小学奥数 牛吃草问题(一) 精选例题练习习题(含知识点拨)
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6-1-10.牛吃草问题(一)
教学目标
1.理解牛吃草这类题目的解题步骤,掌握牛吃草问题的解题思路.
2.初步了解牛吃草的变式题,会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系
知识精讲
英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中,有一道关于牛在牧场上吃草的问题,即牛在牧场上吃草,牧场上的草在不断的、均匀的生长.后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”.“牛吃草”问题主要涉及三个量:草的数量、牛的头数、时间.难点在于随着时间的增长,草也在按不变的速度均匀生长,所以草的总量不定.“牛吃草”问题是小学应用题中的难点.
解“牛吃草”问题的主要依据:
①草的每天生长量不变;
②每头牛每天的食草量不变;
③草的总量=草场原有的草量+新生的草量,其中草场原有的草量是一个固定值
④新生的草量=每天生长量⨯天数.
同一片牧场中的“牛吃草”问题,一般的解法可总结为:
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”;
⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数);
⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数;
⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度);
⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度.
“牛吃草”问题有很多的变例,像抽水问题、检票口检票问题等等,只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路,才能以不变应万变,轻松解决此类问题.
例题精讲
模块一、一块地的“牛吃草问题”
【例 1】牧场上有一片匀速生长的草地,可供27头牛吃6周,或供23头牛吃9周,那么它可供多少头牛吃18周?
【巩固】有一块匀速生长的草场,可供12头牛吃25天,或可供24头牛吃10天.那么它可供几头牛吃20天?
【巩固】牧场有一片青草,每天长势一样,已知70头牛24天把草吃完,30头牛60天把草吃完,则头牛96天可以把草吃完.
【巩固】一牧场放牛58头,7天把草吃完;若放牛50头,则9天吃完.假定草的生长量每日相等,每头牛每日的吃草量也相同,那么放多少头牛6天可以把草吃完?
【例 2】青青一牧场,牧草喂牛羊;放牛二十七,六周全吃光。改养廿三只,九周走他方;若养二十一,可作几周粮?(注:“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。)题目翻译过来是:一牧场长满青
草,27头牛6个星期可以吃完,或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛,要几个星期才可
以吃完?(注:牧场的草每天都在生长)
【巩固】牧场上长满牧草,每天牧草都匀速生长.这片牧场可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天.供25头牛可吃几天?
【例 3】由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不生长,反而以固定的速度在减少.已知某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天.照此计算,可以供多少头牛吃10天?
【巩固】由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长,反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天,或可供16头牛吃6天,那么可供多少头牛吃12天?
【例 4】由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天以均匀的速度减少.经计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或可供16头牛吃6天.那么,可供11头牛吃几天?
【巩固】由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长,反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天,或可供16头牛吃6天,那么可供10头牛吃多少天
模块二、牛羊一起吃草的“牛吃草问题”
【例 5】一块匀速生长的草地,可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天.如果一头牛一天吃草量等于
5只羊一天的吃草量,那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天?
【巩固】有一片草场,草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完,70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么,17头牛和20只羊多少天可将草吃完?
【巩固】一片牧草,每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天,或可供60只羊吃24天。如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量,那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天?
【巩固】一片茂盛的草地,每天的生长速度相同,现在这片青草16头牛可吃15天,或者可供100只羊吃6天,而4只羊的吃草量相当于1头牛的吃草量,那么8头牛与48只羊一起吃,可以吃
多少天?
【例 6】一片匀速生长的牧草,如果让马和牛去吃,15天将草吃尽;如果让马和羊去吃,20天将草吃尽;
如果让牛和羊去吃,30天将草吃尽.已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量.现在让
马、牛、羊一起去吃草,几天可以将这片牧草吃尽?
【巩固】现在有牛、羊、马吃一块草地的草,牛、马吃需要45天吃完,于是马、羊吃需要60天吃完,于是牛、羊吃需要90天吃完,牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度,求马、牛、羊一起吃,需多少时间?
模块三、“牛”吃草问题的变例
【例 7】林子里有猴子喜欢吃的野果,23只猴子可在9周内吃光,21只猴子可在12周内吃光,问如果要4周吃光野果,则需有多少只猴子一起吃?(假定野果生长的速度不变)
【例 8】早晨6点,某火车进口处已有945名旅客等候检票进站,此时,每分钟还有若干人前来进口处准备进站.这样,如果设立4个检票口,15分钟可以放完旅客,如果设立8个检票口,7分钟可以放完
旅客.现要求5分钟放完,需设立几个检票口?
【巩固】某超市平均每小时有60人排队付款,每一个收银台每小时能应付80人,某天某时段内,该超市只有一个收银台工作,付款开始4小时就没有顾客排队了,如果当时有两个收银台工作,那么付款开始__________小时就没有人排队了。
【巩固】2006年夏天,我国某地区遭遇了严重干旱,政府为了解决村名饮水问题,在山下的一眼泉水旁修了一个蓄水池,每小时有40立方米泉水注入池中。第一周开动5台抽水机2.5小时就把一池水抽完,接着第二周开动8台抽水机1.5小时就把一池水抽完。后来由于旱情严重,开动13台抽水机同时供水,请问几小时可以把这池水抽完?
【例 9】一水库原有存水量一定,河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干;6台同样的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干,需要多少台同样的抽水机?
【巩固】一只船发现漏水时,已经进了一些水,水匀速进入船内.如果10人淘水,3小时淘完;如5人淘水,8小时淘完.如果要求2小时淘完,要安排多少人淘水?
【巩固】北京密云水库建有10个泄洪洞,现在水库的水位已经超过安全线,并且水量还在以一个不变的速度增加,为了防洪,需要调节泄洪的速度,假设每个闸门泄洪的速度相同,经测算,若打开一个泄洪
闸,30个小时以后水位降至安全线;若同时打开两个泄洪闸,10个小时后水位降至安全线.根据
抗洪形势,需要用2个小时使水位降至安全线以下,则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个?