第3章复变函数的积分

2.2: 柯西定理 2.3: 不定积分 2.4: 科西积分公式
本章小节
重点内容:
(1) (2) 柯西定理(单、复连通区域); 柯西积分公式(单、复连通,无界区域);
2.1 复变函数的积分
2.1.1 复变函数积分的概念 在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线 的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其 起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方 向是这样规定的：
2.1.2 复积分的基本性质
根据复变函数积分和曲线积分之 间的关系以及曲线积分的性质，不难验 证复变函数积分具有下列性质，它们与 实变函数中定积分的性质相类似：
(1)若 f ( z ) 沿 L可积，且 L由 L1 和L2连接而成，则

L
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz
(2) 如果 L是简单闭曲线，通常总规定逆时针方 向为正方向，顺时针方向为负方向． (3) 如果 L 是复平面上某一个复连通域的边界曲 线，则 L 的正方向这样规定：当人沿曲线 L 行 走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界 部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针 为正方向．
定义2.1.2 复变函数的积分 设函数 w f ( z ) u( x, y) iv ( x, y)在给定的光滑
【证明】 因为
f (
k 1
n
k
)zk f ( k ) zk ，f ( k ) Sk
k 1 k 1
n
n
z 对应的弦 其中 zk , Sk 分别表示曲线 L 上弧段z k 1 k
长和弧长，两边取极限就得到

L
f ( z )dz f ( z ) dz f ( z ) dS
第2章 复变函数的积分
复变函数积分理论是复变函数的核心内容， 关于复变函数的许多结论都是通过积分来讨论的，
更重要的是我们要讨论解析函数积分的性质，并
给出解析函数积分的基本定理与基本公式，这些
性质是解析函数理论的基础，我们还将得到解析
函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。
本章基本内容:
2.1: 复变函数的积分

L
f ( z )dz lim f ( k )zk
0
k 1
n
我们称之为复变函数的积分，简称复积分．
y
zk 1
zk
zn b
k
z0 a
x
图 2.1
定义2.1.3 闭合环路积分
当L为封闭曲线时，那么沿L的积分为， L
f ( z )dz
并称为复变函数 f ( z )的闭合环路积分（简称环路
积分）. 为了方便，我们还可以在积分中标出环路
积分的方向, 若沿逆时针方向积分，可用环路积分

L
f ( z )dz f ( z )dz
表示. 若沿顺时针方向积分，可用
L
表示.
由此可知，当 n ，且小弧段长度的最大值
0
时，不论对L的分法如何，点 f ( z )的取法如何，只要上式 右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在， 由于 (k ,k ) 连续，则
或逐段光滑曲线 L 上有定义，且 L 是以 a 为起点，
为终点的一条有向曲线，如图 2.1所示．把 b 曲线 L
任意分成n个小弧段，设分点依次
z (k 1, 2,..., n) 为 z0 , z1, , zk 1, zk , , zn ,在某小弧段 z k 1 k
上任意取Байду номын сангаас点 k 其中
(u iv )(dx idy)
，则
f ( z )dz udx vdy i(vdx udy)
上式说明了两个问题：
(1) 当 f ( z )是连续函数，且L是光滑曲线时，积
分 L f ( z )dz 一定存在；
(2) C f ( z )dz 可以通过两个二元实变函数的线
积分来计算.
，并作和 Sn f ( k )zk
k 1
n
zk zk zk 1
则当n无限增大，且
max{sk }
1 k n
0 时，
如果无论对L的分法及 Sn 的取法如何，都有惟
一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线 L的积分，记作L f ( z )dz ，即
L
(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即

L

f ( z )dz f ( z )dz
L
（2.1.4）
L 为 L 的负向曲线．
(5)积分的模不大于被积表达式模的积分，即

L
f ( z)dz f ( z) dz f ( z) dS
L L
(2.1.5)
这里 dS 表示弧长的微分，即 dS (dx)2 (dy) 2
L1 L2
（2.1.2）
（2.1.3）
(2) 常数因子 k可以提到积分号外，即

L
kf ( z )dz k f ( z )dz
L
(3) 函数和（差）的积分等于各函数积分的和（差）， 即
[ f ( z) f ( z)]dz
L 1 2
L
f1 ( z )dz f 2 ( z)dz
u,v
都是连续函数，根据曲线积
分存在的充分条件，以及曲线积分的定义得到

L
f ( z )dz [u ( x, y)dx v ( x, y)dy] i [v ( x, y)dx u( x, y)dy]
L L
(2.1.1)
即我们可以把复积分 L f ( z )dz 的计算化为两个 二元实变函数的曲线积分．为便于记忆公式，可 把 f ( z)dz 理解为
定义2.1.1 有向曲线 在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的 概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起 点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向 是这样规定的： (1) 如果曲线 L是开口弧段，若规定它的端点P 为起点， Q 为终点，则沿曲线 L 从 P 到 Q 的方向 为曲线 L 的正方向（简称正向），把正向曲线记 为 L 或 L . 而由 Q 到 P 的方向称为的负方向（简 L 称负向），负向曲线记为 .
L L
f ( z )连续，且 f ( z ) （6）积分估值定理 若沿曲线 L ，
在
L上满足
f ( z) M (M 0) ，则

L
f ( z )dz Ml