计算方法第四章4-6节
土木工程概预算 第四章第六节砖石计算
Chapter 4.6 砖石工程量计算规则 丁志坤 博士
教学目的和要求： 1、掌握基础和墙身的区分标准； 2、掌握基础大放脚体积的计算方法； 3、掌握墙身高度的取法，墙体工程量计 算中应扣和不扣的规定； 4、了解零星砌筑工程项目工程量的计算 方法。
房屋的建筑构造
Flash player
能力训练
某房屋平面图如下其层高为3.6m，板厚为100mm，要求：计 算墙体工程量
门窗洞口
墙体埋件 基 数
工程量
层高与墙高
房间的净高是指楼地面到结构层（梁、板）底面 或顶棚下表面之间的垂直距离，其数值反映了房 间的高度。层高是指该层楼地面到上一层楼面之 间的距离。
门窗尺寸表
门窗 名称 C1 洞口尺寸 （mm） 1000×1500 数 量 1
365 490
注：计算墙体工程量时，标准砖以240×115×53பைடு நூலகம்m为准；
砌块墙按图纸中设计的厚度。
(5)确定基础与墙身分界线 1)当基础和墙身使用同一种材料时， 以室内设计地坪为分界线，以下为基 础，以上为墙身，如图所示。
2)当基础和墙身使用不同材料时，如两种材料 分界处距室内设计地坪超过±30cm 以上，以 室内设计地坪为分界线，如图所示。
附墙烟囱，通风道和垃圾道等项目，均按其 外形体积计算，并入所依附的墙体积工程量 内，不扣除每个孔洞面积在0.1m2以内的体 积，但孔洞内抹灰工料亦不增加，如果每个 孔洞面积超过0.1m2时，应扣除相应孔洞面 积，孔洞内的抹灰亦应另列项目计算， 附墙烟囱项目，如带有缸瓦管和除灰门，或 垃圾道，通风道和烟道带有道门，垃圾斗。 通风百叶窗，铁蓖子以及钢筋混凝土顶盖等 项目，均应另列项目计算。 砖砌圆弧形墙，按实砌体积，选套相应墙厚 定额项目计算。
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第六节利用相似三角形测高
2. 测量方法
知2－讲
(1)测量出标杆的长度、观测者眼睛到地面的高度；
(2)让标杆竖直立于地面，调整观测者的位置，使观测
者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端恰好在一条直
线上，测量出观测者的脚与标杆底端间的距离以及
与被测物体底端间的距离；
(3)根据标杆与被测物体平行推导出两个三角形相似，
利用对应边成比例求出被测物体的高度.
时刻测量参照物与被测物体的影长.
感悟新知
知1－练
例 1 某一时刻，身高1.6m的小明在太阳光下的影长是0.4m，
同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5m，则该旗
杆的高度是( )
A．1.25 m
B．10 m
C．20 m
D．8 m
解题秘方：建立相似三角形的模型，用“在同一时刻
太阳光下物体的高度与影长成比例”求解.
他与镜子的水平距离CE=0.5m，镜子E与旗杆的
底部A 处的距离AE=2m，且A，E，C三点在
同一水平直线上，则旗杆AB的高度为( D )
A．4.5 m
B．4.8 m
C．5.5 m
D．6 m
课堂小结
利用相似三角形测高
相似的 应用
测量高度 工具
光线 平面镜 标杆或皮尺
学习目标
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后习题 作业2 补充:
感悟新知
知2－练
解题秘方：本题关键是找出相似的三角形，然后根 据对应边的比相等列出方程求解.
感悟新知
解：∵∠DEF =∠BCD=90°，∠D=∠D，
知2－练
∴△DEF∽△DCB.∴BECF
=
DC DE
.
∵ DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，CD=8m，
第四章 推出机构的设计6
•
压缩空气配合推板脱模
• 设置引气装置以后：
4. 推块推出机构 平板状带凸缘的塑件，如 用推板件推出会黏附模具 时，则应使用推块推出机 构推出，如图所示。推块 是型腔的组成部分，因此 应有较高的硬度和较低的 表面粗糙度值，推块与型 腔及型芯应有良好的间隙 配合，既要求滑动灵活， 又不允许溢料。推块所使 用的推杆与模板不必要求 精度很高的配合。
难，同时因增加推件板而使模具质量增加。12
为减少脱模过程中推件板与 型芯之间的摩擦，两者之间 留有0.2～ 0.25mm的间隙， 并采用锥面配合，以防止推 件板 偏斜溢料，锥面的斜 度约取3～5˚左右，
4
推件板推出机构形式－4zzzzz 对于大型深腔的容器，尤其是采用软质塑料时， 如果用推件板脱模，应考虑附设引气装置，以防止在 脱模过程中内腔形成真空，造成脱模困难，甚至使塑 件变形损坏(见下图)。
（4）推管外径应比塑件外壁尺寸小0.5mm左右；推管内 径比塑件内径每边大0.2 ～0.5mm。 （5）推管与型芯的配合长度比推出行程S长3～5 mm，推 管与模板的配合长度一般为(1．5～2)D；其余部分扩 孔，推管扩孔d+l，模板扩孔D十1。推管的厚度一般取 1.5 ～5mm，以保证刚性。
• 3. 推件板推出机 构 • 深腔薄壁的容器、 壳体形塑件以及 不允许有推杆痕 迹的塑件都可采 用推件板推出机 构。推件板推出 机构的结构形式 与原理如图所示。
2、影响塑件脱模力的因素： 1） 脱模力的大小主要与塑件包络型芯侧面积的大小有关 2）脱模力大小与型芯的脱模斜度有关 脱模斜度越大，脱模力越小。 3） 脱模力的大小与型芯的表面粗糙度有关 表面粗糙度值越低，型芯表面越光洁，所需的脱 模力 就越小。 4) 脱模力的大小与塑件的结构有关 塑件厚度越大、形状越复杂，冷却凝固时所引起的包 紧力和收缩应力越大，则所需的脱模力越大。 5）脱模力的大小还与塑件底部是否有孔有关。
考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料
考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第四章 不定积分⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪→→⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩性质第一类换元法计算第二类换元法原函数不定积分分部积分法简单分式的积分分段函数的积分1第一节 不定积分的概念与性质一、原函数的定义原函数：若对于,有或,称为在区间内的原函数。
I x ∈∀∈)()(x f x F='dx x f x dF )()(=)(x F )(x f I2原函数存在定理：连续函数必有原函数-—即若在上连续，则必存在，使得当时，。
)(x f I )(x F x∈I )()(x f x F='3【例1】设是在上的一个原函数,则在上（ )（A ）可导 （B ）连续（C)存在原函数 （D)是初等函数 【答案】（C ）)(x F )(x f (,)a b ()()fx F x(,)a b4【例2】（92二）若的导函数是，则有一个原函数为（A ）. （B ）。
（C ）。
（D). 【答案】（B ）)(x f x sin )(x f x sin 1+x sin 1-x cos 1+x cos 1-5二、不定积分的定义不定积分：在区间内,的带有任意常数I )(x f6项的原函数称为在区间内的不定积分，记为:，即 计算方法：求函数的不定积分，只要求得它的一个原函数，加上任意常数即可。
C x F+)()(x f I ⎰dx x f )(⎰+=C x F dx x f )()(C不定积分的几何意义：一个原函数对应于一条积分曲线；不定积分对应于积分曲线簇-—无穷多条积分曲线,被积函数对应于切线的斜率——同一横坐标处切线平行。
2021_2022高中物理第四章牛顿运动定律第6节用牛顿运动定律解决问题一1教案新人教版必修
用牛顿运动定律解决问题（一）教材分析力和物体运动的关系问题，一直是动力学研究的基本问题，人们对它的认识经历了一个漫长的过程，直到牛顿用他的三个定律对这一类问题作出了精确的解决．牛顿由此奠定了经典力学的基础．牛顿三定律成为力学乃至经典物理学中最基本、最重要的定律．牛顿第一定律解决了力和运动的关系问题；牛顿第二定律确定了运动和力的定量关系；牛顿第三定律确定了物体间相互作用力遵循的规律．动力学所要解决的问题由两部分组成：一部分是物体运动情况；另一部分是物体与周围其他物体的相互作用力的情况．牛顿第二定律恰好为这两部分的链接提供了桥梁．应用牛顿运动定律解决动力学问题，高中阶段最为常见的有两类基本问题：一类是已知物体的受力情况，要求确定出物体的运动情况；另一类是已经知道物体的运动情况，要求确定物体的受力情况．要解决这两类问题，对物体进行正确的受力分析是前提，牛顿第二定律则是关键环节，因为它是运动与力联系的桥梁．教学重点应用牛顿运动定律解决动力学的两类基本问题．教学难点动力学两类基本问题的分析解决方法．课时安排1课时三维目标1．知识与技能（1）知道动力学的两类基本问题，掌握求解这两类基本问题的思路和基本方法．（2）进一步认识力的概念，掌握分析受力情况的一般方法，画出研究对象的受力图．2．过程与方法（1）培养学生运用实例总结归纳一般解题规律的能力．（2）会利用正交分解法在相互垂直的两个方向上分别应用牛顿定律求解动力学问题．（3）掌握用数学工具表达、解决物理问题的能力．3．情感、态度与价值观通过牛顿第二定律的应用，提高分析综合能力，灵活运用物理知识解决实际问题．教学过程导入新课情境导入利用多媒体播放“神舟”五号飞船的发射升空、“和谐号”列车高速前进等录像资料．如图甲、乙所示．引导：我国科技工作者能准确地预测火箭的升空、变轨，列车的再一次大提速节约了很多宝贵的时间，“缩短”了城市间的距离．这一切都得益于人们对力和运动的研究．我们现在还不能研究如此复杂的课题，就让我们从类似较为简单的问题入手，看一下这类问题的研究方法．推进新课牛顿第二定律确定了运动和力的关系，使我们能够把物体的运动情况与受力的情况联系起来．因此，它在天体运动的研究、车辆的设计等许多基础学科和工程技术中都有广泛的应用．由于我们知识的局限，这里只通过一些最简单的例子作介绍．一、从受力确定运动情况如果已知物体的受力情况，可由牛顿第二定律求出物体的加速度，再通过运动学的规律就可以确定物体的运动情况．例1一个静止在水平地面上的物体，质量是2 kg，在6.4 N的水平拉力作用下沿水平方向向右运动．物体与地面间的摩擦力是4.2 N，求物体在4 s末的速度和4 s内发生的位移．分析：这个问题是已知物体受的力，求它的速度和位移，即它的运动情况．教师设疑：1．物体受到的合力沿什么方向？大小是多少？2．这个题目要求计算物体的速度和位移，而我们目前只能解决匀变速运动的速度和位移．物体的运动是匀变速运动吗？师生讨论交流：1．对物体进行受力分析，如图．物体受力的图示物体受到四个力的作用：重力G ，方向竖直向下；地面对物体的支持力F N ，竖直向上；拉力F 1，水平向右；摩擦力F 2，水平向左．物体在竖直方向上没有发生位移，没有加速度，所以重力G 和支持力F N 大小相等、方向相反，彼此平衡，物体所受合力等于水平方向的拉力F 1与摩擦力F 2的合力．取水平向右的方向为正方向，则合力：F ＝F 1－F 2＝2.2 N ，方向水平向右．2．物体原来静止，初速度为0，在恒定的合力作用下产生恒定的加速度，所以物体做初速度为0的匀加速直线运动．解析：由牛顿第二定律可知，F 1－F 2＝maa ＝F 1－F 2ma ＝2.22m/s 2＝1.1 m/s 2 求出了加速度，由运动学公式可求出4 s 末的速度和4 s 内发生的位移v ＝at ＝1.1×4 m/s＝4.4 m/sx ＝12at 2＝12×1.1×16 m＝8.8 m.讨论交流：（1）从以上解题过程中，总结一下运用牛顿定律解决由受力情况确定运动情况的一般步骤．（2）受力情况和运动情况的链接点是牛顿第二定律，在运用过程中应注意哪些问题？ 参考：运用牛顿定律解决由受力情况确定物体的运动情况大致分为以下步骤：（1）确定研究对象．（2）对确定的研究对象进行受力分析，画出物体的受力示意图．（3）建立直角坐标系，在相互垂直的方向上分别应用牛顿第二定律列式F x ＝ma x ，F y ＝ma y .求得物体运动的加速度．（4）应用运动学的公式求解物体的运动学量．3．受力分析的过程中要按照一定的步骤以避免“添力”或“漏力”．一般是先场力，再接触力，最后是其他力．即一重、二弹、三摩擦、四其他．再者每一个力都会独立地产生一个加速度．但是解题过程中往往应用的是合外力所产生的合加速度．再就是牛顿第二定律是一矢量定律，要注意正方向的选择和直角坐标系的应用．课堂训练（课件展示）如图所示自由下落的小球，从它接触竖直放置的弹簧开始到弹簧压缩到最大程度的过程中，小球的速度和加速度的变化情况是（）．A．加速度变大，速度变小B．加速度变小，速度变大C．加速度先变小后变大，速度先变大后变小D．加速度先变小后变大，速度先变小后变大解析：小球接触弹簧后，受到竖直向下的重力和竖直向上的弹力，其中重力为恒力．在接触开始阶段，弹簧形变较小，重力大于弹力，合力方向向下，故加速度方向也向下，加速度与速度方向相同，因而小球做加速运动．随着弹簧形变量的增加，弹力不断增大，向下的合力逐渐减小，小球加速度也逐渐减小．当弹力增大到与重力相等时，小球加速度等于0.由于小球具有向下的速度，仍向下运动．小球继续向下运动的过程，弹力大于重力，合外力方向变为竖直向上，小球加速度也向上且逐渐增大，与速度方向相反．小球速度减小，一直到将弹簧压缩到最大形变量，速度变为0.答案：C二、从运动情况确定受力与第一种情况过程相反，若已经知道物体的运动情况，根据运动学公式求出物体的加速度，于是就可以由牛顿第二定律确定物体所受的外力，这是力学所要解决的又一方面的问题．例2 一个滑雪的人，质量m＝50 kg，以v0＝2 m/s的初速度沿山坡匀加速滑下，山坡倾角θ＝30°，在t＝5 s的时间内滑下的路程x＝60 m，求滑雪人受到的阻力（包括摩擦和空气阻力）．合作探讨：这个题目是已知人的运动情况，求人所受的力．应该注意三个问题：滑雪人受到的力1．分析人的受力情况，作出受力示意图．然后考虑以下几个问题：滑雪的人共受到几个力的作用？这几个力各沿什么方向？它们之中哪个力是待求的，哪个力实际上是已知的？2．根据运动学的关系得到下滑加速度，求出对应的合力，再由合力求出人受的阻力．3．适当选取坐标系．坐标系的选择，原则上是任意的，但是为了解决问题的方便，选择时一般根据以下要求选取：（1）运动正好沿着坐标轴的方向．（2）尽可能多的力落在坐标轴上．如有可能，待求的未知力尽量落在坐标轴上，不去分解．解析：如图，受力分析建立如图坐标系，把重力G 沿x 轴和y 轴的方向分解，得到求滑雪人受到的阻力G x ＝mg ·sin θG y ＝mg ·cos θ与山坡垂直方向，物体没有发生位移，没有加速度，所以G y 与支持力F N 大小相等、方向相反，彼此平衡，物体所受的合力F 等于G x 与阻力F 阻的合力．由于沿山坡向下的方向为正方向，所以合力F ＝G x －F 阻，合力的方向沿山坡向下，使滑雪的人产生沿山坡向下的加速度．滑雪人的加速度可以根据运动学的规律求得：x ＝v 0t ＋12at 2 a ＝2(x －v 0t )t 2 a ＝4 m/s 2 根据牛顿第二定律F ＝maG x －F 阻＝maF 阻＝G x －maF 阻＝mg ·sin θ－ma 代入数值后，得F 阻＝67.5 N.答案：67.5 N结合两种类型中两个例题的解题过程，总结出用牛顿定律解题的基本思路和解题步骤：1．选定研究对象，并用隔离法将研究对象隔离出来．2．分别对研究对象进行受力分析和运动情况分析，并作出其受力图．3．建立适当的坐标系，选定正方向，正交分解．4．根据牛顿第二定律分别在两个正交方向上列出方程．5．把已知量代入方程求解，检验结果的正确性．课堂训练（课件展示）1．一个物体的质量m ＝0.4 kg ，以初速度v 0＝30 m/s 竖直向上抛出，经过t ＝2.5 s 物体上升到最高点．已知物体上升过程中所受到的空气阻力大小恒定，求物体上升过程中所受空气阻力的大小是多少？解析：设物体向上运动过程中做减速运动的加速度大小为a ，以初速度方向为正方向． 因为v t =v 0－a t ，v t =0所以a =0v t=12 m/s 2 对小球受力分析如图，由牛顿第二定律f ＋mg =maf =m （a －g ）=0.4×（12－9.8）N=0.88 N.答案：0.88 N2．如图所示，光滑地面上，水平力F 拉动小车和木块一起做匀加速运动，小车的质量为M ，木块的质量为m .设加速度大小为a ，木块与小车之间的动摩擦因数为μ，则在这个过程中大木块受到的摩擦力大小是（ ）．A．μmg B．ma C．mM＋mF D．F－ma解析：这是一道根据物体运动状态求物体受力情况的典型习题．题中涉及两个物体，题干中的已知量又比较多，对此类题目，要注意选取好研究对象．两者无相对运动，它们之间的摩擦力只能是静摩擦力．因而滑动摩擦力公式f＝μmg就不再适用．A选项错误．以木块为研究对象，则静摩擦力产生其运动的加速度F合＝f＝ma，再由牛顿第三定律可知B选项正确．以小车为研究对象，F－f＝Ma，f＝F－Ma，D选项也正确．以整体为研究对象，则a＝FM＋m，再代入f＝ma可得f＝mFM＋m.故C选项也正确．答案：BCD教学建议：1．授课过程中，教师提示分析思路之后．受力分析、过程分析先由学生完成，教师则将解题过程完整写出，以便总结规律、让学生养成规范解题的习惯．2．运算过程中，物理量尽量用相应的字母表示，将所求量以公式形式代出，最后再将已知量代入，求出结果．课堂小结本节课主要讲述了动力学中的两类基本问题：（1）已知受力情况求解运动情况．（2）已知运动情况求物体受力情况．通过对例题的分析解决过程，总结出这两类基本问题的解决方法、思路和一般解题步骤．布置作业教材第87页“问题与练习”1、2、3、4题．板书设计6 用牛顿运动定律解决问题（一）一、从受力情况确定运动情况例1二、从运动情况确定受力情况例2总结：加速度是连接动力学和运动学的桥梁活动与探究课题：牛顿运动定律的适用条件．牛顿运动定律虽然是一个伟大的定律，但它也有自己适用的条件．通过对其适用条件的了解，使学生进一步完整地掌握这个规律，并且为相对论的提出打好基础．习题详解1．解答：如图所示，用作图法求出物体所受的合力F ＝87 Na ＝F m ＝872m/s 2＝43.5 m/s 2 v ＝at ＝43.5×3 m/s＝131 m/sx ＝12at 2＝12×43.5×32 m ＝196 m. 2．解答：电车的加速度为：a ＝v －v 0t ＝0－1510m/s 2＝－1.5 m/s 2. 电车所受阻力为：F ＝ma ＝－6.0×103 N ，负号表示与初速度方向相反．3．解答：人在气囊上下滑的加速度为：a ＝mg sin θ－F m ＝g sin θ－F m ＝（10×3.24.0－24060） m/s 2＝4.0 m/s 2 滑至底端时的速度为：v ＝2ax ＝2×4.0×4.0 m/s ＝5.7 m/s.4．解答：卡车急刹车时的加速度大小为：a ＝F m ＝μmg m＝μg ＝7 m/s 2 根据运动学公式：v 0＝2ax ＝2×7×7.6 m/s ＝10.3 m/s≈37.1 km/h＞30 km/h 所以，该车超速．设计点评动力学的两类基本问题在高中阶段的地位相当重要，对于培养学生的分析、判断、综合能力有很大的帮助．对于方法的总结，遵循由特殊到一般、再由一般到特殊的人们认识事物的基本发展思路．过程清晰，层次分明，有助于学生理解和掌握．备课资料一、牛顿运动定律的适用范围17世纪以来，以牛顿运动定律为基础的经典力学不断发展，在科学研究和生产技术上得到了极其广泛的应用，取得了巨大的成就．这一切不仅证明了牛顿运动定律的正确性，甚至使有些科学家认为经典力学已经达到十分完善的地步，一切自然现象都可以由力学来加以说明，过分地夸大了经典力学的作用．但是，实践表明，牛顿运动定律和所有的物理定律一样，只具有相对的真理性．1905年，著名的美籍德国物理学家爱因斯坦（1879—1955）提出了研究匀速相对运动体系的狭义相对论，引起了物理学的一场巨大革命．他指出，经典力学中的绝对时空观并不是直接从观察和实验中得出的．实际上，时间、空间和观察者是相对的．根据相对论原理，物体的质量也不是恒定不变的，而是随着物体运动状态的变化而变化.1916年爱因斯坦又发表了研究加速相对运动的广义相对论．运用这些理论所得出的结论和实验观察基本一致．这表明：对于接近光速的高速运动的问题，经典力学已不再适用，必须由相对论力学来研究．经典力学可以看做是相对论力学在运动速度远小于光速时的特例．从20世纪初以来，原子物理学发展很快，发现许多新的物理现象（如光子、电子、质子等微观粒子的波粒二象性）无法用经典力学来说明．后来，在普朗克（1858—1947）、海森堡（1901—1976）、薛定谔（1887—1961）、狄拉克（1902—1984）等物理学家的努力下创立了量子力学，解决了经典力学无法解决的问题．因此经典力学可以看做是量子力学在宏观现象中的极限情况．总之，“宏观”“低速”是牛顿运动定律的适用范围．二、用整体法与局部法巧解动力学问题在实际问题中，还常常碰到几个物体连在一起，在外力作用下的共同运动，称为连接体的运动．在分析和求解物理连接体问题时，首先遇到的关键之一，就是研究对象的选取问题．其方法有两种：一是隔离法，二是整体法．所谓隔离（体）法就是将所研究的对象——包括物体、状态和某些过程，从系统或全过程中隔离出来进行研究的方法．所谓整体法就是将两个或两个以上物体组成的整个系统或整个过程作为研究对象进行分析研究的方法．以系统为研究对象，运用牛顿第二定律求解动力学问题能回避系统内的相互作用力，使解题过程简单明了．隔离法与整体法，不是相互对立的，一般问题的求解中，随着研究对象的转化，往往两种方法交叉运用，相辅相成．例1 用力F 推M ，使M 和m 两物体一起在光滑水平面上前进时，求两物体间的相互作用力．解析：如图所示，对整体应用牛顿第二定律有F ＝（M ＋m ）a隔离m ，m 受外力的合力为M 对m 的推力N ，由牛顿第二定律N ＝ma ，解得：N ＝m M ＋m F . 答案：mM ＋m F 例2 如图所示，质量为M 的木箱放在水平面上，木箱中的立杆上套着一个质量为m 的小球．开始时小球在杆的顶端，由静止释放后，小球沿杆下滑的加速度为重力加速度的12，即a ＝12g .则小球在下滑的过程中，木箱对地面的压力为多少？解析：解法一：（隔离法）木箱与小球没有共同加速度，用隔离法解决如下．取小球m 为研究对象，受重力mg 、摩擦力F f ，如图，据牛顿第二定律得：mg －F f ＝ma ①取木箱M 为研究对象，受重力Mg 、地面支持力F N 及小球给予的摩擦力F f ′，如图． 据物体平衡条件得：F N －F f ′－Mg ＝0②且F f ＝F f ′③由①②③式得F N ＝2M ＋m 2g 由牛顿第三定律知，木箱对地面的压力大小为F N ′＝F N ＝2M ＋m 2g . 解法二：（整体法）对于“一动一静”连接体，也可选取整体为研究对象，依据牛顿第二定律列式： （mg ＋Mg ）－F N ＝ma ＋M ×0故木箱所受支持力：F N ＝2M ＋m 2g . 由牛顿第三定律知：木箱对地面压力F N ′＝F N ＝2M ＋m 2g . 答案：2M ＋m 2g 例3 一个质量为0.2 kg 的小球用细线吊在倾角θ＝53°的斜面顶端，如图，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦．当斜面以10 m/s 2的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力．解析：当加速度a 较小时，小球与斜面体一起运动，此时小球受重力、绳的拉力和斜面的支持力作用，绳平行于斜面．当加速度a 足够大时，小球将“飞离”斜面，此时小球受重力和绳的拉力作用，绳与水平方向的夹角未知，题目中要求a ＝10 m/s 2时绳的拉力及斜面的支持力，必须先求出小球离开斜面的临界加速度a 0.（此时，小球所受斜面支持力恰好为零）由mg cot θ＝ma 0，所以a 0＝g cot θ＝7.5 m/s 2因为a ＝10 m/s 2＞a 0，所以小球离开斜面，N ＝0，小球受力情况如图，则T cos α＝mg ，所以T ＝(ma )2＋(mg )2＝2.83 N ，N ＝0.答案：2.83 N 0例4 如图所示，三个物体的质量分别为m 1、m 2、M ，斜面的倾角为α，绳的质量不计，所有接触面光滑．当m 1沿斜面下滑时，要求斜面体静止，则对斜面体应施加多大的水平力F?解析：对m 1、m 2构成的系统由牛顿第二定律知：m 1g sin α－m 2g ＝（m 1＋m 2）a ①对m 1、m 2和M 构成的整个系统就水平方向而言，若施力使斜面体静止，只有m 1具有水平方向向右的加速度分量a 1，且有a 1＝a cos α②所以，对斜面体必须施加水平向右的推力F ，如图，则对整个系统在水平方向上由牛顿第二定律知：F ＝m 1a 1③解①②③得：F ＝m 1g (m 1sin α－m 2)cos αm 1＋m 2. 答案：m 1g (m 1sin α－m 2)cos αm 1＋m 2这种以系统为研究对象的解题方法，只研究了系统在水平方向上的动力学行为即达目的，既回避了物体运动的多维性和相互作用的复杂性，又体现了牛顿第二定律在某一方向上的独立性．。
第四章 曲线积分与曲面积分 第六节 高斯公式与散度
1 2 3 , 1 : z z1 ( x , y ) ,
第 十则 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
2 : z z2 ( x , y ),
z
z
z d x d y d z d x d y z ( x , y )
1
R
z2 ( x , y ) R
流速场，穿过有向曲面 的流量
v n dS
电位移为 D
电场，穿过有向曲面 的电通量
磁感应强度为 B 磁场，穿过有向曲面 B dS B n dS
D dS
D n dS
2 ( x y z )dxdydz h dS
2
2
, 0, z h
Dxy
z
1
h
2
2
d
0
0
h
d zdz h 4
h
h 2
1
4
o x
y
-9-
第六节
高斯公式与散度
例5 设函数
在闭区域 上具有一阶和
x v Qu y v Ru z
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式
第 十 章
曲 线 积 分 u v u v u v ( d x d y d z 与 x x y y z z 曲 面 其中 是整个 边界面的外侧. 积 P Q R 分 分析: 高斯公式 d x d ydz x y z
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 第六节 锐角三角函数与解直角三角形的实际应用
解：过点 E，F 分别作 EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为 M，N， 由题意得，EC＝20 米， ∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN， AB＝60 米， ∴AM＝AB－MB＝60－20＝40(米)，
AM 在 Rt△AEM 中，∵tan∠AEM＝EM，
AM
40Biblioteka ∴EM＝tan∠AEM＝tan 67°≈16.9(米)．
2．(2021·淄博)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CE 是斜边 AB 上的
中线，过点 E 作 EF⊥AB 交 AC 于点 F.若 BC＝4，△AEF 的面积为 5，则 sin
∠CEF 的值为
( A)
A.35
B.
5 5
C.45
D.2 5 5
重难点 2：解直角三角形的实际应用 (2021·聊城)时代中学组织学生进行红色研学活动，学生到达爱国
在 Rt△EFC 中，EF＝ CF2－CE2＝ 13－4＝3， ∴tan∠FBD＝FBEE＝BC＋3 CE＝130.
1．(2020·安徽)如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在 AC 上，∠DBC
＝∠A.若 AC＝4，cos A＝45，则 BD 的长度为
( C)
A.94 B.152 C.145 D．4
解：(1)过点 D 作 DH⊥CE 于点 H，由题意知
CD＝2 10 米，∵斜坡 CF 的坡比为 i＝1∶3， ∴DCHH＝13，设 DH＝x 米，CH＝3x 米，
∵DH2＋CH2＝DC2，∴x2＋(3x)2＝(2 10)2， ∴x＝2，∴DH＝2(米)，CH＝6(米)， 答：小刚同学从点 C 到点 D 的过程中上升的高度为 2 米．
在 Rt△ACF 中，CF＝AC·sin
高中物理必修一第四章第6节《超重和失重》
解: 设竖直向上为坐标轴正方向。
由于加速度方向向上，所以人处于超重状态。
根据牛顿第二定律F合＝a，有
பைடு நூலகம்FN－＝a
FN＝（＋a）＝ 60×（9.8＋0.25）N＝603N
根据牛顿第三定律，人对电梯地板的压力FN′为
FN′＝－FN＝－603N
所以人对电梯的压力大小为603N，方向竖直向下。
向下
向上
FN>
超重
加速上升
向上
向上
FN>
超重
减速上升
向上
向下
FN<
矢重
超重与失重情况
3.超重和失重的条件
（1）当加速度方向向下时， < ，物体失重
具体运动形式有：向下加速、向上减速
（2）当加速度方向向上时， > ，物体超重
具体运动形式有：向上加速、向下减速
做一做：
2.探究超重失重的条件
①迅速下蹲过程，分析重心的运动情况，
记录体重计读数变化。
②迅速站起过程，分析重心的运动情况，
记录体重计读数变化。
③自己动手填写表格。
猜想：超重和失重现象和哪个运动物理量有关？
比较 FN与
的大小
运动状态
速度方向
加速度方向
静止
无
无
FN=
无
加速向下
向下
向下
FN<
失重
减速向下
物体所受重力的现象称为超重现象。
3.超重失重条件：
失重：a向下，N < ，向下加速或向上减速
超重：a向上，FN > ，向上加速或向下减速
4.超重失重现象
土力学 第四章 土的压缩与固结
4.2土的压缩特性 （土的压缩试验与压缩性指标）
一.室内压缩试验（１）
一、室内压缩试验 土的室内压缩试验亦
称固结试验，是研究土压 缩性的最基本的方法。室 内压缩试验采用的试验装 置为压缩仪。
整理课件
试验一时.将室切内有土压样缩的环试刀验置于（刚２性护）环中，由于金属
环刀及刚性护环的限制，使得土样在竖向压力作用下只能 发生竖向变形，而无侧向变形。在土样上下放置的透水石 是土样受压后排出孔隙水的两个界面。压缩过程中竖向压 力通过刚性板施加给土样，土样产生的压缩量可通过百分 表量测。常规压缩试验通过逐级加荷进行试验，常用的分 级加荷量p为：50、100、200、300、400kPa。
2.地基土按固结分类
前期固结应力pc：土在历史上曾受到过的最大的、垂直的
有效应力 四. 土的应力历史（4）
超固结比OCR ：前期固结应力与现有有效应力之比,即
OCR＝ pc/p1
正常固结土： OCR=1 pc=p1
超固结土： OCR>1,OCR愈大，土受到的超固结作用愈强，
在其他条件相同的情况下，其压缩性愈低。 pc> p1
作用下再压缩稳定后的孔隙比，相应地可绘制出再压
缩曲线，如图4-6（a）中cdf曲线所示。可以发现其中df
段像是ab段的延续，犹如其间没有经过卸载和再压的
过程一样。
整理课件
二. 压缩性指标（１０）
（a）e-p曲线；
（b）e-lgp曲线
图 4-3 土的回弹—在压缩曲线 整理课件
三、 现场载荷试验及变形模量（１）
２．由于孔隙水的排出而引起的压缩对于饱和粘性土来说是
需要时间的，土的压缩随时间增长的过程称为土的固结。
这是由于粘性土的透水性很差，土中水沿着孔隙排出速度
北师大版九上数学(教案)第四章：第六节：利用相似三角
北师大版九年级上第四章《图形的相似》《利用相似三角形测高》教案【教学目标】1.知识与技能（1）.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验.（2）.熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理.2.过程与方法（1）通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法.（2）提高综合运用知识的能力.3.情感态度和价值观在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣.【教学重点】测量旗杆高度的数学依据.【教学难点】（1）方法2中如何调节标杆,使眼睛、标杆顶端、旗杆顶部三点成一线.（2）方法3中镜子的适当调节.【教学方法】合作、探究【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、导入新课活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆（或路灯杆）的高度。
活动方式：分组活动、全班交流研讨。
活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具。
二、探究新知方法1：利用阳光下的影子每个小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长。
讨论：如何在图中通过添加辅助线转化为相似三角形的问题？分析：可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高。
如图，△ABC和△DEF，已知AB//DE,AC⊥BC，DF⊥EF，，且测量出BC,EF,AC的长，求旗杆DF的长.根据同一时间,太阳光互相平行，得出△ABC ∽△DEF ，再根据相似三角形的对应边成比例，即EFBC DF AC =，根据测量的数据，可以求出旗杆DF 的长.测量方法一：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长例1：某一中学生身高1.5m ，在阳光照射下影长为1m ，若此时测得旗杆的影长为4m ，则旗杆高为多少米？分析：设旗杆高度为L ，则415.1L =∴L=6即旗杆高6m.方法2：利用标杆每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆，观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上，这时其他同学立即测出观测者的脚到旗杆底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后测出标杆的高.注意：观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度.已知，如图，EF ⊥AC ，BC ⊥AC ，且测量出AF,AC,EF 的长，求旗杆BC 的长. 解：∵EF ⊥AC,BC ⊥AC∴EF//BCBC EF AC AF =∴由测量了的AF,AC,EF 的长，求出旗杆BC 的长.测高方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决. 例2：如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度，如果标杆BE=1.2m ，测得AB=1.6m ，BC=8.4m ，则楼CD 的高度是多少？解：∵EB ⊥AC ，DC ⊥AC ，∴EB ∥DC ，∴△ABE ∽△ACD ，CD BE AC AB =∴ ∵BE=1.2，AB=1.6，BC=8.4，∴AC=10，m ABBE AC CD 5.7=•=∴方法3：利用镜子的反射每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合.分析：光线的入射角等于反射角.已知，如图，DE ⊥AE,BC ⊥AC ，且∠DAE=∠BAC,测量数据DE 、AE 、AC ，你能求出旗杆BC 的高度吗？说明你的理由。
第四章-受弯构件正截面承载力-双筋截面(第四课)精选全文
4.5 双筋截面的正截面受弯承载力计算
第四章 受弯构件
s
Mu2
1 fcbh02
215.7 106
1.0 19.1 200 4402
0.292
1 1 2s 1 1 2 0.292
0.355
b 0.55, 满足使用条件(1) x b0 0.355 440 156mm
第四章 受弯构件
【解】 由附表（纵向受力钢筋的混凝土保护层最小厚度表）知，环境 类别为一级，假定受拉钢筋放两排，设保护层最小厚度为 故设αs=60mm，则 h0=500-60=440mm 由混凝土和钢筋等级，查附表（混凝土强度设计值表、 普通钢筋强度设计值表），得： fc=19.1N/mm2，fy=300N/mm2，fy’=300N/mm2， 由表4-5知： α1=1.0，β1=0.8
As As1 As2 941 1986 2927 .0mm 2
受拉钢筋选用6 2φ5_mm，As=2945.9mm2。
4.5 双筋截面的正截面受弯承载力计算
第四章 受弯构件
[例4-7]
截面复核
已知：矩形截面梁b× h＝200 ×500mm；弯矩设计值
M=330kNm，混凝土强度等级为C40，钢筋采用HRB335级 钢筋，即Ⅱ级钢筋；环境类别为一级 。
4.5 双筋截面的正截面受弯承载力计算
第四章 受弯构件
情况2： 双筋矩形截面分解求解的计算图示：
As
As
As
As1
As2
纯钢筋部分
fy'As'
fy'As'
单筋部分
M
fcbx
M1
M2
fcbx
fyAs
fyAs1
第四章 第6节 极化恒等式-解析版
第6节 极化恒等式知识与方法1.平行四边形性质：如下图所示，在平行四边形ABCD 中，()22222AC BD AB AD+=+.2.极化恒等式的平行四边形模式：在平行四边形ABCD 中，()2214AB AD AC BD ⋅=-. 3.极化恒等式的三角形模式：22AB AD AE EB ⋅=-，其中E 为BD 中点.提醒：极化恒等式主要用于解决数量积计算问题，利用极化恒等式，关键是取中点，巧妙之处是可将本身需要夹角才能计算的数量积转化为只需长度即可计算的量.典型例题【例1】（2012·浙江）在ABC 中，M 是BC 中点，3AM =，10BC =，则AB AC ⋅=_______. 【解析】解法1：AB AM MB =+，()()AC AM MC AB AC AM MB AM MC =+⇒⋅=+⋅+ ()2223516AM MB MC AM MB MC =+⋅+⋅+=-=-.解法2：由极化恒等式，22223516AB AC AM BM ⋅=-=-=-.【答案】16- 【例2】（2017·新课标Ⅱ卷）已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC⋅+的最小值是（ ） A.2-B.32-C.4-D.1-【解析】解法1：如图，设AC 中点为D ，则3OD =()()22232224PA PB PC PA PO PD ODPD ⎛⎫⋅+=⋅=-=-⎪⎝⎭，所以当0PD =，即点P 与点D 重合时，()PA PB PC ⋅+取得最小值32-.解法2：建立如图所示的坐标系，设(),P x y ，则()1,0B -，()1,0C ，(0,3A ， 所以()3PA x y =-，()1,PB x y =---，()1,PC x y =--，()2,2PB PC x y +=--， 故())()22233232222PA PBPCx y y x y ⎛⋅+=+-=+- ⎝⎭， 所以当03x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，()PA PB PC ⋅+取得最小值32-.【答案】B【例3】正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，E 为线段BC 上一动点，延长AE 交圆O 于点F ，则FA FB ⋅的取值范围为_______.【解析】解法1：建立如图1所示的平面直角坐标系，则可设()2cos ,2sin F θθ62ππθ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，圆的半径为2423sin60ABAB ⇒=⇒=︒，故()3,1A --，)3,1B -，所以()32cos ,12sin FA θθ=----，()32cos ,12sin FB θθ=--，从而[]224cos 34sin 4sin 124sin 0,6FA FB θθθθ⋅=-+++=+∈. 解法2：如图2，设AB 中点为D ，圆的半径为24233sin 60ABAB AD ⇒=⇒=︒由极化恒等式，2223FA FB FD AD FD ⋅=-=-，由图可知当F 与点B 重合时，FD 3F 与点C 重合时，FD 取得最大值3，所以[]230,6FA FB FD ⋅=-∈.【答案】[]0,6【例4】正方形ABCD 的边长为2，以A 为圆心，1为半径作圆与AB 、AD 分别交于E 、F 于两点，若P为劣弧EF 上的动点，则PC PD ⋅的最小值为_______.【解析】解法1：建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,2C ，()0,2D ，设()cos ,sin P θθ02πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则()2cos ,2sin PC θθ=--，()cos ,2sin PD θθ=--，所以()()()()22cos cos 2sin 54sin 2cos 55PC PD θθθθθθϕ⋅=--+-=--=-+， 其中ϕ为某确定的锐角，022ππθϕθϕϕ≤≤⇒≤+≤+，故当2πθϕ+=时，PC PD ⋅取得最小值为55-.解法2：设CD 中点为G ，由极化恒等式，2221PC PD PG DG PG ⋅=-=-， 由图可知min 151PG AG =-， 所以())2min51155PC PD⋅=-=-【答案】55-强化训练1.（★★★）在平行四边形ABCD 中，2AC =，4BD =，则AB AD ⋅=_______.【解析】由极化恒等式，()()22221124344AB AD AC BD ⋅=-=-=-.【答案】3-2.（★★★）设M 、N 是20x y +-=上的两个动点，且2MN =OM ON ⋅的最小值为（ ）A.1B.2C.52 D.32【解析】解法1：如图，设(),2M x x -，则由2MN =()1,3N x x -- 所以()()()2123266OM ON x x x x x x ⋅=-+--=-+，显然当32x =时，OM ON ⋅取最小值32.解法2：如图，设G 为MN 中点，由极化恒等式，222221142OM ON OG MG OG MN OG ⋅=-=-=-， 显然OG 222-=OM ON ⋅的最小值32. 【答案】D3.（2016·江苏·★★★★）在ABC 中，D 是BC 中点，E 、F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是_______.【解析】设AE EF FD x ===，BD CD y ==，由极化恒等式，222222222259481318x BA CA AD BD x y BF CF FD BD x y y ⎧=⎧⎪⋅=-=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-=-=-⎪⎪⎩=⎪⎩， 故2222748BE CE ED BD x y ⋅=-=-=.【答案】784.（★★★）在ABC 中，60A =︒，2AB =，3AC =，D 在边AC 上运动，则DA DB ⋅的最小值为________.【解析】由余弦定理，2222cos 7BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=，所以7BC 取AB 中点G ，由极化恒等式，2221DA DB DG AG DG ⋅=-=-， 故DG 的长最小时，DA DB ⋅也最小，由图可知当点D 位于图中0D 处时，DG 的长最小， 且012DG BH =，03sin 3BH AB A DG =⋅==，所以DA DB ⋅的最小值为14-.【答案】14-5.（★★★）已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C 是圆O 上异于A 、B 的一点，P 是圆O 所在平面内的任意一点，则()PA PB PC +⋅的最小值是________.【解析】如图，设OC 中点为D ， 则()()()22222212PA PBPC PO PC PD OD PD +⋅=⋅=-=-≥-，当且仅当P 、D 重合时取等号， 所以()PA PB PC +⋅的最小值是2-【答案】2-6.（★★★）在半径为1的扇形AOB 中，60AOB ∠=︒，C 为弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅的最小值为_______.【解析】如图，设OB 中点为D ，则22214OP BP PD OD PD ⋅=-=-，故当PD 最小时，OP BP ⋅最小，由图可知当P 与0P 重合时，PD 最小，且易求得03DP =，所以OP BP ⋅的最小值为116-.【答案】116-7.（★★★）若O 和F 分别是椭圆22143x y +=的中心和左焦点，P 为椭圆上一点，则OP FP ⋅的最大值是（ ）A.2B.3C.6D.8【解析】如图，由题意，()1,0F -，设OF 中点为D ，则12OD =，由极化恒等式，22214OP FP PD OD PD ⋅=-=-，显然max 52PD =，所以OP FP ⋅的最大值是6.【答案】C8.（★★★）如下图所示，正方形ABCD 的边长为4，AB 为半圆O 的直径，P 为半圆圆弧上的动点，则PC PD ⋅的取值范围为________.【解析】如图，设E 为CD 中点，由极化恒等式，2224PC PD PE DE PE ⋅=-=-，由图可得225PE ≤≤所以PC PD ⋅的取值范围为[]0,16.【答案】[]0,169.（★★★★）四边形ABCD 中，M 是AB 上的点，1MA MB MC MD ====，90CMD ∠=︒,若N 是线段CD 上的动点，NA NB ⋅的取值范围是_______.【解析】M 是AB 上的点且1MA MB MC MD ====⇒C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，且圆心为M ，90CMD CMD ∠=︒⇒是等腰直角三角形，由极化恒等式，2221NA NB NM AM NM ⋅=-=-，显然上点N 在CD 21NM ≤≤，所以102NA NB -≤⋅≤.【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.（★★★★）在ABC 中，3AB =，4AC =，60A =︒，若P 是ABC 所在平面内一点，且2AP =，则PB PC ⋅的最大值是_________.【解析】如图，2AP =⇒点P 在以A 为圆心，2为半径的圆上运动，设BC 中点为D ，由余弦定理，222132cos 1313BC AB AC AB AC A BC CD =+-⋅⋅∠=⇒= 由极化恒等式，222134PB PC PD CD PD ⋅=-=-，由斯特瓦尔特公式，222AB CD AC BD AD BC BD CD BC ⋅+⋅-⋅=⋅⋅，即22213131313341313AD +-解得：37AD =AD 的长），当点P 在圆上运动时，max 3722PD AD =+=+，所以()2max37132102374PB PC⎫⋅=+-=+⎪⎪⎝⎭【答案】10237。
数学七年级上册第四章第6节《实数》专题训练及答案解析
第六节 《实数》专题训练第1题. 把下列各数分别填写在相应的括号内．03220.5550 3.1515515559(27π---π，，，，，，无理数集合｛｝；有理数集合｛ ｝；正实数集合｛ ｝；分数集合｛ ｝；负无理数集合｛｝．第2题. 化简：0)m m <．第3题. 计算：200420032)2)．第4题. 已知x y ==22353x xy y -+的值．第5题. 座钟的摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其中计算公式为2T =T 表示周期（单位：s ），l 表示摆长（单位：m ），g 为重力加速度且9.8g =m/s 2．假如一台座钟的摆长为0.5m ，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1min 内，该座钟发出多少次滴答声？第6题. 计算：22--×；第7题. 和数轴上的点一一对应的数是（ ） Ａ．整数 Ｂ．有理数 Ｃ．无理数Ｄ．实数第8题. x y ,38y =-，则xy =（ ） Ａ．3-Ｂ．3Ｃ．43-Ｄ．不能确定第9题. 22)0x -=中，x = ． 第10题. 计算或化简：2(7+；第11题. 若实数a b c ,,2(5)0b +=，求代数式ab c+的值． 第12题. 化简求值．22-，其中34a b ==，．第13题. 设a b c ,,都是实数，且满足条件2(2)80a c -+=，20ax bx c ++=．求代数式221x x +-的值．第14题.已知22 x y==求11x yy x⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值．第15题. 细心观察图，认真分析各式，然后解答各个问题．21222312213214SSS+==+==+==，，，（1）请用含n的（n为正整数）的等式表示上述变化规律．（2）推算出10OA的长度．（3）求出222212310S S S S++++的值．第16题.已知a b c===，则a b c,,的大小关系为（）Ａ．a b c>>Ｂ．a c b>>Ｃ．b a c>>Ｄ．c b a>>第17题.x．第18题.计算或化简：5．第19题.计算或化简：．第20题.，其中23x y==，．第21题. a b,为实数，在数轴上的位置如图所示，则a b-+）Ａ．a-Ｂ．aＣ．2a b-Ｄ．2b a-第22题. 老师在黑板上画了一个图，如图，图中A点表示，它与1.5第23题. 21a=-，则a的值为．第24题. 我们在学习“实数”时，以数轴上的单位长度1为线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A，如图，请根据图形回答问题：（1）OA长度是多少？（要求写出求解过程）（2）这种研究和解决问题的方式，体现了的数学思想方法．Ａ．数形结合Ｂ．代入Ｃ．换元Ｄ．归纳5A4A3A2A1A1S2S3S4SO１１１1第25题.下列各数：50-π0.30.1010010001，，中无理数的个数是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 第26题. 下列说法正确的是（）Ａ．无理数之和仍为无理数Ｂ．有理数之和仍为有理数Ｃ．无理数之积仍为无理数Ｄ．有理数与无理数之积仍为无理数第27题. 实数a的平方的算术平方根是（）Ａ．aＣ．a-Ｄ．a第28题. 下列四个例题中，正确的是（）Ａ．数轴上任意一点都表示一个有理数Ｂ．数轴上任意一点都表示一个无理数Ｃ．数轴上的点与实数一一对应Ｄ．数轴上的点与有理数一一对应第29题. 下列计算正确的是（）=Ｂ．2=236==第30题. 下列关于实数的说法中，正确的是（）Ａ．没有最大的实数，但有最小的实数Ｂ．没有最小的实数，但有最大的实数Ｃ．没有绝对值最大的数，但有绝对值最小的数Ｄ．没有绝对值最小的数，但有绝对值最大的数第31题.21(2)2--⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，与02的大小关系是（）Ａ．2012(2)2--⎛>>-⎝⎭Ｂ．210(2)22--⎛>->⎝⎭Ｃ．2012(2)-->->⎝⎭Ｄ．2012(2)-->>-⎝⎭第32题. 若x为任意实数，则下列各式中能成立的是（）2 =x =22x=-第33题. 若实数a=．第34题. 如图，以１为直角边长作直角三角形，以它的斜边长和1为直角边作第二个直角三角形，再以它的斜边和1为直角边作第三个直角三角形，以此类推，所得第n个直角三角形的斜边长为．第35题. 计算：（122713(23)383+- （2）2（32（402+（501)1+第36题. 若x 是无理数，但(2)(6)x x -+是有理数，则下列结论正确的是（ ） Ａ．2x 是有理数Ｂ．2(6)x +是无理数 Ｃ．(2)(6)x x +-是无理数Ｄ．2(2)x +是无理数第37题. 若1x <，则x =（ ） Ａ．0Ｂ．44x -Ｃ．44x -Ｄ．4x第38题. 若a <a 的范围是（ ）Ａ．0a <Ｂ．0a >Ｃ．1a >Ｄ．01a <<第39题. 若m 2m m += ．第40题. 200320042)(32)+= ．第41题. 当0x y >， 时，第42题. a 和b 的值．第43题.第44题. 若2y =，则xy = ．第45题. 2== ．第46题.第47题. 化简求值（122433x xy y x y-+-（其中x y ==（22.25a =） 第48题.第49题. 下列关于实数的说法中，不正确的是（ ）Ａ．既没有最大的实数，也没有最小的实数 Ｂ．两个实数中，平方较大者的绝对值也较大Ｃ．没有绝对值最大的实数，但有绝对值最小的实数Ｄ．有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的某点也一定可以找到一个有理数与之相对． 第50题. 写出一个3到4之间的无理数 ．第51题. 设a =2b =2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） Ａ．a>b>c Ｂ．a>c>b Ｃ． c>b>a Ｄ． b>c>a第52题.已知2a <=第53题.2)得 （ ）Ａ．－22 Ｃ．2Ｄ．2第54题. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是 （ ）Ａ．0 B ．1Ｄ．3第55题. 函数y =自变量的取值范围是（ ） Ａ．0x >Ｂ．0x <Ｃ．0x ≥Ｄ．0x ≤第56题. 第57题. 实数a = ．a 0第58题.计算：222223-⎛⎛⎛⎫-+--⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 第59题. 若x ≤0，则化简1x -Ａ．12x -Ｂ．21x -Ｃ．1-Ｄ．1B C第60题.已知a b ==Ａ．5Ｂ．6Ｃ．3Ｄ．4第61题. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简2a -+结果为 ．第62题. 下列运算正确的是A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x )3=－2x 3C ．(a －b )(－a ＋b )=－a 2－2ab －b 2D =第63题. （ ）Ａ．在4和5之间 Ｂ．在5和6之间 Ｃ．在6和7之间 Ｄ．在7和8之间 第64题. 写出两个和为1的无理数 （只写一组即可）．(第18题)（第17题）第六节 《实数》专题训练参考答案1.答案：解：无理数集合｛373.151********π-2，，，，｝；有理数集合｛0220.555( 3.14159267--π，，，，｝；正实数集合｛0ππ2，｝；分数集合｛220.555 3.14159267--，，，｝；负无理数集合｛53.1515515555--，，｝．2. 答案：解：0m <，m m ==-．故()22m m m m m m m =-=--==-．3. 答案：解：原式200320032)(52)=+200320032220032)2)2)22)1 2.⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦==×4. 答案：解：22223533()5x xy y x y xy -+=+-2223()253()653()11x y xy xyx y xy xyx y xy ⎡⎤=+--⎣⎦=+--=+-，又由已知可得x y +=+=321xy ==-=，故原式231113361197=-=-=×××．5. 答案：解：依题意知，0.5l =m ，9.8g =m/s 2，则该座钟的周期为22T ==又222T 11==π=π77××××2177=π=π×=s ．3.16≈．故17T ≈× 3.16 3.14 1.42=×s ． 又一个周期发出一次滴答声则计算6042.25442T≈≈． 故1min 该座钟发出约42次滴答声． 6.答案：解：原式431)=--=-×12111=-；7. 答案：Ｄ 8. 答案：Ａ 9.10.答案：解：原式(73)=+-22(7749481.=+-=-=-=11. 答案：解：由题意得30a -=且50b +=且70c +=，得3a =，且5b =-且7c =-．则31574a b c ==-+--． 12.答案：解：由平方差公式得22-⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦==×当34a b ==，时，原式==13. 答案：解：由已知得220080a a b c c -=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，，，，解得248.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，222480ax bx c x x ∴++=+-=，即224x x +=，那么221413x x +-=-=．14. 答案：解：化简1112x y xy y x xy⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又22x y ==则(2431xy ==-=，故原式121124xy xy=++=++=．15. 答案：解：（1）这一规律如下：2112n n S +=+=，； （2）10OA 应是1011OA A Rt △的一直角边，且有101110101110122OA A S S A A OA ===Rt △××，即10122OA =×．即10OA ； （3）2222222212310123102222S S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1155(123410)55444=+++++==×． 16. 答案：Ｄ17. 答案：3x >-18. 答案：解：原式23522=--=-． 19. 答案：解：原式(1812)6=-=． 20. 答案：解：原式x yx y+=-．当23x y ==，时，原式5=-． 21. 答案：Ｃ22.1.5<23. 答案：10±，24. 答案：解：（1）OA1OB OA OB ===，OA ∴=；（2）Ａ．25. 答案：B 26. 答案：Ｂ 27. 答案：Ｄ 28. 答案：Ｃ 29. 答案：Ｃ 30. 答案：Ｃ 31. 答案：Ａ 32. 答案：Ｃ33. 134.35. 答案：（1） 4.5-（2）14-（3）9（4）4（536. 答案：Ｃ37. 答案：Ｃ38. 答案：Ｄ39. 答案：240. 答案：241. 答案：0≤42. 答案：584a b==，43. 答案：44. 答案：345. 答案：46. 答案：<47. 答案：（1）（2）17 8148. 答案：049. 答案：Ｄ50. 答案：π51. 答案：A52. 答案：2a-53. 答案：A54. 答案：C55. 答案：B56. 答案：解：原式==1=-．57. 答案：a-58. 答案：解：原式19124=+-34=-．59. 答案：Ｄ60. 答案：Ａ61. 答案：162. 答案：D63. 答案：D64. 1。
第4章 最优化方法(运筹学)
例题分析5：投资问题
例5 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目 投资。已知： 项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回 本利110%； 项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回 本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元； 项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但 规定最大投资额不能超过80万元； 项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但 规定最大投资额不能超过100万元。 问应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥 有资金的本利金额为最大？
欧洲的古代城堡为什么建成圆形？
案例：生产计划问题
例1.
某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的 生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两 种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
Ⅰ
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 1 2 0 50 元
Ⅱ
1 1 1 100 元资源限制 300 来自时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能
使工厂获利最多？
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 二、线性规划的一般模型
三、线性规划问题的计算机求解
（Excel，lingo）
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 1、合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下， 下料最少 2、配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大 利润 3、投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报 最大 4、产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等， 使获利最大 5、劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 6、运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
第四章 代谢与平衡(4-6节)含答案
第四章代谢与平衡（4-6节）亲爱的同学：经过半个学期的学习，你一定有许多体会和收获。
今天，请把你的收获和体会呈现出来，与父母、老师和你的同学共享。
祝你成功！考生注意：1．全卷满分为100分，考试时间90分钟。
试卷共4大题，36小题2．本卷答案必须做在答题卷的相应位置上，做在试卷上无效。
3．仔细答题，注意掌握好时间。
一、选择题（每小题2分，共48分）1．徒手登山运动员，当他在海拔4000米以上继续攀登时，尽管经过充足的休息后再爬，但越往上，越感到乏力，其主要原因是 ( )A．组织细胞内氧气含量降低 B．血液中二氧化碳增多C.呼吸越来越急促 D．山地更加陡峭2．把鲜奶制成酸奶，所含能量及其营养价值的说法，下列叙述合理的是 ( )A．增加、提高 B．减少、提高 C．减少、降低 D．增加、降低3．如果一定质量的黄豆全部萌发生成黄豆芽，黄豆芽中的有机物总量、有机物种类分别比黄豆中 ( )A．多、多 B．少、多 C．多、少 D．少、少4．运动员在进行不同项目运动时，机体供能方式不同。
对三种运动项目的机体总需氧量、实际摄入氧量和血液中乳酸增加量进行测定，结果如下：根据以L资料分析马拉松跑、400米跑、100米跑运动过程中机体的主要供能方式分别是 ( )A．有氧呼吸、无氧呼吸、磷酸肌酸分解 B．无氧呼吸、有氧呼吸、磷酸肌酸分解C．有氧呼吸、无氧呼吸、无氧呼吸 D．有氧呼吸、磷酸肌酸分解、无氧呼吸5．进入西藏的浙江援藏干部，对高原缺氧的环境所产生的生理性反应是 ( )①造血功能增强，红细胞数目增多②呼吸频率加快③细胞大多以无氧呼吸获得能量④心率加快A．①③ B．①② C．②③ D．②④6．把小白鼠和青蛙从25℃的室温中移至5℃的环境中，这两种动物的需氧量会发生什么变化 ( )A．两种动物的耗氧量都减少 B．两种动物的耗氧量都增加C．青蛙耗氧量减少，小白鼠耗氧量增加 D．青蛙耗氧量增加，小白鼠耗氧量减少7．两个大小差别较大的容器里，分别盛等量的含有乳酸菌的鲜奶，然后封口贮存，结果是 ( )A．大容器中的牛奶先变酸 B．小容器中的牛奶先变酸C．同时变酸 D．都不变酸8．人体每天进行各种生理活动，需要大量的能量，下列食物的成分中能为人体提供能量的是 ( )A.蛋白质 B．水 C．无机盐 D．维生素9．某人患了某种疾病后，身体逐渐消瘦，则他 ( )A.获得的能量>消耗的能量 B．获得的能量<消耗的能量C．获得的能量一消耗的能量 D．消耗的能量>贮存的能量10．患了肠胃炎的病人，医生往往要给他注射生理盐水，是为了 ( )A.维持体内水分的代谢平衡 B．维持体内水和无机盐的代谢平衡C．维持体内无机盐的代谢平衡 D．调节体内血糖的浓度11.血液经下列器官流出后，代谢废物减少的一组器官是 ( )A.肾、肝 B．肝、肠 C．肾、肺 D．胰、肝12.关于新陈代谢的叙述错误的是 ( )A.新陈代谢一旦停止，生命也就结束B．新陈代谢是生物生存的基本条件C．新陈代谢是先合成身体的组成部分，然后再分解身体的部分物质D．每一个活着的人时时刻刻都在进行着新陈代谢13.李先生在体检时，发现尿液中含有大量的葡萄糖，则他体内发生病变的部位可能是( )A.肾小囊或肝脏B.肾小管或胰岛C．肾小球或胰腺D．肾小球或垂体14.下列有关新陈代谢的叙述，不正确的是（）A.适宜的运动有利于体内有机物的消耗 B．细胞内的异化作用可以释放能量C．神经、内分泌系统可以调节新陈代谢 D．运动和生殖系统与新陈代谢无关15.人体血液中尿素等含氮废物主要来源于（）A.糖元的分解产物 B．蛋白质的分解产物C．糖类的消化产物 D．脂肪的分解产物16.人在童年进期，新陈代谢的特点是（）A.同化作用占优势 B．同化作用与异化作用相当C．．异化作用占优势 D．同化与异化作用没有一定的量比关系17.尿液的形成过程可表示为（）A.血液→肾小囊→肾小球→肾小管→形成尿液B．血液→肾小体→肾小囊→肾小管→形成尿液C．血液→肾小球→肾小囊→肾小管→形成尿液D．血液→肾小囊→肾小球→肾盂→形成尿液18. -个健康人若进食较多的糖和食盐，那么他排出的尿液中所含的葡萄糖和盐分的量是( )A.两者均增多 B．两者均未增多C．葡萄糖增多，盐分未增多或没有 D．盐分增多，葡萄糖未增多或没有19.医学上用氧气驱赶蛔虫的原理是 ( )A.促进有氧呼吸 B．抑制有氧呼吸C．促进无氧呼吸 D．抑制无氧呼吸20.在受到严重污染的河流段，高等生物全部死亡，河水发黑发臭，但仍有一些细菌生存着。
第四章 简支梁(板)桥设计计算
对于人群均布荷载情况，在荷载横向分布系数变 化区段内所产生的三角形荷载对内力的影响，可 用下式计算：
a ΔQ A = (m0 − mc ) ⋅ qr ⋅ y 2
计算弯矩，Pk = 0.75 × [180 +
360 − 180 (19.5 − 5)] = 178.5 kN 50 − 5
qk = 7.875 kN / m
§4.2
荷载横向分布计算
４.2.1 荷载横向分布计算原理 荷载横向分布计算所针对的荷载主要是活 载，因此又叫做活载横向分布计算。 梁桥作用荷载P时，结构的刚性使P在x、y方 向内同时传布，所有主梁都以不同程度参与工作。 可类似单梁计算内力影响线的方法，截面的内力 值用内力影响面双值函数表示，即
485
2
160
160
160 横剖面
160
16
14 130
15 485 485 1996 485
纵剖面
解：（1） 永久作用集度 主梁：
0.08 + 0.14 g1 = [0.18 × 1.30 + ( )(1.60 − 0.18)] × 25.0 = 9.76 kN / m 2
横隔梁：边主梁横隔板：
附加剪力由式（4-5）计算：
a ′ ΔQ0 q = (1 + μ ) ⋅ ξ ⋅ (m0 − mc ) ⋅ qk ⋅ y 2 = 1.296 × 1 × (0.438 − 0.538) × 7.875 × 0.916 = −2.29 kN
由式（4-4），公路－II级作用下，边主梁支点 的最大剪力为：
485
250号混凝土垫层（6～12cm)
中主梁横隔板：
g = 2 × 0.063 = 1.26 kN / m
4-6 温度引起的位移计算
3. 计算杆件制造误差
K FN
FN
4 （-
1） =6cm
2
3cm
yluo@
The End
yluo@
h1 h
t2ds
(
h2t1
h
h1t2
)ds
t0ds
其中
t0
h2t1
h1t2 h
yluo@
§6 温度变化引起的位移计算
一、温度位移计算公式
ds微段上变形为
实际位移状态
弯曲变形
dt
t2ds t1ds
h
tds
h
其中
t t2 t1
Kt
计算虚拟状态轴力与弯矩。 ⑶ 代入公式计算位移。
2.例题
yluo@
§6 温度变化引起的位移计算
例6.1 结构温度变化如图示,
各杆截面为矩形，试求横梁
中点的竖向位移。已知：
h 0.6m,l 6m, 1.0105
实际位移状态
解：1.建立虚拟力状态
实际状态
2.作出虚拟状态的弯矩
3.计算位移
K FN
4cm（ 1 + 1 + 1 ） 2400cm 4800cm 4800cm
0.0033rad (顺时针)
yluo@
§6 温度变化引起的位移计算
例6.5 图示桁架，施工时C点需预置上拱度6cm， 问四根下弦杆在制造时应做长多少？ 解：1.建立虚拟状态
Structural Mechanics
西南交通大学 土木工程学院
yluo@
第四章结构位移计算 Calculation of
第四章-6-集总参数法
导热热阻可以忽略即可用集总参数法分析； 但必须根据能量守恒重新建立导热微分方程式： 进入导热体的热量-离开导热体的热量 +内热源生成的热量=导热体热力学能的增量
9
第四章 / 第三节 非稳态导热
几点说明
（3）利用集总参数法计算时，必须首先检验 Bi﹤0.1是否成立。
exp(
hA
cV
)]
7
第四章 / 第三节 非稳态导热
（4）适用条件
Bi﹤0.1
Bi hl
厚度2 的无限大平壁
无限长圆柱体 球体
l
半厚 半径R 半径R
Bi
h / hR/ hR/
V/A
R/2 R/3
8
第四章 / 第三节 非稳态导热
几点说明
(1)以上分析结果既适用于物体被冷却的情况， 也适用于物体被加热的情况。
分离变量积分
d
hA d
0
0 cV
ln hA 0 cV
t tf exp( hA )
0 t0 tf
cV
exp(BiV FoV )
BiV
h (V
A)
FoV
a
(V A)2
(下标“V”表示以V A作为特征长度）
4
第四章 / 第三节 非稳态导热
温度变化规律：
随时间 呈指数函数规律变化，
❖ 4-17（大平壁； c=/a ；求 =10℃时所需时间=? ）
❖ 4-19（诺模图，二维乘积法，tm几何=59.9℃ ，tm曲面=58.9℃ ；
❖
集总参数法：t=58.2℃ ）
短圆柱：体积 V=R2L ，表面积A=2RL+2 R2 。
小学三年级加减乘除口算技巧
乘法口算技巧第一章指算法第1节个位数比十位数大1乘以9的运算方法：前面因数的个位数是几，就把第几个手指弯回来，弯指左边有几个手指，则表示乘积的百位数是几。
弯指读0，则表示乘积的十位数是0，弯指右边有几个手指，则表示乘积的个位数是几。
口诀：个位是几弯回几，弯指左边是百位，弯指读0为十位，弯指右边是个位。
例：34×9=306第2节个位数比十位数大任意数乘以9的运算方法：凡是个位数比十位数大任意数乘以9时，仍是前面因数的个位数是几，将第几个手指弯回来，弯回来的手指不读数，作为乘积的十位数与个位数的分界线。
前面因数的十位数是几，从左边起数过几个手指，则表示乘积的百位数就是几，弯指左边减去百位数，还剩几个手指，则表示乘积的十位数是几，弯指的右边有几个手指，则表示乘积的个位数是几。
口诀：个位是几弯回几，原十位数为百位。
左边减去百位数，剩余手指为十位。
弯指作为分界线，弯指右边是个位。
例：13×9=117第3节个位数和十位数相同乘以9方法：凡是个位数和十位数相同乘以9时，它的个位数是几则将第几个手指弯回来。
弯指左边有几个手指则表示乘积的百位数是几。
弯回来的手指读9，作为乘积的十位数。
弯指右边有几个手指，则表示乘积的个位数是几。
口诀：个位是几就弯几，弯指左边是百位。
弯指读9是十位，弯指右边是个位。
例：88×9=792第4节个位数比十位数小乘积9的运算方法：计算时只要将前面因数的十位数减1写在百位上，前面因数的个位数是几，写在乘积的十位上，前面因数于与100的差数，写在乘积的个位即可。
如果是80几乘以9，因80几与100差10几，则在乘积的十位数上加1.如果是70几乘以9，因70几与100差20几，则应在乘积的十位上加2。
其他依次类推。
口诀：十位减1写百位，原个位数写十位。
与百差几写个位，如差几十加十位。
例：94×9=846 62×9=558第二章加法第1节加大减差法方法：在一个加式里，如果被加数或加数有一个接近整十、整百、整千等，都以整数来加，然后再减去这个差数（即补数），这样计算起来十分方便。
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C C
xk xk
2
C C
.
据此反复递推有
xk 1 xk 1
C C
x0 x0
2k
C C
.
记
q x0 C , x0 C
（4.6）
8
整理（4.6）式，得
q 2k xk C 2 C 1 q2k .
2k
时对xk任xx kk意11，CxCC0，即0迭 xx代00总过有程CC恒q收，.敛1.（故4由.6上）式推知，当 k
xk1 xk Cf ( xk )， C 0,1 , .
迭代函数(x) x Cf (x).
（4.7）
11
若在根 附x 近* 成立 (x) 1， C即f取(x) 1
0Cf (x) 2, 则迭代法（4.7）局部收敛.
在（4.7）中取 C ，1则称为简化牛顿法，
f ( x0 )
即
xk 1
xxkk1Cxkf
xk 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2
( xk
C xk
).
（4.5）
10
牛顿法优点：收敛快； 牛顿法缺点：（1）每步迭代要计算 f (x及k ) f ，(xk )
计算量较大且有时 计算f (较xk困) 难；
（2）初始近似 只在x根0 附近才x能*
保证收敛，如
x0 给的不合适可能不收敛.
4.4.3 简化牛顿法与牛顿下山法
（1） 简化牛顿法， 也称平行弦法. 其迭代公式为
,
取迭代初值 x0 ，0.迭5 代结果列于表7-5中.
（4.4）
所给方程（4.4）实际上是方程 x 的e等x价形式.
5
若用不动点迭代到同一精度 要迭代17次.
可见牛顿法的收敛速度是很快的.
表75计算结果
k
xk
0
0.5
1
0.57102
2
0.56716
3
0.56714
6
4.4.2 牛顿法应用举例
对于给定的正数 ，C应用牛顿法解二次方程
f (x)
由于
(xx)k 1 f[(xfxk )(fx)ff](2(x(x)xkk.)) (k 0,1, ), （4.2）
假定 x是* f 的(x一) 个单根， 即 f (x*) 0, f ，(x*) 0
则由上式知 ( x*) 0，于是依据定理4可以断定，牛顿法
在根 x的* 邻近是平方收敛的.
x2 C 0,
可导出求开方值 C的计算程序
1
C
xk 1 2 ( xk xk ).
这种迭代公式对于任意初值 x0 都0是收敛的.
事实上，对（4.5）式施行配方手续，易知
xk1
1 C 2xk ( xk
C )2;
（4.5）
7
xk1
以上两式相除得
1 C 2xk (xk
C )2.
xk 1 xk 1
例8 求 11.5 解 取初值 x0 ，10对
表4 6 n 算n 果
k
xk
0
10
C 按11（54.5）式迭代3次
1
10.750000
2
10.723837
便得到精度为1 10的6 结C果
xk 1
（见表4-6).
2
( xk
xk
).
（4.5）
3 4
10.723805 10.723805
9
由于公式（4.5）对任意初值 x均0 收0敛，并且收 敛的速度很快，因此可取确定的初值,如 x0 编1成通用程序.
曲线 y f与(x)轴的x交点的横坐标
（图4-3).
图4-3
2
设 是xk根 的x某*个近似值，过曲线
y上横f坐(x标) 为
的点 引xk切线，P并k 将该切线与 轴的交点的x 横坐标 作为
的新的xk近1似值.x *
注意到切线方程为
y f (xk ) f (xk )( x xk ).
这样求得的值
于是方程 f (x)可 近0 似地表示为
f (xk ) f (xk )( x xk ) 0.
（4.1）
1
这是个线性方程，记其根为 xk ， 1 则 xk的1 计算公式为
xk 1 xk
f (xk ) f ( xk )
(k 0,1, ),
（4.2）
这就是牛顿(Newton)法.
几何解释： 方程 f (x的) 根0 可解释x *为
( xfkf
)( xkC) ( x0 )
0,1 ,
.
这类方法xk计1 算 量xk 省 ，Cf但(x只k )有线C性 收0,1敛,，.
（4.7） （4.7）
其几何意义是用平行弦与 轴x交
点作为 x的* 近似. 如图4-4所示.
图4-4
12
（2） 牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 的x0选取.
如果 偏x0离所求根 较x远*，则牛顿法可能发散.
xk
必满足（4.1），从而就是牛顿公式
1
（4.2）的计算结果.
由于这种f (几xk何) 背f景(，xk牛)(x顿法xk也) 称 0切. 线法（.4.1） 由定理x4k，1 可x以k 直接ff ((得xxkk到)) 牛(顿k 法 0的,1收,敛),性.（4.2）
3
(4.2)的迭代函数为
(x) x f (x) ,
数值稳定下降的前提下，用牛顿法加快收敛速度.
4.4 牛顿法
4.4.1 牛顿法及其收敛性
牛顿法是一种线性化方法， 其基本思想是将非线性方程
f (x) 0 逐步归结为某种线性方程来求解.
设已知方程 f (x有) 近0似根 （假定xk
)，f (xk ) 0
将函数 f (x在) 点 展x开k ，有
f (x) f (xk ) f (xk )(x xk ),
例如，用牛顿法求方程
x3 x 1 0.
（4.8）
在 x 1附.5近的一个根 . x *
设取迭代初值 x0 ， 1用.5牛顿法公式
计算得
xk 1
xk
xk3 xk 1 3xk2 1
（4.9）
13
x1 1.34783, x2 1.32520, x3 1.32472.
迭代3次得到的结果 x3有6位有效数字. 但如果改用 x0 作 0为.6迭代初值，则依牛顿法公式
又因
(x*) f (x*) ,
f (x*)
4
故由（2.9）可得
lim
k
xk 1 x * ( xk x*)2
f (x*) . 2 f (x*)
（4.3）
例7 用牛顿法解方程
xex 1 0.
解 这里牛e顿k1公式为 ( p) (x*) . （2.9）
ekp
p!
xk1 xk
xk e xk 1 xk
（4.9）迭代一次得
x1 17.9.
这个为结了果防反止而迭比代发x0散，x更0k.对6偏1 迭离x代了k 过所程x求k33再x的k2附x根k 加11一项x（*要4. 求.09.），32即472
具有单调性：
f (xk1) f (xk ) .
满足这项要求的算法称下山法.
（4.10）
14
将牛顿法与下山法结合起来使用，即在下山法保证函