五章导数和微分
《数学分析》考试大纲
《数学分析》考试大纲一、课程名称：数学分析二、适用专业: 数学与应用数学三、考试方法：闭卷考试四、考试时间：100分钟五、试卷结构：总分：100分，选择题15分，填空题15分，计算题40分，证明题30分。
六、参考书目：1、华东师范大学数学系编著，《数学分析》（上、下册），高等教育出版社，2010年第4版。
2、中国科学技术大学常庚哲史济怀编著，《数学分析教程》（上、下册），高等教育出版社，2003年第1版。
七、考试的基本要求：数学分析是数学与应用数学专业专升本入学考试中专业课考试内容，考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限、连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本方法。
应具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力，能运用所学知识正确拙推理证明，准确、简捷地计算。
能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决实际问题。
八、考试范围第一章实数集与函数（一）考核内容实数及其性质,绝对值与不等式。
区间与邻域，有界集与确界原理。
函数概念,函数的表示法。
函数的四则运算,复合函数,反函数,初等函数。
具有某些特性的函数：有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。
（二）考核知识点1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式；2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理；3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。
（三）考核要求1、了解实数域及性质；2、掌握几种不等式及应用；3、熟练掌握数域，上确界，下确界，确界原理；4、牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。
第二章数列极限（一）考核内容数列。
数列极限的定义,无穷小数列。
收敛数列性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则。
子列及子列定理。
第五章-微分方程
第五章 微分方程第一节 微分方程的基本概念 一、基本概念微分方程的定义：①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. 微分方程的阶、解与通解：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数)(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解.初始条件与特解：用未知函数与其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。
例1 课本294页 例1二、独立的任意常数线性相关与线性无关：设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 的任一x ，恒有0)()(2211=+x y k x y k成立，则称函数)(),(21x y x y 在区间),(b a 线性相关，否则称为线性无关.显然，函数)(),(21x y x y 线性相关的充分必要条件是)()(21x y x y 在区间),(b a 恒为常数. 如果)()(21x y x y 不恒为常数，则)(),(21x y x y 在区间),(b a 线性无关.独立的任意常数：在表达式)()(2211x y C x y C y += (1C ,2C 为任意常数) 中,1C ,2C 为独立的任意常数的充分必要条件为)(1x y ,)(2x y 线性无关.例2 课本297页 例4第二节 可分离变量的微分方程 一、定义形如)()(d d y g x f xy= 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x 的函数，另一个仅是y 的函数，即)(),(y g x f 分别是变量y x ,的已知连续函数.二、求解方法可分离变量的微分方程)()(d d y g x f xy=的求解方法,一般有如下两步: 第一步:分离变量 x x f y y g d )(d )(=， 第二步:两边积分 ⎰⎰=x x f y y g d )(d )(.[例1]求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解.解先合并dx 与dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得dx x dy y y 1112-=- 两端积分⎰⎰-=-dx x dy y y1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解.)1(122-=-x C y注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下,用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中.[例2] 已知 ,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10<<x 时，求).(x f解设,sin 2x y =则,21sin 212cos 2y x x -=-=.1sin 1sin cos sin tan 22222yyx x x x x -=-==所以原方程变为,121)(y y y y f -+-='即.112)(yy y f -+-=' 所以 =)(y f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y y 112dy 2y -=,)1ln(C y +-- 故 C x x x f +-+-=)]1ln([)(2).10(<<x第三节 线性微分方程 一、一阶线性微分方程定义 ：形如)()(d d x Q y x P xy=+. 的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中)(),(x Q x P 都是x 的已知连续函数，“线性”是指未知函数y 和它的导数y '都是一次的. 求解方法 ：一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的求解方法,一般有如下两步: 第一步：先用分离变量法求一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+所对应的齐次线性微分方程0)(d d =+y x P xy的通解⎰=-x x P c C y d )(e . 第二步：设⎰=-x x P x C y d )(e )(为一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的解,代入该方程后,求出待定函数)(x C .第三步: 将)(x C 代入⎰=-xx P x C y d )(e )(中,得所求一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的通解. 注：只要一阶线性微分方程是)()(d d x Q y x P xy=+的标准形式,则将⎰=-x x P x C y d )(e )(代入一阶线性微分方程后,整理化简后,必有)(e )(d )(x Q x C xx P =⎰'-,该结论可用在一阶线性微分方程的求解过程中,以简化运算过程. 一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的求解公式： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C x x Q y x x P x x P d e )(e d )(d )( (其中C 为任意常数). [例1] 求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y 的特解.解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有x x y y y d 11d 12-=-，两边积分，得=-⎰y y yd 12⎰-x x d 11，求积分得121ln 1ln 21C x y +-=-，1222)1ln(1ln C x y +-=-， 1222e )1(1C x y -=-，222)1(e 11-±=-x y C ，记 0e12≠=±C C ，得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时，1±=y ，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-x C y 中的 C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y （C 为任意常数）.代入初始条件 20==x y得 3=C ，所以特解为 22)1(31-=-x y .[例2] 求微分方程（1）xy yy +='，（2） x xy y x cos e 22=-'的通解.（1）解一 原方程可化为1d d +=xyx yx y ，令 x yu =， 则 1d d +=+u u x u x u ，即 x x u u u d d 12-=+ ，两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2， 积分得C x u uln ln ln 1-=-，将x y u =代入原方程，整理得原方程的通解为yx C y e = （C 为任意常数）.解二 原方程可化为11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程01d d =-x yy x ，得其通解为 y C x =. 设y y C x )(=为原方程的解，代入原方程，化简得 1)(='y y C ，1ln)(C yy C =， 所以原方程的通解为 1ln C y y x=，即yx C ye = （C 为任意常数）.（2）解一 原方程对应的齐次方程02d d =-xy xy 分离变量，得xy x y2d d =，x x yyd 2d =， 两边积分，得x x y y⎰⎰=d 2d ，C x y +=2ln ，)e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=，2e x C y =，用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程，得 x x C x x cos e e )(22='，x x C cos )(='，C x x x x C +==⎰sin d cos )(，故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += （C 为任意常数）.解二 这里x x P 2)(-=，x x Q x cos e )(2=代入通解的公式得)d e cos e (e d 2d 22⎰+⎰⋅⎰=---C x x y xx x x x=)d ecos e(e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +（C 为任意常数）.小结 一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式 )()(x Q y x P y =+'，也可直接利用公式C x x Q y xx P x x P +⎰⎰=⎰-d e )((e d )(d )(）求通解.二、二阶常系数齐次线性微分方程定义：形如0=+'+''qy y p y的微分方程（其中q p ,均为已知常数，称为二阶常系数齐次线性微分方程. 求解方法：求解二阶常系数齐次线性微分方程,一般分为如下三步:第一步 写出方程0=+'+''qy y p y 的特征方程 02=++q pr r ，第二步 求出特征方程的两个特征根 1r ,2r ，第三步 根据下表给出的三种特征根的不同情形，写出0=+'+''qy y p y 的通解.[例3] 求微分方程02=+'-''y y a y 的通解.解 原方程对应的特征方程为 0122=+-ar r ，244222,1-±=a a r =12-±a a ，（1）当1>a ，即 1>a 或1-<a 时，特征方程有两个不相等的实根121-+=a a r ，122--=a a r ，故原方程的通解为xa a xa a C C y )1(2)1(122e e ---++=.（2）当1=a ，即1=a 或1-=a 时，特征方程有两个相等的实根 a r r ==21， 故原方程的通解为 axx C C y e )(21+=.（3）当1<a ，即 11<<-a 时，特征方程有两个共轭复根 22,11i a a r -±=，故原方程的通解为)1sin 1cos (e 2221x a C x a C y ax -+-=.三、二阶常系数非齐次线性微分方程定义：形如)(x f qy y p y =+'+''的微分方程（其中q p ,均为已知常数），称为二阶常系数非齐次线性微分方程.求解方法：求解二阶常系数非齐次线性微分方程, 一般分为如下三步:第一步 先求出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''所对应的齐次线性微分方程方程0=+'+''qy y p y 的通解c y ;第二步 根据下表设出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的含待定常数的特解p y ,并将p y 代入非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''解出待定常数,进而确定非齐次方程)(x f qy y p y =+'+''的一个特解p y ;第三步 写出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的通解p c y y y +=.方程)(x f qy y p y =+'+''的特解p y 的形式表注:①表中的)(x P m 为已知的m 次多项式，)(x Q m 为待定的m 次多项式，如C Bx Ax x Q ++=22)( （C B A ,,为待定常数）.②在设微分方程 xm x P qy y p y λe )(=+'+''的特解时，必须注意把特解p y 设全.如：2)(x x P m =，那么 2120)(b x b x b x Q m ++=，而不能设20)(x b x Q m =.另外，微分方程的特解都是满足一定初始条件的解，上面所求的特解p y 一般不会满足题设初始条件，因此需要从通解中找出一个满足该初始条件的特解.[例4] 求微分方程 xx y y e 4=-''满足初始条件00==x y，10='=x y 的特解.解 对应齐次方程的特征方程为 012=-r ，特征根 12,1±=r ．故对应齐次微分方程的通解为 xx c C C y -+=e e 21.因为1=λ是特征方程的单根，所以设特解为 xP b x b x y e )(10+=，代入原方程得 x x b b b 4422010=++，比较同类项系数得 10=b ，11-=b ，从而原方程的特解为 xP x x y e )1(-=， 故原方程的通解为 =y xxC C -+ee 21x x x e )1(-+，由初始条件 0=x 时，0='=y y ，得 ⎩⎨⎧=-=+,2,02121C C C C从而11=C ，12-=C .因此满足初始条件的特解为 =y xx--ee x x x e )1(-+.[例5] 求微分方程 x y y y x2sin e 842=+'-''的通解.解 对应的齐次微分方程的特征方程 0842=+-r r ，特征根 i 222,1±=r .于是所对应的齐次微分方程通解为)2sin 2cos (e 212x C x C y x c +=．为了求原方程x y y y x2sin e842=+'-''的一个特解,先求x y y y )i 22(e 84+=+'-''（*）的特解.由于i 22+=λ是特征方程的单根，且1)(=x P m 是零次多项式。
数学分析5.5微分(含习题详解)
第五章导数和微分5 微分一、微分的概念定义1：设函数y=f(x)定义在点x0的某邻域U(x0)内. 当给x0一个增量△x，x0+△x∈U(x0)时，相应地得到函数的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0). 如果存在常数A，使得△y能表示为△y=A△x +o(△x)，则称函数f在点x0可微，并称上式中的第一项A△x为f在点x0的微分，记作：dy=A△x，或df(x)=A△x.当A≠0时，微分dy称为增量△y的线性主部。
定理5.10：函数f在点x0可微的充要条件是函数f在点x0可导，而且定义中的A=f’(x0).证：先证必要性：若f在点x0可微，则△y=A△x +o(△x)，即=A+o(1)，两边取极限得：f’(x0)==(A+o(1))=A.再证充分性：若f在点x0可导，则f在点x0的有限增量公式为：△y=f’(x0)△x+o(△x)，根据微分的定义，f在点x0可微且有dy=f’(x0)△x.微分的几何意义：(如图)当自变量由x0增加到x0+△x时，函数增量△y= f(x0+△x)-f(x0)=RQ，而微分则是在点P处的切线上与△x所对应的增量，即dy=f’(x0)△x=RQ’，且==f’(x0)=0，所以当f ’(x 0)≠0时，=0. 即当x →x 0时线段Q ’Q 远小于RQ ’。
若函数y=f(x)在区间I 上每一点都可微，则称f 为I 上的可微函数.函数y=f(x)在I 上任一点x 处的微分记作dy=f ’(x)△x ，x ∈I. 特别地，当y=x 时，dy=dx=△x ，则微分也可记为dy=f ’(x)dx ，即 f ’(x)=，可见函数的导数等于函数微分与自变量微分的商。
因此导数也常称为微商。
二、微分的运算法则1、d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)；2、d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)；3、d=；4、d(f ◦g(x))=f ’(u)g ’(x)dx ，其中u=g(x)，或dy=f ’(u)du.例1：求y=x 2lnx+cosx 2的微分。
专升本(高数—)第五章多元函数微积分学PPT课件
第七节 二重积分的应用
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2
考试点津：
• 本讲出题在18分—26分之间，本讲内容是 一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、 填空题、解答题中出现。
• 本讲重点：
（1）二元函数的偏导数和全微分。
（2）二元函数的有关极值问题及应用。 （3）会计算二重积分
• 建议重点复习前几年考过的试题，把握考 试重心和知识点，重在模仿解题。
成人高考高数一辅导
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College of Agriculture & Biological Engineering
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1
第五章 多元函数微积分学 (11年考了22分）
第一节 多元函数、极限和连续 第二节 偏导数与全微分 第三节 二元函数的极值 第四节 二重积分的概念和性质 第五节 直角坐标系下二重积分的计算 第六节 极坐标系下二重积分的计算
可 以 证 明 ，一 元 函 数 关 于 极 限 的 运 算 法 则 仍 适 用 于 多 元 函 数 ，即 多 元 连 续 函 数 的 和 、差 、积 为 连 续 函 数 ，在 分 母 不 为 零 处 ，连 续 函 数 的 商 也 是 连 续 函 数 ，多 元 函 数 的 复 合 函 数 也 是 连 续 函 数 .由 此 还 可 得 出 如 下 结 论 ： 一 切 多 元 初等函数在其定义区域内是连续的.
（4）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大 值和最小值各一次．
（5）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的
函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．分
（一） 偏导数
1. 偏导数的定义
定义 设函数 z f (x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有 定义，当 y固定在 y0，而 x在 x0处有增量x时，相应地函 数有增量 f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )，如果极限
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第5章 导数和微分
证 当 x0 0 时,用归结原理容易证明 f (x) 在点 x0 不连续, 由定理 5.1, f (x) 在点 x0 不可导.
当 x0 = 0 时, 因为 D( x) 1，所以有
f (0) lim f ( x) f (0) lim xD( x) 0 .
x0 x 0
x 0
k lim f ( x) f ( x0 )
(2)
x x0
x x0
会是什么呢？
答: 它就是曲线在点 P 的切线 PT 的斜率.
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上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同 一类型的数学问题： 求函数 f 在点 x0 处的增量 D y = f (x) – f (x0) 与自变量增量 D x = x – xo 之比 的极限. 这个增量比称为函数 f 关于自变量的平 均变化率，增量比的极限 (如果存在) 称为 f 在点 x0 处关于 x 的瞬时变化率(或简称变化率).
其上一点 P( x0, y0 ) 处的切线 PT. 为此我们在 P 的邻近取一 点 Q , 作曲线的割线 PQ ，这
条割线的斜率为
_
k
f (x)
f ( x0 ) .
x x0
y
Q
y f (x) •
T
P
•
O
x0 x x
点击上图动画演示
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设想一下,当动点 Q 沿此曲线无限接近点 P 时，k 的极限若存在，则这个极限
Dx
存在，则称该极限为 f (x) 在点 x0 的右导数, 记作
f( x0 ) . 类似地可以定义左导数 , 合起来即为:
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定义1 设函数 y =f (x) 在点 x0 的某邻域内有定
第五章多元函数微分学讲解
第五章 多元函数微分学知识点拔5.1 多元函数的概念一、二元函数的概念 1、二元函数的定义设在某一变化过程中，有三个变量y x ,和z ，如果对于变量y x ,在某一范围D 内任取一对数值，按照一定的对应法则，总有一个确定的值z 与它对应，则称变量z 是变量y x ,的二元函数，记作：),(y x f z =或),(y x z z =，其中y x ,称为自变量，z 称为因变量或称为y x ,的二元函数，变量y x ,取值范围D 称为该函数的定义域.2、二元函数的几何意义 二元函数),(y x f z =在几何上一般表示空间直角坐标系中的一个曲面.二、二元函数的极限 1、二元函数极限的定义设二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某去心邻域内有定义，如果动点),(y x P 在该邻域内以任何方式无限地趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 总是无限地趋于一个常数A ，则称A 是函数),(y x f z =在),(y x P 趋于),(000y x P 时的极限（也称二重极限），记作A y x f y y X x =→→),(lim 0或A y x f y x y x =→),(lim),(),(00，若记点),(y x P 与点),(000y x P 之间的距离为20200)()(||y y x x PP -+-==ρ，则有A y x f =→),(lim 0ρ .注释：（1）极限的几何意义：当),(y x P 在),(000y x P 附近的某个范围内变化时，函数值),(y x f 与常数A 的距离恒小于任意给定的正数ε；（2）二元函数极限存在是指：动点P 必须以任意方式趋于点0P 时，),(y x f 都无限趋于常数A ，则二元函数的二重极限存在，但即使动点P 沿过0P 的无穷多条路径趋于0P 时极限都等于A ，也不能说明0P P →时，A y x f →),( .（3）二元函数极限不存在的判定方法：如果当点),(y x P 以两种不同的方式趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 分别趋于不同的常数，则可以断定函数),(y x f 在点),(000y x P 处的极限不存在。
5-5——华东师范大学数学分析课件PPT
v( x)d u( x) u( x)dv( x) v2(x)
函数 f 在点 x0 可微的充要条件是 f 在点 x0 可
导, 且 d f ( x) x x0 f ( x0)Δ x .
证 (必要性) 如果 f 在点 x0 可微, 据 (1) 式有
于是
Δy A o(1). Δx
f
(
x0
)
lim
Δ x 0
Δ Δ
y x
lim ( A o(1)) A ,
Δ x 0
(4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看
成函数的微分与自变量的微分之商, 即
d y f ( x) ,
(5)
dx
所以导数也称为微商. 更多的好处将体现在后面
积分学部分中.
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§5 微分
微分的概念
微分的 运算法则
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
例1 d(x ) x 1 dx ;
d (sin x) cos x dx ; d (a x ) a x ln a dx .
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§5 微分
微分的概念
微分的运算法则
微分的 运算法则
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则: 1. d (u( x) v( x)) du( x) dv( x); 2. d(u( x)v( x)) v( x)du( x) u( x)dv( x);
Δ S ( x x)2 x2 2x x ( x)2 由两部分组成 :
Δ x 的线性部分 2xΔx 和 Δ x 的高阶部分( Δ x)2. 因
高等数学第五章5
α ± iβ不是特征根
k =0
α ± iβ是单根
k =1
第5节 微分方程在医学医学问题
药物动力学模型
c(t ) = c0 e
− kt
k0 − kt x = (1 − e ) k
一、药物动力学模型
药物进入机体后，在随血液到达各个器官和 药物进入机体后， 组织的过程中，广泛采用房室模型 房室模型来研究药 组织的过程中，广泛采用房室模型来研究药 物在体内的吸收、分布、 物在体内的吸收、分布、代谢和排泄的时间 过程。 过程。 血药浓度：药物在血液中的浓度。 血药浓度：药物在血液中的浓度。血药浓度 的变化能够定量地反映出其他体液、 的变化能够定量地反映出其他体液、组织及 器官内药物水平的变化。 器官内药物水平的变化。 房室：就是机体的某一个部分。 房室：就是机体的某一个部分。假定血药浓 度在一个房室内是常数， 度在一个房室内是常数，在不同房室之间按 照一定规律转移。 照一定规律转移。
二、肿瘤生长模型
决定。 肿瘤的生长速率由当前 肿瘤的体积 V决定。
dV b = kV dt
表征肿瘤生长速 率的参数， 率的参数，也称 为形状参数
dV kt b = kV 当b = 1时， V = Ce dt 1− b 当b ≠ 1时， V = (1 − b)(kt + C )
肿瘤在 ∆t = t 2 − t1的增长情况
其特解为： 其特解为： ~ = x k eαx [Q ( x) cos βx + R ( x) sin βx] y
l l
其中 l = max{m, n}
l次多项式 次多项式
k由特征根的情况决定
~ = x k eαx [Q ( x) cos βx + R ( x) sin β x] y l l
导数与微分
第五章 导数与微分（12学时）引 言导数与微分是数学分析的基本概念之一。
导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。
导数的概念在于刻划瞬时变化率。
微分的概念在于刻划瞬时改变量。
求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。
本章主要内容如下： 1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义； 2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念；3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。
4． 可导与连续，可导与微分的关系。
导数与微分有广泛的应用，特别对研究初等函数变化的性态是极为有效的工具，因此学好本章内容意义非凡。
总起来讲： 1） 什么是导数？2） 导数有何用？ 3） 怎么算导数？4） 什么是微分？为什么引进？怎么算？§1 导数的概念教学目的：使学生准备掌握导数的概念。
明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。
教学要求： 深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。
教学重点： 导数的概念。
教学难点： 导数的概念。
学时安排： 2学时 教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。
教学程序：一 导数的定义1． 引言（背景）导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。
具体来讲，导数的思想最初是有法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的。
后经牛顿、莱布尼兹（Leibuiz ）等数学家的努力，提炼出了导数的思想，给出了导数的精确定义。
在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。
问题1. 已知曲线求它的切线：曲线方程)(x f y =，),(00y x p =是其上一点，求)(x f y =通过点p 的切线方程。
这就是二阶导数的物理意义
时,a = n , y (n) = n! ,a < n , y (n) = 0 .若 Pm (x) 是 m 次多项式, n > m ,则 P(n) (x) = 0 .
例 3 y = ln(1 + x) ,求 y (n) .
解
y¢
=
1
1 +
x
,
y¢¢
=
-
(1
1 + x)2
L， ,
y (n)
=
(-1) n -1
k 率半径,
=
1 R
称为曲率,点 (a,b) 称为曲率中心,它在工程中,比如
铁路转弯的 设计中非常有用.
解 需要求的参数有三个 a，b，R .它们满足
（1） 过 M 点： （2） 在 M 点一阶导数相同
(x0 - a) 2 + ( y0 - b) 2 = R 2 （1） (x0 - a) + ( y0 - b) y0¢ = 0 （2）
y¢( x) 来；求二次导,得出含 y¢¢(x) 的方程,可解出 y¢¢(x) 来.
例 6 y = arcsin x ,求 y (n) (0) .
解 这个函数求 y (n) (x) 的公式是困难的,但求 y (n) (0) 相对容易,这在今后研究它的 Taylor 展开式时是有用的.
y¢ = 1 1- x2 ,
u
n-
k
v
k
+ L + u o v n .（这里
u 0 = v 0 = 1）,在形式上二者有
相似之处.
四、复合函数的高阶导数、参数方程的高阶导数 复合函数,反函数,参数式,隐函数归纳不出求高阶导数的公式,但至少我们可归纳出二阶,
高等数学第五章微积分基本公式
F(x) = ∫a f (t)dt + ∫b f (t)
练习题答案
一、1、0； 2、
； 3、
；
4、 ； 5、(1) ； (2)0,0；
7、
8、 ；
9、1.
二、1、
；
2、
3、
三、 1、 ； 2、 ； 3、
； ； 4、 . ； 4、4.
四、1、0；
2、 .
六、 , 0.
七、
.
⎧0 , x < 0
⎪⎪1
e d π
∫dx ⎜ ∫ I1
=， cos −π
mxa⋅ cos
nxdx
,
⎝ π
sin m x ⋅ sin nxdx
（1）、 当 （2）、 当 6、设 （1）、 当 （2）、 当 7、
8、
时， =__ , =_____ ， 时， =___ , =_____ .
时， =____ , 时， =_____ .
前述变速直线运动的路程问题表明： 定积分的值等于被积函数的一个原函数 在时间区间上的增量，这个事实启发我 们去考察一般的情况，得到肯定的回答。 这就是微积分基本公式。
定理 3（微积分基本公式）
如果 是连续函数 的一个原函数，则
在区间 上 .
证
已知 是 的一个原函数，
∵ 又
也是
的一个原函x数,
Φ ( x ) = ∫ f ∴ F( x) − Φ( x) = C x ∈[a,b]
_____ . _____ .
9、
________ .
二、求导数： 1、 设函数
由方程
定，求 ；
2、 设
,求 ；
3、 4、设
；
，求
53隐函数与参数方程的求导法则
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第五章：导数与微分
5.3隐函数与参数方程求导法则
dy 例1. 设y( x )是 由 方 程 y r 确 定 的 隐 函 数 ， 求 . x dx
2 2 2
解法一： 由方程 2 y 2 r 2解得y r 2 x 2，于是 x
此方法称为对数求导法 。
对数求导法是将 y = f (x) 两端取自然对数后再求导，这里 如有必要，可先将 y = f (x) 两端取绝对值。此方法常用于若干 因式的积、商或根式组成的函数和幂指函数的求导，其好处在 于把积变成和、商变成差、幂指变成乘积。
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第五章：导数与微分
5.3隐函数与参数方程求导法则
2x 2 y 7x 0， 即 k y y . 2 7 2y
1 由 已 知 l ， 所 求 切 线 的 斜 率 2. k k 2
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第五章：导数与微分
5.3隐函数与参数方程求导法则
当k 2时，双曲线与所求直线 相切，故
7x 2， 即 7 x 4 y . 2y
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第五章：导数与微分
5.3隐函数与参数方程求导法则
x2 y2 练 习 ： 求 垂 直 于 直 线 2 x 4 y 3 0并 与 双 曲 线 l: 1 2 7 相切的直线方程。
解：
设 双 曲 线 上 一 点 , y )的 切 线 斜 率 为， 则 由 隐 函 数 求 (x k 导法，有
这即是参数方程所表示 函数的求导法。
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第五章：导数与微分
例.
5.3隐函数与参数方程求导法则
数学分析习题集
数学分析习题集 武汉科技学院理学院目 录第一章 实数集与函数 3 第二章 数列极限 5 第三章 函数极限 8 第四章 函数的连续性 10 第五章 导数与微分 12 第六章 微分中值定理及其应用 14 第七章 实数的完备性 18 第八章 不定积分 20 第九章 定积分 22 第十章 定积分的应用 25 第十一章 反常积分 26第一章 实数集与函数一：典型习题.1. 设a 为有理数，为无理数. 证明：x xa 为无理数.2. 证明: 对任何有R x ∈4|3||2||1|||≥−+−+−+x x x x .3. 设集合},21|{+∈==N n x x S n . 求的上、下确界，并用确界的定义加以证明.S 4. 证明：若数集E 的上(下)确界存在，则它必唯一存在. 5. 设是非空数集，证明： R B A ⊂, ⑴ B A B B A sup inf inf ≤≤⇒⊂； ⑵ 如果ε<−∈∀∈∀||,,b a B b A a ，则 ε≤−|sup sup |B A ，ε≤−|inf inf |B A . 6. 设在区间f I 上有界. 记)(sup x f M Ix ∈=，)(inf x f m Ix ∈=.证明： m M x f x f Ix x −=′′−′∈′′′|)()(|sup,.7．证明伯努利不等式，nx x n +≥+1)1(1−>x . 8. 设为n 个正实数，证明：n x x x ,,,21")(1111212121n n n nx x x nx x x x x x n+++≤≤+++""".二：考研荟萃.1. (中国人民大学) 设249)3lg(1)(x x x f −+−=，求的定义域和.)(x f )]7([−f f 2.(南京邮电大学，兰州铁道学院) 已知21)(xx x f +=，设=)(x f n(个)，求.]}))(([{""x f f f n f )(x f n 3.(清华大学) 设函数在)(x f ),(+∞−∞上是奇函数，且对任何值均有a f =)1(x )2()()2(f x f x f =−+.⑴试用a 表示与；)2(f )5(f ⑵问a 取何值时，是以2为周期的周期函数. )(x f 4.(北京科技大学) 叙述数集A 的上确界的定义.并证明：对任意有界数列，总有}{},{n n y x }sup{}sup{}sup{n n n n y x y x +≤+.第二章 数列极限一：典型习题.1. 利用数列极限的定义证明0)sin(lim2=∞→nn n π. 2. 证明：02lim =∞→n n n，02lim 2=∞→n n n ，02lim 3=∞→n n n . 3. 设对于数列，有}{n x a x nn =∞→2lim ，a x n n =+∞→12lim ，证明.a x n n =∞→lim 4．求下列极限：⑴32221limn n n +++∞→"；⑵)211()211)(211(lim 242nn +++∞→"； ⑶)2122321(lim 2nn n −+++∞→"； ⑷)2(42)12(31lim n n n ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅∞→""； ⑸)cos 1(cos limn n n −+∞→.5. 证明下列各题：⑴若，则0,0>>b a ),max(lim b a b a nn n n =+∞→；⑵若是正实数数列，}{n x 0lim >=∞→a x nn ，则有a x x x nx x x n n n nn ==+++∞→∞→""2121lim lim； ⑶数列不存在极限.}{sin n6. 利用单调有界性证明：⑴若101<<x ，且",2,1),1(1=−=+n x x x n n n ，则；1lim =∞→nn nx ⑵设，且0,011≥=≥=b y a x ",2,1),(21,11=+==++n y x y y x x n n n n n n ， 则n n nn y x ∞→∞→=lim lim .二：考研荟萃.1.(北京大学) 求⑴；⑵2)!(lim −∞→n n n ,1lim n n n a +∞→a 为正实数； ⑶n n n n n n)12()1(1lim −+∞→"". 2.(武汉大学，华中师范大学) 设22,2,10211nn a c a c a c +==<<+，证明：数列收敛，并求其极限.}{n a 3.(北京师范大学) 设}|)(sup{b x a x f ≤≤=α.证明：存在 b x a n ≤≤ 使成立. a x f n n =∞→)(lim 4.(华中师范大学) 求∑=∞→++nk n kn n k12lim .5.(北京航空航天大学) 叙述数列收敛的柯西原理，并证明： 数列∑==nk k n k x 12sin ，为收敛数列.),2,1("+n 6.(华中科技大学)(有界变差数列收敛定理) 若数列满足条件：}{n x M x x x x x x n n n n ≤−++−+−−−−||||||12211"，)3,2("=n ，则称为有界变差数列.试证明：有界变差数列一定收敛.}{n x 7.(四川大学)(压缩变差数列收敛定理) 若数列满足条件：，}{n x ||||211−−−−≤−n n n n x x r x x )10;,4,3(<<=r n "，则称为压缩}{n x变差数列(简称为压缩数列).试证明：任意压缩数列一定收敛.8.(浙江大学) 求)(sin lim 22n n n +∞→π.9.(清华大学) 设R 中数列满足}{},{n n b a ",2,1,1=−=+n qa b a n n n ， 其中.证明：⑴若有界，则有界； 10<<q }{n b }{n a ⑵若收敛，则收敛. }{n b }{n a第三章 函数极限一：典型习题.1. 用定义证明：⑴19167lim21=−→x x ；⑵2312lim 22=−+∞→x x x . 2. 求极限：⑴)211(lim 23x x x x x −−+++∞→；⑵xx x x n n x ∆−∆++∞→)(lim ；⑶2tan )1(lim 1x x x π−→； ⑷⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 1lim 0； ⑸1,0,111lim1≠>⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+∞→a a a a x xxx . 3. 讨论下列函数的极限是否存在，若存在，则求出其极限： ⑴||sin 12)(41x xee xf xx+++=，当时；0→x ⑵axx x g cos 1)(−=，π<<||0a ，当时.0→x 4. 若0)(6sin lim 30=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+→xx xf x x ，求3)(6lim xx f x +→. 5. 求xx xx x x sin cos sin 1lim−+→.6. 设,sin 2sin sin )(21nx a x a x a x f n +++="其中是常数，且 n a a a ,,,21" ，有，证明：R x ∈∀|sin ||)(|x x f ≤1|2|21≤+++n na a a ".7. 求xxn xxx n a a a 1210lim ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++→".8. 已知51lim231=−++→x bax x x ，求的值. b a ,9. 设当时，0→x 1)1(312−+ax 与1cos −x 是等价无穷小，求常数. a二：考研荟萃.1.(武汉大学) 求极限20)1ln(limx x xe x x +−→. 2.(厦门大学) 求极限1tan 1tan 1lim 0−−−+→x x e xx .3.(中国科技大学) 求极限22116sin 41limxxx −−→π.4.(湖北大学，天津大学) 设函数在)(x f ),0(+∞上满足)()2(x f x f =，且.证明：A x f x =+∞→)(lim ),0(,)(+∞∈≡x A x f .5.(复旦大学) ⑴求极限⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+−→xx x x e x x x csc 22023sin sin lim ； ⑵当时，求是多少阶无穷小量(0→x )1ln()cos(sin 12x x ++−αα为参数).第四章 函数的连续性一：典型习题.1. 设函数对一切)(x f I x x ∈21,，满足等式)()()(2121x f x f x x f +=+，且)(x f 在连续，证明：在任意0=x )(x f I x ∈连续.2. 设函数在连续，且)(x f 0=x 0)0(=f ，已知|)(||)(|x f x g ≤，证明：函数在也连续．)(x g 0=x 3. 证明：若在内连续，且 存在，则 在内必有界.)(x f ),(+∞−∞)(lim x f x ∞→)(x f ),(+∞−∞4. 设对任意，有，且在和连续，证明：在)(x f ),(+∞−∞∈x )()(2x f x f =)(x f 0=x 1=x )(x f ),(+∞−∞为常数.5. 确定的值，使b a ,)1)(()(−−−=x a x be xf x 有无穷间断点0=x 和可去间断点.1=x 6. 设函数在上连续，且)(x f ]2,0[a )2()0(a f f =，证明：在上至少存在一点],0[a ξ，使)()(a x f f +=ξ.7. 证明：若函数在上连续，)(x f ],[b a b x x x a n <<<<<"21，则在上必有一点],[1n x x ξ，使nx f x f x f f n )()()()(21+++="ξ .8. 设函数在内一致连续，证明：)(x f ),(b a ⑴0>∃δ，使，当0x ∀),(),(00δδ+−∩∈x x b a x 时，； 1|)(||)(|0+≤x f x f ⑵在内有界. )(x f ),(b a9. 函数在区间)(x f I 上一致连续的充要条件是：I y x n n ⊂∀}{},{，当 0)(lim =−∞→n n n y x 时，有0)]()([lim =−∞→n n n y f x f .10. 证明：若函数在)(x f R 上连续，R y x ∈∀,，有10|,||)()(|<<−≤−k y x k y f x f ，则在)(x f R 上有唯一的不动点，即a a a f =)(.二：考研荟萃.1.(南开大学) ⑴叙述函数在区间)(x f I 上一致连续的定义； ⑵设，都在区间)(x f )(x g I 上一致连续且有界，证明：也在区间)()()(x g x f x F =I 上一致连续.2.(长沙铁道学院) 函数在上连续且恒大于零，按)(x f ],[b a δε−定义证明：)(1x f 也在上连续. ],[b a 3.(武汉大学) 证明：x y sin =在),0(+∞上一致连续.4.(吉林大学)(利普希次条件) 若函数在区间)(x f I 上满足利普希次条件：I x x x x L x f x f ∈∀−≤−212121,|,||)()(|，则在f I 上一致连续. 5.(北京大学) 设在)(x f ]2,[b a a +上连续，证明：存在，使得],[b a a x +∈)]()2([21)()(a f b a f x f b x f −+=−+.第五章 导数与微分一：典型习题.1. 证明：偶函数的导数是奇函数；奇函数的导数是偶函数.2. 设)(x ϕ在a x =连续，问：下列函数在a x =是否可导？ ⑴);()()(x a x x f ϕ−= )(||)(x a x x g ϕ−=.3. 设在上有定义，且f ),0(+∞),0(,+∞∈∀y x ，都有，已知存在，求.)()()(y f x f xy f +=)1(f ′)(x f ′4. 已知存在，且)(a f ′0)(≠a f ，求极限nn n a f a f ⎦⎤⎢⎣⎡+∞→)((lim 1\，. +∈N n 5. 求下列函数的导数： ⑴；⑵xx x y =3)2)(1(32+++=x x x y ； ⑶x e x x y −=1sin . 6. 设满足)(x f xx f x f 312)(=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+，求)(x f ′.7. 设)1()1(31lim )(−−∞→+++=x p x p x e b ax e x x f (为不等于零的常数)，问为何值时，连续且可导.p b a ,)(x f 8. 设周期的函数在4=T ),(+∞−∞内可导，且12)1()1(lim−=−−→xx f f x .求曲线在点处的切线方程和法线方程. )(x f y =))5(,5(f 9. 设函数由方程确定，求)(x f y =4ln 22=+x y x y dxdy . 10. 设t y t x −=+=1,1确定函数)(x f y =，证明：3222,ydx yd y x dx dy −=−=.11. 求对数螺线在点ϕρe =⎟⎠⎞⎜⎝⎛=2,),(2πϕρπe 处的切线的直角坐标方程.12. 设，可微，求.)]()(sin[22x v x u y +=)(),(x v x u dy 13. 设函数的反函数及，都存在，且)(y f )(1x f −)]([1x f f −′)]([1x f f −′′0)]([1≠′−x ff ，证明：311212)]}([{)]([)(x f f x f f dx x f d −−−′′′−=.二：考研荟萃.1.(中国人民大学) 设2111arcsin )1()(xxe x x xf x +−++=−，求. )1(f ′2.(湖北大学) 设为可导函数，证明：若)(x f 1=x 时，有)()(22x f dxd x f dx d =. 3.(四川大学) 函数xe y −=，在0=x 处是否连续，是否可导，是否有极值，为什么？4.(武汉大学) 对于函数3sin )(x x f =，)1,1(−∈x . ⑴证明：)(x f ′′不存在；⑵说明点0=x 是不是)(x f ′′′的可去间断点.5.(厦门大学) 已知，k 为常数，求的反函数二阶导数. x ke x f =′)()(x f6.(浙江大学) 求，其中(当时). )0()(n f 2)(,0)0(,,2,1−−===x e x f f n "0≠x第六章 微分中值定理及其应用一：典型习题.1. 设在内有二阶可导函数，且)(x f )1,0(0)1(=f ，又，证明：在内至少存在一点)()(2x f x x F =)1,0(ξ，使0)(=′′ξF .2. 设在内二阶可微，)(x f )1,0()1()0(),1()0(f f f f ′=′=，证明：存在)1,0(∈ξ使得2)(=′′ξf .3. 设，证明：0,>b a ),(b a ∈∃ξ，使. )()1(a b e be ae a b −−=−ξξ4. 设函数在点的某一邻域内可导，且其导数在处连续，而)(x f 0x x =)(x f ′0x ),2,1(0"=<<n x n n βα，当∞→n 时，00,x x n n →→βα.证明：)()()(lim0x f f f nn n n n ′=−−∞→αβαβ.5. 设函数在的某一邻域内阶可导，且)(x f 0=x n 0)0()0()0()1(===′=−n f f f "，证明：)1,0(,!)()()(∈=θθnn x n x f x f .6. 设函数在内连续且可导，有)(x f )1,0(0)(lim 0=′+→x f x x ，证明：f 在内一致连续. ]1,0(7. 求下列极限：⑴x arc x x cot )1ln(lim 1−+∞→+； ⑵15sin )(lim 2sin 22−−→x x e x x ππ； ⑶a x xa a x a x a x −−→lim ； ⑷xe x e x x x +−+∞→πarctan 2lim ；⑸⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→11ln 1lim 1x x x ； (6)23arctan 2lim x x x ⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→π； ⑺； ⑻10lim −→+xx x x xx x 1arctan 2lim ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→π； ⑼()xx x x x 13lim++∞→； ⑽. )1ln(0tan lim x x x −→+⑾xx nx xx n aa a 1210lim ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++→",其中.0,,0,021>>>n a a a "8. 设41)1ln(lim2=+++∞→cxce x x ，确定c .9. 利用泰勒公式求下列极限：⑴22220sin 112lim x x x x x +−+→； ⑵⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→11)2(tan lim 430x x e x x x . 10. 设有二阶导数，且)(x f )]()([21)(h x f h x f x f −++≤，试证：. 0)(≥′′x f 11. 设在)(x f R 上二阶可微，且有N x f M x f ≤′′≤)(,)(0.⑴写出)(),(h x f h x f −+关于的有拉格朗日余项的泰勒公式； h ⑵证明：0>∀h ，有2)(hNh M x f +≤； ⑶证明：MN x f 2)(≤′.12. 设在上连续，在)(x f ),[+∞a ),[+∞a 内可导，且0)(>>′k x f (为常数)，又.证明：k 0)(<a f 0)(=x f 在⎟⎠⎞⎜⎝⎛−k a f a a )(,内有唯一的实根. 13. 设在)(x f ),(+∞−∞内恒满足方程：x e x f x x f x −−=′−+′′−131)]()[1(2)()1(.⑴若在处取得极值，则必为极小值； )(x f )1(≠=a a x ⑵若在处取得极值，是否为极小值？)(x f 1=x14. (詹森不等式)证明；若为上凸函数，f ],[b a 0],,[>∈∀i i b a x λ，),2,1("=i ，且，则：.∑==ni i 11λ∑∑==≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛ni i i n i i i x f x f 11)(λλ15. 利用函数的凸性，证明：y x ee e y x y x ≠>++,)(212.二：考研荟萃.1.(华中师范大学) 设在上二阶可导，过点与点)(x f ],[b a ))(,(a f a A ))(,(b f b B 的直线与曲线)(x f y =相交于，其中.))(,(c f c C b c a <<证明：在中至少存在一点),(b a ξ，使0)(=′′ξf .2.(中国科学院) 设10<<<y x 或y x <<1，则y xxy x y >.3.(厦门大学) 设在)(x f ),0[+∞上具有连续二阶导数，又设， 0)0(>f .则在区间),0[,0)(,0)0(+∞∈<′′<′x x f f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′−)0()0(,0f f 内至少存在一个ξ， 使0)(=ξf .4.(中山大学) 证明：)20(,2tan sin π<<>+x x x x .5.(北京大学) 设在)(x f ),0[+∞上可微，且满足不等式：),0(,112ln)(02+∞∈∀+++≤≤x xx x x f ．试证明：存在一点),0(+∞∈ξ，使得211122)(ξξξ+−+=′f ． ６.(东北师范大学) 若在)(x f ),(+∞a 内可导，且A x f x =′+∞→)(lim ，则A xx f x =+∞→)(lim.7.(华中科技大学) 设在上连续，在内可微，，)(x f ]1,0[)1,0(0)(>′x f 0)0(),10(=<<f x .证明：存在)1,0(,∈µλ，使得µµλλµλ)()(,1f f ′=′=+.8.(浙江大学) 设在上连续，在内可微，且 )(),(x g x f ],[b a )(x g ),(b a 0)(=a g ，若有实数0≠λ，使得),(,)()()()(b a x x g x g x f x g ∈≤′+λ成立， 证明：.0)(≡x g 9.(复旦大学) 设定义在)(x f )(],,0[x f c ′存在且单调下降，.请 0)0(=f 用拉格朗日定理证明：对于c b a b a ≤+≤≤≤0，恒有)()()(b f a f b a f +≤+．10.(北京科技大学) 设在上连续，在内可微.证明：存在)(x f ]2,1[)2,1()2,1(∈ξ，使得)(21)1()2(2ξξf f f ′=−.第七章 实数的完备性一：典型习题.1. 证明：为有界数列的充要条件是的任一子列都存在其收敛子列.}{n x }{n x 2. 设在内连续，且f ),(b a 0)(lim )(lim ==−+→→x f x f b x a x .证明：在内有最大值或最小值.f ),(b a 3. 设在内连续，又有，使f ],[b a ],[}{b a x n ⊂A x f n n =∞→)(lim .证明：存在，使得.],[0b a x ∈A x f =)(04. 设函数和都在区间f g I 上一致连续.⑴若I 为有限区间，证明g f ⋅在I 上一致连续；⑵若I 为无限区间，举例说明g f ⋅在I 上不一定一致连续. 5. 设定义在上.证明：若对内任一收敛数列，极限f ),(b a ),(b a }{n x )(lim n n x f ∞→都存在，则在上一致连续.f ),(b a 6. 设函数在上连续，且有斜渐近线，即有数和，使得：f ),[+∞a b c 0])([lim =−−+∞→c bx x f x .证明：在上一致连续. f ),[+∞a二：考研荟萃.1.(哈尔滨工业大学) 设在上有定义，且在每一点处极限存在.证明：在上有界.)(x f ],[b a )(x f ],[b a 2.(北京科技大学) 证明：若一组开区间覆盖区间，则存在一正数]1,0[δ，使得中任何两点]1,0[x x ′′′,，满足 δ<′′−′x x 时，必属于某一区间.n I 3.(华中师范大学) 设函数定义在区间)(x f I 上，如果对任何， I x x ∈21, 及)1,0(∈λ，恒有)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ−+≤−+. 证明：在区间I 上的任何闭子区间上有界．)(x f ４.(武汉大学) 设函数在区间上无界，试证：在上至少存在一点，使得在此点的邻域无界. )(x f ],[b a )(x f ],[b a )(x f第八章 不定积分一：典型习题.1. 一曲线通过点，且在曲线上任一点处切线的斜率都等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程.)3,(2e 2. 证明：[]c x f x f dx x f x f x f x f x f +⎦⎤⎢⎣⎡′=⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′′−′∫222)()(21)()()()()(. 3. 设的原函数,且)(x f 0)(>x F 1)0(=F .当时,有 0≥x x x F x f 2sin )()(2= 求.)(x f 4. 已知的一个原函数为)(x f xx xsin 1sin +，计算∫′dx x f x f )()(.5. 已知，计算c x dx x f +=∫2)(dx x xf )1(2∫−.6. 计算下列积分： ⑴dx x∫2sin 12； ⑵dx x x ∫+)cos (sin 44；⑶dx x ea e xx x ∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−21； ⑷∫++dx e e x x 113； ⑸∫−+−−+dx x x x x x 221232； (6)dx x x x ∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−211； ⑺； ⑻dx x a x )sin(sin +∫∫dx x x x )ln(ln ln 1；⑼dx xxx2211tan ++∫； ⑽∫+−dx x x n n 112； ⑾∫+dx x x xcos sin sin ； ⑿∫+++dx x x x x e x 1)1(ln 22arctan ； ⒀dx xa x ∫−222； ⒁dx xa x ∫+221；⒂dx a x x∫−2221； ⒃dx x ∫++111；⒄dx ee xx ∫−++111； ⒅dx xx x ∫+ln 1ln ；⒆dx x x ∫+)1(128； ⒇∫xdx x arcsin 2. 7. 计算不定积分：[][]∫′′+′′+dx x f x f x f x f x f )()()()(ln )(ln 2. 8. 建立下列不定积分的递推公式：⑴； ⑵xdx x I n n cos ∫=dx x I n n ∫=arcsin . 9. 计算下列不定积分： ⑴()dx x xx ∫+−22223； ⑵()dx xx ∫+2311；⑶()dx x x x∫−+43sin cos 1sin ； ⑷∫++dx x x 1222.二：考研荟萃.1.(北京大学) 试求不定积分()∫−dx x x 44sin cos 与()∫+dx x x 44sin cos ，进而求出不定积分与∫xdx 4cos ∫xdx 4sin .2.(华东师范大学) 计算：dx xxx ∫+23cos 1sin cos ．3.(复旦大学) 求不定积分dx xxx ∫−+11ln. 4.(山东大学) 求积分. dx x ∫4tan 5.(清华大学) 计算∫>−)1(2x dx e xe xx .6.(上海交通大学) 求⑴dx x x x ∫++2211； ⑵∫++dx xxx cos 1sin .第九章 定积分一：典型习题.1. 证明：若函数在上无界，则在上不可积. )(x f ],[b a )(x f ],[b a2. 证明：若函数在上黎曼可积，且，则∃区间 )(x f ],[b a ∫>ba dx x f 0)( ],[],[b a ⊂βα，在[]βα,上.0)(>x f 3. 设函数在上可积，证明：在上可积. )(x f ],[b a )(x f e ],[b a 4. 利用定积分求下列极限：⑴⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++++∞→2222212111lim n n n nn "； ⑵⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++∞→nn n n n n 4)1(tan 42tan 4tan 1lim πππ"； ⑶n n n n f n f n f n ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛∞→"211lim，其中在上连续，且； )(x f ]1,0[0)(>x f ⑷∑=∞→+ni n n i n 1)cos(21sinlim ππ. 5. 比较下列定积分的大小：⑴∫+101dx xx和； ∫+10)1ln(dx x ⑵∫和.−π02cos 2xdx ex ∫−π202cos 2xdx e x 6. 设，证明：存在0>x 10<<θ，使，且∫=xx t xe dt e 0θ1lim =+∞→θx .7. 设函数在上非负连续，证明：)(x f ],[b a )(max )(lim x f dx x f bx a nban n ≤≤∞→=∫.8. 设函数在上连续，且单调递增，证明：)(x f ],[b a ∫∫+≥ba badx x f b a dx x xf )(2)(.9. 证明：若函数和在上有相同的单调性，则：)(x f )(x g ]1,0[∫∫∫≤1101)()()()(dx x g x f dx x g dx x f ．10.(赫尔德积分不等式)证明：若函数和在上非负连续，且)(x f )(x g ],[b a 1111,,1=+>>qpq p ，则有不等式： [][]b a q pbab a p dx x g dx x f dx x g x f 11)()()()(⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∫∫∫． 11.(施瓦茨积分不等式)设函数和在上证明：)(x f )(x g ],[b a [][]21212)()(|)()(|⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∫∫∫b a bab a dx x g dx x f dx x g x f . 12.(闵可夫斯基积分不等式)证明：若函数和在上非负)(x f )(x g ],[b a 连续，且，则有不等式：1>p [][][]pb a p pb a p pb a p dx x g dx x f dx x g x f 111)()()()(⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∫∫∫.13.求下列极限:⑴dt e t xe xt xx ∫−∞→0222lim； ⑵dx x nnn ∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∞→111ln 1lim； ⑶∫∫−→x x x dtt t t dtt 0230)sin (lim2.14.确定，使得：c b a ,,()[])0(/1ln sin lim20≠=+−∫→c c tdtt xax xbx .15.求下列函数的导数: ⑴；()d t t xx ∫cos sin 2cos π ⑵，，求du u x t ∫=202sin 4cos t y =dxdy .第十章 定积分的应用1. 求内摆线所围成的图形的面积.)0(sin ,cos 33>==a t a y t a x 2. 求两椭圆12222=+b y a x 与)0,0(12222>>=+b a ay b x 所围公共部分的面积.3. 导出曲边梯形b x a x f y ≤≤≤≤),(0绕轴旋转所得立体的体积公式为 .y ∫=ba dx x xf V )(2π4. 求由平面曲线π20),0)(cos 1(),sin (≤≤>−=−=t a t a y t t a x ，绕轴旋转所围成立体的体积.x 5. 求平面曲线πθθ30),0(3sin 3≤≤>=a a r 的弧长.6. 求的值，使椭圆b a ,t b y t a x sin ,cos ==的周长等于正弦函数在xy sin =π20≤≤x 上一段的长.7. 求平面曲线，绕轴旋转所得旋转曲面的面积.)()(222a r r a y x <≤−+x 8. 设平面光滑曲线由试求方程)0)(],,0[],([),(≥⊂≤≤=θπβαβθαθr r r给出，试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式. 9. 试求试求曲线(双纽线) 绕极轴旋转所得旋转曲面的面积. )0(2cos 222>=a a r θ第十一章 定积分的应用1. 计算下列非正常积分： ⑴∫+∞++021xx dx； ⑵； ∫+∞∞−−−dx e x x x ||)|(| ⑶∫20sin ln πxdx ； ⑷∫−−101)2(xx dx ；⑸∫−312lndx xπ.2. 证明：∫+∞+01cos dx xx收敛，且11cos 0≤+∫∞+dx xx. 3.讨论下列非正常积分的收敛性： ⑴)0(sin 1>∫+∞p dx x xp ； ⑵)0(112≠⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+∫∞+p dx x p p x x ； ⑶∫； ⑷+∞−>0)0(cos k xdx ekxdx x xm∫∞+02sin . 4. 设在)(x f ),1[+∞上连续，),1[+∞∈∀x ，有，且0)(>x f λ−=+∞→x x f x ln )(ln lim. 证明：若1>λ，则收敛.∫+∞1)(dx x f 5. 设且单调减少，证明：与的敛散性相同.0)(>x f ∫+∞a dx x f )(∫+∞a xdx x f 2sin )(6. 设dt tx f x∫=01cos )(，求)0(f ′.7. 设)(x φ为有界的周期函数，周期为T ，且∫=Tc dx x T)(1φ.证明：c dt t t n nn =∫+∞+∞→2)(lim φ.。
第五讲 导数与微分,微分中值定理及导数的应用
则 f 为I上的凸函数
第五讲 导数与微分，微分中值Th及导数的应用
定义 2：设曲线 y f (x)在点（x0，f (x0 )）处有穿过曲线的切线，且在切点旁， 曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这是切点（x0，f (x0 )）为曲线 y f (x) 的拐点. Th1：设 f 为区间 I 上的可导函数，则下述论断互相等价 （i） f 为 I 上的凸函数 （ii） f (x) 为 I 上的增函数 （iii）对 x1, x2 I ，有 f (x2 ) f (x1) f (x1)( x2 x1)
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x
绝对误差 y f (x0) x
相对误差 y f (x0 ) x y f (x)
第五讲 导数与微分，微分中值Th及导数的应用
7. 微分学基本 Th（导数的应用） （1）费马 Th （2）Rolle 中值 Th （3）Lagrange 中值 Th
f
'(x0 )
lim
x x0
f
'( )
f '(x0
0)
同理可得若 f '(x) 在 x0 点处存在右极限，则必有
f
'(x0 )
第五讲 导数与微分，微分中值Th及导数的应用
Th2：设 f 为区间 I 上的二阶可导函数，则在 I 上 f 为凸（凹）函数
f (x) 0 ( f (x) 0), x I
Th3：......,则 (x0 , f (x0 )) 为曲线 y
f (x) 的拐点
f (x) 0
Th4:设 f 在 x0 可导。在U 0 (x0 ) 内二阶可导，若在U 0 (x0 ) 和U 0 (x0 ) 上 f (x) 的
《数学分析》第五章导数和微分
函数的增量问题
微分的概念
导数的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.
导数与微分的联系:
★
★
导数与微分的区别:
思考题
思考题解答
说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.
练 习 题
练习题答案
202X
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汇报人姓名
5 微分
Байду номын сангаас
一、问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
再例如,
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义
(微分的实质)
定义
由定义知:
三、可微的条件
定理 证 必要性
(2) 充分性
例1
解
四、微分的几何意义
M N T ） 几何意义:(如图) P
五、微分的求法
基本初等函数的微分公式
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
函数和、差、积、商的微分法则
例2
解
例3
解
六、微分形式的不变性
结论： 微分形式的不变性
例4
解
例3
解
例5
解
在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.
七、小结
微分学所要解决的两类问题:
第5章_常微分方程
将 y 视为自变量,可以变成关于 x 的线性方程: dx 1 1 − x= y P( y ) = − , Q( y ) = y dy y y
∴x = e
1 − − dy y
∫
[ ∫ ye
−
∫
1 dy y
dy + C ]
= y( y + C )
由 y | x =3 = 1 得: C = 2 故所求特解为: x = y ( y + 2)
解方程(2x-5y+3)dx-(2x+4y-6)dy=0. 例 解方程
a b 2 解： = a1 b1 2 -5
2 x - 5 y + 3 = 0, ≠ 0 令 4 2 x + 4 y - 6 = 0,
解得x 解得 0=1, y0=1
dy 2 X − 5Y 2 − 5 Y x = X + 1, X 则 = = 令 dx 2 X + 4Y 2 + 4 Y y = Y + 1, X Y dY du 令u = , 有 =u+ X X dX dX du 2 − 5u 4u + 2 1 方程变为u + X = ,即 2 du = − dX dX 2 + 4u 4u + 7u − 2 X 4u + 2 2 1 4 1 1 du = ∫ ( ⋅ + ⋅ )du = ln | (u + 2) 2 (4u − 1) | +c ' ∫ 4u 2 + 7u − 2 3 u + 2 3 4u − 1 3
二.齐次方程 齐次方程 如果方程(1)可化成: 令u=
y 解法: 化成可分离变量方程. x dy du y = xu =u+x dx dx du 1 du = dx ∴u + x = ϕ (u ) ϕ (u ) − u x u) dx
数学分析5.1导数的概念(讲义)
第五章导数和微分1 导数的概念一、导数的定义定义1：设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f’(x0). 若该极限不存在，则称f在点x0处不可导.令x=x0+△x，△y=f(x0+△x)-f(x0)，则：==f’(x0).∴导数是函数增量△y与自变量增量△x之比的极限. 这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称为差商)，而导数f’(x0)则为f在x0处关于x的变化率.注：显然常量函数f(x)=C在任何一点x的导数都等于零.例1：求函数f(x)=x2在点x=1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程.解：f’(1)===2.∴曲线在点(1,1)处的切线方程为：y-1=2(x-1)，即y=2x-1.例2：证明函数f(x)=|x|在点x=0处不可导.证：f’(0)=，∵=1，=-1，∵不存在，∴f在点x=0处不可导.设f(x)在点x0可导，则ε=f’(x0)-是当△x→0时的无穷小量，于是ε·△x=o(△x)，即△y=f’(x0)△x+o(△x)，称为f在点x0的有限增量公式.该公式对△x=0仍成立.定理5.1：若函数f在点x0可导，则f在点x0连续.注：可导是连续的充分而非必要条件.例3：证明函数f(x)=x2D(x)仅在点x0=0处可导，其中D(x)为狄利克雷函数.证：当x0≠0时，由归结原理可得f在x= x0处不连续，∴f在x= x0处不可导.当x0=0时，∵D(x)有界，∴f’(0)==xD(x)=0.即f仅在点x0=0处可导.定义2：设函数y=f(x)在点x0的某右邻域(x0, x0+δ)上有定义，若右极限=(0<△x<δ)存在，则称该极限值为f在点x0的右导数，记作f’+(x0). 类似地，定义左导数为f’-(x0)==.右导数和左导数统称为单侧导数.定理5.2：若函数f在点x0的某右邻域内有定义，则f’(x0)存在的充要条件是：f’+(x0)与f’-(x0)都存在，且f’+(x0)=f’-(x0).例4：设f(x)=，讨论f(x)在x=0处的左右导数与导数.解：f’+(0)===0.f’-(x0) ===1.∵f’+(x0)≠f’-(x0)，∴f在x=0处不可导.二、导函数若函数在区间I上每一点都可导(区间端点只考虑单侧导数)，则称f为I上的可导函数. 对每一个x∈I，都有一个导数f’(x)(或单侧导数)与之对应，函数f’就称为f 在I上的导函数，简称为导数. 记作f’, y’或，即：f’(x)=, x∈I注：f’(x0)可写作：y’或例5：证明：(1)(x n)’=nx n-1，n为正整数；(2)(sinx)’=cosx，(cosx)’=-sinx；(3)(log a x)’=log a e (a>0，a≠1，x>0)，特别的(ln x)’=.证：(1)对于y=x n, ==x n-1+x n-2△x +…+△x n-1，∴(x n)’==(x n-1+x n-2△x +…+△x n-1)=x n-1=nx n-1.(2)∵==，由cosx在R上连续可得：(sinx)’==cosx.又==，由sinx在R上连续可得：(cosx)’== -sinx.(3)∵=log a=log a，又由log a x的连续性可得：(log a x)’=log a=log a=log a e.当a=e时，ln e=1，∴(ln x)’=.三、导数的几何意义曲线y=f(x)在点(x0,y0)的切线方程为：y-y0=f’(x0)(x-x0).即函数f在点x0的导数f’(x0)是曲线fy=(x)在点(x0,y0)的切线斜率.若α表示这条切线与x轴正方向的夹角，则f’(x0)=tanα.例6：求曲线y=x3在点P(x0,y0)处的切线方程与法线方程.解：y’=3x2, ∴f’(x0)=3x02==.当x0≠0时，曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=f’(x0)(x-x0)，即y=3x02x-2y0；法线方程为y-y0=(x-x0)，即y=x y0.当x0=0时，切线方程为y=0，法线方程为x=0.定义3：若函数f在点x0的某邻域U(x0)内对一切x∈U(x0)有f(x0)≥f(x)或f(x0)≤f(x)，则称f在点x0取得极大(小)值，称点x0为极大(小)值点. 极大值和极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.例7：证明：若f’+(x0)>0，则存在δ>0. 对任何x∈(x0,x0+δ)，有f(x0)<f(x).证：∵f’+(x0)=>0，由保号性可知，存在δ>0，对一切x∈(x0,x0+δ)，有>0，∴对任何x∈(x0,x0+δ)，有f(x0)<f(x).定理5.3(费马定理)：设函数f在点x0的某邻域内有定义，且在点x0可导，若点x0为f的极值点，则必有f’(x0)=0.我们称满足方程f’(x0)=0的点为稳定点. 稳定点不一定是极值点。
第五章导数和微分
h0
h
lim
h0
cos( x
h) 2
sin h 2
h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
例3 求函数 y x n (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地 ( x ) x1 . ( R)
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11
1 x2
.
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
h0
h
h h 0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
四、导数旳几何意义与物理意义
1.几何意义
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率 , 即
f ( x0 ) tan , (为倾角)o
y f (x)
如果存在着点 x0的一个邻域 , 对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
如果存在着点 x0的一个邻域 , 对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
数学分析--导数 ppt课件
数，如果要讨论改函数在端点处的变化率时，就要对导数概念加以补充，引出单 侧导数的概念。
定义 2 设函数 y f (x) 在点 x0 的某右邻域 (x0 ,x 0 δ)上有定义，若右
极限 或
l i m Δ y l i m f ( x0 Δ x ) f ( x0 ) (0＜ x ＜ )
Δ x Δx 0
理 5.1， f(x) x 在 x x 0 0 处不可导。
当 x0 0 时，由于 D(x) 为有界函数, 因此得到
f(0)
lim
f(x)
f(0)
li
mxD(x)
0.
x0 x 0
x 0
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（二）函数在一点的单侧导数
类似于函数在一点有左、右极限, 对于定义在某个闭区间或半开区间上的函
dx
dx
运算，待到学过“微分”之后，将说明这个记号实际上是一个“商”，相应于上述各种
表示导数的形式，f |x x 0 或
dy dx
|xx0
。
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例 6 证明：
(i) ( xn ) nxn1, n 为正整数 ;
(ii) (sinx) cosx , (cosx) sinx
(iii)
y 1
－1/π
0
1/π
x
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（三）导函数 若函数在区间 I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称 f
为 I 上的可导函数。此时对每一个χ∈I，都有 f 的一个导数 f '(x) （或单侧导数）与之
对应，这样就定义了一个在 I 上的函数，称为 f 在 I 上的导函数，也简称为导数，记作
高中数学(人教版)第5章导数和微积分求导法则课件
导数的四则运算
同理可得
1 2 ( cot x ) csc x. 2 sin x
1 cos x sin x (iii) (sec x ) 2 2 cos x cos x cos x
f ( x0 ) 1 . ( y0 ) (6)
证 设 Δx x x0 , Δy y y0 , 则 Δx ( y0＋ Δy ) ( y0 ), Δy f ( x0Δx ) f ( x0 ) .
由假设, f 1 在点 x0 的某邻域内连续,
0
(4)
导数的四则运算
1 证 设 g( x ) ，则 f ( x ) u( x )g( x ). 对 g( x ), 有 v( x ) 1 1 v ( x0 Δ x ) v ( x0 ) g ( x0 Δ x ) g ( x 0 ) Δx Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 1 . Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 由于 v ( x ) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0, 因此
1
反函数 的导数
π2) 上 (ii) y arctan x 是 x tan y 在 ( π 2，
的反函数，故
1 1 1 (arctan x ) 2 2 sec x 1 tan y (tan y )
1 2, 1 x x ( ,).
同理有
1 (arccot x ) , x ( , ). 2 1 x
sec x tan x.
同理可得
(csc x ) csc x cot x .
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4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
6. 判断可导性
不连续,一定不可导.
直接用定义; 连续
看左右导数是否存在且相等.
思考题
函 数 f(x)在 某 点 x0处 的 导 数 f(x0) 与 导 函 数 f(x)有 什 么 区 别 与 联 系 ？
其运动路程为s = s(t)，则物体在时刻 t 0 的
瞬时速度定义为
v(t0) lt i0m v lt i0m st lt i0m s(t0tt)s(t0)
速度反映了路程对时间变化的快慢程度
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
播放
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.
limylimf(x0 x)f(x0),
x x0
x0
x
称函f数 (x)在点 x0有无穷.导 (不数 可)导
例如,
y y3 x1
f(x)3 x1,
0
1
x
在x1处不可. 导
3.函数f(x)在连续点的左右 不导 存数 在都
(指摆动不 ), 则 定x0点不可. 导
例如, f(x)xsin1x, x0,
0, x0
y
1
－1/π 0 1/π
x
在x0处不可 . 导
4.若f(x0),且在x点 0的两个单侧导数 符号相, 反 则称x点 0为函数 f(x)的尖点 (不可导).点
y
y
yf(x)
o
x
yf(x)
o
x0
x
例8 讨论函数f (x)xsin1x, x0, 0, x0
在x0处的连续性与可. 导性
解
sin1 x
是有界函, 数lxim 0xsin1x0
关于导数的说明：
★ 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出 的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量 所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画 变化率的本质
★ 点导数是因变x0量 处在 的点 变化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快
慢程.度
★ xy是y在以 x0和x0x为端点的区间上
解 ylim loa(g xh )loax g
h 0
h
h
lim
loga
(1
) x
1
h0
h
x
x
1xlh im 0loag(1h x)h x
1 x
loga
e.
即 (lo axg )1 xloae g.
特别地
(lnx) 1 . x
例6 讨论f(函 x)x数 在 x0处的.可导
解 f(0h)f(0)h,
dy 或df(x)
dxxx0
dx
, xx0
即 y x x 0 l x 0 i x y m l x 0 ifm (x 0 x x ) f(x 0 )
其它形式 f(x 0) lh i0m f(x 0 h h )f(x 0).
f(x0)x l ix0 m f(xx ) x f0 (x0).
5.1 导数的概念
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求t0时刻的瞬时速, 度
取一邻t0的 近时 于t,刻 运动时间 t,
平均速 v度 s t
s t
s0 t0
g 2
(t0
t).
当tt0时 , 取极限得
瞬
时v 速 lim g度 (0 tt) 2 t t0
gt0.
t0 t
t
上述求瞬时速度的方法对一般变速直线 运动也同样适用。设物体作变速直线运动，
定理 凡可导函数都是连续函数.
证 设函 f(x)在 数 x0 点 可, 导
limy x0x
f(x0)
y x
f(x0)
0( x 0 ) y f(x 0 ) x x
l x 0 i y m l x 0 i [ f m ( x 0 ) x x ] 0
函f(数 x )在x 0 连 点 . 续
f(0 )lif m (x )0f(x)在 x0处连 . 续
但x在 0处 x 0有 xy(0x)sixn01x0
sin
1 x
当 x0时 ,y在1和 1之间振荡而.极限不 x
f(x)在x0处不可 . 导
六、小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2 .f ( x 0 ) a f ( x 0 ) f ( x 0 ) a ;
yf(x)
N
T
CM
极限位置即
ox0Leabharlann xxM N 0, NM 0.T设 M (x 0 ,y 0 )N ,(x ,y ).
割线 MN的斜率为 tan y y0 f(x) f(x0),
N 沿 C 曲 M 线 ,x x 0 , x x0
xx0
切线 MT的斜率为 ktan lim f(x)f(x0). x x0 xx0
42
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度.
v(t)lim sds. t0t dt
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
i(t)lim qdq. t0t dt
非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度.
五、可导与连续的关系
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 )
(1)x11
1 x2
.
例4 求函 f(x) 数 ax(a0 ,a1 )的.导数 解 (ax)lim axhax
h0 h ax limah 1
h0 h axlna.
即(ax)axln a .
特别地 (ex)ex.
例5 求y 函 lo ax ( 数 g a 0 ,a 1 )的.导数
h 0
h
h0 h
即(C )0.
例2 设函 f(x ) s数 ix ,n 求 (sx ) i及 n (sx ) ix n . 4
解 (sx i)n lis m ix n h ()sixn
h 0
h
h
limcos(x
h0
h) 2
sin 2
h
cx o . s
2 即(sx ) i n co x . s
思考题解答
由导数的定义知，f (x0)是一个具体的 数值， f (x)是由于f (x) 在某区间I 上每一 点都可导而定义在I 上的一个新函数，即 xI ，有唯一值f (x)与之对应，所以两
者的区别是：一个是数值，另一个是函数．两
者的联系是：在某点x0处的导数f (x0 )即是导 函数 f (x)在x0处的函数值．
x
lx i0m (x0 x x )(x0)f(x0)存,在
若 lim f(x0 x)f(x0)
x 0
x
lx i0m (x0 x x )(x0)f(x0)存,在
且 f ( x 0 ) f ( x 0 ) a ,
则f(x)在点x0可导，
且 f(x0)a.
三、由定义求导数（三步法）
f (x0 ) tan, (为倾角)o
yf(x)
T
M
x0
x
若 f(x0)0且有限 过 (x 时 0,f(x0)的 ) 切线方程为
y y 0 f( x 0 )x ( x 0 ).
法线方程为
yy0f(1x0)(xx0).
当 f(x0)0时
切线方程为
yf(x0)
法线方程为 xx0 当 f(x0) 时 切线方程为 xx0
第五章导数和微分
在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的 变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密 度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有 这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即 导数。
本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再 建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决 有关变化率的计算问题。
步骤: ( 1 ) 求 y 增 f ( x x 量 ) f ( x );
(2 )算比 y f(x 值 x ) f(x );
x
x
(3)求极 y 限 lim y.
x 0 x
例1 求函 f(x ) C 数 (C 为)常 的数 .导数
解 f(x)lim f(xh )f(x)limCC 0.
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函数 f(x)连续 ,若f(x0)f(x0)则称x0点 为函f(数 x)的角,函 点数在角点 . 不
例如,
x2, x0
f(x)
,
x, x0
y
y x2
yx
0
x
在 x 0 处不 ,x 0 为 可 f(x )的 导 .角点
2.设函f数 (x)在点 x0连续 , 但
法线方程为 yf(x0)
例7 求等边双y曲1在 线点 (1,2)处的切线 x2
斜率 ,并写出在该点方 处程 的和 切法 线.线方
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2
(
1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
所求切线方程为 y24(x1), 即 4xy40 .
2
法线方程为 y21(x1), 即 2 x 8 y 1 5 0 .
2.右导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
★ 函 数 f(x )在 点 x 0处 可 导 左 导 数 f (x 0)和 右 导 数 f (x 0)都 存 在 且 相 等 .