线段的定比分点公式的应用(精品绝对好)

线段的定比分点公式的应用

一、难点知识剖析

（一）、在运用线段的定比分点坐标公式时，要注意(x 1，y 1)是起点的坐标，(x 2，y 2)是终点的坐标，(x ，y)表示分点的坐标，在每个等式中涉及到四个不同的量，它们分别表示三个坐标和定比λ，只要知道其中任意三个量，便可求第四个量．

（二）、如何确定定比分点坐标公式中的λ

1、由坐标确定：分点坐标终点坐标起点坐标分点坐标--=--=--=y y y y x x x x 2121λ

2、由12PP PP λ=确定：先求|||

|||21PP P P =λ（不能错误的表示为21PP P

P =λ）再据P P 1与2PP

的方向决定λ的符号． 例：设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 12PP PP λ=，求点P 的坐标.

（三）、特殊情况的分析

1、λ＝0时，分点P 与起点P 1重合

2、λ＝1时，分点P 为线段P 1P 2的中点

3、λ不可能等于－1（若λ＝－1，则P 1、P 2重合，与P 1P 2为线段矛盾） ∴λ∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)

4、无论λ取何实数（当然λ≠－1）分点P 不可能与终点P 2重合

二、例题讲解

例1、已知点A 分有向线段的比为2，求下列定比λ：（1）A 分的比；（2）B 分的比；（3）C 分的比．

分析：本题直接用公式计算不太方便，若画出图表就一目了然．

解答：因为A分的比为2，所以A在BC之间，且|BA|＝2|AC|（如图所示）

例2、已知P分所成的比为λ，O为平面上任意一点，．

求证：线段定比分点向量公式

证明：∵P分所成比为λ，

例3、已知三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D点内分的比为，E在BC上，且使△BDE的面积是△ABC面积的一半，求向量的坐标．（提示：三角形面积等于两边与其夹角正弦乘积的一半）

分析：要求的坐标，就要求D点的坐标，也要求E点的坐标．由于E点在线段BC上，且已知B、C两点的坐标，因此我们只要能确定E分有向线段的比，应用定比分点公式就能求出E点的坐标，将E点坐标减去D点的坐标就可得到向量．

解答：如图所示，

∵D点内分的比为，

设E分有向线段的比为λ，

由题设条件可知： 例5．已知a 、b 不共线，b a +=OA ，b a -=2OB ，将符合下列条件的OC 向量写成b a n m +的形式：

（1）点C 分AB 所成的比2=λ，求OC ；

（2）点C 分BA 所成的比3-=λ，求OC .

分析：借助定比分点的概念解题。

解：（1）由CB AC λ=，得()OC OB OA OC -=-λ，

即 OB OA OC λ

λλ+++=111.

故 ()()b a b a -++=+++=

23

231212211OB OA OC ， 即 b a 3

135-=OC . （2）由上可知()()b a b a +--+--=+++=3

132311111OA OB OC λλλ 即 b a 2211++=OC . 小结：本题从表面上看不涉及分点的坐标问题，但利用定比分点的概念，导出了OB OA OC λλλ+++=111这个与定比λ有关的等式，这实际上是定比分点坐标公式的另一种表现形式，即向量形式. 值得注意的是，这个等式在解决与向量有关的一些数学问题时很有用处。

例6、如图所示，已知直线l 过点)9,4(-P 和点)3,2(-Q ，l 与x 轴，y 轴交于M 点和N 点．求：点M 分PQ 所成的比λ，点N 的坐标．

分析：设点)0,(0x M ，则可由M

Q P M y y y y --=

λ可求得λ的值．同样方法可求N 点分PQ 所成的比λ'再用定比分点坐标公式，求得N y ．

解：设点)0,(0x M )9,4(-P ，)3,2(-Q ，

∴点M 分PQ 所成的比

30

3)9(0=---=λ 设N 点分PQ 所成的比为λ'，同理可得2='λ

12

1329-=+⨯+-=∴N y N ∴点坐标是)1,0(-

小结：记住定比分点坐标公式，要注意起点坐标在前不乘以λ．本题也可以这样求点M 分PQ 所成的比λ，

设)0,(0x M ，根据定比分点坐标分式得

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧++-=+-=.139,1240λλλλO x 解之⎪⎩⎪⎨⎧=-=.3,210λx 在求λ时也要注意讨论

如已知点P 在直线MN 上，且PN MP 2=，求点P 分MN 所成的比λ．

（1）当P 点在M 、N 之间时，2==PN MP

λ；

（2）当P 点在MN 延长线上时，2-=-

=PN MP λ.

例7、如图所示，已知矩形ABCD 中，)1,2(A ，)4,5(B ，)6,3(C ，E 点是CD 边的中点，连结BE 与矩形的对角线AC 交于F 点，求F 点坐标．

分析：F 点在AC 上，若知道F 点分AC 所成的比，则可根据定比分点坐标公式可求F 点坐标，由题意知ABF ∆∽CEF ∆且CE AB 2=，由此知CF AF 2=，即F 点分AC 所成的比2=λ．

解： 四边形ABCD 是矩形，E 是CD 边的中点，ABF ∆∴∽CEF ∆，且CE AB 2=

CF AF 2=∴

即点F 分AC 所成的比2=λ

设),(y x F ．由)1,2(A ，)6,3(C ，根据定比分点坐标公式得

3821322=+⨯+=

x ，3

1321621=+⨯+=y F ∴点坐标是)313,38( 小结：同理点F 分BE 所成的比2=λ，由此可求得E 点坐标是)2

9,23(，再由中点坐标公式可求得D 点坐