第十三讲 三重积分和线面积分

第十三讲 三重积分、曲线、曲面积分及场论初步（数一）

一、考试要求

1、理解三重积分的概念，了解三重积分的基本性质。

2、会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

3、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关

系。

4、掌握计算两类曲线积分的方法。

5、掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。

6、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，掌握用高斯公式计算曲面积分，会用斯托克斯公式计算曲线积分。

7、了解散度与旋度的概念，并会计算。

8、 会用三重积分、曲线积分及曲面积分，求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。

9、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

二、内容提要

1、 三重积分的概念 ⎰⎰⎰Ω

dV z y x f ),,(

2、两类曲线积分

1）、对弧长的曲线积分(第一类曲线积分) (1) 定义：f x y ds f s L

i i i i n

(,)lim (,)=→=⎰∑λξη0

1

∆

(2) 性质：1) 与积分路径的方向无关，即f x y ds f x y ds BA

AB

(,)(,)=⎰⎰

2) 可加性

f x y ds f x y ds f x y ds L L L L (,)(,)(,)=+⎰⎰⎰

+2

1

12

2）、对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)

(1) 定义：P x y dx Q x y dy P x Q y L

i i i i i i i n

(,)(,)lim [(,)(,)]+=+→=⎰∑λξηξη0

1

∆∆

(2) 性质：1) 与积分路径的方向有关，即 P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy L

L

(,)(,)(,)(,)+=-+⎰⎰

-

2) 可加性

P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy L L L L (,)(,)(,)(,)(,)(,)+=+++⎰⎰

⎰+1

12

2

注：以上两种曲线积分可分别推广到空间中去。 3）、 两类曲线积分之间的联系

(1)

Pdx Qdy P

dx ds Q dy ds

ds P Q ds L L L +=+=+⎰⎰⎰[](cos cos )αβ cos ,cos αβ是有向曲线弧L 的切线向量的方向余弦，

这切线向量的指向与L 的方向一致。 (2)

P d x Q d y R d z P

dx ds Q dy ds R dz

ds

ds P Q R ds L L

L

++=++=++⎰⎰⎰

[](cos cos cos )αβγ

3、两类曲面积分

1）、对面积的曲面积分(第一类曲面积分) (1) 定义：f x y z dS f S i i i i i n

(,,)lim (,,)=→∑

=⎰⎰∑λξηζ0

1

∆

(2) 性质：1) 与曲面∑的侧面选择无关，即

f x y z dS f x y z dS (,,)(,,)=-∑

∑

⎰⎰⎰⎰，其中－∑为曲面∑的另一侧

2)可加性

f x y z dS f x y z dS f x y z dS (,,)(,,)(,,)=+∑∑∑

⎰⎰⎰⎰⎰⎰2

1

,

其中 ∑=∑+∑12

2）对坐标的曲面积分(第二类曲面积分) (1) 定义：Pdydz Qdzdx Rdxdy ++∑

⎰⎰

(2) 性质：1) 与积分曲面的侧有关，即

P d y d zQ d z d xR d x d y P d y d zQ d z d xR d x d y ++=

-++∑

-∑

⎰⎰⎰⎰ 2) 可加性

P d y d zQ d z d xR d x d y P d y d zQ d z d xR d x d y ++=

+++∑∑

⎰⎰⎰⎰1

P d y d zQ d z d xR d x d y ++∑⎰⎰2

，

其中∑=∑+∑1

2

3）、 两类曲面积分之间的联系

P d y d zQ d z d xR d x d y P d y d z dS Q dzdx dS R dxdy

dS

dS ++=

++∑∑

⎰⎰⎰⎰[] =[cos cos cos ]P Q R dS αβγ++∑

⎰⎰ 其中cos ,cos cos αβγ，为曲面∑在点(x,y,z)处的法线的方向余弦。

4、场论初步 1）、方向导数

设三元函数u f x y z =(,,)在P(x,y,z)处可微，过P(x,y,z)点的有向线段L 的

方向余弦为cos ,cos cos αβγ，，则

∂∂∂∂α∂∂β∂∂γu L u x u y u

z p P

=++(

c o s c o s c o s )

2 ）梯度(grad u )

设数量场u(x,y,z)具有连续的偏导数,则grad u u x i u y j u z

k =

++∂∂∂∂∂∂

注：沿梯度方向的方向导数为

∂∂∂∂∂∂∂∂u

gradu u x u y u z =⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭

⎪+⎛⎝ ⎫

⎭⎪2

2

2

3）、 散度(div

A )

设

A P x y z i Q x y z j R x y z k =++(,,)(,,)(,,), 则 div A P x Q y R z

=++

∂∂∂∂∂∂ 4）、 旋度(rot

A )

设

A P x y z i Q x y z j R x y z k =++(,,)(,,)(,,), 则

rot

A i j k x y z P Q R

=∂∂∂∂∂

∂

5）、 流量

设有向量场k R j Q i P F

++=，F 沿定向曲面S 的流通量为

⎰⎰⎰⎰++=⋅S

S

dS R Q P dS n F ]cos cos cos [γβα

=⎰⎰++S

Rdxdy Qdzdx Pdydz 。

5、重积分的应用**

1） 曲面的面积 ),(y x f z =，S=dxdy f f D

y x ⎰⎰'+'+221

2） 质量 ⎰⎰⎰Ω

=dV z y x m ),,(μ（其中),,(z y x μ为密度函数，下同）

3） 重心 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

Ω

=

dV

z y x dV

z y x x x ),,(),,(μμ，⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

Ω

=

dV

z y x dV

z y x y y ),,(),,(μμ，⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

Ω

=

dV

z y x dV

z y x z z ),,(),,(μμ

4） 转动惯量 dV z y x z y I x ),,()(22μ⋅+=⎰⎰⎰Ω

dV z y x z x I y ),,()(22μ⋅+=⎰⎰⎰Ω

dV z y x y x I z ),,()(22μ⋅+=⎰⎰⎰Ω

dV z y x z y x I ),,()(2220μ⋅++=⎰⎰⎰Ω

5） 引力：空间立体Ω对位于点),,(000z y x 处的单位质点引力