反比例函数知识点及典型例题解析

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(完整版)初中数学反比例函数知识点及经典例

似。
04
利用相似三角形求解线段长度或角度大小
通过相似三角形的性质，我们可以建立比例关系，从而求解未知线段长度或角度大小。
解方程求解未知量。
具体步骤
根据相似比建立等式关系。
确定相似三角形，找出对应边或对应角。
经典例题讲解和思路拓展
例题1
解题思路
例题2
解题思路
已知直角三角形ABC中， ∠C=90°，AC=3，BC=4，将 △ABC沿CB方向平移2个单位得到△DEF，若AG⊥DE于点G ，则AG的长为____反比例函数$y = frac{m}{x}$的图像经过点$A(2,3)$，且与直线$y = -x + b$相交于点$P(4,n)$，求$m,n,b$的
值。
XXX
PART 03
反比例函数与不等式关系探讨
REPORTING
一元一次不等式解法回顾
一元一次不等式的定义
01
在材料力学中，胡克定律指出弹簧的伸长量与作用力成反比。这种关系同样可以用反比例函数来描述。
牛顿第二定律
在物理学中，牛顿第二定律表明物体的加速度与作用力成正比，与物体质量成反比。这种关系也可以用反比例函数来表示。
经济学和金融学领域应用案例分享
供需关系
在经济学中，供需关系是决定商品价格的重要因素。当供应量增加时，商品价格下降；反之，供应量减少时，商品价格上升。这种供需关系可以用反比例函数来表示。
XXX
PART 02
反比例函数与直线交点问题
REPORTING
求解交点坐标方法
方程组法
将反比例函数和直线的方程联立，解方程组得到交点坐标。
图像法
在同一坐标系中分别作出反比例函数和直线的图像，找出交点并确定其坐标。

专题01 反比例函数重难点题型专训(5大题型)(解析版)

专题01反比例函数重难点题型专训（5大题型）【题型目录】题型一用反比例函数描述数量关系题型二根据定义判断是否是反比例函数题型三根据反比例函数的定义求参数题型四求反比例函数值题型五由反比例函数值求自变量【知识梳理】【知识点1反比例函数的定义】一般的，形如 0ky k k x为常数，的函数，叫做反比例函数。

其中x 是自变量，y 是函数。

自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数。

【经典例题一用反比例函数描述数量关系】1．（2022上·云南文山·九年级统考期末）已知点 3,1是反比例函数ky x上一点，则下列各点中在该图像上的点是（）A ． 1,3B ．11,3C ．1,93D ．16,2【答案】D【分析】先把点（3，1）代入双曲线ky x(k ≠0)，求出k 的值，再对各选项进行判断即可．【详解】解：∵点（3，1）是双曲线ky x(k ≠0）上一点，∴k =3×1=3，A 、1×3=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；B 、1×13=13≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；C 、13×（-9）=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；D 、6×12=3，此点在反比例函数的图像上，故本选正确，故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式．2．（2022·湖北恩施·统考一模）如图的电路图中，用电器的电阻R 是可调节的，其范围为110~220 ，已知电压220V U ，下列描述中错误的是（）A ．P 与R 成反比例：220P RB ．P 与R 成反比例：2220P RC ．电阻R 越大，功率P 越小D ．用电器的功率P 的范围为220~440W【答案】A【分析】根据功率2U P R 判断即可．【详解】∵220V U ，2U P R∴2220P R，∴A 选项错误故选：A ．【点睛】本题考查物理的电功率公式，熟记物理公式2U P R是解题的关键．3．（2022上·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）若以方程 223410x k x k k -2---=的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y 11x的图象上，则满足条件的k 值为．【答案】-2【分析】设方程的两个根分别为11x x，，根据题意得到11x x ＝241k k ，结合判别式，即可求解．【详解】解：∵以方程 223410x k x k k -2---=的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数数y 11x的图象上，∴设方程的两个根分别为11x x，，∴11x x＝241k k ，即21141k k ＝，∴24120k k 解得：1262k k ，∵ 2234410k k k-2---，∴5k ，∴2k ．故答案为：-2．【点睛】本题考查了一元二次方程200ax bx c a （）的根的判别式24b ac ＝：当0 ＞，方程有两个不相等的实数根；当0 ＝，方程有两个相等的实数根；当0 ＜，方程没有实数根，也考查了反比例函数．4．（2020上·广东江门·九年级统考期末）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据如下表：近视眼镜的度数y （度）2002504005001000镜片焦距x （米）0.500.400.250.200.10根据表中数据，可得y 关于x 的函数表达式为．【答案】100y x【分析】由表中数据可得，100xy ，从而可得y 关于x 的函数表达式．【详解】由表中数据可得，100xy ，∴y 关于x 的函数表达式为100y x．故答案为：100y x【点睛】本题考查求反比例函数解析式，分析表中每一组值，从中得到变量间的关系是解题的关键．5．（2021上·福建三明·九年级统考阶段练习）水池内有污水360m ，设放净全池污水所需时间为 h y ，每小时放水量为 3m x ．(1)试写出y 与x 之间的函数关系式；(2)求当15x 时，y 的值．【答案】(1)60y x(2)4y 【分析】（1）根据所需时间＝池内污水量÷每小时放水量可得y 与x 之间的函数关系式；（2）把15x 代入（1）中函数关系式计算即可．【详解】（1）解：由题意得：60y x；（2）当15x 时，6060415y x．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出反比例函数关系以及求反比例函数值，正确列出函数关系式是解题的关键．【经典例题二根据定义判断是否是反比例函数】1．（2023上·全国·九年级专题练习）下列函数中：①12xy ，②3y x ，③55y x ，④2ky x （k 为常数，且0k ）；属于反比例函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据反比例函数的定义逐一分析判断即可，形如y ＝kx(0k )的函数是反比例函数．【详解】①∵12xy ，∴1122y x x，是反比例函数，符合题意；②3y x ，不是反比例函数，不合题意；③∵55y x，∴1y x，是反比例函数，符合题意；④2ky x（k 为常数，且0k ），是反比例函数，符合题意；是反比例函数的有①③④，共3个，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的辨别，熟练掌握反比例函数的形式是解题的关键．y ＝kx(0k )的函数是反比例函数．2．（2021上·江西赣州·九年级统考期末）下列函数：①2y x ，②3y x，③2y x =，④234y x x ，y 是x 的反比例函数的个数有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】根据反比例函数、一次函数、二次函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】2y x 是一次函数，故选项①不符合题意；3y x是反比例函数，故选项②符合题意；2y x =是二次函数，故选项③不符合题意；234y x x 是二次函数，故选项④不符合题意；∴y 是x 的反比例函数的个数有：1个故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数、二次函数、一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、二次函数、一次函数的定义，从而完成求解．3．（2022上·八年级课时练习）下列函数，①(2)1x y ②.11y x ③21y x④.12y x⑤2xy ⑥13y x；其中是y 关于x 的反比例函数的有：．【答案】④⑥．【分析】根据反比例函数的定义依次判断后即可解答.【详解】①x （y+2）=1，可化为y=12xx，不是反比例函数；②11y x ，y 与（x+1）成反比例关系；③21y x是y 关于x 2的反比例函数；④12y x符合反比例函数的定义，是反比例函数；⑤2xy 是正比例函数；⑥13y x符合反比例函数的定义，是反比例函数；故答案为④⑥．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解决问题的关键.4．（2022上·全国·九年级统考期末）下列关系式：①13y x ；②67y x ；③1xy ；④51y x ；⑤112y x ，其中y 是x 的反比例函数的为（只填序号）【答案】②③⑤【分析】根据反比例函数解析式的一般形式y ＝kx（k≠0），也可转化为y=kx -1（k≠0）的形式，即可作出判断．【详解】y 是x 的反比例函数的为②③⑤.故答案是：②③⑤.【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的定义.5．（2023下·浙江·八年级专题练习）先列出下列问题中的函数表达式，再指出它们各属于什么函数．(1)电压为16V 时，电阻R 与电流I 的函数关系；(2)食堂每天用煤1.5t ，用煤总量W （t ）与用煤天数t （天）的函数关系；(3)积为常数m 的两个因数y 与x 的函数关系；(4)杠杆平衡时，阻力为800N ，阻力臂长为5cm ，动力y （N ）与动力臂x （cm ）的函数关系（杠杆本身所受重力不计）．【答案】(1)16I R，故是反比例函数关系(2) 1.5W t ，故是正比例函数关系(3)my x，故是反比例函数关系(4)4000y x，故是反比例函数关系【分析】（1）利用UI R，进而得出答案；（2）利用煤总量W （t ）＝用煤天数t （天） 1.5 ，进而得出答案；（3）利用 xy m ，进而得出答案；（4）动力大小×动力臂＝阻力臂大小×阻力进而求出即可．【详解】（1）16I R，故是反比例函数关系；（2） 1.5W t ，故是正比例函数关系（3）my x，故是反比例函数关系（4）4000y x，故是反比例函数关系【点睛】此题主要考查了正比例和反比例函数的定义，正确得出函数关系式是解题关键．【经典例题三根据反比例函数的定义求参数】1．（2021·广东广州·统考三模）若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m ＝0无实数根，则反比例函数1m y x的图象可能经过点（）A ．（3，1）B ．（0，3）C ．（﹣3，﹣1）D ．（﹣3，1）【答案】D【分析】由方程根的情况可求得m 的取值范围，则可求得反比例函数图象经过的象限，可求得答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m ＝0无实数根，∴Δ＜0，即（﹣2）2+4m ＜0，解得m ＜﹣1，∴m +1＜0，∴反比例函数1m y x的图象经过二、四象限，∴反比例函数1m y x的图象可能经过点（﹣3，1），故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式求得m 的取值范围是解题的关键．2．（2022下·河南开封·八年级统考期中）若函数2m y x的图象在其每一个分支中y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是()A ．2mB ．2m ＜C ．2m D ．2m ＜【答案】D【分析】根据k ＜0，反比例函数的函数值y 在每一个分支中随x 值的增大而增大列出不等式计算即可得解．【详解】解：∵2m y x在其每一个分支中y 的值随x 值的增大而增大，20m ，2m ．故选：D ．【点睛】此题考查反比例函数的性质．解题关键在于掌握反比例函数y=kx，当k ＞0时，在每一个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小；当k ＜0时，在每一个象限内，函数值y 随自变量x 增大而增大．3．（2023下·山西长治·八年级长治市第五中学校校考阶段练习）若点 1A a ，， 3B b ，（其中0b ）都在反比例函数 0ky k x的图象上，则一次函数 1y a b x 中的y 随着x 的增大而（填“增大”或“减小”）．【答案】减小【分析】根据点 1A a ，， 3B b ，在反比例函数图象上，可得03ka kb k ，，，从而可得2033k ka b k，即可得到答案．【详解】解：∵点 1A a ，， 3B b ，（其中0b ）都在反比例函数 0ky k x的图象上，31k ka b，，03ka kb k ，，，2033k k a b k，一次函数 1y a b x 中的y 随着x 的增大而减小，故答案为：减小．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的特征，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象的特征是解题的关键．4．（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点A 的坐标为 1,4，顶点C 的坐标为 3,1，若反比例函数ky x的图像与矩形ABCD 有公共点，则k 的值可以是．（写出一个即可）【答案】2（答案不唯一）【分析】根据矩形写出B ，D 两点坐标，然后利用双曲线ky x经过点B ，D 时对应的k 值，从而得到k 的取值范围．【详解】解：∵矩形ABCD 的顶点 1,4A ， 3,1C ，∴ 1,1B , 3,4D ,当双曲线ky x经过点B 时，k 的值最小，此时111k ，当双曲线ky x经过点D 时，k 的值最大，此时3412k ，∴k 的取值范围为112k ．∴k 可以取2故答案为：2（答案不唯一）．【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟记点的横纵坐标的积是定值k 是解题的关键．5．（2023下·四川成都·七年级成都外国语学校校考期中）根据所学函数知识，解答下列问题：(1)已知函数 124m y m xn ，当m ，n 为何值时，此函数是一次函数？(2)当m 为何值时，函数 43m y m x 是反比例函数，并求当3y 时，x 的值为多少？【答案】(1)2m ，n 为任意实数(2)3m ，2x 【分析】（1）根据一次函数的定义列出关于m 的不等式组，求出m 的值即可；（2）根据反比例函数的定义列出关于m 的不等式组，求出m 的值，故可得出反比例函数的解析式，再把3y 代入解析式即可得出x 的值．【详解】（1）∵函数 124m y m xn 是一次函数，2011m m 且4n 为任意实数，解得2m ，2m ，n 为任意实数；（2）∵函数 43m y m x是反比例函数，3041m m，解得3m ，反比例函数的解析式为6y x，当3y 时，63x，2x ．【点睛】本题考查的是反比例函数及一次函数的性质，反比例函数及一次函数的定义，熟知以上知识是解题的关键．【经典例题四求反比例函数值】1．（2022下·江苏泰州·八年级统考期末）函数132y x 的图像可以由1y x 的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到.根据所获信息判断，下列直线中与函数121y x 的图像没有公共点的是（）A ．经过点 0,2且平行于x 轴的直线B ．经过点 0,3 且平行于x 轴的直线C ．经过点 1,0 且平行于y 轴的直线D ．经过点 1,0且平行于y 轴的直线【答案】D【分析】分别计算对应的自变量的值或函数值即可判断．【详解】解：A 、当y =2时，1221x ，解得x =54，故直线y =2与函数121y x 的图像有公共点；B 、当y =-3时，121x =-3，解得x =0，故直线y =-3与函数121y x 的图像有公共点；C 、当x =-1时，15212y x，故直线x =-1与函数121y x 的图像有公共点；D 、分式有意义的条件是x ≠1，∴函数121y x 的图像与直线x =1没有公共点；故选：D ．【点睛】此题考查了求函数值或求自变量的值，分式有意义的条件，正确计算是解题的关键．2．（2023下·江苏连云港·八年级统考期末）已知点 2,4A 在反比例函数ky x（k 为常数，0k ）的图象上，下列各点中，一定在该函数图像上的是（）A ．4,2B ．2,4 C ．2,4 D ．4,2【答案】A【分析】先把点 2,4A 代入反比例函数y kx，求出k 的值，再根据k xy 为定值对各选项进行逐一检验即可．【详解】解：∵点 2,4A 在反比例函数y kx的图象上，∴248k ．A 、∵428 ，∴此点在函数图象上；B 、∵ 2488 ，∴此点不在函数图象上；C 、∵ 2488 ，此点不在函数图象上；D 、∵ 4288 ，此点不在函数图象上．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，掌握反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．3．（2022下·江苏宿迁·八年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）已知反比例函数8y x，若2x ，则y 的取值范围是．【答案】4y 或0y 【分析】先求出x =-2时y 的值，根据反比例函数性质得出即可．【详解】解：把x =-2代入8y x得：y =-4，∵8＞0，∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，图象在第一、三象限，∴当x ≥-2时，函数y 的取值范围是y ≤-4或y ＞0，故答案为：y ≤-4或y ＞0．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．4．（2021·北京石景山·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，点 ,A a b 在双曲线1y x上．若a<0，则点A 在第象限．【答案】二【分析】由点A （a ，b ）在双曲线1y x上，可得ab =-1，由a<0可得到点0b 的坐标，进而得出答案．【详解】解：∵点 ,A a b 在双曲线1y x上，∴ab =-1，∵a<0∴0b ∴点A 在第二象限．故答案为：二．【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，求出0b 是解答此题的关键．5．（2022上·广西桂林·九年级统考期中）已知反比例函数6y x的图像经过点(2,)A m ．(1)求m 的值；(2)当1x 且0x 时，直接写出y 的取值范围．【答案】(1)3(2)当1x 且0x 时，0y 或6y 【分析】（1）将点(2,)A m 代入反比例函数6y x即可求解；（2）根据反比例函数的图像可知，反比函数图像在第二象限和第四象限，由1x 且0x 即可求出图像位置，由此即可求解．【详解】（1）解：∵反比例函数6y x的图像经过点(2,)A m ，∴632y，∴3m ．（2）解：反比例函数6y x的图像如图所示，当1x 且0x 时，在第二象限：0y 或在第四象限：6y ．【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数图像的特点是解题的关键．【经典例题五由反比例函数值求自变量】1．（2021·山西·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，将横纵坐标相等的点称为“好点”，下列函数图像中不存在“好点”的是（）A ．2y xB ．2y xC ．1y xD ．22y x x【答案】B【分析】根据“好点”的概念：当x =y 时，对应的方程有解进行判断即可．【详解】解：A 、当x =y =0时，满足y =2x ，（0，0）为“好点”，该选项不符合题意；B 、不存在横纵坐标相等的“好点”，该选项符合题意；C 、当x =y =1或x =y =﹣1时，满足1y x，（1，1）和（﹣1，﹣1）是“好点”，该选项不符合题意；D 、当x =y =0或x =y =2时，满足22y x x ，（0，0）和（2，2）为“好点”，不符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答的关键是熟悉每个函数的图象与性质．2．（2020·四川·统考中考真题）已知函数1(2)2(2)x x y x x，当函数值为3时，自变量x 的值为（）A ．﹣2B ．﹣23C ．﹣2或﹣23D ．﹣2或﹣32【答案】A【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．【详解】解：若x ＜2，当y =3时，﹣x +1=3，解得：x =﹣2；若x ≥2，当y =3时，﹣2x=3，解得：x =﹣23，不合题意舍去；∴x =﹣2，故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的图象上点的坐标特征；根据分段函数进行分段求解是解题的关键3．（2021上·山西·九年级山西实验中学校考阶段练习）观查反比例函数2y x的图象，当2y 时，x 的取值范围是．【答案】x ＜﹣1或x ＞0/x ＞0或x ＜-1【分析】利用函数值找到分界点（-1，-2），根据反比例函数的图象和性质与直线y=-2的位置关系解答即可．【详解】解：∵k ＝2＞0，反比例函数图像位于一三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小，∴y =-2时，22x，解得x =-1，∴当y ＞-2时x ＜﹣1或x ＞0，故答案为x ＜﹣1或x ＞0．【点睛】本题重点考查学生对反比例函数图像和性质的理解，掌握反比例函数的图象和性质，以及利用反比例函数与直线y=-2的交点求不等式解集是解题的关键．4．（2021上·九年级课时练习）考察函数2y x的图象，当2x 时，y ；当<2x 时，y 的取值范围是；当1y 时，x 的取值范围是．【答案】110y <2x 或0x 【分析】把2x 代入反比例函数解析式求解即可；根据2y x得到2x y ，再根据<2x 求解即可；（3）根据2y x得到2x y ，再根据1y 求解即可．【详解】解：∵2y x，∴把2x 代入反比例函数解析式得：212y ∵2y x，<2x ∴2x y，0y ∵<2x ，∴22y，解得y ＞-1∴10y ，∵2y x，1y ∴2x y ，x ＞-2，即21x，解得x ≤-2∵当x ＞0时，y ＞0∴当y ＞-1时，<2x 或0x ．【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质、求反比例函数函数值的范围等知识点，熟练掌握并运用相关知识成为解答本题的关键．5．（2020下·广东广州·九年级校考阶段练习）已知22211211a a Q a a a(1)化简Q ．(2)若点 ,Aa a 在反比例函数4y x的图象上，求Q 的值．【答案】(1)2a 1(2)当2a 时，2Q ，当2a 时，23Q ．【分析】（1）先计算括号内的分式的加法，再把除法化为乘法，再约分即可；（2）根据反比例函数的性质先求解a 的值，再代入2a 1进行计算即可．【详解】（1）解：22211211a a Q a a a2222211111aa a a a a212111a a aa a a2211aa aa21a；（2）∵点 ,A a a 在反比例函数4y x的图象上，∴24a ，解得：2a ，当2a 时，原式2221，当2a 时，原式22213．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，反比例函数的性质，掌握分式的混合运算的运算顺序与反比例函数的性质是解本题的关键．【重难点训练】1．（2023上·山东东营·九年级校联考阶段练习）下列函数：①2y x ，②3y x，③1y x ，④21y x =+，⑤11xy ，⑥k y x ，⑦25y x ，⑧1yx．其中y 是x 的反比例函数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据反比例的三种形式判断即可．【详解】解：反比例的三种形式分别为：(0)ky k x，()0xy k k ，1(0)y kx k ．①中x 的次数是1，是一次函数，不是反比例函数；②，③是反比例函数；④中分母是1x ，故不是反比例函数；⑤是反比例函数；⑥中没有0k ，故不是反比例函数；⑦分母是2x ，故不是反比例函数；⑧中x 的次数是1，是一次函数，不是反比例函数．故有三个是反比例函数．故选C ．【点睛】本题主要考查反比例的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．2．（2022上·湖南娄底·九年级期中）现有A 、B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6).用小莉掷A 立方体朝上的数字为x 、小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点 ,P x y ，那么他们各掷一次所确定的点P 落在双曲线6y x上的概率为（）A ．19B ．23C ．118D ．16【答案】A【分析】点P 若落在6y x上，则6xy ，可采用列表法确定所有可能情况及满足要求的情况，求得概率．【详解】解：表格列示所有投掷情况如下，小明小莉12345611,11,21,31,41,51,622,12,22,32,42,52,633,13,23,33,43,53,644,14,24,34,44,54,655,15,25,35,45,55,666,16,26,36,46,56,6点P 若落在6y x上，则6xy ．如上表，两人掷的组合情况共有6636 种，其中满足要求的有4种：2,3；3,2；1,6；6,1，故概率为41369；故选：A【点睛】本题考查列举法求概率、反比例函数解析式；运用表格列示所有可能的情况是解题的关键．3．（2022上·广西贵港·九年级统考期中）如图，已知点 1,6A 在双曲线 0ky k x上，动点P 在y 轴正半轴上，将点A 绕点P 逆时针旋转90°，点A 的对应点为B ，若点B 恰好落在双曲线上，则点P 的坐标为()A ． 0,3B ． 3,0或 4,0C ． 0,2或 0,6D ． 0,3或0,4【答案】D【分析】先把 1,6A 代入反比例函数 0ky k x求出k 的值，分别过A 、B 两点作x 轴的垂线AC ，BD ，由旋转的性质证明APC PBD ≌，再设 0,P m ，即可得出B 的坐标，由双曲线上的点横坐标与纵坐标的积即相等，列方程求m 的值，确定P 点坐标．【详解】解：分别过A 、B 两点作AC y 轴，BD y 轴，垂足为C 、D ，∵ 1,6A 是双曲线 0ky k x上一点，6k ，反比例函数的解析式为6y x，90APB ∵，90APC BPD ，又90APC PAC ，PAC BPD ，在APC 和PBD 中，90PAC BPD ACP PDB AP PB， AAS APC PBD ≌，CP BD ，1AC PD ，设 0,P m ，OP m ,6PC m , 6,1B m m ，∵点B 在双曲线上，616m m，解得3m 或4m ， 0,3P 或 0,4．故选：D ．【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数图象的性质是解答此题的关键．4．（2022上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，点P 在y 轴正半轴上，⊙P 交x 轴于A ，B 两点，连接BP 并延长交⊙P 于C ，且⊙P 的半径为5，AB =4．若函数 0ky x x的图像过C 点，则k 的值是（）A ．4B ．4C ．25D ．4【答案】B【分析】连接AC ，由圆周角定理可知90CAB ，AC AB ，在Rt ACB 中由勾股定理可计算AC 的长；由垂径定理可知12OA AB，进而确定点C 的坐标，最后将点C 坐标代入 0ky x x 即可计算出k 的值．【详解】如图，连接AC∵CB 是直径，225CB BP 由圆周角定理可知90CAB 在Rt CAB △中，由勾股定理可得：22222542AC CB AB，y ∵轴是P 直径所在的直线，且AB y 轴，由垂径定理可得：122OA ABAB AC∵ 点C 的横坐标2C x OA ，纵坐标2C y AC 2,2C 将 2,2C 代入 0ky x x，解得：4k 故选：B ．【点睛】本题考查了在圆的背景下用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握垂径定理和圆周角定理并能使用数形结合思想解题，是本题的解题关键．5．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数3y x的图象经过 33a m b m ，，，两点，则代数式2227aba b ab的值是（）A ．23B ．23C ．2D ．2【答案】C【分析】根据题意得到333m a，3m b ，从而得到113 a b ，进一步得到3a b ab ，代入变形后的代数式即可求得．【详解】解：∵反比例函数3y x的图象经过33a m b m ，，，两点，333m a，3m b ，∴3333a b ，113a b，3b aab，3a b ab ，22222767ab aba b ab ab ab，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键．6．（2023下·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知实数x 、y 满足338x y ，当1x 时，y 的取值范围是．【答案】20y 【分析】由338x y 可得出2xy ，结合x 的取值范围，即可求出y 的取值范围．【详解】解：333()8x y xy ∵，2xy ，2y x．又1x Q ，20y ．故答案为：20y ．【点睛】本题考查了反比例函数，立方根、幂的乘方与积的乘方以及实数大小比较，牢记()n n n ab a b 是解题的关键．7．（2023下·江苏·八年级期末）当m 时，函数 2212mm y m m x 是反比例函数．【答案】1【分析】根据反比例函数定义列出代数式求解即可得到答案．【详解】解：∵ 2212mm y m m x 是反比例函数，∴221120m m m m，解得1m ，故答案为：1．【点睛】本题考查反比例函数定义、解方程及不等式，熟练掌握反比例函数定义，掌握因式分解解方程及不等式是解决问题的关键．8．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，点A 在反比例函数(0)ky k x的图象上，过点A 作y 轴的平行线l ．已知点A 坐标为 2,1，结合函数图象可知，当2x 时，y 的取值范围是．【答案】0y 或1y 【分析】根据题意，求对应直线l 左侧图象函数值的取值范围．【详解】2x 时，对应函数图象在直线l 左侧，两部分，0y 或1y 故答案为：0y 或1y 【点睛】本题考查反比例函数的图象，确定自变量取值范围对应的函数图象部分是解题的关键．9．（2023·山东临沂·统考中考真题）小明利用学习函数获得的经验研究函数22y x x的性质，得到如下结论：①当1x 时，x 越小，函数值越小；②当10x 时，x 越大，函数值越小；③当01x 时，x 越小，函数值越大；④当1x 时，x 越大，函数值越大．其中正确的是（只填写序号）．【答案】②③④【分析】列表，描点、连线，画出图象，根据图象回答即可．【详解】解：列表，x L 2.5 2 1 0.5 0.512L yL5.45313.754.2535L描点、连线，图象如下，根据图象知：①当1x 时，x 越小，函数值越大，错误；②当10x 时，x 越大，函数值越小，正确；③当01x 时，x 越小，函数值越大，正确；④当1x 时，x 越大，函数值越大，正确．故答案为：②③④．【点睛】本题考查二次函数、反比例函数与不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会画出函数图象，利用图象解决问题，属于中考常考题型．10．（2023·四川乐山·统考中考真题）定义：若x ，y 满足224,4x y t y x t 且x y （t 为常数），则称点(,)M x y 为“和谐点”．（1）若(3,)P m 是“和谐点”，则m ．（2）若双曲线(31)ky x x存在“和谐点”，则k 的取值范围为．【答案】734k 【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到224,433m t m t ，整理得到24210m m ，解得2137,m m （不合题意，舍去），即可得到答案；（2）设点 ,a b 为双曲线(31)ky x x上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到 40a b a b ，由a b ¹得到40a b ，则4b a ，由(31)k b a a进一步得到 224k a ，且31a ，根据二次函数的图象和性质即可得到k 的取值范围．【详解】解：（1）若(3,)P m 是“和谐点”，则224,433m t m t ，则22,3412m t m t ，∴223124m m ，即24210m m ，解得2137,m m （不合题意，舍去），∴7m ，故答案为：7（2）设点 ,a b 为双曲线(31)ky x x上的“和谐点”，∴224,4b t b a t a ，(31)kb a a，即2244a a b b ，∴ 40a b a b a b ，则 40a b a b ，∵a b ¹，∴40a b ，即4b a ，∵(31)kb a a，∴ 224424k ab a a a a a ，且31a ，对抛物线 224k a 来说，∵10 ，∴开口向下，当1a 时， 21243k ，当3a 时， 23243k ，∵对称轴为2a ，31a ，∴当2a 时，k 取最大值为4，∴k 的取值范围为34k ，故答案为：34k 【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识，读懂题意，熟练掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键．11．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）已知：122y y y ，并且1y 与x 成正比例，2y 与(2)x 成反比例，且当2x 时，7y ，当3x 时，13y ，求y 与x 之间的函数解析式．【答案】432y x x【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．设11y k x ，222k y x则1222x x k k y ，然后利用待定系数法即可求得；【详解】∵1y 与x 成正比例，2y 与(2)x 成反比例，∴设11y k x ，222k y x，∴1212222k k y y x y x，∵当2x 时，7y ，当3x 时，13y ，∴212122722231332k k k k，解得1232k k ，∴y 与x 之间的函数解析式为432y x x．12．（2023上·安徽合肥·九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如 1,1 ， 2023,2023 都是“黎点”．(1)求双曲线9y x上的“黎点”；(2)若抛物线27y ax x c （a 、c 为常数）上有且只有一个“黎点”，当1a 时，求c 的取值范围．【答案】(1) 3,3 或 3,3 ；(2)09c 【分析】（1）设双曲线9y x上的“黎点”为 ,m m ，构建方程求解即可；（2）抛物线27y ax x c （a 、c 为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程 270ax x c x a 有且只有一个解，3640ac ，可得结论．【详解】（1）解：设双曲线9y x上的“黎点”为 ,m m ，则有9m m，解得3m ，∴9y x上的“黎点”为 3,3 ， 3,3 ．（2）解：∵抛物线27y ax x c 上有且只有一个“黎点”，∴方程 270ax x c x a 有且只有一个解，即260ax x c ，3640ac ，9ac ，∴9a c．∵1a ，∴09c ．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．13．（2023上·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）已知ABC 的三个顶点为 1,1A 、 1,3B 、 3,3C ，将ABC 向右平移m （0m ）个单位后成111A B C △，此时111A B C △某一边的中点恰好落在反比例函数3y x的图像上，求m 的值．【答案】m 的值为4或0.5【分析】求出各边的中点坐标，将其纵坐标代入3y x，求出平移后的横坐标，进而可求出m 的值．【详解】解①∵点A 的坐标为 1,1 ，点B 的坐标为 1,3 ，∴AB 中点坐标为 1,1 ．在3y x中，当1y 时，3x ，故 314m ；②∵点A 的坐标为 1,1 ，点C 的坐标为 3,3 ，∴AC 中点坐标为 2,2 ，在3y x 中，当=2y 时， 1.5x ，故 1.520.5m ；③∵点B 的坐标为 1,3 ，点C 的坐标为 3,3 ，∴BC 中点坐标为 2,0 ，。

中考数学必考考点专题13反比例函数含解析

专题13 反比例函数1．反比例函数：形如y＝xk（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

其他形式xy=k、1-=kxy。

2．图像：反比例函数的图像属于双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。

对称中心是：原点。

它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3．性质:（1）当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；（2）当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

5．反比例函数解析式的确定由于在反比例函数xky=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

【例题1】（2019山东枣庄）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x 轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（）A．1 B．C．D．2【答案】A专题知识回顾专题典型题考法及解析【解析】根据题意可以求得OA和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本题得以解决．∵等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，AB＝1，∴∠BAC＝∠BAO＝45°，∴OA＝OB＝，AC＝，∴点C的坐标为（，），∵点C在函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝＝1故选：A．的图【例题2】（2019湖南郴州）如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y=4x象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为．【答案】8【解析】∵A、C是两函数图象的交点，∴A、C关于原点对称，∵CD⊥x轴，AB⊥x轴，∴OA＝OC，OB＝OD，∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD，的图象上，又∵反比例函数y=4x∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD=1×4＝2，2∴S四边形ABCD＝4S△AOB＝4×2＝8，故答案为：8．【例题3】（2019江苏镇江）如图，点A(2，n)和点D是反比例函数y＝mx（m＞0，x＞0）图像上的两点，一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DE ⊥x轴，垂足为E，连接OA、OD．已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB﹕S△ODE＝3﹕4．（1）S△OAB＝________，m＝________；（2）已知点P(6，0)在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标．【答案】见解析。

九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题(附答案解析)

九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题一、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．答案：（1）C；（2）A．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（1）A；（2）D；（3）B．注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B；（2）4，8，（，）；（3）依题意，且，解得．（4）①依题意，解得②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．（5）①，，；②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x 轴，△ABC的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x 轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．第（5）题图第（6）题图（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．①求B点坐标和k的值；②当时，求点P的坐标；③写出S关于m的函数关系式．答案：（1）D；（2）C；（3）6；（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（5）1．（6）①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），因此面积为4．（7）①B（3，3），；②时，E（6，0），；③．6．综合应用（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．①求反比例函数和一次函数的解析式；②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．①求点A、B、D的坐标；②求一次函数和反比例函数的解析式．（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；②双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（5）不解方程，判断下列方程解的个数．①；②．（2）①反比例函数为，一次函数为；②范围是或．（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；②一次函数为，反比例函数为．（4）①反比例函数为，；②存在（2，2）．（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．。

反比例函数知识点归纳和典型例题

反比例函数知识点归纳和典型例题反比例函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的建模和解决中起着重要作用。

本文将对反比例函数的知识点进行归纳，并给出一些典型例题进行解析。

一、定义和性质反比例函数又称为倒数函数，其定义如下：设x和y是实数，且y ≠ 0，若存在一个实数k，使得y = k/x，那么称y是x的反比例函数。

反比例函数的图象通常是一个拋物线的两支或一支，不包括原点。

其一般形式为y = k/x，其中k为常数。

反比例函数具有以下重要性质：1. 定义域：定义除数x不能为0，所以反比例函数的定义域为x ≠ 0。

2. 值域：值域取决于常数k的正负，当k > 0时，值域为(0, +∞)，当k < 0时，值域为(-∞, 0)。

3. 对称性：反比例函数关于两个坐标轴都具有对称性。

二、图象和特殊情况反比例函数的图象通常是一个拋物线的两支或一支，不包括原点。

当常数k > 0时，反比例函数的图象在第一象限和第三象限，当常数k< 0时，反比例函数的图象在第二象限和第四象限。

对于一些特殊情况，我们有以下例子：1. 当k > 0时，反比例函数的图象经过点(1, k)，且在x轴和y轴上有渐进线。

2. 当k < 0时，反比例函数的图象经过点(-1, k)，且在x轴和y轴上有渐进线。

三、典型例题解析下面通过几个典型例题来进一步理解反比例函数的应用。

例题1：已知y和x成反比例关系，且当x = 2时，y = 5，求当x =4时，y的值。

解析：根据反比例函数的定义，有y = k/x。

代入已知条件x = 2时，y = 5，得到5 = k/2，解得k = 10。

因此，当x = 4时，y = 10/4 = 2.5。

例题2：如果一根细木杆以每分钟1.5cm的速度缩短，那么多少分钟后长度为60cm？解析：设时间为t分钟，根据题意可以列出反比例函数y = k/x。

已知当t = 0时，y = 100，即杆子的初始长度是100cm。

反比例函数知识归纳+真题解析

反比例函数知识归纳＋真题解析【知识归纳】（一）反比例函数的概念1．kyx=（k≠0）可以写成的形式，注意自变量x的指数为-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．kyx=（k≠0）也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数kyx=的自变量，故函数图象与无交点．（二）反比例函数的图象及性质在用描点法画反比例函数kyx=的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．1．函数解析式：（k≠0）2．自变量的取值范围：.3．图象:（1）图象的形状：．|k|越大，图象的弯曲度，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，当k＞0时，图象的两支分别位于象限；在每个象限内，y随x的增大而；当k＜0时，图象的两支分别位于象限；在每个象限内，y随x的增大而．（3）对称性：1.图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则在双曲线的另一支上．2.图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线kyx=上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是．如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC ⊥PA 的延长线于C ，则有三角形PQC 的面积为．图1 图2【知识归纳答案】（一）反比例函数的概念1．1y kx -=（k ≠0）为-1， k ≠0这一2． xy=k3． x ≠0，故函数图象与x 轴、y 轴无交点．（二）反比例函数的图象及性质在用描点法画反比例函数k y x =的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原点对称）．1．函数解析式：k y x=（k ≠0） 2．自变量的取值范围：x ≠0.3．图象:（1）图象的形状：双曲线．|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：一、三象限；减小；二、四象限；增大．（3）对称性：1.图（-a ，-b ）2.图（b ，a ）和（-b ，-a ）在双4．k的几何意义则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是12|k|）．；有三角形PQC的面积为2|k|．真题解析一．选择题（共6小题）1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则正比例函数y=（b+c）x与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】G2：反比例函数的图象；F4：正比例函数的图象；H2：二次函数的图象．【分析】先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数y=与一次函数y=（b+c）x的图象经过的象限即可．【解答】解：由二次函数图象可知a＞0，c＞0，由对称轴x=﹣＞0，可知b＜0，当x=1时，a+b+c＜0，即b+c＜0，所以正比例函数y=（b+c）x经过二四象限，反比例函数y=图象经过一三象限，故选C．2．如图，若抛物线y=﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y=（x＞0）的图象是（）A．B．C．D．【考点】G2：反比例函数的图象；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】找到函数图象与x轴、y轴的交点，得出k=4，即可得出答案．【解答】解：抛物线y=﹣x2+3，当y=0时，x=±；当x=0时，y=3，则抛物线y=﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为（﹣1，1），（0，1），（0，2），（1，1）；共有4个，∴k=4；故选：D．3．下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（）①函数y=x；②函数y=x2；③函数y=．A．①②B．②③C．①③D．都不是【考点】G2：反比例函数的图象；F4：正比例函数的图象；H2：二次函数的图象；R5：中心对称图形．【分析】函数①③是中心对称图形，对称中心是原点．【解答】解：根据中心对称图形的定义可知函数①③是中心对称图形．故选C4．如图，在直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（）A．2 B．2 C．4 D．4【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】设A（a，），可求出D（2a，），由于对角线垂直，计算对角线乘积的一半即可．【解答】解：设A（a，），可求出D（2a，），∵AB⊥CD，=AB•CD=×2a×=4，∴S四边形ACBD故选C．5．如图，已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则的值为（）A ．B ．2C ．D ．4【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】过点A 作AM ⊥y 轴于点M ，过点B 作BN ⊥y 轴于点N ，利用相似三角形的判定定理得出△AOM ∽△OBN ，再由反比例函数系数k 的几何意义得出S △AOM ：S △BON =1：4，进而可得出结论．【解答】解：过点A 作AM ⊥y 轴于点M ，过点B 作BN ⊥y 轴于点N ， ∴∠AMO=∠BNO=90°，∴∠AOM +∠OAM=90°，∵OA ⊥OB ，∴∠AOM +∠BON=90°，∴∠OAM=∠BON ，∴△AOM ∽△OBN ，∵点A ，B 分别在反比例函数y=（x ＞0），y=﹣（x ＞0）的图象上， ∴S △AOM ：S △BON =1：4，∴AO ：BO=1：2，∴OB ：OA=2．故选B ．6．如图，A ，B 两点在反比例函数y=的图象上，C ，D 两点在反比例函数y=的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1﹣k2的值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．=S△BOF=k1，S△COE=S△DOF=﹣k2，结合S 【分析】由反比例函数的性质可知S△AOE=S△AOE+S△COE和S△BOD=S△DOF+S△BOF可求得k1﹣k2的值．△AOC【解答】解：连接OA、OC、OD、OB，如图：=S△BOF=|k1|=k1，S△COE=S△DOF=|k2|=﹣k2，由反比例函数的性质可知S△AOE=S△AOE+S△COE，∵S△AOC∴AC•OE=×2OE=OE=（k1﹣k2）…①，=S△DOF+S△BOF，∵S△BOD∴BD•OF=×（EF﹣OE）=×（3﹣OE）=﹣OE=（k1﹣k2）…②，由①②两式解得OE=1，则k1﹣k2=2．故选D．二．填空题（共6小题）7．已知反比例函数y=，当x＞3时，y的取值范围是0＜y＜2．【考点】G4：反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数的性质可以得到反比例函数y=，当x＞3时，y的取值范围．【解答】解：∵y=，6＞0，∴当x＞0时，y随x的增大而减小，当x=3时，y=2，∴当x＞3时，y的取值范围是0＜y＜2，故答案为：0＜y＜2．8．函数y1=x与y2=的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是①③．【考点】G4：反比例函数的性质；F6：正比例函数的性质；R7：坐标与图形变化﹣旋转．【分析】结合图形判断各个选项是否正确即可．【解答】解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；③结合图象的2个分支可以看出，当x=2时，y==4，即在第一象限内，最低点的坐标为（2，4），故正确；∴正确的有①③．故答案为：①③．9．请写出一个过点（1，1），且与x轴无交点的函数解析式：y=（答案不唯一）．【考点】G4：反比例函数的性质；F5：一次函数的性质；F6：正比例函数的性质；H3：二次函数的性质．【分析】反比例函数的图象与坐标轴无交点．【解答】解：反比例函数图象与坐标轴无交点，且反比例函数系数k=1×1=1，所以反比例函数y=（答案不唯一）符合题意．故答案可以是：y=（答案不唯一）．10．如图，反比例函数y=的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC 的面积为4．【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．【分析】可设D点坐标为（x，y），则可表示出B点坐标，从而可表示出矩形OABC 的面积，利用xy=2可求得答案．【解答】解：设D（x，y），∵反比例函数y=的图象经过点D，∴xy=2，∵D为AB的中点，∴B（x，2y），∴OA=x，OC=2y，=OA•OC=x•2y=2xy=2×2=4，∴S矩形OABC故答案为：4．11．已知A，B两点分别在反比例函数y=（m≠0）和y=（m≠）的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则m的值为1．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】设A（a，b），则B（a，﹣b），将它们的坐标分别代入各自所在的函数解析式，通过方程来求m的值．【解答】解：设A（a，b），则B（a，﹣b），依题意得：，所以=0，即5m﹣5=0，解得m=1．故答案是：1．12．如图，直线y=﹣x﹣与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D．若AD=AC，则点D的坐标为（﹣3，2）．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】过C作CE⊥x轴于E，求得A（﹣3，0），B（0，﹣），解直角三角形得到∠OAB=30°，求得∠CAE=30°，设D（﹣3，），得到AD=，AC=，于是得到C（﹣3+，﹣），列方程即可得到结论．【解答】解：过C作CE⊥x轴于E，∵直线y=﹣x﹣与x，y轴分别交于点A，B，∴A（﹣3，0），B（0，﹣），∴tan∠OAB==，∴∠OAB=30°，∴∠CAE=30°，设D（﹣3，），∵AD⊥x轴，∴AD=，∵AD=AC，∴AC=，∴CE=，AE=，∴C（﹣3+，﹣），∵C在反比例函数y=的图象上，∴（﹣3+）•（﹣）=k，∴k=﹣6，∴D（﹣3，2），故答案为：（﹣3，2）．三．解答题（共7小题）13．【探究函数y=x+的图象与性质】（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是x≠0；（2）下列四个函数图象中函数y=x+的图象大致是C；（3）对于函数y=x+，求当x＞0时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．解：∵x＞0∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+ 4∵（﹣）2≥0∴y≥4．[拓展运用]（4）若函数y=，则y的取值范围y≥1或y≤﹣11．【考点】G4：反比例函数的性质；F5：一次函数的性质；H3：二次函数的性质．【分析】根据反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是x≠0；（2）函数y=x+的图象大致是C；（3）解：∵x＞0∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+4∵（﹣）2≥0∴y≥4．（4）①当x＞0，y==x+﹣5═（）2+（）2﹣5=（﹣）2+1∵（﹣）2≥0，∴y≥1．②x＜0，y==x+﹣5═﹣[（）2+（）2+5]=﹣（﹣）2﹣11=∵﹣（﹣）2≤0，∴y≤﹣11．故答案为：x≠0，C，4，4，y≥1或y≤﹣11，14．已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点B（3，2），点B与点C关于原点O对称，BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点D．（1）求这个反比函数的解析式；（2）求△ACD的面积．【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；R7：坐标与图形变化﹣旋转．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据三角形的面积公式，可得答案．【解答】解：（1）将B点坐标代入函数解析式，得=2，解得k=6，反比例函数的解析式为y=；（2）由B（3，2），点B与点C关于原点O对称，得C（﹣3，﹣2）．由BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点D，得A（3，0），D（﹣3，0）．S△ACD=AD•CD= [3﹣（﹣3）]×|﹣2|=6．15．在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；FA：待定系数法求一次函数解析式；H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，于是得到结论；（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；（3）设点A（p，q），则，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论．【解答】解：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数（k ≠0）的图象上；（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．则有解得，∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；（3）设点A（p，q），则，∵直线AB经过点P（，），由（2）得，∴p+q=1，∴，解并检验得：p=2或p=﹣1，∴q=﹣1或q=2，∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，∴解得，∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1．16．已知反比例函数y=（k为常数）．（1）若点P1（，y1）和点P2（﹣，y2）是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性质比较y1和y2的大小；（2）设点P（m，n）（m＞0）是其图象上的一点，过点P作PM⊥x轴于点M．若tan∠POM=2，PO=（O为坐标原点），求k的值，并直接写出不等式kx+＞0的解集．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；T7：解直角三角形．【分析】（1）先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据P1、P2两点的横坐标判断出两点所在的象限，故可得出结论．（2）根据题意求得﹣n=2m，根据勾股定理求得m=1，n=﹣2，得到P（1，﹣2），即可得到﹣k2﹣1=﹣2，即可求得k的值，然后分两种情况借助反比例函数和正比例函数图象即可求得．【解答】解：（1）∵﹣k2﹣1＜0，∴反比例函数y=在每一个象限內y随x的增大而增大，∵﹣＜＜0，∴y1＞y2；（2）点P（m，n）在反比例函数y=的图象上，m＞0，∴n＜0，∴OM=m，PM=﹣n，∵tan∠POM=2，∴==2，∴﹣n=2m，∵PO=，∴m2+（﹣n）2=5，∴m=1，n=﹣2，∴P（1，﹣2），∴﹣k2﹣1=﹣2，解得k=±1，①当k=﹣1时，则不等式kx+＞0的解集为：x＜﹣或0＜x＜；②当k=1时，则不等式kx+＞0的解集为：x＞0．17．已知函数y=kx+b，y=，b、k为整数且|bk|=1．（1）讨论b，k的取值．（2）分别画出两种函数的所有图象．（不需列表）（3）求y=kx+b与y=的交点个数．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）根据整数的定义，以及绝对值的性质分类讨论即可求解；（2）根据一次函数与反比例函数的作法画出图形即可求解；（3）根据函数图象分两种情况：当k=1时；当k=﹣1时；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）∵b、k为整数且|bk|=1，∴b=1，k=1；b=1，k=﹣1；b=﹣1，k=1；b=﹣1，k=﹣1；（2）如图所示：（3）当k=1时，y=kx+b与y=的交点个数为4个；当k=﹣1时，y=kx+b与y=的交点个数为4个．18．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）交于A（2，4），B（a，1），与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）直接写出一次函数y=kx+b的表达式和反比例函数y=（x＞0）的表达式；（2）求证：AD=BC．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）先确定出反比例函数的解析式，进而求出点B的坐标，最后用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）由（1）知，直线AB的解析式，进而求出C，D坐标，构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y=中，得，m=2×4=8，∴反比例函数的解析式为y=，将点B（a，1）代入y=中，得，a=8，∴B（8，1），将点A（2，4），B（8，1）代入y=kx+b中，得，，∴，∴一次函数解析式为y=﹣x+5；（2）∵直线AB的解析式为y=﹣x+5，∴C（10，0），D（0，5），如图，过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，∴E（0，4），F（8，0），∴AE=2，DE=1，BF=1，CF=2，在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AD==，在Rt△BCF中，根据勾股定理得，BC==，∴AD=BC．19．某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：（1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；（2）按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元．①预计生产成本每件比2016年降低多少万元？②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）．【考点】GA：反比例函数的应用．【分析】（1）根据实际题意和数据特点分情况求解，根据排除法可知其为反比例函数，利用待定系数法求解即可；（2）①直接把x=5万元代入函数解析式即可求解；②直接把y=3.2万元代入函数解析式即可求解；【解答】解：（1）设其为一次函数，解析式为y=kx+b，当x=2.5时，y=7.2；当x=3时，y=6，∴，解得k=﹣2.4，b=13.2∴一次函数解析式为y=﹣2.4x+13.2把x=4时，y=4.5代入此函数解析式，左边≠右边．∴其不是一次函数．同理．其也不是二次函数．设其为反比例函数．解析式为y=．当x=2.5时，y=7.2，可得：7.2=，解得k=18∴反比例函数是y=．验证：当x=3时，y==6，符合反比例函数．同理可验证x=4时，y=4.5，x=4.5时，y=4成立．可用反比例函数y=表示其变化规律．（2）①当x=5万元时，y=3.6．4﹣3.6=0.4（万元），∴生产成本每件比2016年降低0.4万元．②当y=3.2万元时，3.2=，∴x=5.625，∴5.625﹣4.5=1.125≈1.13（万元）∴还约需投入1.13万元．。

初三数学反比例函数知识点及举例

反比例函数知识梳理知识点l. 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念难点：理解反比例函数的概念一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xk y =或1（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

反比例函数的概念需注意以下几点：（1）k 是常数，且k 不为零；（2）xk 中分母x 的指数为1，如22y x =不是反比例函数。

（3）自变量x 的取值范围是0x ≠一切实数.（4）自变量y 的取值范围是0y ≠一切实数。

知识点2. 反比例函数的图象及性质重点：掌握反比例函数的图象及性质难点：反比例函数的图象及性质的运用反比例函数xk y =的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。

它们关于原点对称、反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。

画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是0x ≠，因此不能把两个分支连接起来。

（3）由于在反比例函数中，x 和y 的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势。

反比例函数的性质xky =)0k (≠的变形形式为k xy =（常数）所以：（1）其图象的位置是：当0k >时，x 、y 同号，图象在第一、三象限；当0k <时，x 、y 异号，图象在第二、四象限。

（2）若点()在反比例函数xk y =的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。

（3）当0k >时，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大；知识点3. 反比例函数解析式的确定。

重点：掌握反比例函数解析式的确定难点：由条件来确定反比例函数解析式（1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式xk y =中，只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入xk y =中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式。

反比例函数(含答案解析)

第11讲反比例函数知识梳理一、反比例函数的概念一般地，形如________________(k 是常数，k ≠0)的函数叫做反比例函数．1．反比例函数y ＝k x 中的kx是一个分式，所以自变量________，函数与x 轴、y 轴无交点．2．反比例函数解析式可以写成xy ＝k (k ≠0)，它表明在反比例函数中自变量x 与其对应函数值y 之积，总等于已知常数k .二、反比例函数的图象与性质 1．图象反比例函数的图象是双曲线． 2．性质(1)当k ＞0时，双曲线的两支分别在________象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而________；当k ＜0时，双曲线的两支分别在________象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而________．注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．(2)双曲线是轴对称图形，直线y ＝x 或y ＝－x 是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．三、反比例函数的应用1．利用待定系数法确定反比例函数解析式由于反比例函数y ＝kx中只有一个待定系数，因此只要一对对应的x ，y 值，或已知其图象上一个______的坐标即可求出k ，进而确定反比例函数的解析式．2．反比例函数的实际应用解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决．自主测试1．如图，是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝4xC ．y ＝－3xD ．y ＝12x2．已知点P (－1,4)在反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象上，则k 的值是( )A ．－14B ．14C ．4D ．－43．若点A (1，y 1)，B (2，y 2)是双曲线y ＝3x上的点，则y 1__________y 2(填“＞”“＜”或“＝”)．考点一、反比例函数的图象与性质【例1】反比例函数y ＝m －1x的图象在第一、三象限，则m 的取值范围是__________．解析：∵函数的图象在第一、三象限，∴m －1＞0，∴m ＞1. 答案：m ＞1方法总结 1．.由于双曲线自变量的取值范围是x ≠0的实数，故其性质强调在每个象限内y 随x 的变化而变化的情况．2．反比例函数图象的分布取决于k 的符号，当k ＞0时，图象在第一、三象限，当k ＜0时，图象在第二、四象限．触类旁通 1 若双曲线y ＝2k －1x的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是__________．考点二、反比例函数解析式的确定【例2】如图，直线y ＝2x 与反比例函数y ＝kx的图象在第一象限的交点为A ，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，已知OB ＝1，求点A 的坐标和这个反比例函数的解析式．解：∵AB 垂直x 轴于点B ，OB ＝1，且点A 在第一象限，∴点A 的横坐标为1.又∵直线y ＝2x 的图象经过A ，∴y ＝2x ＝2×1＝2，即点A 的坐标为(1,2)．∵y ＝k x 的图象过点A (1,2)，∴2＝k 1.∴k ＝2.∴这个反比例函数的解析式为y ＝2x.方法总结反比例函数只有一个基本量k ，故只需一个条件即可确定反比例函数．这个条件可以是图象上一点的坐标，也可以是x ，y 的一对对应值．触类旁通2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－2x 的图象与反比例函数y ＝kx的图象的一个交点为A (－1，n )．(1)求反比例函数y ＝kx的解析式；(2)若P 是坐标轴上一点，且满足P A ＝OA ，直接写出点P 的坐标．考点三、反比例函数的比例系数k 的几何意义【例3】已知点P 在函数y ＝2x(x ＞0)的图象上，P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，则矩形OAPB 的面积为__________．解析：矩形OAPB 的面积等于|xy |＝|k |＝2. 答案：2方法总结过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k |；过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S ＝12|k |.触类旁通3 一个反比例函数的图象如图所示，若A 是图象上任意一点，AM ⊥x 轴于M ，O 是原点，如果△AOM 的面积是3，那么这个反比例函数的解析式是__________．1．点(－1，y 1)，(2，y 2)，(3，y 3)均在函数y ＝6x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 1＜y 3＜y 22．对于函数y ＝6x，下列说法错误的是( )A ．它的图象分布在第一、三象限B ．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C ．当x ＞0时，y 的值随x 的增大而增大D ．当x ＜0时，y 的值随x 的增大而减小3.如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数y ＝kx的图象经过点A ，则k 的值是( )A ．2B ．－2C ．4D ．－44．如图，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝3x上，且AB ∥x 轴，点C 和点D 在x 轴上．若四边形ABCD 为矩形，则矩形ABCD 的面积为__________．5．如图，一次函数y ＝－2x ＋b (b 为常数)的图象与反比例函数y ＝kx(k 为常数，且k ≠0)的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(－1,4)．(1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式； (2)求点B 的坐标．6．据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y (毫克)与燃烧时间x (分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA 和双曲线在A 点及其右侧的部分)，根据图象所示信息，解答下列问题：(1)写出从药物释放开始，y 与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？1．某反比例函数的图象经过点(－1,6)，则下列各点中，此函数图象也经过的点是( ) A ．(－3,2) B ．(3,2) C ．(2,3) D ．(6,1)2．若函数y ＝m ＋2x的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是( )A ．m ＞－2B ．m ＜－2C ．m ＞2D ．m ＜23．对于反比例函数y ＝1x，下列说法正确的是( )A ．图象经过点(1，－1)B ．图象位于第二、四象限C ．图象是中心对称图形D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大4．已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)是反比例函数y ＝－4x的图象上的三点，且x 1＜x 2＜0，x 3＞0，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 3＜y 2＜y 15．反比例函数y ＝kx的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A (1,2)，请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P ，你选择的点P 的坐标为__________．6．在直角坐标系中，有如图所示的Rt △ABO ，AB ⊥x 轴于点B ，斜边AO ＝10，sin ∠AOB ＝35，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ，则点D 的坐标为__________．7．如图，已知点A 在反比例函数图象上，AM ⊥x 轴于点M ，且△AOM 的面积是1，则反比例函数的解析式为__________．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 分别与x 轴、y 轴交于点B ，A ，与反比例函数的图象分别交于点C ，D ，CE ⊥x 轴于点E ，tan ∠ABO ＝12，OB ＝4，OE ＝2.(1)求该反比例函数的解析式； (2)求直线AB 的解析式．。

初中数学反比例函数知识点及经典例题

反比例函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。

还可以写成2. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.⑵比例系数⑶自变量的取值为一切非零实数。

⑷函数的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法1 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）2 描点（有小到大的顺序）3 连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。

⑷反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线（）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。

4．反比例函数性质如下表：的取值图像所在象限函数的增减性一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。

7. 反比例函数的应用二、例题【例1】如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数，（）即（）又在第二，四象限内，则可以求出的值【答案】由反比例函数的定义，得：解得时函数为【例2】在反比例函数的图像上有三点，，，，，。

若则下列各式正确的是（）A． B． C． D．【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。

解法一：由题意得，，，所以选A解法二：用图像法，在直角坐标系中作出的图像描出三个点，满足观察图像直接得到选A解法三：用特殊值法【例3】如果一次函数相交于点（），那么该直线与双曲线的另一个交点为（）【解析】【例4】如图，在中，点是直线与双曲线在第一象限的交点，且，则的值是_____.图解:因为直线与双曲线过点,设点的坐标为.则有.所以.又点在第一象限,所以.所以.而已知.所以.。

中考数学复习----反比例函数之定义、图像与性质知识点总结与练习题(含答案解析)

中考数学复习----反比例函数之定义、图像与性质知识点总结与练习题（含答案解析）知识点总结1. 反比例函数的定义：形如()0≠=k xky 的函数叫做反比例函数。

有时也用k xy =或1−=kx y 表示。

2. 反比例函数的图像：反比例函数的图像是双曲线。

3. 反比例函数的性质与图像：反比例函数()0≠=k xky k 的符号0＞k0＜k所在象限一、三象限二、四象限大致图像增减性在一个支上（每一个象限内），y 随x 的增大而减小。

在一个支上（每一个象限内），y 随x 的增大而增大。

对称性图像关于原点对称练习题1．（2022•黔西南州）在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图像如图所示，则一次函数y ＝kx +2的图像经过的象限是（） A ．一、二、三 B ．一、二、四C ．一、三、四D ．二、三、四【分析】先根据反比例函数的图像位于二，四象限，可得k ＜0，由一次函数y ＝kx +2中，k ＜0，2＞0，可知它的图像经过的象限．【解答】解：由图可知：k ＜0，∴一次函数y ＝kx +2的图像经过的象限是一、二、四．故选：B ．2．（2022•上海）已知反比例函数y ＝xk（k ≠0），且在各自象限内，y 随x 的增大而增大，则下列点可能在这个函数图像上的为（） A ．（2，3）B ．（﹣2，3）C ．（3，0）D ．（﹣3，0）【分析】根据反比例函数的性质判断即可．【解答】解：因为反比例函数y ＝（k ≠0），且在各自象限内，y 随x 的增大而增大，所以k ＜0，A ．2×3＝6＞0，故本选项不符合题意；B ．﹣2×3＝﹣6＜0，故本选项符合题意；C ．3×0＝0，故本选项不符合题意；D ．﹣3×0＝0，故本选项不符合题意；故选：B ．3．（2022•广东）点（1，y 1），（2，y 2），（3，y 3），（4，y 4）在反比例函数y ＝x4图像上，则y 1，y 2，y 3，y 4中最小的是（） A ．y 1B ．y 2C ．y 3D ．y 4【分析】根据k ＞0可知增减性：在每一象限内，y 随x 的增大而减小，根据横坐标的大小关系可作判断．【解答】解：∵k ＝4＞0，∴在第一象限内，y 随x 的增大而减小，∵（1，y 1），（2，y 2），（3，y 3），（4，y 4）在反比例函数y ＝图像上，且1＜2＜3＜4， ∴y 4最小．故选：D ．4．（2022•云南）反比例函数y ＝x6的图像分别位于（） A ．第一、第三象限 B ．第一、第四象限 C ．第二、第三象限D ．第二、第四象限【分析】根据反比例函数的性质，可以得到该函数图像位于哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：反比例函数y ＝，k ＝6＞0， ∴该反比例函数图像位于第一、三象限，故选：A ．5．（2022•镇江）反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图像经过A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜0＜x 2时，y 1＞y 2，写出符合条件的k 的值（答案不唯一，写出一个即可）．【分析】先根据已知条件判断出函数图像所在的象限，再根据系数k 与函数图像的关系解答即可．【解答】解：∵反比例函数y ＝（k ≠0）的图像经过A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜0＜x 2时，y 1＞y 2，∴此反比例函数的图像在二、四象限， ∴k ＜0，∴k 可为小于0的任意实数，例如，k ＝﹣1等．故答案为：﹣1．6．（2022•福建）已知反比例函数y ＝xk的图像分别位于第二、第四象限，则实数k 的值可以是．（只需写出一个符合条件的实数）【分析】根据图像位于第二、四象限，易知k ＜0，写一个负数即可．【解答】解：∵该反比例图像位于第二、四象限， ∴k ＜0，∴k 取值不唯一，可取﹣3，故答案为：﹣3（答案不唯一）．7．（2022•成都）在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数y ＝xk 2−的图像位于第二、四象限，则k 的取值范围是．【分析】根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案．【解答】解：∵反比例函数y ＝的图像位于第二、四象限，∴k ﹣2＜0，解得k ＜2，故答案为：k ＜2．8．（2022•襄阳）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像如图所示，则一次函数y ＝bx +c 和反比例函数y ＝xa在同一平面直角坐标系中的图像可能是（） A ． B ．C ．D ．【分析】根据二次函数图像开口向下得到a ＜0，再根据对称轴确定出b ，根据与y 轴的交点确定出c ＜0，然后确定出一次函数图像与反比例函数图像的情况，即可得解．【解答】解：∵二次函数图像开口方向向下， ∴a ＜0，∵对称轴为直线x ＝﹣＞0，∴b ＞0，∵与y 轴的负半轴相交， ∴c ＜0，∴y ＝bx +c 的图像经过第一、三、四象限，反比例函数y ＝图像在第二四象限，只有D 选项图像符合．故选：D ．9．（2022•菏泽）根据如图所示的二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像，判断反比例函数y ＝xa与一次函数y ＝bx +c 的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【分析】先根据二次函数的图像，确定a 、b 、c 的符号，再根据a 、b 、c 的符号判断反比例函数y ＝与一次函数y ＝bx +c 的图像经过的象限即可．【解答】解：由二次函数图像可知a ＞0，c ＜0，由对称轴x ＝﹣＞0，可知b ＜0，所以反比例函数y ＝的图像在一、三象限，一次函数y ＝bx +c 图像经过二、三、四象限．故选：A ．10．（2022•安顺）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图像如图所示，则一次函数y ＝ax +b 和反比例函数y ＝xc（c ≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（） A ． B ．C ．D ．【分析】直接利用二次函数图像经过的象限得出a ，b ，c 的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【解答】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像开口向上， ∴a ＞0，∵该抛物线对称轴位于y 轴的右侧， ∴a 、b 异号，即b ＜0． ∵抛物线交y 轴的负半轴，∴c ＜0，∴一次函数y ＝ax +b 的图像经过第一、三、四象限，反比例函数y ＝（c ≠0）在二、四象限．故选：A ．11．（2022•西藏）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax +b 与y ＝axb（其中a ，b 是常数，ab ≠0）的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据a 、b 的取值，分别判断出两个函数图像所过的象限，要注意分类讨论．【解答】解：若a ＞0，b ＞0，则y ＝ax +b 经过一、二、三象限，反比例函数y ＝（ab ≠0）位于一、三象限，若a ＞0，b ＜0，则y ＝ax +b 经过一、三、四象限，反比例函数数y ＝（ab ≠0）位于二、四象限，若a ＜0，b ＞0，则y ＝ax +b 经过一、二、四象限，反比例函数y ＝（ab ≠0）位于二、四象限，若a ＜0，b ＜0，则y ＝ax +b 经过二、三、四象限，反比例函数y ＝（ab ≠0）位于一、三象限，故选：A ．12．（2022•张家界）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝kx +1（k ≠0）和y ＝xk（k ≠0）的图像大致是（）A．B．C．D．【分析】分k＞0或k＜0，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、三象限，反比例函数y＝位于第一、三象限；当k＜0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、四象限，反比例函数y＝位于第二、四象限；故选：D．13．（2022•绥化）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图像如图所示，则一次函数y＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝xc ba++24在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）A．B．C．D．【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图像判断a，b2﹣4ac及4a+2b+c的符号，即可得到答案．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图像开口向上，∴a＞0，∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分函数图像顶点在x 轴下方，开口向上， ∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像与x 轴有两个交点，b 2﹣4ac ＞0， ∴一次函数y ＝ax +b 2﹣4ac 的图像位于第一，二，三象限，由二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分函数图像可知，点（2，4a +2b +c ）在x 轴上方， ∴4a +2b +c ＞0， ∴y ＝的图像位于第一，三象限，据此可知，符合题意的是B ，故选：B ．14．（2022•贺州）已知一次函数y ＝kx +b 的图像如图所示，则y ＝﹣kx +b 与y ＝xb的图像为（）A ．B ．C ．D ．【分析】本题形数结合，根据一次函数y ＝kx +b 的图像位置，可判断k 、b 的符号；再由一次函数y ＝﹣kx +b ，反比例函数y ＝中的系数符号，判断图像的位置．经历：图像位置﹣系数符号﹣图像位置．【解答】解：根据一次函数y ＝kx +b 的图像位置，可判断k ＞0、b ＞0．所以﹣k ＜0．再根据一次函数和反比例函数的图像和性质，故选：A ．15．（2022•广西）已知反比例函数y ＝xb（b ≠0）的图像如图所示，则一次函数y ＝cx ﹣a （c ≠0）和二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【分析】本题形数结合，根据反比例函数y ＝（b ≠0）的图像位置，可判断b ＞0；再由二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图像性质，排除A ，B ，再根据一次函数y ＝cx ﹣a （c ≠0）的图像和性质，排除C ．【解答】解：∵反比例函数y ＝（b ≠0）的图像位于一、三象限， ∴b ＞0；∵A 、B 的抛物线都是开口向下，∴a ＜0，根据同左异右，对称轴应该在y 轴的右侧，故A 、B 都是错误的．∵C 、D 的抛物线都是开口向上，∴a ＞0，根据同左异右，对称轴应该在y 轴的左侧， ∵抛物线与y 轴交于负半轴， ∴c ＜0由a ＞0，c ＜0，排除C ．故选：D ．16．（2022•滨州）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝kx +1与y ＝﹣xk（k 为常数且k ≠0）的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据一次函数和反比例函数的性质即可判断．【解答】解：当k ＞0时，则﹣k ＜0，一次函数y ＝kx +1图像经过第一、二、三象限，反比例函数图像在第二、四象限，所以A 选项正确，C 选项错误；当k ＜0时，一次函数y ＝kx +1图像经过第一、二，四象限，所以B 、D 选项错误．故选：A ．17．（2022•德阳）一次函数y ＝ax +1与反比例函数y ＝﹣xa在同一坐标系中的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据一次函数与反比例函数图像的特点，可以从a ＞0，和a ＜0，两方面分类讨论得出答案．【解答】解：分两种情况：（1）当a ＞0，时，一次函数y ＝ax +1的图像过第一、二、三象限，反比例函数y ＝﹣图像在第二、四象限，无选项符合；（2）当a ＜0，时，一次函数y ＝ax +1的图像过第一、二、四象限，反比例函数y ＝﹣图像在第一、三象限，故B 选项正确．故选：B ．18．（2022•阜新）已知反比例函数y ＝x k （k ≠0）的图像经过点（﹣2，4），那么该反比例函数图像也一定经过点（）A ．（4，2）B ．（1，8）C ．（﹣1，8）D ．（﹣1，﹣8）【分析】先把点（﹣2，4）代入反比例函数的解析式求出k 的值，再对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵反比例函数y ＝（k ≠0）的图像经过点（﹣2，4），∴k ＝﹣2×4＝﹣8，A 、∵4×2＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；B 、∵1×8＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；C 、﹣1×8＝﹣8，∴此点在反比例函数的图像上，故本选项正确；D 、（﹣1）×（﹣8）＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误．故选：C ．19．（2022•襄阳）若点A （﹣2，y 1），B （﹣1，y 2）都在反比例函数y ＝x2的图像上，则y 1，y 2的大小关系是（）A ．y 1＜y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＞y 2D ．不能确定【分析】根据反比例函数图像上点的坐标特征即可求解．【解答】解：∵点A （﹣2，y 1），B （﹣1，y 2）都在反比例函数y ＝的图像上，k ＝2＞0，∴在每个象限内y 随x 的增大而减小，∵﹣2＜﹣1，∴y 1＞y 2，故选：C ．20．（2022•海南）若反比例函数y ＝xk （k ≠0）的图像经过点（2，﹣3），则它的图像也一定经过的点是（）A ．（﹣2，﹣3）B ．（﹣3，﹣2）C ．（1，﹣6）D ．（6，1）【分析】将（2，﹣3）代入y ＝（k ≠0）即可求出k 的值，再根据k ＝xy 解答即可．【解答】解：∵反比例函数y ＝（k ≠0）的图像经过点（2，﹣3），∴k ＝2×（﹣3）＝﹣6，A 、﹣2×（﹣3）＝6≠﹣6，故A 不正确，不符合题意；B 、（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，故B 不正确，不符合题意；C 、1×（﹣6）＝﹣6，故C 正确，符合题意，D 、6×1＝6≠﹣6，故D 不正确，不符合题意．故选：C ．21．（2022•武汉）已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在反比例函数y ＝x6的图像上，且x 1＜0＜x 2，则下列结论一定正确的是（）A ．y 1+y 2＜0B ．y 1+y 2＞0C ．y 1＜y 2D ．y 1＞y 2 【分析】先根据反比例函数y ＝判断此函数图像所在的象限，再根据x 1＜0＜x 2判断出A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）所在的象限即可得到答案．【解答】解：∵反比例函数y ＝中的6＞0，∴该双曲线位于第一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在反比例函数y ＝的图像上，且x 1＜0＜x 2，∴点A 位于第三象限，点B 位于第一象限，∴y 1＜y 2．故选：C ．22．（2022•天津）若点A （x 1，2），B （x 2，﹣1），C （x 3，4）都在反比例函数y ＝x8的图像上，则x 1，x 2，x 3的大小关系是（）A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 2＜x 3＜x 1C ．x 1＜x 3＜x 2D ．x 2＜x 1＜x 3 【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．【解答】解：点A （x 1，2），B （x 2，﹣1），C （x 3，4）都在反比例函数y ＝的图像上， ∴x 1＝＝4，x 2＝＝﹣8，x 3＝＝2． ∴x 2＜x 3＜x 1，故选：B ．23．（2022•淮安）在平面直角坐标系中，将点A （2，3）向下平移5个单位长度得到点B ，若点B 恰好在反比例函数y ＝xk 的图像上，则k 的值是．【分析】点A （2，3）向下平移5个单位长度得到点B （2，﹣2），代入y ＝利用待定系数法即可求得k 的值．【解答】解：将点A （2，3）向下平移5个单位长度得到点B ，则B （2，﹣2）， ∵点B 恰好在反比例函数y ＝的图像上，∴k ＝2×（﹣2）＝﹣4，故答案为：﹣4．24．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy 中，若点A （2，y 1），B （5，y 2）在反比例函数y ＝xk （k ＞0）的图像上，则y 1 y 2（填“＞”“＝”或“＜”）．【分析】先根据函数解析式中的比例系数k 确定函数图像所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．【解答】解：∵k ＞0，∴反比例函数y ＝（k ＞0）的图像在一、三象限，∵5＞2＞0，∴点A （2，y 1），B （5，y 2）在第一象限，y 随x 的增大而减小，∴y 1＞y 2，故答案为：＞．。

专题01 反比例函数(重难点突破)(解析版)

专题01 反比例函数重点用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质难点反比例函数中比例系数k 的几何意义易错反比例函数解析式的条件忽略k ≠0一、反比例函数的概念识别一个函数是不是反比例函数，可对照反比例函数的基本形式k y x=或变形形式xy =k （k 是常数，k ≠0），1y kx -=（k 是常数，k ≠0）进行筛选．【例1】下列函数中，y 是x 的反比例函数的有（）个．①1y x -＝；②3y x ＝；③1xy -＝；④3y x ＝；⑤21y x =-；⑥11y x -＝．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【详解】根据反比例函数的定义可得：①1y x -＝；②3y x＝；③1xy -＝；是反比例函数，④3y x ＝；⑤21y x =-；⑥11y x -＝不是反比例函数，故选：B ．二、用待定系数法求反比例函数的解析式确定反比例函数解析式的方法是待定系数法，由于在反比例函数(0)k y k x=¹中只有一个待定系数，因此只需要一对对应的x ，y 值或图象上一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式．【例2】已知y 与x 成反比例函数，且2x =时，3y =，则该函数表达式是（）A ．6y x =B ． 16y x =C ． 6y x =D ． 16y x -=-【答案】C【详解】解：∵y 与x 成反比例函数，∴设k y x=，把23x y ==，代入k y x=得6k =，所以该函数表达式是6y x =．故选：C ．三、反比例函数的图象和性质（1）对于反比例函数(0)k y k x=¹，因为x ≠0，y ≠0，所以它的图象不经过原点．反比例函数的图象由两个分支组成，分别位于第一、第三象限或第二、第四象限．（2）反比例函数的增减性不是连续的，因此在谈反比例函数的增减性时，必须强调在“每一个象限内”，不能笼统地说，“当k >0时，y 随x 的增大而减小”，这样就会出现与事实不符的矛盾．（3）反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数太的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号．【例3】函数k y x=与y ＝ax 2﹣bx +c 的图象如图所示，则函数y ＝kx +b 的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k ＞0，根据二次函数的图象可知a ＜0，-b ＜0，即b ＞0，∴函数y ＝kx +b 的大致图象经过一、二、三象限，故选：D ．四、反比例函数ky x =中比例系数k 的几何意义在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1；过点Q 分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为S 2，则S 1=S 2．【例4】如图，矩形的中心为直角坐标系的原点O ，各边分别与坐标轴平行，其中一边AB 交x 轴于点C ，交反比例函数图象于点P ．当点P 是AC 的中点时，求得图中阴影部分的面积为8，则该反比例函数的表达式是（）A ．2y x =B ．4y x =C ．8y x =D ．16y x=【答案】B【详解】解：如下图所示，设矩形与y 轴交于点D ，∵矩形的中心为直角坐标系的原点O ，反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称图形，且图中阴影部分的面积为8，∴矩形OCAD 的面积是8，设()A x y ，，则8xy =，∵点P 是AC 的中点，∴12P x y æöç÷èø，，设反比例函数的解析式为k y x =，∵反比例函数图象于点P ，∴11422k x y xy =´==，∴反比例函数的解析式为4y x =．故选：B ．一、单选题1．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（）A ．y x=-B ．2y x =-C ．21y x =D ．221y x x =-+【答案】B【详解】A 、y x =-，不符合一般式()0k y k x =¹，故此选项错误．B 、2y x =-，符合一般式()0k y k x=¹，故此选项正确．C 、21y x =，不符合一般式()0k y k x =¹，故此选项错误．D 、221y x x =-+，不符合一般式()0k y k x =¹，故此选项错误．故选：B ．2．如果反比例函数2k y x -=的图象位于第二、四象限，那么k 的取值范围是（）A ． 2k <B ．2k -＜C ．2k ＞ D ．2k -＞【答案】A 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴20k -<，∴2k <，故选：A ．3．下列说法中不正确的是（）A ．函数3y x =的图象经过原点B ．函数1y x =的图象位于第一、三象限C ．函数21y x =-的图象不经过第二象限D ．函数3y x=-的值随x 的值的增大而增大【答案】D【详解】解：A 、函数3y x =的图象经过原点，故本选项正确，不符合题意；B 、函数1y x =的图象位于第一、三象限，故本选项正确，不符合题意；C 、函数21y x =-的图象不经过第二象限，故本选项正确，不符合题意；D 、在每一象限内，函数3y x=-的值随x 的值的增大而增大，故本选项错误，符合题意；故选：D4．已知正比例函数0y kx k =¹（），y 的值随x 的值的增大而减小，那么它和反比例函数()0k y k x=-¹在同一直角坐标平面内的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】解：∵函数0y kx k =¹（）中y 随x 的增大而减小，∴0k <，该函数图象经过第二，四象限；∴函数k y x=-的图象经过第一、三象限，故C 正确．故选：C ．5．反比例函数1y x=-上图象上有三个点()()()112233,,,,,x y x y x y ，其中1230x x x ＜＜＜，则123,,y y y 的大小关系是（）A ．123y y y ＜＜B ．231y y y ＜＜C ．132y y y ＜＜D ．321y y y ＜＜【答案】B 【详解】解：∵反比例函数1y x=-的图象在二，四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大，而1230x x x ＜＜＜，∴123320,0,0,,y y y y y ＞＜＜＞∴231,y y y ＜＜故选B ．6．如图，正比例函数1y k x =与反比例函数2k y x =的图像交于(1,)A m 、B 两点，当21k k x x£时，x 的取值范围是（）A ．10x -£<或1x ³B ．1x £-或01x <£C ．1x £-或1x ³D ．10x -£<或01x <£【答案】A 【详解】解析：Q 正比例函数1y k x =与反比例函数2k y x=的图像交于(1,)A m 、B 两点，(1,)B m \--，由图像可知，当21k k x x £时，x 的取值范围是10x -£<或1x ³，故选：A ．二、填空题7．若点()1,1A x -，()2,2B x ，()3,3C x 都在反比例函数6y x =的图象上，则1x ，2x ，3x 的大小关系是______．【答案】132x x x <<##231x x x >>【详解】解：∵60>，∴反比例函数6y x =的图象在一三象限，在在每一象限内，y 随x 的增大而减小，∵1023-<<<，∴132x x x <<．故答案为：132x x x <<．8．反比例函数k y x=的图象如图所示，点A 在该函数图象上，AB 垂直于x 轴，垂足为点B ，如果2AOB S =△，那么k =________．【答案】4-【详解】设()00,A x y ，由2AOB S D =可知00.122x y = ，所以00.4x y =而点A 在第二象限，则00 . 4x y =-，因为点A 是函数图象上的一点，所以00k y x =，则004k x y =×=-故答案为：4-．三、解答题9．已知12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当=1x -时，4y =- ；当3x =时，4y =．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)当2x =-时，求y 的值．【答案】(1)3y x x=+(2)72-【详解】（1）解：（1）设12,n y mx y x==，则n y mx x =+，根据题意得4343m n n m --=-ìïí+=ïî，解得13m n =ìí=î．所以y 与x 的函数表达式为3y x x =+．（2）把2x =-代入得，37222y =-+=--．10．如图，一次函数()10y k x b k =+¹与反比例函数()20k y x x=>的图像交于()1,6A ，()3,B m 两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式：(2)根据图象直接写出21k k x b x +<时，x 的取值范围：(3)求AOB V 的面积．【答案】(1)28y x =-+，6y x =(2)01x <<或3x >(3)8【详解】（1）(1,6)A Q ，(3,)B m 在2k y x=的图象上，26k \=，\反比例函数的解析式是6y x=．2m \=．(1,6)A Q ，(3,2)B 在函数1y k x b =+的图象上，\11632k b k b +=ìí+=î，解得：128k b =-ìí=î．则一次函数的解析式是28y x =-+．所以一次函数的解析式是28y x =-+，反比例函数的解析式是6y x=；（2）由图象得：当01x <<或3x >时，21k k x b x +<；（3）Q 直线28y x =-+与y 轴相交于点C ，C \的坐标是(0,8)．ΔΔΔ18(31)82AOB BOC AOC S S S \=-=´´-=．一、单选题1．已知反比例函数1a y x -=的图象位于第一、三象限，则a 的取值范围是（）A ．1a =B ．1a ¹C ．1a >D ．1a <【答案】C【详解】解：∵反比例函数1a y x -=的图象位于第一、三象限，∴10a -＞，解得：1a >，故选：C ．2．点()11,y ，()22,y ，()33,y ，()44,y 在反比例函数4y x =图象上，则1y ，2y ，3y ，4y 中最小的是（）A ．1yB ．2yC ．3yD ．4y 【答案】D【详解】解：∵ 40k =＞，∴在第一象限内，y 随x 的增大而减小，∵()11,y ，()22,y ，()33,y ，()44,y 在反比例函数4y x =图象上，且1＜2＜3＜4，∴4y 最小．故选：D ．3．对于反比例函数5y x =-，下列说法正确的是（）A ．图象经过点()2,3-B ．图象位于第一、三象限C ．当0x <时，y 随x 的增大而减小D ．当0x >时，y 随x 的增大而增大【答案】D【详解】解：A 、()2365k ´-=-¹=-Q ，点()2,3-不满足关系式，因此A 选项不符合题意；B 、50k =-<Q ；\它的图象在第二、四象限，因此B 选项不符合题意；C 、50k =-<Q ；\它的图象在第二、四象限，当0x <时，y 随x 的增大而增大，因此C 选项不符合题意；D 、50k =-<Q ；\它的图象在第二、四象限，当0x >时，y 随x 的增大而增大，因此D 选项符合题意．故选：D ．4．函数()0k y k x=¹与函数y kx k =-在同一坐标系中的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】解：Q 函数y kx k =-的图像经过点(1,0)，\选项B 、选项D 不符合题意；由A 、C 选项可知：0k >，\反比例函数()0k y k x=¹的图像在第一、三象限，故选项A 符合题意，选项C 不符合题意；故选：A ．5．如图，在平面直角坐标系内，正方形OABC 的顶点A ，B 在第二象限内，且点A ，B 在反比例函数()0k y k x =¹的图象上，点C 在第三象限内．其中，点A 的纵坐标为3，则2k 的值为（）A ．9-B ．9-C ．27-D ．27-【答案】B【详解】解：过点A 作AE x ^轴于E ，过点B 作BF x P 轴，交AE 于F ，∵90OAE BAF OAE AOE Ð+Ð=°=Ð+Ð，∴BAF AOE Ð=Ð，在AOE △和BAF △中90AOE BAF AEO BFA OA AB Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴()AAS AOE BAF ≌△△，∴OE AF AE BF ==，，∵点A ，B 在反比例函数()0k y k x=¹的图象上，点A 的纵坐标为3，∴33k A æöç÷èø，∴33k AE OE ==-，，∴3333k k B æö-+ç÷èø，，∴3333k k k æöæö=-+ç÷ç÷èøèø，∴29k -解得k =（正数舍去），∴29k =-故选B ．6．定义：一次函数y ax b =+的特征数为[],a b ．一次函数2y x m =+的图像向上平移3个单位长度后与反比例函数3y x=的图像交于点A ，B ．若点A ，B 关于原点对称，则一次函数2y x m =+的特征数是( )A ．[]2,0B ．[]2,3C ．[]2,3-D ．[]2,6-【答案】C【详解】将一次函数2y x m =+向上平移3个单位长度后得到23y x m =++，设 ()()12,0, ,0,A x B x 联立233y x m y x =++ìïí=ïî22(3)30x m x \++-=，12,x x Q 是方程的两根，1232m x x +\+=-，又A Q ，B 两点关于原点对称，302m +\-=，3m \=-根据定义，一次函数2y x m =+的特征数是[]2,3-故选：C ．7．如图，点A 是反比例函数4y x=图像上的一动点，连接AO 并延长交图像的另一支于点B ．在点A 的运动过程中，若存在点(),C m n ，使得AC BC ^，AC BC =，则m ，n 满足（）A ．mn 2=-B ．4mn =-C ．2n m =-D ．4n m=-【答案】B 【详解】解：连接OC ，过点A 作AE x ^轴于点E ，过点C 作CF y ^轴于点F，如图所示：Q 由直线AB 与反比例函数4y x=的对称性可知A 、B 点关于O 点对称，AO BO \=，又AC BC ^Q ，AC BC =，CO AB \^，12CO AB OA ==，90AOE AOF Ð+Ð=°Q ，90AOF COF Ð+Ð=°，AOE COF \Ð=Ð，又90AEO Ð=°Q ，90CFO Ð=°，()AOE COF AAS \D @D ，OE OF \=，AE CF =，Q 点(,)C m n ，CF m \=-，OF n =，AE m \=-，OE n =，(),A n m \-，Q 点A 是反比例函数4y x=图像上，4mn \-=，即4mn =-，故选：B ．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为（﹣1，2），点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线15y x=上，过点C 作CE ∥x 轴交双曲线于点E ，则CE 的长为（）A ．245B ．236C ．437D ．214【答案】C 【详解】解：设点15,D m m æöç÷èø，如图所示，过点D 作x 轴的垂线交CE 于点G ，过点A 过x 轴的平行线交DG 于点H ，过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，∵∠GDC +∠DCG =90°，∠GDC +∠HDA =90°，∴∠HDA =∠GCD ，在△DHA 和△CGD 中，90HDA GCDDHA CGD AD DCÐ=ÐìïÐ=Ð=°íï=î ，∴△DHA ≌△CGD (AAS)，∴HA =GD ，DH =CG ，同理可证得△ANB ≌△DGC (AAS)，∴AN =DG =2=AH ，则点15,2G m m æö-ç÷èøG ，CG =DH ，AH =−1−m =2，解得：m =−3，故点G (−3,−7)，D (−3,−5)，H (−3,2)，则点15,77E æö--ç÷èø，156377GE =-=，DH=5+2=7，643777CE CG GE DH GE =-=-=-=，故选：C ．二、填空题9．如图，点A 在反比例函数my x =的图象上，AB x ^轴于点B ，点C 在x 轴上，且CO OB =，ABC V 的面积为2，则m 的值为______．【答案】2-【详解】解：设||CO BO a ==，则||||m AB a =，∵ABC V 的面积为2，∴1||2||22||m a a ´´=，∵0m <解得：2m =- ．故答案为：2-．10．在反比例函数4y x=中，已知四边形ABDC 与四边形BOFE 都是正方形，则点C 的坐标为_________．【答案】1)+【详解】解：设,OB a AB b ==，则点,E a a （），点(),C b a b +，∵反比例函数4y x=的图像过点C E 、，∴24()·4a a b b ì=í+=î，解得：1b ìïí=-ïî或1a b ìïí=-ïî（舍去）或1a b =ìïí=+ïî1a b =ìïí=ïî∴1AB AC b ===，21AO =，故点C 的坐标为1)+．故答案为：1)-．三、解答题11．已知反比例函数(0)k y k x=¹，当3x =-时，4y =.(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)当43y £且0y ¹时，求自变量x 的取值范围.【答案】(1)12y x =-(2)9x £-或0x >【详解】（1）解：∵反比例函数(0)k y k x =¹，当3x =-时，4y =.∴3412k =-´=∴12y x=-,（2）当43y =时，9x =-，∵12y x=-的图象在第二、四象限，∴当43y £且0y ¹时，9x £-或0x >．12．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x =的图象交于()()4,,2,4A n B -- 两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设点()()1122,,,M x y N x y 是反比例函数m y x =图象上的两个点，若12x x <，试比较1y 与2y 的大小；(3)求AOB V 的面积．【答案】(1)8y x =-，2y x =--(2)见解析(3)6【详解】（1）解：（1）将点()2,4B -代入反比例函数m y x=，得2(4)8m =´-=-，∴反比例函数解析式：8y x =-，将点()4,A n -代入8y x=-，得48n -=-，解得2n =，∴()4,2A -，将A ，B 点坐标代入一次函数y kx b =+，得4224k b k b -+=ìí+=-î，解得12k b =-ìí=-î，∴一次函数解析式：2y x =--；（2）∵8y x=-，80k =-<，∴图象过二，四象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大，若12x x <，分三种情况：①12120,x x y y <<<，②12120,x x y y <<>，③12120,x x y y <<<；（3）设一次函数与y 轴的交点为D ，则D 点坐标为(0,2)-，∴2OD =，∵(4,2),(2,4)A B --，∴112422622AOB AOD BDD S S S D D D =+=´´+´´=，∴AOB V 的面积为6．13．如图，直线6y ax =+经过点()30A -,，交反比例函数()0ky x x=>的图象于点()1,B m ．(1)求k 的值；(2)点D 为第一象限内反比例函数图象上点B 下方的一个动点，过点D 作DC y ^轴交线段AB 于点C ，连接AD ，求ACD V 的面积的最大值．【答案】(1)8(2)254【详解】（1）解：把()30A -,代入6y ax =+，得360a -+=，解得2a =，∴直线的函数表达式为26y x =+，∴当1x =时，2168y =´+=，∴()1,8B ，把()1,8B 代入反比例函数k y x=，得188k =´=．（2）解：设点C 的坐标为(),26x x +，由于DC y ^轴，所以点D 的纵坐标为26x +，∴点8,2626D x x æö+ç÷+èø，∴()()22118325262634222624ACD S CD x x x x x x x æöæö=´+=-´+=--+=-++ç÷ç÷+èøèø△，∴当 1.5x =-时，254ACD S =△最大值，答：ACD S V 的最大值为254．14．如图，函数y ＝k x（x ＞0）的图像过点A （n ，2）和B （85，2n −3）两点．(1)求n 和k 的值；(2)将直线OA 沿x 轴向左移动得直线DE ，交x 轴于点D ，交y 轴于点E ，交y ＝k x （x ＞0）于点C ，若ACO S V ＝6，求直线DE 解析式；(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F ，使得△DEF 为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4,8n k ==；(2)132y x =+；(3)(9,6)-或(3,9)-或99(,22-．【详解】（1）解：Q 函数=k y x （x ＞0）的图像过点A （n ，2）和B （85，2n −3）两点，2=8(23)=5n k n k \-ìïíïî，解得=4=8n k ìíî，故n 和k 的值分别为4，8．（2）解：4,8n k ==Q ，8(4,2),(,5)5A B \，直线OA 的解析式为：12y x =，过点C 作CG x ^轴于点G ，交直线OA 于点H ，设8(,0)C m m m>，1(,)2H m m \，162AOC A S CH x D \=×=，181()4622m m \-´=，2m \=或=8m（不符合题意舍去）(2,4)C \，DE OA ∥Q ，\设直线DE 的解析式为：12y x b =+，Q 点C 在直线DE 上，1422b \=´+即=3b ，\直线DE 的解析式为：132y x =+．（3）解：根据题意，分三种情况进行讨论：①以DE 为直角边，D 为直角顶点；如图，过F 做FK x ^轴于点K ，易知：90FKD DOE Ð=Ð=°，90FDE Ð=°Q ，90FDK EDO \Ð+Ð=°，又90DEO EDO Ð+Ð=°Q ，FDK DEO \Ð=Ð，又FD =DE ，FKD DOE \D D ≌，\FK =DO =6，KD =OE =3，故点D 到点F 的平移规律是：D 向左移3个单位，向上移6个单位得点1F 坐标，(6,0)D -Q ，且F 在第二象限，1(63,06)F \--+即1(9,6)F -；②以DE 为直角边，E 为直角顶点；同①理，将E 点向左移3个单位，向上移6个单位得点F 坐标，得2(3,9)F -；③以DE 为斜边边时．同理，将ED 中点3(3,2-向左移32个单位，向上移3个单位得点F 坐标，得399(,)22F -；综上所述，点F 的坐标为：(9,6)-或(3,9)-或99(,)22-．。

反比例函数知识点与题型归纳非常全面

反比例函数讲义第1节反比例函数■例1下列函数中是反比例关系的有___________________填序号; ①3x y -= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤xy 23-= ⑥21=xy ⑦28xy = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x ky =k (为常数,)0≠k■ 例2由欧姆定律可知,电压不变时,电流强度I 与电阻R 成反比例,已知电压不变,电阻R=欧姆,电流强度I=安培;（1）求I 与R 的函数关系式；（2）当R=5欧姆时,求电流强度;本节作业：1、小明家离学校,小明步行上学需x min,那么小明的步行速度min)/(m y 可以表示为xy 1500=；水名地面上重1500N 的物体,与地面的接触面积为x 2m ,那么该物体对地面的压强)/(2m N y 可以表示为x y 1500=;函数表达式xy 1500=还可以表示许多不同情境中变量之间的函数关系,请你再列举一例; 2、某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为2m 的矩形模具,假设模具的长与宽分别为y 与x ;1你能写出y 与x 之间的函数表达式吗变量y 与x 之间是什么函数2若想使模具的长比宽多,已知每米这种不锈钢条6元钱,求加工这个模具共花多少钱3、若函数满足023=+xy,则y 与x 的函数关系式为______________,你认为y 是x 的______________函数;4、已知y =21y y +,1y 与x 成正比例,2y 与x 成反比例,并且当x =2时,y = —4；当x = —1时,y =5,求出y 与x 的函数关系式;5、已知y 是x 的函数,且其对应数据如下表所示,你认为y 是x 的正比例函数还是反比例函数你能写出函数的表达式,并填上表格中的空缺吗6、函数xky =的图象经过点A1,—2,则k 的值为 ; A ．21 B. 21- C. 2 D. —27、若函数132)1(+++=m mx m y 是反比例函数,则m 的值为 ;A ．m = —2 B. m = 1 C. m = 2或m = 1 D. m = —2,或m = —1 8、若甲、乙两城市间的路程为1000千米,车速为每小时x 千米,从甲市到乙市所需的时间为y 小时,那么y 与x 的函数表达式是_______________________不必写出x 的取值范围,y 是x 的__________函数;9、已知y 是x 的反比例函数,当x =5时,y = —1,那么,当y =3时,x =_________；当x =3时,y =________;第2节反比例函数的图象与性质1、反比例函数的图象及其画法反比例函数图象的画法——描点法：（1）列表——自变量取值应以0但)0(≠x 为中心,向两边取三对或三对以上互为相反数的数,再求出对应的y 的值；（2）描点——先描出一侧,另一侧可根据中心对称点的性质去找；（3）连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸,注意双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交;反比例函数xky =的图象是由两支曲线组成的;当0>k 时,两支曲线分别位于第一、三象限内,当0<k 时,两支曲线分别位于第二、四象限内;小注：1这两支曲线通常称为双曲线;2这两支曲线关于原点对称; 3反比例函数的图象与x 轴、y 轴没有公共点; 例1：画出反比例函数x y 6=与xy 6-=的图象; 解：1列表：2描点：（3）连线;1 反比例函数的性质反比例函数 xky =)0(≠k k 的符号k >0k<0图象双曲线x 、y 取值范围 x 的取值范围x ≠0 y 的取值范围y ≠0 x 的取值范围x ≠0 y 的取值范围y ≠0 位置第一,三象限内第二,四象限内增减性每一象限内,y 随x 的增大而减小每一象限内,y 随x 的增大而增大渐近性反比例函数的图象无限接近于x,y 轴,但永远达不到x,y 轴,画图象时,要体现出这个特点.对称性反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形.例2 已知 2(1)m y m x -=+是反比例函数,则函数的图象在A 、一、三象限B 、二、四象限C 、一、四象限D 、三、四象限例3 函数2y kx =-与ky x=k ≠0在同一坐标系内的图象可能是例4 已知反比例函数xky =的图象经过点P 一l,2,则这个函数的图象位于 A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限3反比例函数xky =)0(≠k 中的比例系数k 的几何意义难点k 的几何含义：反比例函数y ＝k x k ≠0中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y ＝kxk ≠0上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线,设垂足分别为A 、B,则所得矩形OAPB 的面积为 .例5 A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点,BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,△ABC 的面积记为S ,则A ． 2S =B ． 4S =C ．24S <<D ．4S >例6如图A 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上,AM x ⊥轴于点M ,AMO △的面积为3,则k =4反比例函数与正比例函数图象的交点凡是交点问题就联立方程例7如图,一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点．1试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； 2求AOB △的面积．O BxyC A 图1OyxBA本节练习一、选择题每小题6分,共36分1. 已知2(1)my m x-=+是反比例函数,则函数的图象在A、一、三象限B、二、四象限C、一、四象限D、三、四象限2.若反比例函数kyx=的图象经过点(12)-，,则这个函数的图象一定经过点Ａ、(21)--，Ｂ、122⎛⎫-⎪⎝⎭，Ｃ、(21)-，Ｄ、122⎛⎫⎪⎝⎭，3.反比例函数5nyx+=的图象经过点2,3,则n的值是A、－2B、－1C、0D、14.反比例函数1kyx-=的图象在每个象限内,y随x的增大而减小,则k的值可为A、1- B、0 C、1 D、25.如果两点1P1,1y和2P2,2y都在反比例函数1yx=的图象上,那么A．2y＜1y＜0B．1y＜2y＜0C．2y＞1y＞0 D．1y＞2y＞06.函数(0)ky kx=≠的图象如图所示,那么函数y kx k=-的图象大致是A B C D二、填空题每小题6分,共24分7.如果反比例函数kyx=0k≠的图象经过点1,－2,则这个函数的表达式是_________.当0x<时,y随x的增大而______ 填“增大”或“减小8.如图7,双曲线xky=与直线mxy=相交于A、B两点,B点坐标为－2,－3,则A点坐标为_________．9. 如图8,点A 在反比例函数xky =的图象上,AB 垂直于x 轴,若4=∆AOB S ,那么这个反比例函数的解析式为__________.图810.老师给出一个函数,甲、乙各指出了这个函数的一个性质：甲：第一、三象限有它的图象；乙：在每个象限内,y 随x 的增大而减小．请你写一个满足上述性质的函数______________________三、解答题每小题,共40分11. 20分如图,一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =图象交于A －2,1、B1,n 两点．1求反比例函数和一次函数的解析式；2根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．12. 20分如图,已知反比例函数1(0)my m x=≠的图象经过点(21)A -，,一次函数2(0)y kx b k =+≠的图象经过点(03)C ，与点A ,且与反比例函数的图象相交于另一点B ．1分别求出反比例函数与一次函数的解析式；2求点B 的坐标．第3节反比例函数的应用本节内容：运用函数的图象和性质解答实际问题例题1 .面积一定的梯形,其上底长是下底长的21,设下底长x =10 cm 时,高y =6 cm 1求y 与x 的函数关系式； 2求当y =5 cm 时,下底长多少16.一定质量的二氧化碳,当它的体积V=6 m 3时,它的密度ρ= kg/m 3. 1求ρ与V 的函数关系式.2当气体体积是1 m 3时,密度是多少3当密度为 kg/m 3时,气体的体积是多少例题2如图,Rt △AOB 的顶点A 是一次函数y =－x +m +3的图象与反比例函数y =xm的图象在第二象限的交点,且S △AOB =1,求点A 的坐标.例题3某厂要制造能装250mL1mL=1 cm 3饮料的铝制圆柱形易拉罐,易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是 cm,顶部厚度是底部厚度的3倍,这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来,设一个底面半径是x cm 的易拉罐用铝量是y cm 3.用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度,求y 与x 间的函数关系式.综合检测题一、填空题：1、u 与t 成反比,且当u ＝6时,81=t ,这个函数解析式为； 2、函数2x y -=和函数xy 2=的图像有个交点； 3、反比例函数x k y =的图像经过－23,5点、a ,－3及10,b 点,则k ＝ ,a ＝ ,b ＝；4、若函数()()414-+-=m x m y 是正比例函数,那么=m ,图象经过象限；5、若反比列函数1232)12(---=k kx k y 的图像经过二、四象限,则k = _______6、已知y -2与x 成反比例,当x =3时,y =1,则y 与x 间的函数关系式为；7、已知正比例函数kx y =与反比例函数3y x=的图象都过A m ,1,则m ＝ ,正比例函数与反比例函数的解析式分别是、； 8、设有反比例函数y k x=+1,(,)x y 11、(,)x y 22为其图象上的两点,若x x 120<<时,y y 12>,则k 的取值范围是___________9、右图3是反比例函数xk y =的图象,则k 与0的大小关系是k 0.10、函数xy 2-=的图像,在每一个象限内,y 随x 的增大而； 11、反比例函数()0>=k xky 在第一象限内的图象如图,点M 是图像上一点,MP 垂直x 轴于点P,如果△MOP 的面积为1,那么k 的值是； 12、()7225---=m mx m y 是y 关于x 的反比例函数,且图象在第二、四象限,则m 的值为；二、选择题：分数3分×14=42分,并把答案填在第12题后的方框内 1、下列函数中,反比例函数是 A 、 1)1(=-y x B 、 11+=x y C 、 21xy = D 、 x y 31=2、已知反比例函数的图像经过点a ,b ,则它的图像一定也经过yO PMA 、－a ,－bB 、 a ,－bC 、－a ,bD 、 0,0 3、如果反比例函数xky =的图像经过点－3,－4,那么函数的图像应在 A 、第一、三象限B 、第一、二象限C 、第二、四象限D 、第三、四象限 4、若y 与－3x 成反比例,x 与z4成正比例,则y 是z 的 A 、正比例函数B 、反比例函数C 、一次函数 D 、不能确定 5、若反比例函数22)12(--=m x m y 的图像在第二、四象限,则m 的值是A 、－1或1B 、小于21的任意实数 C 、－1 Ｄ、不能确定 6、函数x k y =的图象经过点－4,6,则下列各点中不在xky =图象上的是A 、 3,8B 、 3,－8C 、－8,－3D 、－4,－67、正比例函数kx y =和反比例函数ky =在同一坐标系内的图象为8、如上右图,A 为反比例函数xky =图象上一点,AB垂直x 轴于B 点,若S △AOB ＝3,则k的值为 A 、6B 、3C 、23 D 、不能确定9、如果矩形的面积为6cm 2,那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数关系用图象表示大致A10、在同一直角坐标平面内,如果直线x k y 1=与双曲线xk y 2=没有交点,那么1k 和2k 的关系一定是 A 1k <0,2k >0B 1k >0,2k <0C 1k 、2k 同号D 1k 、2k 异号11、已知变量y 与x 成反比例,当x =3时,y =―6；那么当y =3时,x 的值是 A 6 B ―6 C 9 D ―912、当路程s 一定时,速度v 与时间t 之间的函数关系是A 正比例函数B 反比例函数C 一次函数D 二次函数 13、2001北京西城在同一坐标系中,函数x ky =和3+=kx y 的图像大致是14、已知反比例函数)0(<=k xky 的图像上有两点A 1x ,1y ,B 2x ,2y ,且21x x <,则21y y -的值是A 、正数B 、负数C 、非正数D 、不能确定三、解答题：第1、2小题各7分、第3小题8分,共22分1、在某一电路中,保持电压不变,电流I 安培与电阻R 欧姆成反比例,当电阻R=5欧姆时,电流I=2安培;1求I 与R 之间的函数关系式 2当电流I=安培时,求电阻R 的值；2、如图,Rt △ABO 的顶点A 是双曲线xky =与直线)1(+--=k x y 在第二象限的交点, AB ⊥x 轴于B 且S △ABO =23 1求这两个函数的解析式2求直线与双曲线的两个交点A,C 的坐标和△AOC 的面积;3、如图,一次函数b kx y +=的图像与反比例函数xmy =的图像相交于A 、B 两点, 1利用图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式2根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围2001江苏苏州。

反比例函数知识点

反比例函数知识点：1.定义：形如y ＝xk （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。

其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值是不等于0的一切实数。

说明：1）y 的取值范围是一切非零的实数。

2）反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数，因此其解析式也可以写成xy=k ；1-=kx y ；xk y 1=（k 为常数，k ≠0） 3）反比例函数y ＝xk （k 为常数，k ≠0）的左边是函数，右边是分母为自变量x 的分式，也就是说，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式，如xy 1=，x y 213=等都是反比例函数，但21+=x y 就不是关于x 的反比例函数。

2. 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数y ＝xk 只有一个待定系数，因此只需要知道一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定其解析式。

3. 反比例函数的画法：1）列表；2）描点；3）连线注：（1）列表取值时，x ≠0，因为x ＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线（4）由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴4. 图像：反比例函数的图像属于双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

有两条对称轴：直线y=x 和 y= －x ；对称中心是：原点5. 性质:说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。

2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x 轴、y 轴，但与x 轴、y 轴没有交点。

3）越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．4）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．6. 反比例函数y ＝xk （k ≠0）中的比例系数k 的几何意义表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

九年级上册数学第五章反比例函数

九年级上册数学第5章反比例函数『一』．知识归纳：● 知识点1 反比例函数的概念1．xky =（0≠k ）可以写成1-=kx y （0≠k ）的形式，注意自变量x 的指数为-1，在解决有关自变量指0≠k 数问题时应特别注意系数0≠k 这一限制条件；2．xky =（0≠k ）也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数xky =的自变量0≠x ，故函数图象与x 轴、y 轴无交点． ● 知识点2 反比例函数的图象在用描点法画反比例函数xky =的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原点对称）．● 知识点3 反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：xky =（0≠k ） 2．自变量的取值范围：0≠x3．图象：（1）图象的形状：双曲线．k 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．k 越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当0>k 时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0<k 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则),(b a --在双曲线的另一支上．图象关于直线x y ±=对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则),(a b 和),(a b --在双曲线的另一支上．4．k 的几何意义如图1，设点P （a ，b ）是双曲线xky =上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA 的面积是k （三角形PAO 和三角形PBO 的面k 21）．积都是如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC ⊥PA 的延长线于C ，则有三角形PQC 的面积为k 2．5．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线x k y 1=与双曲线xk y 2=的关系：当021<k k 时，两图象没有交点；当021>k k 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．●知识点4 实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． ● 知识点5 充分利用数形结合的思想解决问题．『二』典型例题解析★例题解析1 反比例函数的概念图2（1）下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（）．A ．y=3xB ．x y 23=-C ．3xy=1D ．22x y = （2）下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（）． A ．x y 41=B ．21x y -=C ．21-=x y D ．x y 11+= 答案：（1）C ；（2）A ．★例题解析2 图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y 随x 的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数xaby =的图象位于第________象限．（3）若反比例函数xk y =经过点（-1，2），则一次函数2+-=kx y 的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a ·b ＜0，点P （a ，b ）在反比例函数xay =的图象上，则直线b ax y +=不经过的象限是（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（5）若P （2，2）和Q （m ，2m -）是反比例函数xky =图象上的两点，则一次函数y=kx+m 的图象经过（）．A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限（6）已知函数)1(-=x k y 和xky -=（k ≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A ．B ．C ．D ．答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C ；（5）C ；（6）B ．★例题解析3 函数的增减性（1）在反比例函数)0(<=k xky 的图象上有两点),(),,(2211y x B y x A ，且021>>x x ，则21y y -的值为（）．A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数（2）在函数xa y 12--=（a 为常数）的图象上有三个点),1(1y -，),41(2y -，),21(3y ，则函数值1y 、2y 、3y 的大小关系是（）．A ．2y ＜3y ＜1yB ．3y ＜2y ＜1yC ．1y ＜2y ＜3yD ．2y ＜1y ＜3y （3）下列四个函数中：①x y 5=；②x y 5-=；③x y 5=；④xy 5-=． y 随x 的增大而减小的函数有（）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个（4）已知反比例函数xky =的图象与直线y=2x 和y=x+1的图象过同一点，则当x ＞0时，这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（1）A ；（2）D ；（3）B ． ★例题解析4 解析式的确定（1）若y 与x 1成反比例，x 与z1成正比例，则y 是z 的（）． A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数D ．不能确定（2）若正比例函数y=2x 与反比例函数xky =的图象有一个交点为（2，m ），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数xm y 2=的图象经过点），（8-2-，反比例函数x m y =的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m 与反比例函数xm y 1+=（1≠m ）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室； ③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B ；（2）4，8，（2-，4-）；（3）依题意，且，解得．（4）①依题意，⎩⎨⎧>+==+;013300m x m x 解得⎩⎨⎧==210m x②一次函数解析式为2+=x y ,，反比例函数解析式为xy 3=．（5）①x y 43=，80≤≤x ，)8(48>=x xy ； ②30；③消毒时间为1025.13433-348>=⨯（分钟），所以消毒有效． ★例题解析5 面积计算（1）如图，在函数xy 3-=的图象上有三个点A 、B 、C ，过这三个点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为S 1、S 2、S 3，则（）． A ．321s s s >>B ．S 1<S 2<S 3C ．S 1<S 3<S 2D ．S 1=S 2=S 3第（1）题图第（2）题图（2）如图，A 、B 是函数xy 1=的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC//y 轴，BC//x 轴，△ABC 的面积S ，则（）．A ．S=1B ．1＜S ＜2C ．S=2D ．S ＞2（3）如图，Rt △AOB 的顶点A 在双曲线xmy =上，且S △AOB=3，求m 的值．第（3）题图第（4）题图（4）已知函数xy 4=的图象和两条直线y=x ，y=2x 在第一象限内分别相交于P 1和P 2两点，过P 1分别作x 轴、y 轴的垂线P 1Q 1，P 1R 1，垂足分别为Q 1，R 1，过P 2分别作x 轴、y 轴的垂线P 2 Q 2，P 2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P 1 R 1和O Q 2P 2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx （k ＞0）和反比例函数xy 1=的图象相交于A 、C 两点，过A 作x 轴垂线交x 轴于B ，连接BC ，若△ABC 面积为S ，则S=_________．（6）如图在Rt △ABO 中，顶点A 是双曲线xky =与直线)1(++-=k x y 在第四象限的交点，AB ⊥x 轴于B 且S △ABO=23．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积．（7）如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 在函数x k y =（k ＞0，x ＞0）的图象上，点P （m ，n ）是函数xky =（k ＞0，x ＞0）的图象上任意一点，过P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为E 、F ，设矩形OEPF 在正方形OABC 以外的部分的面积为S ． ① 求B 点坐标和k 的值；第5题图第6题图② 当29=S 时，求点P 的坐标； ③ 写出S 关于m 的函数关系式．答案：（1）D ；（2）C ；（3）6；（4）)22(1，P ，)222(2，P ，矩形O Q 1P 1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为26，前者大．（5）1．（6）①双曲线为xy 3-=，直线为2--=x y ；②直线与两轴的交点分别为（0，-2）和（-2，0），且A （1，-3）和C （-3，1），因此AOC ∆面积为4．（7）①B （3，3），9=k ；②29=S 时，E （6，0），），（236P ； ③mn S 22793219-=⋅⋅-=．★例题解析5 综合应用（一）（1）若函数y=k1x （k1≠0）和函数)0(22≠=k xk y 在同一坐标系内的图象没有公共点，则k 1和k 2（）．A ．互为倒数B ．符号相同C ．绝对值相等D ．符号相反（2）如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例数xmy =的图象交于A 、B 两点：A （-2，1），B （1，n ）．① 求反比例函数和一次函数的解析式；② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数b kx y +=（k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数xmy =（m ≠0）的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，若OA=OB=OD=1．① 求点A 、B 、D 的坐标；② 求一次函数和反比例函数的解析式．（4）如图，一次函数b ax y +=的图象与反比例函数xky =的图象交于第一象限C 、D 两点，坐标轴交于A 、B 两点，连结OC ，OD （O 是坐标原点）． ① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m 的值；② 双曲线上是否存在一点P ，使得△POC 和△POD 的面积相等？若存在，给出证明并求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（5）不解方程，判断下列方程解的个数． ①041=+x x ； ②041=-x x．答案：（1）D ．（2）① 反比例函数为，一次函数为；②范围是或．（3）①A （0，），B （0，1），D （1，0）；②一次函数为，反比例函数为．（4）①反比例函数为，；②存在（2，2）．（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．『三』衔接中考：考题1:2013年潍坊市）设点()11,y x A 和()22,y x B 是反比例函数xky =图象上的两个点，当1x ＜2x ＜0时，1y ＜2y ，则一次函数k x y +-=2的图象不经过的象限是（）. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A ．考题2:（2013泸州）如图、已知双曲线()0ky k x=<经过直角三角形△OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ，若点A 的坐标为（—6，4），则△AOC 的面积为 A 、12 B 、9 C 、6 D 、4考题3:(2013年南京)在同一直线坐标系中，若正比例函数y =k 1x 的图像与反比例函数y = k 2x 的图像没有公共点，则(A) k 1+k 2<0 (B) k 1+k 2>0 (C) k 1k 2<0 (D) k 1k 2>0 答案：C考题4:（2013•衢州）若函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随自变量x的增大而增大，则m 的取值范围是（） A ． m ＜﹣2 B ． m ＜0 C ． m ＞﹣2 D ． m ＞0答案：A ．考题5:（2013•滨州）若点A （1，y 1）、B （2，y 2）都在反比例函数的图象上，则y 1、y 2的大小关系为（） A ． y 1＜y 2 B ． y 1≤y 2 C ． y 1＞y 2 D ． y 1≥y 2考题6:（2013•宁夏）函数（a ≠0）与y=a （x ﹣1）（a ≠0）在同一坐标系中的大致图象是（） A ．B ．C ．D ．答案：C ．考题5:（2013•六盘水）下列图形中，阴影部分面积最大的是（）A ．B ．C ．D ．答案：D考题6:（2013•毕节地区）一次函数y=kx+b （k ≠0）与反比例函数的图象在同一直角坐标系下的大致图象如图所示，则k 、b 的取值范围是（）A ． k ＞0，b ＞0B ． k ＜0，b ＞0C ． k ＜0，b ＜0D ． k ＞0，b ＜0答案：C考题7:（2013•莱芜）M（1，a）是一次函数y=3x+2与反比例函数图象的公共点，若将一次函数y=3x+2的图象向下平移4个单位，则它与反比例函数图象的交点坐标为（﹣1，﹣5），（）．考题8:已知一个函数的图象与y=6x的图象关于y轴成轴对称，则该函数的解析式为y=﹣6x．考题9:（2013•自贡）如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、P n、P n+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、P n、P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、S n，则S1=4，S n=．（用含n的代数式表示）考题10:（2013•眉山）如图，在函数y1=（x＜0）和y2=（x＞0）的图象上，分别有A、B两点，若AB∥x轴，交y轴于点C，且OA⊥OB，S△AOC=，S△BOC=，则线段AB的长度=．考题11:（2013•雅安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）答案：解答：解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，∵C的坐标为（﹣2，0），A的坐标为（n，6），∴AD=6，CD=n+2，∵tan∠ACO=2，∴==2，解得：n=1，故A（1，6），∴m=1×6=6，∴反比例函数表达式为：y=，又∵点A、C在直线y=kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的表达式为：y=2x+4；（2）由得：=2x+4，解得：x=1或x=﹣3，∵A（1，6），∴B（﹣3，﹣2）；（3）分两种情况：①当AE⊥x轴时，即点E与点D重合，此时E1（1，0）；②当EA⊥AC时，此时△ADE∽△CDA，则=，DE==12，又∵D的坐标为（1，0），∴E2（13，0）．考题12:（2013•嘉兴）如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△ABC的面积？解答：解：（1）将A（1，2）代入一次函数解析式得：k+1=2，即k=1，∴一次函数解析式为y=x+1；将A（1，2）代入反比例解析式得：m=2，∴反比例解析式为y=；（2）设一次函数与x轴交于D点，令y=0，求出x=﹣1，即OD=1，∴A（1，2），∴AE=2，OE=1，∵N（3，0），∴到B横坐标为3，将x=3代入一次函数得：y=4，将x=3代入反比例解析式得：y=，∴B（3，4），即ON=3，BN=4，C（3，），即CN=，则S△ABC=S△BDN﹣S△ADE﹣S梯形AECN=×4×4﹣×2×2﹣×（+2）×2=．考题13:（2013•湖州压轴题）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．（1）若OA=10，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF 上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）过点A作AH⊥OB于H，∵sin∠AOB=，OA=10，∴AH=8，OH=6，∴A点坐标为（6，8），根据题意得：8=，可得：k=48，∴反比例函数解析式：y=（x＞0）；（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，∵sin∠AOB=，∴AH=a，OH=a，∴S△AOH=•aa=a2，∵S△AOF=12，∴S平行四边形AOBC=24，∵F为BC的中点，∴S△OBF=6，∵BF=a，∠FBM=∠AOB，∴FM=a，BM=a，∴S△BMF=BM•FM=a•a=a2，∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2，∵点A，F都在y=的图象上，∴S△AOH=k，∴a2=6+a2，∴a=，∴OA=， ∴AH=，OH=2，∵S 平行四边形AOBC =OB •AH=24， ∴OB=AC=3， ∴C （5，）；（3）存在三种情况：当∠APO=90°时，在OA 的两侧各有一点P ，分别为：P 1（，），P 2（﹣，），当∠PAO=90°时，P 3（，），当∠POA=90°时，P 4（﹣，）．『四』课堂练习： ▼（一）基础类型：1. 1下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+=x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2x y =-⑥13y x=；其中是y 关于x 的反比例函数的有：__④__⑥_____________。

新人教版初中数学——反比例函数-知识点归纳及典型题解析

新人教版初中数学——反比例函数知识点归纳及典型题解析一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念一般地，函数kyx=（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx-=的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）中x，y的取值范围反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．表达式kyx=（k是常数，k≠0）k k>0 k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x 的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+；（3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．五、反比例函数与一次函数的综合 1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如，如下图，当12y y >时，x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理，当12y y <时，x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．六、反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．考向一反比例函数的定义1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为1．典例1 下列函数中，y与x之间是反比例函数关系的是A．xy2B．3x+2y=0C．y=kxD．y=21x【答案】A【解析】A、xy=2属于反比例函数，故此选项正确；B、3x+2y=0是一次函数，故此选项错误；C、y=kx（k≠0），不属于反比例函数，故此选项错误；D 、y =21x +，是y 与x +1成反比例，故此选项错误．故选A ．1．下列函数：①2x y =；②2y x =；③12y x=-；④12y x -=中，是反比例函数的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个考向二反比例函数的图象和性质当k >0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增大而增大．双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．典例2 在同一平面直角坐标系中，函数y =﹣x +k 与y =kx（k 为常数，且k ≠0）的图象大致是 A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵函数y =﹣x +k 与y =kx（k 为常数，且k ≠0），∴当k >0时，y =﹣x +k 经过第一、二、四象限，y =k x 经过第一、三象限，故选项D 错误，当k <0时，y =﹣x +k 经过第二、三、四象限，y =kx经过第二、四象限，故选项C 正确，选项A 、B 错误，故选C ．典例3 反比例函数3y x=-的图象在 A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限D ．第二、四象限【答案】D【解析】因为30k =-<，故图象在第二、四象限，故选D ．典例4 已知点A （1，m ），B （2，n ）在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，则 A ．0m n << B ．0n m << C ．0m n >>D ．0n m >>【答案】A【解析】∵反比例函数(0)k y k x =<，它的图象经过A （1，m ），B （2，n ）两点，∴m =k <0，n =2k<0，∴0m n <<，故选A ．2．对于函数4y x=，下列说法错误的是 A ．这个函数的图象位于第一、第三象限B ．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C ．当x >0时，y 随x 的增大而增大D ．当x <0时，y 随x 的增大而减小3．下列函数中，当x <0时，y 随x 的增大而减小的是 A ．y =x B ．y =2x –1 C ．y =3x D ．y =–1x4．如图是三个反比例函数y =1k x ，y =2kx ，y =3k x在x 轴上方的图象，由此观察得到k 1，k 2，k 3的大小关系为A ．k 1>k 2>k 3B ．k 3>k 2>k 1C ．k 2>k 3>k 1D ．k 3>k 1>k 2考向三反比例函数解析式的确定1．反比例函数的解析式ky x=（k ≠0）中，只有一个待定系数k ，确定了k 值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x ，y 的对应值或图象上一个点的坐标，代入k y x=中即可．2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在图象上，若乘积不等于k ，则点不在图象上．典例5 若反比例函数的图象经过点()32，-，则该反比例函数的表达式为 A ．6y x = B ．6y x =-C ．3y x=D ．3y x=-【答案】B【解析】设反比例函数为：ky x=．∵反比例函数的图象经过点（3，-2），∴k =3×（-2）=-6．故反比例函数为：6y x=-，故选B ．典例6 如图，某反比例函数的图象过点M （-2，1），则此反比例函数表达式为A．y=2xB．y=-2xC．y=12xD．y=-12x【答案】B【解析】设反比例函数表达式为y=kx，把M（2-，1）代入y=kx得，k=（-2）×1=-2，∴2yx=-，故选B．典例7 如图，C1是反比例函数y=kx在第一象限内的图象，且过点A（2，1），C2与C1关于x轴对称，那么图象C2对应的函数的表达式为__________（x>0）．【答案】y=–2 x【解析】∵C2与C1关于x轴对称，∴点A关于x轴的对称点A′在C2上，∵点A（2，1），∴A′坐标（2，–1），∴C2对应的函数的表达式为y=–2x，故答案为y=–2x．5．已知反比例函数y=-6x，下列各点中，在其图象上的有A．（-2，-3）B．（2，3）C．（2，-3）D．（1，6）6．点A为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，则x轴的距离为3，若点A在第二象限内，则这个函数的解析式为A．y=12xB．y=-12xC．y=112xD．y=-112x7．在平面直角坐标系中，点P（2，a）在反比例函数y=2x的图象上，把点P向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点Q，则经过点Q的反比例函数的表达式为__________．考向四反比例函数中k的几何意义三角形的面积与k的关系（1）因为反比例函数kyx中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为12|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．典例8 如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣2，0）．将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD，若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过A、D两点，则k值为__________．163【解析】如图，过点D作DE⊥x轴于点E，∵点B 的坐标为（﹣2，0），∴AB =﹣2k ，∴OC =﹣2k ，由旋转性质知OD =OC =﹣2k，∠COD =60°，∴∠DOE =30°， ∴DE =12OD =﹣14k ，OE =OD ·cos30°=32×（﹣2k ）=﹣34k ，即D （﹣34k ，﹣14k ），∵反比例函数y =kx（k ≠0）的图象经过D 点， ∴k =（﹣34k ）（﹣14k ）=316k 2，解得：k =0（舍）或k =﹣1633，故答案为：﹣1633．典例9 如图，已知双曲线ky x经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ，若 △OBC 的面积为9，则k =__________．【答案】6【解析】如图，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，∵△ODE的面积和△OAC的面积相等．∴△OBC的面积和四边形DEAB的面积相等且为9．设点D的横坐标为x，纵坐标就为kx，∵D为OB的中点．∴EA=x，AB=2kx，∴四边形DEAB的面积可表示为：12（kx+2kx）x=9；k=6．故答案为：6．【名师点睛】过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段，垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，结合函数图象所在的象限可以确定k的值，反过来，根据k的值，可以确定此矩形的面积．在解决反比例函数与几何图形综合题时，常常需要考虑是否能用到k的几何意义，以简化运算．8．如图，A、B两点在双曲线4yx=的图象上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知1S=阴影，则12S S+=A．8 B．6 C．5 D．49．如图，点A，B是反比例函数y=kx（x>0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA、BC，已知点C（2，0），BD=3，S△BCD=3，则S△AOC为A．2 B．3 C．4 D．610．如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=kx（x>0）的图象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是A．一直不变B．先增大后减小C．先减小后增大D．先增大后不变考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．典例10 在同一平面直角坐标系中，函数1yx=-与函数y=x的图象交点个数是A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】∵y=x的图象是过原点经过一、三象限，1yx=-的图象在第二、四象限内，但不过原点，∴两个函数图象不可能相交，故选A．典例11 已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=kx在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1<y2时，x的取值范围是A．x<-1或0<x<3 B．-1<x<0或x>3 C．-1<x<0 D．x>3【答案】B【解析】根据图象知，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=kx的交点是（-1，3），（3，-1），∴当y1<y2时，-1<x<0或x>3，故选B．【名师点睛】本题主要考查函数图象的交点，把不等式转化为函数图象的高低是解题的关键，注意数形结合思想的应用．典例12 如图，已知直线y=–13x+10与双曲线y=kx（x>0）交于A、B两点，连接OA，若OA⊥AB，则k的值为A．910B．2710C 910D2710【答案】B【解析】如图，过A 作AE ⊥OD 于E ，∵直线解析式为y =–13x +10，∴C （0，10），D （310，0）， ∴OC =10，OD =310，∴Rt △COD 中，CD =22 O C OD +=10， ∵OA ⊥AB ，∴12CO ×DO =12CD ×AO ， ∴AO =3，∴AD =22OD OA -=9， ∵12OD ×AE =12AO ×AD ，∴AE =91010， ∴Rt △AOE 中，OE =22AO AE -=229103()10-=31010，∴A （31010，91010）， ∴代入双曲线y =k x ，可得k =31010×91010=2710，故选B ．11．已知反比例函数y =kx（k ≠0），当x >0时，y 随x 的增大而增大，那么一次函数y =kx -k 的图象经过 A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限12．如图，已知A （–4，n ），B （2，–4）是一次函数y =kx +b 和反比例函数y =mx的图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．考向六反比例函数的应用用反比例函数解决实际问题的步骤（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；（5）解：用函数解析式去解决实际问题．典例13 某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用了40min，之后将对泄漏有害气体进行清理，线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（0≤x≤40），反比例函数y=kx对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（40≤x≤？）．根据图象解答下列问题：（1）危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是__________；（2）求反比例函数y =__________的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x 的值．【解析】（1）当0≤x ≤40时，设y 与x 之间的函数关系式为y =ax +b ，（10，35）和（30，65）在y =ax +b 的图象上，把（10，35）和（30，65）代入y =ax +b ，得10353065a b a b +=+=⎧⎨⎩，得 1.520a b ==⎧⎨⎩， ∴y =1.5x +20，当x =0时，y =1.5×0+20=20，故答案为：20；（2）将x =40代入y =1.5x +20，得y =80，∴点E （40，80）， ∵点E 在反比例函数y =kx的图象上， ∴80=40k，得k =3200，即反比例函数y =3200x ，当y =20时，20=3200x，得x =160，即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x 的值是160．13．如图为某种材料温度y （℃）随时间x （min ）变化的函数图象．已知该材料初始温度为15℃，温度上升阶段y 与时间x 成一次函数关系，且在第5分钟温度达到最大值60℃后开始下降；温度下降阶段，温度y 与时间x 成反比例关系．（1）分别求该材料温度上升和下降阶段，y 与x 间的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度高于30℃时，可以进行产品加工，问可加工多长时间？1．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是 A ．x (y –1)=1B ．15y x =- 1C 3y x=． 21D y x=．2．已知反比例函数y =8k x-的图象位于第一、三象限，则k 的取值范围是 A ．k >8 B ．k ≥8 C ．k ≤8D ．k <83．如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1=1k x（x >0）及y 2=2k x （x >0）的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为2，则k 1-k 2的值为A ．2B ．3C ．4D ．-44．若点A （–5，y 1），B （–3，y 2），C （2，y 3）在反比例函数3y x=的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 A ．y 1<y 3<y 2 B ．y 2<y 1<y 3 C ．y 3<y 2<y 1D ．y 1<y 2<y 35．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y 1=kx +b （k 、b 是常数，且k ≠0）与反比例函数y 2=cx（c 是常数，且c ≠0）的图象相交于A （-3，-2），B （2，3）两点，则不等式y 1>y 2的解集是A ．-3<x <2B ．x <-3或x >2C ．-3<x <0或x >2D ．0<x <26．一次函数y =ax +b 与反比例函数a by x-=，其中ab <0，a 、b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是 A ． B ．C．D．7．反比例函数y=ax(a>0，a为常数)和y=2x在第一象限内的图象如图所示，点M在y=ax的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=2x的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=2x的图象于点B．当点M在y=ax的图象上运动时，以下结论：①S△ODB=S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B 是MD的中点．其中正确结论的个数是A．0个B．1个C．2个D．3个8．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，点B坐标为（6，4），反比例函数y=6x的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连接DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE处，点B'恰好落在正比例函数y=kx图象上，则k的值是A．-25B．-121C．-15D．-1249．已知(),3A m、()2,B n-在同一个反比例函数图像上，则mn=__________．10．如图，直线分别与反比例函数2yx=-和3yx=的图象交于点A和点B，与y轴交于点P，且P为线段AB的中点，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴交于点D，则四边形ABCD的面积是__________．11．如图，正方形ABCD的边长为2，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=kx（x<0）的图象经过点B和CD边中点E，则k的值为__________．12．如图，点A，B在反比例函数kyx=（k>0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是__________．13．如图，已知反比例函数kyx=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，-k+4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．14．如图，已知A （-4，n ），B （2，-4）是一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数my x=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积；（3）求方程0x xk b m+-<的解集（请直接写出答案）．15．一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x （分钟）的变化规律如图所示（其中AB 、BC 为线段，CD 为双曲线的一部分）．（1）分别求出线段AB 和双曲线CD 的函数关系式；（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？1．已知点A （1，–3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y=kx的图象上，则实数k的值为A．3 B．1 3C．–3 D．–1 32．若点（–1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y=kx（k<0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是A．y1>y2>y3B．y3>y2>y1 C．y1>y3>y2D．y2>y3>y13．在同一平面直角坐标系中，函数y=﹣x+k与y=kx（k为常数，且k≠0）的图象大致是A．B．C．D．4．如图，函数y=1(0)1(0)xxxx⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩的图象所在坐标系的原点是A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q5．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数y =1x上，顶点B 在反比例函数y =5x上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC 的面积是A ．32B ．52C ．4D ．66．在平面直角坐标系xOy 中，点A （a ，b ）（a >0，b >0）在双曲线y =1k x上，点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线y =2k x，则k 1+k 2的值为__________． 7．如图，在平面直角坐标中，点O 为坐标原点，菱形ABCD 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点A 坐标为（–4，0），点D 的坐标为（–1，4），反比例函数y =k x（x >0）的图象恰好经过点C ，则k 的值为__________．8．如图，菱形ABCD 顶点A 在函数y =3x （x >0）的图象上，函数y =kx（k >3，x >0）的图象关于直线AC 对称，且经过点B 、D 两点，若AB =2，∠BAD =30°，则k =__________．9．已知y 是x 的反比例函数，并且当x =2时，y =6．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x =4时，求y 的值．10．如图，一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y =2k x的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（–1，4），点B 的坐标为（4，n ）．（1）根据图象，直接写出满足k 1x +b >2k x的x 的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且S △AOP ∶S △BOP =1∶2，求点P 的坐标．1．【答案】C【解析】①不是正比例函数，②③④是反比例函数，故选C ． 2．【答案】C【解析】根据反比例函数的图象与性质，可由题意知k =4>0，其图象在一三象限，且在每个象限内y 随x 增大而减小，它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故选C ． 3．【答案】C【解析】A 、为一次函数，k 的值大于0，y 随x 的增大而增大，不符合题意； B 、为一次函数，k 的值大于0，y 随x 的增大而增大，不符合题意； C 、为反比例函数，k 的值大于0，x <0时，y 随x 的增大而减小，符合题意；变式拓展D、为反比例函数，k的值小于0，x<0时，y随x的增大而增大，不符合题意；故选C．4．【答案】B【解析】由图知，y y y k1<0，k2>0，k3>0，又当x=1时，有k2<k3，∴k3>k2>k1，故选B．5．【答案】C【解析】∵反比例函数y=-6x中，k=-6，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为-6的点在函数图象上，四个选项中只有C选项符合，故选C．6．【答案】B【解析】设A点坐标为（x，y）．∵A点到x轴的距离为3，∴|y|=3，y=±3．∵A点到原点的距离为5，∴x2＋y2=52，解得x=±4，∵点A在第二象限，∴x=-4，y=3，∴点A的坐标为（-4，3），设反比例函数的解析式为y=kx，∴k=-4×3=-12，∴反比例函数的解析式为y=12x，故选B．7．【答案】y=15 x【解析】∵点P（2，a）在反比例函数y=2x的图象上，∴代入得：a=22=1，即P点的坐标为（2，1），∵把点P向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点Q，∴Q的坐标是（5，3），设经过点Q的反比例函数的解析式是y=cx，把Q点的坐标代入得：c=15，即y=15x，故答案为：y=15x．8．【答案】B【解析】∵点A、B是双曲线y=4x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S1+S2=4+4-1×2=6，故选B．9．【答案】D【解析】在Rt △BCD 中， ∵12×CD ×BD =3，∴12×CD ×3=3，∴CD =2， ∵C （2，0），∴OC =2，∴OD =4，∴B （4，3）， ∵点B 是反比例函数y =kx（x >0）图象上的点，∴k =12， ∵AC ⊥x 轴，∴S △AOC =2k=6，故选D ． 10．【答案】A【解析】如图，作CD ⊥AB 交AB 于点D ，则S △ACD =2k，∵AC =BC ，∴AD =BD ，∴S △ACD =S △BCD ， ∴S △ABC =2S △ACD =2×2k =k ，∴△ABC 的面积不变，故选A ．11．【答案】B【解析】∵当x >0时，y 随x 的增大而增大，∴反比例函数ky x=（k ≠0）的图象在二、四象限，∴k <0，∴一次函数y =kx -k 的图象经过第一、二、四象限，故选B ． 12．【解析】（1）∵B （2，–4）在y =mx图象上， ∴m =–8．∴反比例函数的解析式为y =–8x． ∵点A （–4，n ）在y =–8x图象上， ∴n =2，∴A （–4，2）．∵一次函数y =kx +b 图象经过A （–4，2），B （2，–4），∴4224k b k b -+=+=-⎧⎨⎩，解得12k b =-=-⎧⎨⎩．∴一次函数的解析式为y =–x –2；（2）如图，令一次函数y =–x –2的图象与y 轴交于C 点，当x=0时，y=–2，∴点C（0，–2）．∴OC=2，∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=12×2×4+12×2×2=6．13．【解析】（1）当0≤x<5时，为一次函数，设一次函数表达式为y=kx+b，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以15560bk b=+=⎧⎨⎩，解得：159bk==⎧⎨⎩，所以y=9x+15，当x≥15时，为反比例函数，设函数关系式为：y=mx，由于图象过点（5，60），所以m=300．则y=300x；（2）当0≤x<5时，y=9x+15=30，得x=53，因为y随x的增大而增大，所以x>53，当x≥5时，y=300x=30，得x=10，因为y随x的增大而减小，所以x<10，10–53=253．答：可加工253min．1．【答案】C考点冲关【解析】由反比例函数的定义知，13y x=是y 关于x 的反比例函数，其余的不是y 关于x 的反比例函数.故选C ． 2．【答案】A【解析】∵反比例函数y =8k x-的图象位于第一、三象限，∴k –8>0，解得k >8，故选A ． 3．【答案】C【解析】根据反比例函数k 的几何意义可知：△AOP 的面积为12k ，△BOP 的面积为22k， ∴△AOB 的面积为12k −22k ， ∴12k −22k =2，∴k 1–k 2=4，故选C ． 4．【答案】B【解析】∵点（–5，y 1）、（–3，y 2）、（2，y 3）都在反比例函数y =3x上， ∴y 1=–35，y 2=–1，y 3=32． ∵–35<–1<32，∴y 2<y 1<y 3，故选B ．5．【答案】C【解析】∵一次函数y 1=kx +b （k 、b 是常数，且k ≠0）与反比例函数y 2=cx（c 是常数，且c ≠0）的图象相交于A （-3，-2），B （2，3）两点， ∴不等式y 1>y 2的解集是-3<x <0或x >2，故选C ． 6．【答案】C【解析】A ．由一次函数图象过一、三象限，得a >0，交y 轴负半轴，则b <0，满足ab <0， ∴a −b >0，∴反比例函数y =a bx-的图象过一、三象限，所以此选项不正确； B ．由一次函数图象过二、四象限，得a <0，交y 轴正半轴，则b >0，满足ab <0， ∴a −b <0，∴反比例函数y =a bx-的图象过二、四象限，所以此选项不正确； C ．由一次函数图象过一、三象限，得a >0，交y 轴负半轴，则b <0，满足ab <0， ∴a −b >0，∴反比例函数y =a bx-的图象过一、三象限，所以此选项正确； D ．由一次函数图象过二、四象限，得a <0，交y 轴负半轴，则b <0，满足ab >0，与已知相矛盾，所以此选项不正确，故选C ． 7．【答案】D【解析】根据反比例函数的图象与系数k 的意义，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1y 1=x 2y 2=2可知S △ODB =S △OCA =1，故①正确；同样可知四边形OCMD 的面积为a ，因此四边形OAMB 的面积为a –2，故不会发生变化，故②正确；当点A 是MC 的中点时，y 2=2y 1，代入x 1y 2=a 中，得2x 1y 1=a ，a =4，由题得1242x x =，整理得x 1=2x 2，因此B 为MD 的中点，故③正确，故选D ． 8．【答案】B【解析】∵矩形OABC ，∴CB ∥x 轴，AB ∥y 轴，∵点B 坐标为（6，4），∴D 的横坐标为6，E 的纵坐标为4，∵D ，E 在反比例函数y =6x 的图象上，∴D （6，1），E （32，4），∴BE =6-32=92，BD =4-1=3，∴ED =22BE BD +=3213，连接BB ′，交ED 于F ，过B ′作B ′G ⊥BC 于G ，∵B ，B ′关于ED 对称，∴BF =B ′F ，BB ′⊥ED ，∴BF •ED =BE •BD ，即3213BF =3×92，∴BF =913，∴BB ′=1813，设EG =x ，则BG =92-x ，∵BB ′2-BG 2=B ′G 2=EB ′2-GE 2，∴（1813）2-（92-x ）2=（92）2-x 2，∴x =4526，∴EG =4526，∴CG =4213，∴B ′G =5413，∴B ′（4213，-213），∴k =-121，故选B ．9．【答案】23-【解析】设反比例函数解析式为()0ky k x=≠，将(),3A m 、()2,B n -分别代入，得 3k m =，2k n =-，∴2332k m k n ==--，故答案为：23-． 10．【答案】5【解析】如图，过点A 作AF y ⊥轴，垂足于点F ；过点B 作BE y ⊥轴，垂足为点E ．∵点P 是AB 中点，∴PA PB =．易得△APF ≌△BPE ， ∴APFBPESS=,∴ABCDACOFEODBSSS=+23=-+5=，故答案为5．11．【答案】-4【解析】∵正方形ABCD 的边长为2，∴AB =AD =2，设B （2k ，2），∵E 是CD 边中点，∴E （2k-2，1），∴2k-2=k ，解得k =-4，故答案为：-4． 12．【答案】372【解析】如图，过点B 作直线AC 的垂线交直线AC 于点F ，∵△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，E 是AB 的中点， ∴S △ABC =2S △BCE ，S △ABD =2S △ADE ，∴S △ABC =2S △ABD ，且△ABC 和△ABD 的高均为BF ， ∴AC =2BD ，∴OD =2O C ． ∵CD =k ， ∴点A 的坐标为（3k ，3），点B 的坐标为（–23k ，–32）， ∴AC =3，BD =32， ∴AB =2AC =6，AF =AC +BD =92， ∴CD =k2==13．【解析】（1）∵已知反比例函数ky x=经过点A （1，-k +4）， ∴41kk -+=，即-k +4=k ， ∴k =2，∴A （1，2）．∵一次函数y =x +b 的图象经过点A （1，2）， ∴2=1+b ，∴b =1，∴反比例函数的表达式为2y x=，一次函数的表达式为y =x +1．（2）由12y x y x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，消去y ，得x 2+x -2=0，即（x +2）（x -1）=0， ∴x =-2或x =1． ∴y =-1或y =2． ∴21x y ⎧=-⎨=-⎩或12x y ⎧=⎨=⎩．∵点B 在第三象限， ∴点B 的坐标为（-2，-1），由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x 的取值范围是x <-2或0<x <1．14．【解析】（1）∵B （2，-4）在y =mx上， ∴m =-8．∴反比例函数的解析式为y =-8x． ∵点A （-4，n ）在y =-8x上， ∴n =2． ∴A （-4，2）．∵y =kx +b 经过A （-4，2），B （2，-4），∴4224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解之得12k b =-⎧⎨=-⎩．∴一次函数的解析式为y =-x -2．（2）∵C 是直线AB 与x 轴的交点， ∴当y =0时，x =-2． ∴点C （-2，0）．∴OC =2． ∴S △AOB =S △ACO +S △BCO =12×2×2+12×2×4=6．（3）不等式0mkx b x+-<的解集为：-4<x <0或x >2． 15．【解析】（1）设线段AB 所在的直线的解析式为y 1=k 1x +30，把B （10，50）代入得，k 1=2， ∴AB 解析式为：y 1=2x +30（0≤x ≤10）．设C 、D 所在双曲线的解析式为22k y x=，把C （44，50）代入得，k 2=2200， ∴曲线CD 的解析式为：y 2=2200x（x ≥44）；（2）将y =40代入y 1=2x +30得：2x +30=40，解得：x =5，将y=40代入y2=2200x得：x=55．55-5=50．所以完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟．1．【答案】A【解析】点A（1，–3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），把A'（1，3）代入y=kx得k=1×3=3．故选A．2．【答案】C【解析】∵k<0，∴在每个象限内，y随x值的增大而增大，∴当x=–1时，y1>0，∵2<3，∴y2<y3<y1，故选C．3．【答案】C【解析】∵函数y=﹣x+k与y=kx（k为常数，且k≠0），∴当k>0时，y=﹣x+k经过第一、二、四象限，y=kx经过第一、三象限，故选项D错误，当k<0时，y=﹣x+k经过第二、三、四象限，y=kx经过第二、四象限，故选项C正确，选项A、B错误，故选C．4．【答案】A【解析】由已知可知函数y=1(0)1(0)xxxx⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩关于y轴对称，所以点M是原点，故选A．5．【答案】C【解析】如图，过点B作BD⊥x轴于D，延长BA交y轴于E，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC，OA=BC，∴BE⊥y轴，∴OE=BD，∴Rt△AOE≌Rt△CBD（HL），直通中考。

反比例函数讲义(知识点+典型例题)

变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。

（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。

（3）增减性：当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。

(完整版)反比例函数知识点归纳总结与典型例题

反比例函数知识点归纳总结与典型例题(一)反比例函数的概念：知识要点：1、一般地，形如y = — ( k是常数,k = 0 )的函数叫做反比例函数。

x注意：(1)常数k称为比例系数，k是非零常数；(2)解析式有三种常见的表达形式：(A) y = k (k w 0) , (B) xy = k (k 丰 0) (C) y=kx-1 (kw0)x例题讲解：有关反比例函数的解析式1 1 1 x 1 (1)下列函数，① x(y 2) 1②.y ——③y /④.y ——⑤y —⑥y —；其中是y关x 1 x 2x 2 3x 于x的反比例函数的有：。

a2 2 ....... …(2)函数y (a 2)x 是反比例函数,则a的值是( )A.—1B. — 2C. 2D.2 或—21 .................(3)若函数y 七彳勤是常数)是反比例函数，则m=,解析式为 .xk(4)反比例函数y — (k 0)的图象经过(一2, 5)和(J2 , n),x求1) n的值；2)判断点B ( 4J2 , 短)是否在这个函数图象上，并说明理由(二)反比例函数的图象和性质：知识要点：1、形状：图象是双曲线。

2、位置：(1)当k>0时双曲线分另位于第象限内；(2)当k<0时，双曲线分另位于第象限I 3、增减性：(1)当k>0 时,,y 随x的增大而 ;(2)当k<0时,,y随x的增大而。

4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴，但永远不会与坐标轴相交5、对称性：(1)对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点; (2)对于k取互为相反数的两个反比例函数(如：y = 6和丫= ―)来说，它们是关于x轴，y轴。

x x例题讲解：反比例函数的图象和性质：(1)写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限m2 2⑵若反比例函数v (2m 1)x的图象在第二、四象限，则m的值是( )A—1或1； B、小于-的任意实数；C、一1; D、不能确定2(3)下列函数中，当x 0时，y随x的增大而增大的是( )1 一一4 _ 1A y 3x 4B y - x 2 C. y - D. y ——.3 x 2x2 ____ ,. 一 . 一(4)已知反比例函数y ——的图象上有两点A ( x1，y1)，B ( x2, y2),且x1 x2,则y i y 的值是（）A.正数B.负数C.非正数D.不能确定2 .（5）右点（x i, y 1）、（X 2, y 2）和（X 3,y 3）分别在反比例函数 y —的图象上，且X iX 2 0 X 3,x则下列判断中正确的是（）A . y i y y 3B . y 3 y i y 2C . y 2 y 3 y iD . y 3 y y ik 1 ................... 一 ...（6）在反比例函数 y --- 的图象上有两点（x1，y 1）和（x 2, y 2）,右x 10 x 2时，y i y 2 ,则k 的x取值范围是.（7）老师给出一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第二象限；乙:函数的图象经过第四象限；丙:在每个象限内，y 随x 的增大而增大.请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数：.（三）反比例函数与面积结合题型。