数学建模试卷2010(答案)

华中科技大学
《数学建模》考试卷（半开卷）
2010～2011学年度第一学期成绩
学号专业班级姓名
一、怎样解决下面的实际问题，包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等。

（10分）
（1）估计一批电饭煲的寿命；
（2）一高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划。

解：
（1）从一批电饭煲中取一定数量的样本，测得其平均寿命，可作为该批电饭煲寿命的估计值。

为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批电饭煲寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间。

还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间。

⑤
（2）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层）。

⑤
二、学校共有1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。

学生们要组织一个10人的委员会，试用以下方法分别分配各宿舍的委员数。

（10分） 1.Hamilton 方法 2.Q 值方法
3.其它方法或你自己提出的方法
解：1.Hamilton 方法:
③
2.Q 值法: 先按比例计算结果将整数部分的9席分配，123n 2,n 3,n 4=== ①
再用Q 值法分配第十席：()()
()()
()()
22
111122
222222
3333p 235Q 9204.17
n n 1221p 333Q 9240.75n n 1331p 432Q 9331.20
n n 1441===++===++===++ ③
Q 3最大，第十席分配给C 宿舍，即：123n 2,n 3,n 5===。

①
3.略 ②
三、人体注射葡萄糖溶液时，血液中葡萄糖浓度g (t )的增长率与注射速率r 成正比，与人体血液容积V 成反比，而由于人体组织的吸收作用，g (t )的减少率与g (t )本身成正比。

分别在以下假设下建立模型，并讨论稳定情况。

（20分） （1）人体血液容积V 不变；
（2）由于排泄等因数V 的增加有极限值，即
()()1dV t V V dt
μ=-，其中10,V 0μ>>均为
常数。

解：（1）V 为常数时： 基本模型为： ()12dg t r
k k g dt V
=- 12k 0,k 0>> 为常数 ③ 令：()1
2r
f g k k g 0V =-= 平衡解：102k r g k V
= ② ()02f g k 0'=-< ∴平衡点102k r
g k V
=
是稳定的。

② （2）()()
()121dg t r
k k g dt V
dV t V V dt
μ=-=- ②
令：()()()1
21r
f g,V k k
g 0V F g,V V V 0
μ=-==-= 平衡点：()100121k r g ,V ,V k V ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ④
()()()()g 002V 0012
1g 00V 00r
a f g ,V k
b f g ,V k V
c F g ,V 0
d F g ,V μ
''==-==-''====- 21
21r k k V A 0
μ⎡⎤
--⎢
⎥⇒=⎢
⎥⎢⎥-⎣⎦
④
22p k 0q k 0μμ=+>=>
∴平衡点()100121k r g ,V ,V k V ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是稳定的。

③
四、某甲（农民）有一块土地，若从事农业生产可收入1万元；若将土地租给某乙（企业家）用于手工业生产，可收入2万元；若租给某丙（旅店老板）收入达3万元；当旅店老板请企业家参与经营时，收入达4万元。

为促成最高收入的实现，试用Shapley 值方法分配各人的所得。

（20分） 解：此问题为3人合作对策。

{}I 1,2,3= ②
定义特征函数：()()()()()()()()v 0,v 11,v 2v 30,v 1,22,v 1,33,v 2,30,v I 4
∅======== ④
计算ϕ 1：
()()(){}()[]1
1s S 1114
v w s v s v s 1 2.53323
ϕ⊂=
--=
+++=∑ ④ 计算ϕ 2：
()(
)(){}()[]2
2s S 11
v w s v s v s 20.563
ϕ⊂=
--=
+=∑ ④ 计算ϕ 3：
()()(){}()[]3
3s S 12
v w s v s v s 3133
ϕ⊂=
--=
+=∑ ④ 分配向量为：()()v 2.5,0.5,1Φ=
即：甲应分得25000元，乙应分得5000元，丙应分得10000元。

# ②
五、雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。

用量纲分析法给出速度v 的表达式。

（20分）
解：解法一：设()f v,,,g 0,
m 4ρμ== ②
量纲：[][][][]13112v LT ,L M,L MT ,g LT ρμ-----====
量纲矩阵：1311A 0110r 31012--⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥---⎣⎦
⑩
1234y 1311y 01100y 1012y ⎧⎫
--⎡⎤⎪⎪
⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥---⎣⎦⎪⎪⎩⎭
有m-r = 4-3=1个基本解。

②
T
111y 1,,,333⎧⎫
=--⎨⎬⎩⎭
④
即：1113
3
3
v g πρ
μ-
-
=
v ∴= λ为无量纲常数。

# ②
解法二：设3
1
2
v g αααλρ
μ= λ为无量纲常数。

②
则：3311222231LT L M L M T L T ααααααα-----=
1233122321LT L M T ααααααα--+-+--= ⑩
比较方程两边： 123122331021ααααααα--+=⎧⎪+=⎨⎪--=-⎩解出：1
23131313ααα⎧=-⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪
=⎪⎩
⑥
即：111333
v g λρμ-
== # ②
六、赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。

T. A. McMahon 收集了各种赛艇1964—1970年四次2000米比赛的最好成绩（包括1964年和1968年的两次奥运会和两次世界锦标赛），他认为比赛成绩与桨手数量之间存在着某种联系，即19
t n -∝，其中t 为比赛成绩，n 为桨手数量。

试用以下数据对T. A. McMahon 的模型进行检验，并完成模型。

（20分）
解：设 t n βα= α、β为待定常数 ③
lnt ln lnn Y a bX αβ⇒=+⇒=+ ③
a 、
b 的估计值为: ()()()()4
i i i 142i i 1X X Y Y 0.2485ˆb 0.1035 2.4023X X ˆˆa
Y bX 1.87810.1035 1.0397 1.9857==⎧
--⎪
-⎪===-⎪⎨-⎪⎪
=-=--⨯=⎪⎩∑∑ ⑧
ˆ
a 1.9857ˆe e 7.2845,
b
0.1035αβ=====- ④ 0.1035t 7.2845n -∴= 1
0.11119
-
=- ，可见拟合的结果与原模型吻合得较好。

# ②。