应用泛函分析作业
应用泛函分析习题解答
|| xn − xm ||≥||| xn || − || xm ||| 可知道， {|| xn ||} 是一个 Cauchy 数列，令 lim || xn ||= λ 。若
λ = 0 ，取 x = θ ，就有 lim x n = x 。当 λ ≠ 0 ，任取 x ' ∈ X ， x ' ≠ θ ，令 x =
第一部分 预备知识
1. 证明 有理数集 Q 是可数的。 2. 设 A = aij 是一个实的 n × n 矩阵, 证明
( )
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ min ⎨max aij ⎬ ≥ max ⎨min aij ⎬ , 1≤ j ≤ n ⎩ 1≤i ≤ n ⎭ 1≤i ≤ n ⎩ 1≤ j ≤ n ⎭
何时上面的等号成立? 3. 求 f ( x ) = ⎨ 4. 求 lim 5. 试从
k →∞
, n 。 这 样 就 当 k > N 时 ， 有 d ∞ ( xk , x0 ) < ε ， 即 有
lim d ∞ ( xk , x0 ) = 0 。所以 ( X , d ∞ ) 是完备的。
3.证明：对任意的 α1 = ( x1 , y1 ) 与 α 2 = ( x2 , y2 ) ∈ X × Y ，令
这样 d ( x, y ) ≥| d ( x, z ) − d ( z , y ) | 。 2.证明：任取 X 的一个 Cauchy 序列 xk = (ξ1 , ξ 2 ,
(k ) (k )
k , l →∞
{
, ξ n( k ) )}
∞ k =1
，由
(0)
lim d ∞ ( xk − xl ) = 0 及知道 {ξi( k ) }
m∈M
个凸集。
10.解：令 f ( x) =
应用泛函分析习题1
n k =1
27. 设 e1 , e2 ," en 是 n 维线性空间 R 的一个基， ∀ x = 现 在 ， 对 于 给 定 的 a=
n
∑ ξk ek ∈ R n ，规定 x 的范数 || x ||= ∑ ξk 。
k =1
n
∑a e
k =1
n
k k
∈ R n ( ak ∈ R ) ， 在 R n 定 义 泛 函
{
}
1 , ∀x ∈ S 求证： x
Tx − Ty < x − y ，对任意的 x, y ∈ S ，但 T 在 S 上没有不动点。
12. 试在 l 空间中给出一个无限维线性子空间 M ，但 M ≠ l . 13. 设 M 与 N 是 线 性 空 间 X 中 两 个 线 性 子 空 间 ， x, y ∈ X 。 证 明 ：
令 d ∞ ( x, y ) = max | ξi − ηi | 。证明 ( X , d ∞ ) 为一个完备的度量空间。 请给 X × Y 定义两 3. 设 X , Y 为两个度量空间，X × Y = {( x, y ) | x ∈ X , y ∈ Y } 为 X , Y 的 Dicard 积。 种不同的度量。 4. 试证明映射
{
}
∑ ( x, e )( y, e ), ∀x, y ∈ H 。
k =1 k k
∞
。求证：集 26. 设 S = ek ∈ H k ∈ N 是 内 积 空 间 H 中 的 正 交 规 范 系 集 ， m 为 正 整 数 ，
Bm = ek ∈ S x < m ( x, ek )
{
{
}
2
2
} 中至多含有 m −1 个元素。
n =−∞
泛函分析作业(二)
泛函分析作业（二）BY0807112 吴耀第一题试举出一个无穷维Hilbert 空间，并指出它的一个正规正交基 解答：考虑2l ，定义内积：∞==∀1}{j j x ξ,+∞<∑∞=21j j ξ,∞==1}{j j y η,+∞<∑∞=21j jη,2,l y x ∈ ∑∞==1),(j jjy x ηξ首先验证满足内积的四条假设. 1)==∑∞=1),(j j j x x ξξ021≥∑∞=j j ξ,且00),(=⇔=x x x ;2)),(),(),(z y z x z y x +=+显然成立;3)K ∈∀α,=),(y x α),(11y x j j j j jjαηξαηαξ==∑∑∞=∞=;4)=),(x y ==∑∑∞=∞=11j jjj jjηξξη),(y x所以2l 是按照如上内积定义的内积空间。
下面说明该内积空间是完备的。
由定义有：==∑∞=1),(j j j x x ξξ221x j j=∑∞=ξ,可见由内积诱导的范数恰好是2l 在以前定义的范数：2121)(∑∞==j jx ξ，，以前已经证明这一个完备的赋范线性空间，所以，该内积空间是完备的。
总之，2l 是一个无穷维Hilbert 空间。
下面指出这个无穷维Hilbert 空间的一个正规正交基。
,...)...0,1,...0,0,0(,...),...,0,1,0(,...),0,0,1(21===n e e e下证∞=1}{j j e 是2l 的一个正规正交基。
显然有：⎩⎨⎧≠==ji ji e e j i ,0,1),( 21}{l x j j ∈=∀∞=ξ,使得0),(=n e x ,则有j ξ=0，0=x 。
故∞=1}{j j e 是2l 的一个正规正交基。
第二题X 是内积空间，K ∈∈n m n m X y y y x x x βββααα,...,,,...,,,,...,,,,...,21212121,则：),(,1111j i j m i nj i n j j j m i i i y x y x βαβα∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. 证明：首先根据定义，证明如下等式：K ∈∈∀21,,,,ββX z y x),(),(),(),(),(),(21212121z x y x x z x y x z y z y x ββββββββ+=+=+=+则有：),(,,,11111111j i j m i nj i m i n j j j i i m i n j j j i i n j j j m i i i y x y x y x y x βαβαβαβα∑∑∑∑∑∑∑∑=========⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 证毕。
泛函分析中的变分不等式应用案例
泛函分析中的变分不等式应用案例在泛函分析领域中，变分不等式（variational inequality）起着重要的作用，它是一种描述非线性边界值问题的数学工具。
本文将介绍泛函分析中的变分不等式的定义和性质，并通过案例来展示其在实际问题中的应用。
一、变分不等式的定义与性质1. 变分不等式的定义在泛函分析中，给定一个实数集合X，考虑一个映射F：X→X，将其称为变分算子。
那么对于x∈X，若存在y∈X，使得满足不等式：⟨F(x), y - x⟩≥ 0, ∀y∈X则称y为变分不等式F(x)的一解。
2. 变分不等式的性质变分不等式具有如下性质：（1）单调性：若x1≤x2，且F(x1)和F(x2)存在，则有F(x1)≤F(x2)。
（2）齐次性：若λ>0，且F(x)存在，则有F(λx)=λF(x)。
（3）唯一性：若F(x)存在且唯一，则变分不等式F(x)的解唯一。
二、变分不等式在实际问题中的应用案例变分不等式在实际问题中有广泛的应用，以下将通过两个案例来展示其具体应用。
案例一：弹性力学中的应用在弹性力学中，变分不等式常用于求解弹性体的位移场和应力场。
考虑一个弹性体，其位移场和应力场满足以下条件：（1）位移场为连续可微的函数。
（2）应力场为对称的。
（3）位移场和应力场之间满足一定的关系，即变分不等式。
通过求解变分不等式，可以得到弹性体的位移场和应力场，从而进一步分析和计算各种力学量，如位移、应变等。
案例二：交通流量模型中的应用在交通流量模型中，变分不等式被广泛应用于解决交通拥堵问题。
考虑一个道路网络系统，其中包含多个路段和交叉口。
在这个系统中，每个路段的流量与其容量之比不能超过1，即：流量/容量≤ 1这个不等式可以通过引入一个关于路段流量和容量差异的变分算子，进而转化为变分不等式。
通过求解变分不等式，可以得到交通流量的分布情况，从而优化交通配流策略，减少交通拥堵。
三、总结本文介绍了泛函分析中的变分不等式的定义和性质，并通过弹性力学和交通流量模型两个实际案例来展示其应用。
泛函分析作业
泛函分析在地球物理勘探中的应用地球探测科学与技术学院相丽娜2015652005泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。
泛函分析是由对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家维多•沃尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
一、泛函分析基本原理泛函分析综合运用函数论、几何学，现代数学的观点来研究无线维向量空间上的泛函，算子和极限理论，它可以看作无线维向量空间的解析几何和数学分析。
其中线性泛函分析是发展较成熟的部分，主要包括抽象空间理论，线性算子理论、线性泛函分析的“四大定理”和广义函数理论。
1.1 抽象空间理论抽象空间理论是对一般有限维向量空间的推广，以集合的为基础。
度量空间，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。
距离是一个抽象的概念，在一集合中，只需满足正定性、对称性及三角不等式这三条性质，即称为一个距离。
定义了线性运算（加法和数乘）的集合为线性空间，赋范空间是定义了范数的线性空间，泛函中的收敛性与范数有关。
进而，若赋范线性空间按范数所成的度量空间是完备的，此即完备赋范线性空间，即巴拿赫（Banach）空间。
在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及其共轭空间，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。
内积空间是定义了内积运算的线性空间。
完备的赋范内积空间，称为希尔伯特（Hilbert）空间，Hilbert空间具有良好的性质。
1.2 线性算子理论最基本的算子是保持拓扑线性空间结构的算子，称作线性算子。
如果像空间是拓扑线性空间所在的数域，那么这样的算子成为线性泛函。
几个重要的线性算子：距离空间上的连续映射(算子)，巴拿赫空间上的线性算子与线性泛函，共轭算子希尔伯特空间上的线性泛函与自共轭算子。
《应用泛函分析》习题解答
《应⽤泛函分析》习题解答以下所有题⽬来⾃科学出版社许天周的《应⽤泛函分析》。
1. 设1≤p≤q≤+∞，证明l p⊂l q。
证明：∀x=(x1,x2,…)∈l p，∀ε>0，恒存在⾃然数N，使得∑+∞k=N||x k||p<εp，那么可得||x k||p<εp⇒||x k||<ε，p≥1，进⽽∑+∞k=N||x k||q≤εq−p∑+∞k=N||x k||p<+∞所以x∈l q2. 设[a,b]是有界闭区间，证明L2([a,b])⊂L1([a,b])。
证明：∀x∈L2([a,b])，有[∫b a|f(t)|2dt]12<+∞，那么∫b a|f|dt≤[∫b a|f(t)|2dt]12[∫ba1dt]12<+∞因此，x∈L1([a,b])3. 设(X,d)是⼀个距离空间，中⼼在x0，半径为r的开球定义为B(x0,r)={x∈X:d(x,x0)<r}集合A⊂X是开集是指对于任意的x0∈A，恒存在以x0为中⼼的开球包含在A中。
（1）证明开球是开集；（2）开集全体构成的集合是X上的⼀个拓扑。
证明：（1）对于任意开球B(x0,r)={x∈X:d(x,x0)<r}，存在B(x0,r/2)⊂B(x0,r)，所以开球是开集。
（2）显然，开集全体构成的集合满⾜拓扑的定义。
4. 证明d(x,y)=|arctanx−arctany|是R上的距离。
证明：(1)⾮负性：d(x,y)=|arctanx−arctany|≥0，d(x,y)=|arctanx−arctany|=0⇔x=y因为arctanx是⼀个单调函数；(2)交换性：显然d(x,y)=d(y,x)；(3)三⾓不等式：∀x,y,z∈R,d(x,y)=|arctanx−arctany|=|arctanx−arctanz+arctanz−arctany|≤|arctanx−arctanz|+|arctanz−arctany|=d(x,z)+d(y,z)5. 设(X,d)是距离空间，对于任意的x∈X，定义f(x)=inf y∈A d(x,y)，证明f(x)是连续函数。
《应用泛函分析》习题解答
1泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章第 一 节3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞<N∈k k x sup 。
证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。
取0N m =，则有0 ,0N n x x N n >+<ε，令},,,,max{0021ε+=N N x x x x c ，则1 ,≥<n c x n 。
6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足∞<∑∞=1k kx（此时称级数∑∞=1k k x 绝对收敛），证明存在E ∈x ，使∑∞=∞→=1lim k kn xx （此时记x 为∑∞=1k kx，即∑∞==1k kxx ）.证明：令∑==nk kn xy 1，则∑∑++=++=+≤=-pn n k kpn n k kn p n xxy y 11。
由于∞<∑∞=1k kx绝对收敛，则它的一般项0→k x 。
因此0>∀ε，总0N ∃，当0,N p n ≥时，有ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必存在E ∈x ，使得∑∑∞==∞→==11limk k nk kn x xx 。
9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。
若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。
此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。
通常用E dim 表示E 的维数，并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。
应用泛函分析-葛显良-习题解答第四章习题提示及解答
Tn x = ( 0, " , 0, ξ n +1 , ξ n + 2 , ") =
2 2
sup { Tn : n ∈ N } < ∞ ，同时存在 T ∈ B ( X , Y ) 使得 ∀ x ∈ X ， Tn x − Tx → 0 ，其中
Tx = lim Tn x = 0 ，即 T 是 0 算子．
或开球 B (Tx, ε ) 之外只有有限个 Txn ．否则，存在 ∀ε 0 > 0 ，开球 B (Tx, ε 0 ) 外有无穷 个 Txn ，由于 T 是紧算子，从中可选出收敛子序列 Txnk ，又 Y 是完备的，存在
W S W y0 ∈ Y ， y0 − Tx ≥ ε 0 ，使得 Txnk ⎯⎯ → Tx ， → y0 ，从而 Txnk ⎯⎯ → y0 ．另外 Txn ⎯⎯ W 由 144 页 11.2 定理， Txnk ⎯⎯ → Tx ，矛盾．
有收敛的子序列，所以 T ( M ) 是列紧集，所以 T 是紧算子．
W → x ，由 149 页习题 3， 3、 ⇒) 设 X 中的弱收敛点列 { xn } ， xn ⎯⎯
W S Txn ⎯⎯ → Tx ，下证 Txn ⎯⎯ → Tx ，即证 ∀ε > 0 ，存在 n0 ，当 n ≥ n0 时， Txn − Tx < ε
{ }
⇐) 此处证明需要 X 上任一个有界的序列 { xn } 都有弱收敛的子序列这一结
论．相关的结论是：Banach 空间是自反的当且仅当任一有界序列包含弱收敛的自 序列，具体可以参照著作：[日]吉田耕作（Yosida）．《泛函分析》．吴元恺等 译，北京：人民教育出版社，1981．120 页，Eberlein-Shymulyan 定理． 4、本题修改为证明 R (T ) 是可分的． 对 n = 1, 2, " ，考虑 X 上的有界集 An = { x : x ∈ X , x ≤ n} ， T 是紧算子保证
泛函分析习题标准答案
第二章 度量空间作业题答案提示 1、试问在R 上，()()2,x y x y ρ=-能定义度量吗？答：不能，因为三角不等式不成立。
如取则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、试证明：（1）()12,x y x y ρ=-;(2)(),1x y x y x yρ-=+-在R 上都定义了度量。
证：（1）仅证明三角不等式。
注意到21122x y x z z y x z z y ⎛⎫-≤-+-≤-+- ⎪⎝⎭故有111222x yx z z y-≤-+-（2）仅证明三角不等式 易证函数()1xx xϕ=+在R +上是单调增加的， 所以有()()a b a b ϕϕ+≤+,从而有1111a b a b a ba b a b a b++≤≤+++++++令,,x y z R ∀∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y zy x z x y z---≤++-+-+-4.试证明在[]b a C ,1上，)12.3.2()()(),(⎰-=ba dt t y t x y x ρ定义了度量。
证：（1）0)()(0),(≡-⇔=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。
[]),(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dtt y t z dt t z t x dtt y t z dt t z t x dtt y t x y x bab ab aba ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=⎰⎰⎰⎰5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明∑∑==≤⎪⎭⎫⎝⎛ni in i i x n x 1221证：∑∑∑∑=====⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni in i n i i n i i x n x x 1212122118.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积21R R R ⨯=上定义了度量{}212/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三角不等式。
泛函分析作业(一)
泛函分析作业（一）BY0807112 吴耀第一题(0,1)和[0，1]是如何对应的。
解答：(构造一) 设(0,1)区间的全体有理数集合为Q ，全体无理数集合为R ，则有：(0,1),Q R Q R ==Φ [0,1]{0}{1}Q R =Q 为可列集，可以表示为11{,,...,...}n Q m m m =，可作映射:[0,1](0,1)f −−→如下：11201(),1,2,...n n m x m x f x m x m n xx R +=⎧⎪=⎪=⎨==⎪⎪∈⎩ 可见，以上映射为一一映射，故(0,1)和[0，1]对等。
(构造二) 记集合1110,1,,,...,,...,[0,1]23M N M n ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭,做如下映射:[0,1](0,1)f → 1/2,0()1/(2),1/,1,2,...,x f x n x n n x x N =⎧⎪=+==⎨⎪∈⎩可见，以上映射为一一映射，故(0,1)和[0，1]对等。
第二题证明Cantor 集K 是完备的。
证明：在 Cantor 中任取一点0x ,根据定义，0,,N n N δ∀>∃∈> 时01(,)3n nd x x δ≤< 即对任何0δ>，0(,)B x δ包含点(0)n x n ≠，即0x 为K 的极限点（聚点），因此K 是完备的。
第三题举两个非连续可测函数的例子，至少有一个不是几乎处处为0的函数 解答：1、考虑Dirichlet 函数1,()[0,1]0,x D x x x ⎧=∈⎨⎩为有理数为无理数设1212,E E E E E = 为[0,1]上的有理数，为[0,1]上的无理数，显然12E E φ= ， 由于1E 是可列点集，所以1()0m E =，即有()0,..D x a e E =于。
显然这个函数可测，且非连续。
2、考虑定义在E=[0,1]上的函数，以及[0,1]子集{|}2S x r ==为[0,4]上的有理数,因为S 与[0,4]上的有理数对等，由有理数集可列可知S 是可列集，可定义函数如下：0,()[0,1]1,x S f x x x S∈⎧=∈⎨∉⎩显然()0m S =，即有()1,..f x a e E =于。
应用泛函分析修订版(后两章)
赋范线性空间上的有界线性泛函 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · §1.2.1 §1.2.2 §1.2.3 赋范线性空间上的有界线性泛函 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 对偶空间 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
§1.1 赋范线性空间上的有界线性算子
§1.1.1 有界线性算子
定义 1.1.1 设X, Y是同一数域K上的赋范线性空间, T : X → Y是线性算子. 若存在正常 ∥T x∥ ≤ c∥ x∥, 则称T 为X上的有界线性算子. 在(1.1.1 )中, ∥ x∥是表示 x在X中的范数, ∥T x∥ 是表示 T x 在 Y中的范数. 至于在定义中 用“有界”二字是基于下面一个的事实: T : X → Y是有界线性算子, 当且仅当线性算 子 T 把 X 中的任一有界集映成 Y 中的有界集. 考察不等式(1.1.1 ), 对所有的 x ∈ X, x θ, 由(1.1.1 )得 (1.1.2) ∥T x∥ ≤c ∥ x∥
§2.4
曲线拟合的最小二乘法 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 50 §2.4.1 §2.4.2 曲线拟合的最小二乘问题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 50 最小二乘解的求法 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 51
泛函分析试卷与答案
泛函分析试卷与答案【篇一：泛函分析习题参考答案】证明：显然为空间x上的距离，试证：~d(y,x)也是xd(y,x)?1?d(y,x)上的距离。
~~d(x,y)?0,并且d(x,y)?0d(x,y)0xy。
~~d(y,x)d(x,y)d(y,x)d(x,y)；1?d(y,x)1?d(x,y)t1?1?1?t1?t的单调增加性及再者，最后，由d(x,y)?d(x,z)?d(z,y)，可得~d(x,y)d(x,z)?d(z,y)d(x,z)d(z,y)d(x,y)1?d(x,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)~~d(x,z)d(z,y)d(x,z)?d(z,y)。
1?d(x,z)1?d(z,y)、设二p?1，xn?(?1(n),?,?i(n),?)?lp，n?1,2,?，x?(?1,?,?i,?)?lp，则n??时，p??d(xn,x)i(n)??i??0的充要条件为(1)n??时，?i(n)??i，i?1,2,?；(2)0，i1存在n?0，使得i?n?1i(n)p对任何自然数n成立。
(n)(n)必要性证明：由d(x,x)?ni??i??0可知，?i??i，i?1,2,?。
i1p由x?(?1,?,?i,?)?l。
p可知，，存在n1?0，使得i?n1?1p?(n)ii?(p?i?1pi(p2，并且n?n1时，2p由此可得，i?n1?1i(n)ppppi(n)??ii????p对n?n1成立。
i?n1?1i?n1?1p对于n?1,2,?n1，存在n2?0，i?n2?1i(n)pp。
取n?max?n1,n2?，则i?n?1(n)pip对任何自然数n成立。
0，存在k?0，使得充分性证明：由条件可知，i?k?1时，k(n)pi(2ip对任何自然数n成立，并且i?k?1pi(p2。
由(n)i??i可知，存在n?0，使得n?n i?1(n)ipp，并且d(xn,x)pi?1(n)i??ipi?1k(n)i??i?pi?k?1pi(n)ipi(n)??ii?1kp(n)ppp?(i)?(i)p2?p。
《应用泛函分析》习题解答
1泛函分析与应用-国防科技大学第 一 章第 一 节3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞<N∈k k x sup 。
证明：0>∀ε，0N ∃，当0,N n m >时，有εε<-⇒<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。
取0N m =，则有0 ,0N n x x N n >+<ε，令},,,,m a x {0021ε+=N N x x x x c ，则1 ,≥<n c x n 。
6．设E 是Banach 空间，E 中的点列满足∞<∑∞=1k kx（此时称级数∑∞=1k k x 绝对收敛），证明存在E ∈x ，使∑∞=∞→=1lim k kn xx （此时记x 为∑∞=1k kx，即∑∞==1k kxx ）.证明：令∑==nk kn xy 1，则∑∑++=++=+≤=-pn n k kpn n k kn p n xxy y 11。
由于∞<∑∞=1k kx绝对收敛，则它的一般项0→k x 。
因此0>∀ε，总0N ∃，当0,N p n ≥时，有ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必存在E ∈x ，使得∑∑∞==∞→==11limk k nk kn x xx 。
9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。
若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。
此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。
通常用E dim 表示E 的维数，并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。
泛函分析习题
泛函分析练习题一名词解释：1.范数与线性赋范空间2.无处稠密子集与第一纲集3.紧集与相对紧集4.开映射5.共轭算子6. 内点、内部：7. 线性算子、线性范函：8. 自然嵌入算子9. 共轭算子10. 内积与内积空间：11. 弱有界集：12. 紧算子：13. 凸集14. 有界集15. 距离16. 可分17. Cauchy列18.自反空间二、定理叙述1、压缩映射原理2. 共鸣定理3.逆算子定理4. 闭图像定理5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理6、Baire 纲定理7、开映射定理8、Riesz 表现定理三证明题：1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ=+也使X 成为度量空间。
证明：,,x y z X ∀∈显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。
（2）(,)(,)d x y d y x =（3）由1()111t f t t t ==-++，(0)t >关于t 单调递增，得(,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,)x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++(,)(,)1(,)1(,)x y y z x y y z ρρρρ≤+++(,)(,)d x y d y z =+故d 也是X 上的度量。
2， 设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。
证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-⋅-已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。
故有2|(,)(,)|0n n x y x y -→即 (,)(,)n n x y x y →。
3.考虑[,]C a b 上的非线性积分方程()(,,())()bax t k t s x s ds t λϕ-=⎰其中[,],(,,)C a b k t s ϕω∈是[,][,]a b a b R ⨯⨯上的连续函数，满足1212|(,,)(,,)|||k t s k t s b ωωωω-≤-证明当||λ足够小时，此方程存在唯一解0[,]x C a b ∈。
泛函分析在最优控制问题中的应用
泛函分析在最优控制问题中的应用泛函分析是数学中的一个分支，研究的是函数空间和作用在函数上的变换。
它在最优控制问题中有着广泛的应用。
本文将介绍泛函分析在最优控制问题中的一些基本概念和应用案例。
一、最优控制问题简介最优控制问题是研究如何通过选择合适的控制参数使得某个指标达到最优的问题。
在工程、经济、生物等领域都存在着一些实际问题需要解决最优控制问题。
泛函分析为解决这类问题提供了强有力的工具。
二、泛函分析基本概念1. 函数空间泛函分析研究的核心是函数空间，函数空间是一组具有特定性质的函数的集合。
常见的函数空间包括连续函数空间、可微函数空间、Lp空间等。
最优控制问题中所涉及的目标函数和控制函数都可以看作是函数，因此函数空间的概念在最优控制问题中起到了重要的作用。
2. 函数的变分函数的变分是泛函分析中的一个重要概念。
变分是指函数在一定条件下的微小变化。
最优控制问题中，我们常常需要计算目标函数对于控制函数的变分，从而确定最优解。
3. 极值问题极值问题是泛函分析中的核心问题之一。
最优控制问题可以转化为求解一个泛函的极值问题。
通过对泛函求导，找到极值点，从而确定最优控制参数。
三、泛函分析在最优控制问题中的应用案例1. 线性最优控制线性最优控制是最优控制问题中最简单的一类问题。
其中，目标函数和约束条件都是线性的，可以通过泛函分析中的线性代数的方法进行求解。
例如，控制力学中的调节问题和电力系统中的优化问题等都可以归结为线性最优控制问题。
2. 非线性最优控制非线性最优控制问题更加复杂，需要运用泛函分析中的非线性分析方法进行求解。
在非线性最优控制问题中，目标函数和约束条件都是非线性的，涉及到计算变分和求解非线性方程等问题。
例如，控制机器人的路径规划问题和化学过程中的优化问题等都属于非线性最优控制问题。
3. 约束条件的最优控制在一些实际问题中，最优控制问题还需要考虑一些约束条件。
约束条件可能是一些等式约束或者不等式约束。
泛函分析作业
2
JEREMY WEST
(b) To show ·, · is well-defined we take x1, x2 ∈ x + N and y1, y2 ∈ y + N and show that
u(x1, y1) = u(x2 + n1, y2 + n2) where n1, n2 ∈ N = u(x2, y2) + u(n1, y2) + u(x2, n2) + u(n1, n2) = u(x2, y2)
only show that H is complete with respect to the norm derived from the innerproduct Nhomakorabea1
f, g = f (t)g (t)dt.
0
Let fn ∈ H for n ∈ N be a Cauchy sequence. Since it is Cauchy with respect to the inner product on L2(0, 1), the sequence fn is Cauchy in L2(0, 1). Since L2 is complete, there exists a limit fn → f ∈ L2(0, 1) (where we have used f for
notational convenience, not because we are claiming it is the derivative of anything,
yet). Define
x
f (x) = f (t)dt.
0
Note that since (0,1) is a finite measure space, f ∈ L2 implies f ∈ L1 so that such
泛函分析作业题答案（改）
泛函分析作业题答案（改）P46:第⼀章习题：1.验证(),()d m 满⾜距离定义。
解：设{}i x ξ=，{}i y η=属于X ，α是数，()1,sup .j j j d x y ξη≥=-(1)对j ?，有0j j ξη-≥，所以1sup j j j ξη≥-，(),0d x y ≥，且1sup 00j j j j j j j ξηξηξη≥-=?-=?=，即(),0d x y =当且仅当.x y =(2) ()()11,sup sup ,j j j j j j d x y d y x ξηηξ≥≥=-=-=；(3)设{}i z ζ=()()1111,sup sup ()()sup sup ,(,)j j j j j j j j j j j j j j d x z d x y d y z ξζηξξζηξξζ≥≥≥≥=-≤-+-≤-+-=+综上(1)，(2)，(3)，(),d 满⾜距离定义。
3.试证明：在空间()s 中的收敛等价于坐标收敛。
证：设{}()(),1,2,n n j x s n ξ=∈=，{}()(0)0j x s ξ=∈，()?若0n x x →，则必有()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞==，否则，j N +∈，00ε>，与正整数列的⼦序列{}1k k n ∞=，使()因为()1tf t t=+是单调递增，所以()()(0)00()(0)11,,1,2,2211k k k n j j n j j n j j d x x k ξξεεξξ-≥?≥?=++-，这与()0,0k n d x x →⽭盾，故()s 中的收敛可推出坐标收敛。
()?若()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞==，则对j ?，0ε?>，0N N +∈，0n N ?>，1,2,，2,，则存在故命题得证。
4.证明：空间()c 是可分的。
证：令0s 表⽰所有形如12{,,,,,,}m m m r r r r r 的元素的集合，m 为任意正整数，(1,2,)j r j m =是任意的有理数，所以0s 可数。
1_泛函分析作业
et−s x(s) ds = y (t)
其中, y (t) ϵ C[ 0 , 1 ] 为一给定函数，λ 为常数，| λ |<1, 求证存在唯一解 x(t) ϵ C[ 0 , 1 ]. 解：定义映射 T = λ 列积分问题： e x(t) = ξ + λ
0 −t
∫1
0
e−s x(s) ds 要证明原命题有唯一解，即求连续函数满足下 ∫
tϵ[0,1]
max λ | u(s) − v (s) |= ρ(u, v )
即当 ρ(u, v )→0, ρ(T u, T v ) → 0 故存在不动点，唯一性显然，即原命题得证。 1.2.2 在一个度量空间 (H , ρ) 上，求证：基本列是收敛列，当且仅当其中存在一 串收敛子列。 先证明，基本列存在一串收敛子列，先列出一基本列及其子列。
4
说明: 首先非常感谢老师愿意为我这个非数学专业的学生批改作业，荣幸之 至。 1. 很抱歉第一次作业做的很糟糕。原因有很多，但是自己会尽力赶上。在完成 作业前看到了一个版本的参考书里有一模一样的题，所以坦白涉嫌抄袭，蓝 色部分是遇到的题目中炒过来的步骤，也是我没想到的。 2. 因为之前没有用过 Latex，所以在第一次排版上有太多的缺陷，老师如果愿 意尽管指出来，再次感谢老师！感觉到老师虽然顽皮亲切，但是对学生要求 却很高，学生惶恐，会尽力赶上。
泛函分析作业 1
邵晨 2016 年 9 月 15 日 1.1.5. 设 T 是压缩映射, 求证 T n (n ϵ N) 也是压缩映射，并说明逆命题不成立。 证原命题 : 因为 T 是压缩映射，所以存在 0 < α < 1, 使 ρ(T x, T y ) αρ(x, y ), ∀ x, y ϵ H
应用泛函分析复习主要内容及习题解答
《应用泛函分析》复习与总结第一部分空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分.空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间,函数空间,向量空间等,也包括空间的性质,例如完备性,紧性,线性性质,空间中集合的各种性质等等。
以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。
一．空间（1）距离空间（集合+距离）！验证距离的三个条件：(,)X ρ称为是距离空间，如果对于,,x y z X ∈(i)【非负性】(,)0x y ρ≥，并且(,)0x y ρ=当且仅当x y =【正定性】；(ii)【对称性】(,)(,)x y y x ρρ=；(iii)【三角不等式】(,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+。
距离空间的典型代表：所有的赋范线性空间、所有的内积空间。
（2）赋范线性空间（线性空间+范数）！验证范数的三个条件：(,||||)X ⋅称为是赋范线性空间，如果X 是数域F 上的线性空间，对于F a ∈和,x y X ∈，成立(i)【非负性】||||0x ≥，并且||||0x =当且仅当0x =【正定性】；(ii)【齐次性】||||||||||ax a x =⋅；(iii)【三角不等式】||||||||||||x y x y +≤+。
赋范线性空间的典型代表：n R 空间（1,2,3,n =L ）、p l 空间（1p ≤≤∞）、([,])p L a b 空间（1p ≤≤∞）、[,]C a b 空间、[,]k C a b 空间、Banach 空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。
（3）内积空间（线性空间+内积）！验证内积的四个条件：(,(,))X ⋅⋅称为是内积空间，如果X 是数域F 上的线性空间，对于F a ∈和,,x y z X ∈，成立(i)【非负性】(,)0x x ≥，并且(,)0x x =当且仅当0x =【正定性】；(ii)【第一变元可加性】(,)(,)(,)x y z x z x z +=+；(iii)【第一变元齐次性】(,)(,)ax z a x z =；(iv)【共轭对称性】(,)(,)x z z x =。
泛函作业（1）
(k + l)f = kf + lf.
Ïds is a linear space
3
3. f (1)W k,p
ê˜mµW k,p
{ f : D α f ∈ LP , 0
|α |
k}
is a linear space. f Dα f
0 |α | k P,
(2)½Ânorm:
W k,p
f
W k,p ∗ |α|=k
fn − fm
C (R)
m, n > N ž§
+ sup
x=y
|(fn (x) − fm (x)) − (fn (y ) − fm (y ))| < ε. |x − y |α |(fn (x) − fm (x)) − (fn (y ) − fm (y ))| < ε. (1) |x − y |α 1
Ké?¿
?˜…Ü " ε > 0, ∃N § n, m > N žkµ
fn − fm
W k,p
<ε
.
=
Dα (fn − fm )
0 |α | k P
< ε.
Ïd
4
Dα (fn − fm )
|α|=αi k
P
<ε
αi = αž§ KŒ ( ((
kn ˆ l
1 ∂fn |α| ∂fm |α| p ) −( ) ) dx) p → 0 ∂xi ∂xi
x=y
f : α − Lipschitz continuous. ∧α (Rn ) f
∧α
f
C (R)
|f (x) − f (y )| |x − y |α
(L )
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与之对应，使得对任意 x, y, z H , a K 满足： 1） x, x 0; x, x 0 ,当且仅当 x 0 ； 2） x, y y, x ； 3） ax, y a x, y ； 4） x y, z x, z y, z 。 称 x, y 是 H 上的一个内积， H 上定义了内积为内积空间。 从定义可以看出，内积 x, y 对于每一 y H ，是 H 上的一个线性泛函；当
x （齐次性） ；
3) 对任意 x, y X , x y x y （三角不等式） 。 称 记为 X ,
是 X 上的一个范数， X 上定义了范数
称为赋范（线性）空间，
，有时简记为 X 。
在一个赋范线性空间 X ,
d x, y x y ,
中通过范数可以自然地定义一距离，
应用泛函浅析
摘要：在教科书中“泛函分析”具有高度抽象以及概括性的特性,是现代数学
分析的重要基础,因其在微分方程、积分方程、变分法、量子力学等领域有广泛 的应用,国内大多数理工科院校将其作为非数学专业硕士及博士课程开设。 但是, 由于这门课程的高度抽象性,往往使我们在诸多抽象概念和缺乏直观意义的定理 面前望而却步。虽然泛函分析具有很抽象的特性,这并不说明其是由抽象的数学 构思组成。 在泛函分析中,需要对相关的概念进行高度概括,这样间接的导致了学 者们丢弃了很多直观的表达, 而为了保障数学的严密性, 造成了其概念的抽象 性。 即使如此其还在很多学科中有着广泛的应用, 例如微、 积分方程等。 由此, 对 “泛函分析” 的基本概念进行了解和掌握时非常有必要的。本文就算子及其收敛 性以及共轭与相伴算子等泛函分析中的几个基本的概念展开分析和探讨,以期能 提升自己对泛函分析概念的认知。
K C 时，对于每一 x H ， x, y 是 H 上的一个共轭线性泛函，即它是可加的
并且是共轭齐次的： x, ay a x, y 。 1.2 Banach空间 定义1.2 设 X 是域 K (实数域或复数域)上的线性空间，函
数: : X R 满足条件： 1) 对任意 x X , x 0; x 0, 当且仅当x 0 ； 2) 对任意 x X , 及a K , ax a
X , 。
在定义空间以后，我们需要对泛函中的距离做出定义。 定义 1.5 泛函中距离的定义只是我们在二维欧式空间中距离的延伸，使用
距离的性质来定义一个更加抽象一般的距离：设 X 是非空集，若对于 X 中任意两 个元素 x 与 y，都对应一个实数 x, y 且满足如下的三条公理。
x y x y 是完备的，亦是
设 X 是任一非空集， 对 X 中任意两点 x, y 有一实数 d ( x, y ) 与之对
3) d ( x, y ) d x, z d z , y 。 （三角形不等式）
称 d ( x, y ) 为 X 中的一个距离，定义了距离 d 的集 X 称为一个距离空间，记为
T -1 L 同样属于有界的线性算子
【4】
。在“ 逆算子定理”中,Banach空间中有界
线性算子 T 若为双射,就一定会有相应的逆算子 T 1 ,而且算子的连续性具有一致 性。逆算子 T 1 的连续性在实际的应用中非常的关键,当 T 1 不是连续的算子时, 依据设定的 y 值没有办法找出这种错误的因素 x 。甚至可以将其视为连个不一样 的输入值 x1以及x2 都会产生基本上一致的输出值 y1和y2 ,这就会对最终的判断造 成误导或影响。
X , d ，在不引起混乱的情形下简记为空间至今仍然是现代数学乃至自然科学中与之有关的各种问 题和理论讨论或阐述的最广泛的框架。 定义 1.4 设 X 是任一集， 是 X 的子集构成的集族，且满足条件： 1) 集 X 与空集∅属于 ; 2) 中任意个集的并集属于 ； 3) 中任意有穷个集的交集属于 。 则称 是 X 上的一个拓扑.集 X 上定义了拓扑 ，称它是一个拓扑空间，记为
（1） 非负性 x, y 0, x, y 0, 当且仅当 x y ； （2） 对称性 x, y y, x ； （3） 三角不等式 x 、 y 、 z X x ,有
x, y x, z z , y
则称 x, y 为 x 与 y 间的度量（距离），称 X 为以 为度量（距离）的度量 空间（或距离空间），记作 X , ，或简记为 X . 当距离设定好后, 就要面对其所在的空间是否满足所需的要求。 在实空间中 对一个笔的尺寸进行测量, 其测量结果可以精确至无穷数。而在数学的理念中, 测试的精度是呈“无限”的概念【3】。这就意味着在实际的过程中需要采用无理 数进行表示该空间中的极限状况。 所以我们对笔尺寸的测量既有测量结果无限符 合其实际尺寸, 又有无法测量其真实尺寸。 从认知论出发,这是一个错误的结果, 但在空间中,从元素的立场看其是非常科学的。在实际的应用中还需要对算子的 有界和连续进行掌握。 算子的有界性是指其所在的空间模型对初始的偏差和错误 数据做无限处理; 算子的连续性是指测量数据近似于实际值时, 模型的输出数 据也与实际值想接近。 在算子中, 需要对于泛函分析中的 “逆算子定理” 需要进行了解和掌握。 “逆 算子定理”时指在Banach空间 X、Y 上的有界的线性算子 T L ,而其逆算子
T 确定的情况下,对于经验模型T的检验直接用T*进行即可,其对于经验数据没
有任何的依附性。
3 共轭算子与相伴算子
在 “ 泛函分析”中, 还有两个非常重要的基本概念,他们分别是Banach空间 的共轭算子,以及Hilbert空间中相伴算子。 这两个基本的概念在其定义上很抽象, 基本上无法对其进行直观的理解。 首先我们结合企业的生产过程对Banach空间的 共轭算子为例进行分析和阐述。假定企业所采用的原料有 n 种,而生产的产品有
关键词:
泛函分析 算子 共轭算子 相伴算子。
1 空间与算子
从空间中定义距离的必要性开始,在空间 y 中,以距离的定义为起始【1】。假 定输入值 x X ,就能够按照既定的模型(算子 T )来计算出输出 y Tx ,进一步的 通过实际的测量就能够得到真实的输出通过实测得到的真实输出 y ,这个过程 中就涉及到一个关键点, 即怎样明确的得到预测的偏差以及对模型结论的好坏 的评价。 定义距离最简单和最重要的途径就是引进范数,而引进范数的线性空间就是 赋范线性空间。下面简要介绍几个常用的空间定义。 1.1 Hilbert空间 定义1.1 设 H 是域 K 上的线性空间，对任意 x, y H ，有一个 K 中数 x, y
T x1 x 2 Tx1 Tx 2 ，
则称T是以 DT 为定义域的 X 到 Y 的线性算子。 特别当 DT X , Y 是实数域或复 数域时，称 T 是 X 上的线性泛函。设 X C a, b ( a, b 上的连续函数全体),
K t , s 是 a, b a, b 上的二元连续函数， 定义 Tx t K t , s xs ds ， 则T 是 X 到
m 种,则该企业的原料的使用量对应的是 X ,而生产的产品对应的是 y ,于是该
企业的生产就能够用 Y TX 来表述。 于是 T 又同时是 n m 的矩阵,其代表了企业 生产过程中原料投入以及产品产出间的联系。 对于企业来说,获得利益是其最终的目的,所以在原料的处理中, 就有以原 料制备产品进而进行出售以及倒卖原料的两种方法可以获得利润。 在企业制造产 品并进行出售而获利的整个过程, 可以视为共轭算子概念中的 f TX 。f 的定义 是很确定的,即 m 种产品的销售价格,在数学领域中属于 m 维向量。而直接倒卖 原材料也可以获得利润,计为 f X 。 当 f TX f X 时,也就是说制造产品进 行销售和倒卖原料所获得利润相等。 其可作为没有新的企业进入到该领域的生产 中, 也不不存在原企业退出该生产领域的一种平衡。 f TX f X 时,表明倒 卖原料获得的利润大于制造产品进而销售获得的利润。这种情况下,一定有企业 退出生产并进行倒卖原料。 这样在一定程度上会导致原料供给的增加以及产品数 量的下降, 进一步的就会造成原料价格的下降以及产品价格的升高,也会逐渐的 使得 f TX 和f X 相互靠近。 f TX f X 时,就会出现企业进入产品的制造 领域, 这样就会造成最终产品价格的下降以及原料价格的上升, 最终也会使得
b a
X 的线性算子【6】。
在算子收敛性的探析中, 把分析的目标置于准确模型 T 以及经验模型 T 中。 那在这个过程中, 对于经验模型与准确模型间的差距具体的差异性, 通常是 以算子的收敛性进行分析和理解的。 在准确模型 T 不确定的情况下,利用经验模 型T把输入值 X 计算 TX ,通过对比就可以得出那个更接近与真实 T X 也就可以 达到评价那个模型好坏的目的。 在强收敛算子的检验中有一个关键的设定,即方法有重要的前提【7】, 即 TX 和 T X 两者间可以进行对比分析。 在真实的世界中,有很多的事物人们还无法认 知, 以对固定器具中的氮气加热为例。 我们知道氮气有很多的分子, 我们无法对 任何一个氮气分子进行了解, 但将其转化为宏观表达后就可以以全部的气体分 子为一个整体进行其平均分子运动状态的研究。 在研究的过程中, 不同的压强以 及温度是算子中的弱收敛特性。 弱收敛就是指将抽象的以及不能直接认知的事物 通过转化变为可准确测定并可以进行对比的数据。 在算子的强收敛以及弱收敛的 检验模型中,都是以准确模型中 T 不确定的情况下进行的。这是由于准确模型
2 算子的收敛性
出现在各个数学领域中具有线性性质的运算（例如线性代数中的线性变换； 微分方程论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等）的抽象 概括【5】。它是线性泛函分析研究的重要对象。关于线性算子的理论不仅在数学 的许多分支中有很好的应用，同时也是量子物理的数学基础之一。中国物理学 界习惯上把算子称为算符。 定义 2.1 线性算子与线性泛函 设 X、Y 是两个（实数或复数域上的） 线性空间， T 是 X到Y 的映射。 T 的定义域和值域分别记为 DT 、RT 。如果对 任何数 、 和 x1、x 2 DT ，满足 x1 x 2 DT ，并且