2020-2021学年高考数学理科一模试题检测及答案解析

最新高考数学一模试卷（理科）

一、选择题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）

A．0 B．1 C．D．2

2．在方程（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）

A．（2，﹣7）B．（，）C．（，）D．（1，0）

3．设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=2（a2+a3），则=（）A．B．C．7 D．14

4．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象．则函数g（x）的

一个增区间是（）

A．（﹣，）B．（，π）C．（，）D．（0，）

5．使“a＞b”成立的一个充分不必要条件是（）

A．a＞b+1 B．＞1 C．a2＞b2D．a3＞b3

6．下列函数：①y=﹣；②y=（x﹣1）3；y=log2x﹣1；④y=﹣（）|x|中，在（0，+∞）

上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）

A．①④B．②③C．②④D．①③④

7．某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）

A．6 B．8 C．10 D．12

8．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）

A．336 B．510 C．1326 D．3603

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分

9．在（1﹣x）5的展开式中，x2的系数为______（用数字作答）

10．己知向量=（l，2），=（x，﹣2），且丄（﹣），则实数x=______．

11．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率

e=______．

12．为了普及环保知识，增强环保意识，随机抽取某大学30民学生参加环保知识测试，得分（10分制）如图所示，假设得分的中位数为m e，众数为mσ，平均数为，则m e，mσ，之间的大小关系是______．

13．已知AB是圆O的直径，AB=1，延长AB到C，使得BC=1，CD是圆O的切线，D是切点，则CD等于______，△ABD的面积等于______．

14．已知函数f（x）=，若在其定义域内存在n（n≥2，n∈N*）个不同的数x1，x2，…，x n，使得==…=，则n的最大值是______；若n=2，则的最大值等于______．

三、解答题题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15．如图，在四边形ABCD中，AB=4，AC=2，cos∠ACB=，∠D=2∠B．

（Ⅰ）求sin∠B；

（Ⅱ）若AB=4AD，求CD的长．

16．2015年，中国社科院发布《中国城市竞争力报告》，公布了中国十佳宜居城市和十佳最美丽城市，如表：

中国十佳宜居城市中国十佳最美丽城市

排名城市得分排名城市得分

1 深圳90.

2 1 杭州93.7

2 珠海89.8 2 拉萨93.5

3 烟台88.3 3 深圳93.3

4 惠州86.

5 4 青岛92.2

5 信阳83.1 5 大连92.0

6 厦门81.4 6 银川91.9

7 金华79.2 7 惠州90.6

8 柳州77.8 8 哈尔滨90.3

9 扬州75.9 9 信阳89.3

10 九江74.6 10 烟台88.8

（I）记“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”得分的平均数分别为与，方差分别为S12，S22，试比较与，S12，S22的大小；（只需要写出结论）

（Ⅱ）某人计划从“中国十佳最美丽城市”中随机选取3个游览，求选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率．

（Ⅲ）旅游部门从“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”中各随机选取1个进行调研，用X表示选到的城市既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的个数（注：同一城市不重复计数），求X的分布列和数学期望．

17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中点．

（Ⅰ）求证：AM∥平面PCD；

（Ⅱ）求证：平面ACM⊥平面PAB；

（Ⅲ）若PC与平面ACM所成角为30°，求PA的长．

18．已知函数f（x）=lnx+ax2﹣（2a+1）x，其中a≠0．

（Ⅰ）当a=2时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）当a＞0时，判断函数f（x）零点的个数．（只需写出结论）

19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为2，右焦点F（1，0），过F作两条

互相垂直的直线分别交椭圆G于点A，B和C，D，设AB，CD的中点分别为P，Q．

（Ⅰ）求椭圆G的方程；

（Ⅱ）若直线AB，CD的斜率均存在，求•的最大值，并证明直线PQ与x轴交于定点．

20．数列{a n}是由1，2，3，…2016的一个排列构成的数列，设任意m个相邻的和构成集合B，即B={x|x=a n+i，n=0，1，2，…，2016﹣m}．

（Ⅰ）若m=8，求B中元素的最大值；

（Ⅱ）下列情况下，集合B能否为单元素集，若能，写出一个对应的数列{a n}，若不能，说

明理由．

①m=8，n=8k，k=0，1，2， (251)

②m=3，n=3k，k=0，1，2， (671)

（Ⅲ）对于数列{a n}，若m=8，记B红元素的最大值为D，试求S的最小值．