第34届全国中学生物理竞赛决赛试题
2017第34届全国中学生物理竞赛决赛真题几答案解析
12π2π第34 届全国中学生物理竞赛决赛试题与参考解答一、（35 分）如图，质量分别为ma、m b 的小球a 、b 放置在光滑绝缘水平面上，两球之间用一原长为l0 、劲度系数为k的绝缘轻弹簧连接。
（1）t 时，弹簧处于原长，小球a 有一沿两球连线向右的初速度v，小球b 静止。
若运动过程中弹簧始终处于弹性形变范围内，求两球在任一时刻t(t ) 的速度。
（2）若让两小球带等量同号电荷，系统平衡时弹簧长度为L，记静电力常量为K 。
求小球所带电荷量和两球与弹簧构成的系统做微振动的频率（极化电荷的影响可忽略）。
参考解答：（1）如图，t 时刻弹簧的伸长量为ul l有d 2udt2式中ku ①mamb ②mamb为两小球的约化质量。
由①②式知，弹簧的伸长量u 服从简谐振动的动力学方程，振动频率为f2π③最后一步利用了②式。
t 时刻弹簧的伸长量u 的表达式为u A sin t B cos t ④式中A 、B 为待定常量。
t 时，弹簧处于原长，即u B将 B 代入④式得a 相对于b 的速度为u A sin t ⑤vdradrbduA cos t ⑥a dt dt dtt 时有专业知识--整理分享kL = - va (0) v 0 0 A⑦由⑥⑦式得v a v 0 cost⑧系统在运动过程中动量守恒小球 a 相对于地面的速度为m a v 0m av am b vb⑨v a v av b⑩由③⑧⑨⑩式可得， t 时刻小球a 和小球b 的速度分别为m (m m ) mvbcosa b 0t a vmm m 0 a (m m )a bmvaa⑫m 0a bab（2）若两球带等量同号电荷，电荷量为 q ，系统平衡时有q 2K 2k 0 (L 0 l 0 ) ⑬由⑬式得设t 时刻弹簧的长度为 L （见图 II ），有q L 0 ⑭d 2 L q 2dt 2k 0 (L l 0 ) K L 2⑮图 II令 xLL 0 为t 时刻弹簧相对平衡时弹簧长度 L 0的伸长量，⑮式可改写为d 2x q 2xdt 2 k 0 x k 0 (L 0 l 0 ) KL2L⑯系统做微振动时有x因而xxx 2LLOL⑰b a L 0WORD格式-可编辑专业知识--整理分享WORD格式-可编辑12π2πL3L利用上式，⑯式可写为d 2x q2q2x 2dt2k0 (L0 l0 ) K L2k2KL3x OL⑱x20 0 0略去OL，并利用⑬或⑭式，⑱式可写为d 2 x q2 3L 2lk 2K x 0 0 kx ⑲dt2 0由⑲式知，3Ll，系统的微振动服从简谐振动的动力学方程，振动频率为f ⑳最后一步利用了②式。
第34届全国中学生物理竞赛预赛试卷及答案
第34届全国中学生物理竞赛预赛试卷本卷共16题，满分200分。
一、选择题：本题共5小题，每小题6分。
在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意。
把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内。
全部选多的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分。
1．下述实验或现象中，能够说明光具有粒子性的是A ．光的双缝干涉实验B ．黑体辐射C ．光电效应D ．康普顿效应2．系统1和系统2质量相等，比热容分别为C 1和C 2，两系统接触后达到共同温度T ；整个过程中与外接（两系统之外）无热交换．两系统初始温度T 1和T 2的关系为A ．()2121C T T T T C =−−B ．()1122C T T T T C =−− C ．()1122C T T T T C =−+D ．()2121C T T T T C =−+3．假设原子核可视为均匀球体．质量数为A 的中重原子核的半径R 可近似地用公式1/30R R A =表示，其中R 0为一常量．对于核子数相同的原子核，下列说法正确的是A ．质量密度是基本相同的B ．电荷密度是基本相同的C ．表面积是基本相同的D ．体积是基本相同的4．一颗人造地球通讯卫星（同步卫星）对地球的张角能覆盖赤道上空东经0θθ−∆到东经0θθ+∆之间的区域．已知地球半径为R 0，地球表面处的重力加速度为g ，地球自转周期为T ．Δθ的值等于A ．1/32024arcsin R T g π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1/320242arcsin R T g π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1/32024arccos R T g π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1/320242arccos R T g π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．有3种不同波长的光，每种光同时发出、同时中断，且光强都相同，总的光强为I ，脉冲宽度（发光持续时间）为τ，光脉冲的光强I 随时间t 的变化如图所示．该光脉冲正入射到一长为L 的透明玻璃棒，不考虑光在玻璃棒中的传输损失和端面反射损失．在通过玻璃棒后光脉冲的光强I 随时间t 的变化最可能的图示是（虚线部分为入射前的总光强随时间变化示意图）二、填空题。
第34届全国中学生物理竞赛预赛试卷(解析版)
第34届全国中学生物理竞赛预赛试卷解析版一、选择题．本题共5小题,每小题6分．在每小题给出的4个选项中,有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．1．下述实验或现象中,能够说明光具有粒子性的是( ）A．光的双缝干涉实验B．黑体辐射C．光电效应D．康普顿效应2．系统l和系统2质量相等，比热容分别为C1和C2,两系统接触后达到共同温度T；整个过程中与外界(两系统之外）无热交换.两系统初始温度T1和T2的关系为( )A．T1=C2C1）（T－T2－T B．T1=错误!C．T1=错误!D．T1=错误!3．假设原子核可视为均匀球体。
质量数为A的中重原子核的半径R可近似地用公式R=R0A1/3表示，其中R0为一常量。
对于核子数相同的原子核，下列说法正确的是( )A．质量密度是基本相同的B．电荷密度是基本相同的C．表面积是基本相同的D．体积是基本相同的4．一颗人造地球通讯卫星（同步卫星)对地球的张角能覆盖赤道上空东经θ0－Δθ到东经θ0+Δθ之间的区域。
已知地球半径为R0，地球表面处的重力加速度大小为g，地球自转周期为T . Δθ的值等于（）A．arcsin（错误!)1/3B．2 arcsin( 错误!）1/3C．arccos ( 错误!)1/3D．2arccos （错误!）1/3 5．有3种不同波长的光，每种光同时发出、同时中断,且光强都相同,总的光强为I,脉冲宽度(发光持续时间）为τ,光脉冲的光强I随时间t的变化如图所示。
该光脉冲正入射到一长为L的透明玻璃棒，不考虑光在玻璃棒中的传输损失和端面的反射损失.在通过玻璃棒后光脉冲的光强I随时间t的变化最可能的图示是(虚线部分为入射前的总光强随时间变化示意图）( )二、填空题．把答案填在题中的横线上．只要给出结果，不需写出求得结果的过程．6．(10分）如图，一个球冠形光滑凹槽深度h=0。
2017年第34届全国中学生物理竞赛决赛真题及答案(高清pdf版)
f 1 2π
3L0 L0
2l0
k0
1
2π
3L0 L0
2l0
ma mb ma mb
k0
⑳
最后一步利用了②式。 评分参考：第（1）问 24 分，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫式各 2 分；第（2）问 11 分，⑬⑭⑮式各 2 分，⑰式 1 分，⑲⑳式各 2 分。
二、（35 分） 参考解答： （1）两体系统的相对运动相当于质量为 Mm 的质点在固定力场中的运动，其运动方程是
人在 A 处完全下蹲，在 A A 过程中系统重力势能减少，（因受到摆底板的限制）动能仍然为零。人
在 A 处时系统的机械能为 U A' K A VA 0 mg(d l)(1 cos A )
②
mg
l
l
d
(h1
d
)
人在 B 仍处位于完全下蹲状态，在 A B 过程中系统机械能守恒。人在 B 处的动能为
0 为平衡位置、圆频率
6BI 、周期 T 2π m
m 6BI
、振幅为0 的简谐运动。
（3）线框在做上述运动的过程中，当逆时针转至 ab 边与 X 轴正向重合时，
0 ，且0 0
6BI ， m
⑨
此时 P 、 Q 形成断路，线框内没有了电流，不再受到安培力的力矩。由于没有阻力，线框将保持作角
三、（35 分）参考解答：
（1）假定在始终完全蹲下和始终完全站立过程中没 有机械能损失。将人和秋千作为一个系统。人在 A
处位于完全站立状态，此时系统的机械能为
U A K A VA 0 mg[l(1 cos A ) d ] mgh1 ① 式中，K A 0 和VA mgh1 分别是人在 A 处时系统的动 能和重力势能， A 是秋千与竖直方向的夹角（以 下使用类似记号）如图所示。
(完整版)第34届全国中学生物理竞赛复赛试题.doc
第 34 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2017 年 9 月 16 日一、（ 40 分）一个半径为 r 、质量为 m 的均质实心小圆柱被置于一个半径为 R 、质量为 M 的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。
重力加速度大小为g 。
试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率：（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内R 底部附近作无滑滚动。
二、（ 40 分）星体 P （行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线rkP1 cosC式中， r 是 P 到太阳 S 的距离，是矢径 SP 相对于极r轴 SA 的夹角（以逆时针方向为正） ，kL 22,L 是 BAGMmS10 11 m 3 kg 1 s 2 为 P 相对于太阳的角动量， G 6.67 R E引 力 常 量 ， M 1.99 1030 kg为 太 阳 的 质 量 ，D2 EL 2为偏心率， m 和 E 分别为 P 的质量12M 2 3G m和机械能。
假设有一颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交于 C 、 D 两点，如图所示。
已知地球轨道半径R E 1.49 1011 m ，彗星轨道近日点 A 到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。
求彗 星（1）先后两次穿过地球轨道所用的时间；（2）经过 C 、 D 两点时速度的大小。
已知积分公式 xdx 2 3/21/2x a x a2a x a C ，式中 C 是任意常数。
3三、（ 40 分）一质量为 M 的载重卡车 A 的水平车板上载有一质量为m 的重物 B，在水平直公路上以速度v0做匀速直线运动，重物与车厢前壁间的距离为L （L0 ）。
因发生紧急情况，卡车突然制动。
已知卡车车轮与地面间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为BLA1 ，重物与车厢底板间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为 2 （2 1 ）。
第34届物理竞赛复赛试题及答案
第34届物理竞赛复赛试题及答案一、单项选择题（共20题，每题5分，共100分）1. 下列哪项不是粒子物理学的基本假设？A. 充分性原理B. 相对性原理C. 不确定性原理D. 费马原理2. 北极星光谱线的移位现象最初是哪个科学家通过实验发现的？A. 胡克B. 辛普森C. 赫尔曼D. 亨德里克3. 相对论中的洛伦兹变换具有以下哪一个性质？A. 反演不变性B. 时空相对性C. 相对性原理D. 矛盾性原理4. 某气体的绝热指数为1.4，再加压的条件下这个气体的温度A. 不变B. 上升C. 下降D. 不确定5. 看物体原来的颜色为白光，看物体反射的颜色为蓝色，这个现象的解释是？A. 物体的原来颜色是蓝色B. 物体反射的辐射更多地集中在较短波长的光区C. 物体反射的辐射更多地集中在较长波长的光区D. 环境光强烈时物体的颜色会发生变化6. 电子在磁场中作匀速圆周运动，则其动能与势能的变化情况如何？A. 动能不变，势能减小B. 动能增大，势能减小C. 动能减小，势能增大D. 动能不变，势能增大7. 像肉眼所能看见的太阳周围的白光，几乎全部来自于？A. 太阳的干扰光B. 太阳的热光C. 太阳的黑体辐射D. 太阳的光谱线8. 一个空气球放在零摄氏度的水中充气，如果它充满气体后体积为1mA. 它在水中漂浮B. 它在水中沉底C. 它在水中升起，但不漂浮D. 它不会对水位高度产生影响，但会影响它周围的水流9. 求一光束入射角为60度，折射角为45度的光线不透明物体的表面上，光的速度在透明物体的内部为1660m/s，这个透明物体的折射率是多少？A. 2.5B. 约1.73C. 约1.25D. 约0.7510. 一个理想氧化铝晶体会使垂直于晶面上的光线进行多少次反射？A. 1次B. 2次C. 3次D. 4次11. 下列哪个现象可以被理解为对牛顿第二定律的否定？A. 物体保持匀速直线运动B. 物体在匀速直线运动的基础上变向C. 物体静止不动D. 物体改变了速度12. 下列哪个现象可以被认为是孤立系统中机械能守恒的例证？A. 弹性碰撞B. 重物下落C. 摆动D. 手摇电筒发光13. 下列哪个动量的变化是最大的？A. 两个物体同向碰撞B. 两个物体相对碰撞C. 两个物体撞击后分别继续沿直线运动D. 两个物体进行纯旋转14. 一个摩擦系数为0.2的物体放在斜面上，角度为20度，有多大的力可以使物体静止？A. 约0.17NB. 约0.34NC. 约2.0ND. 约9.8N15. 均匀带电球面的电场强度在球心处的方向是？A. 垂直于球面B. 与球心连线方向相同C. 与球心连线方向相反D. 没有固定方向16. 某飞行物从高空坠落，开始时垂直速度0m/s，最终速度达到400m/s，下落时间为20s，飞行物的高度是多少？A. 约4kmB. 约8kmC. 约16kmD. 约32km17. 当球被踢出一个斜向上发射，物体的速度是否因高度的增加而增加压力吗？A. 是的B. 不是的18. 均匀带电圆环电场强度在环心处的方向是？A. 沿环半径方向B. 沿环切线方向C. 沿环正对方向D. 沿环法线方向19. 在静电场中无线积分可用于计算？A. 电场强度B. 磁场强度C. 感应电流D. 电荷20. 均速直线运动的物体在运动过程中，它？A. 总是以恒定速度运动B. 可以运动，但速度变化C. 速度与时间无相关性D. 总是以恒定加速度运动二、问答题（共5题，每题20分，共100分）21. 两球间有一距离，它们的引力大小是多少？22. 在磁场中，如果一个电子沿着磁场方向运动，是什么力恰好与它运动方向垂直？23. 在一个喇叭中发出的是什么类型的波？24. 跳伞让人成为了空气阻力的受害者，如果比重不同的气体相互作用，哪个气体在空气中起到的作用最小，为什么？25. 解释重力势能的大小和高度之间的关系。
34届全国中学生物理竞赛决赛
M 都对 m 星没有影响。已知引力常量为 G ，不考虑相对论效应。
（ 1）求爆炸前 M 星和 m 星之间的距离 r 0；
（ 2）若爆炸后 M 星和 m 星仍然做周期运动，求该运动的周期 T1 ；
（ 3）若爆炸后 M 星和 m 星最终能永远分开，求 M 、 m 和 M 三者应满足的条件。
参考解答：
（ 1）两体系统的相对运动相当于质量为
.
在 A 处时系统的机械能为
U A' K A V A 0 mg( d l)(1 cos A )
ld
mg
(h d )
1
l
人在 B 仍处位于完全下蹲状态，在
A B 过程中系统机械能守恒。人在
K
1 mv2 U
B1
B1
A
2
式中下标 1 表示秋千第一次到 B 处。
B 处的动能为
② ③
人在 B 处突然站立，人做功，机械能增加。设人站立前后体系的角动量分别为
0
L0
由 ? 式知， 3L0 2l0 0 ，系统的微振动服从简谐振动的动力学方程，振动频率为
3L0 2l 0 k0
1
L0
f
1
3L0 2l 0 m a m b k 0
?
2π
2π
L0
mamb
最后一步利用了②式。 评分参考：第（ 1）问 24 分，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ ?? 式各 2 分；第（ 2）问 11 分， ??? 分， ? 式 1 分， ?? 式各 2 分。 二、（ 35 分）双星系统是一类重要的天文观测对象。假设某两星体均可视为质点，其质量分别为
r
rv20
00
另一解 r0 可在⑩式右端根号前取减号得到。由⑩式可知
第34届全国中学生物理竞赛决赛试题和详细答案解析
第34 届全国中学生物理竞赛决赛试题与参考解答一、（35分）如图，质量分别为a b m m 、的小球a b 、放置在光滑绝缘水平面上，两球之间用一原长为0l 、劲度系数为0k 的绝缘轻弹簧连接。
（1）0t =时，弹簧处于原长，小球a 有一沿两球连线向右的初速度0v ，小球b 静止。
若运动过程中弹簧始终处于弹性形变范围内，求两球在任一时刻(0)t t >的速度。
（2）若让两小球带等量同号电荷，系统平衡时弹簧长度为0L ，记静电力常量为K 。
求小球所带电荷量和两球与弹簧构成的系统做微振动的频率（极化电荷的影响可忽略）。
参考解答：（1）如图，t 时刻弹簧的伸长量为u l l =-有202d uk u dtμ=- ①式中a b a bm m m m μ=+②为两小球的约化质量。
由①②式知，弹簧的伸长量u 服从简谐振动的动力学方程，振动频率为2πf ω=③最后一步利用了②式。
t 时刻弹簧的伸长量u 的表达式为sin cos u A t B t ωω=+④式中A B 、为待定常量。
0t =时，弹簧处于原长，即(0)0u B == 将0B =代入④式得sin u A tω=⑤a 相对于b 的速度为cos a b adr dr duv A t dt dt dtωω'=-== ⑥0t =时有0(0)0av v A ω'=-= ⑦由⑥⑦式得0cos av v t ω'= ⑧系统在运动过程中动量守恒0a a a b b m v m v m v =+⑨小球a 相对于地面的速度为a ab v v v '=+ ⑩由③⑧⑨⑩式可得，t 时刻小球a 和小球b 的速度分别为01cos b aa a ab m m v v m m m ⎡⎤⎫=+⎢⎥⎪⎪+⎢⎥⎭⎣⎦⑪01cos ab ab m v v m m ⎡⎤⎫=-⎢⎥⎪⎪+⎢⎥⎭⎣⎦⑫（2）若两球带等量同号电荷，电荷量为q ，系统平衡时有200020()q K k L l L =- ⑬由⑬式得q L = ⑭设t 时刻弹簧的长度为L （见图II ），有 220022()d L q k L l K dt Lμ=--+ ⑮图II令0x L L =-为t 时刻弹簧相对平衡时弹簧长度0L 的伸长量，⑮式可改写为22200002200()1d x q x k x k L l K dt L L μ-⎛⎫=---++ ⎪⎝⎭⑯系统做微振动时有0xL因而22000112x xx O L L L -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⑰利用上式，⑯式可写为22220000223000()2d x q q x k L l K k K x O dt L L L μ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⑱略去20x O L ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，并利用⑬或⑭式，⑱式可写为2200002300322L l d x q k K x k x dt L L μ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭ ⑲由⑲式知，00320L l ->，系统的微振动服从简谐振动的动力学方程，振动频率为f = ⑳最后一步利用了②式。
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(ii) 与 之间的关系式和 与 之间的关系式.
四、(35分)如图,在磁感应强度大小为 、方向竖直向上的匀强磁场中.有一均质刚性导电的正方形线框abcd,线框质量为 ,边长为 ,总电阻为 .线框可绕通过ad边和 边中点的光滑轴 转动. 、 点是线框引线的两端, 轴和 轴位于同一水平面内,且相互重直,不考虑线框自感.
第34届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题(2017)
一、(35分)如图,质量分别为 、 的小球 、 放置在光滑绝缘水平面上,两球之间用一原长为 ,劲度系数为 .的绝缘轻弹簧连接.
(1) 时,弹簧处于原长,小球 有一沿两球连线向右的初速度 ,小球 静止.若运动过程中弹簧始终处于弹性形变范围内,求两球在任一时刻 的速度.
(2)若将该毛细管长度的三分之一竖直浸入水中,问需要多大向上的力才能使该毛细管保持不动?已知玻璃的密度是水的2倍,水的密度是 ,水的表面张力系数为 ,水与玻璃的接触角 可视为零,重力加速度取 .
七、(35分)
(1)爱因斯坦等效原理可表述为:在有引力作用的情况下的物理规律和没有引力但有适当加速度的参考系中的物理规律是相同的.作为一个例子,考察下面两种情况:
(1)假定在始终完全蹲下和始终完全站立过程中没有机械能损失,求该人质心在 各个阶段的机械能及其变化;
(2)假定在始终完全蹲下和始终完全站立过程中的机械能损失 与过程前后高度差的绝对值 的关系分别为
,始终完全蹲下
,始终完全站立
这里, 、 、 和 是常量, 是重力加速度的大小.求
(i)相对于 点,第 个最高点的高度 与第 个最高点的高度 之间的关系;
八、(35分)用薄膜制备技术在某均质硅基片上沉积一层均匀等厚氮化镓薄膜,制备出一个硅基氮化镓样品,如图1所示.
(1)当用波长范围为 的光垂直均匀照射该样品氮化镓表面,观察到其反射光谱仅有两种波长的光获得最大相干加强,其中之一波长为 ;氮化镓的折射率 与入射光在真空中波长 (单位 )之间的关系(色散关系)为
(1)若粒子每次与材料表面的碰撞为弹性碰撞,且被该电场和磁场束缚在上述圆柱体内的粒子占发射粒子总数的百分比为 ,求该薄片材料的圆半径 .
(2)若在粒子每次与材料表面碰撞后的瞬间,速度竖直分量反向,水平分量方向不变,竖直方向的速度大小和水平方向的速度大小均按同比例减小,以至于动能减小10%.
(i)求在粒子射出直至它第一次与材料表面发生碰撞的过程中,粒子在 平面上的投影点走过路程的最大值;
(i)当一束光从引力势比较低的地方传播到引力势比较高的地方时,其波长变长,这个现象称为引力红移.如果在某质量分布均匀的球形星体表面附近的 处竖直向上发射波长为 的光,在 处竖直上方高度为 的 处放置一固定接收器,求 处接收器接收到的光的波长 .已知该星体质量为 ,半径为 ;引力场满足弱场条件,可应用牛顿引力理论;真空中的光速为 ,引力常量为 .
(1)求线框绕 轴的转动惯量 ;
(2) 时,线框静止,其所在平面与 轴有一很小的夹角 ,此时给线框通以大小为 的恒定直流电流,方向沿 ,求此后线框所在平面与 轴的夹角 、线框转动的角速度 和角加速度 随时间变化的关系式;
(3) 时,线框平面恰好逆时针转至水平,此时断开 、 与外电路的连接.此后线框如何运动?求 、 间电压 随时间变化的关系式;
(ii)如图,假设在没有引力的情况下,有一个长度为 的箱子,在箱子上、下面的 两处分别放置激光接收器和激光发射器.在 时刻,箱子从初速度为零开始,沿 方向做加速度为 的匀加速运动 ,同时从 处发出一束波长为 的激光.根据狭义相对论,求 处接收器接收到的激光波长 .
(iii)根据等效原理,试比较(i)和(ii)的结果,要使物理规律在(i)和(ii)中的情况下相同,则(ii)中的 应为多大?
(2)若让两小球带等量同号电荷,系统平衡时弹簧长度为 ,记静电力常量为 .求小球所带电荷量和两球与弹簧构成的系统做微振动的频率(极化电荷的影响可忽略).
二、(35分)双星系统是一类重要的天文观测对象.假设某两星体均可视为质点,其质量分别为 和 ,一起围绕它们的质心做圆周运动,构成一双星系统,观测到该系统的转动周期为 .在某一时刻, 星突然发生爆炸而失去质量 .假设爆炸是瞬时的、相对于 星是各向同性的,因而爆炸后 星的残余体 星的瞬间速度与爆炸前瞬间 星的速度相同,且爆炸过程和抛射物质 都对 星没有影度为 、密度为 ,氮化镓薄膜的厚度为 、密度为 ,涂层质量可忽略,真空的介电常量 ,重力加速度为 .若样品稳定后相对于光照前原位形的转角为 ,求所用强激光的电场强度有效值 .
(3)取 ,求 的值.
(4)线框做上述运动一段时间后,当其所在平面与 轴夹角为 时,将 、 短路,线框再转一小角度 后停止,求 与 的关系式和 的最小值
五、(35分)如图,某圆形薄片材料置于 水平面上,圆心位于坐标原点 平面上方存在大小为 、沿 轴负向的匀强电场,以该圆形材料为底的圆柱体区域内存在大小为 、沿 轴正向的匀强磁场,圆柱体区域外无磁场.从原点 向 平面上方的各方向均匀发射电荷量为 、质量为 、速度大小为 的带正电荷的粒子.粒子所受重力的影响可忽略,不考虑粒子间的相互作用.
(1)求爆炸前 星和 星之间的距离 ;
(2)若爆炸后 星和 星仍然做周期运动,求该运动的周期 ;
(3)若爆炸后 星和 星最终能永远分开,求 和 三者应满足的条件.
三、(35分)熟练的荡秋千的人能够通过在秋千板上适时站起和蹲下使秋千越荡越高.一质量为 的人荡一架底板和摆杆均为刚性的秋千,底板和摆杆的质量均可忽略,假定人的质量集中在其质心.人在秋千上每次完全站起时起质心距悬点 的距离为 ,完全蹲下时此距离变为 .实际上,人在秋千上站起和蹲下过程都是在一段时间内完成的.作为一个简单的模型,假设人在第一个最高点 点从完全站立的姿势迅速完全下蹲,然后荡至最低点 , 与 的高度差为 ;随后他在 点迅速完全站起(且最终径向速度为零),继而随秋千荡至第二个最高点 ,这一过程中该人质心运动的轨迹如图所示.此后人以同样的方式回荡,重复前述过程,荡向第3、4等最高点.假设人站起和蹲下的过程中,人与秋千的相互作用力始终与摆杆平行.以最低点 为重力势能零点.
(ii)对(i)问中投影点走过路程最大的粒子,求该粒子从发射直至最终动能耗尽而沉积于材料表面的过程中走过的路程.
已知 为积分常数.
六、(35分)有一根长为 、内外半径分别为 和 的玻璃毛细管.
(1)毛细管竖直悬空固定放置,注入水后,在管的下端中央形成一悬挂的水滴,管中水柱表面中心相对于水滴底部的高度为 ,求水滴底部表面的曲率半径 ;
硅的折射率随波长在 范围内变化.只考虑氮化镓表面和氮化镓-硅基片界面的反射,求氮化镓薄膜的厚度 和另一种获得最大相干加强光的波长.
(2)在该样品硅基片的另一面左、右对称的两个半面上分别均匀沉积一光谱选择性材料涂层,如图2所示;对某种特定波长的光,左半面涂层全吸收,右半面全反射.用两根长均为 的轻细线竖直悬挂该样品,样品长为 、宽为 ,可绕过其中心的光滑竖直固定轴 转动,也可上下移动,如图3所示.开始时,样品静止,用上述特定波长的强激光持续均匀垂直照射该样品涂层表面.此后保持激光方向始终不变,样品绕 轴转动直至稳定.涂层表面始终被激光完全照射.不计激光对样品侧面的照射.