6-2拉普拉斯变换的反演
拉普拉斯变换的基本性质变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4)②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+=nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(（F-6）。
6-2拉普拉斯变换的反演
( p 2 2 p 1) y( p) y(0) 0 (0) y 解得 y ( p) ( p 1) 2
反演
y(t ) y(0)tet
将t=1，y=2代入
再由位移定理
et f (t )≒ f ( p )
p t t cos t e sin t e ≓ ≓ ( p )2 2 ( p )2 2 e ap 例4：求 的原函数。 p ( p b) e ap e ap 1 p( p b) p pb 1 e ap ∵ ≓ H (t a) ≓ e bt pb p t e ap b ( t ) d ∴ ≓ 0 H ( a)e p ( p b)
ey(0) 2 y(0) 2e1
y(t ) 2tet 1
三、黎曼—梅林反演公式：
1 a i pt f (t ) f ( p ) e dp a i 2i Re s[ f ( p)e pt ]
全平面
p=σ+iω在p平 面上应用留 数定理
§6.2 拉普拉斯变换的反演
求拉普拉斯变换的反演即为在已知像函数情况下 求原函数(即为求反演积分)。我们分不同情况按 下述方法来求。 一、 有理分式反演法 若像函数是有理分式，只要把有理分式分解为分 项分式之和，然后利用拉氏变换的基本公式，就 能得到相应的原函数。
p 3 2 p 2 9 p 36 例1 ：(P96)求 f ( p) 的原函数。 4 p 81
解：(分解成分项分式，再利用典型结果) ∵p4-81=(p2+9)(p+3)(p-3)
拉普拉斯反变换讲解
2.5 拉普拉斯反变换
2.只包含不同极点的F(s)的部分分式展开
如果A(s)的根是各不相同的实数，可将F(s)分解为
An A1 A2 F (s ) = + +鬃 ? = s - p1 s - p2 s - pn
å
n
i= 1
Ai s - pi
pi (i 1,2n) 为 A(s)的n个不相等的单根。
河南科技大学
Henan University of Science & Technology
2.5 拉普拉斯反变换
1.求拉普拉斯反变换的部分分式展开法
K ( s-z1 )( s-z2 )...( s-zm ) B( s ) F (S ) (n m) A(s) (s-p1 )( s-p2 )...( s-pn )
机械工程控制基础
第2章 拉普拉斯变换
---拉氏反变换
河南科技大学
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2.5 拉普拉斯反变换
从Laplace变换F(s)求时间函数f(t)的反变换过程称为Laplace 反变换。Laplace 反变换的符号是 L1 可以通过下列反演 积分，从 F(s) 求得 Laplace 反变换
式中A1﹑A2﹑ 鬃 鬃 ﹑An－待定系数，
A1 = 轾 (s - p1 ) F (s ) s= p1 臌
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2.5 分分式展开
A2 = 轾 (s - p2 ) F (s) s= p2 臌 Ai = 轾 (s - pi ) F (s ) s= pi 臌
拉普拉斯变换性质及反演
b p a
p f( ) a
数学物理方法
（7）卷积定理
若 f1 ( p) L[ f1 (t )] ， f 2 ( p) L[ f 2 (t )]
t
则 L[ f1 (t )* f 2 (t )] f1 ( p) f 2 ( p) ，其中 积。 在傅里叶变换中我们定义了两个函数的卷积： f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
a y ( p) y ( p) 2 2 p p 1
1 1 解得 y ( p ) a ( 2 4 ) p p
1 3 从而 y (t ) a (t t ) 6
数学物理方法
（三）黎曼－梅林反演公式* 在 上两种方 法都不能 求出原函 数 时 ， 原 则 上 总 是 可 以 采 用
n
数学物理方法
（4）相似性定理
1 p L[ f (at )] f ( ) a a
（5）位移定理 L[ e t f( t) f ( ] p 请大家仿照傅里叶积分变换验证。
)
计算 eat cos t ， e at sin t ， eat cht ， eat sht 的拉普拉斯变换函数。 解：略。 例 6.2.6
e ap 1 解：由于 的原函数为 H (t ) ，应用延迟定理有 p p 1 的原函数为 H (t a) ，又由位移定理有 的原函 pb bt 数为 e 。应用卷积定理，有
t e ap 1 L [ ] H ( a)e b (t ) d 0 p ( p b)
t 1 1 L [ 2 ] ( )et d t 1 et 0 p p 1 1
6.3 拉普拉斯变换的反演
数学物理方法
第6章拉普拉氏变换
0
f1( )
e p d ]
f1( p) f2 ( p)
例：求 L[sint] , L[cost]
解： L[est ] 1 ps
L[sin t]
sin t 1 (ei t ei t )
2i
cos t 1 (ei t ei t )
2
1[ 1
2i p i
1]
p i
p2 2
(Re p 0)
j
E0 Lp R
p2 2
E0 L
1 pR/L
p2 2
j
E0
Rt
eL
*sin t
L
j
E0
Rt
eL
*sin t
L
j E0
t R (t )
e L sin d
L0
R2
E0
L2 2
(R sin
t
L cos
t)
E0L R2 L2 2
e(R/ L)t
例：求常微分方 程初值问题
y'''2 y" y' 4
p R 2L
(
R )2 2L
1 LC
I (t)
2L
1
[ R ( R )2 2L 2L LC e 2L 2L LC }
( R )2 1
2L LC
例：积分
I
0
sin 2 x2
txdx
解： I ( p)
1(1
p ) 1 dx
0 2 p p2 4x2 x2
2
1 f (t)e( i) tdt
2 0
令
p i
记
G( ) f ( p) 2
G() 1 f (t)e( i) tdt f ( p)
拉普拉斯变换的反演公式
拉普拉斯变换的反演公式
拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它可以将一个函数从时间域转换到频率域。
在工程学、物理学、数学和其他领域中，拉普拉斯变换被广泛应用。
在这篇文章中，我们将探讨拉普拉斯变换的反演公式。
拉普拉斯变换的反演公式是指，如果我们知道一个函数的拉普拉斯变换，那么我们可以通过反演公式将其转换回时间域。
具体来说，如果我们有一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换为F(s)，那么反演公式可以表示为：
f(t) = (1/2πi) ∫γ [F(s) e^(st) ds]
其中，γ是一个逆时针围绕所有极点的曲线，i是虚数单位，e是自然对数的底数，s是复变量。
这个公式的意义是，我们可以通过对F(s)进行逆拉普拉斯变换，得到原始函数f(t)。
这个过程可以看作是将一个函数从频率域转换回时间域的过程。
需要注意的是，拉普拉斯变换的反演公式并不总是适用。
如果函数F(s)有无穷多个极点，或者它的极点不在γ内部，那么反演公式就不成立。
此外，如果F(s)的极点在γ上，那么反演公式也需要进行修正。
在实际应用中，我们通常会使用一些数值方法来计算拉普拉斯变换的反演。
这些方法包括数值逆拉普拉斯变换、快速逆拉普拉斯变换等。
这些方法可以帮助我们更快、更准确地计算反演公式。
拉普拉斯变换的反演公式是一个非常重要的数学工具，它可以帮助我们将一个函数从频率域转换回时间域。
在实际应用中，我们需要注意反演公式的适用条件，并使用适当的数值方法来计算反演。
拉普拉斯变换及反变换62047
2、拉氏变换的运算法则 （1）线性定理
L[af (t) bg(t)] aF(s) bG(s)
（2）延迟定理
(t )
L[ f (t )] es F (s)
t
0
f (t)
f (t )
0
t
（3）位移定理
L[et f (t)] F (s )
L[et f (t)] et f (t)est dt 0
f (t) tsin t 1(t) et
t
0
0
0
t
L[sin t] 1
2j
0
(e
jt
e jt
)est dt
s2
2
（7）余弦函数
f (t) cost 1(t)
L[cost] 1 2
(e
0
jt
e jt
)est dt
s2
s
2
0
s
t
L[ 0
t 0
f
(t)dtn ]
1 sn
F(s)
（7）初值定
理
lim f (t) lim sF(s)
t0
s
f (0) lim sF(s) s
（8）终值定理
lim f (t) lim sF(s)
t
s0
f () lim sF(s) s0
（9）象函数的微分性质
其中 br [F s (s p1)r ]sp1
…
br 1
{ d [Fs(s
ds
p1)r ]}s p1
br j
拉普拉斯反变换ppt
部分分式展开法的优点是当F(s)展开成部分分式形式后，它的每一 个单项都是s的非常简单的函数。但是，在应用部分分式展开法求 F(s)=B(s)/A(s)的拉普拉斯反变换时， 必须先求出分母多项式A(s)的 根。就是在对分母多项式进行因式分解之前，不能应用这种方法。
w2
2.5 拉普拉斯反变换
2.只包含不同极点的F(s)的部分分式展开
给定的F(s)可以写成阻尼正弦函数与阻尼余弦函数之和
F (s)=
2s + 12 s2 + 2s + 5 =
10 + 2(s + 1) (s + 1)2 + 22
2
s+ 1
=
5 (s +
1)2
+
22
+
2 (s +
1)2
+
22
由此得：
F (s) = s2 - s + 2 = s2 - s + 2 = A1 + A2 + A3
s(s2 - s - 6) s(s - 3)(s + 2) s s - 3 s + 2
A1 A2 A3
= = =
轾 臌F (s)s s= 0 轾 臌F (s)(s 轾 臌F (s)(s +
=
3) 2)
轾 犏 s2
F (s) A1 A2 A3 (s p1)3 (s p1)2 s p1
A1 (s p1)3 F(s) s p1
A2
d [(s ds
p1)3 F (s)]
s p1
A3
第06章_拉普拉斯变换
f ( )e p ( t0 )d
0
e
t0 p
0
f ( )e p d
e
t0 p
f ( p)
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第6章 拉普拉斯变换
t
15
(6) 位移定理 [e 证明： [e
其中积分 f (t )e pt dt称为拉普拉斯积分，f ( p )称为函
0
数f (t )的拉普拉斯变换函数(像函数)，f (t )称为原函数。
拉普拉斯变换存在的充分条件：(1) 在0≤t<∞的任一有限 区间上，除了有限个第一类间断点外，函数f(t)及其导数 是处处连续的；(2) 存在常数M>0和σ≥0，使得对于任何 的t值(0≤t<∞)，有 f (t ) Me t σ的下界称为收敛横标，用σ0表示。特别说明：大多数函 数都满足该条件！
d
1 p f( ) a a
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第6章 拉普拉斯变换
14
(5) 延迟定理
[ f (t t0 )] e
t0 p
f ( p)
pt
证明： [ f (t t0 )]
0
f (t t0 )e dt
WangChengyou © Shandong University, Weihai
Байду номын сангаас
数学物理方法
第6章 拉普拉斯变换
11
(2) 导数定理
[ f '(t )] pf ( p) f (0)
拉普拉斯变换
0
f1( )
e p d ]
f1( p) f2 ( p)
例1：求 L[sint] ， L[cost]
解： L[est ] 1 ps
L[sin t]
sin t 1 (ei t ei t )
2i
cos t 1 (ei t ei t )
2
1[ 1
2i p i
1]
p i
p2 2
(Re p 0)
有限个第一类间断点外，函数f(t)及其导数是连续的，(2)
存在常数M>0和σ≥0,使对任何t，有
f (t) Met
σ的下界称为收敛横标，用σ0表示， 则：f (t) Me0t
f (t)e t dt Me0 te t dt M e( 0 ) tdt
0
0
0
M
0
(
0)
即要求： Re p 0
L[cos t]
11
1
p
[
2 p i
]
p i
p2 2
(Re p 0)
例2：求函数f(t)=tsint、 f(t)=tn的拉氏变换
解：
L[sin t]
p2
2
(Re p 0)
由像函数的导数定理
L[t
sin
t
]
d dp
[
p
2
2
]
2p ( p2 2)2
同理可得
L[t cos t]
p2 2 ( p2 2)2
0
fd
(
)ep d
L[ fd (t)]
所以:
L[
fb
(t)]
1
1 e
pT
T 0
fb( )ep d
拉普拉斯变换-PPT
1
i
s2
2
(Re s 0)
ℒ
[cost] 1 ℒ [eit ] ℒ
2
[eit ]
s
s2 2
(Res 0)
二 原函数导数定理:
ℒ [ f '(t)] sF (s) f (0)
ℒ [ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f '(0)
sf (n2) (0) f (n1) (0)
t0
s
十二 终值定理
设L[ f (t)] F (s),且 lim f (t)存在，或 t0
sF (s)的奇点位于 Re s 0的平面上，则
F () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
例1（P205例10.3.4）
求积分正弦函数Si (t)
t sin d的拉氏变换。 0
例2（P206例10.3.5）
二 Laplace变换的存在条件 1 Laplace 变换存在的充分条件是：
（1）在 0 t < 的任一有限区间上， 除了有限个第一类间断点外，函数f(t)
及其导数是处处连续的。
（2） 存在常数 M > 0 和 0，使对 于任何t (0 t < ), 有
f (t) Met即 f (t)et M
绝对可积的条件
| f (x) | dx
3）在整个数轴上有定义
实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多 函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃， 线性函数等；另外，在无线电技术中，函数 往往以t作为自变量，t<0无意义。
2 拉普拉斯变换研究的对象函数
1）函数满足这样的条件:
a) t<0时，f(t)=0
数学物理方法§06-2-22
lim ∫ f ( p)e pt dt = 0
(t > 0)
⑶
说明： 让 p=iz， 相当于约当定理 1， σ→-y;ω→x。 此时指数函数为衰减函数，即有结论。
例题 4：求证拉氏变换的反演公式。 解：拉氏变换可以看作函数加一指数收敛核的傅 氏变换的延拓，令：
g (t ) = H (t ) f (t )e −σt
e −τp p
1 p
; 的函数。
解：由查表求出
的原函数：
1 p
由延迟定理：
. =.
1
πt
⑴
f (t ) = L−1 [ I ] =
1
π (t − τ )
#
⑵
四、
黎曼-梅林反演公式
利用傅立叶积分变换，可以证明，f(t)拉氏变换以及反演公式为：
f ( p) = ∫ f (t )e − pt dt
0
∞
( p ∈ C)
p 3 + 2 p 2 − 9 p + 36 p 4 − 81
⑴
I=
[ ] p 3 + 2 p 2 − 9 p + 36 = 4 2 p − 81 ( p − 3)( p + 3)( p + 9) ⑵ 1 1 1 1 p −1 1 1 1 1 p 1 3 = − + = − + − 2 p − 3 2 p + 3 p2 + 9 2 p − 3 2 p + 3 p2 + 9 3 p2 + 9
⑴
f (t ) =
1 it (e − e −it ) = sin t i2
#
⑵
4
2
解： f ( p )e
拉普拉斯变换及反变换
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
• 作业
1 写出拉普拉斯变换定义式 、 2 、
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
__
1
(s-1)2
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
F(s)= ℒ ℒ
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
（单位脉冲函数） δ(t)
0
t
ℒ
=1
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
（单位斜坡函数） f(t) t
0
F(s)=L[f(t)]=
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
（幂函数）
ℒ
ℒ
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
ℒ
ℒ
ℒ ℒ
ℒ
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
三、积分定理
ℒ
ℒ
例
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
四、时域平移
ℒ
平移
f(t)
f(t-t0)
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
五、 复频域平移
ℒ ℒ 例1 ℒ
例2 ℒ 例3 ℒ
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
六、初值定理和终值定理 初值定理 若ℒ [f(t)]=F(s)，且 f(t)在t = 0处无冲激，
f1(t)
f2(t)
1 e-t
1 e-t
0
t 0
t
解 由于定义的拉氏变换积分上限是0－，两个函数的 拉氏变换式相同
当取上式的反变换时，只能表示出 区间的函数式
ℒ -1
拉氏变换及反变换
t st e s
tn 0 st lim t e
0
e st n n n1 st dt t e dt 0 s 0 s
n [ t ] ℒ [ t n 1 ] s
n
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
n ℒ [ t ] ℒ [ t n 1 ] s
机械工程控制基础
拉 普 拉 斯 变 换 的 基 本 性 质 表
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换的基本性质表
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
本讲小结： 拉普拉斯变换定义 常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
• 整理合并得
（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1×0
( s b1 b0 ) E ( s ) ( s a1 ) r (0 )＋r (0 ) R(s ) s 2 a1 s a0
机械工程控制基础
三、积分定理
机械工程控制基础
六、初值定理和终值定理 初值定理
拉普拉斯变换及反变换
若ℒ [f(t)]=F(s)，且 f(t)在t = 0处无冲激，
t 0 s
则
f (0 ) lim f ( t ) lim sF ( s )
终值定理 f(t)及其导数f (t)可进行拉氏变换，且 lim f ( t )存在时
拉普拉斯变换及反变换
设 ℒ [ f (t )] F ( s)
则 ℒ [ 0
拉普拉斯变换的反演公式
拉普拉斯变换的反演公式
拉普拉斯变换的反演公式是：
$$f(t) = \frac{1}{2\pi i}\lim_{T\rightarrow
\infty}\int_{\gamma-iT}^{\gamma+iT} F(s) e^{st} ds$$ 其中 $F(s)$ 是 $f(t)$ 的拉普拉斯变换，$\gamma$ 是实轴上的
一个足够大的实数。
此公式表示了将函数 $F(s)$ 变换回原函数 $f(t)$ 的方法，它
是拉普拉斯变换的核心之一。
进一步的拓展包括：
1. 周期函数的拉普拉斯变换。
在这种情况下，反演公式中的
$T$ 应该是函数周期的长度。
2. 非常数系数常微分方程的解法。
使用拉普拉斯变换后，微分方
程转变为一个代数方程，可以通过求解该代数方程得到原函数 $f(t)$。
3. 与傅里叶变换的关系。
拉普拉斯变换实际上是傅里叶变换的一个拓展，可以在一些情况下使用傅里叶变换来替代拉普拉斯变换，例如当函数是因果函数（即在 $t<0$ 时等于 $0$）时。
4. 实际应用中的数值计算。
拉普拉斯变换和反演公式都可以用来进行数值计算。
由于计算区域需要取到无穷远，因此需要合适的数值方法来进行计算。
常见的方法包括复平面积分方法和数值逆拉普拉斯变换方法。
拉普拉斯变换及反变换
例3 I(s) ℒ [1 e-t ] 1 1 s s1
11
i(t)
t
lim s(
s0
s
s
) 1
1
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
例4：已知F(s)=
1 sa
，求f(0)和f(∞)
解：由初值定理和终值定理可得
f
(0)
limsF (s) s
lims s
s
1
a
1
f
()
limsF (s) s0
2
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
六、初值(initial-value)定理和终值(final-value)定理
初值定理 若ℒ [f(t)]=F(s)，且 f(t)在t = 0处无冲激，
则 f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
终值定理 f(t)及其导数f (t)可进行拉氏变换，且
lim f (t)存在时 ，则
t
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
例1
1
u(t)
t 0
lim s
s
s
1
例2 I(s) 5 2 s1 s2
i(0 ) lim s( 5 2 ) lim( 5 2 ) 3 s s 1 s 2 s 1 1/ s 1 2 / s
L
i
(t)
L1[
I
(s) ]
L1
s
1
a
1 L
• 拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，或作相 反变换。
• 时域f(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。变量s又 称“复频率”。
3. 拉普拉斯变换
§3 拉普拉斯变换[拉普拉斯变换及其反演公式] )(t f 的拉普拉斯变换⎰∞-==0d )()]([)(t e t f t f s L t s ϕ (s 是复数，s =ωσi +)拉普拉斯变换的反演公式⎰∞+∞--==i i st s e s L i s L t f σσπϕd )(21)]([)(1)0,0(≥≥σt 积分沿着任一直线Res=a >σ来取，a 是)(t f 的增长指数，同时，积分理解为在主值意义下的.[拉普拉斯变换的存在条件] 如果)(t f 满足下面三个条件，那末它的拉普拉斯变换存在.(i) 实变量的复值函数)(t f 和)('t f 在)0(≥t 上除掉有第一类间断点（在任一有限区间上至多有有限多个）外连续；(ii) 当t <0时，)(t f =0;(iii) )(t f 是有限阶的，也就是说可以找到常数0≥a 和A >0,使得t a Ae t f ≤)( )0(≥t这里数a 称为)(t f 的增长指数，)(t f 是有界函数时，可取a =0.如果满足上面三个条件，那末L ( s )是半平面Res>a 上的解析函数.而反演公式在)(t f 的连续点处成立.[拉普拉斯变换的性质])]([)](([t f a t f a ϕϕ= (a 是常数))]([)]([)]()([t g b t f a t bg t af ϕϕϕ+=+ (a ,b 是常数) )]([)]([)]()([t g t f t g t f ϕϕϕ∙=* 式中⎰⎰-=-=*ttu u g u t f u u t g u f t g t f 0d )()(d )()()()(称为函数)(t f 和g ( t )的褶积（或卷积）.[拉普拉斯变换的主要公式表］［拉普拉斯变换表］dt )()]([)(0st e t f t f s L -∞⎰==ϕ )0Re (≥=σs⎰∞+∞--==i i st e s L is L t f σσπϕds )(21)]([)(1 )0,0(≥≥σt拉普拉斯变换表I拉普拉斯变换表II[二重拉普拉斯变换及其反演公式] 函数f (x ,y)的二重拉普拉斯变换为⎰⎰∞∞--=00d d),(),(yxeyxfqsL y q x s二重拉普拉斯变换的反演公式为⎰⎰∞+∞-∞+∞-+-=i i i i y q x s s q e q s L y x f σσσσπ''2d d ),(41),( 其中ππππσσ<<-<<-==q s q s arg ,arg ;Re ',Re .。
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。
第一节拉普拉斯变换（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。
一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。
例12.1求斜坡函数()f t at =（0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。
解：0000[]()[]pt ptpt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞+∞+∞---+∞-==-=-+⎰⎰⎰二、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流()i t ，以()Q t 表示上述电路中的电量，则 由于电流强度是电量对时间的变化率，即t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim)()(0-+==→，所以，当0t ≠时，()0i t =；当0t =时，0000→→→→εεεε，即1)]([=t L δ。
例12.3现有一单位阶跃输入0,()1,t u t t <⎧=⎨≥⎩，求其拉氏变换。
解：00011[()]()1[]pt pt pt L u t u t e dt e dt e p p+∞+∞---+∞===-=⎰⎰，(0)p >。
例12.4求指数函数()at f t e =（a 为常数）的拉氏变换。
解：()001[]atat ptp a t L e e e dt e dt p a+∞+∞---===-⎰⎰，()p a >，即类似可得22[sin ](0)L t p p ωωω=>+；22[cos ](0)pL t p p ωω=>+。
拉普拉斯变换
f (t ) ( e e
3t
3t
) / 2 cos3t sin3t / 3
24
（二）查表法反演： 例2： 求
f ( p)
1
e
p
的原函数。
p
由表查得 又由延迟定理 因此
1 1 t p
e p 1 1 (t ) p
- pt 0
0
f ( ) f (t )d e- pt dt 2 0 1
t
17
可看作 t- 平面 的二重积分，交换 积分次序 o
t=
t
f1 (t ) * f 2 (t )
t
0
f (t )e- pt dt f ( )d 2 1
Laplace变换
e
-pt
——Laplace变换核
由 Fourier 逆变换可推得 Laplace逆变换公式
1 g (t ) G ( )e d 2
it
f ( i )eit d
即 由
1 f (t ) 2
i p
1 d dp i
4
p 平面 o
0+i •
0
0-i
5
例1 Heaviside阶越 函数:
1, t 0 H (t ) 0, t 0
[ f (t )]
0
1 1 e dt ; p (Rep 0)
pt
例2 线性函数 f(t)=t (t>0):
1 [ f (t )] te dt td (e pt ) 0 p 0 1 pt 1 pt 1 pt 1 te 0 e dt e dt 2 p p 0 p 0 p (Rep 0)
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1 0 x2 a2
p2
p x2
dx
p2
p a2
0 ( x2
1 a2
p2
1
x2 )dx
p2
p a2
[ 1 arctg a
x a
1 arctg p
x ]
p
p2
p 1
a2
[ a
2
1 p
]
2
0
p pa 1 p2 a2 2 ap 2a p a
再反演回去： I (t) eat 2a
p
0t
这样，实际把对 f (t) 的积分变换成对 f (t) 的拉普拉斯变换的积分，当然，反过来亦可，就 t
看哪个好算.
此为初稿，疏漏之处，敬请指正
数学物理方法
拉普拉斯变换的反演
丁成祥
例： sin tdt 1 dp arctgp
0t
0 p2 1
02
5. 普遍反演公式 普遍反演公式就是：
_ [sin t ]
t
dq arctg q arctg p
p q2 2
p 2
上述性质也可用于计算定积分：
因为：
f (q)dq
f (t)e pt dt
（因为
f (q)dq 的拉普拉斯逆变换为 f (t) ）.
p
0t
p
t
取 p 0 的情况，即得：
f (q)dq
f (t)dt
t 0
sin
cos 0
(t
)d
2
f0 02
[cos
0t
cos
t
]
3. 像函数导数的反演
已知： _ 1[ f ( p)] f (t) ，则_ 1[ f (n) ( p)] (t)n f (t)
例如：已知_ 1[ 1 ] 1 ，则由此可得， p t
_
1[
3
p2
]
_
1[2
d
(
1
)] 2 (t)
数学物理方法
拉普拉斯变换的反演
丁成祥
§6.2 拉普拉斯变换的反演
1. 有理分式的反演
若 f ( p) 为有理分式，则可以将其部分分式后再做反演.
例 1：求_
-1[ ( p2
1 2) p]
解：
f
( p)
( p2
1 2)p
Ap B p2 2
C p
则等式右边 Ap2 Bp Cp2 C2 ，和左边比较可得 ( p2 2) p
1决定，即
2
2 ，即
，有无穷多个奇点.
(2) 当 Re p s0 ，当 p 时， f ( p) 0 ，这其实是拉普拉斯变换的性质.
(3) 对于任意 Re p s0 ，沿直线 Re p 的积分：
i i
f ( p) dp，(
s0 )
则 f ( p) 反演存在.
例题 1：求
f
( p)
A
B
C 0
0
A
B
1 2 0
C2 1
C
1 2
f ( p)
1 2
p
p2 2
1 2
p
1 [ p 2 p2 2
1] p
1 2
[
1 p
p p2 2 ]
_
1[ f
( p)]
1 2
[1
cos
t
]
2. 查表法 很多函数的拉普拉斯变换已被制成了表格. 我们可以查表求拉普拉斯变换和反演. 有些
函数，表中没有，但往往在作一些简单的变形后就可以从表中得出；或利用前面的拉普拉斯 变换性质而得到.
f (t) 1 i f ( p)e ptdp
2 i i
但要注意，不是任意一个 f ( p) 都可能是某个函数的拉氏变换，必须满足一定的条件：
（1） Re p s0 时 f ( p) 解析，即在实部大于 s0 的右半平面解析， s0 是收敛横标，若在右
半平面奇点是无穷多的，比如
，是不可能反演的，其奇点由
ck p2 2
f (t) Re sf ( p) 全平面
奇点有两个， p1,2 i ，皆为一阶奇点，所以
Re sf
(i)
lim( p i)
z i
e pt p2 2
eit 2i
此为初稿，疏漏之处，敬请指正
数学物理方法
拉普拉斯变换的反演
同理
Re sf (i) eit
2i
f (t) eit eit 1 sin t
t 0
f1( )
f2 (t
)d
例如上节课所讲的受迫振动，
此为初稿，疏漏之处，敬请指正
数学物理方法
拉普拉斯变换的反演
丁成祥
x(t) _
1[ ( p2
f0 p 2 )( p2
02 ) ]
f0
_
1[
p2
2
p2
p 02 ]
已知
_
1[
p
2
2
]
sin
t
，
_
1[
p2
p 02
]
cos 0t
所以， x(t) f0
例
1：像前面的
f ( p)
( p2
1 2)p
，表中没有其反演结果，但化成分次分式后，
1， p
(
p2
p 2
)
p
却可从表中查得.
例 2：两个像函数 f1( p) 与 f2 ( p) 之和的反演为 f1(t) f2 (t)
例 3：两个函数 f1( p) f2 ( p) 的反演，可用卷积，即：
_
1[ f1( p) f2 ( p)]
p2
1 2
的原函数.
解： f (t) 1
2 i
i e pt dp i p2 2 ，考虑如图的回路积分
iR
f ( p)e ptdp f ( p)e ptdp f ( p)e ptdp
C iR
CR
f ( p) 在 p 时显然一致地趋于零，
故
e ptdp 0 （推广的约当引理），从而
丁成祥
此为初稿，疏漏之处，敬请指正
2i 2i
例 2.
求
f
(
p)
(
p2
1 2)2
( 0) 的原函数.
解：方法与上一个例题类似
f (t) Re sf ( p) 全平面
两个奇点， p1 i ， p2 i ，但皆为二阶孤立奇点，
同理 由此得：
Re sf (i) 1 d [( p i)2 f ( p)]
(2 1)! dp
p i
1
2
t
dp p
t
4. 像函数积分的反演
如果
f (q)dq 存在，且当 t 时
f (t) 有界，则
f (q)dq( lim
R
f (q)dq) 的反演为：
p
t
p
R p
_
1[
f (q)dq]
f (t)
p
t
例 1：求 sin t 的拉普拉斯变换. t
解，已知 _
[sin t]
p2 2
，则根据上面的公式有
d[ dp ( p
e pt i)2
]
p i
[
t 4
2
1 4i
3
]eit
Re
sf
(i )
[
t 4
2
1 4i 3
]eit
f
(t )
Re sf
(i)
f
(i )
sin t
t cost 2 3
6. 应用之二
求积分： I (t)
cos xtdx 0 x2 a2
解： I (t) 的拉氏变换为：
I ( p)