线段的定比分点公式的应用(精品绝对好)
线段定比分点公式
线段定比分点公式线段定比分点公式是解决线段分点问题的一种方法，它在数学中有着广泛的应用。
它的原理是根据线段的长度比例，确定分点的位置。
下面我将详细介绍线段定比分点公式的应用和推导过程。
我们来看一个具体的问题。
假设有一条线段AB，长度为L。
我们需要在这条线段上确定一个点C，使得AC:CB的长度比例为m:n。
那么我们可以通过线段定比分点公式来求解这个问题。
根据线段定比分点公式，我们可以得到以下等式：AC/CB = m/n我们可以将这个等式进一步转化为：AC = mL/(m+n)CB = nL/(m+n)这就是线段定比分点公式的具体表达式。
根据这个公式，我们可以在给定的线段上确定一个满足长度比例的分点。
接下来，我们来看一个具体的例子，以更好地理解线段定比分点公式的应用。
例题：在线段AB上，已知AC:CB = 3:2，且AB的长度为10。
求点C的坐标。
解析：根据线段定比分点公式，我们可以得到以下表达式：AC = 3/5 * 10 = 6CB = 2/5 * 10 = 4因此，点C的坐标为(6, 4)。
线段定比分点公式不仅可以用于求解已知长度比例的问题，还可以用于求解已知分点和端点长度的问题。
下面我们来看一个例子。
例题：在线段AB上，已知点A的坐标为(1, 2)，点C的坐标为(5, 6)，且AC:CB = 2:3，求线段AB的长度。
解析：根据线段定比分点公式，我们可以得到以下表达式：AC/AB = 2/5将已知的点的坐标代入上述表达式，可以得到以下等式：√[(5-1)^2+(6-2)^2]/AB = 2/5解方程可得：√[(5-1)^2+(6-2)^2] = 2/5 * AB化简得：√[(5-1)^2+(6-2)^2] = 2/5 * AB两边平方可得：(5-1)^2+(6-2)^2 = (2/5 * AB)^2化简得：16 + 16 = (2/5)^2 * AB^2化简得：32 = (4/25) * AB^2进一步化简可得：AB^2 = 25/4 * 32化简得：AB^2 = 200开平方可得：AB = √200化简得：AB = 10√2因此，线段AB的长度为10√2。
定比分点的向量公式及应用
定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙定比分点的向量公式：在平面上任取一点O ，设a OP =1，b OP =2，若21PP P P λ=，则λλλ+++=111。
特别地，当1=λ时，即P 为线段21P P 的中点，则有2121+=。
用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。
下面举几例说明。
一、求定比λ的值：例1：已知A （1,2），B （1,3-）及直线l ：54-=x y ，直线AB 与l 相交于P 点，求P 点分的比λ。
解：设),(y x P ，则由λ=，得)11,131()1,3(1)1,2(11),(λλλλλλλ+-++=-+++=y x ， 又∵P 点在直线l 上， ∴51)31(411-++=+-λλλλ， ∴31=λ。
例2：如图所示，在ABC ∆中，D 为边BC 上的点，且k =，E 为AD 上的一点，且l =，延长BE 交AC 于F ，求F 分有向线段所成的比λ。
解：∵λ=，∴λλλ+++=111， 又l =，∴l ll +++=111，而kkk +==1， ∴llk l k ++++=1)1)(1(，∵B 、E 、F 共线，∴设t =，而tt t λλλ+++=11 ∴tt l l k l k λλλ+++=++++111)1)(1(FEDCBA∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+++=+llt k l k t11)1)(1(1λλλ，解得k k l )1(+=λ。
二、求直线上点的坐标例3：已知点)1,1(--A ，)5,2(B ，点C 为直线AB 上一点，且5-=，求C 点的坐标。
分析：先求出C 点分的λ的值，再利用定比分点的向量公式求出点C 的坐标。
解：∵5-=，∴5==λ，利用定比分点的坐标公式有)4,23()5,2(65)1,1(616561=+--=+=OB OA OC 。
∴C 点的坐标为)4,23(。
例4：已知)3,2(A ，)5,1(-B ，且31=，3=，求点C ，D 的坐标。
线段中点坐标公式和定比分点坐标公式
线段中点坐标公式和定比分点坐标公式线段中点坐标公式和定比分点坐标公式是几何学中常用的计算坐标的公式，用于确定线段上点的位置。
它们在许多实际应用中都有重要的作用，如建筑设计、工程测量等。
本文将分别介绍线段中点坐标公式和定比分点坐标公式，并举例说明其应用。
设线段AB的两个端点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段AB的中点C的坐标可通过以下公式计算：Cx=(x1+x2)/2Cy=(y1+y2)/2其中，Cx和Cy分别代表中点C的横坐标和纵坐标。
例如，若给定线段AB的两个端点分别为A(4,2)和B(8,6)，则线段AB的中点C的坐标可通过以下计算得到：Cx=(4+8)/2=12/2=6Cy=(2+6)/2=8/2=4因此，线段AB的中点C的坐标为(6,4)。
线段中点坐标公式的应用十分广泛。
例如，在建筑设计中，我们常常需要确定一个房间或一个场地的中心点，以便布置家具或进行其他相应的规划工作。
在这种情况下，我们可以利用线段中点坐标公式计算出房间或场地的中心点的坐标。
除了线段的中点，我们还经常需要确定线段上的其他分点位置。
这时，我们可以使用定比分点坐标公式。
定比分点坐标公式：设线段AB的两个端点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)，若在AB上有一点P将AB分为内部比例m：n（m+n>0）的两部分，那么点P的坐标可以通过以下公式计算：Px = (nx1 + mx2) / (m + n)Py = (ny1 + my2) / (m + n)其中，Px和Py分别代表点P的横坐标和纵坐标。
例如，若给定线段AB的两个端点分别为A(2,4)和B(6,8)，且要在AB上以内部比例2:1将其分割，即将AB分为两段，其中一段长度为整体长度的2/3，另一段长度为整体长度的1/3、那么按照定比分点坐标公式，点P的坐标可通过以下计算得到：Px=(2*2+1*6)/(2+1)=(4+6)/3=10/3≈3.33Py=(2*4+1*8)/(2+1)=(8+8)/3=16/3≈5.33因此，点P的坐标为(3.33,5.33)。
定比分点公式在代数中的应用
定比分点公式在代数中的应用有向线段的定比分点公式是一个结构整齐、富于对称的公式，当趋向于－1时，P趋向于无穷远点；当时，P为内分点；当时，P为外分点；当时，P与P1重合；当P与P2重合时，不存在。
定比分点公式不但在解析几何中有十分广泛的应用，而且对于一些代数问题，若能恰当运用，也可以拓宽解题思路，开阔视野，培养创造性思维。
下面举例说明定比分点公式在代数中的应用。
一、解不等式例1. 解不等式。
解：设分别对应数轴上的三点A、P、B，则P为AB的外分点，即。
∴∴原不等式的解集为：。
一般地，对于形如：（或）的不等式，可以把分别对应数轴上三点，则P是有向线段的分点，由公式知，再由的范围可转化为与原不等式同解的不等式。
二、证明不等式例2. 设a和b都是正数，且之间。
证明：设分别对应数轴上点A、P、B三点，记P分有向线段的比为，∴之间。
此题按常规证法需分两种情况讨论，计算量较大，若构造定比分点，则较为简洁。
三、求函数值域例3. 求函数的值域。
解：，则1，y，2可看作数轴上的三点，则是y分1，2所成的比。
∴。
∴。
若函数可变形为，则可由的取值情况判断y分a、b的情况，进而由列不等式求出函数的值域。
四、求函数最值例4. 设x、y、a、b都是正数，且。
解：∵都是正数，且，∴为数轴上三点，分0，1所成的比为。
∴由。
∴。
∴当。
本题是一道典型的二元函数的最值问题，内涵十分丰富，如果从不同的角度思考，可得到多种不同的解法，让你感到妙趣横生。
五、求参数范围例5. 已知集合A，若是二元集，求实数m的范围。
解：因为。
代入整理得：，∴解之得m的范围为：。
此题涉及知识点较多，常借助一元二次方程的实根分布求解，但由于根的分布比较复杂，学生极易出错，若运用定比分点公式进行转换，则相对简捷。
六、比较大小例6. 已知与的大小。
解：∵，∴从以上几例可以看出运用定比分点的知识求解代数问题，其方法不一定最优，但切入点奇特，思路清晰，展示了数学各部分内容间的相互联系，有益于打破思维定势，培养创新精神。
定比分点公式的运用及类比推理
1 x2 P2 ( 2
＋0) ,且
P1 P PP2
，
则 f(x)=
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
定比分点公式的三大应用
定比分点公式的应用线段的定比分点坐标公式：设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是平面内两个定点，点P 0（x 0，y 0）分有向线段12PP u u u u r所成的比为λ，则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ11210210y y y x x x （λ≠－1） 而 01012020x x y y x x y y λ--==--特别地，当点P 0为内分点或者与点P 1重合时，恒有λ≥0，当点P 为外分点时，恒有λ＜0（λ≠－1）。
定比分点公式揭示了直线上点的位置与数量变化之间的转化关系。
灵活应用这个公式，可使解题过程简洁明快，充分展现思维的独创性。
下面举例说明它在解题中的应用。
一、用于求解数值的范围例2.已知,0,1,a b c c <<≠-a+bcx=且1+c求证：[,]x a b ∉。
证明：设(),(),()A a B b P x 是数轴上的三点，P u u r是AB 的定比分点，则定比P ∴u u r是AB 的外分点，则 [,]x a b ∉。
二、用于解决不等式问题 例1.已知1,1a b <<，求证：11a bab+<+。
证明：设(1),(1),()1a bA B P ab+-+是数轴上的三点，P λu u r 分AB 的比是，则1,10,a b P λ<<∴>Q 是u u rAB 的内分点，1a bab+∴+在-1与1之间，即11a b ab +<+。
定比分点公式的类比推理从定比分点公式的结构形式来看，它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题，立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n 项和与项数n 的关系等问题，具有很明显的相似之处。
1．平面几何中的定比分点：命题1：设梯形ABCD 的上、下底边长分别为l 1、l 2 若平行于底边的截线EF 把梯形的腰（高）分成上、下两部分之比为λ（λ≠-1），则EF 的长l=λλ++121l l (λ≥0)。
线段的定比分点
课题：线段的定比分点．目的：掌握有向线段的定比分点和线段的中点公式，并能简单应用． 重点、难点：线段的定比分点．过程：一、复习引入前面我们学习了有向直线，有向线段，有向线段的长度，有向线段的数量等许多概念和符号．今天我们想在此基础上跟大家讨论线段的定比分点．二、新授1．定义：有向直线l 上的一点P ，把l 上的有向线段21P P 分成两条有向线段P P 1和2PP ．P P 1和2PP 数量的比叫做点P 分21P P 所成的比，通常用字母λ来表示这个比值，21PP P P =λ，点P 叫做21P P 的定比分点． 2．说明： （1）21P P 是在过两点1P 、2P 的一条有向直线上的有向线段，1P 是起点，2P 是终点；（2）P P 1是以1P 为起点，P 为终点；2PP 是以P 为起点，2P 为终点．顺序不能颠倒，否则λ的值就会随之改变；（为了联系紧密，P 为分点，∴21PP P P =λ中，P P →1，2P P →，就是起点→分点，分点→终点．）（3）21PP P P 不是线段的长度之比，而是有向线段的数量之比，这个比与过21P P 的有向直线无关；（4）在21PP P P 中，分子是由线段的起点1P 到分点P 的有向线段P P 1的数量，分母是由分点P 到终点2P 的有向线段2PP 的数量．请思考，点P 分21P P 所成的比和点P 分12P P 所成的比有何关系．3．练习：如图，求点B 分AC ，点B 分CA ，点C 分AB ，点C 分BA ，点A分BC ，点A 分CB 所成的比．（23，32，25-，52-，53-，35-） 由此回答：（1）P 分21P P 的比与P 分12P P 的比互为倒数；（2）λ的符号与点P 的位置有关．4．小结：若点P 在线段21P P 上，点P 叫做21P P 的内分点，此时0>λ；若点P 在线段12P P 或21P P 的延长线上，点P 叫做21P P 的外分点，此时0<λ．三、解几的基础是坐标系、点的坐标，那么我们怎样求定比分点的坐标呢？问题：设21P P 的两个端点分别为),(111y x P 和),(222y x P ，点P 分21P P 所成的比为λ（1-≠λ），求分点P 的坐标),(y x ．分析：过点1P 、2P 、P 分别作x 轴的垂线11M P 、22M P 、PM ，则垂足分别是)0,(11x M 、)0,(22x M 、)0,(x M ．根据平行线分线段成比例定理，得2121MM M M PP PP =．如果点P 在线段21P P 上，那么点M 也在线段21M M 上；如果点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上，那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上．因此21PP P P 与21MM M M 的符号相同，所以21PP P P =21MM M M ． ∵11x x M M -=，x x MM -=22，∴xx x x --=21λ， 即21)1(x x x λλ+=+，当1-≠λ时，得λλ++=121x x x ． 同理可以求得y y y y --=21λ，λλ++=121y y y ． 因此，当已知两个端点为),(111y x P 、),(222y x P ，点),(y x P 分21P P 所成的比为λ时，点P 的坐标是λλ++=121x x x ，λλ++=121y y y （1-≠λ）． （1）把P P 1、2PP ，M M 1、2MM 看成一般的线段，根据初中几何平行截割定理得2121MM M M PP PP =；（2）从有向线段的数量的符号来验证这个比例． 当点P 在两点1P 、2P 之间，这时点M 也在两点1M 、2M 之间，有向线段P P 1和2PP 都具有相同的方向，它们的数量符号相同，∴=λ21PP P P 是正的．同样有向线段M M 1、2MM 也具有相同的方向，它们的数量的符号也相同，所以21MM M M 也是正的，因此，=λ21PP P P =21MM M M ． 当点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上，那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上，而P P 1与2PP 的符号相反，于是=λ21PP P P 0<．同样M M 1、2MM 的符号也相反，所以21MM M M 也是负的，因此，=λ21PP P P =21MM M M ． 所以1P 、2P 不论在哪个象限，相互位置关系怎样，也不论点P 在21P P 上或在延长线上，定比分点公式都是正确的．特别地，当点P 是线段21P P 的中点时，有21PP P P =，即1=λ，因此线段21P P 中点P 的坐标是221x x x +=，221y y y +=．四．简单应用例．点1P 和2P 的坐标分别是)6,1(--和)0,3(，点P 的横坐标为37-．求点P 分21P P 所成的比λ和点P 的纵坐标y ． 解：由λ的定义，可得x x x x --=21λ41373)1(37-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=． 84110416121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=++=λλy y y ． 点P 分21P P 所成的比是41-，点P 的纵坐标是8-． 五．练习1．已知两点)2,3(1-P 、)4,9(2-P ．求点)0,(x P 分21P P 所成的比λ及x 的值．2．点M 分有向线段21M M 的比为λ，求点M 的坐标),(y x ，其中)5,1(1M 、)3,2(2M ，2-=λ； 六．小结1．定比分点P 的位置与λ的符号关系；2．定比分点坐标公式；3．λ的求法．七．作业。
定比分点公式的推导和应用教案
定比分点公式的推导和应用教案一、定比分点公式的推导1.准备工作设有一线段AB，要在这一线段上找到一个点P，使得AP:PB等于一个给定比m:n（即AP/PB=m/n）。
2.推导过程根据题意，已知AP:PB=m:n，设AP=mx，PB=nx，其中x为线段AB的一个长度单位。
由于AP+PB=AB，所以mx+nx=AB，即x(m+n)=AB，由此得到x=AB/(m+n)。
所以AP=mx=ABm/(m+n)，PB=nx=ABn/(m+n)，因此点P的划分坐标为m/(m+n)和n/(m+n)。
3.定比分点公式根据上述推导过程得出：如果AP:PB=m:n，那么点P在线段AB上的划分坐标为m/(m+n)和n/(m+n)。
这就是定比分点公式。
二、定比分点公式的应用教案1.教学目标通过本教案的学习，学生能够掌握定比分点公式的推导过程，并能够灵活应用该公式解决实际问题。
2.教学过程（1）引入：教师出示一张图片，上面有一个线段AB和一个点P，问学生如何确定点P在线段AB上的位置，引导学生思考定比分点的概念。
（2）讲解：教师简要讲解定比分点公式的推导过程，并通过具体的数值例子来说明公式的应用。
（3）练习：教师出示几道具体的定比分点问题，供学生自主尝试解答，并在学生完成后进行讲解和讨论。
（4）拓展：教师提供更加复杂的定比分点问题，让学生运用定比分点公式进行解答，并逐步引导学生思考如何将定比分点应用到解决实际问题中。
（5）总结：教师与学生一起总结定比分点公式的推导过程和应用方法，并强调定比分点在工程、地理等领域的实际应用价值。
3.巩固练习让学生在课后完成一些相关的定比分点练习题，并在下节课开始前收集起来，以检查学生的学习情况。
4.课后作业布置一些与定比分点相关的作业题，要求学生运用定比分点公式进行解答，并在下节课上进行检查和讲解。
三、教学反思本教案通过引导学生思考和讲解推导过程，使学生能够理解并掌握定比分点公式的应用方法。
通过练习和拓展，学生逐渐培养了运用定比分点公式解决实际问题的能力。
定比分点公式的推导和应用教案
定比分点公式的推导和应用教案教学目的使学生掌握线段定比分点的意义和公式，并能应用此公式来解题．教学过程一、启发学生提出问题(在教师帮助下，让学生通过分析事物的内在联系，自己得出研讨的问题——“求线段的定比分点”．)师：在平面几何中曾学过，给出一线段，就可以定出它的中点及三分点．如图1，以上三个定点问题，怎样改用解析几何的语言呢？师：对！我们先分析一下，这些问题之间有没有什么联系，能不能用一个更一般的问题来概括它们呢？[教师引导学生将特殊问题一般化，让学生逐步了解熟悉这种认识事物的重要的思维方法．]要知道这些问题之间的联系，首先要分析一下，在平面几何里，是用什么方法来定出线段的三等分点的？其方法如下：现在请同学们想一想：在上面分别定出三个点的位置的方法中，有哪些是相同的，这样，我们知道，定出这些点的位置，可以用一种本质上相同的方法．先取定(可根据学生实际情况，调整填充的空格．)由图 4(1)～(5)可知：________之间，且|BC|越大，λ________，点P越近________．[继续让学生分析图 5(1)～(5)，进行讨论．]线段________，且|BC|越小，λ越________．P点越接近________．线段________，且|BC|越大，λ越________，P点越接近________．师：对上述十个图的分析归纳，可以发现：除了λ=－1以外，对每一个定比λ二、引导学生解决问题让学生自己解决所提出的问题．教师针对实际情况给子启发，帮助学生找到问题的解法．一要注意指导“解法”是如何想到的；二要注意结合学生自己的思路来指导．一部分学生将图画成图6，并按这一特殊情况来解．这时向他们指出不足，并启的解法是否适用？于给我们的条件是“几何的”，因此想到从寻找与这些“数”对应的“几何元素”之当一个问题有许多可能情形时，一般可以先考虑简单的情况．(这是一种有用的思考同样可得出结论．有些学生列出公式时，要指出：这样想是合理的，但要从这个式子中求出点P的坐标x、y是不可能的．于得到，于是有式子：解由①②组成的方程组，求出x、y，但运算太繁了．最后教师归纳得出定比分点的公式：时，点P的坐标是三、培养学生编制问题导出了定比分点公式以后，组织学生自己编制练习问题，使学生加深对定比分点公式的认识，并培养他们运用数学知识解决问题的能力．(1)先提出一些可以用公式来解的问题．是独立的(已知其中三个，另一个就被确定)，所以应该讲已知独立的五个，可以利用公式求得另外两个．如果像上面的问题那样，给了四个不独立的量，那么或者点立量的问题，不能只看形式，要看实质．[学生边编题、边解答，有利于知识的巩固．]四、布置作业针对不同情况的学生布置作业．有些学生可以做课本上的练习；有些学生可以做段AB的一个定比分点？如果是的话，P在AB上还是在它的延长线上？”还可以让有些同学编制“练习题”作为作业．自我评述(1)在中学数学教学中，对发现问题和提出问题的能力的培养，还远不如解决问题来得重视．学生只习惯于从教师或书本上得到题目，自己却不善于提出问题，编制题目．对科学发展来说，提出问题和解决问题是同样重要的．这里设计了培养学生这方面能力的一个教学过程．但从培养发现问题的能力来看，还是不充分的．这是考虑到当前使用的教材和学生的实际情况，目前在课内的步子只能小一点．例如，如放弃现行课本上定比分点公式的形式，就可较多地放手让学这里λ可取任意实数，而且0＜λ＜1时，P为内分点；当λ＞1时，P为外分点，在目前情况下，我认为培养学生发现问题与提出问题的能力，可以采取延续到课外的补救措施．例如，在上一节课结束时，可布置给学生思考：“给定两点位置后，除了两点间距离外，还有什么别的随之确定下来的东西．”或“给定三个点，它们有哪些可能的位置关系？有哪些东西随这三个点的位置的确定而被确定下来？能不能用它们的坐标来反映？”这些问题不要求全体同学去做，课后教师可在有兴趣、有余力的学生间作些了解和引导．在这一节课上课时，就可以让这些学生提出获得的结果与存在的问题，然后在此基础上展开教学．(2)在解决问题的教学过程中，教师主要的任务是揭示“解法”是如何“想到”的．凡是学生自己能够得出的要让他们自己去解．同时让学生自己编出一些应用某一数学公式可以解得的题目，更能使学生理解所学的知识，培养他们应用知识于实际问题的能力．这是符合数学知识的抽象性与应用的广泛性的特点的，这样做也更能提高学生的学习积极性，发展它们思维与联想能力．(3)不同学生应布置不同的作业．有些学生应该解一些理解公式和记住公式的练习题；有些学生则可要求他们编一些“有质量”的问题，并且互相交换着解这些问题．如果编的题目中出现一些矛盾，那么也可以促使学生去研究，这样有利于因材施教，使学生学得更加主动．数学教学中，要让学生记住一些概念、公式、法则．有时教师可以指出一些帮助记住“某一公式”的记忆方法；有时教师要系统地考虑“某一公式”出现的次数与间隔．但我认为，这不等于培养记忆能力．“能力”是要通过“实践”才能得到的，在数学教学中考虑如何安排“记忆”的实践，至少目前还不现实．所以，本课中我考虑了定比分点公式的记忆，但没有提培养记忆能力．。
高一数学线段的定比分点
PP 2 ( x2 x, y2 y)
P 1P PP 2
( x x1 , y y1 ) ( x2 x, y2 y)
x x1 ( x2 x ) y y1 ( y 2 y )
由此可得
2．定比分点坐标公式
若点P1（x1，y1），P2（ x2，y2 ），P（ x，y ）， λ为实数，且P1P＝λPP2，则点P的坐标（ x，y ）满 足：
练 习
1、求连结下列两点的线段的中点坐标： （1）A（3，4），B（－3，2） （2）A（－7，－1），B（3，－6） 答案：（1）（0，3） （2）（－2，－7 / 2）
练 习
2、求与下列各点关于坐标原点O 对称的点的坐标： P（2，3），Q（－2，3）， R（2，－3），S（－2，－3） 答案：
上杭二中
曾庆华
5.5 线段的定比分点
一、学习目标：
（一）知识目标：
1．线段的定比分点坐标公式： 2 ．线段的中点坐标公式。 （二）能力目标： 1 ．掌握线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式； 2 ．熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式； 3 ．理解点P分有向线段P1P2所成的比λ的含义； 4 ．明确点P的位置及λ范围的关系。 二、学习重点： 线段的定比分点和中点坐标公式的应用。 三、学习难点： 用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ＞0还是λ＜0
x y
x1 x2 1 y1 y2 1
①
我们把①叫做有向线段P1P2的定比分点 坐标公式。
想一想
设点P1（x1，y1），P2（ x2，y2 ），P（ x，y ）， 且P1P＝λPP2，那么点P分有向线段P2P1的定比分点坐 标公式与①相同吗？ 结果是：相同
2021--平面向量--线段定比分点的应用
高考平面向量定比分点的应用大招系列一、秒杀方法的讲解：公式：在ABC 中，若D 是BC 上一点，且BD DC (1 )，则向量1AB AC AD 公式证明：二、以例讲法 〖例1〗(2015新课标1理)设D 为ABC 所在平面内一点,3BC CD ，则( )． .A 1433AD AB AC .B 1433AD AB AC .C 4133AD AB AC .D 4133AD AB AC〖例2〗(2008全国Ⅰ文理)在ABC △中，AB c ，AC b ．若点D 满足2BD DC ，则AD ( )．.A 2133 b c .B 5233 c b .C 2133 b c .D 1233b c〖例3〗如图，已知AB a ，AC b ，3BD DC ，用a ，b 表示AD ，则AD 等于( )．.A 34a b .B 1344a b .C 1144a b .D 3144a b高考数学讲义 新华教育 张老师：150****2680〖例4〗(2007全国Ⅱ)在ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB ，13CD CA CB . 则 ( )．.A 23 .B 13 .C 13 .D 23〖例5〗如图，在OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB ，且2BP PA ，则( )．.A 23x ，13y .B 13x ，23y .C 14x ，34y .D 34x ，14y〖例6〗(2015·日照期末)如图所示，已知2AB BC ，OA a ，OB b ，OC c ，则下面等式中成立的是( ).A 3122c b a .B 2c b a .C 2c a b .D 3122c a b高考数学讲义 新华教育 张老师：150****2680，2b ，则CD ( )．.A 1233a b .B 2133a b .C 3455a b .D 4355a b〖例8〗(2005全国Ⅱ理文)已知点 A ， 0,0B ，C ．设BAC 的平分线AE 与BC 相交于 E ，那么有BC CE ，其中 等于( )．.A 2 .B 12 .C 3 .D 13高考数学讲义新华教育张老师：150****2680ABC的角平分线定理：AB BDAC CD（AD是BAC的平分线）.D BCA高考数学讲义 新华教育 张老师：150****2680(2012大纲文)在ABC 中,AB 边的高为CD ,若CB a ,CA b ,0a b ,1 a ,2 b , 则AD ( )．.A 1133 a b .B 2233 a b .C 3355 a b .D 4455a b(2017天津理)在ABC △中，60A ∠，3AB ，2AC .若2BD DC ，()AE AC AB R ，且4AD AE ，则 的值为___________.『强化练习』。
(整理)定比分点坐标公式在解题中的应用.
定比分点坐标公式在解题中的应用河北 陈庆新许多同学可能已经能够熟练地应用有向线段的定比分点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 及定比的坐标公式λ＝x －x 1x 2－x ，求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比了．事实上用这两个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．下面举例说明其解题中的应用． 一、在几何问题中的应用（一）关于公式的正用例1． 证明：三角形内角平分线分其对边之比等于夹这个角的两边长度之比．证明：以ΔOAB 的顶点O 为原点，∠AOB 的平分线OC 所以直线为x 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设|OA|＝m ，|OB|＝n ，∠AOC ＝∠COB ＝θ，则A(m cos θ，m sin θ)，B(n cos θ，－nsin θ)，设C 点分−→−AB 的所成的比为λ，由定比分点的坐标公式：m sin θ－λn sin θ1＋λ＝0，解之得，λ＝m n ，即|AC||CB|＝|OA||OB|．点评：本例的结论在解题中有着很多的应用。
请看下面的例子。
例2．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(－1，1)，B(3，1)，C(2，5)，角A 的内角平分线交对边于D ，则向量AD −−→的坐标为 ．解析：容易计算|AB −−→|＝4，|AC −−→|＝5。
根据三角形内角平分线的性质知：ABAC＝BD DC ，于是可知点D 分有向线段BC −−→所成的比为45，从而由定比分点坐标公式可求得点D 的坐标（239，259），于是AD −−→＝（329，169）．例3．已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线把△ABC 的面积分成4∶5两部分，求点P 的坐标．A C OBx y解析：由题意得：ABCAPQ S S ∆∆＝2⎪⎭⎫ ⎝⎛AB AP ＝49．所以AP AB ＝23，即−→−AP ＝2−→−PB ，λ＝2，设P(x ，y )，则x ＝1＋2×41＋2＝3，y ＝2＋2×11＋2＝43．所以P 点的坐标为(3，43)．例4．已知在△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，且A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)，求△ABC 的内心坐标．解析：设I 为△ABC 的内心，AD 为∠A 的平分线，则AB AC ＝BD DC ＝cb ，∴点D 分−→−BC 所成的比为c b ，∴由定比分点的坐标公式可求得D 点的坐标：x D ＝x 2＋c b ×x 31＋c b ＝bx 2＋cx 3b ＋c ，y D ＝by 2＋cy 3b ＋c．又AI ID ＝AB BD ＝AC CD ，∴AI ID ＝AB ＋AC BD ＋CD＝b ＋c a ，即点I 分−→−AD 所成的比b ＋c a ． ∴x I ＝acb c b cx bx a c b x ++++⋅++1321＝ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，同理y I＝ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c ．∴△ABC的内心坐标为(ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c)．（二）公式的逆用例5．已知一次函数y ＝－mx －2图象与线段AB 有交点，若A(－2，3)、B(3，2)，求实数m 的取值范围．解析：设一次函数的图象直线l 交AB 于点P(x ，y )且−→−AP ＝λ−→−PB (λ≥0)，当λ＝0时，直线过A 点，则由定比分点坐标公式知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=λλλλ123132y x ，又因P 在直线ACBDIl 上，故m ·－2＋3λ1＋λ＋3＋2λ1＋λ＋2＝0，解得：λ＝2m －53m ＋4≥0，从而m ≥52或m ＜－43．又当点P 与点B 重合时符合题意，所以将B(3，2)代入直线l 的方程，求得m ＝－43．故m 的取值范围为m ≥52或m ≤－43．本例可以推广为：已知定点P 1（x 1，y 1）、P 2(x 2，y 2)及直线l ：A x ＋B y ＋C=0，设直线l 与直线P 1P 2相交于点P ，求证：点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ＝－A x 1+B y 1+C A x 2+B y 2+C ．略解：设点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ，由定比分点坐标公式可求得点P的坐标为：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，将点P 的坐标代入直线l 的方程：A 121x x λλ++＋B 121y y λλ++＋C=0，整理得：（A x 1＋B y 1＋C ）＋λ(A x 2＋B y 2＋C)=0，解之得：λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ．点评：若利用这个结论来解答一下例5，就显得非常简捷：设点P(x ，y )分有向线段AB −−→所成的比为λ，则λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ＝－－2m ＋3＋23m ＋2＋2＝2m －53m ＋4，因为P 为内分点，所以λ＝2m －53m ＋4≥0，解之得：m ≥52或 m ＜－43，当直线l 过点B 时，有m ＝－43．综上知：m ≥52或m ≤－43． 二、在代数问题中的应用 （一）、解不等式例6．解不等式2－x1＋3x≥1．解析：令y ＝2－x 1＋3x －1≥0，则x ＝1－y 4＋3y＝14＋3y 4×(－13)1＋3y 4，且y ≥0，于是此问题可转化为：数轴上以P 1(14)为起点，P 2(－13)为终点，定比λ＝34y ≥0时，求分点P 的坐标x 的范围问题．由λ＝34y ≥0知点P 为有向线段−→−21P P 的内分点，或与点P 1重合，故应有－13＜x ≤14．例7． 解不等式1＜x 2－2x －1x 2－2x －2＜2．解析：在数轴上取P 1，P ，P 2点依次表示1，x 2－2x －1x 2－2x －2，2，由−→−P P 1＝λ−→−2PP 得λ＝1x 2－2x －3，因为P 内分有向线段−→−21P P ，所以λ＞0，即x 2－2x －3＞0，解之即得原不等式的解集为：{x |x ＜－1或x ＞}3．（二）、求函数的值域例8． 求函数y ＝1＋3x ＋11－x ＋1的值域．解析：令λ＝－x ＋1，则λ≤0，依题意有y ＝－1＋λ(－3)1＋λ，根据上式可知λ为点P(y )分有向线段−→−21P P 所成的比，其中P 1(1)、P 2(－3)，于是函数y 为分点P 的坐标，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ＝y －1－3－y≤0，解之得y ＜－3或y ≥1．即原函数的值域为(－∞，－3)∪[1，＋)∞．例9．求函数y ＝e x －1e x ＋1的反函数的定义域．解析：问题等价于求原函数的值域．令λ＝e x ＞0，P 1(－1)，P(y )，P 2(1)，则y ＝e x －1e x ＋1＝－1＋e x ·11＋e x ＝－1＋λ1＋λ，∵λ＞0，∴P 为有向线段−→−21P P 的内分点，∴－1＜y ＜1，故原函数的值域为(－1，1)，即其反函数的定义域为(－1，1)．例10．求函数y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1(1＜x ＜)3的值域．解析：将原函数式变形为：y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝－1＋(x ＋1x )·11＋(x ＋1x)，设P 1(－1，0)、P 2(1，0)，λ＝x ＋1x ，其中1＜x ＜3．由函数λ＝x ＋1x 的单调性可求得，2＜λ＜103．又当λ＝2时，y ＝13；λ＝103时，y ＝713，所以所求函数的值域为(13，713)． （三）、求函数的解析式例11．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过点(－1，0)且x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，对一切实数x 都成立，求f (x )．解析：因为当x ∈R ，总有x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，为此不妨设P 1(x )、P[f (x )]、P 2(x 2＋12)为数轴上三点，则−→−P P 1＝λ−→−2PP ，其中λ≥0，于是由定比分点坐标公式得： f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ，又因为y ＝ f (x )经过点(－1，0)，代入上式得，0＝－1＋λ1＋λ，解得λ＝1，再将λ＝1代入f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ得，f (x )＝ 14x 2＋12x ＋14．（四）、用于处理三角问题例12． 证明：y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．证明：①当sin x ＝1时，y ＝3∉(13，3)；②当sin x ＝－1时，y ＝－1∉(13，3)；③当sin x ≠±1时，将P(y )视为数轴上的点A(13)与B(3)的分点，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ，得λ＝y －133－y ＝sin x ＋13(sin x －1)＜0，即点P(y )为有向线段−→−AB 的外分点，故有y ∉(13，3)．综上可知，y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．（六）、用于解决数列问题数列是定义在正整数集上的特殊函数．而等差数列的通项公式为：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )为变量n 的一次函数(d ≠0)，其图象为直线．故而有A(m ，a m )、B(n ，a n )、C(p ，a p )三点共线(其中a m 、a n 、a p 分别为项数是m 、n 、p 的数列中的项)．为此我们把C 视为−→−AB 的一个定比分点，则有λ＝p －mn －p，a p ＝a m ＋λa n1＋λ． 例13 ．在3与19之间插入31个数，使它们成等差数列，求通项公式．解析：设通项为a n ，令点P(n ，a n )分A(1，a 1)，B(33，a 33)两点连成的线段所成的比为λ，则有λ＝n －133－n ，又由题意，a 1＝3，a 33＝19，于是有a n ＝a 1＋λa 331＋λ＝3＋n －133－n ×191＋n －133－n ＝12n ＋52．即通项a n ＝12n ＋52．命题2．设数列{ an}是等差数列，S n是数列的前n项和，其中S P、S m、S n满足λ＝p－mn－p(λ≠－1)，则S mm＝S pp＋λS nn1＋λ．例14．设S n是等差数列的前n项和，已知S10＝100，S100＝10，求S110．解析：取λ＝110－10100－110＝－10，则S110110＝S1010＋λS1001001＋λ＝10010＋(－10)101001＋(－10)＝－1，所以S110＝－110．。
线段的比例分点定理
线段的比例分点定理线段的比例分点定理是几何学中的重要定理之一，它描述了当一个线段上有两个点A和B，以及一个比例m:n时，可以在AB上找到一个点P，使得AP与PB的长度比为m:n。
这个定理在解决许多几何问题时非常有用，本文将详细介绍线段的比例分点定理及其应用。
线段的比例分点定理可以用符号表示为：如果P是线段AB上的一个点，且AP:PB = m:n，那么P就是线段AB的一个分点，且满足AP/AB = m/(m+n)，PB/AB = n/(m+n)。
下面通过一个简单的实例来解释线段的比例分点定理的应用。
假设直线AB的长度为10个单位，要找到一个点P，使得AP:PB = 3:2。
我们可以先计算出AP和PB的长度。
根据线段的比例分点定理，我们有AP/AB = 3/(3+2)，即AP/10 = 3/5，解得AP = 6个单位。
同理，PB = 10 - AP = 4个单位。
因此，线段AB上按比例3:2分点的结果是AP = 6和PB = 4。
线段的比例分点定理的应用不仅限于解决线段的长度分割问题，还可以应用于角度分割问题。
例如，已知角AOB为直角，以及AO:OB = 2:1，我们可以利用线段的比例分点定理确定角AOB的平分线。
根据定理，我们可以找到线段AB上的一个分点P，使得AP:PB = 2:1。
连接点P与O，并延长线段OP，使得OP与AB相交于点Q。
根据垂直平分角性质，点Q就是角AOB的平分线。
线段的比例分点定理在实际应用中也具有广泛的意义。
例如，在建筑设计中，我们需要按照一定比例将地面分割为不同的功能区域，可以利用该定理确定分割线的位置。
在地图制作中，我们需要按照比例将地图上的距离转化为实际距离，同样可以应用线段的比例分点定理进行计算。
在工程测量中，如果我们需要按照比例缩小或放大一个区域，可以利用该定理确定目标点的位置。
总结起来，线段的比例分点定理是数学中的重要定理之一。
它通过确定一个线段上满足特定比例要求的点，解决了许多几何问题。
定比分点公式的应用1
定比定比分点公式不仅在解析几何中广泛应用，而且在有些代数或立体几何问题中若用定比分点公式，常可以化繁为简,化难为易,收到事半功倍的效果,。
下面简要举例说明定比分点公式的应用 一、在解析几何中的应用例1．已知点P （2，-3），Q （4，1），要使直线ax+y+2=0与线段PQ 有交点，求实数a 的取值范围. 解：设交点为A （x ，y ），点A 分线段PQ 为两部分之比为λ，因A 为内分点，所以λ≥0，则有⎪⎩⎪⎨⎧++-=++=λλλλ13142y x ，因点A(x ，y)在直线ax+y+2=0上， 所以，02131)42(=+++-+++λλλλa 解得，3421+-=a aλ，又因为 λ≥0所以，43-<a ≤21 而当直线过点Q 时，a=43-， 故，a ∈[43-，21]例2．一直线顺次交双曲线12222=-by a x ，及渐近线于A 、B 、C 、D 四点，求证：||=||解：设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）则直线BC 的参数方程为（不含C 点）⎪⎩⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x （λ为参数） 将其代入双曲线方程整理得0)1()1(2)1(2212212212212222222=--+--+--bya xb y y a x x b y a x λλ （1）因为B 、C 在渐近线上，所以0221221=-b y a x ，0222222=-bya x代入方程（1）并整理得：01)1(22212212=+---by y a x x λλ 设DC=1λAC=2λ，则λ1·λ2=1DCAC=1 ∴·BA =·即（+）·BA =·（+） ∴·=· ∴= 即 ||=|| 二、在代数中的应用例3．已知a 、b 、m ∈R +，且a ＜b ，求证：bam b m a >++ 证明：∵mb m a ++=bm bm b a +⨯+11∴设A （b a ，y 1）、B （1，y 2），则P （m b m a ++，y 3），分线段AB 的比λ=0>bm ， 知P 在AB 线段内， 从而111<+⨯+<bm bmb a b a ， 故b a m b m a >++ 例4．求函数11+-=x x e e y 的反函数的定义域解：只需求函数y 的值域，因为y=xx ee +⋅+-111令y 1=-1，y 2=1，λ=e x＞0 所以y 1＜y ＜y 2故所求函数的定义域为（-1，1）例5．解不等式312322133<++++<x x x x 解：设y 1=21，y 2=3，y=123233++++x x x x ，则0)15(2531232321123223333>++=++++--++++=x x x x x x x x x x x λ 解得{x|x ＜35-或x ＞0} 三、在立体几何中的应用例6．把一个棱锥用平行于底面的平面截成棱台，使棱台上下底面积比为1：2，求截面的位置 解：设截平面与棱锥的高的交点P ，则P 分棱锥的高的比为λ，满足λλ++=1210S S S ，其中S 1，S 2分别为棱锥的上、下底面的面积，S 0为截面的面积。
推荐-线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律[原创] 精品
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线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律一、知识要点1. 分比的概念及分比与分点的关系, 分点坐标公式, 特殊分点(中点、△重心)坐标公式, 求的三种方法.2. 向量的夹角, 向量的数量积, 投影, 向量垂直的充要条件, 数量积的性质及运算率, 向量模的崭新求法. 二、题型 (一)选择题1. 设点在有向线段 的延长线上， 分 所成的比为，则（ ）A ．B ．C ．D ．2. 在ΔABC 中,若( +) · (－)=0,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定3. 若·+= 0, 则ΔABC 为 （ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形 4. 已知点、，点分线段成两部分，其中，则的值是（ ） A ． B ． C ． D ． 5. 若||＝2sin15°，||＝4cos375°、，夹角为30°，则·＝（ ）．A ．23B ．3C ．32D ．216. 若点分的比和点分的比恰好互为倒数，则点分的比为（ ）A ．1B ．2或C ．2或D ．不确定7. 已知点关于点的对称点是 ，则点 到原点的距离是〔 〕 A ．B ．C ．4D ．8. 下列各式中正确的是 （ ）（1）(λ·a ) ·b =λ·(a b )=a · (λb ), （2）|a ·b |=|a |·|b |, (3) (a ·b )· c =a · (b ·c ), （4）(a +b ) · c = a ·c +b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对.9. 若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为 （ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°10. 设、是非零向量，（+）2＝2+2是⊥的（ ）．A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C. 充要条件 D ．既不是充分条件也不是必要条件11. 已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，012. 设 a ,b ,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则 （ ） ①(a b )c －(ca )b =0 ②|a | －|b |< |a －b | ③(bc )a －(ca )b 不与c 垂直 ④(3a +2b )(3a －2b )= 9|a |2－4|b |2 其中真命题是 （ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④(二)填空题: 13. 已知、、三点共线，且，，若点的横坐标为6，则点的纵坐标为___________．14. 已知e 是单位向量,求满足a ∥e 且a ·e =－18的向量a =__________.15. 设a =(m+1)i －3j, b =i +(m －1)j , (a +b ) ⊥(a －b ), 则m=________.16. a 与d =b －2||)(a b a a ⋅⋅关系为________. (三)解答题:17. 设向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.18. 非零向量，满足（+）⊥（2-），（-2）⊥（2＋），求、的夹角.19. 已知：点A(2，3)、B(5，4)，C(7，10), 若AP =AB +λ·AC (λ∈R), 试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上?点P 在第三象限内?20. 己知向量a,b 均为非零向量,当|a +t b |取最小值时, ①求t 的值；②求证：b 与a +t b 垂直21. 已知：=(cos α,sin α), =(cos β,sin β), +=(54,53) 求: (1) (cos(α-β),sin(α-β)); (2)tan 2βα+22.若直线与连接、两点的线段有交点，求实数的取值范围．参考答案一选择题: ACABB ADCAC DD二填空题13. －9; 14. －18→e; 15. －2; 16. 垂直三、解答题:17. 解: ∵0))(72(2121<++e teee t，故071522<++tt，解之217-<<-t．另有λλtt==7,2，解之14,214-=-=λt，∴)21,214()214,7(--⋃--∈t．18. 解: 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅--=⋅+-→→→→→→→→3||2||2||||22222babababa，解得⎪⎩⎪⎨⎧⋅-=⋅-=→→→→→→babbaa4||25||22,故||||=－10·,cosθ=||||→→→→⋅⋅baba=－1010,而θ∈[00, 1800]故θ=arccos(－1010) 19. 解: 设P(x, y)则=(x －2, y －3),=(3, 1), =(5, 7)x －2=3+5λ, y －3=1+7λ x=5+5λ, y=4+7λλ=21时, 点P 在第一三象限的平分线上;λ<－1时, 点P 在第三象限.20. 分析：因为|a+tb|为实数，且|a +t b |2=（a +t b ）2展开以后成为关于t 的二次函数. 解: ①22222)(2||)(||a t b a t b tb a tb a +⋅+=+=+，∴当22||||2)(2b b a b b a t ⋅-=⋅-=时，|a+tb|取得最小值.②当2||b b a t ⋅-=时，b ·（a+tb ）b ·a+tb ·b =b ·a+t|b|2=a ·b 0||||22=⋅-b b b a .∴b ⊥（a +t b ）.21. 解：(1)依题意，可得：①2+②2得2+2cos(α-β)=-1 ∴cos(α-β)=-21， 从而sin(α-β)=±23 ∴(cos(α-β),sin(α-β))=(-21,±23)(2)由①得：2cos 2βα+·cos2βα-=54③ 由②得：2sin2βα+ ·cos2βα-=53④ ③④得：tan 2βα+=4322．解：当直线过 点时，有 ，∴ .当直线过 点时，有 ，∴ .当直线与线段的交点在 、 之间时，设这个交点 分 的比为，它的坐标为，则 ， .而直线过 点，则 ，整理，得 .由 ，得 ，解得 或 .故所求实数 的取值范围为 或 。
线段的定比分点公式的应用(精品绝对好)
线段的定比分点公式的应用一、难点知识剖析（一）、在运用线段的定比分点坐标公式时，要注意(x 1，y 1)是起点的坐标，(x 2，y 2)是终点的坐标，(x ，y)表示分点的坐标，在每个等式中涉及到四个不同的量，它们分别表示三个坐标和定比λ，只要知道其中任意三个量，便可求第四个量．（二）、如何确定定比分点坐标公式中的λ1、由坐标确定：分点坐标终点坐标起点坐标分点坐标--=--=--=y y y y x x x x 2121λ2、由12PP PP λ=确定：先求||||21PP =λ（不能错误的表示为21PP =λP P 1与2PP 的方向决定λ的符号．例：设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 12PP PP λ=，求点P 的坐标.（三）、特殊情况的分析1、λ＝0时，分点P 与起点P 1重合2、λ＝1时，分点P 为线段P 1P 2的中点3、λ不可能等于－1（若λ＝－1，则P 1、P 2重合，与P 1P 2为线段矛盾） ∴λ∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)4、无论λ取何实数（当然λ≠－1）分点P 不可能与终点P 2重合二、例题讲解例1、已知点A 分有向线段的比为2，求下列定比λ：（1）A 分的比；（2）B 分的比；（3）C 分的比．分析：本题直接用公式计算不太方便，若画出图表就一目了然．解答：因为A分的比为2，所以A在BC之间，且|BA|＝2|AC|（如图所示）例2、已知P分所成的比为λ，O为平面上任意一点，．求证：线段定比分点向量公式证明：∵P分所成比为λ，例3、已知三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D点内分的比为，E在BC上，且使△BDE的面积是△ABC面积的一半，求向量的坐标．（提示：三角形面积等于两边与其夹角正弦乘积的一半）分析：要求的坐标，就要求D点的坐标，也要求E点的坐标．由于E点在线段BC上，且已知B、C两点的坐标，因此我们只要能确定E分有向线段的比，应用定比分点公式就能求出E点的坐标，将E点坐标减去D点的坐标就可得到向量．解答：如图所示，∵D点内分的比为，设E分有向线段的比为λ，由题设条件可知：例5．已知a 、b 不共线，b a +=OA ，b a -=2OB ，将符合下列条件的OC 向量写成b a n m +的形式：（1）点C 分所成的比2=λ，求；（2）点C 分所成的比3-=λ，求.分析：借助定比分点的概念解题。
线段定比分点的向量公式及应用例举_一_张云飞
所以 CF =2FA. 例 2 如图 3, 平行四边形 OACB 中 , BD =
1 3
BC
,
OD
与
BA相交于
E , 求证 :BE
=1 4
BA.
证明 :要证 BE =14BA. 只要证 AE =3EB.
设OA =a, OB =b, E ′是线段 BA上一点 , 且 AE ′=3E ′B
由定比分点的向量公式
河北省乐亭县第一中学 (063600)
● 张云飞
线段定比分点的向量公式及应用例举 (一 )
线段的定比分点公式是同学们所熟悉的重 要公式 , 它在中学数学中有较为广泛的应用 , 近 几年的高考也时有涉及 , 如 2000年全国高考文 理科倒数第一大题都直接考查了定比分点公式 的运用. 同学们所熟悉的是定比分点的坐标公 式 , 其实 , 除此以外 , 定比分点公式还有其向量 形式. 运用定比分点的向量形式解题有时显得 更为简洁明快.
则有
AG AD
=BG BE
=CG CF
= 23 .
江苏省白蒲高级中学 (226511)
河北省乐亭县第一中学063600张云飞线段定比分点的向量公式及应用例举一线段的定比分点公式是同学们所熟悉的重要公式它在中学数学中有较为广泛的应用近几年的高考也时有涉及如2000年全国高考文理科倒数第一大题都直接考查了定比分点公式的运用
数理化学习 (高中版 )
|CD |=|CB |,
所以A1 C C1D =- (|CD |2 - CD CC1 +
所以OD
=1 2
(b
+c)
所以OG1
a =
+2
×1 2
3
(b
+c)
线段的定比分点公式及应用
线段的定比分点公式及应用河北 史彩玉向量代数中，关于线段的定比分点问题，具有严格的定义，定比分点公式实际上有三种形式，一个定义式；一个坐标式；一个向量式。
教材中只给出了定义式和坐标式。
其实，在解决一些几何问题时，向量式有时很方便。
关于定比分点公式三种形式的简述如下：1、定义式：设P 1与P 2为直线l 上的两点，点P 为直线l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使得12PP PP λ=，λ叫做P 分有向线段12PP 所成的比。
当λ＞0时，P 为内分点；当λ＜0时，P 为外分点；特别地当λ=12时，P 为P 1P 2的中点。
2、坐标式：若设P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）、P (x ，y)，将坐标代入12PP PP λ=中得到定比分点公式121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩。
特例当λ=12时， 121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩。
3、向量式：如图1所示，若设1OP =a ，2OP =b ，由于12PP PP λ=，则OP －1OP =λ（2OP －OP ）即OP －a =λ（b －OP ），整理得定比分点公式11OP λ=+a+1λλ+b 。
典例剖析如下： 一、定义式的运用例1 （1）已知点P 分AB 所成的比为13，则点B 分AP 所成的比为___________。
（2）若|12PP |=3，点P 在12PP 的延长线上，且2||PP =2，则点P 分12PP 所成的比为_______。
OabP 1P 2P图1（3）点P 在12PP 所在直线上，且12||2||PP PP =，则点P 分12PP 所成的比为_______。
解析：作出示意，解析：观察图形，根据定义得：（1）点B 分AP 所成的比为43-；（2）点P 分12PP 所成的比为52-； （3）若点P 为12PP 的内分点，则2λ=；若点P 为12PP 的外分点，则λ=－2。
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线段的定比分点公式的应用一、难点知识剖析（一）、在运用线段的定比分点坐标公式时，要注意(x 1，y 1)是起点的坐标，(x 2，y 2)是终点的坐标，(x ，y)表示分点的坐标，在每个等式中涉及到四个不同的量，它们分别表示三个坐标和定比λ，只要知道其中任意三个量，便可求第四个量．（二）、如何确定定比分点坐标公式中的λ1、由坐标确定：分点坐标终点坐标起点坐标分点坐标--=--=--=y y y y x x x x 2121λ2、由12PP PP λ=确定：先求||||||21PP P P =λ（不能错误的表示为21PP PP =λ）再据P P 1与2PP的方向决定λ的符号． 例：设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 12PP PP λ=，求点P 的坐标.（三）、特殊情况的分析1、λ＝0时，分点P 与起点P 1重合2、λ＝1时，分点P 为线段P 1P 2的中点3、λ不可能等于－1（若λ＝－1，则P 1、P 2重合，与P 1P 2为线段矛盾） ∴λ∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)4、无论λ取何实数（当然λ≠－1）分点P 不可能与终点P 2重合二、例题讲解例1、已知点A 分有向线段的比为2，求下列定比λ：（1）A 分的比；（2）B 分的比；（3）C 分的比．分析：本题直接用公式计算不太方便，若画出图表就一目了然．解答：因为A分的比为2，所以A在BC之间，且|BA|＝2|AC|（如图所示）例2、已知P分所成的比为λ，O为平面上任意一点，．求证：线段定比分点向量公式证明：∵P分所成比为λ，例3、已知三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D点内分的比为，E在BC上，且使△BDE的面积是△ABC面积的一半，求向量的坐标．（提示：三角形面积等于两边与其夹角正弦乘积的一半）分析：要求的坐标，就要求D点的坐标，也要求E点的坐标．由于E点在线段BC上，且已知B、C两点的坐标，因此我们只要能确定E分有向线段的比，应用定比分点公式就能求出E点的坐标，将E点坐标减去D点的坐标就可得到向量．解答：如图所示，∵D点内分的比为，设E分有向线段的比为λ，由题设条件可知： 例5．已知a 、b 不共线，b a +=OA ，b a -=2OB ，将符合下列条件的OC 向量写成b a n m +的形式：（1）点C 分AB 所成的比2=λ，求OC ；（2）点C 分BA 所成的比3-=λ，求OC .分析：借助定比分点的概念解题。
解：（1）由CB AC λ=，得()OC OB OA OC -=-λ，即 OB OA OC λλλ+++=111.故 ()()b a b a -++=+++=23231212211OB OA OC ， 即 b a 3135-=OC . （2）由上可知()()b a b a +--+--=+++=3132311111OA OB OC λλλ 即 b a 2211++=OC . 小结：本题从表面上看不涉及分点的坐标问题，但利用定比分点的概念，导出了OB OA OC λλλ+++=111这个与定比λ有关的等式，这实际上是定比分点坐标公式的另一种表现形式，即向量形式. 值得注意的是，这个等式在解决与向量有关的一些数学问题时很有用处。
例6、如图所示，已知直线l 过点)9,4(-P 和点)3,2(-Q ，l 与x 轴，y 轴交于M 点和N 点．求：点M 分PQ 所成的比λ，点N 的坐标．分析：设点)0,(0x M ，则可由MQ P M y y y y --=λ可求得λ的值．同样方法可求N 点分PQ 所成的比λ'再用定比分点坐标公式，求得N y ．解：设点)0,(0x M )9,4(-P ，)3,2(-Q ，∴点M 分PQ 所成的比303)9(0=---=λ 设N 点分PQ 所成的比为λ'，同理可得2='λ121329-=+⨯+-=∴N y N ∴点坐标是)1,0(-小结：记住定比分点坐标公式，要注意起点坐标在前不乘以λ．本题也可以这样求点M 分PQ 所成的比λ，设)0,(0x M ，根据定比分点坐标分式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+-=.139,1240λλλλO x 解之⎪⎩⎪⎨⎧=-=.3,210λx 在求λ时也要注意讨论如已知点P 在直线MN 上，且PN MP 2=，求点P 分MN 所成的比λ．（1）当P 点在M 、N 之间时，2==PN MPλ；（2）当P 点在MN 延长线上时，2-=-=PN MP λ.例7、如图所示，已知矩形ABCD 中，)1,2(A ，)4,5(B ，)6,3(C ，E 点是CD 边的中点，连结BE 与矩形的对角线AC 交于F 点，求F 点坐标．分析：F 点在AC 上，若知道F 点分AC 所成的比，则可根据定比分点坐标公式可求F 点坐标，由题意知ABF ∆∽CEF ∆且CE AB 2=，由此知CF AF 2=，即F 点分AC 所成的比2=λ．解： 四边形ABCD 是矩形，E 是CD 边的中点，ABF ∆∴∽CEF ∆，且CE AB 2=CF AF 2=∴即点F 分AC 所成的比2=λ设),(y x F ．由)1,2(A ，)6,3(C ，根据定比分点坐标公式得3821322=+⨯+=x ，31321621=+⨯+=y F ∴点坐标是)313,38( 小结：同理点F 分BE 所成的比2=λ，由此可求得E 点坐标是)29,23(，再由中点坐标公式可求得D 点坐标是)3,0(．在直角坐标系中，求点的坐标，定比分点坐标公式是重要的思想和和工具．E 点和D 点坐标，也可根据AB EC 21=和AB DC =求得，当然F 点坐标也可根据FC AF 2=求得，即)6,3(2)1,2(y x y x --=--，所以 ⎩⎨⎧-=--=-).6(21),3(22y y x x 解之38=x ，313=y ． 例8．若直线2--=ax y 与连接()1,2-P 、()2,3Q 两点的线段有交点，求实数a 的取值范围．分析：当直线与线段PQ 有交点时，这个交点分有向线段PQ 所成的比λ不小于0，从而得到关于a 的不等式，但应注意考虑端点的情况．解：当直线过P 点时，有122=-a ，∴23=a . 当直线过Q 点时，有223=--a ，∴34-=a . 当直线与线段PQ 的交点在P 、Q 之间时，设这个交点M 分PQ 的比为λ，它的坐标为()00,y x M ，则λλ++-=1320x ，λλ++=1210y . 而直线过M 点，则2132121-++-⋅-=++λλλλa ， 整理，得4332+-=a a λ. 由0>λ，得04332>+-a a ，解得34-<a 或23>a . 故所求实数a 的取值范围为34-≤a 或23≥a 。
小结： (1)定比λ的符号是求解本题的关键．应当注意，当点P 在线段21P P 上时，0≥λ；当点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上时，0<λ. 切不可将之混为一谈．（2）恰当地利用定比λ的几何意义，可以解决某些看似与定比分点坐标公式无关的数学问题．例9．已知ABC ∆的三顶点坐标分别为()1,1A ，()3,5B ，()5,4C ，直线AB l //，交AC 于D ，且直线l 平分ABC ∆的面积，求D 点坐标．分析：本题是平面几何知识与定点分点公式的综合应用题，解题时，应先确定D 分CA 的比，再利用公式求解．解：设直线交BC 于E ，依题意，2:1:=CAB CDE S S ∆∆，又因为DE//AB ，故CDE ∆∽CAB ∆，所以2:1:=CA CD ，12:+=AD CD ． 即点D 分CA 的比为12+=λ．设D 的坐标为()y x ,，由定比分点公式有2238121124-=++++=x ，225121125-=++++=y ． ∴ D 点的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--225,2238． 小结：求解定比分点坐标的关键是求出定比λ的值． 求λ的值，除注意λ的符号外，还常常用到平面几何知识，如相似形的性质，比例线段等等．例10．已知()3,2A ，()5,1-B ，且AB AC 31=，AB AD 3=，求点C 、D 的坐标. 分析：借助线段的定比分点式求解.解：设()11,y x C ，()22,y x D . 由AB AC 31=，可得()CB AC AC +=31，即CB AC 21=，21=λ. 运用定比分点公式可知()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+==+-⨯+=.3112115213,1211121211y x 仿上可求得 72-=x ，92=y综上可知，欲求C 、D 两点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛311,1C ，()9,7-D . 小结：对于本题欲求C 点的坐标时，也可以由AB AC 31=，得到AC BA 3-=，从而由定比公点公有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=--+-=,31353,3131211y x 得11=x ，3111=y . 同理，也可以由AD BA 31-=求得D 点坐标，这表明，我们在利用定点比分点公式时，既要注意使用公式的前提，同时也要注意灵活地使用公式。
例11 、已知ABC ∆的三个顶点的坐标为),6,3(),0,4(),0,0(C B A ，边CA BC AB ,,的中点分别为F E D ,,，且ABC ∆的重心为G ，求：（1）CD BF AE ,,；（2）GC GB GA ,,；（3）CD BF AE ++；（4）GC GB GA ++．分析 解此题可首先利用中点坐标公式分别求得各边中点F E D ,,的坐标，再利用三角形重心G 的坐标公式求得G 的坐标，最后利用平面向量坐标表示及运算法则计算所求的向量．解 ∵),6,3(),0,4(),0,0(C B A ，且F E D ,,分别为CA BC AB ,,的中点，G 为ABC ∆的重心， ∴)3,23(),3,27(),0,2(F E D ． 重心⎪⎭⎫ ⎝⎛++++3600,3340G ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛2,37G ． （1）)3,27()03,027(=--=AE )3,25()03,423(-=--=BF )6,1()60,32(--=--=CD（2）)2,37()20,370(--=--=GA )2,35()20,374(-=--=GB ， )4,32()26,373(=--=GC （3）)0,0()633,12527()6,1()3,25()3,27(=-+--=--+-+=++CD BF AE 0=++∴CD BF AE（4）)0,0()422,323537()4,32()2,35()2,37(=+--++-=+-+--=++GC GB GA0=++∴GC GB GA小结：本题中的（3），（4）具有一般性，我们将在例5中作一般结论的推证，另外结论（3）与（4）本身有着必然的联系，因为G 为ABC ∆的重心，AE 是ABC ∆的中线，故E G A ,,三点共线，而且AE AG 32=，即AE GA 32-=，同理CD GC BF GB 32,32-=-=． 故 0)(32=++-=++CD BF AE GC GB GA ．例12.已知1,1a b <<，求证：11a b ab+<+。