数学建模试卷2010(答案)

华中科技大学

《数学建模》考试卷（半开卷）

2010～2011学年度第一学期成绩

学号专业班级姓名

一、怎样解决下面的实际问题，包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等。（10分）

（1）估计一批电饭煲的寿命；

（2）一高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划。

解：

（1）从一批电饭煲中取一定数量的样本，测得其平均寿命，可作为该批电饭煲寿命的估计值。为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批电饭煲寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间。还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间。

⑤

（2）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层）。

⑤

二、学校共有1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用以下方法分别分配各宿舍的委员数。（10分） 1.Hamilton 方法 2.Q 值方法

3.其它方法或你自己提出的方法

解：1.Hamilton 方法:

③

2.Q 值法: 先按比例计算结果将整数部分的9席分配，123n 2,n 3,n 4=== ①

再用Q 值法分配第十席：()()

()()

()()

22

111122

222222

3333p 235Q 9204.17

n n 1221p 333Q 9240.75n n 1331p 432Q 9331.20

n n 1441===++===++===++ ③

Q 3最大，第十席分配给C 宿舍，即：123n 2,n 3,n 5===。 ①

3.略 ②

三、人体注射葡萄糖溶液时，血液中葡萄糖浓度g (t )的增长率与注射速率r 成正比，与人体血液容积V 成反比，而由于人体组织的吸收作用，g (t )的减少率与g (t )本身成正比。分别在以下假设下建立模型，并讨论稳定情况。（20分） （1）人体血液容积V 不变；

（2）由于排泄等因数V 的增加有极限值，即

()()1dV t V V dt

μ=-，其中10,V 0μ>>均为

常数。

解：（1）V 为常数时： 基本模型为： ()12dg t r

k k g dt V

=- 12k 0,k 0>> 为常数 ③ 令：()1

2r

f g k k g 0V =-= 平衡解：102k r g k V

= ② ()02f g k 0'=-< ∴平衡点102k r

g k V

=

是稳定的。 ② （2）()()

()121dg t r

k k g dt V

dV t V V dt

μ=-=- ②

令：()()()1

21r

f g,V k k

g 0V F g,V V V 0

μ=-==-= 平衡点：()100121k r g ,V ,V k V ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ④

()()()()g 002V 0012

1g 00V 00r

a f g ,V k

b f g ,V k V

c F g ,V 0

d F g ,V μ

''==-==-''====- 21

21r k k V A 0

μ⎡⎤

--⎢

⎥⇒=⎢

⎥⎢⎥-⎣⎦

④

22p k 0q k 0μμ=+>=>

∴平衡点()100121k r g ,V ,V k V ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

是稳定的。 ③

四、某甲（农民）有一块土地，若从事农业生产可收入1万元；若将土地租给某乙（企业家）用于手工业生产，可收入2万元；若租给某丙（旅店老板）收入达3万元；当旅店老板请企业家参与经营时，收入达4万元。为促成最高收入的实现，试用Shapley 值方法分配各人的所得。（20分） 解：此问题为3人合作对策。{}I 1,2,3= ②

定义特征函数：()()()()()()()()v 0,v 11,v 2v 30,v 1,22,v 1,33,v 2,30,v I 4

∅======== ④

计算ϕ 1：

()()(){}()[]1

1s S 1114

v w s v s v s 1 2.53323

ϕ⊂=

--=

+++=∑ ④ 计算ϕ 2：

()(

)(){}()[]2

2s S 11

v w s v s v s 20.563

ϕ⊂=

--=

+=∑ ④ 计算ϕ 3：

()()(){}()[]3

3s S 12

v w s v s v s 3133

ϕ⊂=

--=

+=∑ ④ 分配向量为：()()v 2.5,0.5,1Φ=

即：甲应分得25000元，乙应分得5000元，丙应分得10000元。# ②

五、雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。用量纲分析法给出速度v 的表达式。（20分）

解：解法一：设()f v,,,g 0,

m 4ρμ== ②

量纲：[][][][]13112v LT ,L M,L MT ,g LT ρμ-----====

量纲矩阵：1311A 0110r 31012--⎡⎤

⎢⎥==⎢⎥

⎢⎥---⎣⎦

⑩

1234y 1311y 01100y 1012y ⎧⎫

--⎡⎤⎪⎪

⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥---⎣⎦⎪⎪⎩⎭

有m-r = 4-3=1个基本解。 ②

T

111y 1,,,333⎧⎫

=--⎨⎬⎩⎭

④

即：1113

3

3

v g πρ

μ-

-

=

v ∴= λ为无量纲常数。# ②

解法二：设3

1

2

v g αααλρ

μ= λ为无量纲常数。 ②

则：3311222231LT L M L M T L T ααααααα-----=

1233122321LT L M T ααααααα--+-+--= ⑩

比较方程两边： 123122331021ααααααα--+=⎧⎪+=⎨⎪--=-⎩解出：1

23131313ααα⎧=-⎪⎪

⎪

=⎨⎪

⎪

=⎪⎩

⑥

即：111333

v g λρμ-

== # ②