工程力学课后习题答案第10章题解g

24EI 2 3EI 3EI 2 48EI 8EI
当F
=
1 6
ql
时， wC
=
0。
θC
= θC1
+θC2
= θ B1
+ θC 21
+ θ B22
=
ql 3 24EI
−
F⎜⎛ l ⎟⎞2 ⎝2⎠ 2EI
−
1 Fl ⋅ l 2 3EI
=0
当F
=
1 7
ql
时，
θ
C
=
0。
10-5 矩形截面悬臂梁受力如图。已知材料的弹性模量 E 和许用应力[σ ] ，求满足强度
( ) =
ql(2l)2 l −
ql 4
−
1 ql 2 (2l)
2
l=−
5ql 4
↓
16EI 8EI 3EI
24EI
θB
= θ B1
+θB2
=
− ql(2l)2
16EI
−
1 ql 2 × 2l 2
6EI
= ql 3 12EI
（逆）
(d) (d1)
(d2)
(d3)
(d4)
d 解 图(d)=图(d1)+图(d2)=图(d1)+图(d3)+图(d4)
=
ql 3 24EI
−
1 ql 2 ⋅ l 4
6EI
=
源自文库
0
讨论：迭加法简便，特别是当提供附录 C 表时，题 6-6 利用迭加法（包括逐段钢化迭加）
一定要熟练掌握。
10-4 图示外伸梁的弯曲刚度为 EI ，为使载荷 F 作用点的挠度 wC 等于零，求载荷 F 与 q 的关系。若要使θC = 0 ，则 F 与 q 的关系又如何？
型号。
解
∑MB
= 0 , FA
=
M2
− M1 l
= 1 kN
奇异函数法
EIw
=
EIθ A x +
M1 2
x2
+
FA 6
x3
由 w(l) = 0 得
θA
=
−
(2M1 +
6EI
M2
)l
由此得
EIw = − 2M1 + M 2 lx + M1 x 2 + FA x3
6
2
6
EIw′
=
−
2M1 + 6
M2
l
+
=
−
ql 3 6EI
（顺）
(b)
(b1)
b 解 取图（b1）所示左手坐标系有
q(x) = q0 x
l
M = − 1 q(x)⋅ x ⋅ x = − q0 x3
2
3 6l
EIw′′ =
M
=
− q0 6l
x13 , EIw′ =
− q0 24l
x14
+C
EIw
=
− q0 120l
x15
+
Cx
+
D
由边界条件 w′(l) = w(l) = 0 得
qx24
+
3 8
ql
(x2
− 2l)3
+ C2 x2
+
D2
由边界条件 w1(0) = 0 ， w1(2l) = 0 , w1′(2l) = w2′ (2l) = 0 ， w2 (2l) = 0 得
D1
=
0 ， C1
=
−
1 6
ql 3 ， C2
=
−
1 6
ql 3 ，
D2
=
0
由此得挠曲线方程
EIw1
=
1 8
⎜⎛ ⎝
l 2
⎟⎞ ⎠
=
w2
⎜⎛ ⎝
l 2
⎟⎞ ， ⎠
w1′
⎜⎛ ⎝
l 2
⎟⎞ ⎠
=
w2′
⎜⎛ ⎝
l 2
⎟⎞ ⎠
，
w2 (l)
=
0
得
D1
=
0，
D2
=
1 768
ql 4 ， C1
=
−3 128
ql 3 ， C2
=
− 11 384
ql 3
挠曲线方程为
( ) w1
=
− qx1 384EI
9l 3 + 16x13 − 24lx12
=
− Me 2l
x12
+ C1
EIw1
=
−
Me 6l
x13
+ C1x1
+
D1
EIw2′′
=
−
Me l
x2
+
Me
EIw1′
=
− Me 2l
x22
+ M e x2
+ C2
EIw2
= −Me 6l
x23
+
Me 2
x22
+ C2 x2
+ D2
由边界条件
w1 (0)
=
0，
w1
⎜⎛ ⎝
l 2
⎟⎞ ⎠
=
w2
⎜⎛ ⎝
75
习题
10-1 试确定图示各梁挠曲线的大致形状。
(a1)
(b1)
10-2 试用积分法求图示各梁的挠曲线方程，并求截面 A 的挠度和截面 B 的转角。已知
各梁的弯曲刚度均为 EI 。
( ) ( ) a 解 ∑ M A = 0 ， FC = 9ql 4 ↑ ； ∑ Fy = 0 ， FA = 3ql 4 ↑
)
=
3 8
qlx2
−
ql 2
⎜⎛ ⎝
x2
−
l 4
⎟⎞ ⎠
⎜⎛ ⎝
l 2
≤
x2
≤
l ⎟⎞ ⎠
CA
段 ⎜⎛ 0 ⎝
≤
x1
≤
l 2
⎟⎞ ⎠
AB
段 ⎜⎛ ⎝
l 2
≤
x2
≤
l ⎟⎞ ⎠
78
Ew1′′
=
3 8
qlx1
−
1 2
qx12
EIw1′
=
3 16
qlx12
−
1 6
qx13
+
C1
EIw1
=
1 16
qlx13
wA
=
wA1
+
wA2
=
⎜⎛ ⎝
wC1
+ θC1
⋅
l ⎟⎞ + 2⎠
wA2
( ) =
⎜⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
ql 2 ⎜⎛ l 2 ⎝2
2EI
⎟⎞ 2 ⎠
+
ql 2 ⋅ l 22 2EI
⋅
l 2
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
+
− ql 4 8EI
= ql 4 16EI
↑
θB
= θ B1
+θB2
= θC1
+θB2
=
ql 2 ⋅ 2 EI
AC 段
M1
=
3 4
qlx1
−
1 2
qx12
(0 ≤ x1 ≤ 2l)
CB 段
M2
=
3 4
qlx2
−
1 2
qx
2 2
+
9 4
ql (x 2
−
2l )
(2l ≤ x2 ≤ 3l)
AC 段 (0 ≤ x1 ≤ 2l)
CB 段 (2l ≤ x2 ≤ 3l)
EIw′′
=
M1
=
3 4
qlx1
−
1 2
qx12
EIw2′′
⎜⎛ 0 ⎝
≤
x1
≤
l 2
⎟⎞ ⎠
( ) w2
= − ql 384EI
8x23 − 24lx22 + 17l 2 x2 − l 3
⎜⎛ ⎝
l 2
≤
x2
≤
l ⎟⎞ ⎠
( ) wA
=
w1
⎜⎛ ⎝
l 2
⎟⎞ ⎠
=
− 5ql 4 768EI
↓
，θB
=
w2' (l)
=
7ql 3 384EI
（逆）
10-3 用叠加法求图示各梁截面 A 的挠度和截面 B 的转角。已知各梁的弯曲刚度均为
=
3d × (3d )3
12
=
81d 4 12
；设钢丝绳每股横截面为 d × d ，则 9 股钢丝绳的惯
性矩为 I 2
= 9× d ×d3 12
=
9d 4 12
=
1 9
I1
，故钢丝绳要柔软得多。
10-4 用叠加法求梁的位移时，应满足哪些条件？ 答 小变形。
10-5 提高梁的弯曲刚度的主要措施有哪些？与提高梁强度的措施有何不同？ 答 提高梁的弯曲刚度的主要措施有 （1）调整加载方式，改善结构设计； （2）减小梁的跨度，增加支承约束； （3）增大梁的弯曲刚度 EI。
10-2 工程中传动轴的齿轮或皮带轮一般都放置在靠近轴承处，而不放在中间，这是为 什么？
答 靠近轴承处挠度较小，中间挠度较大。
10-3 材料相同，横截面面积相等的钢杆和钢丝绳相比，为何钢丝绳要柔软得多？
答 弯曲刚度用 EI 表示，二者材料相同，只取决于惯性矩 I。设钢杆横截面为 3d × 3d ，
则其惯性矩为 I1
( ) wA = wA1 + wA2 = wA1 + wA21 + wA22
=
θ C1
⋅
l 2
+
wA21
+ θC 22
⋅
l 2
( ) =
ql 3
⋅
l
−
1 ql⎜⎛ l ⎟⎞3 2 ⎝2⎠
−
1 4
ql
2
⋅
l
⋅
l
=−
ql 4
↓
24EI 2 3EI
3EI 2 24EI
θB
= θ B1
+θB2
= θ B1
+ θ B22
若选 16 号工字钢，其
I = 1 130 ×10−8 m4
w=
23.51×103 200 ×109 ×1130 ×10−8
= 0.010 4 m
w − [w] [w]
=
0.010
4− 5
5 500
=
4%
M1x
+
FA 2
x2
令 w′(x) = 0 ，得
x = 2.637 6 m
代入式（a）得
EIw(x = 2.637 6 m) = −23.51×103 N ⋅ m
w = 23.51×103 ≤ l
EI
500
I ≥ 500 × 23.51×103 = 1 176 ×10−8 m4 200 ×109 × 5
第 10 章 弯曲变形
思考题
10-1 梁的截面位移和变形有何区别？有何联系？图示两梁的弯曲刚度相同，则两梁的 挠曲线曲率是否相同，挠曲线形状是否相同，为什么？
思考题 10-1 图
答（1）梁的截面位移是指截面位置改变（可以是平移或转动）；梁的截面变形是形状和 大小改变。
（2）两梁的挠曲线曲率相同，因为弯矩方程相同；挠曲线形状不相同，因为边界条件 不同。
qlx13
−
1 24
qx14
+
1 6
ql 3 x1
−
1 6
ql 3 x1
(0 ≤ x1 ≤ 2l)
EIw2
=
1 8
qlx23
−
1 24
qx24
+
3 8
ql
(x
2
− 2l )3
−
1 6
ql
3
x2
(2l ≤ x2 ≤ 3l)
76
进一步代入计算得
( ) wA
=
w2
(3l
)
=
−
ql 4 8EI
↓
，θB
=
w1' (0)
x2
−
3l 3
⎜⎛ ⎝
l 2
≤
x2
≤
l ⎟⎞ ⎠
wA
=
w1
⎜⎛ ⎝
l 2
⎟⎞ ⎠
= 0，θB
=
w2' (l ) =
M el 24EI
（逆）
(d)
(d1)
d 解 图(d1)
( ) ∑ M B
=
0 ， FC
=
3 ql 8
↑
M
(x1
)
=
3 8
qlx1
−
1 2
qx12
⎜⎛ 0 ⎝
≤
x1
≤
l 2
⎟⎞ ⎠
M
(x2
−
1 24
qx14
+
C1 x1
+
D1
EIw′2′
=
3 8
qlx2
−
ql 2
⎜⎛ ⎝
x2
−
l ⎟⎞ 4⎠
EIw′2
=
3 16
qlx22
−
ql 4
⎜⎛ ⎝
x2
−
l ⎟⎞2 4⎠
+ C2
EIw2
=
1 16
qlx23
−
ql 12
⎜⎛ ⎝
x2
−
l ⎟⎞3 4⎠
+ C2x2
+
D2
由边界条件
w1 (0)
=
0，
w1
l 2
−
ql 3 6EI
= ql 3 12EI
（逆）
(c)
(c1) (c2) (c3)
(c4)
c 解 图(c)=图(c1)+图(c2)=图(c1)+图(c3)+图(c4)
80
( ) wA = wA1 + wA2 = wA1 +
wA21 + wA22
= θC1l
+
⎜⎜⎝⎛
− ql 4 8EI
+ θC2l ⎟⎟⎠⎞
EI 。
(a)
(a1)
(a2)
a 解 图(a)=图(a1)+图(a2)
wA
=
wA1
+
wA2
=
⎜⎛ ⎝
wC1
+ θC1
×
2l 3
⎟⎞ ⎠
+
⎜⎛ ⎝
wD
2
+θD2
×
l ⎟⎞ 3⎠
=
⎡ ⎢
F ⎜⎛
l
⎟⎞3
−⎢⎢
⎝3⎠ 3EI
+
F⎜⎛ l ⎟⎞2 ⎝3⎠ 2EI
×
⎤
2l
⎥ ⎥
3⎥
−
⎡ ⎢
F
⎜⎛
2l
⎟⎞3
⎢ ⎝3⎠
81
(a)
(b) (c) (d)
(e)
解 迭加法
图(a)=图(b)+图(c)=图(b)+图(d)+图(e)
wC
=
wC1
+ wC2
=θB
⋅
l 2
+
wC 21
+ wC 22
=θB
⋅
l 2
+ wC 21
+ θ B22
⋅l 2
=
ql 3
⋅l
F⎜⎛ l ⎟⎞3 − ⎝2⎠ −
Fl 2
⋅l
⋅
l
=
ql 4
− Fl 3 = 0
l 2
⎟⎞ ⎠
，
w2 (l)
=
0
得
D1
=
0 ， C1
=
M el 24
， C2
=
− 11M el 24
， D2
=
1 8
M
el
2
挠曲线方程为
( ) w1
=
M e x1 24lEI
l 2 − 4x12
,
⎜⎛ 0 ⎝
≤
x1
≤
l 2
⎟⎞ ⎠
( ) w2
=
−
Me 24lEI
4 x 23
−
12lx
2 2
+11l 2
( ) ∑ M B
= 0 ， FC
= − Me l
↓
77
CA 段
M
=
−
Me l
x1
⎜⎛ 0 ⎝
≤
x1
<
l 2
⎟⎞ ⎠
AB 段
M
=
−
Me l
x2
+
Me
⎜⎛ ⎝
l 2
<
x2
≤
l
⎟⎞ ⎠
CA
段 ⎜⎛ 0 ⎝
≤
x1
<
l 2
⎟⎞ ⎠
AB
段 ⎜⎛ ⎝
l 2
<
x2
≤
l ⎟⎞ ⎠
EIw1′′ =
−
Me l
x1
EIw1′
条件下的最大挠度。
解 M max = Fl
82
σ max
=
M max I
⋅
h 2
=
Flh 2I
= [σ ]
F = 2I[σ ]
lh
wmax
= − Fl 3 3EI
= − 2[σ ]l 2
3Eh
10-6 梁截面由工字钢制成，若跨度 l = 5 m ，力偶矩 M1 = 5 kN ⋅ m ，M 2 = 10 kN ⋅ m ， 许用应力[σ ] = 160 MPa ，弹性模量 E = 200 GPa ，许用挠度[w] = l 500 ，试选择工字钢
⎢ 3EI
+
F⎜⎛ 2l ⎟⎞2 ⎝3⎠ 2EI
×
⎤
l
⎥ ⎥
3⎥
=
− 2Fl 3 9EI
⎢
⎥⎢
⎥
⎣
⎦⎣
⎦
θB
= θ B1
+θB2
= θC1 + θD2
F⎜⎛ l ⎟⎞2 = − ⎝3⎠
2EI
−
F⎜⎛ 2l ⎟⎞2 ⎝3⎠ 2EI
= − 5Fl 2 18EI
（顺）
79
(b)
(b1)
(b2)
b 解 图(b)=图(b1)+图(b2)
=
M2
=
3 4
qlx2
−
1 2
qx22
+
9 4
ql (x 2
−
2l )
EIw1′
=
3 8
qlx12
−
1 6
qx13
+
C1
EIw2′
=
3 8
qlx
2 2
−
1 6
qx23
+
9 8
ql (x2
−
2l )2
+
C2
EIw1
=
1 8
qlx13
−
1 24
qx14
+ C1x1
+
D1
EIw2
=
1 8
qlx23
−
1 24
挠曲线方程为
C = q0 l 3 ， D = − q0 l 4
24
20
( ) w = − q0 x5 − 5l 4 x + 4l 5 80lEI
( ) wA
= − q0l 4 30EI
↓
，θB
= q0l3 24EI
（顺）
讨论：请读者按右手坐标系求 wA ，θB 并与以上解答比较。
(c)
(c1)
解 图(c1)