构造函数求解导数题的基本策略

构造函数求解导数题的基本策略

湖北省黄梅县第一中学 赵光新

一构造函数求解恒成立问题，弥补“等号”问题

例1已知函数f （x ）=-x 3+ax 2+b （a ，b ∈R ）．

（1）若函数y=f （x ）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于2,求a 的取值范围 分析：本题学生易将图象上任意不同的两点的连线的斜率与

'()f x 混为一谈，错解为：由f （x ）=-x 3+ax 2+b 得'2()32f x x ax =-+，'()2,f x <∴Q 23220x ax -+>对一切的x R ∈恒成立，从而 2(2)4320a ∆=--⨯⨯<，260a ∴-<

a <<

正确解法：不妨设12,x x R ∈且12x x <则1212

()()2f x f x x x -<<，整理得 1122()2()2f x x f x x ->-，因此构造函数()()2g x f x x =-=322x ax x b -+-+， 则12()()g x g x >，从而()g x 为R 上的减函数，所以'

()0g x ≤即 23220x ax -+≥对一切的x R ∈恒成立，从而

2(2)4320a ∆=--⨯⨯<，260a ∴-≤

a ≤≤

二构造函数解决多元变量的证明问题

在不等式的证明中，常常会出现多个变量。此时若能用主元思想，将其中一个看成主元，另一个变量看成常数，构造一元函数，利用一元函数的性质，使得多元变量不等式的证明得到很好的解决，高考题中常常出现。

例2已知函数()ln f x x =，当0a b <<时，求证222()()()b b a f b f a

--> 3222222'

2222221242()(2)()()()b b x bx b x b x bx F x x x b x x b ----+=--=-++，0x b <=

所以原命题得证。

三构造函数求解代数式的最值问题

例3已知函数1(),()ln

22

x x f x e g x ==+，对任意的a R ∈，(0,)b ∃∈+∞使得()()f a g b =则

b-a 的最小值为 。 解析：()()f a g b =所以找一中间量，将a,b 都变成中间量的函数，然后求函数的最值。 因为任意的a R ∈，(0,)b ∃∈+∞使得()()f a g b =所以设()()f a g b ==m 即1ln 22a

b e m =+=，1122ln ,2,2ln m m a m b e b a e m --∴==-=- 令12()2ln m h m e

m -=-，1'21()2m h m e m -=-=1221m me m -- 令'()h m =0，得12m =，当 1(0,)2x ∈时，'()0h m <，1(,)2

x ∈+∞时，'()0h m > 1()()2ln 22

b a h m h -=≥=+ 四构造函数利用用单调性解不等式

例4已知函数定义域为R ，(0)2,f =对任意的x R ∈,'

()()1,f x f x +>则不等式()1x x e f x e >+的解集为：

分析：这是一个抽象函数导函数满足的式子，先构造出原函数然后借助导数性质求解。 令()(()1)x g x e f x =-则''()(()()1)x g x e f x f x =+-0>，所以()(()1)x

g x e f x =-在R 上单调递增。而待解不等式可以改写为0(()1)1((0)1)x e f x e f ->=-

所以不等式的解集为(0,)+∞

例5设f(x)是定义在R 上的可导函数,且满足'()()0f x xf x +>则不等

式f 的解集为：

解析：首先将条件式还原成原函数。令()(),G x xf x =则''

()()()0G x f x xf x =+>所以()G x 在R

>，

0>且10,10x x +≥-≥，所以[)1,2x ∈

（本文发表于北京高中生数学）