计算方法第四章4-6节

,
取迭代初值 x0 ，0.迭5 代结果列于表7-5中.
（4.4）
所给方程（4.4）实际上是方程 x 的e等x价形式.
5
若用不动点迭代到同一精度 要迭代17次.
可见牛顿法的收敛速度是很快的.
表75计算结果
k
xk
0
0.5
1
0.57102
2
0.56716
3
0.56714
6
4.4.2 牛顿法应用举例
对于给定的正数 ，C应用牛顿法解二次方程
xk1 xk Cf ( xk )， C 0,1 , .
迭代函数(x) x Cf (x).
（4.7）
11
若在根 附x 近* 成立 (x) 1， C即f取(x) 1
0Cf (x) 2, 则迭代法（4.7）局部收敛.
在（4.7）中取 C ，1则称为简化牛顿法，
f ( x0 )
即
xk 1
xxkk1Cxkf
xk 1
1 2
( xk
C xk
).
（4.5）
10
牛顿法优点：收敛快； 牛顿法缺点：（1）每步迭代要计算 f (x及k ) f ，(xk )
计算量较大且有时 计算f (较xk困) 难；
（2）初始近似 只在x根0 附近才x能*
保证收敛，如
x0 给的不合适可能不收敛.
4.4.3 简化牛顿法与牛顿下山法
（1） 简化牛顿法， 也称平行弦法. 其迭代公式为
于是方程 f (x)可 近0 似地表示为
f (xk ) f (xk )( x xk ) 0.
（4.1）
1
这是个线性方程，记其根为 xk ， 1 则 xk的1 计算公式为
xk 1 xk
f (xk ) f ( xk )
(k 0,1, ),
（4.2）
这就是牛顿(Newton)法.
几何解释： 方程 f (x的) 根0 可解释x *为
x2 C 0,
可导出求开方值 C的计算程序
1
C
xk 1 2 ( xk xk ).
这种迭代公式对于任意初值 x0 都0是收敛的.
事实上，对（4.5）式施行配方手续，易知
xk1
1 C 2xk ( xk
C )2;
（4.5）
7
xk1
以上两式相除得
1 C 2xk (xk
C )2.
xk 1 xk 1
数值稳定下降的前提下，用牛顿法加快收敛速度.
曲线 y f与(x)轴的x交点的横坐标
（图4-3).
图4-3
2
设 是xk根 的x某*个近似值，过曲线
y上横f坐(x标) 为
的点 引xk切线，P并k 将该切线与 轴的交点的x 横坐标 作为
的新的xk近1似值.x *
注意到切线方程为
y f (xk ) f (xk )( x xk ).
这样求得的值
f (x)
由于
(xx)k 1 f[(xfxk )(fx)ff](2(x(x)xkk.)) (k 0,1, ), （4.2）
假定 x是* f 的(x一) 个单根， 即 f (x*) 0, f ，(x*) 0
则由上式知 ( x*) 0，于是依据定理4可以断定，牛顿法
在根 x的* 邻近是平方收敛的.
又因
(x*) f (x*) ,
f (x*)
4
故由（2.9）可得
lim
k
xk 1 x * ( xk x*)2
f (x*) . 2 f (x*)
（4.3）
例7 用牛顿法解方程
xex 1 0.
解 这里牛e顿k1公式为 ( p) (x*) . （2.9）
ekp
p!
xk1 xk
xk e xk 1 xk
（4.9）迭代一次得
x1 17.9.
这个为结了果防反止而迭比代发x0散，x更0k.对6偏1 迭离x代了k 过所程x求k33再x的k2附x根k 加11一项x（*要4. 求.09.），32即472
具有单调性：
f (xk1) f (xk ) .
满足这项要求的算法称下山法.
（4.10）
14
将牛顿法与下山法结合起来使用，即在下山法保证函
例8 求 11.5 解 取初值 x0 ，10对
表4 6 n 算n 果
k
xk
0
10
C 按11（54.5）式迭代3次
1
10.750000
2
10.723837
便得到精度为1 10的6 结C果
xk 1
（见表4-6).
2
( xk
xk
).
（4.5）
3 4
10.723805 10.723805
9
由于公式（4.5）对任意初值 x均0 收0敛，并且收 敛的速度很快，因此可取确定的初值,如 x0 编1成通用程序.
C C
xk xk
2
C C
Leabharlann Baidu
.
据此反复递推有
xk 1 xk 1
C C
x0 x0
2k
C C
.
记
q x0 C , x0 C
（4.6）
8
整理（4.6）式，得
q 2k xk C 2 C 1 q2k .
2k
时对xk任xx kk意11，CxCC0，即0迭 xx代00总过有程CC恒q收，.敛1.（故4由.6上）式推知，当 k
例如，用牛顿法求方程
x3 x 1 0.
（4.8）
在 x 1附.5近的一个根 . x *
设取迭代初值 x0 ， 1用.5牛顿法公式
计算得
xk 1
xk
xk3 xk 1 3xk2 1
（4.9）
13
x1 1.34783, x2 1.32520, x3 1.32472.
迭代3次得到的结果 x3有6位有效数字. 但如果改用 x0 作 0为.6迭代初值，则依牛顿法公式
xk
必满足（4.1），从而就是牛顿公式
1
（4.2）的计算结果.
由于这种f (几xk何) 背f景(，xk牛)(x顿法xk也) 称 0切. 线法（.4.1） 由定理x4k，1 可x以k 直接ff ((得xxkk到)) 牛(顿k 法 0的,1收,敛),性.（4.2）
3
(4.2)的迭代函数为
(x) x f (x) ,
( xfkf
)( xkC) ( x0 )
0,1 ,
.
这类方法xk计1 算 量xk 省 ，Cf但(x只k )有线C性 收0,1敛,，.
（4.7） （4.7）
其几何意义是用平行弦与 轴x交
点作为 x的* 近似. 如图4-4所示.
图4-4
12
（2） 牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 的x0选取.
如果 偏x0离所求根 较x远*，则牛顿法可能发散.
4.4 牛顿法
4.4.1 牛顿法及其收敛性
牛顿法是一种线性化方法， 其基本思想是将非线性方程
f (x) 0 逐步归结为某种线性方程来求解.
设已知方程 f (x有) 近0似根 （假定xk
)，f (xk ) 0
将函数 f (x在) 点 展x开k ，有
f (x) f (xk ) f (xk )(x xk ),