【全国市级联考word】福建省福州市2018届高三3月质量检测数学(理)试题

2018年福州市高中毕业班质量检测数学(理科)试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()12i z +=-，则在复平面内，z 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按年龄段分层抽样D.系统抽样 3.已知双曲线22:1E mx y -= 的两顶点间的距离为4，则E 的渐近线方程为( ) A.4x y =± B.2x y =± C.2y x =± C.4y x =±4.若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线34y x =上，则cos2α=( ) A.2425 B.725 C.17 D.725- 5.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且8PA =，若平面ABC 截球O 所得截面的面积为9π，则球O 的表面积为( )A.10πB.25πC.50πD.100π6.函数()()()2ln ln f x x e x e x =+-+的图象大致为( )A B C D7.下面程序框图是为了求出满足1111100023n++++<…的最大正整数n 的值，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入( )A.“1000S <”和“输出1i -”B.“1000S <”和“输出2i -”C.“1000S ≥”和“输出1i -”D.“1000S ≥”和“输出2i -”8.福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有( )A.90种B.180种C.270种D.360种9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.6π+B.263π+C.63π+ D.23π+10.设函数()0,022,0x x x f x x -≤⎧=⎨->⎩，则满足()()22f x f x ->的x 的取值范围是( ) A.()(),12,-∞-+∞ B.()(),22,-∞-+∞ C.()(),22,-∞-+∞ D.()(),12,-∞-+∞ 11.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交C 于,A B 两点，交l 于E 点，直线AO 交l 于点D .若2BE BF =，且3AF =.则BD =( )A.1B.3C.3或9D.1或912.已知函数()sin 2f x x =的图象与直线()2200kx y k k π--=>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为123,,x x x ，则()()1323tan 2x x x x --=( )A.2-B.1-C.0D.1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合{}1,3,4,7A =，{}21,B x x k k A ==+∈，则集合A B 中元素的个数为____________.14.在钝角三角形ABC 中，3AB =，3BC =，30A =°，则ABC △面积为____________.15.设变量,x y 满足约束条件2326y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，则22z x y =+的取值范围为____________.16.如图，在平面四边形ABCD 中，90ABC =∠°，2DCA BAC =∠，若(),BD xBA yBC x y =+∈R ，則x y -=____________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且1055105S S =+. (1)求n a ；(2)若4n n S a n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC △为正三角形，点D 在棱BC 上，且3C D B D =，点E ，F 分别为棱AB ，1BB 的中点.(1)证明：1A C ∥平面DEF ；(2)若1AC EF ⊥，求直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值. 19.从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z )，由测量结果得到如下频率分布直方图：(1) 公司规定：当95Z ≥时，产品为正品；当95Z <时，产品为次品，公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元，记ζ的分布列和数学期望；(2) 由频率分布直方图可以认为，Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s (同一组中的数据用该区间的中点值作代表)①利用该正态分布，求()87.8112.2P Z <<；②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X 表示这500件产品中该项质量指标值位于区间()87.8,112.2的产品件数，利用①的结果，求()E X . 附：15012.2≈，若()2,Z N μσ～，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=. 20.设点A 为圆22:4C x y +=上的动点，点A 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足2MQ AQ =，动点M 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)设E 与y 轴正半轴的交点为B ，过点B 的直线l 的斜率为()0k k ≠，l 与E 交于另一点为P .若以点B 为圆心，以线段BP 长为半径的圆与E 有4个公共点，求k 的取值范围.21.(1)求函数()()ln 0f x x x a a =+<的零点个数；(2)证明：当[)4,0a e ∈-，函数()222ln g x x x x ax =-+有最小值，设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 26πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，已知点Q 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OQ 上，且满足4OQ OP ⋅=，动点P 的轨迹为2C .(1)求2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求AOB △的面积的最大值. 23.已知函数()21f x x x =-+.(1)求不等式()2f x x ≥的解集；(2)若关于x 的不等式()2x f x a ≥+在[)0,+∞上恒成立，求a 的取值范围.2018年福州市高中毕业班质量检测数学(理科)试卷参考答案一、选择题1-5:BCBBD 6-10:ADBCC 11、12：DB二、填空题 13.6 14.33415.[)6,+∞ 16.1- 三、解答题17.解：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为1055105S S =+， 所以1110954105225105a d a d ⨯⨯++-=， 所以552d =， 解得2d =.所以()()112122n a a n d n n =+-=+-⨯=.(2)由(1)知，2n a n =，所以()2222n n n S n n +==+， 所以2122424222n n S n na n n n n nb a n n n +++=⋅=⋅=⋅=⋅，所以()22222n n n An A B ++⋅=++⋅，所以120A A B =⎧⎨+=⎩，解得12A B =⎧⎨=-⎩， 所以()()321222n n n b n n ++=-⋅--⋅，所以12n n T b b b =+++…()()()()()35653201212022121222n n n n ++⎡⎤⎡⎤=--⋅+⨯-+⨯-⨯++-⋅--⋅⎣⎦⎣⎦…()()332212n n +=-⋅--⋅()3128n n +=-⨯+18.解：(1)证明：如图，连接1AB ，1A B ，交于点H ，1A B 交EF 于点K ，连接DK ，因为11ABB A 为矩形，所以H 为线段1A B 的中点，因为点E ，F 分别为棱AB ，1BB 的中点，所以点K 为线段BH 的中点，所以13A K BK =，又因为3CD BD =，所以1AC DK ∥，又1A C ⊄平面DEF ，DK ⊂平面DEF ，所以1A C ∥平面DEF ；(2)由(1)知，1EH AA ∥，因为1AA ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ，因为ABC △为正三角形，且点E 为棱AB 的中点，所以CE AB ⊥，故以点E 为坐标原点，分别以EA ，EH ，EC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，设4AB =，()10AA t t =>，则()12,,0A t ，()0,0,23C ，()0,0,0E ，2,,02t F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，33,0,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()12,,23AC t =--，2,,02t EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为1AC EF ⊥，所以10A C EF ⋅=， 所以()()2223002t t -⨯--⨯+⨯=，解得22t =. 所以()2,2,0EF =-，33,0,22ED ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面DEF 的法向量为(),,n x y z =，则00EF n ED n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以22033022x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 取1x =，则()1,2,3n =， 又因为()112,0,23AC AC ==-，设直线11AC 与平面DEF 所成的角为θ， 所以11111146sin cos ,664n A C n A C n A C θ⋅=<>===⨯⋅， 所以直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值为66. 19.解：(1)由频率估计概率， 产品为正品的概率为()0.0330.0240.0080.002100.67+++⨯=，所以随机变量X 的分布列为： ξ90 30- P 0.670.33 所以()()900.67300.3350.4E ξ=⨯+-⨯=.(2)由频率分布直方图，抽取产品的该项质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为： 700.02800.09900.221000.331100.241200.081300.02100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.()()()()()()22222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02150s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ①因为()100,150Z N ～，从而()()88.8112.210012.210012.20.6826P Z P Z <<=-<<+=.②由①知，一件产品中该项质量指标值位于区间()87.8,112.2的概率为0.6826.依题意知()500,0.6826X B ～，所以()5000.6826341.3E X =⨯=.20.解：(1)设点(),M x y ，()11,A x y ，则()1,0Q x ，因为2MQ AQ =，所以()()112,0,x x y y --=-，所以()11202x x y y -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得112x x y y =⎧⎨=⎩，由于点A 在圆22:4C x y +=上，所以2244x y +=，所以点M 的轨迹E 的方程为2214x y +=. (2)由(1)知，E 的方程为2214x y +=，因为直线():10l y kx k =+≠. 由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221480k x kx ++=， 设()11,B x y ，()22,P x y ，因此10x =，22814k x k =-+， 2212281114k BP k x x k k =+-=++，则点P 的轨迹方程为()()()222222641114k k x y k ++-=+，由()()()2222222264111444k k x y k x y ⎧+⎪+-=⎪+⎨⎪+=⎪⎩，得()()22222641325014k k y y k ++-+=+，(11y -≤≤)(*) 依题意得，(*)式关于y 的方程在()1,1-有两个不同的实数解， 设()()()()222226413251114k k f y y y y k +=+-+-<<+，因为函数()f y 的对称轴为13x =-， 要使函数()f y 的图象在()1,1-与x 轴有两个不同的交点， 则()()()2222641443501410k k k f ⎧⎡⎤+⎪⎢⎥∆=-⨯⨯-+>⎪⎢⎥⎨+⎣⎦⎪⎪->⎩， 整理得：()()42222244106414014k k k k k ⎧-+>⎪⎪+⎨-+>⎪+⎪⎩，即4242441012810k k k k ⎧-+>⎪⎨+->⎪⎩， 所以221218k k ⎧≠⎪⎪⎨⎪>⎪⎩.解得222222,,,,224422k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞---+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以k 的取值范围为222222,,,,224422⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞---+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21.解：(1)函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()'ln 1f x x =+，令()'0f x =，得1x e=， 当10x e <<时，()'0f x <，()f x 在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减； 当1x e >时，()'0f x >，()f x 在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增； 故()min 11f x f a e e ⎛⎫==-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭. 因为0a <，当()0,1x ∈时，ln 0x x <，即()0f x <， 所以函数()f x 在区间()0,1内无零点.因为()10f a =<，()()10a a a f e ae a a e ---=-+=->， 又()f x 在区间()1,+∞内单调递增，根据零点存在性定理，得函数()f x 在区间()1,a e -内有且只有一个零点. 综上，当0a <时，函数()f x 在()0,+∞的零点个数为1.(2)()'4ln 4ln 4a g x x x a x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 则()'4ln 4a g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由(1)知，ln 4a y x x =+在1x >时单调递增， 对任意[)4,0a e ∈-，()'10g a =<，()'404a g e e ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭， 因此，存在唯一(]1,a x e ∈，使得()'0a g x =， 当01x x <<时，()'0g x <，()g x 单调递减；当a x x >时，()'0g x >，()g x 单调递增.因此()g x 在a x x =处取得最小值()a g x .()222ln a a a a a g x x x x ax =-+()22222ln 4ln 2ln a a a a a a a a a x x x x x x x x x =-+-=-- 于是()(]()222ln 1,a a a a h a x x x x e =--∈， 由()()(]()222ln 4ln 101,x x x x x x e --=-+<∈， 得222ln y x x x =--在(]1,e 单调递减， 所以，由(]1,a x e ∈，得()22222ln 21ln11e e e h a --≤<-⨯⨯-， ()231e h a -≤<-， 因为(]()222ln 1,y x x x x e =--∈单调递减，对任意)23,1e λ⎡∈--⎣，存在唯一的(]1,a x e ∈，[)4ln 4,0a a a x x e =-∈-，使得()h a λ=，所以()h a 的值域是)23,1e ⎡--⎣. 综上，当[)4,0a e ∈-，函数()222ln g x x x x ax =-+有最小值.()h a 的值域是)23,1e ⎡--⎣.22.解：(1)设P 的极坐标为()(),0ρθρ>，Q 的极坐标为()()11,0ρθρ>， 由题设知，OP ρ=，12cos 6OQ ρπθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，由4OQ OP ⋅=得2C 的极坐标方程是()2cos 06πρθρ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 因此2C 的直角坐标方程为2231122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，但不包括点()0,0.(2)设点B 的极坐标为()(),0B B ραρ>， 由题设知2OA =，2cos 6B πρα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，于是AOB △面积为1sin 2B S OA AOB ρ=⋅⋅∠ 2cos sin 63ππαα⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2332sin 42α=-≤当0α=时，S 取得最大值32.所以AOB △面积的最大值为32. 23.解：(1)不等式()2f x x ≥等价于2210x x x --+≥，① 当0x ≥时，①式化为2310x x -+≥， 解得352x +≥或3502x -≤≤； 当0x <时，①式化为210x x -+≥， 解得0x <，综上所述，不等式()2f x x ≥的解集为353522x x x ⎧⎫-+⎪⎪≤≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭或.(2)不等式()2x f x a ≥+在[)0,+∞上恒成立， ⇔()()2x f x a f x -≤+≤在[)0,+∞上恒成立， ⇔22112x x x a x x -+-≤+≤-+在[)0,+∞上恒成立， ⇔22131122x x a x x -+-≤≤-+在[)0,+∞上恒成立， 由221115151241616x x x ⎛⎫-+-=---≤- ⎪⎝⎭(当且仅当14x =时取等号)，2233771241616x x x ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭(当且仅当34x =时取等号)， 所以1571616a -≤≤， 综上所述，a 的取值范围是157,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。