苏教版高一数学幂函数
苏教版数学高一必修1素材 3.3幂函数要点精析
3.3 幂函数要点精析1．幂函数的一般形式为y = xα，其中x 是自变量，α是常数，其定义域是使xα有意义的x值的集合．幂函数的定义域随幂指数的变化而变化，所以应根据各种幂指数的意义来确定幂函数的定义域．2．由幂函数定义可知，函数y = 2x2、y = x2－1等都不是幂函数．反比例函数y=kx(k≠0)，一次函数y = kx＋b (k≠0)，二次函数y = ax2＋bx＋c (a≠0)中，分别当k = 1，k = 1且b = 0，a = 1且b = c = 0时，即y = x1-，y = x，y = x2是幂函数，当这些条件不具备时，它们均不符合幂函数的定义，但它们是由幂函数经过算术运算而得到的初等函数．3．幂函数与指数函数的主要区别是：幂函数是底数为变量，指数函数是指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．4．幂函数的图象和性质：幂函数的图象的位置和形状变化复杂，只要幂指数稍有不同，图象的位置和形状就可能发生和大的变化．⑴幂函数的图象都过点(1，1)，除原点外，任何幂函数的图象与坐标轴都不相交．当α= 1，3和－1时，幂函数y = xα的图象在第一或第三象限；当α= 2时，幂函数y = xα的图象在第一或第二象限；α=12时，幂函数y = xα的图象在第一象限．就是说，任何幂函数的图象一定经过第一象限且一定不经过第四象限．⑵当α= 1，2，3，12时，幂函数图象过原点，且在[0，＋∞)上是增函数，此性质还可以推广到当α＞0时也成立．⑶当α=－1时，幂函数图象不过原点，且在(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，函数y = x1-的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．(若再用描点法做出α=－2或α=－3等函数的图象，还可以得到α=－1时的幂函数图象的性质就是α＜0时的幂函数图象的基本性质)．⑷按照函数奇偶性定义，函数y = x、y = x3和y = x1-都是奇函数，函数y = x2是偶函数，由于函数y = x 12的定义域关于原点不对称，函数在其它象限无图象，只在第一象限有图象，所以函数y = x 12是非奇非偶函数．⑸任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．5．应用幂函数的单调性比较大小时，应将幂指数变为相同，且幂的底数为正数，分别比较，并且注意分别与0与1，与－1比较，从而确定大小关系．6．利用幂函数知识解题时，要注意数形结合，并且注意幂函数的图象在第一象限内凸凹情况需和直线y = x比较．作幂函数的图象关键是利用幂函数的有关特性先作出在第一象限内的图象，然后再根据定义域、值域以及奇偶性作出在其它象限内的图象(如果存在的话)．。
苏教版高中数学必修一第课时——幂函数教师
第二十七课时 幂函数（1）【学习导航】知识网络学习要求1．了解幂函数的概念，会画出幂函数12312,,,,y x y x y x y x y x -=====的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质；； 2．了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数值的大小；3．进一步体会数形结合的思想．自学评价1．幂函数的概念：一般地，我们把形如y x α=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点(1,1)；（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上单调递增；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 单调递减；（3）当2,2α=-时，幂函数是 偶函数 ；当11,1,3,3α=-时，幂函数是 奇函数 ．【精典范例】例1：写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1）3y x = （2）12y x =（3）2y x -= （4）22y x x -=+ （5）1122y x x-=+ （6）1124()3()f x x x =+-分析：求幂函数的定义域，宜先将分数指数幂写成根式，再确定定义域； 【解】（1）此函数的定义域为R ，33()()()f x x x f x -=-=-=-Q∴此函数为奇函数．（2）12y x x ==∴此函数的定义域为[0,)+∞Q 此函数的定义域不关于原点对称 ∴此函数为非奇非偶函数．（3）221y xx-==∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞2211()()()f x f x x x-===-Q∴此函数为偶函数 （4）22221y x xx x-=+=+∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞222211()()()()f x x x f x x x-=-+=+=-Q ∴此函数为偶函数 （5）1122y x xx x-=+=∴此函数的定义域为[0,)+∞Q 此函数的定义域不关于原点对称∴此函数为非奇非偶函数 （6）11424()3()3f x x x x x=+-=-00x x ≥⎧∴⎨-≥⎩0x ∴=∴此函数的定义域为{0}∴此函数既是奇函数又是偶函数点评: 熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础．例2：比较大小： （1）11221.5,1.7（2）听课随笔33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5分析：抓住各数的形式特点，联想相应函数的性质，是比较大小的基本思路． 【解】（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7<（2）∵3y x =在R 上是增函数，1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->-（3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；∵ 5.26xy =是增函数，12->-，∴125.26 5.26-->；综上，1125.25 5.26 5.26--->>（4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<， ∴30.53log 0.50.53<<点评: 若两个数是同一个函数的两个函数值，则可用函数的单调性比较大小；若两个数不是同一个函数的函数值，则可利用0，1等数架设桥梁来比较大小．追踪训练一1．在函数（1）21,y x=（2）22,y x =（3）2y x x =+，（4）1y =中，是幂函数序号为 （1） ．2.已知幂函数()y f x =的图象过，试求出这个函数的解析式； 答案：12y x =3．求函数1322(1)(3)y x x -=-+-的定义域．答案：[1,3)【选修延伸】一、幂函数图象的运用例3：已知122x x <，求x 的取值范围． 【解】在同一坐标系中作出幂函数2y x =和12y x =的图象，可得x 的取值范围为(0,1)．点评:数形结合的运用是解决问题的关键．二、幂函数单调性的证明例4: 证明幂函数12()f x x =在[0,)+∞上是增函数．分析：直接根据函数单调性的定义来证明． 【解】证：设120x x ≤<， 则11221212()()f x f x x x -=-==12x x <Q120x x ∴-<0>12()()0f x f x ∴-< 即12()()f x f x < ∴此函数在[0,)+∞上是增函数追踪训练二1．下列函数中，在区间(0,2)上是单调增函数的是 （ B ） A ．12log (1)y x =+ B ．12y x = C ．12y x =- D ．1()2xy =2．函数122(1)y x =-的值域是 （ D ）A ．[0,)+∞B ．(0,1]C ．(0,1)D ．[0,1]3．若1122a a -<，则a 的取值范围是 （ C ） A ．1a ≥ B ．0a > C ．01a <<D ．01a ≤≤ 4．证明：函数3()1f x x =--在(,)-∞+∞上是减函数． 证：略．听课随笔。
苏教版必修一.《幂函数》ppt
因为0 x1 x2 ,所以x1 x2 0, x1 x2 0,
所 以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0, )上的增函数.
例3. 利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3-2与 0.30.3-2
（1）y=x
2 5
（2）y=x
1 3
3
（3）y=x 4
（4）y=x-2
2、已知幂函数y f ( x)的图象过点(2, 2),
试 求 出 这 个 函 数 的 解 析式.
解 : 设 所 求 幂 函 数 为y x ,
因 为 函 数 过 点(2, 2 ),所 以 2 2 ,
所 以 log2
幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式
中k的不同而各异.
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1);
２.如果k>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)
并在(0,+∞)上为增函数;
k>1
0<k<1
３.如果k<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在
(0,+∞)上为减函数;
形的边长a
1
S2
1
y x2
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均
速度 V t 1 km / s
y x1
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来 表示,则它们的函数关系式将是: y x
定义
一 般 地,函 数y x叫 做 幂 函 数,其 中x是 自 变 量,
看看未知数x是指数还是底数
苏教版数学高一苏教版必修13.3幂函数
主动成长 夯基达标 1.若f （x ）＝（m 2－1）x 2＋（m －1）x ＋（n －2）为奇函数，则m 、n 的值为( )A ．m ＝1，n ＝2B ．m ＝－1，n ＝2C ．m ＝±1，n ＝2D ．m ＝±1，n ∈R思路解析：f （x ）为奇函数，则f （－x ）＝－f （x ），即无论x 取何值,（m 2－1）x 2-（m －1）x ＋n －2＝－［（m 2－1）x 2＋（m －1）x ＋（n －2）］都成立,即2（m 2－1）x 2＋2（n －2）＝0．∴⎩⎨⎧=-=-.02,012n m ∴⎩⎨⎧=±=.2,1n m 答案：C2.下列函数中是幂函数的是( )A.y =x xB.y =3x 21C.y =x 21+1D.y =x-2 思路解析：根据幂函数的基本形式为y =x n 易得到答案.答案：D3.幂函数y =x n (n ∈Q )的图象一定经过点( )A.(0,0)B.(1,1)C.(-1,-1)D.(0,1)思路解析：本题主要考查了幂函数的图象的性质.答案：B4.设f （x ）为偶函数，对于任意的x ∈(0,+∞)，都有f （2＋x ）＝－2f （2－x ），已知f （－1）＝4，那么f （－3）等于 …( )A.2B.-2C.8D.-8思路解析：∵f （x ）为偶函数，∴f （－1）＝f （1）＝4．∴令x ＝1，得f （3）＝－2f （1）＝－2×4＝－8．答案：D5.幂函数f (x )的图象过点(2，516)，则函数的解析式是( )A.f (x -2)=(x -2)45B.f (x -2)=x 45-2C.f (x -2)=x 54-2D.f (x -2)=(x -2)54思路解析：可以先求f (x )的表达式，然后再去求f (x -2)的表达式. 设f (x )=x a ,则516=2a,∴254=2a . ∴a =54.∴f (x )=x 54.因此f (x -2)=(x -2)54. 答案：D 6.比较(54)21和(109)31两个数的大小. 思路解析：使用幂函数的图象以及性质.∵54<109,21>0, ∴根据幂函数的单调性，有(54)21<(109)21. 又0<109<1, 21>31, ∴根据指数函数的单调性，有(109)21<(109)31. ∴综上可知(54)21<(109)31. 解：(54)21<(109)31. 7.已知函数f (x )=(a -1)x a 2+a -1，那么当a ＝ 时，f （x ）为正比例函数，当a ＝ 时，f （x ）为反比例函数；当a ＝ 时，f （x ）为二次函数；当a ＝ 时，f （x ）为幂函数．思路解析：（1）当⎩⎨⎧=-+≠-11,012a a a 即a ＝－2时，f （x ）为正比例函数； （2）当⎩⎨⎧-=-+≠-11,012a a a 即a ＝0或a ＝－1时，f （x ）为反比例函数；（3）当⎩⎨⎧≠-=-+,01,212a a a 即a =2131±-时，f （x ）为二次函数； （4）当a －1＝1，即a ＝2时，f （x ）是幂函数．答案：－2 0或－12131±- 2 8.函数f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx 是奇函数，函数g （x ）＝x 2＋（c －2）x ＋5是偶函数，则b ＋c＝ ．思路解析：∵f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx 是奇函数，∴b ＝0．∵g （x ）＝x 2＋（c －2）x ＋5是偶函数，∴c －2＝0，即c ＝2．∴b ＋c ＝0＋2＝2．答案：29.证明函数y =x 21-1在［0,+∞)上是增函数.证明：任取x 1,x 2∈［0,+∞)且x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=(1x -1)-(2x -1)=1x -2x =2121x x x x +-. 因为x 1,x 2∈［0,+∞)且x 1<x 2,所以x 1-x 2<0，1x +2x >0.所以f (x 1)-f (x 2)<0.所以f (x )在［0,+∞)上是增函数.10.某公司产值最初为m 万元，以后连续三年持续增长，这三年的增长率分别为a ,b ,c ,求这三年的平均增长率.思路解析：第一年的产值为m (1+a ),第二年的产值为m (1+a )(1+b ),第三年的产值为m (1+a )(1+b )(1+c ),如果设平均增长率为x ,则第三年的产值也为m (1+x )3.解：设这三年的平均增长率为x ,依题意，得m (1+x )3=m (1+a )(1+b )(1+c ).解得x =()()()11113-+++c b a .答：这三年的平均增长率为x =()()()11113-+++c b a .11.已知幂函数f (x )=x m 2-2m -3(m ∈Z)为偶函数，且在区间(0，+∞)上是减函数.求函数f (x )的解析式.思路解析：因为f (x )是偶函数，故m 2-2m -3是偶数.又f (x )在区间(0,+∞)上是减函数，故m 2-2m -3<0,可解得-1<m <3,而m ∈Z.则只有m =1.所以有f (x )=x -4.解：f (x )=x -4.走近高考12.已知x ∈N *,f (x )=()⎩⎨⎧〈+≥-.3,2,3,352x x f x x 其值域设为D ，给出下列数值：-26，-1，9，14，27，65，则其中属于集合D 的元素是 .（写出所有可能的数值）思路分析：代入解方程可得.答案：-26,14,6513.函数f (x )=(m 2-m -1)x m 2+m -3是幂函数，且当x ∈（0，＋∞）时，f （x ）是增函数，求f （x ）的解析式．解：根据幂函数定义，m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1．当m ＝2时，f （x ）＝x 3在（0，＋∞）上是增函数；当m ＝－1时，f （x ）＝x －3在（0，＋∞）上是减函数，不合要求．故f （x ）＝x 3．14.设f (x )=cbx ax ++12（a 、b 、c 为自然数）为奇函数，且f （1）＝2，f （2）＜3，求a 、b 、c 的值．解法一：∵f （x ）为奇函数，∴f （x ）＋f （－x ）＝0．∴(ax 2+1)(c bx +1+bx c -1)=0． ∴(ax 2+1)·()()bx c c bx c -+2=0对一切定义域内的x 成立． ∴f (x )=c bx ax ++12∵f （1）＝2，∴ba 1+=2． 又∵f （2）＜3，∴b a 214+<3． 消去a ，得b <23． 又∵b ∈N *，∴b ＝1，从而a ＝1．∴a ＝b ＝1，c ＝0．解法二：设g （x ）＝a x 2＋1，φ（x ）＝bx ＋c ．∴g （－x ）＝a （－x ）2＋1＝ax 2＋1＝g （x ）．∴g （x ）为偶函数．由f (x )=()()x x g ϕ，得φ(x )=()()x f x g ． ∵f （x ）是奇函数，g （x ）为偶函数， ∴φ(-x )=()()x f x g --=()()x f x g -=-()()x f x g =-φ(x )． 因此φ（x ）一定是奇函数．由φ（－x ）＝－φ（x ），得c ＝0．由f (1)=2由①得a ＝2b －1，代入②解得b <23． 又b ∈Z +，故b ＝1，从而a ＝1． 综上，a ＝b ＝1，c ＝0．15.已知幂函数f (x )=(t 3-t +1)x51(7+3t -2t 2),t ∈Z 是偶函数且在(0,+∞)上为增函数，求实数t 的值和函数f (x )的解析式. 思路解析：关于幂函数y =x n (n ∈Q ,n ≠0)的奇偶性问题，设n=q p (|p |,|q|互质),当q 为偶数时，p 必为奇数.y =x q p是非奇非偶函数；当q 是奇数时，y =x q p 的奇偶性与p 的奇偶性对应.解：∵f (x )是幂函数,∴t 3-t +1=1.∴t =-1,1或0.当t =0时,f (x )=x 57是奇函数.当t =-1时,f (x )=x 52是偶函数.当t =1时,f (x )=x 58是偶函数.且52，58都大于0，在(0,+∞)为增函数. 故t =1，且f (x )=x 58或t =-1且f (x )=x 52.。
新教材苏教版数学必修第一册课件6.1 幂函数
第六
章
幂函数、指数函数和对数函数
6．1 幂函数
新课程标准解读
核心素养
通过具体实例，结合 y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝ x，y＝ 数学抽象、直观想象、
x3 的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数
逻辑推理
研究下列 3 个问题： ①如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 w 千克，那么她需要支付 p＝w 元， 这里 p 是 w 的函数； ②如果正方形的边长为 a，那么正方形的面积 S＝a2，这里 S 是 a 的函数； ③如果某人 t s 内骑车行进了 1 m，那么他骑车的平均速度 v＝t－1 m/s，这里 v 是 t 的函数．
[跟踪训练]
1
1
1．若(3－2m) 2 ＞(m＋1) 2 ，求实数 m 的取值范围．
1
3－2m≥0，
解：因为 y＝x 2 在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以m＋1≥0，
解得－1≤m
3－2m＞m＋1，
＜23.
故实数 m 的取值范围为－1，23.
2．已知幂函数 f(x)＝x－2m2－m＋3，其中 m∈{x|－2<x<2，x∈Z }，满足： (1)是区间(0，＋∞)上的增函数； (2)对任意的 x∈R ，都有 f(－x)＋f(x)＝0. 求同时满足(1)，(2)的幂函数 f(x)的解析式，并求 x∈[0，3]时，f(x)的值域．
苏教版数学必修一新素养同步讲义：3.3 幂函数
3.3 幂函数1.了解幂函数的概念．2.掌握y ＝x 、y ＝x 2、y ＝x 3、y ＝x －1、y ＝x －2、y＝x 12的图象和性质．3．会运用幂函数的图象和性质解决问题．[学生用书P58]1．幂函数的概念函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象与性质 (1)五种常见幂函数的图象(2)五类幂函数的性质 幂函数 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1 定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪ (0，＋∞) 值 域 R [0，＋∞) R [0，＋∞){y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x ∈[0，＋∞)，增x ∈(－∞，0]，减增 增 x ∈(0，＋∞)，减x ∈(－∞，0)，减公共点 都经过点(1，1)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x 0(x ≠0)是幂函数．( )(2)幂函数的图象必过点(0，0)和(1，1)．( ) (3)幂函数的图象都不过第二、四象限．( ) ★★答案★★：(1)√ (2)× (3)× 2．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 3 C ．y ＝2x D ．y ＝x －1★★答案★★：C3．若y ＝mx α＋(2n －4)是幂函数，则m ＋n ＝________． ★★答案★★：34．若幂函数f (x )＝x α的图象经过点(3，9)，那么函数f (x )的单调增区间是________． ★★答案★★：[0，＋∞)幂函数的概念[学生用书P58](1)下列函数为幂函数的序号是________． ①y ＝－x 2；②y ＝2x ； ③y ＝x π；④y ＝(x －1)3； ⑤y ＝1x 2；⑥y ＝x 2＋1x.(2)若幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (9)＝________．【解析】 (1)①y ＝－x 2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y ＝2x 是指数函数；④y ＝(x －1)3的底数是x －1而不是x ，故不是幂函数；⑥y ＝x 2＋1x 是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显③⑤是幂函数．(2)设f (x )＝x α，则2α＝22，所以α＝32，所以f (x )＝x 32.所以f (9)＝932＝33＝27.【★★答案★★】 (1)③⑤ (2)27幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．1.已知函数f (x )＝(m 2＋2m －2)·xm 2－m －1是幂函数，则m ＝( )A ．1B ．－3C ．1或－3D ．1或3解析：选C.由题意知，若f (x )为幂函数， 则m 2＋2m －2＝1.即m 2＋2m －3＝0，解得m ＝1或m ＝－3.幂函数的图象[学生用书P59]已知幂函数y ＝x m －2(m ∈N )的图象与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m的值，并画出它的图象．【解】 因为图象与x ，y 轴都无交点， 所以m －2≤0，即m ≤2. 又m ∈N ，所以m ＝0，1，2.因为幂函数图象关于y 轴对称，所以m ＝0，或m ＝2. 当m ＝0时，函数为y ＝x －2，图象如图1； 当m ＝2时，函数为y ＝x 0＝1(x ≠0)，图象如图2.(1)幂函数y ＝x α的图象恒过定点(1，1)，且不过第四象限．(2)解决幂函数图象问题，需把握两个原则：①幂指数α的正负决定函数图象在第一象限的升降；②依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，在第一象限内，直线x ＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小．2.已知当n 取±2，±12四个值时，幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则相应的曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为________．解析：抓住幂函数图象的特征，在第一象限内当0＜α＜1时，图象平缓上升；当α＞1时，图象陡峭上升；当α＜0时，图象下降，且在(1，＋∞)上，指数大的图象在上方．由题图，知C 1的指数n ＞1，C 2的指数0＜n ＜1，即C 1的指数n 取2，C 2的指数n 取12.再取x ＝2，由2－12＞2－2知C 3的指数n 取－12，C 4的指数n 取－2.★★答案★★：2，12，－12，－2幂值的大小比较问题[学生用书P59]比较下列各组数的大小： (1)1.332，1.432，(－2)13；(2)1.712，0.712，0.72.【解】 (1)考察幂函数y ＝x 32，因为32>0，所以y ＝x 32在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于0<1.3<1.4，所以0<1.332<1.432， 又因为(－2)13<0，所以1.432>1.332>(－2)13.(2)考察幂函数y ＝x 12.因为12>0，所以y ＝x 12在区间[0，＋∞)上是单调增函数．由于0.7<1.7，所以0.712<1.712，再考察指数函数y ＝0.7x ，因为0<0.7<1，所以y ＝0.7x 是R 上的单调减函数．由于0<12<2，所以0.712>0.72，综上1.712>0.712>0.72.当两个值的底数是同一个正数时，用指数函数模型比较两个值的大小；当两个值的指数是同一个实数时，用幂函数模型比较两个值的大小，特别地，当底数是负数时，先利用幂函数的性质，将底数是负数的幂化为底数是正数的幂，再利用指数函数模型或幂函数模型比较两个值的大小．3.比较下列各组数的大小：(1)2.112，2.212，0.213；(2)3.535，0.535，0.545.解：(1)考察幂函数y ＝x 12，因为12>0，所以y ＝x 12在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于1<2.1<2.2，所以1<2.112<2.212，又因为0.213<1，所以2.212>2.112>0.213.(2)考察幂函数y ＝x 35.因为35>0，所以y ＝x 35在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于0.5<3.5，所以0.535<3.535，再考察指数函数y ＝0.5x ，因为0<0.5<1，所以y ＝0.5x 是R 上的单调减函数，由于0<35<45，所以0.535>0.545，综上3.535>0.535>0.545.1．指数函数与幂函数的区别 函数名称 解析式 解析式特征指数函数 y ＝a x (a ＞0， 且a ≠1) 底数是常数，自变量在指数位置上 幂函数y ＝x α(α∈R )指数是常数，自变量在底数位置上2.幂函数的性质归纳(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)． (2)α＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸； 当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸．(3)α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为________．[解析] 当α＝1，3时，函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数，当α＝－1时，y ＝1x 的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }．当α＝12时，y ＝x 12＝x 的定义域是{x |x ≥0}． [★★答案★★] 1，3(1)y ＝x－1易忽视定义域的限制，其定义域应为{x |x ≠0}．(2)在幂函数的有关问题中，要理解幂函数的概念，掌握好五种幂函数的图象和性质，当α为正奇数时幂函数f (x )＝x α的定义域为R 且为奇函数，解决此类问题，要特别注意α的取值范围．1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝x －3 C ．y ＝2x 3 D ．y ＝x 3－1★★答案★★：B2．下列函数中值域为(－∞，＋∞)的函数是( )A ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xB ．y ＝x 2C ．y ＝1x 2D ．y ＝x 3★★答案★★：D 3．函数y ＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．解析：因为函数y ＝x －3＝1x 3在(－∞，0)上单调递减，所以当x ＝－2时，y min ＝(－2)－3＝1（－2）3＝－18. ★★答案★★：－184．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．解析：因为y ＝x－1图象在第一、三象限，y ＝x 与y ＝x 3图象都经过第一、三象限，y ＝x 12图象仅经过第一象限，故α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，图象不可能经过第二、四象限． ★★答案★★：二、四[学生用书P116(单独成册)])[A 基础达标]1．在下列函数中，定义域和值域不同的是( ) A ．y ＝x 13B ．y ＝x 12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23解析：选D.A 、C 的定义域和值域都是R ；B 的定义域和值域都是[0，＋∞)；D 的定义域是R ，值域是[0，＋∞)．故选D.2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k ＋α＝( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选A.因为幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，所以k ＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12α＝2，即α＝－12，所以k ＋α＝12.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A.所给选项都是幂函数，其中y ＝x－2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x－1和y ＝x 13不是偶函数，故排除选项B 、D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.4．已知m ＝(a 2＋3)－1(a ≠0)，n ＝3－1，则( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．m 与n 的大小不确定解析：选B.设f (x )＝x －1，已知a ≠0， 则a 2＋3>3>0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 则f (a 2＋3)<f (3)， 即(a 2＋3)－1<3－1， 故m <n .5．函数y ＝x |x |的图象大致是( )解析：选A.由题可得，y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0，－x 2， x <0，从而可知A 为正确选项，另外，易知函数y ＝x |x |为奇函数．6.如图，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则m ，n 与0的大小关系是________．解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减， 故m ＜0，n ＜0. 取x ＝2，则有2m ＞2n ， 故n ＜m ＜0.★★答案★★：n ＜m ＜07．当x ∈(1，＋∞)时，幂函数y ＝x α的图象在直线y ＝x 的下方，则α的取值范围是________．解析：幂函数y ＝x 12，y ＝x －1，y ＝x 0在区间(1，＋∞)上时图象在直线y ＝x 的下方，一般地，当α<0，α＝0，0<α<1时f (x )＝x α在(1，＋∞)上的图象都在直线y ＝x 下方，故α的取值范围是(－∞，1)．★★答案★★：(－∞，1)8．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________． 解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α， 所以y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，故α<0. ★★答案★★：α＜0 9．已知函数f (x )＝x －m ＋3(m ∈N *)是偶函数，且f (3)<f (5)，求m 的值，并确定f (x )的函数解析式．解：由f (3)<f (5)，得3－m ＋3<5－m ＋3，所以⎝⎛⎭⎫35－m ＋3<1＝⎝⎛⎭⎫350.因为y ＝⎝⎛⎭⎫35x是减函数， 所以－m ＋3>0. 解得m <3. 又因为m ∈N *， 所以m ＝1或2； 当m ＝2时，f (x )＝x －m ＋3＝x 为奇函数，所以m ＝2舍去． 当m ＝1时，f (x )＝x －m ＋3＝x 2为偶函数，所以m ＝1， 此时f (x )＝x 2.10．已知f (x )＝x ，g (x )＝x 13，设F (x )＝f (x )＋g (x )，试判断F (x )的奇偶性与单调性． 解：因为f (x )，g (x )的定义域均为R ， 所以F (x )＝f (x )＋g (x )＝x ＋x 13的定义域为R .又F (－x )＝－x ＋(－x )13＝－(x ＋x 13)＝－F (x )， 所以F (x )是奇函数．因为f (x )与g (x )在R 上均为增函数， 所以F (x )在R 上也为增函数．[B 能力提升]1．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1，0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1解析：选B.在(0，1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0＜m ＜1，n ＜－1.2.给出下列四个函数：①y ＝x 13；②y ＝x －13；③y ＝x －1；④y ＝x 23，其中定义域和值域相同的是________．(写出所有满足条件的函数的序号) 解析：函数y ＝x 13的定义域和值域都为R ；函数y ＝x －13与y ＝x－1的定义域和值域都为(－∞，0)∪(0，＋∞)；函数y ＝x 23的定义域为R ，值域为[0，＋∞)．★★答案★★：①②③ 3.已知幂函数y ＝x m2＋2m －3(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，求幂函数的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．解：由幂函数的性质可知m 2＋2m －3＜0⇒(m －1)(m ＋3)＜0⇒－3＜m ＜1， 又因为m ∈Z ， 所以m ＝－2，－1，0.当m ＝0或m ＝－2时，y ＝x －3， 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为－3＜0， 所以y ＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，又因为f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )， 所以y ＝x－3是奇函数．当m ＝－1时，y ＝x －4，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为f (－x )＝(－x )－4＝1（－x ）4＝1x 4＝x －4＝f (x )， 所以函数y ＝x－4是偶函数．因为－4＜0， 所以y ＝x－4在(0，＋∞)上是减函数．又因为y ＝x －4是偶函数，所以y ＝x－4在(－∞，0)上是增函数．4．(选做题)已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72.(1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明； (3)试在(－∞，0)上解不等式f (x )<f (2x ＋1)． 解：(1)因为f (4)＝－72，所以24－4m ＝－72，m ＝1.(2)f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上是减函数．证明如下：任取x 1、x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则x 1－x 2<0， 所以f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 2－⎝⎛⎭⎫2x 1－x 1 ＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫2x 2－2x 1＝(x 1－x 2)＋2x 1x 2(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2x 1x 2＋1. 因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)． 所以f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上是减函数．(3)因为f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝2－x＋x ＝－⎝⎛⎭⎫2x －x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．所以f (x )在(－∞，0)上是减函数．所以f (x )<f (2x ＋1)的解满足⎩⎪⎨⎪⎧x <0，2x ＋1<0，x >2x ＋1.解得x <－1.所以f (x )<f (2x ＋1)的解集为{x |x <－1}．。
苏教版高中数学必修1幂函数教案1
幂函数教学目标：知识与技能 通过具体实例了解幂函数的概念，掌握幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用。
过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质；培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的能力。
情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，培养学生合作交流的意识。
教学重点：重点 从五个具体幂函数图象中认识幂函数的一些性质。
难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律。
教学关键：揭示出幂函数y x α=的图象的规律。
教学准备：多媒体课件，几何画板。
教学方式：引导教学法、探索讨论法、多媒体教学法。
学法指导：操作实验、自主探索、合作交流。
教学程序与环节设计：的函数，其中x是自变量，是α常数。
函数与指数函数的异同。
组织探究材料一：幂函数定义及其图象。
一般地，形如αxy=)(Ra∈的函数称为幂函数，其中α为常数。
例1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？（1）y =1x2（2）y=2x2 （3）y=x2 + x（4）y = 2x （5）y=1下面我们举例学习这类函数的一些性质。
利用几何画板作出下列函数的图象：（1）xy=；（2）21xy=；（3）2xy=；（4）1-=xy；（5）3xy=．师：幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，其特征可归纳为“两个1”，即：系数为1，只有1项。
引导学生注意辨析。
生：观察所图象，体会幂函数的变化规律。
归纳概材料二：幂函数的图象变化规律归纳（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都经过点（1，1）；（2）当0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在第一象限图象逐渐上升；当0<α时，幂函数的图象在第一象限逐渐下降。
在第一象限内，当x从右边趋向原点时，师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的图象变化规律和性质。
高一数学苏教版必修一：3.3幂函数
一、填空题1. 已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(4，2)，则k＋α＝__________．【★答案★】【解析】由幂函数的定义知k＝1.又f(4)＝2，所以4α＝2，解得α＝，从而k＋α＝.2. 已知二次函数f(x)＝2x2－mx＋3.若f(－4)＝f(0)，则f(1)的值为________．【★答案★】13【解析】∵ f(－4)＝f(0)，∴ f(x)图象的对称轴为直线x＝－2，∴＝－2，∴ m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，∴ f(1)＝2＋8＋3＝13.3. 设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＋g(5)＋g(6)的值为________．【★答案★】112【解析】令f(x)≤0，得3≤x≤20.∴当3≤x≤20时，g(x)＝f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(3)＝g(4)＝g(5)＝g(6)＝0.∴ g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＋g(5)＋g(6)＝g(1)＋g(2)＝2f(1)＋2f(2)＝112.4. 若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式是f(x)＝________．【★答案★】－2x2＋4【解析】f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2，由已知条件ab＋2a＝0.又f(x)的值域为(－∞，4]，则因此f(x)＝－2x2＋4.点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.5. 若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是__________．【★答案★】y＝－x2＋2x＋8【解析】设y＝a(x＋2)(x－4)，对称轴方程为x＝1，当x＝1时，y max＝－9a＝9，∴ a＝－1，∴ y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.6. 设α∈，则使幂函数f(x)＝xα的图象分布在一、三象限，且在(0，＋∞)上为减函数的α取值个数为__________个．【★答案★】1【解析】只有α＝－1适合题意．7. 若图象过点(1，0)的二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为0，＋∞)，则a＝__________．【★答案★】2【解析】由题意抛物线的对称轴方程是x＝1，所以a＝2.8. 已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为________．【★答案★】(2－，2＋)【解析】易知f(a)＝e a－1>－1，由f(a)＝g(b)，得g(b)＝－b2＋4b－3>－1，解得2－<b<2＋.9. 设函数f(x)＝|x|x＋bx＋c，则下列命题中是真命题的有________．(填序号)①当b>0时，函数f(x)在R上是单调增函数；②当b<0时，函数f(x)在R上有最小值；③函数f(x)的图象关于点(0，c)对称；④方程f(x)＝0可能有三个实数根．【★答案★】①③④【解析】由于函数的单调性与常数项无关，所以可取c＝0，此时f(x)＝|x|x＋bx(b>0)是奇函数，且在0，＋∞)上显然是增函数，即知①正确；取b<0，c＝0，结合图象即知②错误，④正确；由于y＝|x|x＋bx是奇函数，其图象关于原点(0，0)对称，所以f(x) 的图象关于点(0，c)对称，所以③正确．10. 已知函数f(x)＝是偶函数，直线y＝t与函数y＝f(x)的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D.若AB＝BC，则实数t的值为____________．【★答案★】－学￥科￥网...二、解答题11. 已知函数f(x)＝x2＋a，x∈R.(1) 对任意x1，x2∈R，比较f(x1)＋f(x2)]与f的大小；(2) 若x∈－1，1]时，有|f(x)|≤1，求实数a的取值范围．【★答案★】（1）见解析（2）－1≤a≤0.【解析】试题分析：（1）作差后配方，根据平方数非负得证（2）根据绝对值定义将不等式转化为对应函数最值：，求对应函数最值可得实数a的取值范围．试题解析：解：(1) ∵ 对任意x1，x2∈R， f(x1)＋f(x2)]－f＝(x1－x2)2≥0，∴f(x1)＋f(x2)]≥f.(2) 由|f(x)|≤1，得－1≤f(x)≤1，即－1≤x2＋a≤1，得解得－1≤a≤0.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.12. 已知函数h(x)＝(m2－5m＋1)x m＋1为幂函数，且为奇函数．(1) 求m的值；(2) 求函数g(x)＝h(x)＋在x∈上的值域．【★答案★】（1）0（2）试题解析：解：(1)∵函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1为幂函数，∴m2－5m＋1＝1，.解得m＝0或5又h(x)为奇函数，∴m＝0(2)由(1)可知g(x)＝x＋，x∈，令＝t，则x＝－t2＋，t∈0,1]，∴f(t)＝－t2＋t＋＝－(t－1)2＋1∈，故g(x)＝h(x)＋，x∈的值域为.13. 已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝－2x＋1，且f(2)＝15.(1)求函数f(x)的解析式；(2) 令g(x)＝(2－2m)x－f(x)．①若函数g(x)在x∈0，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；②求函数g(x)在x∈0，2]上的最小值．【★答案★】（1）f(x)＝－x2＋2x＋15.（2）①m≤0或m≥2.②见解析【解析】试题分析：（1）设二次函数一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，代入条件化简，根据恒等条件得2a＝－2，a＋b＝1，解得a＝－1，b＝2.再根据f(2)＝15，求c（2）①根据二次函数对称轴必在定义区间外得实数m的取值范围；②根据对称轴与定义区间位置关系，分三种情况讨论函数最小值取法.试题解析：解：(1) 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b＝－2x＋1，∴ 2a＝－2，a＋b＝1，∴ a＝－1，b＝2.又f(2)＝15，∴ c＝15.∴ f(x)＝－x2＋2x＋15.(2) ①∵ f(x)＝－x2＋2x＋15，∴ g(x)＝(2－2m)x－f(x)＝x2－2mx－15.又g(x)在x∈0，2]上是单调函数，∴对称轴x＝m在区间0，2]的左侧或右侧，∴ m≤0或m≥2.② g(x)＝x2－2mx－15，x∈0，2]，对称轴x＝m，当m＞2时，g(x)min＝g(2)＝4－4m－15＝－4m－11；当m＜0时，g(x)min＝g(0)＝－15；当0≤m≤2时，g(x)min＝g(m)＝m2－2m2－15＝－m2－15.综上所述，g(x)min＝点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.。
最新高中数学 苏教版必修一 幂函数课件ppt.ppt
本 课
2．幂函数的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并
时 栏
且图象都过定点_(_1_,_1_) ___．
目 开
(2)α>0 ， 幂 函 数 的 图 象 都 通 过 原 点 ， 并 且 在 [0 ， ＋ ∞) 上 是
关 __增__函__数____，特别地，当 α>1 时，x∈(0,1)，y＝xα 的图象都在
五个具体幂函数认识幂函数的图象与性质．体会幂函数的变化
规律及蕴含其中的对称性，体验由特殊到一般、由具体到抽象
的学习方法，进一步渗透数形结合与类比的思想方法.
填一填·知识要点、记下疑难点
1．幂函数的定义：一般地，我们把形如___y＝__x__α _的函数称为幂函
数，其中 x 为___自__变__量_____，α 为__常__数____．
答 导引中涉及到的函数，都是形如：y＝xα，其中 x 是自变
量，α 是常数．
本 课
小结 幂函数定义：一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x
时 栏
是自变量，α 是常数．
目
开
关
研一研•问题探究、课堂更高效
问题 3 判断一个函数是不是幂函数的标准是什么？
答 只有满足函数解析式右边的系数为 1，底数为自变量
答 共同点：均是幂的形式．
本
课 不同点：
时
数是自变量．
关
研一研•问题探究、课堂更高效
例 1 写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性：
1
(1)y＝x3；(2)y＝ x 2 ；(3)y＝x－2.
解 (1)函数 y＝x3 的定义域是 R，它是奇函数．
1
(2)函数 y＝ x 2 即 y＝ x，其定义域是[0，＋∞)，它既不是奇
第6章-6.1-幂函数高中数学必修第一册苏教版
(2 − 1 )[ 2 − 1 ] < 0.请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式：
− （答案不唯一）
=
__________________________．
【解析】由题意知幂函数 满足性质：对定义域中任意的,有 = − ，则
调递增，且0 < 0.31 < 0.35，∴ 0.31 < 0.35 ，即 −0.31
6
5
6
5
< 0.35 .
【学会了吗丨变式题】
2.若 =
1
2
2
3
1
5
， =
A. < <
2
3
， =
1
2
1
3
，则,,的大小关系是( D
B. < <
2
3
【解析】 = 在[0, +∞)上单调递增，∴
间 0, +∞ 上单调递减，对应图象①；函数3 在区间[0, +∞)上单调递增，对应图象②；
函数4 在区间 0, +∞ 上单调递减，对应图象④.
例10 已知点
2, 2 在幂函数 的图象上，点
当为何值时：
（1） > ；
（2） = ；
（3） < .
则( B
)
A. > > >
B. > > >
C. > > >
D. > > >
图6.1-3
【解析】由幂函数的图象特征可知， < 0， > 0， > 0， > 0.
新教材苏教版高中数学必修第一册第6章幂函数、指数函数和对数函数 知识点考点重点难点归纳总结
第六章幂函数、指数函数和对数函数6.1幂函数 (1)6.2指数函数 (6)第1课时指数函数的概念、图象与性质 (6)第2课时指数函数的图象与性质的应用 (11)6.3对数函数 (16)第1课时对数函数的概念、图象与性质 (16)第2课时对数函数的图象与性质的应用 (20)6.1幂函数知识点1幂函数的概念一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点2幂函数的图象和性质1．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：2．幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非奇函数偶函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞) 上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0)(1,1)考点类型1 幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)x m2－2＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．(1)B [幂函数有①⑥两个．] (2)[解] 由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.1．幂函数y ＝x α满足的三个特征 (1)幂x α前系数为1；(2)底数只能是自变量x ，指数是常数； (3)项数只有一项．2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f (x )＝x α，根据条件求出α.类型2 比较大小【例2】 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13与⎝ ⎛⎭⎪⎫14；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1； (3)0.25与6.25；(4)1.20.6与0.30.4；(5)(－3)与(－2).[思路点拨] 可以借助幂函数y ＝x 2的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较．[解] (1)∵y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，且13>14， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13>⎝ ⎛⎭⎪⎫14. (2)∵y ＝x －1是(－∞，0)上的减函数， 且－23<－35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. (3)0.25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2，6．25＝2.5.∵y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，且2<2.5， ∴2<2.5，即0.25<6.25.(4)由幂函数的单调性，知1.20.6>10.6＝1,0.30.4<10.4＝1，从而0.30.4<1.20.6. (5)由幂函数的奇偶性，(－3)＝3>0，(－2)＝－2<0， 所以(－3)>(－2).比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用奇偶性；(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量．类型3 幂函数的图象及应用【例3】 点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )． [解] 设f (x )＝x α，g (x )＝x β. ∵(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．1．解决幂函数图象问题应把握研究一般的方法 (1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究其它象限的图象．2．幂函数在第一象限的图象与性质(1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函数． (2)α<0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，＋∞)上是减函数． 3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律(1)在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；(2)在第一象限内直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．类型4 幂函数性质的综合应用【例4】 已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋1)<(3－2a )的a 的取值范围．1．函数图象关于y 轴对称，函数有怎样的奇偶性？ [提示] 偶函数． 2．x>y时，x 、y 与0的大小关系有多少种？[提示] 0<x <y ，x <y <0，x >0>y .[解] ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m －9<0，解得m <3. 又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1. ∴有(a ＋1)<(3－2a ).∵y ＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a ，或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1. 所以a 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32.1．本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解． 2．求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质． 解决此类问题可分为两大步：第一步，研究幂函数的奇偶性(图象对称性)、第一象限的图象的单调性求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．6.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质知识点1指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R.知识点2指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)定点图象过点(0,1)，图象在x轴的上方函数值的变化x>0时，y>1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x<0时，y>1单调性在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数奇偶性非奇非偶函数1.指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？[提示]指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势．2.为什么底数应满足a>0且a≠1?[提示]①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.考点类型1指数函数的概念【例1】(1)下列函数中，是指数函数的个数是()①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝a x；④y＝2·3x.A ．1B ．2C ．3D ．0(2)已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39，则f (－2)＝________.(1)D (2)19 [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数； ②中指数不是自变量x ，而是x 的函数， 所以不是指数函数；③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.(2)设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝19.]1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住3点 (1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1.2．求指数函数的解析式常用待定系数法．类型2 利用单调性比较大小 【例2】 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8与⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫58与1； (3)0.6－2与⎝ ⎛⎭⎪⎫43；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3与3－0.2；(5)0.20.6与0.30.4；(6) ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，⎝ ⎛⎭⎪⎫25.[思路点拨] 观察底数是否相同(或能化成底数相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．[解] (1)∵0<34<1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x在定义域R 内是减函数，－1.8>－2.6， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6.(2)∵0<58<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫58x在定义域R 内是减函数．又∵－23<0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58>⎝ ⎛⎭⎪⎫580＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58>1.(3)∵0.6－2>0.60＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫43<⎝ ⎛⎭⎪⎫430＝1， ∴0.6－2>⎝ ⎛⎭⎪⎫43.(4)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3＝3－0.3，y ＝3x 在定义域R 内是增函数，又∵－0.3<－0.2， ∴3－0.3<3－0.2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3<3－0.2.(5)由幂函数的单调性，知0.20.6<0.30.6，又y ＝0.3x 是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而0.20.6<0.30.4.(6)∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 在R 上为减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23<⎝ ⎛⎭⎪⎫23， ∵f (x )＝x 在(0，＋∞)上为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫25，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫25.在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下3类 (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决． (2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数．比如a c 与b d ，可取a d ，前者利用单调性，后者利用图象．类型3 利用指数函数的单调性解不等式 【例3】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2；(2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，且a ≠1)． [解] (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1. ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0， 故原不等式的解集为{x |x ≥0}． (2)分情况讨论①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上为减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6， ∴x 2－4x －5>0，根据相应二次函数的图象可得x <－1或x >5.②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是增函数． ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0. 根据相应二次函数的图象可得－1<x <5， 综上所述当0<a <1时，x <－1或x >5， 当a >1时，－1<x <5.1．形如a x >a y 的不等式，借助y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．2．形如a x ＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．类型4 图象变换及其应用【例4】 (1)函数y ＝3－x 的图象是________．(填序号)(2)已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过第________象限．(3)函数f (x )＝2a x ＋1－3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点________． [思路点拨] 题(1)中可将y ＝3－x转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.题(2)中，函数y ＝a x ＋b 的图象过点(0,1＋b )， 因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上． 题(3)应该根据指数函数经过定点求解．(1)② (2)一 (3)(－1，－1) [(1)y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为单调递减的指数函数，其图象为②.(2)函数y ＝a x (0＜a ＜1)在R 上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y ＝a x ＋b 的图象在R 上单调递减，且过点(0,1＋b )．因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上，故图象不经过第一象限．(3)令x ＋1＝0，得x ＝－1，此时y ＝2a 0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．]1．处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 2．指数型函数图象过定点问题的处理方法求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点．第2课时 指数函数的图象与性质的应用知识点 指数型函数形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．设原有量为N ，每次的增长率为p ，经过x 次增长，该量增长到y ，则y ＝N (1＋p )x (x ∈N )．考点类型1 求函数的定义域、值域 【例1】 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝2；(2)y ＝1－2x；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3；(4)y ＝4x ＋2x ＋2－3.[解] (1)由x －4≠0，得x ≠4， 故y ＝2的定义域为{x |x ≠4}．又1x －4≠0，即2≠1，故y ＝2的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)由1－2x ≥0，得2x ≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x 的定义域为(－∞，0]． 由0<2x ≤1，得－1≤－2x <0， ∴0≤1－2x <1，∴y ＝1－2x 的值域为[0,1)． (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3>0，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]．(4)函数 y ＝4x ＋2x ＋2－3的定义域为R .设t ＝2x ，则t >0.所以y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7，t >0. 因为函数y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7在(0，＋∞)为增函数， 所以y >－3，即函数的值域为(－3，＋∞)．1．若将本例(2)中函数换为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，求其定义域． [解] 由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1≥0得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫130，∴x ≤0即函数的定义域为(－∞，0]．2．若将本例(4)增加条件“0≤x ≤2”再求函数的值域．[解] 由于x ∈[0,2]则2x ＝t ∈[1,4]，所以y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7.t ∈[1,4]，∵函数y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7在[1,4]为增函数．故y ∈[2,29]．1．对于y ＝a f (x )这类函数(1)定义域是指使f (x )有意义的x 的取值范围． (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u ＝f (x )的值域；②利用指数函数y ＝a u 的单调性或利用图象求得函数的值域．2．对于y ＝m (a x )2＋n (a x )＋p (m ≠0)这类函数值域问题，利用换元法，借助二次函数求解．类型2 指数型函数的应用题【例2】 某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)试写出x 年后该城市人口总数y (万人)与年份x (年)之间的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．(参考数据：1.01210≈1.127) [思路点拨] 本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N ，年平均增长率为p ，则对于x 年后的人口总数y ，可以用y ＝N (1＋p )x 表示．[解] (1)1年后城市人口总数为： y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．2年后城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100(1＋1.2%)2，同理3年后城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)3， …故x 年后的城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为：y ＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127 ≈113(万人)．故10年后该城市人口总数约为113万人．解决实际应用题的步骤(1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；(2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；(3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．类型3 指数函数性质的综合应用【例3】 已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围； (3)求f (x )在[－1,2]上的值域．[思路点拨] (1)根据奇函数的定义，求出a ，b .(2)利用单调性和奇偶性去掉“f ”解不等式求k 的范围．(3)利用(2)中单调性求f (x )的值域．[解] (1)∵函数y ＝f (x )是定义域R 上的奇函数， ∴⎩⎨⎧f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b 2＋a ＝0，－2－1＋b 20＋a ＝－－21＋b 22＋a ，∴b ＝1，a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2(2x ＋1)＝－12＋12x ＋1，设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝12x 2＋1－12x 1＋1＝2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1)<0， ∴f (x )在定义域R 上为减函数， 由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立， 可得f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)， ∴t 2－2t >k －2t 2， ∴3t 2－2t －k >0恒成立，∴Δ＝(－2)2＋12k <0，解得k <－13， ∴k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.(3)由(2)知f (x )在R 上单调递减， ∴f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝－12＋11＋12＝16，f (x )min ＝f (2)＝－12＋14＋1＝－310，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－310，16.与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解．类型4 复合函数的单调性 【例4】 判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x 2－2x 的单调性分别如何？ [提示] y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x单调递减．y ＝x 2－2x 在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．[解] 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增， 又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ∈[－1，＋∞)，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．1．关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．2．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调性，其规则是“同增异减”．6.3对数函数第1课时对数函数的概念、图象与性质知识点1对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．1.函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？[提示]不是，其不符合对数函数的形式．知识点2对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)在(0，＋∞)上是增函数当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0在(0，＋∞)上是减函数当0<x<1时，y>0；当x>1时，y<02.对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？[提示]底数a与1的关系决定了对数函数的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”，当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．知识点3反函数(1)对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)和指数函数y＝a x(a>0，a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．(2)一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(4)原函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f－1(x)的值域；原函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f－1(x)的定义域．考点类型1对数函数的概念【例1】判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．(1)y＝log a x2(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x－1；(3)y＝2log8x；(4)y＝log x a(x＞0，且x≠1)．[思路点拨]依据对数函数的定义来判断．[解](1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；(3)中log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数；(4)中底数是自变量x，而不是常数a，∴不是对数函数．一个函数是对数函数，必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量x.类型2对数函数的定义域【例2】求下列函数的定义域．(1)f(x)＝1log12x＋1；(2)f(x)＝12－x＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)；(4)f (x )＝x ln(1－2x )．[解] (1)要使函数f (x )有意义，则log 12 x ＋1>0，即log 12 x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)要使函数式有意义需满足⎩⎨⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎨⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得⎩⎨⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，且x ≠1. (4)由题意知⎩⎨⎧x ≥0，1－2x >0，解得0≤x <12，∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x <12.求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．类型3 比较对数式的大小 【例3】 比较下列各组值的大小： (1)log 534与log 543； (2)log 13 2与log 15 2；(3)log 23与log 54.[解] (1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log534<log543.(2)法一(单调性法)：由于log132＝1log213，log152＝1log215，又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且13>15，所以0>log213>log215，所以1log213<1log215，所以log132<log152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝log13x及y＝log15x的图象，由图易知：log132<log152.(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小．第2课时对数函数的图象与性质的应用知识点图象变换(1)平移变换当b＞0时，将y＝log a x的图象向左平移b个单位，得到y＝log a(x＋b)的图象；向右平移b个单位，得到y＝log a(x－b)的图象．当b＞0时，将y＝log a x的图象向上平移b个单位，得到y＝log a x＋b的图象，将y＝log a x的图象向下平移b个单位，得到y＝log a x－b的图象．(2)对称变换要得到y＝log a 1x的图象，应将y＝log a x的图象关于x轴对称．考点类型1与对数函数相关的图象【例1】作出函数y＝|log2 (x＋2)|＋4的图象，并指出其单调增区间．[解]步骤如下：(1)作出y＝log2x的图象，如图(1)．(2)将y＝log2x的图象沿x轴向左平移2个单位得到y＝log2 (x＋2)的图象，如图(2)．(3)将y＝log2(x＋2)的图象在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方，得到y＝|log2 (x＋2)|的图象，如图(3)．(4)将y＝|log2(x＋2)|的图象沿y轴方向向上平移4个单位，得到y＝|log2(x ＋2)|＋4的图象，如图(4)．由图可知，函数的单调增区间为[－1，＋∞)．1．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)|＋b的图象步骤如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b.2．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)＋b|的图象，步骤如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|.以上可以看出，作含有绝对值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象作出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x，再变换y.类型2值域问题x的定义域为[2,4]，则函数f(x)的值域是【例2】(1)已知函数f(x)＝2log12________．(2)求函数f(x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域．x在定义域[2,4]上为减函数求解．[思路点拨](1)中利用f(x)＝2log12(2)中注意考虑真数－x2－4x＋12的范围．x在[2,4]上为减函数，(1)[－4，－2][∵f(x)＝2log122＝－2；∴x＝2时，f(x)max＝2log124＝－4.x＝4时，f(x)min＝2log12∴f(x)的值域为[－4，－2]．](2)[解]∵－x2－4x＋12＞0，又∵－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16，∴0＜－x2－4x＋12≤16，故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4，∴函数的值域为(－∞，4]．求函数值域或最大(小)值的常用方法(1)直接法根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域．(2)配方法当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的(形如y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c )，求函数值域问题时，可以用配方法．(3)单调性法根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域．(4)换元法求形如y ＝log a f (x )型函数值域的步骤：①换元，令u ＝f (x )，利用函数图象和性质求出u 的范围；②利用y ＝log a u 的单调性、图象，求出y 的取值范围．类型3 对数函数的综合问题【例3】 已知函数f (x )＝lg (2－x )－lg (2＋x )．(1)求值：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 021＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 021； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)判断函数的单调性并用定义证明．[思路点拨] (1)利用代入法求解，(2)(3)用定义法判断奇偶性和单调性．[解] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 021＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 021＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 021－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12 021＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12 021－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 021＝0. (2)由题知⎩⎨⎧2－x >0，2＋x >0⇒－2<x <2， 又f (－x )＝lg (2＋x )－lg (2－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)设－2<x 1<x 2<2，f (x 1)－f (x 2)＝lg 2－x 12＋x 1－lg 2－x 22＋x 2＝lg (2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)， ∵(2－x 1)(2＋x 2)－(2＋x 1)(2－x 2)＝4(x 2－x 1)>0.又(2－x 1)(2＋x 2)>0，(2＋x 1)(2－x 2)>0，∴(2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)>1，∴lg (2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)>0.从而f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在(－2,2)上为减函数．对数函数性质的综合应用(1)常见的命题方式对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算．(2)解此类问题的基本思路首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．类型4 解对数不等式【例4】 解下列关于x 的不等式： (1)log 17 x >log 17(4－x )； (2)log a (2x －5)>log a (x －1)．[解] (1)由题意可得⎩⎨⎧ x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}．(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4. 当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4. 综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 52<x <4.对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x>log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论．(2)形如log a x>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝log a a b)，再借助y＝log a x的单调性求解．(3)形如log f(x)a>log g(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．。
精美课件 3.3幂函数课件 苏教版必修1
数学探究：
1．等腰三角形顶角y(单位：度)与底角x的函数关系为
．
2．某种茶杯，每个0.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的
函数
，其定义域为
．
数学应用：
例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产 每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元．分别写出 总成本C(万元)、单位成本P(万元)、销售收入R(万元)以及利润L(万元)关于 总产量x(台)的函数关系式．
4．某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到达终点需 16min，快车不慢车晚发车3min，且行驶10min到达终点站.试分别写出 两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式．两车在何时相遇？相 遇时距始发站多远？
数学应用：
5．某产品总成本C(万元)与产量x(台)满足关系C＝3000＋20x－0.1x2，其中 0＜x＜240．若每台产品售价25万元，则厂家不亏本的最低产量为 台．
序排列为
．
小结： 幂的大小比较通常采用以下两种方法； (1)指数相同时，利用幂函数的性质进行比较； (2)底数相同时，可直接利用指数函数的性质进行比较．
小结：
幂函数的定义； 幂函数的图象； 幂函数的性质； 幂函数的应用．
作业：
课本P90-2，4，6．
课后探究：若 (a
1
1) 3
(3 -
-1
1．下列函数：(1)y＝0.2x；(2)y＝x0.2；(3)y＝x-3；(4)y＝3·x-2．其中
是幂函数的有
(写出所有幂函数的序号)．
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.3 幂函数》01
?幂函数?教学设计一、教材分析幂函数是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学〔必修1〕第二章第四节的内容。
该教学内容在人教版试验修订本〔必修〕中已被删去。
标准将该内容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。
故在教学过程及后继学习过程中，应能够让学生体会其实际应用。
?标准?将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。
其中，学生在初中已经学习了=、=2、=-1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识。
现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构。
学生已经了解了函数的根本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了根本思路和方法。
因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径。
该内容安排一课时。
二、教学目标鉴于上述对教材的分析和新课程的理念确定如下教学目标：⑴掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。
⑵能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。
⑶加深学生对研究函数性质的根本方法和流程的经验。
⑷培养学生观察、分析、归纳能力。
了解类比法在研究问题中的作用。
三、教学方法和教具的选择基于对课程理念的理解和对教材的分析，运用问题情境可以使学生较快的进入数学知识情景，使学生对数学知识结构作主动性的扩展，通过问题的导引，学生对数学问题探究，进行数学建构，并能运用数学知识解决问题，让学生有运用数学成功的体验。
本课采用教师在学生原有的知识经验和方法上，引导学生提出问题、解决问题的教学方法，表达以学生为主体，教师主导作用的教学思想。
教具：多媒体。
制作多媒体课件以提高教学效率。
四、教学重点和难点重点是从具体幂函数归纳认识幂函数的一些性质并作简单应用。
难点是引导学生概括出幂函数性质。
五、教学流程基于新课程理念在教学过程中的表达，教学流程的基线为：1考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和根本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的根本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.3 幂函数》21
幂函数教学设计【教学目标】【知识与技能】1.理解幂函数的概念2.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用【过程与方法】通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法【情感、态度价值观】1.进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质3.通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点【重点难点】重点：通过五个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律．难点：画五个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质【教学策略】【教学顺序】归纳定义，研究图象，归纳性质，应用性质【教学方法与手段】1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性2．利用几何画板辅助教学【教学过程】创设情境前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员请大家Array看如下问题〔板书：〕抽取这几个解析式结构上的共同特征：我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数是自变量，幂指数是常数也就是说，它们可以写成的形式，这种形式的函数就是幂函数〔板书课题：幂函数〕探究新知幂函数的定义〔形式定义〕一般地，形如的函数称为幂函数，其中是常数自变量是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数请同学们举出一个具体的幂函数从引例和同学们刚刚举的例子中，我们可以发现，幂指数可以是正数、负数，也可以是0幂函数与指数函数，对数函数一样，都是根本初等函数探究新知按照从特殊到一般的原那么，我们先来研究几个具有代表意义的幂函数请同学们用描点法在同一平面直角坐标系中画出上述函数的图象根据手里作出的图象，以小组为单位对照函数图象，讨论以下四个问题：1描点法画函数图象的步骤；〔列表、描点、连线〕2互相检查函数图象的画法，图象是否一致；3讨论在画图象过程中出现的问题；4探究幂函数图象的变化规律，归纳幂函数的性质通过刚刚观察同学们作图，其中几个同学的图象特别标准，请看变化趋势，相对位置首先可以很明显的看到，上述六个幂函数的图象都过同一个定点〔1，1〕〔一边分析函数图象的特征，一边总结函数性质，填写表格〕从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，请同学们根据这个表格，寻找这5个幂函数的共性？总结性质虽然这5个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征这5个幂函数在〔0，∞〕都有定义，图象都过点〔1，1〕注意到这5个幂函数在第一象限内的单调性的差异，我们来观察当时的函数图象，〔演示几何画板，隐藏时图象〕很明显，它们的图象除了过点〔1，1〕外，还过原点，并且在区间上是增函数．再来观察当时的函数图象，〔演示几何画板，显示时图象，隐藏时图象〕幂函数在区间上是减函数．在第一象限内，当自变量取值从右边趋于0时，图象在轴右方无限地靠近轴，但不与轴相交，当自变量取值趋于时，图象在轴上方无限地靠近轴，但不与轴相交．演示画板，改变幂指数的值，观察函数图象的变化趋势，不难发现，所有幂函数在〔0，∞〕都有定义，并且图象都过点〔1，1〕；当幂指数时，幂函数都过原点，在上是增函数；当幂指数时，在上是减函数，在第一象限内，当从右边趋向于0时，图象在轴右方无限地逼近轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴．性质总结，表达从特殊到一般探究性质利用几何画板进一步探究幂函数性质下面我们应用幂函数的性质来解决问题例题解析例1写出以下函数的定义域并能指出他们的奇偶性例2比拟以下各组数中的两个值的大小归纳小结1学习了幂函数的概念；2利用“复原根式〞求幂函数定义域的方法；3利用幂函数在第一象限内的图象特征，并会根据奇偶性完成整个函数的图象。
苏教版高中数学(必修1)2.4《幂函数》word教案2篇
★教学设计★幂函数（一）教材分析本节课选自新课程苏教版必修1第二章第4节，幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。
通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待231,,y x y x y x y x====，等以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。
（二）学情分析学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法，即由几个特殊的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。
（三）设计思想由于幂函数的性质随幂指数的轻微改变会出现较大的变化，因此要学生在一节课中象指数函数和对数函数那样完全掌握这类函数的性质是比较困难的，因此本人采用了从特殊到一般、再从一般到特殊的方法安排教学：先重点研究了几个常见的幂函数的图象和性质，然后通过几何画板软件动态演示幂函数的图象（在第一象限）随幂指数连续变化情况，让学生归纳幂函数性质随幂指数改变的变化情况（其他象限内的情况，可结合奇偶性得到），最后再通过改变画板中的幂函数的幂指数（用参数的方法），让学生预测将要出现什么样的图象，让学生检测自己探索成果的有效性，体验成功，享受学习的乐趣。
（四）教学目标 1.知识目标（1）了解幂函数的概念；（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质； （3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。
2.能力目标在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。
3. 情感目标通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。
（五）教学重点常见的幂函数的图象和性质 （六）教学难点幂函数的图象和性质的总结 （七）教学用具多媒体平台，几何画板课件（八）教学过程 【创设情境】（多媒体投影）问题1.某人买每千克1元的蔬菜，则其需付的钱数p （元）和购买的蔬菜的量（千克）w 之间的有何关系？2.正方形的面积S 和它的边长a 之间有何关系？3.正方体的边长V 和它的边长a 之间有何关系？4.问题2中，边长a 是S 的函数吗？5.问题3中，边长a 是V 的函数吗？6.某人在t 秒内行进了1千米，那么他的行进的平均速度v 为多少？ 学生很容易回答出这六个关系式（都是函数关系式）分别是：1123132,,,,,p w S a V a a S a Vv t -======【提出问题 启发建构】问：这六个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？这时，学生观察可能有些困难，老师提示，可以用x 表示自变量，用y 表示函数值，上述函数式变成：1123132,,,,,y x y x y x y x y xy x -======，便于看出特征它们都是形如y x α=的函数。
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苏教版高一数学幂函数
幂函数教案（第一课时）
无锡市八士中学李强
教材分析：幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。
本课的教学重点是掌握常见幂函数的概念和性质，难点是根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小。
幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。
组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。
对于幂函数，只需重点掌握这五个函数的图象和性质。
学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。
学生已经有了学习幂函数和对象函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。
因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。
教学目标：
㈠知识和技能
1．了解幂函数的概念，会画幂函数，，的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。
2．了解几个常见的幂函数的性质。
㈡过程与方法
1．通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识
图能力。
2．使学生进一步体会数形结合的思想。
㈢情感、态度与价值观
1．通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中
处处有数学，激发学生的学习兴趣。
2．利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。
教学重点
常见幂函数的概念和性质
教学难点
幂函数的单调性与幂指数的关系
教学过程
一、创设情景，引入新课
问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她
需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？
（总结：根据函数的定义可知，这里p是w的函数）
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里S
是a的函数。
问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积,这里V
是a的函数。
问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长,这里
a是S的函数
问题5：如果某人s内骑车行进了km，那么他骑车的速度，
这里v是t的函数。
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上
几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式，且底数都
是变量)
这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果
让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课，书写课题）
二、新课讲解
（一）幂函数的概念
如果设变量为,函数值为，你能根据以上的生活实例得到怎
样的一些具体的函数式？
这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此给
出幂函数的一般式吗？
这就是幂函数的一般式，你能根据指数函数、对数函数的定义，给出幂函数的定义吗？
幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（power function），其中是自变量，是常数。
【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾
指数函数的概念）
结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类
重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：
对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数
对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数
试一试：判断下列函数那些是幂函数
（1）（2）（3）（4）
我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前
面学习指数函数、对数函数的学习经历，你认为我们下面应
该研究什么呢？（研究图象和性质）
（二）几个常见幂函数的图象和性质
在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在
同一坐标系中画出它们的图象。
根据你的学习经历，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？【探究二】观察函数的图象，将你发现的结论写在下表内。
定义域值域奇偶性单调性定点图象范围
【探究三】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：的共
同性质。
（1）函数的图象都过点
（2）函数在上单调递增；
归纳：幂函数图象的基本特征是，当是，图象过点，且在第一象限随的增大而上升,函数在区间上是单调增函数。
(演示几何画板制作课件：幂函数.asp)
请同学们模仿我们探究幂函数图象的基本特征的情况探讨时幂函数图象的基本特征。
（利用drawtools软件作图研究）归纳：时幂函数图象的基本特征：过点，且在第一象限随的增大而下降，函数在区间上是单调减函数，且向右无限接近X轴，向上无限接近Y轴。
（三）例题剖析
【例1】求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性。
（1）（2）（3）
分析：根据你的学习经历，你觉得求一个函数的定义域应该从哪些方面来考虑？
方法引导：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域。
（1）若函数解析式中含有分母，分母不能为0；
（2）若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；（3） 0的0次幂没有意义；
（4）若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0；
求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组。
结论：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据"偶次根号下非负"这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域。
归纳分析如果判断幂函数的单调性（第一象限利用性质，其余象限利用函数奇偶性与单调性的关系）
【例2】比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上""或""）
(1) ________(2)________
(3)__________(4)____________
分析：利用考察其相对应的幂函数和指数函数来比较大小
三、课堂小结
1、幂函数的概念及其指数函数表达式的区别
2、常见幂函数的图象和幂函数的性质。
四、布置作业
㈠课本第73页习题2.4第1、2、3题
㈡思考题：根据下列条件对于幂函数的有关性质的叙述，分别指出幂函数的图象具有下列特点之一时的的值，其中（1）图象过原点，且随的增大而上升；
（2）图象不过原点，不与坐标轴相交，且随的增大而下降；
（3）图象关于轴对称，且与坐标轴相交；
（4）图象关于轴对称，但不与坐标轴相交；
（5）图象关于原点对称，且过原点；
（6）图象关于原点对称，但不过原点；
检测与反馈姓名
1、下列函数中，是幂函数的是（）
A、B、C、D、
2、下列结论正确的是（）
A、幂函数的图象一定过原点
B、当时，幂函数是减函数
C、当时，幂函数是增函数
D、函数既是二次函数，也是幂函数
3、下列函数中，在是增函数的是（）
A、B、C、D、
4、函数的图象大致是（）
5、已知某幂函数的图象经过点，则这个函数的解析式为_______________________
6、写出下列函数的定义域，并指出它们的单调性：（1）（2）（3）
同伴评（优、良、中、须努力）
自评（优、良、中、须努力）
教师评（优、良、中、须努力）。