companies often model customers’ claims using renewalideas. In this case the interarrival distribution is a crucial element of the calculation ofwhat insurance premium to charge.2.Counter processes. Many devices can be described as counters in that they attempt torecord the occurrence of successive signal pulses impinging on some instrument. Forexample Geiger counters for recording ionization events, or scintillation counters forrecording passage of a subatomic particle.3.Traffic flow. The times at which successive cars pass a monitoring station on a longsingle- lane road can be modelled as a renewal process. Much more generally, any sort of “traffic” can fit a similar model, such as data packets arriving at a server across a network connection. Questions of congestion can be answered using renewal theory and therelated theory of queues.4.Inventory systems. A large department store needs to know how much stock of aparticular item to hold, and a schedule for replenishment. The pattern of demands canoften be modelled as a renewal process.In any of these or other similar situations in which events occur randomly in time at some uniform average rate, an assumption of ‘total randomness’ leads to the Poisson process as a model.。
泊松过程
nk
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，求第k次(k < n) 事件A发
生的时间Wk 的条件概率密度函数。
P{s Wk s h, X (t ) n} P{s Wk s h X (t ) n} P{ X (t ) n} P{s Wk s h, X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n} P{s Wk s h} P{ X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n}
P{ X (t h) X (t ) 1} h o(h) P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
称它为具有参数 >0 的泊松过程
泊松过程例子
考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t)表示 电话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数，则{ X(t), t 0 } 是一个泊松过程。 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t) 为 时间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数，则{ X(t), t 0 } 是一 个泊松过程。 考虑机器在 (t, t+h] 内发生故障这一事件。若机器发生故 障，立即修理后继续工作，则在 (t, t+h] 内机器发生故障 而停止工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松 过程来描述。
时间间隔Tn
[定理] 设 {X (t), t 0 }是具有参数的泊松过程，{Tn , n 1 } 是对应的 时间间隔序列，则随机变量Tn (n=1,2,…)是独立同分布的均值为1/ 的指数分布。
Tn 的分布函数： Tn 的概率密度函数：
排队论大学课件6-泊松过程
复杂系统建模
02
对于复杂的服务系统，如多服务台、多队列等，基于泊松过程
的排队论模型建模难度较大。
数据获取与处理03在实际应用中，获取准确的顾客到达和服务时间数据较为困难，
对模型的验证和应用带来挑战。
未来发展趋势及研究方向
A
非齐次泊松过程研究
针对事件发生率变化的情况，研究非齐次泊松 过程在排队论中的应用。
均值与方差
指数分布的均值和方差都是1/λ，其中λ是单位时间内事件的平 均到达率。因此，到达时间间隔的期望值（均值）和波动程度 （方差）都与事件到达率成反比。
到达次数分布
泊松分布
在给定时间区间内，事件到达的次数服从泊松分布。泊松分布是一种离散型概率分布，用于描述在固 定时间或空间范围内随机事件发生的次数。
泊松过程应用场景
01 02
电话交换系统
在电话交换系统中，用户呼叫的到达可以看作是一个泊松过程。通过泊 松过程可以预测在给定时间内呼叫到达的次数，从而合理安排交换机的 容量。
交通流
道路上车辆到达的情况也可以看作是一个泊松过程。通过泊松过程可以 分析交通流的特性，如车流量、车速等，为交通规划和管理提供依据。
期望值与方差
对于单个事件的等待时间，其期望值（均值）是1/λ，方差也是1/λ。对于多个事件的等待时间，其期望值（均值） 和方差都与事件数量成正比。因此，等待时间的期望值（均值）和波动程度（方差）都与事件到达率成反比。
泊松过程参数估计与检验
03
参数估计方法
01
矩估计法
利用样本矩来估计总体矩，从而获得泊松过程参数的估 计值。
02
最大似然估计法
根据样本数据，构造似然函数，通过最大化似然函数得 到参数的估计值。
随机过程——泊松过程
随机过程——泊松过程计数过程 在(0,t)内出现事件A的总数所组成的过程{N(t),t＞0}称为计数过程。
如果⽤N(t)表⽰到时刻t为⽌已发⽣的“事件A”的总数，若N(t)满⾜下列条件：1. N(t)≥02. N(t)取正整数值3. 对任意两个时刻t1<t2，有N(t1)≤N(t2)4. 对任意两个时刻t1<t2，N(t2)-N(t1)等于在区间(t1,t2]中发⽣的“事件A”的次数 则随机过程{N(t),t≥0}称为⼀个计数过程。
注意：如果在不相交的时间区间中发⽣的事件个数是独⽴的，则称计数过程有独⽴增量。
若在任⼀时间区间中发⽣的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。
独⽴增量过程 如果在不相交的时间间隔内出现事件A的次数是互相统计独⽴的则A事件的计数过程为独⽴增量过程。
平稳(齐次)增量计数过程 在时间间隔(t,t+s)内出现事件A的次数[N(t+s)-N(t)]仅与s有关⽽与t⽆关，则称N(t)为平稳增量计数过程。
泊松过程 设随机过程{X(t),t≥0}是⼀个计数过程，满⾜1. X(0)=02. X(t)是独⽴增量过程3. 对任⼀长度为t的区间中事件的个数服从参数为λt(λ>0)的泊松分布，即对⼀切s,t≥0，有P{X(t+s)-X(s)=k}=(λt)k/(k!).exp(-λt)(其中k=0,1,2,…) 则称X(t)为具有参数λ的泊松过程。
注意：从条件3可知泊松过程有平稳增量，且E[X(t)]=λt并称λ为此过程的⽣起率或强度（单位时间内发⽣事件的平均个数）。
说明： 要确定计数过程是泊松过程，必须证明它满⾜三个条件：条件1只是说明事件的计数是从时刻t=0开始条件2通常可从对过程的了解的情况去直接验证然⽽全然不清楚如何去确定条件3是否满⾜ 为此给出⼀个与泊松过程等价的定义定义 设随机过程{X(t),t≥0}是⼀个计数过程，参数为λ(λ>0)，满⾜1. X(0)=02. X(t)是独⽴平稳增量过程3. X(t)满⾜下列两式：①P{X(t+h)-X(t)=1}=λh+o(h)；②P{X(t+h)-X(t)≥2}=o(h)；其中o(h)表⽰当h→0时对h的⾼阶⽆穷⼩ 则称X(t)为具有参数λ的泊松过程。
泊松过程及例子1
定义3.3
设随机过程{ X (t ) ，t 0 }是一个计数过程，
参数为 （ 0 ） ，
（1） X (0) 0
满足
（2） X (t ) 是独立平稳增量过程
（3） X (t ) 满足下列两式：
P{X (t h) X (t ) 1} h (h) P{ X (t h) X (t ) 2} (h) 其中 (h) 表示当 h 0 时对 h 的高阶无穷小，
1/
（3）对任一长度为 t 的区间中事件的个数
服从参数为 t （ 0 ）的泊松分布，
(t ) k t e P{X (t s) X (s) k} k!
则称
即对一切 s, t 0 ，有
k 0,1,2,
首页
X (t ) 为具有参数 的泊松过程。
注意
从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且
则称
{ Wn ， n 1 }为等待时间序列
以Tn （ n 1 ）表示第n 1 次发生
到第n 次发生之间的时间间隔
则称
{ Tn ， n 1 }为到达时间间隔序列
首页
定理3.2
首页
设{ X (t ) ， t 0 }是参数为 （ 0 ）的泊松过程，
则到达时间间隔序列 T1，T2， 是相互独立的随机变量序列，
P1(t)=(λt+c)e-λt.
d λt [e P1(t)]=λeλtP0(t)=λeλte-λt=λ, dt
由于P1(0)=0, 代入上式得 c=0, P1(t)=λte-λt. (t ) n -λt 以下用数学归纳法证明: Pn(t)= e 成立. n! 假设n-1时有结论,证对n有: n -λt (t ) ,n=0,1,2,…. P{X(t+s)-X(s)=n}=e n! 根据 d [eλtPn(t)]=λeλtPn-1(t) dt 式,有 ( t ) n 1 -λt (t ) n 1 d λt [e Pn(t)]=λeλt e = , (n 1)! ( n 1)! dt 积分得 (t ) n eλtPn(t)= +c . n!
泊松过程
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
若将“接待一位顾客”，“到达一次呼唤”，“维 修一台”
机器”，“接收一个粒子”，“发现一个误码”“通 过一辆汽车”等都作为一个“随机点”,则这种源源 不断出现的随机点的过程就称为随机点过程。如果计 算在某一段时间内出现的随机点数目，这个数目也是 随机的，它随着这段时间的延伸而不断变化，则称这 个变化的过程为伴随着随机点过程的计数过程。泊松 过程是一类特殊的计数过程。 下面给出泊松过程的定义及其数学模型。
P , Xt h Xt0 XtX0n P , Xt h Xt1 XtX0n1 P XtX0nj,Xt hXt j
j 2
n 1 P t 1 h h P t h 1 h h h n n 1
P t hP t h 0 0 所 以 P t P t 0 0 h h
取 h 0 的 极 限 ， 得
所 以 l n P t tC ,P t C e
t 0 1 0
P t P t, 且 P 0 P X 0 0 1 0 0 0
t
n
P n t
t
n!
n
et
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
由 数 学 归 纳 法 知 ： P t n
由 条 件 （ 2 ） 有 ：
t e
n !
n t
P X t s s n P X t X 0 n X P X t n P t n
3.1泊松过程的实际模型和数学模型 定 义 3 . 3 （ 泊 松 过 程 ） 称 计 数 过 程 X t , t 0
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15
非齐次泊松过程
允许时刻t的来到强度是t的函数
定义： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数λ(t)的非齐次泊松过程，若 它满足下列条件： 1. X(0)=0； 2. X(t)是独立增量过程；
3. P{X (t h) X (t) 1} (t)h o(h)
P{X (t h) X (t) 2} o(h)
C nk n1
nk
(1
)k
-结巴概率：产生另一个需求
(1 )-下一个需求发生的概率（经过一个指数时间的逗留）
泊松过程的分解
例题
设到达某商场的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率 为p，且与其他顾客是否购买商品无关，若{X( t )，t≥0}为购买商品的顾客 数，证明{X( t )，t≥0}是强度为λ p的泊松过程。
2、若不考虑其大小顺序，其分布就如n个独立的均匀随机变量U[0,t]，如
n
n
Sn Wi Ui , Ui ~U [0, t]
i 1
i 1
3、如果我们有一组n个独立均匀分布U[0,t]随机变量的观测值，将其按大 小排列，则可以将其视为给定X(t)=n的齐次泊松过程的n个到达点，是一 种产生齐次泊松过程的方法
19
复合泊松过程
定义：
设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程，{Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布 随机变量，且与{N(t),t≥0}独立，令
N (t)
X (t) Yk , k 1
则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。
t0
N(t)
在时间段(0,t]内来到商店的顾客数
Yk
第k个顾客在商店所花的钱数
n)
n!
n i 1
(t) , m(t)
0，
0 t1 L tn t, 其他
说明在{X (t)=n}的条件下，n次事件到达时间的分布是n个独立同分布样 本的顺序统计量，其母体X的分布函数为：
m( x)
F
(x)
m(t
)
1，
x t, xt
18
例题
设{X(t),t≥0}是具有跳跃强度 (t) 1 (1 cost) 的非齐次泊
例题 设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对于0<k<n，求 P{X(s)=k|X(t)=n} 例题 设在[0,t]内事件A已经发生n次，求第k(k<n)次事件A发生的时间Wk的条 件概率密度函数。
13
到达时间的条件分布的说明
1、设{X(t),t≥0}是泊松过程，在给定[0,t]内事件A发生n次的条件下，这n 次到达时间W1，W2, …，Wn ，每一个都是U[0,t]的一个样本，且相互独 立。
泊松过程的分解：
强度为λ的泊松过程，事件A在时刻s到达，则此到达可分解成概率为P(s)的 type-1到达和概率为1- P(s) 的type-2到达，用{Ni ( t ) ，t≥0}，i=1,2，表示 type-i在时间(0,t]的达到次数，则有
P N1 (t )
n,
N2 (t)
m
e pt
( pt)n n!
例：某沙滩汽车的到达服从指数为λ的泊松过程，汽车在沙滩的逗留时间 分布为G(s)，假定各汽车逗留时间之间，以及逗留时间与到达时间之间相 互独立，用N1 ( t ) 表示时刻t离开沙滩的汽车数量， N2 ( t ) 表示时刻t仍然 在沙滩上的汽车数量，则N1 ( t ) 和 N2 ( t ) 是一个type-1和type-2的分解。
或
P{X (t)
n}
[mX (t)]n n!
exp {mX
(t)},
17
到达时间的条件分布
设{X (t),t 0}为非其次泊松过程，均值函数为m(t) t (t)dt，则在{X (t)=n} 0
的条件下，n次事件到达时间W1 W2 L Wn的条件概率密度为：
f
(t1,L
, tn
|
X (t)
即对任意s,t≥0，有 P{X (t s) X (s) n} et (t)n , n 0,1,
n!
泊松过程同时也是平稳增量过程
E[X (t)]
t
表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称为过程的速率 或强度
3
泊松过程定义2： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过程，若它满足下列条件： 1. X(0)=0； 2. X(t)是独立、平稳增量过程； 3. X(t)满足下列两式：
松过程（ω≠0），求E[X(t)]和D[X(t)]。2
例题 设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时 按平均乘客为200人/时计算；5时至8时乘客平均到达率按线性增加， 8时到达率为1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到 21时从到达率1400人/时按线性下降，到21时为200人/时。假定乘客 数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来 站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。
eqt
(qt)m m!
其中，p 1 t P(s)ds，q 1 p t0
23
泊松过程的分解可推广到n个类型，用Pi(s)表示type-i在时刻s达到的概率，
定义：
1t
pi t 0 Pi (s)ds
i 1, 2L n
n
pi 1
i 1
则{Ni ( t ) ，t≥0}为参数λ pi的泊松分布，且{Ni ( t )}相互独立
非齐次泊松过程的均值函数（积分强度函数）为
t
mX (t)
(s)ds
0
16
定理：
设{X(t),t≥0}为具有均值函数 则有
t
mX (t)
( s)ds非齐次泊松过程，
0
P{X (t s) X (t) n}
[mX
(t
s) n!
mX
(t)]n
exp {[mX
(t
s)
mX
(t)]},
n0
10
定理：
设{Wn,n≥1}是与泊松过程{X(t),t≥0}对应的一个等待时间序列，则 Wn服从参数为n与λ的Г分布，其概率密度为
fWn
(t )
e
t
(t ) n 1
(n 1)
,
0,
t0 t0
例：已知仪器在[0，t]内发生振动的次数X(t)是具有参数λ的泊松 过程，若仪器振动k（k>=1）次就会出现故障，求仪器在时刻t0正 常工作的概率。
(1) 两分钟内接到3次呼叫的概率。 (2) 第二分钟内接到第3次呼叫的概率。
5
泊松过程的数字特征
设{X(t),t≥0}是泊松过程，对任意的t,s∈[0, ∞)，且s<t，有
E[X (t) X (s)] D[X (t) X (s)] (t s)
由于X(0)=0，所以
mX (t ) E[ X (t )] t
X(t)
该商店在(0,t]时间段内的营业额
20
定理
设 N (t )
X (t )
Yk ,
t 0是复合泊松过程，则
k 1
1. {X(t), t≥0}是独立增量过程；
2. X(t)的特征函数 g X (t) (u) exp{t[gY (u) 1]} ，其中gY (u) 是随机 变量Y1的特征函数，λ是时间的到达率；
2 X
(t )
D[ X
(t )]
t
RX (s,t) E[ X (s) X (t)] s(t 1)
一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为
BX (s,t) min(s,t)
பைடு நூலகம்
6
泊松过程的无记忆性： 设{X(t),t≥0}为具有参数λ的泊松过程，假定S是相邻事件的时间间 隔，求P{S>s1+s2|S>s1}。 即假定最近一次事件A发生的时间在s1时刻，下一次事件A发生的 时间至少在将来s2时刻的概率。
分布函数
0,
FW1|X (t)1(s)
s
t
,
1,
s0 0st st
分布密度
fW1| X
(t )1 (s)
1
t
,
0st
12
0, 其它
定理： 设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A发生n次，则这n次到达时间 W1<W2, …<Wn与相应于n个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计 量有相同的分布。
3. 若E(Y12)<∞，则 E[ X (t)] tE[Y1 ], D[ X (t)] tE[Y12 ]
21
例题：结巴（stuttering）泊松过程
对于一个复合泊松过程，如果Yn服从几何分布：
P(Y y) (1 ) y，y 1, 2,L 可以求得：
P{X (t)
n}
n
et
k 1
(t)k k!
11
到达时间的条件分布
假设在[0,t]内时间A已经发生一次，我们要确定这一事件到达时间W1的 分布。
泊松过程
平稳独立增量过程
可以认为[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者 说，这个事件的到达时间应在[0,t]上服从均匀分布。对于s<t有
P{W1 s | X (t) 1} ?
对于任意n=1,2, …事件A相继到达的时间间隔Tn的分布为
1 et , t 0
FTn
(t )
P{Tn
t}
0,
t0
概率密度为
e t , t 0
f Tn
(t )
0,
t0
9
等待时间的分布
等待时间Wn是指第n次事件A到达的时间分布
n