信息光学基础1-3卷积
信息光学傅里叶变换的基本性质和有关定理
1.7.3复振幅分布的空间频谱
任意的平面波可以用空间频率表示
(x, y)面上的平面波具有如下形式
在相干光照明下g(x,y)是xy面上复振幅分布
指数基元
表示传播方向余弦（cosα＝λξ，cosβ＝λη）
的单位振幅的单色平面波。而g(x,y)可看成无数基元函数代表的平 面波叠加。
空间频谱可用方向余弦表示
exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x)
a (P)和φ(P)是P点的振幅和初相位。
通常用指数函数表示一点的光振动
优点：可以将与位置有关的φ(P)和与时间有关的2πνt分开。 定义复振幅 为单色波场P点的复振幅。它与时间无关，仅是空间的函数。 即描述了光振动的空间分布。而时间因子exp(2πνt）对各点均相 同，可省略。
3. 4.实函数
即
由于输入余弦函数的频率是任意的，上式可写为
说明在线性不变系统中，在有实值脉冲的响应情况下，余弦函 数将产生同频率的余弦输出。但有衰减和相移。其改变程度由传递 函数的模和辐角决定。
1.7 二维光场分析
光波的数学描述。 1.7.1. 单色光波场的复振幅表示 单色光波场中某点P在时刻t的振动为
1.5.2
傅里叶变换的基本定理
1. 卷积定理 如果 则
பைடு நூலகம்
2.相关定理 （1）互相关定理 如果 则 ☆ ,
称F*(ξ,η)G(ξ,η)为函数f(x,y)和g(x,y)的互谱能量密度（互谱密度）
（2）自相关定理 设 则 ☆
（3)巴塞伐定理 设 且积分
存在,则 表示能量守恒。
1.4.4.广义巴塞伐定理 设
称ξ为沿x方向的空间频率。 y方向的周期为无穷。
同样对y方向，当cosβ≠0也可得到 ，空间频率 在z方向 空间频率
信息光学公式整理1
信息光学公式 1·矩形函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-其它,021,100a x x a x x rectF { a sinc(a x ) } = rect(f /a )F ⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ=b f b 1(bx)}{sinc22·inc s 函数()()a x x a x x a 000sin x x sinc --=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ 3·三角形函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ其它,0,1a x a xa x4·符号函数()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1sgn x x x x5·阶跃函数()⎩⎨⎧<>=0,00,1x x x step6·圆柱函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+其它,0,12222ayx a y x circ极坐标内⎩⎨⎧><=⎪⎭⎫ ⎝⎛ar o a r a r ,,1circ7·δ函数的定义 普通函数形式的定义()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⎩⎨⎧==∞≠≠=∞∞-⎰⎰1,0,0,0,0,dxdy y x y x y x y x δδ广义函数形式的定义()()()0,0,,φφδ=∞∞-⎰⎰dxdy y x y x其中()y x ,φ在原点处连续 δ函数的性质设函数()y x f ,在()00,y x 点出连续，则有 筛选性质()()()y x f dxdy y y x x y x f ,,,00=--∞∞-⎰⎰δ坐标缩放性质 ()()y x abby ax ,1,δδ=可变性 ()()()y x y x δδδ=, 8·梳状函数性质()()()∑∑∞-∞=∞∞-=-=m nx j m x x πδ2exp comb()∑∞∞-∆-∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x m x x x x δcomb()∑∞-∞=⎪⎭⎫⎝⎛∆-∆=∆m xm x x δ1xx comb ()()ξcomb x comb −−→←ℑ()ξx comb x x comb ∆∆−−→←⎪⎭⎫ ⎝⎛∆ℑx ()()()y x comb comb y x,comb =9·傅里叶变换()()(){}dxdy y x j y x f F ηξπηξ+-=∞∞-⎰⎰2exp ,, ()()()[]ηξηξπηξd d y x j F y x f +=∞∞-⎰⎰2exp ,,10·阶跃函数step(x)的傅里叶变换(){}(){}()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+=ℑℑπξξδj 21x sgn 121x step11·卷积的定义()()()()()x h x f d x h f x g *=-=⎰∞∞-ααα定义()x f 和()x h 的二维卷积：()()()()()y x h y x f d d y x h f y x g ,*,,,,=--=⎰⎰∞∞-βαβαβα卷积的几个重要性质： 线性性质：{),(),(),(),(),()},(),(y x g y x bh y x g y x af y x g y x bh y x af *+*=*+卷积符合交换律：,(),(),(),(y x f y x h y x h y x f *=*卷积符合结合律：[][]),(),(),(),(),(),(y x g y x h y x f y x g y x h y x f **=**卷积的坐标缩放：若),(),(),(y x g y x h y x f =*，则),(1),(),(by ax g abby ax h by ax f =*（a,b 均不等于0）卷积位移不变性：若),(),(),(),(y x f y x h y x h y x f *=*，则),(),(),(),(),(000000y y x x g y y x x h y x f y x h y y x x f --=--*=*--函数),(y x f 与δ函数的卷积： ),(),(),(0000y y x x f y y x x y x f --=--*δ12·米尔对称性()()ηξηξ--=*,,FF13·卷积定理()()()x rect x rect *=Λx(){}(){}(){}()ξ2sinc x rect x rect ==Λℑℑℑx()(){}()()()ξξξrect rect rect sin x sinc ==*ℑx c()()(){}()x sinc rect sinc sinc 1==*-ℑξx x14·线性平移不变系统()()()()()y x h y x f d d y x h f y x g ,,,,,*=--=∞∞-⎰⎰βαβαβα15·函数变换输入函数 ()()y x y x f 002cos ,ηξπ+= 其频谱函数()()()[]0000,,21,ηηξξδηηξξδηξ-++--=F16·单色光波场的复振幅复振幅 ()()r k j ra P U *=exp 0光强 *==UU UI 217·X 方向的空间频率的相关公式等相线位方程 c kx =αcos λπ2=k αλc o s =X X 方向的空间频率λαξcos 1==X 18·整个空间的空间频率()()[]z y x j a Z Y X U ζηξπ++=2exp ,, 221λζηξ=++2219·泰伯效应()()jkz d n c n nG exp ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∞-∞=ξδξ 泰伯距离 λ22dz T =20·相干截止频率 f D λρ2c =非相干截止频率 f D λρρ22c oc == 21·相干面积 ()()SSC A Z A Ω≈=λλ2第二章2·1夫琅禾费近似()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=y y x x z k j y x z k j zj jkz y x y x h 002200exp 2exp exp ,,λ； 2·2菲涅尔衍射()()()()()0020200002exp ,exp ,dy dx z y y x x jk y x U zj jkz y x U ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-=∞∞-⎰⎰λ傅里叶变换()()()()()()00002020000222exp 2exp ,2expexp1,dy dx y y xx z jy x z k j y x Uy x z k j jkz zj y x U ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∞∞-⎰⎰λπλ2·3透镜系统（1）输入平面位于透镜前焦面 这时f d =0得 ()()000000exp ,,dy dx f y y x x jk y x t c y x U ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-'=∞∞-⎰⎰ （2）输入面紧贴透镜 这时00=d 得 ()()00000022exp ,2exp ,dy dx q y y x x jk y x t qy x jk c y x U ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'=∞∞-⎰⎰ （3）物在透镜后方()()()0000000022exp ,2exp ,dy dx d q y y x x jk y x t d q y x jk c y x U ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+'=∞∞-⎰⎰ 4·1希尔伯特变换可看成是一个线性平移不变系统，该系统的脉冲响应为t t h π1)(-= 而 )()()(t u t j t t u r *⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=πδ脉冲响应对应的传递函数为()()νπνn j t F H sg 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=4·2互相干函数时间的平均值⎰-∞→=TTT dt t f Tt f )(21lim)(光场的互相干函数())(,),(),(),(12**2*12211ττΓ=+--t P u t P u t t P u t t P u *＝光场的自相干函数)(),(),(111*1ττΓ+＝t P u t P u复相干度()()()()()21122/122111212]00[I I τττγΓ=ΓΓΓ=Q 点的光强为()()()()(){}τγ122121Re 2)(I Q I Q I Q I Q I Q ++=干涉条纹的可见度为min ma x m i n m a x I I I I +-=V ()()()()()τγ1221212Q I Q I Q I Q I +=Imax 和Imin 是Q 点附近干涉条纹的极大值和极小值()()()()()()()()Q I Q I Q I Q I I Q I Q I Q I Q I I 2121min 2121max 22-+=++=光源的光谱密度分布 ()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→∞→2T 2T2*,lim ,,lim v P v P v P v T T TTT U U UG相干时间vc ∆=1τ 相干长度c c c l τ= 时间延迟t ＝2h/c4·3确定像点坐标：i z 为正表示发散球面波，i z 为负表示会聚球面波1012121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±=z z z z r p i λλλλ p pi r i i i x z zx z z x z z x +±=2120012λλλλp pi r i i i y z z y z z y z z y +±=2120120λλλλ4.4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-±-⎰∞∞-A B AC A dx C Bx Ax 22exp 2exp π积分公式：4·5 范西泰特——策尼克定理()()()()[]()()()()βαβαβαβαλπβαψd d I d d y x z j I j y x I y x I y xy x y xy x J u ,2exp ,exp ,,,;,,;,221122112211∞∞-∞∞-⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆-==4·6 傅里叶透镜的截止频率、空间带宽积和视场 1. 截止频率 传播方向角u 最大为 ()()fD D fD D u 22211-=-≈相应的空间频率 f D D uuλλλξ2sin 1-=≈=传播方向角u 最小为 ()()fD D f D D v 22211+=+≈相应的空间频率 fD D v vλλλξ2sin 1+=≈=2.空间带宽积δξξ单频线宽频带宽度信息容道∆=NfD D λξξ12-==∆11D =δξ SW N =∆=δξξSW 就是空间带宽积3.视场 21DD =4正弦条件 ηλf u f h ==sin。
信息光学总复习
1 k 2 2 U ( x, y, z ) exp( jkz) exp j ( x y ) jz 2z x y U ( x0 , y0 ,0) f x , f y z z
除了一个与传播距离z及观察面坐标有关的位相因子以外,在 给定距离z的平面上衍射场的分布正比于衍射屏透射光场的傅 里叶变换, 其振幅及变换的尺度与距离z有关. 衍射图样的光强分布:正比于孔径透射函数的功率谱:
对于中心对称的光瞳(光瞳函数为实偶函数), OTF=MTF. 像的调制度 V的定义: IM : 最大光强; Im : 最小光强 由于|MTF|<|MTF(0,0)|=1, 所以成像后的对比度一定下降。
空频为f0 ,调制度为m的余弦条纹，经过非相干成像系统后,成为 空频f0 ,调制度为 m|OTF|fx=f0的余弦条纹. 这也是OTF的物理意义
二维傅里叶变换
函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有 有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数
F ( f x , f y ) f ( x, y) exp[ j 2 ( f x x f y y)dxdy
为函数f(x,y)的傅里叶变换, 记作: F(fx,fy)= {f(x,y)}=F.T.[f(x,y)], 或 f(x,y) F.T. F(fx,fy) f(x,y): 原函数, F(fx,fy)是f(x,y)的频谱函数 F(fx,fy)一般是复函数, F(fx,fy) =A(fx,fy)e jf (fx,fy)
Hc 与系统结构 参数的关系:
H c f x , f y P di f x , di f y
对于实际光学系统，有一个由光瞳大小决定的有限 通频带。比例变化(difx, dify)决定了截止频率f0.
信息光学(1)02-常用函数、傅立叶变换;03-相关、卷积、线性系统、二维光场-66精讲
傅里叶变换的意义
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种 看待问题的角度：一个连续的信号可以看作是一个个 小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成 原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 时阈信号：将信号从时间角度的分割和叠加。
傅里叶变换：将信号从频率的角度叠加。
傅里叶变换的意义
傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波 （或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可 以合成任何所需要的信号。
逆变换
f x, y
F ( , ) exp j 2 ( x y)d d
把非周期函数分解为复指数函数 在整个连续频率区间上的积分和
极坐标下的傅里叶变换
G( , ) g (r , )
2 0 0 2
rg (r , ) exp[ j 2 r cos( )]drd
信 息 光 学
南京邮电大学 光电工程学院
几个常用非初等函数
矩形函数（ Rectangle function ）
x x0 1 1 x x0 1, x 1, rect( x) ) a 2 2 , 标准型 : rect( a 其它 0, 其它 0,
特点: rect(0)=1, 矩形宽度=1，矩形面积=1, 偶函数
n
exp( j 2 nx)
comb x comb( )
原函数
缝函数
频谱函数
asinc( af )
absinc(af x )sinc(bf x )
aJ 1 ( 2a f x f y )
2 2
傅 里 叶 变 换 对
二维矩形函数
x2 y2 1 ) 圆函数 circ( a 0
信息光学 1、常用函数
信息光学信息光学（傅立叶光学）是综合性大学、工科院校和高等师范院校近代光学、信息光学、激光、光电子等专业研究生和大学高年级的必修课，它是从事光学和光电子领域科学研究和产品开发人员必须的理论基础。
其主要内容一般包括傅立叶光学、标量衍射理论、透镜的性质、部分相干光理论、光学全息及光信息处理等。
限于本课程的课时限制，我们准备主要讲授傅立叶光学、透镜性质、标量衍射理论、部分相干光理论的内容本课程的主要内容讲授拟分八章。
第一章：数学预备知识；第二章：二维傅立叶分析；第三章：衍射理论基础；第四章：菲涅耳衍射、夫琅和费衍射；第五章：透镜的傅立叶变换特性与成象性质；第六章：成象光学系统的传递函数；第七章：部分相干光理论；主要参考书①黄婉云，傅立叶光学教程，北师大出版社，1984②羊国光，宋菲君，高等物理光学，中国科大出版社，1991③J. W. Goodman, 詹达三译，傅立叶光学导论，科学出版社，1976④朱自强等，现代光学教程，四川大学出版社，1990⑤卞松玲等，傅立叶光学，兵器工业出版社，⑥蒋秀明等，高等光学，上海交大出版社⑦M. 波恩，E. 沃耳夫，光学原理，科学出版社，1978⑧吕乃光等，傅立叶光学基本概念和习题⑨谢建平等，近代光学基础，中国科技大学出版社，1990第一章：数学预备知识为了方便后面的学习，我们复习一下有关的数学知识。
§1-1 几个常用函数一、 矩形函数（rectangle function ）1、一维矩形函数表达式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤-=-21||021||1)(rect 000a x x a x x a x x其函数图形为：当x 0=0，a =1时，矩形函数为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=21||021||1)(rect x x x [此时rect(x )=rect(-x )]其图形为2、二维矩形函数表达式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-≤-≤-=-⋅-21||,21||021||,21||1)()(000000b y y a x x b y y a x x b y y rect a x x rect其函数图形为：二维矩形函数可以用来描述屏上矩形孔的透过系数。
1-3卷积(16)
§1. 如果进行相关运算的是同一个函数g(x,y)，则称为自 2 相关运算。 自相关函数的定义为
g(x,y)＝g(x,y)☆g(x,y)
g * ( x, y ) g ( , )dd
∞
相关运算应注意两个函数的顺序，以及哪个函数取复共轭。 *有书定义如 下，符号顺 序不同
卷积的两个效应
展宽: 卷积的宽度等于被卷积函数的宽度 之和. 平滑:被卷积函数本身的起伏变的平滑. 扫描:可以看成一个函数 h( x ) 对另一 个函数的扫描 f ( )
第三节
一、相关的定义
相
关
§1. 2
函数g(x,y)和h(x,y)的相关运算用符号g(x,y)☆h(x,y)表 示，记为γ gh(x,y),并定义为
§1. 2
分配律Distributive Property
c1 f ( x) c2 g( x) h( x) c1 f ( x) h( x) c2 g( x) h( x)
This property is also called the linearity property of convolution
for any a and b such that
a x0 b
Extend the limits of integration and use that fact that the delta function is an even function to write:
f ( )δ( x )d f ( x)
f ( x) δ( x) f ( x)
Properties of Convolution
Definition Commutative Distributive Associative Shift Invariance Scaling Identity Area
信息光学
例：
a x 0
rect
x rect rect a
x a
x x rect a a
x
a
2
d a x a 1 a a
2
x
0 x a
rect
2 x x x rect d a x a 1 a a a x a
现，光学系统的成像过程是二次傅里叶变换的过程。
一幅图像，可以看成是一个平面光场分布。用傅里叶分析(变换） 的观点，可以把任何二维平面(图像)上的任何复杂光场分布看成是各种 空间频率的正弦分布光场迭加的结果。 因此，可把光学系统成像过程归结为对不同空间频率正弦光场分布 的成像特性。图像（空域）和它的付里叶变换频谱（频域）有着对应的 关系，只要知道其中的一个信息，就等于知道了另一个。 进一步，根据需要，可以对任一个光场平面从空域和频域两个方 面来分析，以全面理解光的分布性质。
常用的傅里叶变换对
傅里叶变换应用举例：
卷积的定义： 函数f（x)和h(x),其卷积运算用符号f(x)* h(x)表示,定义为如 下积分：
卷积积分操作：将曲线h()绕纵轴翻转180°便得到h(-)曲线，然后对 于一个x值，只要将h(-)沿x轴平移x便得到h(x-)曲线，最后计算不同 的x被积函数f( )*h(x-)所对应的曲线与横坐标所围成的面积。
第一章 线性光学系统
本章主要介绍信息光学的数学基础。 1、常用函数及其性质 2、傅里叶变换 3、卷积和相关 4、线性系统性质
1、常用函数及其性质
2、傅里叶变换
“信息光学”来自于早期的“傅里叶变换光学”，主要是因为人们发
信息光学1.3 卷积和相关解析
2、互相关的卷积表达式
互相关与卷积是不同的两种运算，参与互相关的两个函数 都不翻转，但是我们可以把它表示成卷积的形式。
R f ( x, y) g( , )dd
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
fg
f
( x
),( y
) g( , )dd
f (x ', y ')g(x x ', y y ')dx 'dy '
式中 f﹡是函数 f 的复共轭， ★号表示相关运算。
令 x y
我们可得互相关定义的另一种形式
R f ( , ) g( x, y)dd
fg
相关的几何意义（位移，相乘，积分）
g( )
f ( ) 位移
相乘 f ( x)g()
x
积分区域
x
f (x)☆g(x)
阴影部分面积
h( x)
1
x a 0a
22
f (x)
0
x
f ( )
h (x )
0 x0
g (x) f(x)h(x)
g( x0 )
0 x0
x
4、卷积运算的基本性质 （1）分配律
g( x , y ) f ( x , y ) h( x , y )
g( x , y ) h( x , y ) f ( x , y ) h( x , y )
x f ( )h( x )d x
0
2
(2) 1 x 2
1 x 1
f ( )h( x )d
1 2
(1
(
x
1)
(3) x 2
1 x 2
f ( )h( x )d 0
f () h(x - )
信息光学习题答案及解析
信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dxdx g =（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g（5）()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。
1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明：左边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时，左右两边相等。
1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。
于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x)。
当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示， ⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示， ⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(xx x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。
信息光学常用函数傅立叶变换相关卷积线性系统二维光场
1807年－《热的传播》推导出热传导方程 ，提出任一函数 都可以展成三角函数的无穷级数。
1822年－《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固 体中分布传播问题
频域
在你的理解中，一段音乐是什么呢？
时域：
频域：
傅里叶级数
傅里叶级数
周期为 1 的函数 f (t)可以展开为三角级数
aJ1( 2a f x 2 f y 2 ) fx2 fy2
(
f
)
1( 2
f
f0)
1( 2
f
f0)
高斯函数 g(x) exp(ax2 )
函数 (x)
1
常数
1
傅里叶变换的意义
三角形函数
原型
:
tri ( x)
1
0,
x,
x 1 其它 ,
标准型
:
tri
(
x
a
x0
)
1 0,
x x0 , a
x x0 1 a 其它
tri(x) 1
1
-1 0 1 x
-a+x0
x x0 a+x0
底宽: 2 最大值：tri(0)=1 曲线下面积: S=1
底宽:2|a|, 面积: S= |a|
x
曲线下面积 S=1； 0点位置 x=n (n=1, 2, 3…)等间隔； 偶函数
Sinc 函数
二维sinc函数:
sinc(x)sinc(y)
Sinc函数的重要性: 数学上,sinc函数和rect函数互为傅里叶变换
物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;
单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数
傅里叶变换
信息光学卷积定理的光学摸拟.pdf
实验三卷积定理的光学摸拟[实验目的]形象化地演示两个函数的卷积结果，巩固和加深对卷积和卷积定理的理解.[实验光路]这就是卷积定理。
它表明：两个函数乘积的傅里叶变换，等于它们各自傅里叶变换的卷积；反之，两个函数卷积的傅里叶变换，等于它们各自傅里叶变换的乘积．用光学方法求两个函数的卷积时，可以先将待卷积的两个函数的傅里叶逆变换制成透明片，设其透射系数分别为g1(x．y)和g2(x,y)。
将这两张透明片重叠置于图3-62的输入面T内，用单色平行光照明，透射光就是g1和g2的乘积，在频谱内上就得到原来两个函数的卷积，即G1*G z，卷积本身的概念较为抽象．卷积运算比较复杂，其运算过程包括反转、、平移．、相乘和积分四个步骤。
为了鲜明形象地演示卷积定理，本实验采用两个图形较为简单的输入图象，即采用两块空间频率不同的正交光栅作为目标。
它们的频谱都是一些规则的二维点阵，只是空间频率高的正变光栅，其频谱分得开一些。
二者卷积的结果并不是两个图形的几何叠加，而是将一个图形反转之后加到另一个图形的每一个点上。
这样就生动地显示出卷积的过程和几何意义。
由于光栅的空间频率较高，在图3—68所示的实验光路巾采用未经扩束的激光细光束垂直照明，存足够远的屏幕上就可得到=光栅傅里叶频谱的卷积图形。
[实验步骤]1预先制作两块空间频率分别为10c／mm200c／mm的正交光栅g1和制作光路和方法参见实验3．将gi和g2分别单独置入图3—68(a)所示的光路中，观察它们的频谱G L和G z。
G1和G z都是由光点组成的二维点阵，G，的光点比较集中，G z的光点分得开一些。
2．将正交光栅g，和g2叠合在一起．用未经扩束的激光细光束垂直照明，在远处屏幕上观察卷积结果，并分别与每一块光栅各自的频谱G1和Gz作出较。
结果如图3—68(6)所示。
’3以照明激光束为轴线，旋转空间频率较低的光栅g1，观察卷积图形的变化情况。
结果是：叠加在G z图形每一个光点上的G1图形(实际上是反转的G1图形，由于Gt图形左右对称．反转后图形不变)，各自绕其中心旋转，类似地球的自转。
第1章信息光学数学基础剖析
|x| >1; g(x) = 0
g(x) 1
x
-1< x <0; g(x) = 1[x+1/2-(-1/2)]=1+x 0 < x <1; g(x) = 1[1/2-(x-1/2)]= 1- x
-1 0 1
rect(x)*rect(x) = tri(x)
卷积 概念的引入：
a
回到前面的例题
f (x )
)
1,
0,
x2 y2 1 其它
circ函数是不可分离变量的二元函数
描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率
a 0
circ
x2 y2
a
注意
以上定义的函数，其宗量均无量纲。 在处理 实际问题时，要根据所取的单位采用适当的缩 放因子。
例: 以 rect(x) 代表单缝。若x单位为cm， 则 rect(x) 代表宽度为1cm 的单缝。若x单位为 mm，则 rect(x/10) 代表宽度为1cm 的单缝。
cos(2pf0x )]dx
2a
sin[2pf0 (x
a 2)] - sin[2pf0 (x 2pf0
a 2)]
2a
cos(2pf 0 x) sin(pf 0 a) pf0
a2
sin
c(
f0a) cos(2pf0x)
§1-3 卷积
四、性质 1. 卷积满足交换律
f(x)*h(x) = h (x)* f (x)
rect(t) 1
rect(t) 1
t
t
-1/2 0 1/2
-1/2 0 1/2
2.将rect(t)折叠后不变;
1 rect(t)
3.将一个rect(-t)移位至给定的x,
信息光学教程全书习题及参考答案
理想成像系统、光波在自由空间的传播都具有线性光学系统的性质。 输入函数在输入面上的平移仅对应输出函数在输出面上的相应平移，即系统传输特性满 足线性平移不变的光学系统称为线性不变光学系统。用公式可以表示为：
L{ } a1 f1 (x − x1, y − y1 ) + a2 f 2 (x − x2 , y − y2 ) = a1g1 (ξ − ξ1,η −η1 ) + a2 g 2 (ξ − ξ2 ,η −η2 )
(x,
y)
=
exp( jkd0
jλd0
)∞ ∞
−∞−∞
U0
(x0
,
y0
)exp⎨⎧
⎩
j
k 2d0
(x0 − x)2 + (y0 − y)2
⎫ ⎬dx0dy0 ⎭
∫ ∫ ( ) [ ] U2
(x,
y)
=
exp( jkd1
jλd1
)∞ ∞
−∞−∞
U1
(x1,
y1
)
exp⎢⎡− ⎣
jk 2 f1
x12 + y12
−∞
a
比较以上两式有δ (at) = 1 δ (t) 。 a
（2）
按二维 δ 函数的定义：
∞∞
∫ ∫ δ (x, y)dxdy = 1
−∞ −∞
∞
∞
= ∫ δ (x)dx ∫ δ (y)dy
−∞
−∞
∞
∞
= ab ∫ δ (ax)dx ∫ δ (by)dy
−∞
−∞
∞∞
= ab ∫ ∫ δ (ax,by)dxdy
信息光学1
Λ(x/a) 1
二维三角形函数的定义为：
－a
o
a
x
x y x y x y 1 1 , a b a b a b 0
x y , 1 a b
其他
符号函数在光学中可 用来表示一个光瞳为 矩形的非相干成像系 统的光学传递函数。
x 1 rect a 0
其中a为正数。
x a 2 其他
rect(x/a) 1
－a/2
o
a/2
x
矩形函数又称为门函数、窗口函数。
一维矩形函数在光学中常常表示一个无限长狭缝。 二维矩形函数定义为：
x y x y 1 rect , rect rect a b a b 0
δ(x) 1
( x, y ) 0
x 0, y 0
( x, y )dxdy 1
o
x
这表明，除原点以外， δ函数的值恒为0，而在原点附件无 限小的范围内，函数积分为1。 δ函数又称为脉冲函数。
2. δ函数的物理意义 在工程技术中经常用δ函数表示质点、点电荷、点光源， 或其他一些在时间或空间上比较集中的物理量。 当屏移动到焦平面上时，屏上 照度分布为：
0 0 0 0
2）可分离变量
( x x0 , y y0 ) ( x x0 ) ( y y0 )
3）乘法性质
f ( x, y) ( x x0 , y y0 ) f ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
4）坐标缩放
1 (ax, by) ( x, y ) ab
信息光学 复习
1 2 1 AB 2 2 r (2 ) AB r ( ) 2 2 2
AB 2rsin
r 2 r 2sincos
1 透镜的傅里叶变换特性 2 光学成像系统的一般分析
3 衍射受限相干成像系统的传递函数
4 衍射受限非相干成像系统的传递函数
信息光学
理学院
第5章 光学全息照相
1、全息照相的基本原理 2、全息照相的特点及分类 3、菲涅尔基元全息图、彩虹全息图
第6章 空间滤波
1、阿贝成像理论 2、空间频率滤波系统（4f 系统） 3、二元滤波器
2
cos
d i f x
D
( f x ,0) r (2 2sincos )
第三章 光学成像系统的频率特性
信息光学
数理学院
( f x ,0) r 2 (2 2sincos ) 2 光瞳总面积： 0 r
( fx, fy ) Ho ( fx , f y ) 0
d i f x cos D
2
( sincos )
由圆对称性可知，系统的截止 频率在一切方向均为：
D 0 f ox f oy d i
第三章 光学成像系统的频率特性
2-5夫朗和费衍射计算实例
2-6菲涅耳衍射计算实例
信息光学
数理学院
（2）对于S1面，基尔霍夫假设：
① 在Σ上， 和U / n 的值由入射波决定，与不存在屏 U
S2
时的值完全相同。
②在S1面上位于屏幕几何阴影区内的那一 部分，有U=0, U / n 0 。
信息光学 中常用函数
④朱自强等，现代光学教程，四川大学出版社，1990
⑤卞松玲等，傅立叶光学，兵器工业出版社，
⑥蒋秀明等，高等光学，上海交大出版社
⑦M.波恩，E.沃耳夫，光学原理，科学出版社，1978
⑧吕乃光等，傅立叶光学基本概念和习题
⑨谢建平等，近代光学基础，中国科技大学出版社，1990
2、卷积的性质
1）卷积符合交换律
2）卷积满足分配律
3）卷积的位移性质
若f(x,y)*g(x,y)=h(x,y)，则f(x-x0,y-y0)*g(x,y)=h(x-x0,y-y0) (证略)
4）结合律
3、相关函数的定义
§1-4Fourier级数
Fourier分析方法是研究振动和波动现象的重要工具。其在物理上说明：任意波形总能进行谱分解——即表示为不同频率、不同振幅的简谐波的叠加。上世纪六十年代发展了快速Fourier变换（FFT），为Fourier分析在实际中广泛应用创造了条件。现在的有关数值计算程序，如Fortran、Matlab、Mathcad等都加挂了FFT程序模块，为实际应用提供了方便。
对一个非周期函数，可以看成是某一周期函数T→∞时转化而来（如图），即
这样非周期函数f(x)的傅立叶级数就可以写为
当n取一切整数时， 所对应的点便能均匀地分布在整个数轴上。记两点之间的距离为
则
因为T→∞， →0，而n可以取一切整数，因此 可以取任何数，就象一个变量一样，我们记为 =ω，根据积分的定义，则上述傅立叶级数可以写为
常用的傅立叶变换对见表1-2（P.35）。下面给出几个傅立叶变换的例子。
，
所以
从而
由于上式与φ无关，所以圆对称函数 的傅立叶变换 也是圆对称函数。这一变换使用频繁，我们给它一个专门的名称——傅立叶-贝塞尔变换，记为 。所以
信息光学部分章节小结
信息光学部分章节小结第一部分：数学基础一 几个常用函数（1）矩形函数：该二维矩形函数可用来描述无限大不透明屏上矩形孔的透过率。
（a>0,b>0）（2）sinc 函数：sin by b y a x a x b y c a x c b y a x /)/sin(/)/sin()(sin )(sin ),ππππ∙=∙= (a>0,b>0) (3)阶跃函数： （4）符号函数：（5）三角函数：二维三角函数可用来表示一个光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数 （6）高斯函数：（7）圆域函数：（8）δ函数： ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=∙=others b y a x by rect a x rect b y a x rect ,02,2,1)()(),(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<=0102100)(a x a x a x a x step ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-=>=010001)sgn(a x a x a x a x ⎪⎩⎪⎨⎧<--=ΛΛ=Λothers b y a x b y a x b y a x b y a x ,01,),1)(1()()(),(0,]})()[(exp{),(22>+-=b a b y a x b y a x Gauss πothers r y x r r y x circ r r circ 01{)()(0220220≤+==+= 1),( 20,),( 1000000⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=--︒⎩⎨⎧==∞=--︒⎰⎰∞+∞-dxdy y y x x others y y x x y y x x δδ（9）comb 函数：∑--==nm ny y mx x y x y y comb x x comb y y x x comb ,00000000),()()(),(δ 二 几种重要的数学运算1 卷积：卷积的几个重要性质： （1） 线性性质：{),(),(),(),(),()},(),(y x g y x bh y x g y x af y x g y x bh y x af *+*=*+（2） 卷积符合交换律：),(),(),(),(y x f y x h y x h y x f *=*（3） 卷积符合结合律：[][]),(),(),(),(),(),(y x g y x h y x f y x g y x h y x f **=**（4） 卷积的坐标缩放：若),(),(),(y x g y x h y x f =*，则),(1),(),(by ax g ab by ax h by ax f =* （a,b 均不等于0） （5） 卷积位移不变性：若),(),(),(),(y x f y x h y x h y x f *=*，则),(),(),(),(),(000000y y x x g y y x x h y x f y x h y y x x f --=--*=*--（6） 函数),(y x f 与δ函数的卷积：),(),(),(0000y y x x f y y x x y x f --=--*δ2 相关互相关：自相关：3 傅立叶变换 傅立叶变换对：正变换 ⎰⎰+∞∞-+-=dxdy y f x f j y x f f f F y x y x )(2exp[),(),(π 逆变换 ⎰⎰+∞∞-+=y x y x y x df df y f x f j f f F y x f )(2exp[),(),(π频谱函数),(y x f f F 一般是复函数，因此：[]),(exp ),(),(y x y x y x f f i f f F f f F φ= 傅立叶变换的重要性质：（1）线性 a,b 为任意常数ηξηξηξd d y x h f y x h y x f y x g ),(),(),(),(),(--=*=⎰+∞∞-),(),(),(),(),(y x g y x f d d y x g f y x e fg ⊗=++=⎰⎰*ηξηξηξηξηξηξηξηξηξd d f y x f d d y x f f y x f y x f y x e ff ),(),(),(),(),(),(),(**⎰⎰⎰⎰--=++=⊗=),(),(y x bg y x af +⇔(,)(,)x y x y aF f f bG f f +（2）缩放定理 （3）位移定理 [])(2ex p ),(),(b f a f i f f F b y a x f y x y x +±⇔±±π),()](2exp[),(ηξηξπ y x f f F y x i y x f ⇔+±（4）卷积定理),(),(),(),(),(),(),(),(y x y x y x y x f f G f f F y x g y x f f f G f f F y x g y x f *⇔⇔* （5）互相关定理),(),(),(),(),(),(),(),(y x y x y x y x f f G f f F y x g y x f f f G f f F y x g y x f ⊗⇔⇔⊗***由互相关定理可以推导出自相关定理。
【信息光学课件】第一章 基础-aa PDF版
2 T /2 1 a0 = ∫ f ( x ) dx − T / 2 T 1 2π nx 2 T /2 ) dx an = ∫ f ( x)cos( − T T /2 T 1 2π nx 2 T /2 ) dx bn = ∫ f ( x)sin( − T / 2 T T
δ( x )
δ( x − x0 ) + δ ( x + x0 )
− x0
x0
表示高度集中的物理量，如质点、点电荷、点光源、瞬时电脉冲
（2）普通函数序列极限形式的定义
lim g n ( x) δ ( x) = n →∞ lim = g n ( x) 0 n →∞ ∞ g ( x)dx 1 = k ∫ −∞
δ
由此我们可以认为，今后涉及到的函数 都存在着相应的傅立叶变换，只有狭义 和广义之分罢了。
2. 极坐标系中的二维傅里叶变换
（1）定义式：
设 ( x, y ) 平面的极坐标为 (r ,θ ) ，频率平面 ( µ ,ν ) 的极坐标为 ( ρ , ϕ ) ， , dxdy rdrdθ x r= = cosθ , y rsinθ = 则有： , dµ dν ρ dρ dϕ = µ ρ = = cosϕ , ν ρ sinϕ 代入直角坐标系中的傅里叶变换定义式，并令
x ≤1 x >1
-1 1
tri(x)
或者
x 0 1
−1 ≤ x ≤ 0 0 ≤ x ≤1 其他
曲线下面积为1，表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数
（4）符号函数
记为：
sgn ( x )
信息光学-1.2脉冲函数1.3卷积1.4相关
[v(x) * w(x)]*h(x) = [v(x) * h(x)] *w(x)= v(x)*[w(x)* h(x)]
4. 卷积的位移不变性 Shift invariance 若f(x)*h(x) = g(x), 则 f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) 或 f(x) * h(x - x0) = g(x - x0) 5. 卷积的缩放性质 Scaling 若f(x)*h(x) = g(x), 则
x x x f h b g b b b
五、包含脉冲函数的卷积
根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质, 有:
f ( x) d ( x) f (x )d ( x x )dx f ( x)
即任意函数与d(x) 卷积后不变 利用卷积的位移不变性可得: f(x)*d(x - x0) = f (x - x0)
定义3: 设任意函数f(x)在x = 0点连续, 则
d ( x) 0, x 0 d ( x)f ( x)dx f (0) -
f(x)称为检验函数. d -函数的图示:
1 0
d ( x)
x
d (x,y)
0
1
y
x
二、性质
1. 筛选性质 sifting (由定义3直接可证) 设f(x)在x0点连续, 则 f ( x)d ( x x )dx f ( x ) 0 0
物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)
f(x) x f(0)h(x) f(x 1)h(x-x 1)
成像
f(x 2)h(x-x 2)
x1 0
x2
x
x
像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以 后的结果. 需用卷积运算来描述
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学习目标： – 了解卷积运算的定义. – 熟练掌握卷积运算. – 了解卷积的物理意义.
2016/10/8
– 01 卷积的定义 – 02 卷积的物理意义 – 03 卷积的性质 – 04 卷积的matlab实现
为什么要引入卷积运算？
物
成像系统
像
设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)
3）线性/分配律
a、b ——任意常数
[af (x, y) bh(x, y)] g(x, y) af (x, y) g(x, y) bh(x, y) g(x, y)
f (x, y) [ah(x, y) bg(x, y)] af (x, y) h(x, y) bf (x, y) g(x, y)
卷积结果
y (t )
15 8 9 8
3 -1 0 1
2
2
t 2
卷积的 两个效应
展宽效应：卷积非零值 范围等于被卷积两函数 的非零值范围之和。
平滑效应
卷积运算实例1: 计算rect(x)*rect(x)
解：1.用哑元画出 二个 rect()
2.将rect()折叠后不变;
rect() 1
2 y2 l / 2
[ (x+d/2) - (x-d/2)]
卷积的运算实例2
1） rect( x ) rect( x )
a
a
2）设有两函数分别为 f (x) (x)step(x) ，
h(x) rect( x 1) 求：g(x)=f (x) h(x) 。 2
f1( ) f2(t ) 2
1 0.5
-1 0 t 1 1 t 1
2
积分
f2(t ) 2 f1( )
1
0.5 -1 0
1 t 1 t 1
2
4.二者相乘;
5.乘积函数曲线下面积的值即为g(x).
原函数
f1 (t )
f2 (t) 2
11
2
-1
0
t 1
1
1 0 2
t 1
令 x-x = x’
f (x ')h(x x ')d (x ')
f (x ')h(x x ')dx '
f (x ')h(x x ')dx ' g(x)
2） 结合律
[f(x,y) h1(x,y)] h2(x,y)=f(x,y) [h1(x,y) h2(x,y)]
2 d 2 3
(x 3)2 3
3 3 x
3
3
x3
最后结果：
0
x 1
(
x
1) 2
3 f (x) h(x) 3
-1 x 2 2 x3
3
(
x
3) 2
3 x6
3
0
x6
积分限确定：左交、右交、横跨
02. 卷积的物理意义
3)、计算如图所示两函数的一维卷积。
y
y
1
1
O
1 x 1 O
x
f (x )h(x x )dx
*：代表卷积运算
—— g(x)是f(x)与h(x)两个函数共同作用的结果.
—— 对于给定的x,第一个函数的贡献是f(x), 第二个函数的贡献是h(x- x)， 需要对任何可能的x求和.
二维卷积: g(x, y) f (x, y) h(x, y)
rect(x)*rect(x) = tri(x)
卷积运算实例2 ——已知函数
1）
f
(x)
2
3
x
0
0 x3 其他
1 -1 x 3
h(x) 0
其他
求二者卷积运算结果
1）变量替换、反转h(x)、并平移x，若二者无交叠
2）h(a)平移量为x，若二者出现交叠，分下面几种情况讨论 第一区间： -1 x 2
4） 缩放性质 设 f(x,y) h(x,y)=g(x,y)
(a 0, b 0)
f(ax,by) h(ax,by)= 1 g(ax,by) ab
5）位移不变性 f (x,y) h(x,y)=g(x,y)
则 f (x x0, y y0 ) h(x,y) = f (x, y) h(x x0, y y0 ) = g(x x0, y y0)
f ( ) h(x )
x+1 2 d
2
x +1
( x+1)2
03
3
3
0
第二区间： 2 x 3
f ( ) h(x )
3 2 d 2 3 3
03
3
0
第三区间： 3 x 6
3
f ( ) h(x )
6）函数与 函数的卷积
脉冲函数的两个性质：1.偶函数 2. 筛选性
g(x, y) (x－x0,y－y0 ) = g(x ,) (x－x0－x ,y－y0－)dx d - = g(x ,) (x－(x－x0),－(y－y0))dx d -
g(x－x0,y－y0)
f1 (t )
11
2
-1
0
t 1
函数1
f2 (t) 2
1
1 0 2
t 1
函数2
置换变量
f1( )
f2 ( ) 2
反转
11
1
2
-1 0 1
1 0 1
-1
2
f2( ) 2 1
01
2
平移
f2(t )
2
f1( ) 1
t 1 t 1 -1 0 2
1
—— 卷积运算步骤:
f(x)
x x1 0 x2
成像
f(0)h(x) f(x 1)h(x-x 1)
f(x 2)h(x-x 2) x
像光场分布是物平面上各点产生的像分布叠加以后的结
果.
—— 需用卷积运算来描述
01. 卷积的定义 两个复函数 f (x) 与 h(x) 有界且可积
一维卷积： g(x) f (x) h(x)
rect(-) 1
-1/2 0 1/2
-1/2 0 1/2
3.将一个rect(-)移位至给定的x, rect[-( -x)]= rect(x - );
4.二者相乘;乘积曲线下面积的值 即为g(x).
1 rect()
-1/2
0 1/2
x-1/2
x x+1/2
g(x) 1
x
-1
0
1
|x| >1; g(x) = 0 -1< x <0; g(x) = 1[x+1/2-(-1/2)]=1+x 0 < x <1; g(x) = 1[1/2-( x-1/2)]= 1- x
—— 任何函数与脉冲函数卷积还是它本身.
——任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平移到脉冲所在的位置.
f(x)与脉冲阵列的卷积 可在每个脉冲位置产生f(x)的函数波形, 用于描述各种重复性的结构.
a
a
a
* b
= b
例3：利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的
透过率。若在其中任一圆孔上嵌入pi位相板，透过率怎样
1.用哑元替换变量画出函数.
2.将h(t)折叠成h(-t). 3.将h(-t)移位至给定的x, h[-(t -x)]= h(x -t);
f2(t ) 2
f1( ) 1
0.5
t 1 -1 t 1 0 1 2
平移
f2(t ) 2
1
f1( )
0.5
-1
t 1
0 t
1
1
2
相乘
f (x,)h(x x, y )dxd
—— 图解法求解卷积
卷积运算过程：g(x) f (x) h(x) f (x )h(x x )dx
置
换
反
平
相
积
变
转
移
乘
分
量
xx
h(x ) h(x )
x x x
f (x ) h(x x ) f (x )h(x x )dx
—— 卷积的物理意义： 光学系统像平面上的光强分布是物的光强分布与单
位强度点光源对应的像强度分布的卷积。
f (x, y)
h(x, y)
f (x, y) h(x, y)
03. 卷积的性质
1）交换律
f(x) h(x)=h(x) f(x)=g(x)
证明: h(x) f (x) h(x ) f (x x )dx f (x x )h(x )dx
变化？
y
l x
d
y
l
d t (x, y)
y
y
x= l
x
x
*
0
d
=
* circ x2 y2 l / 2
[ (x+d/2) + (x-d/2 ) ]
位相板:即透过率 = exp(j ) = -1
此时：输出=输入 exp(j )=-输入
因此，若右边园孔上加 位相板, 则
问题：考察一线光源经过狭缝后的夫琅和费衍射