通量与散度的物理意义 - 烟台大学数学院

通量与散度的物理意义

专题摘要：给出向量场通量与散度的定义，有源与无源场的概念，通量为正，为负，为零的物理意义，散度的物理意义。通过实例揭示通量与散度的工程背景。

通量与散度是流体运动学中的两个重要的概念，在大气、海洋、热能、电磁场、土木工程等领域有着重要的应用。一些与通量和散度有着密切联系的重要工程术语（如：水气通量、热通量、风通量、电通量、电磁波通量等）在处理具体工程问题时是首先考虑的重要指标。下面以流速场为例研究通量与散度。

通量

设有流速场),,(z y x V

k j i V ),,(),,(),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x ++=，

其中流体是不可压缩的，即流体之密度是不变的，假设其密度为1，),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 具有连续的一阶偏导数。设S 是流速场中一有向曲面，曲面S 上点),,(z y x 处的单位法向量为

k j i n γβαcos cos cos ++=

单位时间流体经过S 流向指定侧的流体总流量为

[40] dS v S n ⎰⎰=Φ， （1）

其中γβαcos cos cos R Q P v n ++=⋅=n V 。n v 表示流体的流速向量V 在有向曲面S 的法向量n 上的投影。由于n 表示点),,(z y x 处的单位法向量，所以

dS V n V n V ⋅=⋅=⋅=)(dS dS dS v n

因此，（1）式又可表示为

dS V ⋅=Φ⎰⎰S

。

称（1）式的积分为流速场沿指定一侧穿过曲面S 的通量。

通量为正，为负，为零时的物理意义

设在单位时间内流体向正侧穿过S 的流量为Φ，则在单位时间内流体向正侧穿过面积元素dS 的流量为

dS V ⋅=Φd 。

当V 是从dS 的负侧穿到dS 的正侧时，V 与n 成锐角，此时0>⋅=ΦdS V d 为正流量；

当V 是从dS 的正侧穿到dS 的负侧时，V 与n 成钝角，此时0<⋅=ΦdS V d 为负流量。

因此，对于总流量dS V ⋅=Φ⎰⎰S

，其物理意义为：它是在单位时间内流体向正侧穿过

曲面S 的正流量和负流量的代数和。当0>Φ时，表示向正侧穿过曲面S 的流量多于沿反向穿过S 的流量；当0≤Φ时，表示向正侧穿过曲面S 的流量少于或等于沿反向穿过S 的流量。

当S 为封闭曲面时，此时总流量为

⎰⎰⋅=ΦS

dS V ， （2）

表示流体从内侧穿出曲面S 的正流量和从外侧穿入曲面S 的负流量的代数和。当0>Φ时，表示流出多于流入，此时在S 内必有产生流体的泉源。当然还可能有排泄流体的漏洞，但所产生的流体必定多于排泄出的流体。因此，当0>Φ时，不论S 内有无漏洞，我们说S 内有正源；当0<Φ时，我们说S 内有负源。这两种情况统称为S 内有源。但是，当0=Φ时，我们不能断言S 内无源。因为这时在S 内可能出现既有正源又有负源，二者恰好相互抵消而使得0=Φ。

散度的物理意义

设流速场),,(z y x v 中有一点M ，包含点M 的任一闭曲面为S ∆，所占空间区域为∆Ω，其体积为V ∆，∆Φ为从S ∆内穿出S ∆的通量。则称极限

V S M ∆⋅⎰⎰∆→∆ΩdS V lim ，

为流速场在点M 的散度。记为V div 。

由定义可知，散度V div 为一数量，表示在场中一点处通量对体积的变化率，即该点处源的强度；当0≠V div 时，其符号为正（或为负），表示在该点处有散发通量的正源（或有吸收通量的负源）；当0=V div 时，表示该点无源，所以称0=V div 的场为无源场。

由高斯（Gauss ）公式，可得散度的数学表达式

z

R y Q x P div ∂∂+∂∂+∂∂=V 。 （3） 实例 在点电荷q 所产生的电场中，已知任意点M 处的电位移向量为

r D 2

4r q π=， （4） 其中r 是点电荷q 到点M 的距离，r 是从点电荷q 指向M 的单位向量。以点电荷q 为中心，以R 为半径的球面为S 。那么，

1). 在球面S 内产生的电通量为

q R q R q S

S S ==

⋅=

⋅=Φ⎰⎰⎰⎰⎰⎰dS 2244ππdS r dS D 。

2). 求电位移D 在任一点M 的散度

取点电荷所在之点为坐标原点，此时，

r D 34r

q π=

， 其中|r k,j i r |=++=r z y x 。因此 3

334,4,4r qz D r qy D r qx D z y x πππ===

， 所以

0)(33452222=++-=∂∂+∂∂+∂∂=r

z y x r q div πz D y D x D D z y x 。 上述结果表明，除点电荷在原点（0=r ）之外，电位移D 在任一点M 的散度均为零，即为无源场。