大学文科数学教案第二章

第二章 微积分的直接基础——极限

教学目的和要求：

1.理解极限的概念（对极限定义中“ε—N ”、“ε—δ”、“ε—M ”等形式的描述不作要求），理解函数左、右极限的概念以及极限存在与左、右极限之间的关系，了解自变量趋向于无穷大时函数极限存在的充分必要条件。

2. 了解极限的性质，掌握极限的四则运算法则。

3. 理解无穷小、无穷大以及无穷小的比较（高阶、低阶、同阶和等阶）的概念，会应用无穷小与无穷大的关系、有界变量与无穷小的乘积、等价无穷小代换求极限。

4. 掌握应用两个重要极限求极限的方法。

5. 理解函数连续性概念 会判断分段函数在分段点的连续性。

6. 会求函数的间断点。

7. 了解闭区间上连续函数的性质（最大值与最小值定理、零点存在定理），会用零点存在定理推正一些简单的命题。

8. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解函数在一点连续和极限存在的关系，会应用函数的连续性求极限。 教学难点和重点：

重点：

1．极限的性质。 2．极限的四则运算法则。 3. 两个重要极限求极限的方法。 4. 分段函数在分段点的连续性。 5. 连续函数的性质和初等函数的连续性 难点：

1．极限的概念。 2．无穷小的性质。

3. 两个重要极限求极限的方法。

4. 闭区间上连续函数的性质。

§1数列极限

1.1从分形几何中Koch 雪花的周长谈起——数列极限

以正整数为自变量的函数)(n f y =，当n 依次取1，2，3，…所得到的一列函数值 ),(,),3(),2(),1(321n f a f a f a f a n ====

称为无穷数列，简称数列。数列中的各个数称为数列的项，)(n f a n =称为数列的通项。数

列常简记为{}n a 。 下面举几个数列的例子。 例1

;,2

1

,,161,81,41,21 n 例2 ;,)1(1,,54,45,32,23,0 n

n

-+

例3 ;,1,,1,1,1 例4 ;,)1(,,1,1,1 n --- 例5 ,2,,6,4,2n .

在理论研究或实践探索中，常常需要判断数列{}n a 当n 趋于无穷大时通项n a 的变化趋势。

下面我们来研究一个有趣的问题——分形几何中的柯契（Koch ）雪花问题。

设有边长为1的正三角形，则周长为31=a 。对各边三等分，以中间的三分之一段为边向外作正三角形，则每一边生成四条新边，原三角形生成12边形；再三等分12边形的各边，同法向外作正三角形，仿此无限作下去，便可递归生成美丽的Koch 雪花！给我们直觉：无论n 有多大，Koch 雪花的面积总是有限值，然而它的周长是否也为有限值呢？这是直觉难以回答的问题。现在我们来求Koch 雪花的周长。

正三角形的周长为31=a ；三等分正三角形各边，新边长为

3

1

，所以12边形的周长为1234a a =

。仿此可知， ,)3

4

(,,)34(34111223a a a a a n n -=== 究竟当∞→n 时，Koch 雪花的周长是有限还是无限，这涉及数列极限问题。

1.2数列极限的定性描述

公元前四世纪，我国春秋战国时期的哲学家庄子（约公元前369——前286）在《庄子∙天下篇》一书中有一段富有哲理的名句：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”我们把逐日取下的锤的长度顺次列出来，便得到例1所示的数列⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧n 21，这是一个无穷递缩等比数列。当n 越来越大时，通项n n a 2

1

=

越来越接近于常数0，并且想让它有多接近它就会有多接近，则称该书列以0位极限。

例2中的数列⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1，当n 无限增大时，通项n a n

n )1(1-+

=无限接近于常数1，则称该数列以1为极限。

定义1 如果n 无限增大时，数列{}n a 的通项n a 无限趋近于常数a ，则称该数列以a 为极限，

记作

a a n n =∞

→lim 或)(∞→→n a a n 。

其中∞→n 表示n 无限增大，此时也称该数列收敛。

如果∞→n 时，n a 不以任何常数为极限，则称数列{}n a 发散。 数列的收敛或发散的性质统称为数列的敛散性。 例1和例2中的数列都是收敛的，分别记作

1])1(1[lim ,021lim =-+=∞→∞→n

n

n n n . 以零为极限的变量成为无穷小量。

n 2

1

就是∞→n 时的无穷小量。 例3中的数列{}1各项均为相同的常数，这样的数列称为常数列。显然数列{}1以1为极限，记作11lim =∞

→n 。可见，常数列的极限仍是该常数。

例5中的数列{}n 2，当n 无限增大时，通项n a n 2=也无限增大，不以任何常数为极限，因而是发散的。不过为了叙述方便，对于这种特殊情形，我们称它收敛于∞，记作

-∞=-∞

→)2(lim n n 。

绝对值无限变大的变量称为无穷大量。n n 2,2-都是∞→n 时的无穷大量。

前面谈到的Koch 雪花的周长无论它的形状如何变化，它总包含在以原三角形为内接三角形的圆内，因而它的面积的极限只能是有限数。此例给我们揭示了这样一个事实：有限图形的面积可以是有限量，然而它的周长可以是无穷大量！ 例4中的数列{

}n

)

1(-在∞→n 的过程中，通项n n

a

)1(-=反复取1-和1两个数值，显然

该数列是发散的。

定义1给出的数列极限概念，是在运动观点的基础上凭借几何图像产生的直觉用自然语言作出的定性描述。对于变量n a 的变化过程（n 无限增大），以及n a 的变化趋势（无限趋近于常数a ），都借助于形容词“无限”加以修饰。从文学的角度来审视，它明显地带有直观的模糊性。直观在数学的发展和创造中扮演着充满活力的积极角色，但数学不能停留在直观的认识阶段。耶鲁大学的皮尔庞特教授，于1899年在美国数学学会的一次演讲中，举例驳斥了由几何直观得出的连续曲线的8条性质，阐明了数学中仅凭几何直观的危险性。作为微积分逻辑演绎基础的极限概念，必须将凭借直观产生的定性描述转化为用形式化的数学语言表达的超越现实原型的理想化的定量描述。

1.3数列极限的定量描述

n 充分大反映了变量n a 在其变化过程中的某一时刻，差值n

a a n 1

=

-充分小，反映了变量n a 与常量a 的差值变小的程度。为对充分大与充分小作出确切的