信息光学基础1-3卷积

= * t (x, y)
circ x2 y2 l / 2
[ (x+d/2) - (x-d/2)]
卷积的运算实例2
1） rect( x ) rect( x )
a
a
2）设有两函数分别为 f (x) (x)step(x) ，
h(x) rect( x 1) 求：g(x)=f (x) h(x) 。 2
卷积结果
y (t )
15 8 9 8
3 -1 0 1
2
2
t 2
卷积的 两个效应
展宽效应：卷积非零值 范围等于被卷积两函数 的非零值范围之和。
平滑效应
卷积运算实例1: 计算rect(x)*rect(x)
解：1.用哑元画出 二个 rect()
2.将rect()折叠后不变;
rect() 1
03. 数学基础3： 卷积
学习目标： – 了解卷积运算的定义. – 熟练掌握卷积运算. – 了解卷积的物理意义.
2016/10/8
– 01 卷积的定义 – 02 卷积的物理意义 – 03 卷积的性质 – 04 卷积的matlab实现
为什么要引入卷积运算？
物
成像系统
像
设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)
4） 缩放性质 设 f(x,y) h(x,y)=g(x,y)
(a 0, b 0)
f(ax,by) h(ax,by)= 1 g(ax,by) ab
5）位移不变性 f (x,y) h(x,y)=g(x,y)
则 f (x x0, y y0 ) h(x,y) = f (x, y) h(x x0, y y0 ) = g(x x0, y y0)
—— 任何函数与脉冲函数卷积还是它本身.
——任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平移到脉冲所在的位置.
f(x)与脉冲阵列的卷积 可在每个脉冲位置产生f(x)的函数波形, 用于描述各种重复性的结构.
a
a
a
* b
= b
例3：利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的
透过率。若在其中任一圆孔上嵌入pi位相板，透过率怎样
2 d 2 3
(x 3)2 3

3 3 x
3
3
x3
最后结果：
0
x 1

(
x

1) 2
3 f (x) h(x) 3
-1 x 2 2 x3
3

(
x

3) 2
3 x6

3
0
x6
积分限确定：左交、右交、横跨
02. 卷积的物理意义
6）函数与 函数的卷积
脉冲函数的两个性质：1.偶函数 2. 筛选性

g(x, y) (x－x0,y－y0 ) = g(x ,) (x－x0－x ,y－y0－)dx d - = g(x ,) (x－(x－x0),－(y－y0))dx d -
g(x－x0,y－y0)

f (x )h(x x )dx
*：代表卷积运算
—— g(x)是f(x)与h(x)两个函数共同作用的结果.
—— 对于给定的x,第一个函数的贡献是f(x), 第二个函数的贡献是h(x- x)， 需要对任何可能的x求和.
二维卷积: g(x, y) f (x, y) h(x, y)
f(x)
x x1 0 x2
成像
f(0)h(x) f(x 1)h(x-x 1)
f(x 2)h(x-x 2) x
像光场分布是物平面上各点产生的像分布叠加以后的结
果.
—— 需用卷积运算来描述
01. 卷积的定义 两个复函数 f (x) 与 h(x) 有界且可积
一维卷积： g(x) f (x) h(x)
1.用哑元替换变量画出函数.
2.将h(t)折叠成h(-t). 3.将h(-t)移位至给定的x, h[-(t -x)]= h(x -t);
f2(t ) 2
f1( ) 1
0.5
t 1 -1 t 1 0 1 2
平移
f2(t ) 2
1
f1( )
0.5

-1
t 1
0 t
1
1
2
相乘
3)、计算如图所示两函数的一维卷积。
y
y
1
1
O
1 x 1 O
x

f (x,)h(x x, y )dxd
—— 图解法求解卷积

卷积运算过程：g(x) f (x) h(x) f (x )h(x x )dx
置
换
反
平
相
积
变
转
移
乘
分
量
xx
h(x ) h(x )
x x x

f (x ) h(x x ) f (x )h(x x )dx
f1 (t )
11
2
-1
0
t 1
函数1
f2 (t) 2
1
1 0 2
t 1
函数2
置换变量
f1( )
f2 ( ) 2
反转
11
1
2


-1 0 1
1 0 1
-1
2
f2( ) 2 1
01
2
平移
f2(t )
2
f1( ) 1
t 1 t 1 -1 0 2
1
—— 卷积运算步骤:
—— 卷积的物理意义： 光学系统像平面上的光强分布是物的光强分布与单
位强度点光源对应的像强度分布的卷积。
f (x, y)
h(x, y)
f (x, y) h(x, y)
03. 卷积的性质
1）交换律
f(x) h(x)=h(x) f(x)=g(x)


证明: h(x) f (x) h(x ) f (x x )dx f (x x )h(x )dx
f1( ) f2(t ) 2
1 0.5
-1 0 t 1 1 t 1
2
积分
f2(t ) 2 f1( )
1
0.5 -1 0
1 t 1 t 1
2
4.二者相乘;
5.乘积函数曲线下面积的值即为g(x).
原函数
f1 (t )
f2 (t) 2
11
2
-1
0
t 1
1
1 0 2
t 1
3）线性/分配律
a、b ——任意常数
[af (x, y) bh(x, y)] g(x, y) af (x, y) g(x, y) bh(x, y) g(x, y)
f (x, y) [ah(x, y) bg(x, y)] af (x, y) h(x, y) bf (x, y) g(x, y)

f ( ) h(x )
x+1 2 d
2

x +1

( x+1)2

03
3
3
0
第二区间： 2 x 3

f ( ) h(x )
3 2 d 2 3 3

03
3
0
第三区间： 3 x 6

3
f ( ) h(x )
rect(-) 1


-1/2 0 1/2
-1/2 0 1/2
3.将一个rect(-)移位至给定的x, rect[-( -x)]= rect(x - );
4.二者相乘;乘积曲线下面积的值 即为g(x).
1 rect()
-1/2
0 1/2
Βιβλιοθήκη Baidu

x-1/2
x x+1/2
g(x) 1
x
-1
0
1
|x| >1; g(x) = 0 -1< x <0; g(x) = 1[x+1/2-(-1/2)]=1+x 0 < x <1; g(x) = 1[1/2-( x-1/2)]= 1- x
问题：考察一线光源经过狭缝后的夫琅和费衍射
x0
L1
L2
xi P
O
y0
线光源 透镜 物平面
单缝
yi
透镜
像平面
a 缝宽
f 为会聚透镜L1,L2的焦距
x0 0 处的单位强度的点光源对应的像强度分布为：
P(xi ) sin c2 (axi / f )
x0 处的小段光源 I0(x0) 通过系统后的像强度分布为 Ii (xi ) I0 (x0 ) P(xi ) ——卷积运算
rect(x)*rect(x) = tri(x)
卷积运算实例2 ——已知函数
1）
f
(x)

2

3
x
0
0 x3 其他
1 -1 x 3
h(x) 0
其他
求二者卷积运算结果
1）变量替换、反转h(x)、并平移x，若二者无交叠
2）h(a)平移量为x，若二者出现交叠，分下面几种情况讨论 第一区间： -1 x 2


令 x-x = x’

f (x ')h(x x ')d (x ')
f (x ')h(x x ')dx '

f (x ')h(x x ')dx ' g(x)
2） 结合律
[f(x,y) h1(x,y)] h2(x,y)=f(x,y) [h1(x,y) h2(x,y)]
变化？
y
l x
d
y
l
d t (x, y)
y
y
x= l
x
x
*
0
d
=
* circ x2 y2 l / 2
[ (x+d/2) + (x-d/2 ) ]
位相板:即透过率 = exp(j ) = -1
此时：输出=输入 exp(j )=-输入
因此，若右边园孔上加 位相板, 则