2020年南昌市高三摸底测试数学(理)试题(含答案解析)
2020届江西省南昌市高三零模数学(理)试题(解析版)
2020届南昌市高三零模数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|20,{1,0,1,2}M x x x N =+-≤=-，则M N ⋂的子集个数为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【分析】解出集合M 中的不等式即可【详解】因为{}}{2|2021M x x x x x =+-≤=-≤≤， {1,0,1,2}N =-所以{}1,0,1M N ⋂=-所以M N ⋂的子集个数为328= 故选：C【点睛】含有n 个元素的集合的子集个数为2n .2．已知复数2z i =+，则在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【分析】根据复数对应的点()2,1即可判断.【详解】复数2z i =+在复平面上对应的点为()2,1，在第一象限. 故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.3．在等差数列{a n }中，若a 3＝5，S 4＝24，则a 9＝（ ） A ．﹣5 B ．﹣7 C ．﹣9 D ．﹣11【答案】B【分析】由a 3＝5，S 4＝24用通项公式和前n 项和公式列出关于1a ,d 的方程，得到{}n a 的通项公式，从而求出答案.【详解】数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ， ∵a 3＝5，S 4＝24， ∴a 1+2d ＝5，4a 1+432⨯d ＝24， 联立解得a 1＝9，d ＝﹣2，则a 9＝9﹣2×8＝﹣7． 故选：B .【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，属于基础题. 4．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ） A ．3()f x x x =+ B ．()31x f x =- C ．1()f x x=-D ．3()log ||f x x =【答案】A【分析】依次判断每个函数的单调性和奇偶性得到答案.【详解】B 中函数非奇非偶，D 中函数是偶函数，C 中函数是奇函数，但不在定义域内递增，只有A 中函数符合题意：3()f x x x =+，()3()f x x x f x -=--=-，奇函数.2'()310f x x =+>恒成立，故函数单调递增.故选：A .【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 5．中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】D【分析】总共有10种结果，其中相生的有5种，由古典概型的计算公式计算出概率即可【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共2510C =种，而相生的有5种，则抽到的两种物质不相生的概率511102P =-= 故选：D【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单.6．设α，β是两平面，a ，b 是两直线．下列说法正确的是（ ） ①若//,//a b a c ，则//b c ②若a α⊥，b α⊥，则//a b ③若a α⊥，a β⊥，则//αβ④若a β⊥，b αβ=，a α⊂，a b ⊥，则a β⊥A ．①③B ．②③④C ．①②④D ．①②③④【答案】D【分析】根据空间中平行和垂直的相关命题逐一判断即可. 【详解】由平行公理知①对，垂直于同一平面的两条直线平行，故②对， 垂直于同一直线的两个平面平行，故③对， 由面面垂直性质定理知④对． 故选：D【点睛】本题考查的是空间中平行和垂直的相关命题的判断，较简单 7．如图是一程序框图，若输入的12A =，则输出的值为（ ）A ．25B ．512C ．1229D ．2960【答案】C【分析】依次执行循环，直到3k >结束循环，输出A . 【详解】由程序框图可知， 第一次执行循环，121522A ==+,1123k =+=≤，继续执行循环； 第二次执行循环，1521225A ==+,2133k =+=≤，继续执行循环；第三次执行循环，112529212A ==+,3143k =+=>，结束循环，输出1229A =. 故选：C.【点睛】本题考查程序框图的读取，属于基础题.8．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()y f x =的图象，只需把()13sin cos 22g x x x ωω=-的图象上所有点（ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度【答案】B【分析】先由图象求出()f x 的解析式，然后根据三角函数的平移变换选出答案即可 【详解】由题意知1A =，由于741234T πππ=-=，故2T ππω==， 所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+， 由2sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求得3πϕ=，故()sin 2sin 236f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()13sin 2x x g x ωω=sin 26x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故需将()g x 图像上所有点向左平移3π个单位长度得到()f x . 故选：B【点睛】本题考查的是根据三角函数的图象求解析式及图象的平移变换，较简单.9．8212y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中22x y 项的系数是（ ） A ．420 B ．-420C ．1680D ．-1680【答案】A【分析】8212y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示的是8个122y x +-相乘，要得到22x y ，则其中有2个因式取2x ，有两个因式取2y-，其余4个因式都取1，然后算出即可. 【详解】8212y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示的是8个122y x +-相乘， 要得到22x y ，则其中有2个因式取2x ，有两个因式取2y- 其余4个因式都取1所以展开式中22x y 项的系数是44222286124202C C C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题考查的是二项式定理，属于典型题.10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗⋯⋯，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()()2222224,11110x y A x y x y x y x ⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+-≤++≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭或，设点(,)∈x y A ，则2z x y =+的取值范围是( )A ．[25-5]B ．[25-25]C ．[5-25]D ．[4-，25]【答案】C【分析】结合图形，平移直线2z x y =+，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．【详解】如图，作直线20x y +=，当直线上移与圆22(1)1y x +-=相切时，2z x y=+此时，圆心(0,1)到直线2z x y =+的距离等于1，即|2|15z -=，解得z 的最大值为：25+，当下移与圆224x y +=相切时，2x y +取最小值， 同理||25z -=，即z 的最小值为：25-，所以[25,25]z ∈-+．故选C ．【点睛】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．11．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的右焦点为,,F A B 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF ⋅=且线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2D 5【答案】C【分析】先由已知条件求出AF 的中点M 的坐标，再代入到另一条渐近线方程中求解即可.【详解】解：由双曲线2222:1x y C a b-=，则其渐近线方程为by x a=±， 因为0AF BF ⋅=AO BO FO c ===不妨设A (),a b -,则B (),a b -, 又(c,0)F ，可得AF 的中点坐标为M ,22c a b -⎛⎫⎪⎝⎭，所以22b bc a a -=⨯， 解得：2ce a==，故选C.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，属中档题.12．已知函数()()xe a e xf m x a =--+，（,m a 为实数），若存在实数a ，使得()0f x ≤对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[,)eC ．1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,e e⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】先求出()f x 的单调性，得出11ln0ma a e--+≤-，即1ln()()a e m a e a a-≥-->，然后求出右边的最小值即可【详解】()()xe a e xf m x a =--+，则()()1xe e x af =-+'，若0e a -≥，可得0fx，函数()f x 为增函数，当x →+∞时，()f x →+∞，不满足()0≤f x 对任意x ∈R 恒成立； 若0e a -<，由0fx，得1x e a e =-，则1ln x a e =-， ∴当1,ln x a e ⎛⎫∈-∞ ⎪-⎝⎭时，0f x，当1ln,x a e ⎛⎫∈+∞ ⎪-⎝⎭时，0f x ，()1ln max1ln ()a ef x f e a e ma a e -⎛⎫∴==-- ⎪-⎝⎭11ln 1ln ma a e a e +=--+--， 若()0≤f x 对任意x ∈R 恒成立，则11ln 0()ma a e a e--+≤>-恒成立， 若存在实数a ，使得11ln0ma a e--+≤-成立， 则11ln ma a e ≥-+-，1ln()()a e m a e a a -∴≥-->， 令1ln()()a e F a a a-=--，则22ln()1()aa e a e F a a a ---'=-2()ln()()a e a e ea a e ---=-. ∴当2a e <时，()0F a '<，当2a e >时，()0F a '>，则min 1()(2)F a F e e==-.1m e ∴≥-.即实数m 的取值范围是1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A【点睛】1.本题考查的是利用导数解决函数的单调性问题，属于较难题 2.恒成立问题一般通过分离变量法转化为最值问题.二、填空题13．平面内不共线的三点,,O A B ，满足1OA =，2OB =，点C 为线段AB 的中点，若32OC =，则AOB ∠=__________. 【答案】120°【分析】由1()2OC OA OB =+平方即可算出1cos 2AOB ∠=-，然后即可得出答案 【详解】点C 为线段AB 的中点，1()2OC OA OB ∴=+，()222124OC OA OB OA OB =++⋅1(14212cos )4AOB =++⨯⨯⨯∠，解得1cos 2AOB ∠=-，120AOB ∴∠=︒.故答案为：120︒【点睛】本题考查的是数量积的有关的运算，较简单.14．已知数列{}n a 中，11a =，且1230n n a a +++=，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则6S =__________. 【答案】48-【分析】由123n n a a +=--得()1121n n a a ++=-+，即数列{}1n a +是以2为首项，以2-为公比的等比数列，即可求出n a ，进而求得6S【详解】因为123n n a a +=--，所以()1121n n a a ++=-+，因为1120a +=≠，所以数列{}1n a +是以2为首项，以2-为公比的等比数列，所以112(2)n n a -+=⨯-，即12(2)1n n a -=⨯--，()21(2)3nn S n =---，所以()662126483S =--=-. 故答案为：48-【点睛】本题考查的是数列通项公式及前n 项和的求法，属于基础题.15．已知直线l 经过抛物线2:4x C y =的焦点F ，与抛物线交于A 、B ，且8A B x x +=，点D 是弧AOB （O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为_____． 【答案】()()22445x y -+-=【分析】作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线AB 的斜率，可得出直线l 的方程，再利用当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，由此求出点D 的坐标，并计算出点D 到直线l 的距离，作为圆D 的半径，由此可得出圆D 的标准方程. 【详解】抛物线的标准方程为24x y =，抛物线的焦点坐标为()0,1F ，直线AB 的斜率()221424A BA B A B A B A B x x y y x x k x x x x --+====--，所以，直线l 的方程为21y x =+，即210x y -+=.当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，如下图所示：设点2,4t D t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点D 在直线l 的下方，则22102t t -+>，点D 到直线l 的距离为()22121544455t t t d -+--==，当4t =时，d 5 此时，点D 的坐标为()4,4，因此，圆D 的标准方程为()()22445x y -+-=.故答案为()()22445x y -+-=.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值等于__________. 【答案】514【分析】设正三棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为R ，先得出4ah =，然后222433h R r =+≥=，即3a h =时其外接球的表面积取最小值。
2020年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设全集为R ，集合A ={x|y =ln(9−x 2)}，B ={x|y =√4x −x 2}，则A ∩(∁R B)=( ) A. (−3,0] B. (0,3) C. (−3,0) D. [0,3)2. 在复平面内，复数2−3i3+2i 对应的点的坐标为( )A. (0,−1)B. (0,−139)C. (1213,−1) D. (129,−139)3. 有一个正三棱柱，其三视图如图所示，则其体积等于( )A. 3cm 3B. 4cm 3C. 3√32cm 3D. 1cm 34. 已知x ∈R ，则“x <1”是“x 2<1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件5. 已知点A(−1,3)、B(3,2)、C(−4,5)、D(−3,4)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( )A. 5√22B. −5√22C. 5√1717D. −5√17176. 函数f(x)=x +|x|x 的图象为下图中的( )A. B.C. D.7.已知变量y与x的线性回归方程为ŷ=2x+5，其中x的所有可能取值为1，7，5，13，19，则y=()A. 25B. 23C. 32D. 228.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，抛物线上一点P到准线和y轴的距离之和为5，则|PF|=()A. 5B. 4C. 3D. 29.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45∘的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A. [√2,+∞)B. (√2,+∞)C. (2,+∞)D. (1,+∞)10.如图所示，△ACD是边长为1的等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于点E．(1)BD2的值为；(2)线段AE的长为．A. 2−√3;√3−1B. 2+√3;√3+1C. 2+√3;√3−1D. 2−√3;√3+1E. 2;√3−1F. 2+√3;√311.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，AA1=AC=BC=1，∠ACB=90∘，D是A1B1的中点，F是BB1上的点，AB1，DF相交于点E，且AB1⊥DF，则下列结论中不正确的是()A. CE与BC1异面且垂直B. AB1⊥C1FC. ΔC1DF是直角三角形D. DF的长为√6312.若函数f(x)=2sin(ωx+ϕ),x∈R(其中ω>0，|ϕ|<π2)的最小正周期是4π，且f(0)=√2，则()A. ω=12，ϕ=π6B. ω=12，ϕ=π4 C. ω=2，ϕ=π6D. ω=2，ϕ=π4 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数f(x)=x 2+lnx 在点(1,f(1))处的切线方程为______．14. 已知(1+x)10=a 0+a 1(1−x)+a 2(1−x)2+⋯+a 10(1−x)10，则a 8等于________．15. 若函数f(x)={(12)x ,0≤x <2f(x −1)+1,x ≥2，则f(log 212)=______．16. 在等差数列{a n }中，已知a 3=3，a 2+a 8=10，则a n = ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，在△ABC 中，M 是AC 的中点，∠C =π3,AM =2．(1)若∠A =5π12，求AB 的长；(2)若的面积．18. 如图，在梯形ABCD 中，AB//CD,∠BCD =2π3，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD =CD =BC =CF ．(Ⅰ)求证：EF⊥平面BCF ；(Ⅱ)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．19.已知函数f(x)=e x−ax2,a∈R,x∈(0,+∞).(1)若f(x)存在极小值，求实数a的取值范围；.(2)若f(x)的极大值为M，求证：1<M<e220.已知点P是圆F1：(x−1)2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过点G(0,1)的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB3为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量(单位：克)分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．(1)从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；(2)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取3个零件进行检测，已知三件中有两件是合格品的条件下，另外一件是不合格品的概率．(3)若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X表示乙车间的零件个数，求X的分布列与数学期望．22.在平面直角坐标系xOy中，射线l：y=√3x(x≥0)，曲线C1的参数方程为为参数)，曲线C2的方程为x2+(y−2)2=4；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为．(1)写出射线l的极坐标方程以及曲线C 1的普通方程；(2)已知射线l与C 2交于O，M，与C 3交于O，N，求|MN|的值．23.设a、b∈R+且a+b=3，用分析法证明：√1+a+√1+b≤√10【答案与解析】1.答案：C解析：解：A={x|−3<x<3}，B={x|0≤x≤4}；∴∁R B={x|x<0，或x>4}；∴A∩(∁R B)=(−3,0)．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．2.答案：A解析：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．解：复数2−3i3+2i =(2−3i)(3−2i)(3+2i)(3−2i)=−13i13=−i对应的点的坐标为(0,−1)，故选A．3.答案：B解析：解：由三视图和题意得，正三棱柱的高是√3cm，底面正三角形的边长为2sin60°=4√33cm，∴该正三棱柱的体积V=12×4√33×2×√3=4(cm3)，故选：B．由三视图和题意求出正三棱柱的高，由直角三角形的正弦函数求出底面边长，由柱体的体积公式求出答案．本题考查由三视图求几何体的体积，直角三角形的正弦函数的应用，属于基础题．4.答案：B解析：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． x 2<1，解得−1<x <1.即可判断出关系．解：x 2<1，解得−1<x <1．∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件．故选：B ．5.答案：A解析：本题主要考查向量坐标运算以及向量投影的应用，根据向量投影和向量数量积的关系进行转化是解决本题的关键．根据条件求出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再根据投影的定义即可得到答案． 解：∵A(−1,3)、B(3,2)、C(−4,5)、D(−3,4)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5√22， 故选：A ．6.答案：C解析：本题考查分段函数图象问题，依题意，f(x)=x +|x|x ={x +1,x >0x −1,x <0，根据解析式即可求得结果． 解析：解：因为函数f(x)=x +|x|x ={x +1,x >0x −1,x <0， 根据分段函数解析式即可判断C 中图象正确，故选C ．7.答案：B解析：解：由题意，x=15(1+7+5+13+19)=9，代入ŷ=2x+5，可得：y=2×9+5=23．故选：B．求出x，代入ŷ=2x+5，可得y．本题解题的关键是回归直线方程一定过样本的中心点，本题是一个基础题．8.答案：C解析：本题考查了抛物线的定义和几何性质，属于基础题．设|PF|=m，根据抛物线的性质可得点P到准线和y轴的距离分别为m，m−1，根据题意可得2m−1=5，即可求出m=3．解：设|PF|=m，由抛物线C:y2=4x，得准线方程为x=−1，则点P到准线和y轴的距离分别为m，m−1，所以2m−1=5，解得m=3，即|PF|=3．故选C．9.答案：A解析：解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点．则：该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率ba所以ba≥1e2=c2a2=a2+b2a2≥2∴e≥√2故选：A．若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．本题考查的知识点：双曲线的性质及应用及相关的运算问题．10.答案：C解析：本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)在△BCD中，CD=CB=1，∠DCB=150°，∠CDB=∠CBD=15°，利用余弦定理可求BD2；(2)在△ADE中，AD=1，∠DAE=60°，∠ADE=45°，则∠AED=75°，由正弦定理可得AE的值．解：(1)在△BCD中，CD=CB=1，∠DCB=150°，∠CDB=∠CBD=15°由余弦定理可得：BD2=1+1−2×1×1×cos150°=2+√3(2)在△ADE中，AD=1，∠DAE=60°，∠ADE=45°，则∠AED=75°由正弦定理可得：AEsin45°=1sin75°∴AE=√3−1故选C．11.答案：D解析：本题主要考查空间中，线线，线面间的位置关系，空间中的距离，属于较难题．利用空间中线线，线面间的位置关系，根据选项逐个分析判断即可．解：对于A，∵BC1⊂平面B1C1CB，CE⊄平面B1C1CB，且C∈平面B1C1CB，C∉BC1，∴CE与BC1是异面直线，∵AA1//CC1，AA1⊥平面ABC，∴CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，BC，CC1⊂平面B1C1CB，∴AC⊥平面B1C1CB，又BC1⊂平面B1C1CB，∴AC⊥BC1，又四边形B1C1CB是正方形，连接B1C，∴BC1⊥B1C，又B1C∩AC=C，B1C，AC⊂平面AB1C，∴BC1⊥平面AB1C，∵CE⊂平面AB1C，∴BC1⊥CE，故A正确；对于B，∵C1A1=C1B1，D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1，由AA1⊥底面A1B1C1，C1D⊂底面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1=A1，A1B1，AA1⊂平面ABB1A1，∴C1D⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，∴C1D⊥AB1，又DF⊥AB1，C1D∩DF=D，C1D，DF⊂平面C1DF，∴AB1⊥平面C1DF，C1F⊂平面C1DF，∴AB1⊥C1F，故B正确；对于C，由C1D⊥平面ABB1A1，DF⊂平面ABB1A1，可得C1D⊥DF，故△C1DF是直角三角形，故C正确；对于D，∵AC=BC=AA1=1，∠ACB=90°，∴A1B1=AB=√2，AB1=√3，∴DB1=√22，∵AB1⊥DF，∴∠FDB1=∠AB1F=∠A1AB1，∴cos∠FDB1=cos∠A1AB1，即DB1DF =AA1AB1，∴√22DF=√3，解得DF=√62，故D错误．故选D．12.答案：B解析：由T=2πω=4π得ω=12.由f(0)=√2，2sinω=√2∴sinϕ=√22.∵|ϕ|<π2，∴ϕ=π4.故选B.13.答案：3x−y−2=0解析：解：f′(x)=2x+1x；故f′(1)=2+1=3；故函数f(x)=x2+lnx的图象在点A(1,1)处的切线方程为：y−1=3(x−1)；即3x −y −2=0；故答案为：3x −y −2=0．由题意求导f′(x)=2x +1x ，从而可知切线的斜率，从而写出切线方程．本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，属于基础题． 14.答案：180解析：本题考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．关键是将底数改写成右边的底数形式．将1+x 写成2−(1−x)；利用二项展开式的通项公式求出通项，令1−x 的指数为8，求出a 8． 解：∵(1+x)10=[2−(1−x)]10∴其展开式的通项为T r+1=C 10r 210−r [−(1−x )]r =(−1)r ·210−r ·C 10r (1−x )r ，令r =8得a 8=4C 108=180故答案为180．15.答案：73解析：解：∵函数f(x)={(12)x ,0≤x <2f(x −1)+1,x ≥2， ∴f(log 212)=f(log 212−2)+2=(12)log 212÷(12)2+2=112×4+2=73． 故答案为：73． 推导出f(log 212)=f(log 212−2)+2=(12)log 212÷(12)2+2，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 16.答案：n解析：本题考查等差数列的通项公式，考查了方程组的解法，是基础题．设出等差数列的首项和公差，由题意列方程组求出首项和公差，则答案可求．解：由a 3=3，a 2+a 8=10，得：{a 3=a 1+2d =3a 2+a 8=2a 1+8d =10， 解得：{a 1=1d =1， ∴a n =1+(n −1)=n ．故答案为：n ．17.答案：解：(1)∠ABC =π−π3−5π12=π4，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin∠ABC =AB sin∠C ，．(2)在△BCM 中，由余弦定理得：BM 2=CM 2+BC 2−2CM ⋅BCcos π3=CM 2+BC 2−2CM ⋅BC ⋅12，∴12=4+BC 2−2BC ，解得BC =4(负值舍去)，∴S △ABC =12⋅BC ⋅CA ⋅sin π3=4√3，解析：本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．(1)根据正弦定理进行求解即可．(2)根据余弦定理结合三角形的面积公式进行计算即可．18.答案：(1)证明：在梯形ABCD 中，∵AB//CD ，设AD =CD =BC =1，又∵∠BCD =2π3，∴AB =2，∴AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos60°=3．∴AB 2=AC 2+BC 2.则BC ⊥AC ．∵CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥CF ，而CF ∩BC =C ，∴AC ⊥平面BCF ．∵EF//AC ，∴EF ⊥平面BCF ；(2)解：分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AD =CD =BC =CF =1，令FM =λ(0≤λ≤√3)，则C(0,0，0)，A(√3,0，0)，B(0,1，0)，M(λ,0，1)，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1，0)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,−1,1)， 设n⃗ =(x,y ，z)为平面MAB 的一个法向量， 由{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{−√3x +y =0λx −y +z =0，取x =1，则n ⃗ =(1,√3,√3−λ)， ∵m ⃗⃗⃗ =(1,0，0)是平面FCB 的一个法向量，∴cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√1+3+(√3−λ)2×1=√(λ−√3)2+4． ∵0≤λ≤√3，∴当λ=0时，cosθ有最小值为√77，∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成二面角最大，此时二面角的余弦值为√77．解析：本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．(1)在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，满足AB2=AC2+BC2，得则BC⊥AC.再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF.进一步得到EF⊥平面BCF；(2)分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC= CF=1，令FM=λ(0≤λ≤√3)，得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为√77，此时点M与点F重合．19.答案：解：(1)f(x)=e x−ax2，x∈(0,+∞)．∴f′(x)=e x−2ax=2x(e x2x−a)，设g(x)=e x2x，x∈(0,+∞)，则f′(x)=2x⋅[g(x)−a]，且g′(x)=e x(x−1)2x2，∵x∈(0,+∞)，e x>0，2x2>0，当x∈(1,+∞)时，且g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(0,1)时，且g′(x)<0，g(x)单调递减，∴g(x)min=g(1)=12e，其大致图象如图所示，结合图象可知，①当a≤12e时，f′(x)≥0在(0,+∞)上单调递增，没有极值，不符合题意，②当a>12e时，直线y=a与y=g(x)有2个不同的交点，设其横坐标分别为x1，x2，且0<x1<1<x2，当0<x<x1或x>x2时，g(x)>a，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x1<x<x2时，g(x)<a，f′(x)<0，f(x)单调递减，故函数f(x)在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，综上可得，a的范围(12e,+∞)，(2)结合(1)，若f(x)的极大值为M，则a>12e，M =f(x 1)=e x 1−ax 12， 因为a =e x 12x 1， 所以M =e x 1−x 1e x 12=e x 1(1−12x 1)， 令ℎ(x)=e x (1−12x)，x ∈(0,1)，则ℎ′(x)=12e x (1−x)<0在x ∈(0,1)时恒成立，即ℎ(x)在(0,1)上单调递减，又ℎ(0)=1，ℎ(1)=12e ，故ℎ(x)∈(1,12e)，即1<M <12e ．解析：(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系讨论函数的单调性，进而可求出满足题意的a 的范围，(2)结合(1)的讨论可知M =f(x 1)=e x 1−ax 12，构造函数，结合函数的单调性可求M 的取值范围，即可证明．本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，研究极值及函数的值域的求解，属于中档试题． 20.答案：解：(1)由题意得|MF 1|+|MF 2|=|MF 1|+|MP|=|F 1P|=2√2>|F 1F 2|=2，所以点M 的轨迹C 为以F 1，F 2为焦点的椭圆，因为2a =2√2，2c =2，所以点M 的轨迹C 的方程为x 22+y 2=1．(2)直线l 的方程可设为y =kx +13，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =kx +13x 22+y 2=1，可得9(1+2k 2)x 2+12kx −16=0． 由求根公式化简整理得x 1+x 2=−4k 3(1+2k 2)，x 1x 2=−169(1+2k 2)，假设在y 轴上存在定点Q(0,m)，使以AB 为直径的圆恒过这个点，则，即AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0． 因为AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 1,m −y 1)，BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 2,m −y 2)，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+(m −y 1)(m −y 2) =x 1x 2+(m −kx 1−13)(m −kx 2−13) =(1+k 2)x 1x 2+k(13−m)(x 1+x 2)+m 2−2m 3+19=−16(1+k 2)9(1+2k 2)−12k 2(13−m)9(1+2k 2)+m 2−2m 3+19=(18m 2−18)k 2+(9m 2−6m −15)9(1+2k 2)=0．所以{18m 2−18=09m 2−6m −15=0，求得m =−1． 因此，在y 轴上存在定点Q(0,−1)，使以AB 为直径的圆恒过这个点．解析：本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．(1)判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可．(2)直线l 的方程可设为y =kx +13，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y 轴上是否存在定点Q(0,m)，使以AB 为直径的圆恒过这个点，利用AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求得m =−1.推出结果即可． 21.答案：解：(1)质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测，由茎叶图得甲车间的合格零件数为4，乙车间的合格零件数为2，∴从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率：P =(1−C 42C 82)(1−C 22C 42)=5584． (2)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取3个零件进行检测，已知三件中有两件是合格品的条件下，另外一件是不合格品的概率P =C 42C 41C 42C 41+C 43=67． (3)由题意可得X 的所有可能取值为0，1，2，P(X =0)=C 82C 122=1433， P(X =1)=C 41C 81C 122=1633，P(X=2)=C42C122=111，∴随机变量X的分布列为：P 0 1 2X14331633111∴E(X)=0×1433+1×1633+2×111=23．解析：(1)利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率．(2)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取3个零件进行检测，利用古典概型、排列组合能求出三件中有两件是合格品的条件下，另外一件是不合格品的概率．(3)由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和E(X)．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(1)射线l：y= √3x(x≥0)，转换为极坐标方程为：θ= π 3(ρ≥0)．曲线C1的参数方程为为参数)，转换为直角坐标方程为x29 + y24 =1，所以曲线C1的普通方程为x29 + y24 =1；(2)曲线C2的方程为x2+(y−2)2=4，所以x2+y2−4y=0，因为x2+y2=ρ2，，所以，即ρ=4sinθ，所以曲线C2极坐标方程为：ρ=4sinθ，射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，所以．解析：本题考查的知识要点：参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极坐标方程的几何意义，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用极坐标方程的几何意义列出．23.答案：证明：∵a、b∈R+且a+b=3，∴欲证√1+a+√1+b≤√10，只需证(√1+a+√1+b)2≤10，即证2+a+b+2√(1+a)⋅(1+b)≤10，即证2√(1+a)⋅(1+b)≤5，只需证4(1+a)⋅(1+b)≤25，即证4(1+a+b+ab)≤25，只需证4ab≤9，即证ab≤94，∵ab≤(a+b2)2=(32)2=94成立，∴√1+a+√1+b≤√10成立．解析：本题考查了利用分析法证明不等式，根据分析法的证明步骤证明即可，难度一般．根据已知及基本不等式，运用分析法证明．。
2020年江西省南昌市高考数学三模试卷(理科)(含答案解析)
2020年江西省南昌市高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2-x＞0}，B={x|2x-2＜1}，则（∁R A）∩B=（）A. [1，2）B. （0，1）C. （1，2）D. [0，1]2.已知复数的实部为,则其虚部为( )A. B. C. D.3.已知等差数列{a n}的前9项和为45，a3=-1，则a7=（）A. 11B. 10C. 9D. 84.已知函数f（x）＝sin x－x，则不等式f（x＋2）＋f（1－2x）＜0的解集是( )A. B. C. D.5.若tan（α-）=2，则tan（2α）等于（）A. -2B.C. 2+D.6.已知非零向量=（1，1-x），=（0，x-4），则“向量，的夹角为锐角”是“x∈（2，4）”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.设a=，b=，c=log32，则a，b，c的大小关系是（）A. a＜b＜cB. a＜c＜bC. c＜a＜bD. c＜b＜a8.如图,长方体,,,点P在线段上,的方向为正主视方向,当AP最短时,棱锥的左侧视图为( )A.B.C.D.9.如图所示框图，若输入3个不同的实数x，输出的y值相同，则此输出结果y可能是（）A. B. -1 C. 4 D. -210.如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c．例如，图中上档的数字和a=9．若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有（）种．A. 12B. 24C. 16D. 3211.设直线x-3y+m=0（m≠0）与双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.12.已知数列{a n}：，，，，，，，，，，，，，…（其中第一项是，接下来的22-1项是，，再接下来的23-1项是，，，，，，，依此类推．）的前n项和为S n，下列判断：①是{a n}的第2036项；②存在常数M，使得S n＜M恒成立；③S2036=1018；④满足不等式S n＞1019的正整数n的最小值是2100．其中正确的序号是（）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.x（x2-2x）6的展开式中，x10的系数是______．14.若x,y满足约束条件,则的最小值为______．15.如图，ABCD边长为4的正方形，△PAD是一个正三角形，△PAD绕边AD转动，得到四棱锥P-ABCD．当这个四棱锥体积最大时，它的外接球的表面积为______．16.已知函数,,其中若,,使得成立,则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图所示，在直角坐标系xOy中，扇形OAB的半径为2，圆心角为，点M是弧AB上异于A，B的点．（Ⅰ）若点C（1，0），且CM=，求点M的横坐标；（Ⅱ）求△MAB面积的最大值．18.如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，BA⊥AD，AB=AD=CD=1，BDEF是菱形，BD=DF，平面BDEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥DF；（Ⅱ）求平面BCF与平面CDE所成角的余弦值．19.某企业产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布N（80，0.25），从当前生产线上随机抽取200产品尺产/mm [76，78.5]（78.5，79）（79，79.5]（79.5，80.5]（80.5，81]（81，81.5]（81.5，83]件数427278036206旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）以内为正品，以外为次品．P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974（Ⅰ）判断生产线是否工作正常，并说明理由；（Ⅱ）用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费10元/件，次品检测费15元/件，记这3件产品检测费为随机变量X，求X的数学期望及方差．20.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，以PF1为直径的圆E：x2+＝过点F2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P且斜率大于0的直线l1与C的另一个交点为A，与直线x＝4的交点为B，过点（3，）且与l1垂直的直线l2与直线x＝4交于点D，求△ABD面积的最小值．21.已知函数a为常数．Ⅰ求函数,的最大值、最小值；Ⅱ若函数为自然对数的底在区间上单调递减,求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcosθ-inθ+1=0．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若点M的直角坐标为（-1，0），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．23.已知f（x）=|2x-a|+|2x+1|，g（x）=|x+1|-|3x-2|．（Ⅰ）若f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若存在实数x1，x2，使得等式f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：A={x|x2-x＞0}={x|x＞1或x＜0}，B={x|2x-2＜1}={x|x-2＜0}={x|x＜2}，则（∁R A）={x|0≤x≤1}，则（∁R A）∩B={x|0≤x≤1}，故选：D．根据不等式的解法求出集合的等价条件，结合集合的补集，交集的定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部等于-1求得a值，则虚部可求．【分析】解：∵z=（a-i）（3+2i）=（3a+2）+（2a-3）i的实部为-1，即3a+2=-1，∴a=-1．则z的虚部为-5．故选：C．3.答案：A解析：解：等差数列{a n}的前9项和为45，∴=45，解得a1+a9=10．∴a7=a1+a9-a3=10-（-1）=11．故选：A．利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：D解析：解：函数f（x）=sin x-x，其定义域为R，且f（-x）=sin（-x）-（-x）=-（sin x-x），则函数f（x）是定义在R上的奇函数，导函数是f'（x）=cos x-1≤0，所以f（x）=sin x-x是减函数，不等式f（x+2）+f（1-2x）＜0⇒f（x+2）＜f（2x-1），即x+2＞2x-1⇒x＜3，故选：D．根据题意，由函数奇偶性的定义分析可得函数f（x）是定义在R上的奇函数，对f（x）求导可得f'（x）=cos x-1≤0，即可得f（x）=sin x-x是减函数，则不等式f（x+2）+f（1-2x）＜0可以转化为x+2＞2x-1，解可得x的范围，即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数f（x）的奇偶性与单调性．5.答案：B解析：解：∵tan（α-）=2，∴tan（2α-）=tan2（α-）===-，故选：B．根据二倍角的正切公式即可求出．本题考查了二倍角的正切公式，属于基础题．6.答案：B解析：解：当向量，共线时，满足x-4=0，此时x=4，此时两个向量分别为=（1，-3），=（0，0）不满足条件．则向量，不共线，若向量，的夹角为锐角，则＞0，得（1-x）（x-4）＞0得（x-1）（x-4）＜0，得1＜x＜4，即x∈（1，4），则x∈（1，4）是x∈（2，4）的必要不充分条件，故选：B．结合向量夹角与向量数量积的定义，求出x的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量夹角与向量数量积的定义求出x的范围是解决本题的关键．7.答案：B解析：解：∵，，，∴a＜c＜b．故选：B．容易得出，，，从而可得出a，b，c的大小关系．考查分数指数幂的运算，对数函数的单调性，减函数和增函数的定义．8.答案：B解析：【分析】本题考查了空间几何体的三视图，注意在三视图中看不到的线画成虚线．本题属于基础题．依题意，棱锥P-AA1B1B的左（侧）视图外部轮廓为正方形，且侧棱AP，BP被底面AA1B1B遮挡，显示为虚线，当AP最短时，AP⊥B1D1，因为A1B1=2，A1D1=3，所以B1P＜D1P，所以两虚线的交点离点B1更近，即离右下角更近．【解答】解：依题意，棱锥P-AA1B1B的左（侧）视图外部轮廓为正方形，且侧棱AP，BP被底面AA1B1B遮挡，显示为虚线，当AP最短时，AP⊥B1D1，因为A1B1=2，A1D1=3，所以B1P＜D1P，所以两虚线的交点离点B1更近，即离右下角更近．故选：B．9.答案：A解析：解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，作出函数的图象如下：由题意，输入3个不同的实数x，输出的y值相同，可得-1＜y＜3，比较各个选项可得输出结果y可能是．故选：A．模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，画出函数的图象即可得解．本题考查了程序框图的应用问题，考查了分段函数的图象，属于基础题．10.答案：D解析：解：根据题意，a，b，c的取值范围都是从7～14共8个数字，故公差d范围是-3到3，①当公差d=0时，有=8种，②当公差d=±1时，b不取7和14，有2=12种，③当公差d=±2时，b不取7，8，13，14，有2=8种，④当公差d=±3时，b只能取10或11，有2=4种，综上共有8+12+8+4=32种，故选：D．a，b，c的取值范围都是从7～14，可以根据公差d的情况进行讨论．本题考查排列、组合的应用，要表示的有3项，做题时容易找不到切入点，本题应考虑等差中项的选取方法，属于中档题．11.答案：A解析：【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=-3，从而可求双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为y=±x，分别与x-3y+m=0（m≠0）联立，解得A（-，-），B（-，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=-3，∴a=2b，∴c=b，∴e==．故选：A．12.答案：C解析：解：①是{a n}的第k项，则k=21-1+22-1+……+210-1=-10=2036；②由题意可得：分母为2k时，==（k∈N*），可得：S n单调递增，且n→+∞时，S n→+∞，因此不存在常数M，使得S n＜M恒成立，因此不正确；③由②可得：S2036=++……+=++……+==1018，因此正确．④S2036=1018，设S2036+=1018+＞1019，则k（k+1）＞212，解得k＞64．∴满足不等式S n＞1019的正整数n的最小值=2036+64=2100，因此正确．其中正确的序号是①③④．故选：C．①是{a n}的第k项，则k=21-1+22-1+……+210-1，利用等比数列的求和公式求出即可判断出结论．②由题意可得：分母为2k时，==（k∈N*），可得：S n单调递增，且n→+∞时，S n→+∞，即可判断出结论．③由②可得：S2036=++……+，利用等差数列的求和公式求出即可判断出结论．④S2036=1018，设S2036+=1018+＞1019，解得k即可判断出结论．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.答案：-160解析：解：依题意，x（x2-2x）6的展开式的第k+1项为T k+1=x=，由13-k=10，得k=3，所以x10的系数是=（-8）×20=-160，故答案为：-160．x（x2-2x）6的展开式的第k+1项为T k+1=x=，由13-k=10，得k=3，代入通项即可．本题考查了二项式定理，主要考查二项展开式的通项，属于基础题．14.答案：4解析：解：作出x，y满足约束条件如图：由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得A（1，2），此时z=2×1+2=4，故答案为：4．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15.答案：解析：解：如图，要使四棱锥P-ABCD体积最大，则平面PAD⊥平面ABCD，设等边三角形PAD的外心为F，过F作平面PAD的垂线，过G作底面ABCD的垂线，两垂线相交于O，则O为四棱锥P-ABCD的外接球的球心，连接OP，则OP为四棱锥P-ABCD的外接球的半径，∵PF=，OF=．∴．∴四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为S=4π×．故答案为：．由题意，要使四棱锥P-ABCD体积最大，则平面PAD⊥平面ABCD，求出四棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．16.答案：解析：【分析】由f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2）成立，可得成立；设h（x）=，u（x）=，求解h（x）的值域是u（x）值域的子集求解a的值即可．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．【解答】解：由题意，f(x)≠0，由f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2）成立，得g（x1）≠0，g（x2）≠0，可得成立；设h（x）=，u（x）=，那么h（x）=，∵x1∈[1，2]，当a＞1或a<时，可得h（x）的值域为[，]u（x）=ax-1∵x2[1，2]，∴可得u（x）的值域为[a-1，2a-1]；∵∀x1∈[1，2]，∃x2∈[1，2]，∴h（x）的值域是u（x）值域的子集；在a>1的情况下，可得：，解得：1＜a；，解得：a；∴a=.在a<的情况下，可得：，解得：a≤0（结合条件知a无解）;当，h(x)的值域为,不可能是u(x）值域的子集；当a=时，代入验证即可排除.综上可得：a=故答案为：．17.答案：解：（Ⅰ）连接OM，根据题意，在△OCM中，OC=1，CM=，OM=2，所以cos∠COM==，所以点M的横坐标为2×=．（Ⅱ）设∠AOM=θ，θ，则∠BOM=-θ，S△MAB=S△OAM+S△OBM-S△OAB=[sinθ+sin（-θ）]-=2sin（θ+）-，因为θ，所以θ+∈（，），所以当θ=时，△MAB面积最大，且最大值为．解析：（Ⅰ）连接OM，根据题意在△OCM中，由余弦定理可求cos∠COM，进而可求点M的横坐标．（Ⅱ）设∠AOM=θ，θ，则∠BOM=-θ，利用三角形的面积公式可得S△MAB=sin（θ+）-，根据范围θ+∈（，），利用正弦函数的性质可求其最大值．本题主要考查余弦定理，三角形的面积公式，正弦函数的性质的综合应用，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题．18.答案：解：（Ⅰ）证明：如图，取CD中点H，连结BH，则BH⊥CD，由已知得BH=1，CH=1，BC=，CD=2，∴BC2+BD2=CD2，∴CB⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，且平面BDEF∩平面ABCD=BD，∴CB⊥平面BDEF，又DF⊂平面BDEF，BC⊥DF．（Ⅱ）如图，取BD的中点O，∵BD=DF=BF，∴FO⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，且平面BDEF∩平面ABCD=BD，∴FO⊥平面ABCD，如图，以O为原点，过O作AB的平行线为x轴，过O作AD的平行线为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，则B（，0），C（，0），D（-，0），F（0，0，），=（1，1，0），=（-，），=（-2，0，0），∵DE∥BF，且DE=BF，∴=（-），设平面BCF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，），设平面CDE的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，-），∴cos＜＞===-，∴平面BCF与平面CDE所成角的余弦值为．解析：（Ⅰ）取CD中点H，连结BH，则BH⊥CD，推导出CB⊥BD，从而CB⊥平面BDEF，由此能证明BC⊥DF．（Ⅱ）取BD的中点O，以O为原点，过O作AB的平行线为x轴，过O作AD的平行线为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BCF与平面CDE所成角的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：（Ⅰ）依题意，有μ=80，σ=0.5，所以正常产品尺寸范围为（78.5，81.5）：200×（1-0.9974）≈0.52件，超出正常范围以外的零件数为10件，故生产线不正常；（Ⅱ）依题意，尺寸在[78.5，81.5]以外就是次品，故次品率为=．记着3件产品中次品数为Y，则Y服从二项分布B（3，），X=10（3-Y）+15Y=5Y+30，则E（Y）=3×=，D（Y）=3×=，所以X的数学期望是E（X）=5E（Y）+30=（元），方差是D（X）=52•D（Y）=25×=．解析：（Ⅰ）正常产品尺寸范围为（78.5，81.5），200×（1-0.9974）≈0.52件，超出正常范围以外的零件数为10件，故生产线不正常；（Ⅱ）记着3件产品中次品数为Y，则Y服从二项分布B（3，），可以计算随机变量Y的期望与方差，又X=10（3-Y）+15Y=5Y+30，根据X，Y的线性关系即可得到X的期望与方差，本题主要考查了正态分布中3σ原则，考查成线性相关的两个随机变量的期望与方差的关系，考查基本分析应用的能力，属于中档题．20.答案：解：（Ⅰ）在圆E的方程中，令y=0，得到：x2=4，所以F1（-2，0），F2（2，0），又因为，所以P点坐标为，所以，则，b=2，因此椭圆的方程为；（Ⅱ）设直线l1：y-=k（x-2）（k＞0），所以点B的坐标为，设A（x A，y A），D（x D，y D），将直线l1代入椭圆方程得：（1+2k2）x2+（4k-8k2）x+8k2-8k-4=0，所以x P x A=，所以x A=，直线l2的方程为y-=-（x-3），所以点D坐标为，所以S△ABD=（4-x A）|y B-y D|=••=2k++2≥2+2，当且仅当2k=，即k=时取等号，综上，△ABD面积的最小值2+2．解析：（Ⅰ）根据题意求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线l1的方程，代入涂鸦方程，利用韦达定理求得A的横坐标，求得直线l2方程，求得D 点坐标，利用三角形的面积公式及基本不等式即可求得△ABD面积的最小值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．21.答案：解：（I）函数f（x）=（1+）ln x+a（a∈R，a为常数）．所以f′（x）=-ln x+（1+）=，x∈[l，e]令φ（x）=x-ln x+1，x∈[1，e]，则φ′（x）=1-≥0，φ（x）在[l，e]上单调递增，所以φ（x）≥φ（1）＞0，所以f′（x）＞0，则f（x）在[l，e]上单调递增，所以f（x）的最大值为f（e）=+1+a，f（x）的最小值为f（1）=a；（Ⅱ）（i）当a≥0时，f（x）≥0，g（x）=；g′（x）==；依题意：x∈[l，e]时，g′（x）≤0恒成立，令u（x）=-（1+x+x2）ln x-ax2+x+1，x∈[l，e]，u′（x）=-（1+2x）ln x--（2a+1）x＜0．即u（x）在[l，e]上单调递减，所以u max（x）=u（1）=-a+2≤0，∴a≥2（ii）当+1+a≤0即a≤-时，f（x）≤0，g（x）=-，由（i）可知g′（x）=，又g（x）在[1，e]上单调递减，因为a≤-1-，所以u（x）≥-（1+x+x2）ln x+（1+）x2+x+1＞（x2+x+1）（1-ln x）≥0成立，所以u（x）=-（1+x+x2）ln x-ax2+x+1≥0对x∈[1，e]恒成立，所以g（x）在[l，e]上单调递减；（ⅲ）当f（1）＜0，f（e）＞0，即-＜a＜0时，则存在x0∈（1，e）使得f（x0）=0，从而x=x0时，函数g（x）==0，而g（e）=＞0，所以g（x）在区间[1，e]上不单调递减，综上所述：a∈（∞，-]∪[2，+∞）．解析：（Ⅰ）求函数y=f（x）的导函数利用函数的单调性可求得函数在x∈[1，e]的最大值、最小值；（Ⅱ）若函数g（x）=（e为自然对数的底）在区间[1，e]上单调递减，转换成x∈[l，e]时，g′（x）≤0恒成立，令u（x）=-（1+x+x2）ln x-ax2+x+1，x∈[l，e]，分类讨论求新函数的最值可求实数a的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查参数的范围问题，正确求导计算和分类讨论是关键．22.答案：解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（α为参数）．转换为直角坐标方程为（x-2）2+（y-1）2=4．直线l：ρcosθ-inθ+1=0．转换为直角坐标方程为．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的直角坐标方程转换为参数方程为（t为参数），代入圆的方程（x-2）2+（y-1）2=4，得到，所以，t1•t2=6（t1和t2为A、B对应的参数），所以|MA|+|MB|=．解析：（Ⅰ）直接利用转换关系把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的直线，首先求出直线的参数式，进一步利用直线和曲线的位置关系，利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点；参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.答案：解：（Ⅰ）f（x）=|2x-a|+|2x+1|≥|（2x-a）-（2x+1）|=|a+1|，若f（x）≥2恒成立，则|a+1|≥2，解得a≥1或a≤-3，所以实数a的取值范围是a≤-3或a≥1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）的值域为[|a+1|，+∞），又g（x）=|x+1|-|3x-2|=，所以g（x）的值域为（-∞，]；若存在实数x1，x2，使得等式f（x1）=g（x2）成立，则[|a+1|，+∞）∩（-∞，]≠∅，所以|a+1|≤，解得-≤a≤，所以实数a的取值范围是-≤a≤．解析：（Ⅰ）利用绝对值不等式求出f（x）的最小值，把f（x）≥2化为关于a的不等式，求出解集即可；（Ⅱ）分别求出f（x）、g（x）的值域，问题化为两个值域的交集非空时实数a的取值范围即可．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想，是中档题．。
江西省南昌市2020届高三下学期一模(理科)数学试卷(答案)
………6 分 ………9 分
— 高三理科数学（模拟一）答案第 3 页—
（3）下一轮得
1分并最终获胜，概率为
1 3
Pi41
；
所以
Pn
1 3
Pn1
1 3
Pn
1 3
Pn1
2Pn
Pn1
Pn1 ，（ n
2, 3, 4,5, 6, 7 ）
所以{Pn} 是等差数列，则 P4
P0
2
P8
1 2
，即决赛甲获胜的概率是
所以 f (x) 的极大值为 f (x1) ex1 x12 (ex1 2x1)x1 (1 x1)ex1 x12 ，
………9 分
因为1 x1 0 ， ex1 1 x1 ，所以 f (x1) (1 x1)(1 x1) x12 1.
即函数 f (x) 的极大值不小于1.
………12 分
………2 分
设公共点为 P ，因此 PF1 | | PF2 4 ，所以 P 点的轨迹 E 是以 F1(1, 0) ，F2 (1, 0) 为焦点的椭圆，
所以 2a 4, c 1 a 2,b 3 ，即轨迹 E 的方程为 x2 y2 1 . 43
………5 分
（Ⅱ）过 F2 点且斜率为 k 的直线方程为 y k(x 1) ，设 M (x1, y1), N (x2 , y2 )
x ln 2 时， g(x) 0 , g(x) 单调递增， g(x) (2 2 ln 2, ) ，
………5 分
由题意，方程 g(x) k 有两个不同解，所以 k (2 2 ln 2, ) ；
………6 分
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知， f (x) 在区间 (, ln 2) 上存在极大值点 x1 ，且 k ex1 2x1 ，
江西省南昌市2020届高三上学期摸底数学理试卷Word版含解析
2018届南昌市高三摸底调研考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分.考试时间120分钟. 一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的. 已知复数z 满足(1 i)^2，则复数z 的虚部为 A . 1 B . -1 C . 设集合 A -\x|—2m x m 1, B = lx| y = log 2(x 2 A . [-2,1) 已知 sin v -1, v 3 A . -2 C .一 2 4 1. 2. 3. 4. B . (-1,1] JI (，二)，则 tanv 二 2 B . - 2 D .一辽8 n 为 5. 6. 7. 执行如图所示的程序框图，输出的 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 工X y -1 _0I 设变量x, y 满足约束条件 x -2y • 2 一 0 , 2x - y - 2 _0A . -2B . 2 已知m , n 为两个非零向量，则“A .充分不必要条件C .充要条件 如图，网格纸上小正方形的边长为 是某多面体的三视图，2A.— 3 i D . - i -2x -3)?，则 Ap|B 二 C . 3 D . m 与n 共线”是“ m n =| m n |"的 B .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件1，粗实线及粗虚线画出的 则该多面体的体积为 4 B. 3 C.2 8 D.- 3 x y = cos- 函数y 二sin( )的图像可以由函数 2 6 A .向右平移一个单位长度得到 3 C .向左平移一个单位长度得到3某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必 的图像经过 2 向右平移空个单位长度得到3 向左平移—个单位长度得到 3 9. 须排在 前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 A. 120种 B. 156种 C. 188 种 D. 240种 10 .已知占棱锥P - ABC 的所有顶点都在球O 的球面上， ABC 满足 A B = 2 • 2 , A C B 9,0 PA 为球O 的直径且PA 二f ，则点P 到底面ABC 的距离为 A . 2 B . 2 2 C . I 3 D . 2、3 11.已知动直线I 与圆O:x 2 • y 2 =4相交于A, B 两点，且满足| AB |=2，点C 为直线l 上一占八、、：5 uirCA ，若M 是线段AB 的中点，则 2第二象K限内一点，若直线 y = —x 恰为线段PF 2的垂直平分线，则双曲线 C 的离心率为 a A . 2 B . .3 C . 、、5 D . 6 二.填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.13•高三(2)班现有64名学生，随机编号为0, 1, 2,…，63,依编号顺序平均分成 8组，组号依次为1, 2, 3,…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为 8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5,则在第6组中抽取的号码为 ____________ .14.二项式(X-?)5的展开式中X 3的系数为 ______________ .X15•已知 ABC 的面积为2.. 3，角代B,C 所对的边长分别为 a,b,c , A ，则a 的最 3小值为 _________ . 「In(x +1) x > 016.已知函数f (x)= 2' '，若不等式I f(x)| -mx • 2 —0恒成立，则实数 m 的 I —x 2+3x,x 兰0取值范围为 __________ .三•解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第17LI 21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 60分.17. (12 分)已知数列｛a n ｝的前n 项和S H =2n 1 -2，记b^a n S n (N*).(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 求数列｛b n ｝的前n 项和T n .uir 且满足CBOC OM 的值为12.已知双曲线2xC : paB . 2、, 32y2 =1(a ■ 0,b ■ 0)的左右焦点分别为 F 「F 2 , P为双曲线C 上 bC. 2微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号•手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞•现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人(男、女各20人)，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：(1)若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为积极型”，否则评定为懈怠型根据题意完成下面的2 2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为评定类型”与性别有关？(2)如果从小明这3人，设抽取的女性有X人，求X的分布列及数学期望E(X).2附: K2n ad心(a+b j(c+d [a+c)(b+d )19. (12 分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，.ABC =/ACD =90°, BAC =/CAD =60°,PA _平面ABCD , PA =2,AB =1.设M ,N分别为PD, AD的中点.(1)求证：平面CMN //平面PAB ;(2)求二面角N - PC -A的平面角的余弦值.C2 2已知椭圆C :笃•爲=：1(a b 0)的离心率为a b(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设直线I : y = kx • m 与椭圆C 交于M , N 两点，O 为坐标原点，若k OM k ON 求原点O 到直线I 的距离的取值范围21. (12 分)设函数 f(x)=lnx-2mx 2-n(m, n R ). (1) 讨论f (x)的单调性；(2) 若f (x)有最大值-ln 2，求m • n 的最小值•(二)选考题：共10分•请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分. 22.［选修4—4:坐标系与参数方程］(10分)l x —3 ' 2cos ■-在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为＜ V(口为参数)，i y = 2 2sin 二直线C 2的方程为y3x ,以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 .3(1) 求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2) 若直线C 2与曲线C 1交于P,Q 两点，求|OP| |OQ |的值•23 .［选修4—5:不等式选讲］(10分) 设函数 f (x) =|2x-3|. (1 )求不等式f(x)・5-|x ・2|的解集；二3，短轴长为22.(2)若g(x)二f (x m) f (x -m)的最小值为4，求实数m的值•20仃-2018学年江西省南昌市高三(上)摸底数学试卷(理科)参考答案与试题解析一•选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分■在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■1 •已知复数z满足(1+i) z=2,贝U复数z的虚部为( )A. 1B.- 1 C . i Di【考点】A2:复数的基本概念.【专题】34 :方程思想；4R:转化法；5N :数系的扩充和复数.【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.【解答】解：(1+i) z=2,.z= 2〜加-i)十_ i则复数z的虚部为-1.故选：B.【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2.设集合A={x| _ 2<x< 1}，丘|尸lo呂2(兴一能-3)}，则A n B=( )A. [ _ 2, 1)B. (_ 1，1]C. [ _ 2，_ 1)D. [ _ 1, 1)【考点】1E:交集及其运算.【专题】11 :计算题；37 :集合思想；40:定义法；5J :集合.【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可.【解答】解：由B可得：x2_ 2x _ 3>0,即(x_ 3) (x+1)> 0，解得x v_ 1 或x > 3,即卩B= (_x,—1)U( 3, +x),•••集合A={x| —2<x< 1}=[ —2, 1]••• A n B=[ —2,_ 1)故选：c.【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.1 TT3 .已知sin 0 二弓，® C 它-、兀），则tan 0 （）A. - 2B. -C. 'D.—4 8【考点】GG:同角三角函数间的基本关系.【专题】35 :转化思想；49 :综合法；56 :三角函数的求值.【分析】根据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得tan 的值.【解答】解：•••已知siM二寺，与-*兀），二cos 0 = 6 =-笃左，则tan 0 八=-二cos d 4故选：C.【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题.4.执行如图所示的程序框图，输出的门为（）【考点】EF:程序框图.【专题】11 :计算题；28 :操作型；5K :算法和程序框图.【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：当n=1时，f (x) =1，满足f (x)=f (- x),不满足f (x) =0有解，故n=2;当n=2 时，f (x) =2x，不满足 f (x) =f (- x)，故n=3;2当n=3 时，f (x) =3x，满足 f (x) =f (- x)，满足 f (x) =0 有解，故输出的n为3，故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.x+y-1^05.设变量x，y满足约束条件x-2y+2>0，则z=3x- 2y的最大值为(C. 3D. 4【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解 决本题的关键.6.已知m ，"为两个非零向量，贝U m 与"共线”是m? =1 m?"l”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【考点】 7C : 简单线性规划.【专题】 11 :计算题；31 :数形结合；41 :向量法；5T :不等式.【分析】 作出约束条件 \+y-1^0^2y+2>0对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可 得到结论.\+y-l^O【解答】解：作出约束条件x-2y+2>0,对应的平面区域如图： 3 由 z=3x - 2y 得 y=^x - 3 平移直线尸K+y _l =0 i2x-y-2=0此时 Z max =3 X 1 - 0=3,x ，经过点A 时，直线yf的截距最小，此时z 最大.，解得 A (1, 0)，【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】40:定义法；5H :空间向量及应用；5L :简易逻辑.【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合向量共线的性质进行判断即可.【解答】解：当-与•-夹角为180°时，满足向量共线，，呻T 耐一耐T 耐T 耐T 呻T但m?n= - | ml ?| n|，| m?n| =| ml ? n，| 此时m?i=| m? \不成立，即充分性不成立，右m?n=| m?n|，贝U m?n=| m| ? n| cos v m，n > =| m || n|| cos v m，n >|，则| cos v m，>| =cos v m，- >，则cos v m，□>》0，即0°wv m，口>w 90°,此时m与n不一定共线，即必要性不成立，则m与•「共线”是吊？「=|爲？「|”的既不充分也不必要条件.故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量共线的定义是解决本题的关键.7 •如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为(【专题】11 :计算题；5F :空间位置关系与距离；5Q :立体几何.【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥， 画出直观图，代入锥体 体积公式，可得答案.【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥， 其直观图如下图所【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积， 根据已知中的三视图分 析出几何体的形状，是解答的关键.8. 函数y=sin(y-P^)的图象可以由函数 尸c □冷的图象经过( A .向右平移 B. 向右平移,兀C.向左平移 个单位长度得到D - I【考点】L!:由三视图求面积、体积.个单位长度得到 个单位长度得到故选：AD •向左平移亍HJ :函数y=Asin （3X®的图象变换.【点评】本题主要考查函数y=Asin 的图象变换规律，属于基础题.9. 某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求： 节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出 顺序的编排方案共有（ ） A . 120 种 B . 156 种 C . 188 种 D . 240 种 【考点】D8:排列、组合的实际应用.【专题】11 :计算题；32 :分类讨论；35 :转化思想；50 :排列组合.【分析】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，对甲的位置分三种情况讨论， 依次分析乙丙的位置以及其他三个节目的安排方法， 由分步计数原理可得每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分 3种情况讨论： ① 、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有 4个，考虑两者的顺序，有 2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有 A 33=6种安排方法， 则此时有4X 2X 6=48种编排方法； ② 、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有 3个，考虑两者的顺序，有 2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有 A 33=6种安排方法， 则此时有3X 2X 6=36种编排方法；个单位长度得到【考点】 【专题】 【分析】 【解答】 35 :转化思想；49 :综合法；57 :三角函数的图像与性质. 利用函数y=Asin （^x©）的图象变换规律，得出结论. ）的图象向右平移7 解：把函数. = .u-： ； =sin （得函数y=sin （专-今n+ 2兀个单位长度，可2故选：B .）的图象,③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有3X 2X 6=36种编排方法；则符合题意要求的编排方法有36+36+48=120种；故选：A.【点评】本题考查排列、组合的应用，注意题目限制条件比较多，需要优先分析受到限制的元素.10. 已知三棱锥P- ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ ABC满足AB二2伍，Z ACB-90^ ，PA为球O的直径且PA=4,则点P到底面ABC的距离为（_）_ ——A. -B. 一C. 一D. 一【考点】MK :点、线、面间的距离计算.【专题】11 :计算题；31 :数形结合；44 :数形结合法；5F :空间位置关系与距离. 【分析】推导出球心O是PA的中点，球半径R=OC=#PA二2，过O作OD丄平面ABC，垂足是D，贝U D是AB中点，且AD=BD=CD=「，从而求出OD，点P到底面ABC的距离为d=2OD.【解答】解：•••三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA为球O的直径且PA=4，•••球心O是PA的中点，球半径R=OC=*PA二2，过O作OD丄平面ABC，垂足是D，•••△ ABC 满足扭二2徒，，••• D 是AB 中点，且AD=BD=CD= 「，•••OD=二：-二•••点P到底面ABC的距离为d=2OD=2「.故选：B.【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查球、三棱锥等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题.11 •已知动直线I与圆o：x2+y2=4相交于A，B两点，且满足|AB|=2,点C为直线I 上一点，且满足=--.■'，若M是线段AB的中点，则三、75的值为( ) A. 3 B. 一C. 2 D3【考点】9V:向量在几何中的应用.【专题】11 :计算题；31 :数形结合；44 :数形结合法；5A :平面向量及应用. 【分析】由题意设动直线I为y=J5 (x+2)，表示出B，C的坐标，再根据中点坐标公式以及向量共线定理和向量的数量积即可求出【解答】解：动直线I与圆O: x2+y2=4相交于A，B两点，且满足| AB| =2，则厶OAB为等边三角形，于是可设动直线I为y W5 (x+2)，根据题意可得B (- 2, 0)，A (- 1, 一)，••• M是线段AB的中点，设 c (x，y)，* 5 事•••(- 2-x，- y) = _ (- 1-x，-y)，【点评】本题考查了向量在几何中的应用， 关键构造直线，考查了向量的坐标运 算和向量的数量积，属于中档题12•已知双曲线C ：七齐 1G>O, b>0）的左右焦点分别为Fi , F2, P 为双曲 a b 线C 上第二象限内一点，若直线v 「，恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线 C a 的离心率为（_ ） _ _ A . - B . 一 C .匚 D .—【考点】KC :双曲线的简单性质.【专题】34 :方程思想；48 :分析法；5D :圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设F 2 (C , 0),渐近线方程为y 二“X ,对称点为P (m , n ),运用中点坐a标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1,求出对称点的坐标，代入双曲线 的方程，由离心率公式计算即可得到所求值.（—丄巫)?(—=3,【解答】解：设F2 (c, 0),渐近线方程为y=£x ,对称点为P (m, n),即有丄=—寻，m-c b且' ?n= ?丄2 2 a 5解得m= | T' , n= b ,c c将P C ,仝)，即( ，「汁)，c C C C代入双曲线的方程可得---- °; 匕=1 ,c a c b2化简可得七■- 4=1,即有e2=5 ,a解得e=.故选：C.【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1,以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力, 属于中档题.二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 高三(2)班现有64名学生，随机编号为0 , 1 , 2,…，63 ,依编号顺序平均分成8组，组号依次为1 , 2 , 3,…,8 .现用系统抽样方法抽取一个容量为8 的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5,则在第6组中抽取的号码为45 . 【考点】B4：系统抽样方法.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；40:定义法；5I :概率与统计.64【分析】先求出分组间隔为… ,再由在第一组中随机抽取的号码为5，能求出在第6组中抽取的号码.【解答】解：高三（2）班现有64名学生，随机编号为0, 1, 2,…，63, 依编号顺序平均分成8组，组号依次为1, 2, 3， (8)分组间隔为,•••在第一组中随机抽取的号码为5,•••在第6组中抽取的号码为：5+5X 8=45.故答案为：45.【点评】本题考查样本号码的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用.14. ，：…•的展开式中含X3的系数为 -10 .（用数字填写答案）x ------------【考点】DB:二项式系数的性质.【专题】38 :对应思想；40:定义法；5P :二项式定理.【分析】利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中含x3的系数.【解答】解：V二；：展开式的通项公式为x―二瑞尸（子）匚霭（/严，令 5 -2r=3,解得r=1,所以展开式中含x3的系数为Q （-2）1 二-10.故答案为：-10.【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题.15.已知△ ABC的面积为_,角A, B, C所对的边长分别为a, b, c, , 则a的最小值为2 —.【考点】HP:正弦定理.【专题】11 :计算题；56 :三角函数的求值；58 :解三角形.【分析】利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，利用基本不等式求出 a 的最小值即可.【解答】解：由三角形面积公式得：S^bcsinA= ' bc=2 [，即bc=8,根据余弦定理得：a=b2+c2- 2bccosA=b2+c2- bc> 2bc- bc=bc=8,则a>2「，即a的最小值为2「,故答案为：2 ~ .【点评】此题考查了余弦定理，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.16.已知函数f(x)=^，若不等式|f (x) | - mx+2> 0恒成立，则实数m的取值范围为_ —. • ° .【考点】R4:绝对值三角不等式.【专题】11 :计算题；31 :数形结合；4G :演绎法；5T :不等式.【分析】将原问题转化为两个函数图象之间的关系的问题，然后数形结合即可求得最终结果.【解答】解：不等式即：mx w|f (x)|+2恒成立，绘制函数|f (x) |+2的图象，则正比例函数y=mx恒在函数|f (x) |+2的图象下方，考查函数：y=x2-3x+2经过坐标原点的切线，易求得切线的斜率为> - -，据此可得：实数m的取值范围为】•..・°故答案为：.-[-1 ' -【点评】本题考查了分段函数的应用，数形结合的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题.三•解答题：共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤■第仃〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. （12分）已知数列｛an｝的前n项和I」」…丄，记b n=a n S n （n€ N*）. （1）求数列｛a n｝的通项公式；（2）求数列｛b n｝的前n项和T n.【考点】8E:数列的求和；8H :数列递推式.【专题】34 :方程思想；4R:转化法；54 :等差数列与等比数列.【分析】（1）利用数列递推关系即可得出.（2）禾U用等比数列的求和公式即可得出.【解答】解：（1）：当n=1时，引二Ei二戈⑷-2二2 ；当n>2 时，1又•••「；£ :?,：..」.…（6 分）（2）由（1）知，〔.•；*——"二「…: i 一.…(12 分)1-4 1-2 3 3【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18. (12分)微信已成为人们常用的社交软件，微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过关注微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞.现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人(男、女各20人)，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如表：A 7 ：■■■：I ■：■ ■■■ I ■：■. -. ■ ■ ■■ I I ■■■ - .：：■ ：■：：：'(1)若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为积极型”否则评定为懈怠型”根据题意完成下面的2X2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为评定类型”与性别”有关？(2)如果从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中随机抽取3 人，设抽取的女性有X人，求X的分布列及数学期望E (X).【考点】BO :独立性检验的应用；CH :离散型随机变量的期望与方差. 【专题】38 :对应思想；4A :数学模型法；51 :概率与统计.【分析】（1）根据题意填写2X 2列联表，由表中数据计算观测值，对照临界值 即可得出结论；（2）根据题意，抽取的女性人数 X 服从超几何分布， 计算X 的概率值，写出X 的分布列，计算数学期望值.【解答】解：（1）根据题意完成2X 2列联表如下：由表中数据计算•••没有90%的把握认为 评定类型”与 性别”有关；…（6分）（2）由（1）知，从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中男性 6人，女性2人，现从中抽取3人，抽取的女性人数X 服从超几何分布，X 的所有可能取值为0, 1, 2；E 56厂］厂2 W — AP （X=2）=^—^18••• X 的分布列如下:20 30 6 数学期望为■ .■- :::::.【点评】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问20_56且.丄.P （X=1）=5S 30，…（9 分）题，是中档题.19. (12 分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，/ ABC= /ACD=90，/ BAC= /CAD=60 , PA丄平面ABCD , PA=2, AB=1 .设M , N 分别为PD, AD 的中点.(1)求证：平面CMN //平面PAB;【考点】L@ :组合几何体的面积、体积问题；LU :平面与平面平行的判定；MT :二面角的平面角及求法.【专题】11 :计算题；31 :数形结合；49 :综合法；5F :空间位置关系与距离；5G :空间角.【分析】（1）证明MN // PA.推出MN //平面PAB.证明CN // AB .即可证明CN //平面PAB.然后证明平面CMN //平面PAB.（2）以点A为原点，AC为x轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，求出平面PCN 的法向量，平面PAC的法向量，利用空间向量的数量积求解面角N-PC —A的平面角的余弦值.【解答】解：（1）证明：：M , N分别为PD, AD的中点，…（12分）贝U MN // PA.又T MN?平面PAB, PA?平面PAB,••• MN //平面PAB.在Rt A ACD 中，/ CAD=60 , CN=AN ,•••/ ACN=60 .又•••/ BAC=60，二CN // AB .T CN?平面PAB, AB?平面PAB,A CN //平面PAB.…（4 分）又••• CN A MN=N，二平面CMN //平面PAB.…（6 分）（2）T PA丄平面ABCD，二平面PAC丄平面ACD ,又••• DC 丄AC ,平面PAC n 平面ACD=AC ，二DC 丄平面PAC ,设n = (x , y , z )是平面PCN 的法向量，贝U j 又平面PAC 的法向量为CD=C0, 2血，0),由图可知，二面角N - PC - A 的平面角为锐角，•••二面角N - PC - A 的平面角的余弦值为£「••••( 12分)【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用， 平面与平面平行的判定定 理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力，以及空间想象能力.2 z 厂分1 (a>b>0)的离心率为弓, b < (1)求椭圆C 的标准方程;（2）设直线I ：y=kx+m 与椭圆C 交于M,N 两点，0为坐标原点，若k 0H -k 0N =|,求A 为原点，AC 为x 轴, AP 为z 轴建立空间直角坐标系, 0）T C （2, CL 0）, P （0, 0. 2）, D （2,陌 0）, N （l, V5，0）,V3i 0),屁二(1,岳_2）,n-H=0—* ---- * ?ln-PN=0 _我3尸° x+^/3y _2z =O,可取二心匕:-- —i M ________ =_ 2忑=街 j 打=_「_ = L， 20. (12分)已知椭圆- 短轴长为2.如图，以点原点0到直线I的距离的取值范围.【考点】K4:椭圆的简单性质.【专题】15 :综合题；34 :方程思想；4P:设而不求法；5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】（1）由已知求得b,再由椭圆离心率及隐含条件求得a,则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0 求得m2v4k2+1，再由比诚叱帥今，可得，从而求得k的范围，再由点到直线的距离公式求出原点0到直线I的距离，贝U取值范围可求.【解答】解：（1）设焦距为2c，由已知「——，2b=2，A b=1，a 2又a2=1+c2，解得a=2，2 “•••椭圆C的标准方程为—I-- | ；(2)设M (x i，y i)，N (X2，y2)，y=kx4-jn联立*/ 9得(4k2+1) x2+8kmx+4m2—4=0，依题意，△ = (8km) 2—4 (4k2+1) (4m2—4)> 0，化简得m2v4k2+1，①8km，」4k'+l 4k^+l2 ■->…I ，一I 二一■ ./■ 1/ _ - .1 - j.-:二二'、 1.1 ，5 71^2 5若k oM*k oN=7，则，即令必二女风，2 2I ，: :. : I 1..・，•••（4k「5）•如工计业时（一）+加2二。
江西省南昌市2020届高三上学期开学摸底考试数学(理)试题答案
2020 届高三摸底测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B B B A C D C B C A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分．813．24014．3 15．316．3三．解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第 17 题-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分．17．【解析】（Ⅰ）因为sin(2 ) , (0, ) CC π3 C π ,即2 π ( π , 2π)32 23 3 3即 π2C C………2 分π π 3 3 3 2 2 2 32所以sin A，………4 分sinsin2A3又因为ac ，所以0π ，因此 πA CA ；………6 分3 4（Ⅱ）在ABC 中，由c 2 a 2 b 2 2ab cos C ,得12 a 2 b 2 abab …8 分 1sin 3 3 ， Sab CABC2当且仅当时a b ，即ABC 为等边三角形时，上式等号成立，………10 分，所以面积的最大值是．………12 分ABC 3 31 118.【解析】（Ⅰ）连接AE，AF ，在ABC中，AB AC BCAEsin 1202 2故AE 1.由于三棱柱 1 ，ABC A B C是直三棱柱，故AA 平面ABC AA AE1 1 1 11直角三角形A1 AE中，因为AA 1 3 ，AE 1，所以A1E 2 EF ，2AEA E1 为直角，即A E AF又因AFE 1 . ………3 分EF AE再由E为BC 中点并且ABC为等腰三角形可知AE BC,1 ，AA AE A1结合AA BC 1 得BC 平面A AE ，BC AF，综合A1E AF，BC AF，BC A E E，得到AF 平面A BC，………6 分1 1（Ⅱ）由于AE BC，如图以点E为坐标原点建立空间直角坐标系，AEBE 3 ，故B3, 0, 0，A ，E 0,0,0，1 0, 1, 3 B 1 3, 0, 3 ，tan 60—理科数学（摸底）答案第1 页—3, 0,0，，EBEA 10,1, 3EB, 0,33，设面BA En 1 x , y , z ，111B 11 法向量为1222面B A E n 2 x , y , z ，nn EB 0 3xz,得11，取 1110,3,1，n EA 0y 3z 01111nB，取z 21，得2(1, 3,1)n EBx z 0 332122n EAy3z 02122，yA 1 A zFEC 1Cxnn42 512则二面角B A 1E B 1 的余弦值cos. ………12 分4 5 5 nn1219.【解析】（Ⅰ）获得三等奖学金的频率为：(0.0080.016 0.04)50.15(0.045000.32 160， 0.056 0.016) 5 0.4 (0.016 0.008) 5 0.4 0.32 故这 500 名学生获得专业三等奖学金的人数为160人. ………3 分（Ⅱ）每周课外学习时间不超过 35 小时的“非努力型”学生有5000.008 0.016 0.04 0.04 0.056 0.016 5 440 人，………4 分其中获得一、二等奖学金学生有5000.0080.016 0.0450.055000.040.056 0.01650.250.0592 (5)分每周课外学习时间超过35 小时称为“努力型”学生有5000.12 60人，………6 分其中获得一、二等奖学金学生有600.350.2536 人,………7 分列2 2 联表如图所示：“非努力型”学生“努力型”学生总计获得一二等奖学金学生92 36 128未获得一二等奖学金学生348 24 372总计440 60 50022 500 348 36 92 24K42.36 10.8344060128372故有99.9%的把握认为获得一二等奖学金与学习“努力型”学生的学习时间有关；…8 分（Ⅲ）X的可能取值为0,600,1500,3000P(X600) 0.32, P(X1500) 0.198, P(X3000) 0.058,P X………11 分( 0) 1 0.32 0.198 0.058 0.424其期望为EX00.424 6000.32 15000.19830000.058=192+297+174=663元.………12 分—理科数学（摸底）答案第2 页—。
江西省南昌市2020届高三第三次模拟考试理科数学试题附答案
江西省南昌市2020届高三第三次模拟考试理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()1i z i +=为虚数单位)，则在复平面内，复数z 的共轭复数z 对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{A x =|||1},{1,0,}(0)x a B b b -==>，若A B ，则对应的实数(),a b 有A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分(10分制)的频数分布表如下设得分的中位数e m ，众数0m ，平均数x ，下列关系正确的是A ．0e m m x ==B ．0e m m x =<C ．0e m m x <<D ．0e m m x <<4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．3πB ．9πC ．12π．36π5．在ABC ∆中，D 为线段AB 上一点，且BD=3AD ，若,CD CA CB λμ=+u u u r u u u r u u u r 则λμ= A. 13 B ．3 C. 14D ．4 6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,1,c b a b c a b a c+=++则下列说法不一定成立的是 A ．△ABC 可能为正三角形 B ．角A ，B ，C 为等差数列C ．角B 可能小于3π D ．角B+C 为定值 7．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>的最小正周期为π，若将其图像沿x 轴向右平移m(m>0)个单位，所得图像关于3x π=对称，则实数m 的最小值为 A.4πB ．3π C.34πD ．π 8．函数()s ,0(1co f x x x x x x ππ⎛⎫=--≤≠ ⎪⎝⎭且）…的图象可能为9．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制(不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束)．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1．则甲以3：1取得胜利的概率为A ．0.162B ．0.18C ．0.168D ．0.17410．已知双曲线C:()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在C 的右支上， 1MF 与y 轴交于点2,A MAF ∆的内切圆与边2AF 切于点B ，若12||4||,F F AB =则C 的渐近线方程是A 0y ±=B ．0x ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=11．将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20,210,45⨯⨯=种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的．我们称4×5为20的最佳分解.当(),N p q p q q p +≤⨯∈且是正整数n 的最佳分解时，定义函数(),f n q p =-则数列(){}()N 3nf n +∈的前100项和100S 为A ．5031+B ．5031-C ．50312-D ．50312+ 12．已知函数()()|2|4ln 1,()x f x e g x -=+=2,0,2,0a x x a x x +-≥⎧⎨--<⎩若存在a [](),1,Z n n n ∈+∈使得方程()()f x g x =有四个不同的实根，则n 的最大值是。
2019-2020学年江西省南昌市高三上学期开学摸底考试 数学理
2019-2020学年江西省南昌市高三上学期开学摸底考试数学理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题只有一个选项最符合题意。
）1．已知集合，，则 ( )A. B. C. D.2．已知复数的实部和虚部相等，则A. B.C. D.3．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分而不必要条件是（）A. x＜0B. x≥0C. x∈{－1，3，5}D. x≤－或x≥34．若，则=（）A. 1B.C.D.5．某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程，其中，，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（）A. 17B. 18C. 19D. 206．已知函数是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（）A. B. C. D.7．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）.A. A B. B C. C D. D8．已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.9．函数,则（）A. B.C. D. 的大小关系不能确定10．函数的定义域和值域都是，则（）A. 1B. 2C. 3D. 411．已知与都是定义在上的奇函数，且当时，（），若恰有4个零点，则正实数的取值范围是（）A. ；B. ；C. ；D. ．12．已知定义在上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，（），当时，的最小值为3，则a 的值等于（）A. B. e-2 C. 2 D. 1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
请将答案填在答题纸的对应位置上。
）13．已知集合，,若A∩B=B，则实数a 的取值范围为；14．已知,则15.已知正实数满足，则的最大值为16．已知函数若关于的方程恰有三个不同的实数解,则满足条件的所有实数的取值集合为_________．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. (本小题满分12分)已知命题，命题。
南昌市2020届高三摸底测试理科数学试卷
（Ⅰ）求这 500 名学生中获得专业三等奖学金的人数； （Ⅱ）若周课外平均学习时间超过 35 小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列 2 2 联表并判断是否有 99.9% 的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”
学生有关？
（Ⅲ）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生 2018 年获得的专业奖学金额为随机变 量 X ，求随机变量 X 的分布列和期望.
A. p q
B. p (q)
C. (p) q
D. (p) (q)
8．已知 ABC
的垂心为 H
，且
AB
3,
AC
5, M
是
BC
的中点，则 HM
BC
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
— 理科数学（摸底）第1页(共 4 页) —
9．圆 C : x2 y2 10 y 16 0 上有且仅有两点到双曲线 x2 y2 1(a 0,b 0) 的一条渐近线 a2 b2
C. b c a
D. c a b
11．自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合
表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机．二进制以 2 为基数，只用 0 和1 两个数表示数，逢 2 进1，二进制数同十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如 (521)10 1 29 0 28 0 27 0 26 0 25 0 24 1 23 0 22 0 21 1 20
（Ⅰ）若函数在 x 1 处的切线与直线 ex y 0 平行，求 a 的值；
（Ⅱ）若 f (x) 在 (0, ) 上存在单调递减区间，求 a 的取值范围.
江西省南昌市2020届高三上学期开学摸底考试数学(理)(Word版,含答案)
B.x 2＝ 4y
C.y 2＝－ 4x
D.x 2＝－ 4y
7.已知二元一次不等式组
x y 2 0, x y 2 0 表示的平面区域为 D，命题 p：点 (0， 1)在区域 D 内；命题 x 2y 2 0
q：点 (1， 1)在区域 D 内，则下列命题中，真命题是
A. p q
B. p ( q)
C. ( p) q
等比数列a1a5ammn不可能a5b6c8d9已知一组样本数据点x1y6用最小二乘法得到其线性回归方程为x6的平均数为y1d14a102x若数据x1b12c13y2y3y6等于在平面直角坐标系xoy中已知的轨迹方程是ay7
六大注意
1 考生需自己粘贴答题卡的条形码
考生需在监考老师的指导下，自己贴本人的试卷条形码。粘贴前，注意核对一下条 形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误，如果有误，立即举手报告。如果无 误，请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。万一粘贴不理想，也不要撕下来重贴。只要 条形码信息无误，正确填写了本人的考生号、考场号及座位号，评卷分数不受影响。
制研究不乏其人，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘
法口决： 7×7＝ 61， 7×6＝ 52， 7×5＝ 43， ˙˙，˙请类比二进制与十进制转化的运算，数 对应八进制数为
(1010011100)2
A.(446) 8
B.(1134) 8
C.(1234) 8
D.(4321) 8
3
eax
21.(12 分) 已知函数 f ( x)
x 2ln( x 1) (e 为自然对数的底数， a 为常数，且 a 0 )
a
(Ⅰ )若函数在 x＝ 1 处的切线与直线 ex－ y＝ 0 平行，求 a 的值； (Ⅱ )若 f(x) 在(0，＋ ∞）上存在单调递减区间，求 a 的取值范围。 (二 )选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
江西省南昌市2020届高三上学期开学摸底考试数学(理)试题 Word版含解析
2020届高三摸底测试卷理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合3{|0},{|2}1x M x N x y x x -=≥==--，则()R M N ⋂=ð（ ） A. (1,2] B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3]【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法和函数的定义域，求得集合{|1M x x =<或3}x ≥，{|2}N x x =≤，再利用集合的运算，即可求解。
【详解】由题意，集合3{|0}{|11x M x x x x -=≥=<-或3}x ≥，{|2}{|2}N x y x x x ==-=≤，则{|13}R C M x x =≤<，所以(){|12}[1,2]R C M N x x =≤≤=I ， 故选B 。
【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中利用分式不等式的解法和函数的定义域求得集合,M N 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
2.复数z 满足1i1i z+=-，则||z =（ ） A. 2i B. 2C. iD. 1【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得复数z i =，即可得到复数的模，得到答案。
【详解】由题意，复数11ii z+=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D 。
【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
3.已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理，以及充分条件和必要条件的判定方法，即可求解。
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2020年南昌市高三摸底测试数学(理)试题
一、单选题
1．已知复数()3bi z b R i -=
∈的实部和虚部相等，则z =（ ） A ．2 B ．3 C
．D
．2．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为
A ．73m 3
B ．92m 3
C ．94m 3
D ．72
m 3 3．已知实数x ，y 满足2000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =-的最小值为（ ）
A ．-4
B ．-2
C ．0
D ．2
4．若方程0x a x a --=有两个解，则a 的取值范围是（ ）
A ．()0,∞+
B ．()1,+∞
C ．()0,1
D ．∅
5．调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图，从事该行业岗位分布条形图，如图所示.
给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，其中正确的个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
6．已知双曲线22
2:12x y C a a
-=-，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2- C ．1 或2- D ．1-
7．设0.60.3a =，0.60.5b =，3log 4c π
π=,则( )
A ．b a c >>
B ．a b c >>
C ．c b a >>
D ．c b a >> 8．已知数列{}n a 是等差数列， 1cot585a =， 6111a a =，设n S 为数列(){}1n
n
a -的前n 项和，则2017S =（ ）
A ．3022
B ．3022-
C ．2017
D ．2017-
9．下列说法正确的是（ ）
A ．“,x y R ∀∈，若0x y +≠，则1x ≠且1y ≠-”是真命题
B ．在同一坐标系中，函数()1y f x =+与()1y f x =-的图象关于y 轴对称．
C ．命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是“x R ∀∈，都有2230x x ++>”
D ．a R ∈，“11a
<”是“1a >”的充分不必要条件 10．如图所示，矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼（The London Eye ）是世界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮，已知其旋转半径60米，最高点距地面135米，运行一周大约30分钟，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10分钟时他距地面大约为（ ）
A ．95米
B ．100米
C ．105米
D ．110米
11．过点(1,0)P -作曲线1:x C y e -=（其中e 为自然对数的底数）的切线，切点为1T ，设1T 在x 轴
上的投影是点1H ，过点1H 再作曲线C 的切线，切点为2T ，设2T 在x 轴上的投影是点2H ，依次下去，得到第()*1n n N
+∈个切点1n T +，则点2020T 的坐标是（ ）
A ．()20182019,e
B ．()20192019,e
C ．()20192020,e
D ．()20202020,e
12．在ABC ∆中,30B =,3BC =
,AB =点D 在边BC 上,点,B C 关于直线AD 的对称点分别为,B C '',则BB C ''∆的面积的最大值为
A
B
C
D
二、填空题
13．8
21x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的二项展开式中7x 项的系数为______. 14．已知集合M ＝{(x ，y)|y ＝2x }，N ＝{(x ，y)|y ＝a}，若M∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是________． 15．ABC 中，22AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，则sin C 的最大值为_______. 16．已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足111
2,2,2,n n n n n n n n n n n n a a b c b a b c c a b c +++=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩且18a =，14b =，10c =，则数列{}n na 的前n 项和为___________.
三、解答题
17．已知函数()()()11ln 2f x x ax x a R =
--∈. （1）当12
a =-时，求()f x 的单调区间； （2）当()1,x ∈+∞时，()1ln 2f x ax x >--
恒成立，求实数a 的取值范围. 18． 已知椭圆C ：22221x y a b +=(a>b>0)
的离心率为2
，焦距为2c ，且c
，2成等比数列．
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；
(Ⅱ)点B 坐标为(0
)，问是否存在过点B 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且满足OM ON ⊥ (O 为坐标原点)？若存在，求出此时直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
19．设()|2||2|f x x x =-++
（1）解不等式()6f x ≥；
（2）对任意的非零实数x ，有2
()2f x m m ≥-+恒成立，求实数m 的取值范围. 20．某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100位学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示．
（1）请先求出频率分布表中①②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图（如图所示）；
频率分布直方图
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6位学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少位学生进入第二轮面试；
（3）在（2）的前提下，学校决定在6位学生中随机抽取2位学生接受A 考官进行面试，求第4组至少有一位学生被考官A 面试的概率．
21．如图，圆柱1OO 内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O 直径，12AA AC CB ===．,E F 分别为,AC BC 上的动点，且CE BF =．
（Ⅰ）设CE BF x ==，当x 为何值时，三棱锥1C ECF -的体积最大，最大值为多少？ （Ⅱ）若F 、M 分别为线段BC 、1CC 的中点，求证：11B M C O ⊥．
22．已知椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）与抛物线22y px =（0p >）共交点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于21MF -，且椭圆与抛物线的交点Q 满足52QF =.
（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；
（2）国抛物线上的点P 做抛物线的切线y kx m =+交椭圆于,A B 两点，设线段AB 的中点为()00,C x y ，求0x 的取值范围.
23．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2sin 5tan a B c C =.
（1）求22
2a b c
+的值； （2）记边AB 的中点为D ，若2AB =，求中线CD 的长度.。