随机波动方程的随机吸引子和两类格点系统的全局吸引子
混沌名词解释
吸引子：吸引子是指非线性系统最终形成的运动状态在相空间中的不变流形或点集（例如，平衡，简谐运动和极限环等），相空间中其他点（运动态）都被吸引到这些点集或不变流形中，故称吸引子。
奇怪吸引子；也称为“随机吸引子”·“混沌吸引子”.它是相空间中无穷多个点的集合，这些点对应于系统的混沌状态。
人们称混沌这种具有无穷次自相似结构的吸引子为奇怪吸引子。
在状态空间中伸缩和折叠的无穷次变换将形成分数维的奇怪吸引子。
奇怪吸引子在有限的相空间几何体内，具有无穷嵌套的自相似结构。
它对初始条件十分敏感，在参数变化时各层次的”空洞“发生填充和移位等变化。
运动是遍历的，混合的和随机的。
地理信息科学B考试题库以及答案
1.什么是空间插值？空间插值就是利用离散点构建一个连续的曲面。
它的目的是使用有限的观测值，通过估计值对无数据的点进行填补。
（推论1）当只有内蕴量信息时，可通过地统计分析，弥补外蕴量信息缺口，运用HASM 构建高精度曲面。
空间插值常用于将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面，以便与其它空间现象的分布模式进行比较，它包括了空间内插和外推两种算法。
（百科）尺度转换是指利用某一尺度上所获得的信息和知识来推测其它尺度的现象，包括升尺度和降尺度。
2.什么是空间降尺度？降尺度转换是指将粗分辨率数据向细分辨率转换。
（推论2）当粗分辨率宏观数据可用时，应补充地面观测信息，并运用HASM对此粗粉辨率数据进行降尺度处理，可获取更高精度的高分辨率曲面。
许多模型和数据由于空间分辨率太粗而无法用于分析区域尺度和局地尺度问题。
为了解决这个问题，需要研发降尺度方法，将粗分辨模型输出结果和粗分辨率数据降尺度为高空间分辨率数据。
3.什么是空间升尺度？升尺度是指将细分辨率数据向粗分辨率转换。
在许多情况下，为了节约计算成本，需要将细分辨率数据转换为粗分辨率数据，此过程称之为升尺度。
推论3（升尺度）：当运用HASM将细分变率曲面转化为较粗分辨率曲面时，引入地面细节数据可提高升尺度结果的精度。
4.什么是数据融合？数据融合是将表达同一现实对象的多源、多尺度数据和知识集成成为一个一致的有用形式，其主要目的是提高信息的质量，使融合结果比单独使用任何一个数据源都有更高精度。
推论4（数据融合）：卫星遥感信息可用时，必须补充来自地面观测信息，尚可运用HASM构建地球表层及其环境要素高精度曲面，得到较遥感信息更高精度的结果。
推论5（数据融合）：卫星遥感信息和地面观测信息可用时，可运用HASM构建地球表层及其环境要素高精度曲面，获得较卫星遥感信息和地面观测信息精度都高的结果。
5.什么是数据同化？数据同化就是将地面观测数据并入系统模型的过程，其目的是提高系统模型的精度。
将混沌吸引子说清楚来,太精彩了
将混沌吸引子说清楚来,太精彩了"吸引子分为三类：第一类是最简单的吸引子，可以称为定点吸引子或不动点吸引子。
海纳百川，大海就是百川的定点吸引子；落叶归根，树根是一个定点吸引子；热力学系统的平衡态是该系统的定点吸引子。
在相空间中，定点吸引子是一个点，它将周围的轨道全部吸引过来。
第二类是所谓极限环吸引子。
这是比较高级的吸引子。
系统在远离平衡态时，经过若干分叉点之后，由于自组织作用，系统可以进入一个规则而又稳定的周期震荡状态。
极限环吸引子在相空间中是一个封闭的环，它将周围的轨道吸引到这个周期性的循环之中。
这两类吸引子分别描述了系统的两类不同的长期行为：周期性的重复某种运动系列。
其中第二类吸引子正是普里戈金的耗散结构模型所致力于描述的。
它揭示了在非线性系统中，自组织如何从无序中创造出有序结构。
但是，如果系统进一步分叉，更加远离平衡态，有可能达到一种新的稳定态，即第三类吸引子，即各种环面的吸引子。
这种吸引子被称为奇异吸引子或混沌吸引子。
奇异吸引子就是混沌，混沌就是奇异吸引子。
它仍然表征着系统的稳定定态。
它们并不与周期变化相对应，但是，系统从任一初始状态出发，最终都会演化到"相空间"的某一局域上。
混沌吸引子与一般吸引子不同，混沌现象的轨线进入吸引子后，两条距离非常近的轨线将发生指数分离，而两个状态点也迅速分开，此时，吸引子外的所有运动轨线都将进入吸引子之内，而内部的轨线又迅速分开。
从吸引子外部看，是聚集的过程；从吸引子内部看，是分散的过程。
系统在宏观演化上是有规律可循的，而从微观上看，我们又无法指出系统具体的演化轨道。
系统对初始条件依赖的敏感性，使系统运动出现随机偶然性的特点。
"上述整段话，就是从数学语言翻译出来的日常语言同，这个日常语言讲清楚了混沌吸引子吗？所谓"道理是什么"就是指这个道理对应什么现实情况，道理本质是什么，就是更深刻地谈道理，谈出道理的为什么来。
非线性物理2-2(流体的不稳定性、洛伦兹方程、李雅普诺夫指数、埃侬吸引子、洛伦兹吸引子)
式中：
f ( x0 ) - f ( y 0 ) df lim dx x 0 x 0 y0 x0 - y 0
1.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数公式 由第二次迭代得：
df x2 - y2 dx
经过第 n 次迭代得：
x1
df x1 - y1 dx
df x1 dx
x0 - y0
x0
xn - y n
第四节
李雅普诺夫指数与奇怪吸引子
1. 李雅普诺夫指数 2. 埃侬映射与埃侬吸引子 3. 洛伦兹吸引子
1.李雅普诺夫指数
奇怪吸引子
吸引子 所谓吸引子是指相轨线经过长时间之后所表现的终极 形态.它可能是稳定的平衡点或是周期性轨道 ;也可能是继续不 断变化,没有明确规则或次序的有许多回转结构的曲线 .前者也 被称为平庸吸引子,后者被称为奇怪吸引子.
1.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数应用
稳定体系的相轨线趋向于某个平衡点，如果出现越来越远 离平衡点的情况，则体系是不稳定的。正的李雅普诺夫指数预 示着系统的不稳定性。 研究表明，系统只要有一个正值的李雅普诺夫指数就可出 现混沌运动。因此在判别一个非线性系统是否存在混沌运动时， 只需要检查它的最大李雅普诺夫指数是否为正值即可。
李雅普诺夫指数应用
利用李雅普诺夫指数 ，相空间内初始时刻的两点距离将随 时间(迭代次数)作指数分离：
xn - yn x0 - y0 exp(n )
经过n次迭代
x0 - y0
xn - yn x0 - y0 expn
在一维映射中 只有一个值，而在多维相空间情况下一般就 有多个 i ，而且沿相空间的不同方向，其 i (i=1,2,…)值一般 也不同。
1.李雅普诺夫指数
随机振动基础知识
多吸引子,跳跃现象,分岔和混沌;
Random Vibration
3
2.1 傅里叶变换
Random Vibration
4
2.1 傅里叶变换
Random Vibration
省略二次高阶小量
Lold ΔH ΔLHold R S yy,old @Eˆ
Random Vibration
31
4.7 随机振动试验：控制算法（续）
11
eˆ11 2l11
j1
eˆ j1
11l
l11
j1
( j 2,..., N )
j 1
eˆjj
(
jil
* ji
* ji
l
ji
)
jj
i 1
2.2 功率谱密度
人体振动反应对频率敏感； 垂直振动敏感区域4~8HZ,水平是2HZ以下；
时间越长人体能够不疲劳地承受的加速度均方根值 就越小
Random Vibration
i •• xຫໍສະໝຸດ S fi 上f下i
••
x
(
f
)df
10
2.2 功率谱密度
0.5
p(x)
1
e
(
x )2 2 2
2
0.4
但是这样的一个觧很少有实用价值, 原因是我们用的
一条记录, 那是以前发生的, 将来发生的记录是不会
和过去的记录一样的.这样,我们不能知道将来的精确
的情况, 但还要估计一个大概可能的结果.
这就是随机动力学要解决的问题.如果结构本身的
吸引子是动力学方程的解在相图中描绘出的轨迹终态集
§2 吸引子吸引子是动力学方程的解在相图中描绘出的轨迹终态集，它是动力学系统在相空间中最后的稳定态，了解吸引子的描述及特征对认识混沌现象的全局特征从重要意义。
2-1 简单吸引子阻尼振动是一个简单吸引子。
这里，我们将详细分阻尼振动，了解其振动状态和成为吸引子的全部过程。
一、振动的运动分析如图2-1装置，物体在油中缓慢运动为典型的阻尼振子，可以通过改变图片A 的大小来调整阻力。
我们认为，振动速度较小时，阻力与速率成正比：xf &γγυ−=−=阻 按牛顿第二定律x kx xm &&&γ−−= （2-1） 并令：mmk 2,20γβω==。
0ω即振动系统的固有圆频率，β称为阻尼因数，和振动系统的性质以及媒质的性质有关。
于是方程可写为图2-1 阻尼振动 (2-2) 0220=++ωβx x&&&按照微分方程理论，对于一定的振动系统，可根据阻尼因数β大小之不同，由此动力学方程解出三种可能的运动状态。
1、弱阻尼状态：当阻力很小，以致0ωβ<，可由（2-2）式求出质点的运动学方程22')'cos(βωωαωβ−=+=−t Ae x t (2-3)A 与α为待定常数，由初始条件决定，此式中包含两因子，表示不断随时间而衰减的振幅，tAeβ−)'cos(αω+t 则以'ω为圆频率周期地变化，二因子相乘表示质点作运动范围不为缩小的往复运动，这种振动状态称弱阻尼状态。
根据（2-3）式画出的位移时间图线即图2-2（α）。
由于质点的运动状态不可能每经过一定时间便完全重复出现，因此阻尼振动不是周期运动。
不过)'cos(αω+t 是周期变化的，它保证了质点每连继两次通过平稳位置并沿相同方向运动队所需的时间间隔是相同的，于是，我们把函数)'cos(αω+t 的周期叫做阻尼振动的周期，并用'T 表示，2202'2'βωπωπ−==T 显然，阻尼振动的周期大于同样振动系统的简谐振动的周期0/2ωπ=T ，可见由于阻力的影响，振动的节奏变慢了。
蝴蝶效应及其应用
蝴蝶效应及其应用刘铁驹 宋立平蝴蝶效应是复杂数学现象的一个细节,这种现象自发现蝴蝶效应后也称为 确定性混沌 。
一个可以用确定性混沌来刻画的过程,是由完全确定性系统产生的,但按照标准的时间序列方法又表现为随机性。
蝴蝶效应通常用于天气、股市等在一定时段之内,较为难以预测的复杂系统中,被引申为事物发展的结果对初始条件具有极为敏感的依赖性,初始条件的极小偏差将引起结果的极大差异。
现在 蝴蝶效应 已经越来越广泛地出现在物理、天文、气象、社会,以及股票研究、概率等诸多领域的文章及报道中。
蝴蝶效应的起源1963年,蝴蝶效应是美国麻省理工学院气象学家劳伦兹(E.Lorenz)在研究大气对流时,从一个对流模型中发现的,实验装置是一个两维的流体室(两块很大的平板水平放置,之间充满气体),在底部加热、顶部冷却,其中的气体发生对流,采用简化的瑞利-贝纳尔(Rayleigh-Benard)对流模型分析气体的运动状态,x正比于对流运动的强度、y正比于水平方向温度变化、z正比于竖直方向温度变化,参数 、b、r都是正的常数,得到的一组方程现在被称为劳伦兹方程:d x/d t=- (x-y)、d y/d t=-y-x z+r x、d z/d t=xy-bz。
他利用这个模型,原本是想模拟天气的演变,以提高天气预报的准确性,平时只需将温度、湿度、压力等气象数据输入,电脑就会依据3个内建的微分方程式,计算出下一刻可能的气象数据,从而模拟出气象变化图。
这一天劳伦兹想更进一步了解某段纪录的后续变化,他把某时刻的气象数据重新输入电脑,让电脑计算出更多的结果。
1小时之后结果出来了,令他目瞪口呆 新结果和原结果比较,虽然初期数据差不多,但是越到后期数据差异就越大。
他考虑后认为问题并不出在电脑,而是他输入的数据差了0 000127,正是这细微差异造成了天壤之别。
由于天气变化十分复杂,在预测天气时,不可能把所有的影响因素考虑进去,而被忽略的那些因素却可能对计算结果产生重大影响,以致得出错误的结论。
含加法扰动的随机Boussinesq方程解的存在唯一性与方程的吸引子
西南大学硕士学位论文含加法扰动的随机Boussinesq方程解的存在唯一性与方程的吸引子姓名：曾雪萍申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：李扬荣20080401含加法扰动的随机Boussinesq方程解的存在唯一性与方程的吸引子作者：曾雪萍学位授予单位：西南大学1.学位论文李劲非自治及随机时滞抛物型方程的吸引子2008本文研究一类具有外力项及随机扰动项的时滞半线性抛物型偏微分方程的动力学性态.证明了当时滞满足一定条件时，由时滞抛物方程生成的非自治无穷维动力系统存在一致吸引子和pullback吸引子，由时滞随机抛物方程生成的随机无穷维动力系统存在随机吸引子.全文由五章组成.第一章简述无穷维动力系统的研究现状、主要问题、方法和进展，重点介绍一致吸引子、pullback吸引子和随机吸引子的概念及存在性判定定理. 第二章研究一类外力项具有平移紧性质的时滞半线性抛物型偏微分方程，证明了弱解的存在唯一性，并且当时滞满足一定条件时，由时滞偏微分方程生成的非自治无穷维动力系统存在一致吸引子，并且吸引子属于L2(O)×C([-r，0]；L2(O)).第三章研究外力项是α-平移指数增长函数的时滞半线性抛物型偏微分方程，证明了当时滞满足一定条件时，由时滞偏微分方程生成的非自治无穷维动力系统存在pull-back吸引子，并且吸引子属于L2(O)×C([-r，0]；L2(O)).第四章研究具有加性白噪声扰动项的随机时滞半线性抛物型偏微分方程，证明了当时滞满足一定条件时，由随机时滞偏微分方程生成的随机动力系统存在随机吸引子，并且吸引子是L2(O)×C([-r，0]；L2(O))上的随机集.第五章研究受概周期外力影响并具有选择性时滞的非局部单种群PDE模型，证明了当时滞满足一定条件时，由时滞偏微分方程生成的非自治无穷维动力系统存在一致吸引子.2.学位论文吕艳几类随机动力系统的渐近行为2007随机偏微分方程作为描述受随机影响的复杂系统的数学模型越来越来引起数学工作者的注意，并且在力学、化学、生物学、地球物理学、大气海洋气候学等中都得到了广泛的应用．本论文主要研究几类线性半群不具有光滑性质的随机动力系统的渐近行为．全文分成四个部分：第一章简单回顾随机动力系统、随机吸引子、随机偏微分方程的基本知识和理论．主要包括随机动力系统、随机吸引子的基本定义和性质；一些全局随机吸引子存在性结果，特别是利用α-contracting性质在随机动力系统中的推广得到随机吸引子的存在性；白噪声驱使的随机偏微分方程解的定义和基本性质，特别介绍了分布的胎紧(tight)性质以及由解生成的Markov半群的不变测度等重要概念．第二章研究一维复Ginzburg—Landau格点系统在满足平移不变性的白噪声驱使下的渐近行为．平移不变性是统计力学中对粒子相互作用的基本假设，这种假设下系统在通常的Hilbert空间中的解无法定义。
时滞格点系统的全局紧吸引集概述
时滞格点系统的全局紧吸引集概述分数阶微分方程是指含有分数阶导数的微分方程，在物理、生物等领域有非常广泛的应用, 本文通过假设非线性项在某种程度上是序列弱连续的，证明了在Banach空间中抽象分数阶微分方程有关解的存在性的一些一般性结论。
之后我们考虑一个具有分数阶物质导数的时滞格点系统，通过研究其在给定的条件下解的存在性及吸收集估计和尾部估计，从而首次给出了该系统在解不唯一的情况下全局紧吸引集的存在性。
关键词: 格点系统，延迟微分方程，分数阶物质导数，全局紧吸引子分数阶导数有很多种定义，包括Riemann-Liouville 定义，Caputo 定义和Grunwald-Letaikov 定义，不同定义下的分数阶导数方程的性质不同，但是相对于整数阶导数方程都有更大的优势。
分数阶导数的微分方程相对于整数阶能更好的拟合实验数据，能更好地描述实验现象。
在医学图像处理，天气和气候的研究以及地震奇异性分析上有重要作用。
本文研究Caputo 意义下分数阶导数微分方程解的性质。
分数阶导数早在1695年就被提出，是整数阶微积分的推广但一直没有被工程人员重视，早期的分数阶导数的研究还主要集中于数学理论领域。
直到人们发现了分形几何可以与分数阶导数建立联系，分数阶导数才越发被重视。
因为整数阶导数虽然理解容易，应用简单，很多实际问题都能用整数阶导数方程解决，但在实际应用中会遇到很多困难，尤其是在对实际工程中的所采集的数据进行拟合时误差较大，对于复杂系统的描述效果不佳，不能从本质上反应系统的特点，同时由于所描述系统的复杂性，对参数的敏感性较大，此时整数阶导数的微分方程就不能很好地适应参数的变化，就必须改变模型结构而建立新的模型。
所以学术界急需可依据基本的原理对这些系统进行建模描述其过程的数学工具，来弥补传统的整数阶导数的不足。
而分数阶微积分方程非常适合刻画具有记忆或遗传性质的复杂系统，其对复杂系统的描建模的时候就更加简单，使用到的参数的物理意义就更加明确，成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。
吸引子 吸引域-概述说明以及解释
吸引子吸引域-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在这个世界上，各种各样的系统都存在着自己的动态演化过程。
其中一种非常重要的动力学概念就是吸引子和吸引域。
吸引子代表了系统在稳定状态下的固定点或者周期轨道，而吸引域则表示了系统在初始条件一定范围内的趋向于吸引子的区域。
在本文中，我们将深入探讨吸引子和吸引域的定义、作用以及它们之间的关系。
我们将会分析吸引子和吸引域在复杂系统中的重要性，并且探讨它们在各个领域的应用。
通过对吸引子和吸引域的深入理解，我们可以更好地把握复杂系统的稳定性和演化规律，为我们未来的研究提供重要的指导和启示。
通过本文的阐述，我们希望读者能够加深对吸引子和吸引域的认识，了解它们在系统动力学中的重要性，为进一步的研究和实践奠定坚实的基础。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下所示：文章结构部分将详细介绍整篇文章的布局和内容安排。
本文分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分将概述吸引子和吸引域的概念，说明文章的目的和意义。
正文部分将分为三个子部分：吸引子的定义和作用、吸引域的概念和重要性以及吸引子与吸引域之间的关系。
每个子部分将详细探讨相关概念和理论，并提供实例和案例分析。
结论部分将对整篇文章进行总结，强调吸引子和吸引域在各个领域的重要性，并探讨未来的发展方向。
最后得出结论，对整篇文章进行总结和回顾，并展望未来的研究方向。
1.3 目的：本文的主要目的是介绍和探讨吸引子和吸引域在动力系统中的重要性和作用。
通过对吸引子和吸引域的定义和概念进行详细解释，希望读者能够更加深入地理解这两个概念在动力系统理论中的意义。
另外，本文还旨在探讨吸引子和吸引域之间的关系，以及它们在实际应用中的应用价值。
通过对吸引子和吸引域的分析和讨论，希望能够帮助读者更好地理解动力系统的稳定性和演化规律，为相关领域的研究和实践提供参考和指导。
2.正文2.1 吸引子的定义和作用吸引子是在动力系统理论中的一个重要概念，它指的是一个系统中具有稳定性质的状态点或状态集合。
具有加性噪声的Boussinesq方程的随机吸引子
具有加性噪声的Boussinesq方程的随机吸引子富娜;杨墨【摘要】研究带有加性噪声项的Boussinesq型方程初边值问题的解的长时间动力学行为,首先通过一系列变换,把具有加性噪声项的随机微分方程转化为不具有噪声项的微分方程,由确定性理论得到该方程决定一个随机动力系统,然后利用周盛凡和范小明的方法[1-2]对一类算子进行估计,证明半群存在有界吸收集,且半群是一致渐近紧的,从而得到该半群存在全局吸引子.【期刊名称】《西北民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(040)001【总页数】10页(P4-12,16)【关键词】Boussinesq方程;吸收集;紧性;随机吸引子【作者】富娜;杨墨【作者单位】西南交通大学数学学院,四川成都 610031;西南交通大学数学学院,四川成都 610031【正文语种】中文【中图分类】O175.270 引言设Ω是R3上带有光滑边界Γ的有界区域,我们考虑带有可加白噪声的Boussinesq 方程：(0.1)其边界条件u|Γ=Δu|Γ=0(0.2)给定初值条件u(0)=u0,ut(0)=u1,(0.3)其中，随机函数W(t)是定义在概率空间(Ω,F,P)上的一维双边维纳过程,q(x)描述了一个可加白噪声.假设(0.1)中非线性函数f(u)满足下面的条件f∈C2(R,R), f(0)=0(0.4)|f″(s)|≤C(1+|s|p-2), 2≤p≤5(0.5)(0.6)其中p>0,c>0是给定的常数,λ1是第一特征值.自1872 年J.Boussinesq[3]推导出描述在浅水中小振幅长波传播的 Boussinesq 方程以来 ,各种类型的Boussinesq方程就成为众多学者研究的对象.古典Boussinesq方程可描述为utt-uxx-αuxxxx=β(u2)xx.(0.7)这里u(x,t)为流体自由表面的运动,常数α>0、β>0依赖于流体的深度和长波的特征速度. 当α<0时,方程(0.7)被称为“好”的Boussinesq 方程.Bona和Sachs[4]研究了“好”的Boussinesq方程的初值问题的局部解的适定性.Sachs[5]研究了方程(0.7) 的初值问题整体解的不存在性.当α>0时, 方程(0.7)被称为“坏”的Boussinesq 方程. 1982年, Deift等[6]将反散射理论应用于“坏”的Boussinesq 方程的研究, 首次证明在初始函数呈负指数阶一致衰减的条件下,下面的Boussinesq方程的初值问题是可解的.utt-uxx-3uxxxx=-12(u2)xx.(0.8)1985年Levine和Sleeman[7]进一步指出，在一定条件下,方程(0.8)的初边值问题不可能存在整体解.1996年陈国旺和杨志坚[8]用不同的方法讨论了更一般的“坏”的Boussinesq 方程的初边值问题解的“Blow up”问题.2008年,宋长明等[9]证明了一维情况下具强阻尼“坏”的Boussinesq 方程存在整体光滑解.2008年,杨志坚和郭柏灵[10]证明了多维Boussinesq 方程初值问题整体弱解的存在性. Lai 等[11]研究了更一般的具阻尼Boussinesq 方程的Cauchy问题的整体适定性,并给出一个长时间的渐近解.整体吸引子是研究具有耗散项非线性发展方程的长时间行为的一个基本概念,现已有很多研究[12-13]. Boussinesq方程的整体吸引子问题受到广泛关注[14-17]. 2012年,杨志坚[18]研究了具阻尼项的Boussinesq方程utt-Δut+Δ2u-Δf(u)=g(x)解的长时间行为,在f(u)非超临界情况下得到方程对应解算子半群整体吸引子及指数吸引子的存在性. 现在我们有必要给上面的方程增添一个随机部分——加性白噪声, 来研究随机的情形, 它的整体吸引子是否仍然存在?本文的安排如下:第一部分引言; 第二部分讨论了方程(0.1)初边值问题解的存在惟一性以及方程的解可以确定一个随机动力系统; 第三部分得到方程解的有界性; 第四部分证明随机吸引子的存在性.1 解方程并产生相应的随机动力系统为了本文证明方便,将空间L2(Ω)中的内积和范数记为(·，·)0和‖·‖0,并将其定义为∀u,v∈L2(Ω).设具有零边界条件的算子A=-Δ,其定义域设空间H中的内积和范数记为(·，·)1和‖·‖1,并将其定义为∀u,v∈H.引入内积空间E=H×L2(Ω),将空间E中的内积和范数记为(·，·)E和‖·‖E,并将其定义为∀u,v∈E.其中u=(u1,u2)T,v=(v1，v2)T.为了证明解的存在性,设v=ut,则方程(0.1)的初边值问题与下面的一阶发展方程问题等价定义线性算子L∶D(L)⊂E→E,其中L的定义域为集合令则方程(1.1)与下面的系统等价(1.2)令ϑ=(u,z)T=(u,ut-qω)T，则通过保测度变换,可得出系统(1.2)的等价系统(ϑ)=F(ϑ,ω).(1.3)为得到方程(1.2)的解的存在性,下面研究算子L的性质：引理1.1 算子满足(i) 对任意的ϑ∈D(L),有(L(ϑ),ϑ)E≥0.(ii)I+L的值域为E,其中I为恒等算子.(iii)-L的预解集包含R+=[0，+∞).(iv)对任意λ≥0，有证明由(L(ϑ)，ϑ我们容易验证算子L满足性质(i)和(iii).对λ≥0以及ϑ=(u,v)T∈D(L),有‖(λI+L)ϑϑϑ因此可知，‖(λI+L)ϑ‖E≥λ‖ϑ‖E，故可验证算子L满足性质(iv).对于性质(ii)可参考文献[19-21].文献[22]中的性质3.6以及引理2.1的(a)-(b)告诉了我们算子L是稠密的(即根据(c)-(d)以及Hille-Yosida定理[23],我们容易验证算子-L生成E上的C0半群e-Lt，t≥0.由条件(1.3)～(1.5),容易验证F(ϑ)是关于ϑ局部Lipschitz连续的.根据发展方程的解的局部存在惟一性经典理论[24],可得以下定理:定理1.2 假设(0.4)～(0.6)成立,对任意ϑ0∈E,存在惟一的弱解ϑ∈C0([0，∞);E)满足ϑ(t)=e-Ltϑ(0)+e-L(t-s)F(ϑ(s),ϑsω)ds, t≥0且对任意固定t≥0,映射S(t)∶ϑ0=(u0,u1)T→ϑ(t)=(u(t),ut(t))T, E→E.证明解的局部存在惟一性由解的局部存在惟一性定理[11]可得.解的存在惟一性定理只告诉了我们解的局部存在惟一性,对于解的整体存在惟一性由下一部分中的引理2.2得到.由定理1.1可知,S(t)定义了系统(1.3)的一个随机动力系统.由于系统(1.2)与(1.3)是等价的,因此是由系统(1.2)所确定的一个连续的随机动力系统.下面主要研究它的吸引子A的存在性.2 吸收集这一部分将证明半群S(t)在E上存在有界吸收集,为了得到这一结论,将方程(0.1)的初边值问题转化为一阶方程.设其中那么方程(0.1)初边值问题可以转化为以下初边值问题设则问题(2.1)等价于(2.2)由方程(2.2)可知,其解可以定义一个连续的算子半群且满足S(t)=RεSε(t),其中(u,ut)→(u,ut+εu)是E上的一个同构,所以Sε(t)是S(t)的一个同构.同时由于(1.2)与(1.3)的等价关系,我们只需要研究(1.2)的等价系统(2.2)的随机动力系统Sε(t).下面介绍一个辅助引理,它是证明半群的吸引子的存在性的核心工具.引理2.1 对任意的有证明在E中(2.3)由Green第二公式以及零边界条件可得(2.4)由式(2.3),式(2.4) 可得因此有因为所以上式大于等于0,即引理2.1成立. 证毕.为得到系统(2.2)的解的有界性,有:引理2.2 若对E中任意一个有界集B,都存在一个缓增的随机变量C1(ω)>0和T0(ω)=T0(B,ω)∈B，对t≥T0(w)以及φ(0)∈B有‖Sε(t)φ(0)‖≤C1(ω).证明在E中，取与方程(2.2)做内积可得(2.5)其中由引理2.1可得整理可得利用Green第二公式可得=(qW)0qW)0,因此有由式(0.5)和Holder不等式以及Young不等式可知, 令则有所以其中K为(0，λ1)之间的常数.因此有≤+C1(ε,k)(Φ+O(|g|)+H(|w|))P,其中O(|g|),H(|W|)是关于|g|、|W|的正定函数.令Ψ=Φ+O(|g|)+H(|W|)，则可得若由Sobolev嵌入定理,存在K(r)>0,使得φ1(0)),φ1(0))0+O(|g|)+H(|W|)≤K(r).由式(0.5)可知,存在使得(f′(u)u,u)0≥-k‖由一般Gronwall公式[12]以及Sobolev嵌入定理有取证毕.定理2.3 对半群Sε(t)，在空间E上存在一个半径为r0的吸收集B0,使Sε(t)B0⊆B0,t≥0,其中3 渐近紧性为了得到系统(0.1)的初边值问题，在E中存在吸引子,我们下面证明Sε(t)的渐近紧性.换而言之，Sε(t)具有紧的吸收集,因此需要将式(0.1)的初边值问题的解分为两部分.设u=w+v,其中w,v分别是下面问题的解,则式(0.1)可分解为和设于是式(3.1)可以转化为下面的方程(3.3)容易验证,对任意方程(3.3)存在惟一解φb∈E和由方程(3.3)的解所确定的半群. 引理3.1 对E中的任意有界集B,有证明对等式(3.3)两边与φb在E中作內积,有(3.4)而因为所以(3.5)于是，由式(3.4)可得由Gronwall引理可得证毕.设G(φα)=,于是式(3.2)可写作如下形式(3.6)映射是由式(3.6)确定的一个连续的随机动力系统.引理3.2 设B0是空间E中的任意一个吸收集,存在一个正常数C2,使得其中σ∈(0,1].证明用Aσφα对式(3.6)两边在E中作內积,得(3.7)用类似于引理2.1的方法计算可得于是，有根据Cauchy-Schwartz不等式,(3.8)(3.9)(3.10)(3.11)下面首先说明引理证明过程中用到的Sobolev嵌入定理.⊂⊂Hv(Ω)⊂H1(Ω)⊂L2(Ω)⊂H-1(Ω)⊂H-v(Ω)⊂其中v∈[1,2].本文讨论n=3时的情况.当n=3时,有H2(Ω)⊂L∞(Ω),L4(Ω)⊂H1(Ω),取v=σ+1,所以有以及由Sobolev嵌入定理可得≤M1.同样,用类似于上面以及式(2.6)的方法,我们可以得到也是有界的.记为令则由式(3.8)～(3.14)以及Cauchy-Schwartz不等式,可知再利用Gronwall不等式,计算可得令证毕.设B是Eρ中半径r≥C2的闭球,其中由紧嵌入关系,可知B在E中为紧的.于是由引理3.1以及引理3.2,我们可以得到半群Sε(t)具有有界吸收集和一致渐近紧性.因此,我们有下面的结论.定理3.3 随机动力系统Sε(t)在E中有一个紧的随机吸引子A,其中A是B0的ω-极限集.证明由于随机动力系统S(t)与随机动力系统Sε(t)是等价的,则随机动力系统Sε(t)存在一个紧的随机吸引子Aε.参考文献：【相关文献】[1] S Zhou, X Fan. 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吸引子 吸引域
吸引子吸引域全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：吸引子和吸引域是数学中的重要概念，它们描述了动力系统中的一些重要性质。
吸引子是指系统在无限时间演化过程中，某种稳定状态或轨道会吸引其他轨道到它附近，形成一个稳定的结构。
而吸引域则是描述了系统的初始状态属于哪些状态空间内的点，可以被吸引到某个吸引子附近。
在动力系统中，吸引子可以有多种形式，比如平衡点、周期轨道、混沌吸引子等。
平衡点是指系统在平衡时的状态，当系统处于平衡点附近时，它会回到平衡点，形成一个稳定的结构。
周期轨道是指系统在周期性变化的轨道上运动，当系统处于周期轨道附近时，它会根据周期轨道的周期性变化而变化。
混沌吸引子是指系统在混沌状态下的稳定结构，当系统处于混沌吸引子附近时，它会受到混沌结构的影响，表现出复杂的行为。
在动力系统的演变过程中，吸引子的稳定性对系统的性质有很大的影响。
如果吸引子是稳定的，那么系统就会趋向于这个稳定状态，表现出较为简单的行为。
反之，如果吸引子是不稳定的，那么系统就会表现出复杂的行为，甚至会出现混沌状态。
吸引域描述了系统中的吸引子的影响范围，即描述了系统中的哪些初始状态能被吸引到某个吸引子附近。
通常，吸引域可以通过数学方法推导出来，从而分析系统的性质。
在实际应用中，吸引域的研究对系统的控制和优化起着重要的作用。
吸引子和吸引域是动力系统中重要的概念，它们描述了系统中稳定结构和初始状态的影响。
通过对吸引子和吸引域的研究，可以深入理解系统的动态特性，从而更好地控制和优化系统的行为。
【2000字】第二篇示例：吸引子与吸引域是一种在动力系统和混沌理论中常见的概念。
吸引子是在相空间中特定的几何结构，描述了系统在长时间演化后会收敛到的稳定状态，而吸引域则是描述了系统中所有初始条件演化后会收敛到同一个吸引子的区域。
在动力系统中，吸引子和吸引域是研究系统演化行为和稳定性的重要工具。
吸引子是一种在相空间中围绕某个稳定状态的轨迹集合。
它可以是一个点、一条线、一个环或者更加复杂的几何结构。
一类具有p-Laplacian算子的Plate方程全局吸引子的性质
应用数学MATHEMATICA APPLICATA2022,35(3):634-641一类具有p-Laplacian算子的Plate方程全局吸引子的性质孟凤娟,刘存才,张昶(江苏理工学院数理学院,江苏常州213001)摘要：本文旨在研究一类具有p-Laplacian算子的Plate方程全局吸引子的性质.关于这类方程吸引子存在性已有很多结果,然而关于吸引子性质的研究不多,并且关于吸引子维数的估计已知结果都是有限维.本文证明了吸引子里多重平衡点的存在性,特别地,在一定条件下得到了吸引子维数随着参数的变化可以任意大.关键词：全局吸引子;平衡点;李亚普诺夫泛函;Plate方程中图分类号：O175AMS(2010)主题分类：35L05;35B41文献标识码：A文章编号：1001-9847(2022)03-0634-081.引言Plate方程作为一类重要的物理模型,其最早来源于工程力学.在连续介质力学中,板被定义为厚度非常小的平面结构,通过梁理论可以得出板方程对于平板力学的数学描述.在物理学上,关于板的理论有很多,例如:Mindlin-Reissner板、Kirchhoff薄板动力学、Reissner-Stein理论、Von Karman方程.研究板方程的目的主要是计算载荷板材承受的变形和压力,因此,研究板方程具有很强的物理意义和实际用途.Plate方程的数学研究起源于Woinowsky-Krieger在文[1]中所建立的弹性振动方程:∂2u ∂t2+EIϱ∂4u∂x4−(Hϱ+EA2ϱl∫l[∂u(ξ,t)∂ξ]2dξ)∂2u∂x2=0,其中E是Young模量,ϱ是杆的密度,A是横截面积,l是杆长,E是初始的轴向张力.这类问题的严格数学分析及解的整体存在性与渐近性的研究始于Ball在文[2]中关于弹性梁方程稳定性的讨论.关于Plate方程解的渐近行为的研究近年来受到广泛关注.如:在非线性项满足临界增长与f(u).u≥0时,Khanmamedov在文[3-4]中分别研究了带有弱阻尼αu t与内部阻尼a(x)u t的Plate方程在无界区域上全局吸引子的存在性,吸引子的正则性及分形维数的有限性.2009年,Kolbasin在文[5]中研究了带有位移依赖阻尼σ(u)u t的Plate方程在有界区域上吸引子的存在性.2013年,马巧珍等在文[6]中得到了带有强阻尼项∆u t的Plate方程指数吸引子的存在性.2014年,KANG在文[7]中研究了带有µ∆u t−∆u tt的非自治Plate方程分别在区间H2(Ω)×H1(Ω)与H4(Ω)×H3(Ω)中拉回吸引子存在性.最近,Khanmanedov在文[8]中研究了带有非局部非线性项f(∥∇u∥L2(R n))|u|p−2∆u的Plate方程在无界域上的渐近性.∗收稿日期：2021-08-12基金项目：国家自然科学基金(12026431,11701230,11801227,11801228);江苏高校“青蓝工程”资助作者简介：孟凤娟,女,汉族,山东人,教授,研究方向：非线性泛函分析.第3期孟凤娟等：一类具有p -Laplacian 算子的Plate 方程全局吸引子的性质635本文考虑具有p -Laplacian 算子的Plate 方程 u tt −∆u t +∆2u −div(|∇u |p −2∇u )+φ(u )=0,(x,t )∈Ω×R +,u =∆u =0,(x,t )∈∂Ω×R +,u (x,0)=u 0(x ),u t (x,0)=u 1(x ),x ∈Ω,(1.1)全局吸引子的性质,其中Ω⊂R N 是具有光滑边界∂Ω的有界区域.首先假设(H 1)当N ≥3时,2≤p ≤2N −2N −2,当N =1,2时,p ≥2;(H 2)φ(s )=|s |m −1s −β|s |γs ,其中,当N >4,m =N +2N −4,当N ≤4时,m >0,0<γ<m −1,a 0是正常数,β>β0充分大,β0将在引理3.3给出.具有p -Laplacian 算子的Plate 方程(1.1)作为弹塑性微观结构模型在物理和力学中具有广泛的应用.例如在空间维数N =1和N =2情况下,分别描述了弹塑性杆的纵向运动和反平面剪切变形[9].系统(1.1)解的存在性,解的渐近行为等性质得到广泛研究,如:当空间维数N =1时,方程(1.1)变为u tt −u xxt +u xxxx −(|u x |p −2u x )x +φ(u )=0.不考虑耗散作用的影响,结合低阶非线性项与小的高阶弥散微观结构项之间的相互作用,AN 和Peirce [9]在一维情形下研究了如下方程u tt +u xxxx =a (u 2x )x 的系列问题.陈国旺和杨志坚[10]研究了比上式更一般的方程初边值问题u tt −σ(u x )x +u xxxx =f,整体解的存在性以及有限时刻解爆破的充分条件.高维情形下,杨志坚等在文[11-12]中研究了如下方程u tt −div {σ(|∇u |2∇u )−λ∆u t +∆2u +h (u t )+g (u )=f (x )在h ≡0以及h =0情形下,非线性项g 次临界和临界情形下初值问题解的长时间行为,证明了对应无穷维动力系统全局吸引子的存在性,Hausdoff维数和分形维数的有限性.综上,关于系统(1.1)全局吸引子的存在性已有很多文献讨论,但全局吸引子的几何结构的研究诸如吸引子维数的估计和指数吸引子尚鲜见.本文的主要目的是揭示当参数β足够大时系统(1.1)全局吸引子里平衡点的多重性.所运用的工具是临界点理论中的Z 2指标.系统(1.1)具有整体的Lyapunov 泛函并且由于φ(u )关于u 是奇的,所以该Lyapunov 泛函是偶的(见引理2.4).一般来讲,如果一个系统具有Lyapunov 泛函并且有全局吸引子,那么全局吸引子一定是平衡点集的不稳定流形的并.特别地,如果平衡点集是离散的,则全局吸引子可看成是所有平衡点不稳定流形的并,另一方面,系统的吸引子总是所有有界完全轨道的并,每个有界完全轨道是连接两个不同平衡点,而且每一个平衡点均由完全有界轨道连接它.所以,平衡点越多,吸引子的结构越复杂.因此,研究平衡点的多重性对揭示全局吸引子的结构有重要的意义.关于具有Lyapunov 泛函的偏微分方程全局吸引子结构的描述最早是Henry 在文[13]中给出,在该文中,作者以Chaffee-Infante 抛物方程为模型,用分歧理论的方法从平衡点之间轨道连接的角度给出了吸引子结构的详细描述.在文[14-15]中作者考虑了Chaffee-Infante 方程{u t −u xx =λ(u −u 3),u (0)=u (π)=0的分歧问题,其中λ≥0.并且证明了当n 2<λ<(n +1)2时该系统全局吸引子里有2n +1个不动点.通过文[14-15]的分析我们知道当0≤λ<1时原点是稳定的平衡点,但是,每当λ2穿过一个特征值,全局吸引子里将多出一对不稳定的平衡点.因而当λ充分大时,从原点出发将出现一系列的鞍结分叉从而可得到平衡点的对数也将无穷大.636应用数学2022另一方面,在文[16]中,作者利用Z2指标证明了方程−∆u=λf(u)在f是次临界增长并且是奇函数的假设下,当λ→∞时解的个数趋于无穷大.在文[17]中作者考虑了扰动问题−∆u=f(x,u)+ϵg(x,u)多重解的存在性并且利用Z2指标证明了对任意的自然数j,都存在ϵj>0使得对任意的0<ϵ≤ϵj都至少存在j个不同的解.受文[13-17]的启发,最近,钟承奎等在文[18]中结合临界点理论中的下降流思想和Z2指标理论来估算具有Lyapunov泛函的对称动力系统全局吸引子的两个不相交子集的Z2指标,其中Lyapunov泛函在其中一个子集上是正的,在另一个子集上是负的,进而得到全局吸引子里多重平衡点的存在性.作为该理论的应用,作者考虑了一类反应扩散方程全局吸引子里多重平衡点的存在性.Plate方程与反应扩散方程有着本质的区别,关于Plate方程全局吸引子中平衡点个数的估计的问题,至今还没有人进行研究,本文我们就运用[18]中的理论给出Plate方程在一定条件下平衡点的多重性以及一族吸引子分形维数随着参数的变化是任意大的.2.预备知识本节我们给出本文所需要的一些基本概念和结论,首先给出无穷维动力系统的相关定义和理论.定义2.1[19−20]假设算子族{S(t)}:X→X,t≥0,满足1)S(0)=Id(恒等变换);2)S(t)S(s)=S(t+s),∀t,s≥0;3)当t n→t并且在X中x n→x时,S(t n)x n→S(t)x,则称{S(t)}:X→X,t≥0是X上的C0半群.定义2.2[19−20]设X是完备的度量空间,{S(t)}t≥0是X上的连续半群,称{S(t)}t≥0是渐近紧的,如果对相空间X中的任何有界点列{x n}∞n=1以及t n→∞,{S(t n)x n}∞n=1有收敛子列.定义2.3[19−20]设X是完备的度量空间,{S(t)}t≥0是X上的连续半群,称X中的子集A是{S(t)}t≥0的全局吸引子,如果A满足1)(紧性)A是X中的一个紧集;2)(不变性)S(t)A=A,∀t≥0;3)(吸引性)对于X中的任何有界子集B,都有dist(S(t)B,A)→0(t→∞),其中dist(A,B)表inf y∈B dist(x,y).示Hausdorff半距离,定义为dist(A,B)=supx∈A引理2.1[19]设{S(t)}t≥0是完备度量空间X上的连续半群,则{S(t)}t≥0在X中存在全局吸引子当且仅当1){S(t)}t≥0在X中有有界吸收集;2){S(t)}t≥0在X上是渐近紧的.定义2.4[15,20]设H为Banach空间,{S(t)}t≥0是定义在H上的半群,X⊂H是它的一个正不变集,称Φ:X→R是{S(t)}t≥0定义在X上的Lyapunov泛函如果1)对任意给定的u0∈X,函数t→Φ(S(t)u0)关于时间t是非增的;2)存在τ>0,使得Φ(S(τ)u0)=Φ(u0),那么u0是半群S(t)的一个平衡点(不动点).称动力系统(X,S t)为梯度系统,若系统在整个相空间X上存在一个Lyapunov泛函.下面,我们给出系统(1.1)解的存在唯一性以及相应半群全局吸引子的存在性结果,详见文[11-12])等.引理2.2设(H1),(H2)成立,则对任何T>0及初值(u0,u1)∈(H2(Ω)∩H1(Ω))×L2(Ω),(Ω))×L2(Ω)).系统(1.1)的解存在并且唯一,(u,u t)∈C([0,T];(H2(Ω)∩H1第3期孟凤娟等：一类具有p -Laplacian 算子的Plate 方程全局吸引子的性质637对任给t ∈R 定义映射S (t ):(u 0,u 1)→(u (t ),u t (t )).(2.1)由引理2.2,易得{S (t )}t ≥0在能量相空间(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)中是C 0-半群.引理2.3设(H 1),(H 2)成立,则对任何β,系统(1.1)所生成的半群{S (t )}t ≥0在空间(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)中存在全局吸引子A β.对一个具有Lyapunov 泛函的奇连续半群,在全局吸引子具有对称结构的前提下,钟承奎等在[18]中借助于“原点是对应的Lyapunov 泛函的局部极小点”这一假设,估计了原点的吸引域边界的Z 2指标,进而对半群{S (t )}t ≥0在全局吸引子内平衡点的个数做了估算,具体结论如下:引理2.4[18]设X 是一个Banach 空间,{S (t )}t ≥0是X 上的一个C 0半群.假设{S (t )}t ≥0满足下列条件:(A 1)对任意的t ≥0,S (t )是奇的;(A 2)在X 上,{S (t )}t ≥0有一个全局吸引子A ;(A 3)在X 上,{S (t )}t ≥0有一个C 0Lyapunov 偶泛函F ;(A 4)存在B (0,ρ)(以0为中心,ρ为半径的球),对任意的u ∈B (0,ρ),t →∞都有S (t )u →0,并且F |∂B (0,ρ)≥α>F (0)=0,其中α是一个给定的正常数;(A 5)存在一个X 的n 维子空间X n 和一个正常数R (>ρ),使得F |X n ∩∂B (0,R )≤0.则有下列结论(i)半群{S (t )}t ≥0在A ∩F −1([α,∞))中至少有n 对不动点;(ii)半群{S (t )}t ≥0在A ∩F −1((−∞,0))中至少有n 对不动点.3.主要结果引理3.1设(H 1),(H 2)成立,对任何给定的β,由系统(1.1)诱导出的解半群是奇的,定理2.3中得到的全局吸引子A β是对称的.证对任何初值(u 0,u 1)∈(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω),显然(−u 0,−u 1)∈(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω).设(u (t ),u t (t ))是系统(1.1)对应初值(u 0,u 1)的唯一的解.由于φ是奇函数,从而(−u (t ),−u t (t ))是系统(1.1)对应初值(−u 0,−u 1)的唯一解.因此,S (t )(−u 0,−u 1)=(−u (t ),−u t (t ))=−S (t )(u 0,u 1),从而S (t )是奇的.下面我们将验证A β的对称性.设B 0=B (0,R )={(u,u t )∈(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω),∥(u,u t )∥(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)≤R }是半群S (t )的对称吸收集.假设(y,y t )∈A β,则存在一个序列{x n ,x nt }∞n =1⊂B 0及t n →∞(当n →∞时),使得在(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)内S (t n )(x n ,x nt )→(y,y t ).因为半群S (t )是奇的,从而在(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)中有S (t n )(−x n ,−x nt )=−S (t n )(x n ,x nt )→(−y,−y t ).因此,A β是对称的.定义能量泛函F (u,u t )=∫Ω{12(|∆u |2+|u t |2)+1p |∇u |p +Φ(u )}d x,(3.1)其中Φ(u )=∫u 0φ(s )d s 是φ(u )的原函数.引理3.2由(3.1)所给出的泛函F (u,u t )是半群{S (t )}t ≥0在空间(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)上的Lyapunov 偶泛函.证设(u,u t )=S (t )(u 0,u 1)是系统(1.1)对应初值(u 0,u 1)的解.用u t 乘以(1.1)并在Ω上积分可得∥u t ∥2L 2(Ω)+d d t ∫Ω{12(|∆u |2+|u t |2)+1p |∇u |p +Φ(u )}d x =0,即d d t F (S (t )(u 0,u 1))=−∥u t ∥2L 2(Ω).(3.2)638应用数学2022因而对每个给定的初值(u 0,u 1)∈(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω),函数t →F (S (t )(u 0,u 1))是非增的.如果存在某个τ>0使得F (S (τ)(u,u t ))=F (u,u t ).从(3.2)可知,当0≤t ≤τ时S (t )(u,u t )=(u,u t ).因此F (S (nτ)(u,u t ))=F (S ((n −1)τ)S (τ)(u,u t ))=F (S ((n −1)τ)(u,u t )=···=F (u,u t ).重复上面的过程可得对任意的n ∈Z +,当0≤t ≤nτ时S (t )(u,u t )=(u,u t ).所以对任意的t ≥0,S (t )(u,u t )=(u,u t ).因此由(3.1)定义的F (u,u t )是算子半群的{S (t )}t ≥0的Lyapunov 泛函.结合(3.1)和(H 2)易知,F (u,u t )=F (−(u,u t )),即F 是偶的.引理3.3对任何自然数n ,存在X 的一n 维子空间X n 和一正常数R ,使得F |X n ∩∂B (0,R )≤0.证由假设(H 2),可得Φ(u )=∫u 0φ(s )d s =∫u 0(|s |m −1s −β|s |γs )d s =1m +1|u |m +1−βγ+2|u |γ+2,对任何自然数n,设X n 是(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)的一个n 维子空间,A n ={(u,u t )∈X n :∥∆u ∥L 2(Ω)+∥u t ∥L 2(Ω)=1},则A n 是空间(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω))的紧集,并且存在正常数δ使得inf (u,v )∈A n ∥u ∥γ+2L γ+2(Ω)=δ.设RA n ={R (u,u t ):(u,u t )∈A n },则对R (u,u t )∈RA n ,利用H¨o lder 不等式和Sobolev 嵌入H 2(Ω)∩H 10(Ω) →L m +1(Ω)及H 2(Ω)∩H 10(Ω) →L γ+2(Ω)可得F (R (u,u t ))=∫Ω{12R 2(|∆u |2+|u t |2)+1p R p |∇u |p +1m +1R m +1|u |m +1−βγ+2R γ+2|u |γ+2}d x ≤12R 2+CR m +1−βγ+2R γ+2δ,对固定的R,取β0=1δ(R −r +CR m −r −1)(γ+2),则当β≥β0时,F (R (u,u t ))≤0.(3.3)引理3.4设(H 1),(H 2)成立,对每个给定的β,A β为系统(1.1)的全局吸引子,由(3.1)所定义的F 是半群{S (t )}t ≥0在(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)中的Lyapunov 泛函.则存在原点的一个邻域B (0,ρ),(ρ<R )使得(i)对任意的(u,u t )∈B (0,ρ),当t →∞时,S (t )(u,u t )→0,(ii)F |∂B (0,ρ)≥α>F (0,0)=0,其中α是一个固定的正常数.证由Sobolev 嵌入H 2(Ω)∩H 10(Ω) →L 2n N −4(Ω) →L m +1N −4(Ω)及H 2(Ω)∩H 10(Ω) →L γ+2(Ω),可得F (u,u t )=∫Ω{12(|∆u |2+|u t |2)+1p |∇u |p +Φ(u )}d x,≥12∥∆u ∥2L 2(Ω)+12∥u t ∥2L 2(Ω)+C ∥u ∥m +1L m +1(Ω)−βγ+2∥u ∥γ+2L γ+2(Ω)≥12∥∆u ∥2L 2(Ω)+12∥u t ∥2L 2(Ω)+C ∥u ∥m +1L m +1(Ω)−βγ+2C ∥∆u ∥γ+2L 2(Ω).(3.4)由于γ>0,γ+2>2,当∥∆u ∥L 2(Ω)充分小时,∥∆u ∥γ+2L 2(Ω)可由∥∆u ∥2L 2(Ω)控制.上式意味着存在0<ρ1<R 使得当(u,u t )∈B (0,ρ1)={(u,u t )∈(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω),∥(u,u t )∥(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)≤ρ1}时,F |∂B (0,ρ1)≥α1>F (0,0)=0,(3.5)其中,α1是一个给定的正常数.下面我们将验证当ρ<ρ1及α2<α1成立时,F |B (0,ρ)<α2.F (u,u t )=∫Ω{12(|∆u |2+|u t |2)+1p |∇u |p +Φ(u )}d x,第3期孟凤娟等：一类具有p -Laplacian 算子的Plate 方程全局吸引子的性质639≤12∥∆u ∥2L 2(Ω)+12∥u t ∥2L 2(Ω)+1p ∥∇u ∥p L p (Ω)+C ∥∆u ∥m +1L 2(Ω)−βγ+2∥u ∥γ+2L γ+2(Ω)≤12∥∆u ∥2L 2(Ω)+12∥u t ∥2L 2(Ω)+1p∥∇u ∥p L p (Ω)+C ∥∆u ∥m +1L 2(Ω),由上述不等式可知当(u,u t )∈B (0,ρ),ρ→0时F (u,u t )→0,从而存在某个ρ<ρ1使得F |B (0,ρ)<α2.(3.6)由(3.4),我们还可知存在某个α>0使得F |∂B (0,ρ)≥α>F (0,0)=0.(3.7)由引理3.2知F 是一个Lyapunov 泛函,则F (S (t )(u 0,u 1))关于时间t 是递减的,结合(3.5),(3.6)可得,对任给t ≥0,F |S (t )B (0,ρ)<α2.(3.8)因此对任给t ≥0,S (t )B (0,ρ)⊂B (0,ρ1).(3.9)否则,存在某个t 0及(u 0,u 1)∈B (0,ρ)使得S (t 0)(u 0,u 1)∈X \B (0,ρ1).根据S (t )的连续性,存在t 1满足0<t 1≤t 0并且S (t 1)(u 0,u 1)∈∂B (0,ρ1).因为F |∂B (0,ρ1)≥α1,可得F (S (t 1)ϕ0)≥α1,与(3.8)矛盾.因此,对任何(u 0,u 1)∈B (0,ρ)及t ≥0,S (t )(u 0,u 1)∈B (0,ρ1).下面我们将验证对任何初值(u 0,u 1)∈B (0,ρ1),算子半群只有原点是平衡点.即∀(u 0,u 1)∈B (0,ρ),S (t )(u 0,u 1)=(u 0,u 1)⇒(u 0,u 1)=0.(3.10)由于算子半群的平衡点对应于系统稳态方程的解,即{u 1=0,∆2u 0−div(|∇u 0|p −2∇u 0)+φ(u 0)=0.因而要验证(3.10)成立,只需证明∫Ω(|∆u |2−div(|∇u |p −2∇u )u +φ(u )u )dx =0⇒u =0.由(H 1),(H 2)可得∫Ω(|∆u |2−div(|∇u |p −2∇u )u +φ(u )u )d x ≥∫Ω(|∆u |2d x +∥∇u ∥pL p (Ω)−Cβ∫Ω|u |(γ+2)d x +C ∫Ω|u |m +1d x ≥C (∫Ω|u |2n N −4d x )N −4N −Cβ∫Ω|u |(γ+2)d x +C ∫Ω|u |m +1d x≥C ∫Ω|u |(γ+2)d x )2γ+2d x −Cβ∫Ω|u |(γ+2)d x +C ∫Ω|u |m +1d x.(3.11)注意2γ+2<1并且γ+2<m +1,Cβ∫Ω|u |(γ+2)d x 可以被C ∫Ω|u |(γ+2)d x )2γ+2d x 和C ∫Ω|u |m +1d x 控制,结合(3.9),我们可选择适当的ρ,使得对任何S (t )(u 0,u 1)=(u,u t )=(0,0),∫Ω(|∆u |2−div(|∇u |p −2∇u )u +φ(u )u )d x >0成立.因此我们已证明对任给(u,u t )∈B (0,ρ1)\(0,0),S (t )(u,u t )=(u,u t ).根据(3.5),(3.6)和(3.10),我们可以得到对任给(u 0,u 1)∈B (0,ρ),当t →∞时,S (t )(u 0,u 1)→0.(3.12)由引理2.3可知系统(1.1)存在全局吸引子,再根据引理2.1可知{S (t )}t ≥0是渐近紧的.因此,对任给初值(u 0,u 1)∈B (0,ρ)及t n →∞,{S (t n )ϕ0}有一个收敛子列,即当t n k →∞时S (t n k )(u 0,u 1)→(u ′0,u ′1).(3.13)640应用数学2022要证(3.12),只需证明(u′0,u′1)=0.由Lyapunov泛函的定义(定义2.4)可得F(S(t)(u′,u′1))≤F((u′,u′1)),∀t>0.(3.14)我们断言对某个τ>0F(S(τ)(u′0,u′1))=F((u′,u′1)).(3.15)下面将用反证法来验证(3.15).若(3.15)不成立,则对任给t>0,F(S(t)(u′0,u′1))<F((u′,u′1)).(3.16)从而当ε>0充分小时,存在t′>0满足F(S(t′0)(u′,u′1))<F((u′,u′1))−ε.(3.17)根据(3.13),可得当t nk→∞时S(t nk+t′)(u0,u1)→S(t′)(u′,u′1).(3.18)根据F的连续性和(3.18),可得当t nk→∞时F(S(t nk +t′)(u0,u1))→F(S(t′)(u′,u′1)),(3.19)并且由(3.13)可得当t nk→∞时F(S(t nk+t′)(u0,u1))→F((u′,u′1)).(3.20)结合(3.19)和(3.20),我们有F(S(t′0)(u′,u′1))=F((u′,u′1)),这与(3.17)矛盾.因此(3.15)成立.由Lyapunov泛函的定义,(u′0,u′1)是S(t)的不动点,即对任给∀t>0,S(t)(u′,u′1)=(u′,u′1).结合(3.5)(3.6)和(3.10),我们有(u′0,u′1)=0,即(3.12)成立.结合(3.7)和(3.12),引理3.4得以证明.由引理3.1-3.4可知,由引理2.2生成的算子半群(2.1)满足引理2.4的所有条件,根据引理2.4可得:定理3.1假设(H1),(H2)成立,对每个给定的β,Aβ是(1.1)的全局吸引子,由(3.1)定义的F是算子半群{S(t)}t≥0在空间(H2(Ω)∩H1(Ω))×L2(Ω)中的Lyapunov泛函.则对任意自然数n,存在β充分大使得{S(t)}t≥0在Aβ∩F−1([α,∞))内至少有n对不同的不动点,并且在Aβ∩F−1((−∞,0))内至少有n对不同的不动点.在文[9]中,我们知道任何一个分形维数为n的紧集与R2n+1之间都存在一个一一的线性奇的H¨o lder连续映射.类似于文[30]中推论1.1,由引理3.1-3.4及引理2.4可得如下推论:推论3.1假设(H1),(H2)成立,对任何给定的β,Aβ是系统(1.1)全局吸引子.则我们有下列结论:limβ→∞dim Aβ=∞.参考文献：[1]WOINOWSKY K.The efect of an axial force on the vibration of hinged bars[J].J.Appl.Mech.,1950,17:35-36.[2]BALL J.Stability theory for an extensible beam[J].J.Differential Equations,1973,14:399-41.[3]KHANMAMEDOV A.Existence of a global attractor for the plate equation with a critical exponentin an unbounded 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乘法扰动下随机波动方程组的随机吸引子
乘法扰动下随机波动方程组的随机吸引子《乘法扰动下随机波动方程组的随机吸引子》是一种近期学术研究的热门话题。
这种研究的目的是研究物理系统中的随机演化，以及如何使用吸引子领域来解释和模拟这种随机演化。
这项研究的综述概括了乘法扰动的影响，在随机波动方程组中引入随机吸引子的应用，并分析了一组具有一维和二维随机核的随机波动方程组的性质。
乘法扰动乘法扰动是一种特殊的动态，它把一个随机变量加到另一个随机变量上。
它是一种典型的非线性特征，对于描述现实物理系统有重要意义，广泛应用于工程和科学研究。
在研究乘法扰动下的随机波动方程组的随机吸引子时，我们首先需要研究乘法扰动的特征，其中核心的思想是建立一个连续的变换来表征乘法扰动的影响。
乘法扰动可以总结为三个主要特征：（1）乘法扰动使随机变量具有自相关性，这意味着，在一定的时间范围内，随机变量的趋势会继续出现。
（2）乘法扰动可以增强数据的局部化特征，这意味着，数据在某一时刻会受到特定位置的激励。
（3）乘法扰动可以使现实系统变得不确定性，这意味着，系统的行为可能受到外界的微小影响而发生偏离。
随机吸引子随机吸引子是一个强有力的数学理论工具，它可以用来描述和模拟随机演化，在乘法扰动下的随机波动方程组中也是如此。
在研究乘法扰动下的随机波动方程组的随机吸引子时，我们可以使用Ehrenfest和Kolmogorov经典模型，它们可以描述动力学系统，以及它们在给定初始条件下的发展和行为。
Ehrenfest模型和Kolmogorov模型可用于模拟和分析乘法扰动下的随机波动方程组，而且我们可以使用它们来计算其中的随机吸引子。
一维与二维的随机核在乘法扰动下随机波动方程组的研究中，一维和二维的随机核是很重要的概念。
一维随机核可以被视为一组能够描述一维随机演化的随机变量，而二维随机核则可以被视为一组能够描述二维随机演化的随机变量。
在研究乘法扰动下的随机波动方程组时，我们可以使用一维和二维的随机核来模拟和分析物理系统，以及其中存在的随机吸引子。
吸引子权重改变内嵌区域震荡搜索粒子群算法
吸引子权重改变内嵌区域震荡搜索粒子群算法朱沛;范年柏【摘要】针对粒子群算法搜索精度不高、搜索最优解较慢的问题,提出了一种改进的粒子群算法.该算法通过调整全局最优解和个体最优解,形成一个新的全局吸引子解指导粒子收敛,优化种群粒子来搜索解空间的最优值.再将优化方案融入到内嵌区域震荡搜索的粒子群算法(RSPSO)中,仿真结果表明,改进的粒子群算法在寻优能力及搜索精度方面都得到了进一步的提高.%In order to solve the problem, which particle swarm optimization has low accuracy and slow speed in searching optimal, many scholars have proposed various methods which improve the optimization to make particle swarm algorithm more efficient. This paper presents an improved method by adjusting the global and individual optimal solution to form a new global attractor solution, optimizing the search for the optimal value of the particle populations in the solution space. Then embedds it into regional shock search embedded PSO(RSPSO), the simulation results show that searching ability and the search accuracy of the improved particle swarm optimization has been further improved.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2016(052)001【总页数】5页(P141-145)【关键词】群体智能;粒子群优化;权重;吸引子;内嵌区域震荡搜索【作者】朱沛;范年柏【作者单位】湖南大学信息科学与工程学院,长沙 410082;湖南大学信息科学与工程学院,长沙 410082【正文语种】中文【中图分类】TP18ZHU Pei，FAN Nianbai.Computer Engineering and Applications，2016，52（1）：141-145.粒子群优化[1]（Particle Swarm Optimization，PSO）算法于1995年由Kennedy和Eberhart共同提出，源于对鸟类捕食行为的研究，是一种基于种群搜索策略的智能优化算法，受到国内外众多学者的关注。
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随机波动方程的随机吸引子和两类格点系统的全局吸引子
无穷维动力系统在非线性科学中占有极为重要的地位。
格点系统与非线性波动方程是两类很重要的无穷维系统。
吸引子(包括全局吸引子，随机吸引子)是无穷维动力系统研究的中心内容之一。
对吸引子的研究主要基于两个方面，一是研究其存在性，第二是在其存在的前提下研究其几何结构，如Kolmogorov熵、维数、上半连续性等。
本博士论文主要研究了随机非线性波动方程的随机吸引子与一维的
Klein-Gordon-Schr(?)dinger(KGS)无穷格点系统、高维耗散的Zakharov无穷格点系统等两类无穷格点系统的全局吸引子。
首先介绍了动力系统的发展历史以及作者的主要工作。
第二章简单介绍了与本论文相关的一些基础知识、Sobolev空间与一些常用的不等式如Young不等式，H(?)lder不等式，Gronwall不等式。
本文的研究工作由两部分组成。
第一部分内容由第三、四章构成。
第三章证明了具白噪音的阻尼非线性波动方程在Dirichlet边值条件下生成的随机动力系统的随机吸引子的存在性，并对它的Hausdorff维数进行了估计，得到了它的Hausdorff维数的一个上界。
得到的Hausdorff维数的上界随着阻尼的增大而减小且当非线性项的导数有界时，它一致有界。
而且在这种情况下，随机吸引子的Hausdorff维数的上界恰好就等于它所对应的确定系统的全局吸引子的Hausdorff维数的上界。
也就是说在这种情况下白噪音对吸引子的Hausdorff维数的上界没有影响。
但一般情况下，吸引子的维数的上界与白噪音项有关。
第四章考虑了一个具白躁音的强阻尼sine-Gordon方程。
通过引入加权
范数与对关于时间为一阶的发展方程所对应线性算子的正性的分解，对由此方程生成的随机吸引子Hausdorff维数进行估计，得到了这个随机吸引子的Hausdorff维数的上界的一个估计。
特别值得一提的是，此时得到的随机吸引子的Hausdorff维数上界恰好等于它所对应的确定性的sine-Gordon方程生成的全局吸引子的Hausdorff维数的上界，也就是说在这种情况下白噪音对吸引子的Hausdorff维数的上界没有影响。
第二部分由第五、六章构成。
本部分在R．Temma所构建的无穷维动力系统理论框架的基础上，对一维KGS 无穷格点系统与高维耗散的Zakharov无穷格点系统进行了研究。
通过引入加权内积与新范数以及应用“Tail End”建立了对方程解的一致估计，克服了无界区域内Sobolev紧嵌入的缺乏而带来的困难，分别证明了全局吸引子的存在性；在目前还无法找到有效的方法来估计格点系统的吸引子的维数的。