统考版2022届高考数学一轮复习第6章数列第3节等比数列及其前n项和教师用书教案北师大版.doc

等比数列及其前n 项和

[考试要求]

1.理解等比数列的概念.

2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.

3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.

4.了解等比数列与指数函数的关系．

1．等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的数学表达式为a n ＋1

a n

＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．

(2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G a ＝b

G ，G 2＝ab ，G ＝±ab ，那么G 叫作a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b

的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab .

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：a n ＝a 1q n －

1＝a m q n －

m . (2)前n 项和公式：

S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).

[常用结论]

等比数列的常用性质

(1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .

(2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·

b n }，⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a n

b n 仍然是等比数列．

(3)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，

q ＝－1且n 为偶数时除外．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )

(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n

，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )

1－a

.( )

(5)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 二、教材习题衍生

1．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．5 B ．±5 C ．4

D ．±4

C [∵a 25＝a 3a 7＝2×8＝16，∴a 5＝±4. 又∵a 5＝a 3q 2＞0，∴a 5＝4.]

2．在等比数列{a n }中，a 3＝32，S 3＝9

2，则a 2的值为( )

A ．3

2

B ．－3

C ．－32

D ．－3或3

2

D [由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 3(q －2＋q －1＋1)，得 q －2＋q －1＋1＝3，即2q 2－q －1＝0， 解得q ＝1或q ＝－1

2.

∴a 2＝a 3q ＝3

2

或－3.故选D.]

3．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________. 6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，

∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S n ＝126，∴2(1－2n )

1－2

＝126，

解得n ＝6.]

4．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB(1 GB ＝210 MB)．

39 [由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n }， 且a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n ， 则2n ＝8×210＝213，∴n ＝13. 即病毒共复制了13次． ∴所需时间为13×3＝39(秒)．

]

考点一 等比数列基本量的运算

等比数列基本量运算的解题策略

(1)等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．

(2)运用等比数列的前n 项和公式时，注意分q ＝1和q ≠1两类分别讨论．

1．(2020·成都模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则公比q 等于( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

A [∵S 2＝3，S 4＝15，∴q ≠1，

由⎩⎪⎨⎪⎧

a 1(1－q 2)

1－q

＝3， ①a 1

(1－q 4

)

1－q ＝15，

②

②①

得q 2＝4，又q ＞0，∴q ＝2.故选A.]

2．(2020·全国卷Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n

a n

＝

( )

A ．2n －1

B ．2－21－

n C ．2－2n －

1

D ．21－

n －1