第八章阻抗和导纳

而模不变。故把 ej 称为旋转因子。 0
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A Re
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几种不同值时的旋转因子
Im

e
j

2
jI
0
I
,

2
cos

2
j sin

2
j
Re
jI
I
j 2 , e cos( ) j sin( )j 2 2 2
j = y u- y i j >0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；
u, i u i
yu yi j j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
O
wt
特殊相位关系
j = (180o ) ，反相：
u, i u iw t
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1
0 Re
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
若 则:
A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
A1 A2 1 2
jθ 1
A1 A2 A1 e j1 A2 e j 2 A1 A2 e j (1 2 )
def

T
0
u ( t )dt
Fra Baidu bibliotek
2
1 I T


T
0
2 Im cos2 ( w t Ψ ) dt
T

T
0
cos ( w t Ψ ) dt
2
0
1 cos 2(w t Ψ ) 1 dt t 2 2
T 0
1 T 2
1 2 T Im I Im 0.707I m T 2 2
0
j 3 4 ( 2) 5 4 0 j 2 5 4 3 4
i2 (t ) 10cos( 100 t 1050 )
j 300 (1050 ) 1350
不能比较相位差
w1 w 2
i2 (t ) 3 cos( 100 t 1500 )
j ＝ 0， 同相：
u, i u i
0
0 j= /2：
wt
u, i u
i 0
u 领先 i /2, 不说 u 落后 i 3/2； i 落后 u /2, 不说 i 领先 u 3/2。
wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例
计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1 (t ) 10cos( 100 t 3 4) i2 (t ) 10cos( 100 t 2)
0
t
y =0 y =－/2
y =/2
例
100
i
50
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s， （1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1
t
t1
解
i(t ) 100cos(10 t y )
3
0
t 0 50 100cosy
y 3
y

由于最大值发生在计时起点右侧
Re( 2 U 1 e
可得其相量关系为：
乘法：模相乘，角相加。
A1 | A1 | θ 1 | A1 | e | A1 | j( θ 1θ 2 ) e jθ 2 A2 | A2 | θ 2 | A2 | e | A2 | | A1 | θ 1 θ 2 | A2 |
除法：模相除，角相减。

例1. 解
547 10 25 ?
I




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4. 相量法的应用
(1) 同频率正弦量的加减
u1 ( t ) 2 U 1 cos( w t Ψ 1) Re( 2 U 1 e jw t ) u2 ( t ) 2 U 2 cos( w t Ψ 2 ) Re( 2 U 2 e jw t ) jwt u( t ) u1 ( t ) u2 ( t ) Re( 2 U 1 e ) Re( 2 U 2 e jwt )
直流I
R
交流i
R
W RI T
2
W Ri (t )dt
2 0
T
电流有效 值定义为
1 T 2 I i (t )dt T 0
def
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
同样，可定义电压有效值：
正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(w t+ )
1 U T
j
两种表示法的关系：
Im b
直角坐标表示 极坐标表示 0
A |A|
A=a+jb A=|A|ej =|A|
| A | a 2 b 2 b θ arctg a
复数运算

a
Re
或
a | A | cosθ b | A | sinθ
Im A2
图解法
(1)加减运算——采用代数形式 若 则
j 300 (1500 ) 1200
i2 ( t ) 3 cos( 100 t 30 )
0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平 均效果工程上采用有效值来表示。 周期电流、电压有效值(effective value)定义 物 理 意 义
, e
j
cos( ) j sin( ) 1
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
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3. 正弦量的相量表示
造一个复函数
无物理意义
j( wt )
A(t ) 2Ie
2Icos(wt ) j 2Isin( wt Ψ )
( 2) i1 ( t ) 10 cos( 100 t 30 0 ) i2 ( t ) 10 sin(100 t 15 0 ) ( 3) u1 ( t ) 10 cos( 100 t 30 0 ) u2 ( t ) 10 cos( 200 t 45 0 ) (4) i1 ( t ) 5 cos( 100 t 30 )
单位：Hz，赫(兹)
正弦电流电路
激励和响应均为正弦量的电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路 或交流电路。
研究正弦电路的意义： （1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。 优点： 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数 2）正弦信号容易产生、传送和使用。
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
w 2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒 i Im O T 2
(3) 初相位(initial phase angle) y 反映正弦量的计时起点， 常用角度表示。
y /w y
twt
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 i
一般规定：|y | 。
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u( t ) 2U cos( w t θ ) U Uθ
例1 已知
i 141.4 cos(314t 30o )A u 311.1cos(3 14t 60o )V
试用相量表示i, u .

解
I 10030o A U 220 60o V
i (t ) 100 cos(103 t
3

3

3
)
t1
当 10 t1 3 有最大值
3
10
3
1.047ms
3. 相位差
规定： |j | (180°)
设 u(t)=Umcos(w u t+y u), i(t)=Imcos(w i t+y i) 则 相位差 ：j = (wu t+y u)- (w i t+y i) 同频率正弦量的相位差等于初相位之差
Im 2I
i(t ) Im cos( w t Ψ ) 2I cos( w t Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U
1 2
Um
或
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设
备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指 的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大 值考虑。
复常数
jy
2 I e jwt

A(t)包含了三要素：I、 、w ，复常数包含了I , 。
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称 I I 为正弦量 i(t) 对应的相量。 Ψ

i ( t ) 2 I cos( w t Ψ ) I IΨ
相量的模表示正弦量的有效值

相量的幅角表示正弦量的初相位
（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。
f ( t ) Ak cos(kwt k )
k 1
n
对正弦电路的分析研究具有重要的理论 价值和实际意义。
2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos(w t+y)
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 (2) 角频率(angular frequency)ω

547 10 25 (3.41 j 3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j 0.569 12.48 2.61
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例2.
解
(17 j9)(4 j6) 22035 ? 20 j5 19.24 27.9 7.21156.3 原式 180.2 j126.2 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
正弦量
复数
实际是变 换的思想
2. 复数及运算
复数A的表示形式 Im b 0 a A
A=a+jb
(j 1 为虚数单位 )
Im b A |A|
Re
0

j
a
Re
A a jb
A | A | e
j
A | A | e
| A | (cos j sin ) a jb
A | A | e | A |
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例2
已 知I 5015 A, f 50Hz.
试写出电流的瞬时值表达式。

解
i 50 2cos(314t 15 ) A
在复平面上用向量表示相量的图
相量图
i(t ) 2 Icos(ω t ) I I
U


u (t ) 2Ucos(w t θ ) U Uθ

180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
(3) 旋转因子： 复数 ej =cos +jsin =1∠ Im
若两个复数实部相等，虚部数值相等，符号相反，称为共轭复数。
A• ej

A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，
8.1 正弦量的基本概念
1. 正弦量
瞬时值表达式： 波形：
i
T O
i(t)=Imcos(w t+y)
正弦量为周期函数
y/w
t
f(t)=f ( t+kT)
周期T (period)和频率f (frequency) : 周期T ：重复变化一次所需的时间。 频率f ：每秒重复变化的次数。
1 f T
单位：s，秒
2
_
两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。
i1 2 I1 cos( w t y 1 )
i2 2 I 2 cos( w t y 2 )
w
角频率：
u i1, i I1 0
i1
w
i2
i2 I2
i1+i2 i3 i3 w
I3 wt
有效值： 1
2
3
初相位：
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，
对A(t)取实部：
是一个正弦量 有物理意义
Re[A(t )] 2Icos( w t Ψ ) i(t)
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
i 2Icos(w t Ψ) A(t ) 2Ie
A(t)还可以写成
j(w t Ψ)
A(t )
2 Ie e jwt
（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。 （3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
i , Im , I
U=380V，
Um537V。
8.2 正弦量的相量表示
1. 问题的提出：
电路方程是微分方程： +i u R C L
d uC duC LC RC uC u( t ) dt dt