(文章)函数及其表示法要点归纳

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函数及其表示知识点

函数及其表示知识点一、函数的定义和特征在数学中，函数是一种关系，它将一个或多个输入值映射到一个唯一的输出值。

函数通常用字母表示，例如f(x)或g(y)，其中x和y是输入值，f(x)和g(y)是对应的输出。

函数的定义可以用多种方式表达，比如公式、算法或图表。

函数的核心特征是单值性和一对一性。

单值性要求每个输入对应唯一的输出，而一对一性则要求每个输出值只能由一个输入产生。

二、函数的符号表示函数可以用多种符号来表示，最常见的是用函数名和自变量表示函数。

例如，f(x)表示一个以x为自变量的函数。

函数的符号表示还可以用映射符号箭头“→”表示，例如f: x→f(x)。

在离散数学中，函数也可以使用集合的形式表示。

例如，如果定义了一个函数f，将集合A中的元素映射到集合B中的元素，可以用f: A→B表示。

三、函数的图像表示函数的图像是一种常用的表示方式。

通过绘制函数的图像，我们可以直观地了解函数的特点和关系。

函数的图像通常是在笛卡尔坐标系中绘制的。

横轴表示自变量，纵轴表示函数的值。

函数的图像可以是曲线、直线、折线等不同形状。

曲线图像可以反映函数的变化趋势和特征，而直线和折线图像则更加简单明了。

四、函数的性质和分类函数有许多性质和分类。

其中一些重要的性质包括：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能输出值的集合。

2. 奇偶性：如果一个函数满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数；如果满足f(-x) = f(x)，则称其为偶函数。

3. 增减性：函数的增减性描述了函数的单调性。

如果函数在定义域上是递增的，称其为增函数；如果在定义域上是递减的，称其为减函数。

根据函数的具体形式和性质，我们可以将函数进行分类，常见的函数包括：1. 线性函数：形如f(x) = kx + b的函数，其中k和b是常数。

2. 幂函数：形如f(x) = x^a的函数，其中a是常数。

3. 指数函数：形如f(x) = a^x的函数，其中a是常数。

函数及其表示知识梳理

函数1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。

记作：y =f (x )，x ∈A 。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域。

显然，值域是集合B 的子集.解读函数概念（1）“A ，B 是非空的数集”，一方面强调了A ，B 只能是数集，即A ，B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．（2）理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A ，但函数的值域不一定是非空数集B ，而是集合B 的子集．（3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．(4) “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；常用函数符号: ƒ(x) ,g(x), h(x), F(x), G(x)等.（5）函数符号“()y f x =”是数学中抽象符号之一，“()y f x =”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，()f x 也不一定是解析式，还可以是图表或图象．（6）函数只能是一对一或者多对一（7）函数求值，需要把所有定义域都做代换2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域函数的构成要素由函数概念知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域_.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系.辨析() f x 与()()f a a A ∈：()f a 表示当自变量x a =时函数() f x 的值，是一个常量，而() f x 是自变量x 的函数，它是一个变量，()f a 是() f x 的一个特殊值．（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x 的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x 的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x 的实际意义。

函数的概念及其表示方法知识点及题型总结

函数的概念及其表示方法一、函数的基本概念（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域。

函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f .(1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域；B ：值域，其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则， x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f（二）已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a ：定义域R, 值域R;2．反比例函xk x f =)()0(≠k ：定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ：定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2 （三）函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数（四）函数的三要素：对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)(只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数（五）区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．【定义域补充】求函数的定义域时列不等式组的主要依据是（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数式的真数必须大于零;（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(.变式：求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++ ④x x x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y例2 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围例3 已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).变式：已知f (x )=x 2-1 g (x )=1+x 求f [g (x )]例4下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？ ⑴()2x y =；⑵33x y =；⑶2x y =例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f【抽象函数定义域的求法】例6 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域变式：若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求f （x+1）、f （2x ）的定义域；若函数y=f （x -1）的定义域为[-1，1]，求f （x ）的定义域二、函数的表示法【知识要点】1、常用的函数表示法及各自的优点（1）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x 轴的直线与曲线最多有一个交点。

初中数学函数知识点总结

初中数学函数知识点总结函数是数学中一个非常重要的概念，也是进一步学习高中和大学数学的基础。

本文将对初中数学中的函数概念、函数表示法、函数性质、函数图像及函数应用等方面的知识进行详细介绍。

一、函数的概念函数是一个非常抽象的概念，主要描述了两个集合之间的一种映射关系。

在数学中，函数被定义为一个自变量（输入值）与一个因变量（输出值）间的规则。

具体而言，函数将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上，其中每个自变量都只能对应一个因变量。

二、函数的表示法1. 函数的符号表示法：通常用 f(x) 或 y 来表示函数，其中 f 是函数名，x 为自变量，y 为因变量。

2. 函数的表格表示法：通过列出自变量与因变量的对应值，可以形成一个表格来表示函数。

3. 函数的图像表示法：用坐标系来表示函数，自变量和因变量分别在 x 轴和 y 轴上，并将所有的点连成平滑的曲线。

三、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指自变量的所有可能取值；函数的值域是指因变量的所有可能取值。

2. 奇偶性：如果对于函数中的每个 x，f(-x) = f(x)，那么该函数是偶函数；如果对于函数中的每个 x，f(-x) = -f(x)，那么该函数是奇函数。

3. 单调性：如果在函数的定义域中，当 x1 < x2 时，有 f(x1) < f(x2)，那么该函数是递增的；如果在函数的定义域中，当 x1 < x2 时，有 f(x1) > f(x2)，那么该函数是递减的。

4. 周期性：如果存在一个正数 T，使得对于函数的任意自变量 x，有 f(x+T) = f(x)，那么该函数是周期函数。

四、常见函数1. 线性函数：线性函数是指函数图像为直线的函数。

一般形式为 y = kx+b，其中 k 为斜率，b 为截距。

2. 幂函数：幂函数是指函数的因变量与自变量之间成幂关系的函数。

一般形式为 y =ax^n，其中 a 和 n 为常数。

3. 指数函数：指数函数是指以指数为自变量的函数。

函数的表示法知识点总结

函数的表示法知识点总结本节知识点（1）函数的表示法. （2）分段函数. （3）函数的图象变换. 说明:新课标对映射不作要求. 知识点一函数的表示法函数的表示法有三种,分别是解析法、图象法和列表法. 解析法用数学表达式来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法,记作)(x f y . 这个数学表达式叫做函数解析式、函数表达式或函数关系式.解析法是不是函数的一种重要方法,这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了两个变量之间的数量关系.图象法在平面直角坐标系中,用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.图象法能形象、直观地反映因变量随自变量的变化趋势,从“形”的方面刻画了两个变量之间的数量关系.函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.列表法的优点是不用通过计算,就可以得出与自变量对应的函数值.知识点二分段函数分段函数的定义有些函数在其定义域内,对于自变量x 的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数称为分段函数. 关于分段函数:（1）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.注意各段函数定义域的交集为空集;（2）分段函数的值域是各段函数值域的并集;（3）分段函数包括几段,它的图象就有几条曲线组成.采用“分段作图”法画分段函数的图象:在同一平面直角坐标系中,依次画出各段函数的图象,这些函数的图象组合在一起就是分段函数的图象;（4）分段函数是一个函数,而不是几个函数;（5）分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并在各段解析式的后面标明相应的自变量的取值范围;（6）处理分段函数问题时,首先要确定自变量的取值在哪一段函数的区间内,再选取相应的对应关系.几种常见的分段函数1.取整函数[]xy=（[]x表示不大于x的最大整数）.其图象如图（1）所示.图（1）取整函数的图象图（2）绝对值函数的图象2.绝对值函数含有绝对值符号的函数.如函数()()⎩⎨⎧-<---≥+=+=22222xxxxxy,其图象如图（2）所示,为一条折线.解决绝对值函数的问题时,先把绝对值函数化为对应的分段函数,然后分段解决.3.自定义函数如函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<----≤--=2221211)(2xxxxxxxxf为自定义的分段函数,其图象如图（3）所示.4.符号函数x y sgn =符号函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==010001sgn )(x x x x x f ,其图象如图（4）所示.符号函数的性质: x x x sgn =.图（3）图（4）符号函数的图象说明:函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线或离散的点. 分段函数的常见题型 1.求分段函数的函数值.求分段函数的函数值的方法是:先确定自变量的值属于哪一个区间段,然后代入该段的解析式求值.当出现))((a f f 的形式时,应从内到外依次求值.例1. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-+=,2,2,2,21)(2x x x x x x f ,则))1((f f 的值为【】（A ）21-（B ）2 （C ）4 （D ）11 解:∵21<,∴()32112=+=f ,∴()3))1((f f f = ∵23>,∴()423133=-+=f ,∴4))1((=f f .【 C 】. 习题1. 已知函数⎩⎨⎧>-≤++=,0,3,0,34)(2x x x x x x f ,则=))5((f f 【】（A ）0 （B ）2- （C ）1- （D ）12.已知分段函数的函数值,求自变量的值.方法是:先假设函数值在分段函数的各段上取得,解关于自变量的方程,求出各段上自变量的值.注意:所求出的自变量的值应在相应的各段函数定义域内,不在的应舍去.例2. 已知函数⎩⎨⎧<<--≤+=)21()1(2)(2x x x x x f ,若3)(=x f ,则=x _________.解:当1-≤x 时,32=+x ,解之得:1=x ,不符合题意,舍去;当21<<-x 时,32=x ,解之得:3±=x ,其中13-<-=x ,舍去,∴3=x 综上,3=x .习题2. 已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ,若5)(=x f ,则x 的值是【】（A ）2- （B ）2或25-（C ）2或2- （D ）2或2-或25-习题3. 已知⎩⎨⎧≤+>=)0(1)0(2)(x x x x x f ,若0)1()(=+-f a f ,则实数a 的值等于________.3.求分段函数自变量的取值范围在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法是:先假设自变量的值在分段函数的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.例3. 已知函数⎩⎨⎧<+-≥-=)1(32)1(23)(22x x x x x x f ,求使2)(<x f 成立的x 的取值范围. 解:由题意可得:⎩⎨⎧<-≥22312x x x 或⎩⎨⎧<+-<23212x x 解不等式组⎩⎨⎧<-≥22312x x x 得:1≤371+<x ;解不等式在⎩⎨⎧<+-<23212x x 得:22-<x 或122<<x∴使2)(<x f 成立的x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧+<<-<3712222x x x 或. 习题4. 已知()()⎩⎨⎧<≥=0001)(x x x f ,则不等式x x xf +)(≤2的解集为【】（A ）][1,0 （B ）][2,0 （C ）](1,∞- （D ）](2,∞-习题5. 设函数()()⎩⎨⎧<+≥+-=06064)(2x x x x x x f ,则不等式)1()(f x f >的解集是_______.习题6. 函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+-≤=434212)(x x x x x x x f ,若3)(-<a f ,则实数a 的取值范围是_____.例 4. 已知0≠a ,函数()()⎩⎨⎧≥--<+=1212)(x a x x a x x f ,若()()a f a f +=-11,则a 的值为_________.解:当11<-a ,即0>a 时,11>+a∴()()a a a a f -=+-=-2121,()a a a a f 31211--=---=+ ∵()()a f a f +=-11 ∴a a 312--=-,解之得:023<-=a ,不符合题意,舍去; 当11>-a ,即0<a 时,11<+a()()a a a a f --=---=-1211,()()a a a a f 32121+=++=+∵()()a f a f +=-11∴a a 321+=--,解之得:43-=a ,符合题意.综上,a 的值为43-.习题7. 设()⎩⎨⎧≥-<<=)1(12)10()(x x x x x f ,若)1()(+=a f a f ,则=⎪⎭⎫⎝⎛a f 1_________. 习题8. 设⎩⎨⎧<≥=)0()0()(2x x x x x f ,⎩⎨⎧>-≤=)2()2()(2x x x x x ϕ,则当0<x 时,=))((x f ϕ【】（A ）x - （B ）2x - （C ）x （D ）2x图（5）习题9. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=)0(1)0(121)(x xx x x f ,若a a f =)(,则实数a 的值为【】（A ）1± （B ）1- （C ）2-或1- （D ）1±或2-4.求分段函数的定义域分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.例5. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<+≤≤=)2(12)21(1)10(2)(x x x x x x x f 的定义域是_________.解:由各段函数的定义域可知该分段函数的定义域为[]())[)[∞+=∞+,0,22,11,0 .5.求分段函数的值域分段函数的值域是各段函数值域的并集.对于某些简单的分段函数,可画出其图象,象法）.例6. 设∈x R ,求函数x x y 312--=的值域. 解:当x ≥1时,()2312--=--=x x x y ; 当0≤1<x 时,()25312+-=--=x x x y ; 当0<x 时,()2312+=+-=x x x y .综上所述,⎪⎩⎪⎨⎧<+<≤+-≥--=)0(2)10(25)1(2x x x x x x y其图象如图（5）所示,由图象可知其值域为](2,∞-. 另解:由上面可知:⎪⎩⎪⎨⎧<+<≤+-≥--=)0(2)10(25)1(2x x x x x x y 当x ≥1时,函数2--=x y 的值域为](3,-∞-;图（6）当0≤1<x 时,函数25+-=x y 的值域为(]2,3-; 当0<x 时,函数2+=x y 的值域为)(2,∞-.∴函数x x y 312--=的值域为]( 3,-∞-(] 2,3-)(=∞-2,](2,∞-.例7. 若∈x R ,函数)(x f 是x y x y =-=,22这两个函数值中的较小者,则函数)(x f 的最大值为【】（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）无最大值解:解不等式22x -≥x 得:2-≤x ≤1 ∴当2-≤x ≤1时,x x f =)(,其值域为[]1,2-; 解不等式x x <-22得:1>x 或2-<x∴当1>x 或2-<x 时,22)(x x f -=,其值域为()1,∞-综上所述,⎩⎨⎧-<>-≤≤-=)21(2)12()(2x x x x x x f 或函数)(x f 的值域为[] 1,2-()](1,1,∞-=∞- ∴函数)(x f 在其值域内的最大值为1. 函数)(x f 的图象如图（6）所示.习题10. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤<<=)2015(5)1510(4)100(2)(x x x x f ,则函数)(x f 的值域是【】（A ）{}5,4,2 （B ）()5,2 （C ）()4,2 （D ）()5,4习题11. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤≤=)2(3)21(2)10(2)(2x x x x x f 的值域是【】（A ）R （B ）)[∞+,0 （C ）[]3,0 （D ）[]{}32,0 习题12. 已知函数()2221)(≤<--+=x xx x f . （1）用分段函数的形式表示该函数;（2）画出该函数的图象; （3）写出该函数的值域.习题13. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-=)0(21)0(2)0(3)(2x x x x x x f .（1）画出函数)(x f 的图象;（2）求))(1(2R a a f ∈+,))3((f f 的值; （3）当)(x f ≥2时,求x 的取值范围.图（7）知识点三函数的图象变换函数图象的平移变换在平面直角坐标系中,函数图象的平移变换分为上下平移变换和左右平移变换两种.图象变换后,函数的解析式也发生了有规律的变化. （1）上下平移变换将函数)(x f y =的图象沿y 轴方向向上()0>b 或向下()0<b 平移b 个单位长度,得到函数b x f y +=)(的图象,即遵循“上加下减”的原则. （2）左右平移将函数)(x f y =的图象沿x 轴方向向左()0>a 或向右()0<a 平移a 个单位长度,得到函数)(a x f y +=的图象,即遵循“左加右减”的原则.例1. 将函数x y =的图象向上和向下平移2个单位长度,画出平移后的函数的图象.解:函数x y =,即函数()()⎩⎨⎧<-≥=00x x x x y .将函数x y =的图象向上平移2个单位长度,得到函数2+=x y 的图象,如图（1）所示;将函数x y =的图象向下平移2个单位长度,得到函数2-=x y 的图象,如图（2）所示.图（1）图（2）例2. 将函数x y 1=的图象向左平移1个单位长度,画出平移后的函数的图象. 解:将函数x y 1=的图象向左平移1个单位长度,得到函数11+=x y 的图象,如图（3）所示.图（3）说明:在图（3）中,反比例函数xy 1=的图象无限趋近于x 轴和y 轴,但不相交.因此把x 轴和y 轴叫做双曲线x y 1=的两条渐近线.所以,函数11+=x y 的图象的两条渐近线分别是x 轴和直线1-=x .例3. 将函数221)(x x f =的图象向右平移1个单位长度,画出平移后的函数的图象. 解:将函数221)(x x f =的图象向右平移1个单位长度,得到函数()2121)(-=x x f 的图象,如图（4）所示.图（4）1)2函数图象的对称变换在同一平面直角坐标系中,下列函数图象的对称关系为: （1）函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于x 轴对称; （2）函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于y 轴对称;（3）函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于原点对称（即关于原点成中心对称）. 根据以上两个函数图象的对称关系,作出其中一个函数的图象,可以作出相应的另一个函数的图象.例4. 已知函数)(x f y =的图象如图（5）所示,画出函数)1(x f y -=的大致图象.图（5）解:∵ ()[]1)1(--=-=x f x f y ,∴先作出函数)(x f y =的图象关于y 轴对称的函数)(x f y -=的图象,如图（6）所示,再把函数)(x f y -=的图象向右平移1个单位长度,即可得到函数)1(x f y -=的图象,如图（7）所示.图（6）图（7）函数图象的翻折变换在同一平面直角坐标系中,通过对函数)(x f y =图象的翻折变换,可以得到函数)(x f y =和)(x f y =的图象.（1）要作出函数)(x f y =的图象,可先作出函数)(x f y =的图象,然后保留x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可;（2）要作出函数)(x f y =的图象,可先作出函数)(x f y =的图象,然后保留y 轴上及其右侧的图象,把y 轴右侧的图象翻折到y 轴左侧即可.例5. 画出函数132+-=x x y 的大致图象. 解:()1521512132+-=+-+=+-=x x x x x y 先作出函数,5的图象x y -=然后把函数的图象xy 5-=向左平移1个单位长度,得到函数15+-=x y 的图象,再把函数15+-=x y 的图象向上平移2个单位长度,即可得到函数132+-=x x y 的大致图象,如图（8）所示.图（8）说明:在图（8）中,直线1-=x 和直线2=y 是函数132+-=x x y 的图象的两条渐近线. 例6. 作出函数322--=x x y 的大致图象.解:先作出函数322--=x x y 的图象,然后把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可得到函数322--=x x y 的图象,如图（9）所示.图（9）3说明:事实上,函数322--=x x y 为绝对值函数,可化为分段函数:()()⎩⎨⎧<<-++-≥-≤--=--=3132313232222x x x x x x x x x y 或.例7. 作出函数322--=x x y 的大致图象.解:先作出函数322--=x x y 的图象,然后保留其在y 轴上及其右侧的图象,把y 轴右侧的图象翻折到y 轴左侧即可得到函数322--=x x y 的图象,如图（10）所示.x 3图（9）说明:事实上,()()⎩⎨⎧<-+≥--=--=03203232222x x x x x x x x y .习题1. 若方程m x x =+-342有四个互不相等的实数根,则实数m 的取值范围是________. 提示:根据数形结合思想,构造两个函数:342+-=x x y 和常数函数m y =,将方程的根的个数转化为两个函数图象的交点个数问题.习题2. 将函数()3122-+=x y 的图象向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度,所得的图象对应的函数解析式为________________.习题3. 画出函数1322--+=x x x y 的图象,并根据图象指出函数的值域.知识点四求函数的解析式求函数的解析式的方法（1）待定系数法; （2）换元法; （3）配凑法; （4）解方程组法; （5）赋值法. 一、待定系数法已知函数的类型,求函数的解析式，用待定系数法.例1. 已知一次函数)(x f 满足64))((+=x x f f ,求函数)(x f 的解析式. 解:设函数b kx x f +=)( ∵64))((+=x x f f∴()64)(2+=++=++=+x b kb x k b b kx k b kx f∴⎩⎨⎧=+=642b kb k ,解之得:⎩⎨⎧==22b k 或⎩⎨⎧-=-=62b k∴22)(+=x x f 或62)(--=x x f .例2. 已知)(x f 是一次函数,且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ,求函数)(x f 的解析式. 解:设函数b kx x f +=)(,则:()b k kx b x k x f ++=++=+1)1(,()b k kx b x k x f +-=+-=-1)1(∵172)1(2)1(3+=--+x x f x f ∴()()17223+=+--++x b k kx b k kx 整理得:1725+=++x b k kx∴⎩⎨⎧=+=1752b k k ,解之得:⎩⎨⎧==72b k∴72)(+=x x f .例 3. 已知函数)(x f 是二次函数,且满足1)0(=f ,x x f x f 2)()1(=-+,求函数)(x f 的解析式.解:设c bx ax x f ++=2)( ∵1)0(=f∴1)(,12++==bx ax x f c∴()()()12111122+++++=++++=+b a bx ax ax x b x a x f∵x x f x f 2)()1(=-+ ∴x b a ax 22=++∴⎩⎨⎧=+=022b a a ,解之得:⎩⎨⎧-==11b a∴1)(2+-=x x x f .习题1. 已知)(x f 是一次函数,且14))((-=x x f f ,求函数)(x f 的解析式.习题2. 已知)(x f 是二次函数,且0)0(=f ,1)()1(++=+x x f x f ,求函数)(x f 的解析式.习题3. （1）已知一次函数)(x f y =,3)1(,1)1(-=-=f f ,求)3(f ; （2）已知q px x x f ++=2)(,0)2()1(==f f ,求)1(-f .二、换元法已知函数))((x g f 的解析式,求函数)(x f 的解析式，用换元法. 例4. 已知函数x x x f 2)1(+=+,则)(x f 的解析式为____________. 解:设t x =+1,则()21-=t x (t ≥1)∴()()1121)(22-=-+-=t t t t f (t ≥1)∴1)(2-=x x f (x ≥1). （第二种解法见例8）注意:使用换元法求函数解析式,换元后要标明新元的取值范围,即函数)(x f 的定义域. 例5. 已知函数22)1(2++=+x x x f ,求)(x f 及)3(+x f . 解:设t x =+1,则1-=t x (∈t R ) ∴()()12121)(22+=+-+-=t t t t f∴1)(2+=x x f∴()10613)3(22++=++=+x x x x f .例6. 已知函数111+=⎪⎭⎫⎝⎛-x x f ,求函数)(x f 的解析式.解:由111+=⎪⎭⎫⎝⎛-x x f 可知:1≠x .设t x =-11,则tt x 1+=()0≠t ∴t t t t f 1211)(+=++=∴xx f 12)(+=()0≠x .习题7. 已知函数x x x f 2)1(2-=+,则)(x f 的解析式为____________. 习题8. 已知函数x x x f 2)1(+=-,求函数)(x f 的解析式.习题9. 若xx x f -=⎪⎭⎫⎝⎛11,则当0≠x 且1≠x 时,)(x f 等于【】（A ）x 1 （B ）11-x （C ）x -11 （D ）11-x三、配凑法已知函数))((x g f 的解析式,求某些函数)(x f 的解析式，也可用配凑法. 例7. 已知函数x x x f 2)1(2-=+,求函数)(x f 的解析式. 解:∵x x x f 2)1(2-=+∴()()3141)1(2++-+=+x x x f∴34)(2+-=x x x f .例8. 已知函数x x x f 2)1(+=+,则)(x f 的解析式为____________. 解:∵x x x f 2)1(+=+ ∴()11)1(2-+=+x x f∵1+x ≥1∴1)(2-=x x f (x ≥1).例9. 已知x x x x x f 11122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,求函数)(x f 的解析式. 解法1（配凑法）∵x x x x x f 11122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ∴111111111122+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x f∵111≠+x∴1)(2+-=x x x f (1≠x ). 解法2（换元法）:习题10. 已知22)1(2++=+x x x f ,求函数)(x f 的解析式.习题11. 已知1)1(++=-x x x f ,求函数)(x f 的解析式.习题12. 已知函数13)(-=x x f ,若32))((+=x x g f ,则函数)(x f 的解析式为【】（A ）3432)(+=x x g （B ）3432)(-=x x g （C ）3234)(+=x x g （D ）3234)(-=x x g提示:1)(3))((-=x g x g f . 四、解方程组法已知中含有⎪⎭⎫⎝⎛x f x f 1),(或)(),(x f x f -形式的函数,求函数)(x f 的解析式,用解方程组法.例10. 已知函数)(x f 满足x x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+12)(,则函数)(x f 的解析式为____________.解:∵x x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+12)(∴用x 1替换上式中的x ,得到:x x f x f 1)(21=+⎪⎭⎫⎝⎛解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛+x x f x f x x f x f 1)(2112)(得:xx x f 3231)(+-=.例11. 定义在区间()1,1-上的函数)(x f 满足2)()(2x x f x f =--,求函数)(x f 的解析式. 解:∵()1,1-∈x ,∴()1,1-∈-x ∵2)()(2x x f x f =--∴用x -替换上式中的x ,得到:()22)()(2x x x f x f =-=--解方程组⎩⎨⎧=--=--22)()(2)()(2x x f x f x x f x f 得: )11()(2<<-=x x x f .习题13. 已知函数)(x f 满足2112)(+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx f x f ,则函数)(x f 的解析式为____________.习题14. 已知x x x f x f 2)(2)(2+=-+,求函数)(x f 的解析式.五、赋值法求抽象函数的解析式用赋值法.例12. 设)(x f 是R 上的函数,且满足1)0(=f ,并且对任意的实数y x ,都有:)12()()(+--=-y x y x f y x f ,求)(x f 的解析式.解:设y x =,∵1)0(=f∴()112)()0()(=+--==-x x x x f f y x f ∴1)(2++=x x x f .习题15. 已知对于任意实数y x ,都有y x y xy x y f y x f 332)(2)(22-+-+=-+,求函数)(x f 的解析式.。

1.2.2 高中函数的表示法复习总结资料

第 1 页共 4 页1.2.2 高中函数的表示法复习总结资料要点一、函数的表示法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.1、解析法的概念：如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。

例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2(2)y x x =-≥等等都是用解析式表示函数关系的。

特别提醒：1、解析法的优点：①简明、全面地概括了变量间的关系；②可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；③便于利用解析式研究函数的性质。

中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。

2、解析法的缺点：①并不是所有的函数都能用解析法表示；②不能直观地观察到函数的变化规律。

2、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。

例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。

我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.特别提醒：1、列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。

这种表格常常应用到实际生产和生活中。

2、列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。

3、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。

例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。

特别提醒：1、图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。

2、图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。

例1：下列各图中，能作为()y f x =的图象的是（）（C ）（D ）要点二、分段函数图像有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。

函数知识点归纳

函数知识点归纳函数是数学中的一个重要概念，它在数学、科学、工程以及日常生活中都有着广泛的应用。

下面我们来对函数的相关知识点进行归纳。

一、函数的定义在数学中，设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。

记作：y ＝ f(x)，x∈A。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)｜ x∈A ｝叫做函数的值域。

需要注意的是，函数的定义中强调了“任意”和“唯一”这两个关键词。

“任意”表示对于定义域中的每一个值都要考虑到，“唯一”表示对于一个自变量 x，只能有一个函数值与之对应。

二、函数的表示方法函数通常有以下三种表示方法：1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如 y ＝2x ＋ 1。

2、列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系，例如一次函数y ＝ x 的图象是一条直线。

三、函数的性质1、单调性函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上，函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质。

如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁，x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或 f(x₁) ＞ f(x₂)），那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数（或减函数）。

2、奇偶性设函数 f(x)的定义域为 D，如果对于定义域 D 内的任意一个 x，都有 x∈D，且 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数；如果对于定义域 D 内的任意一个 x，都有 x∈D，且 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。

函数常用公式及知识点总结

函数常用公式及知识点总结一、基本的函数类型及其表达式1. 线性函数线性函数是最简单的一类函数，其表达式可以写成y = kx + b的形式，其中k和b是常数，k代表斜率，b代表截距。

线性函数的图像通常是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线和y轴的交点位置。

2. 二次函数二次函数的一般形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数。

二次函数的图像通常是一条开口向上或向下的抛物线，抛物线的开口方向取决于二次项系数a的正负。

3. 指数函数指数函数的一般形式是y = a^x，其中a是底数。

指数函数的特点是以指数形式增长或衰减，当底数a大于1时，函数图像呈现增长趋势；当底数a介于0和1之间时，函数图像呈现衰减趋势。

4. 对数函数对数函数的一般形式是y = log_a(x)，其中a是底数。

对数函数和指数函数是互为反函数的关系，对数函数的图像通常是一条斜率逐渐趋近于零的曲线。

5. 三角函数常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示了角的正弦值、余弦值和正切值。

三角函数的图像是周期性的波形，具有很强的周期性和对称性特点。

二、函数的常见性质和变换1. 奇偶性函数的奇偶性是指当x取相反数时，函数值是否相等。

如果函数满足f(-x) = f(x)，则称其为偶函数；如果函数满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。

2. 周期性周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律性。

对于三角函数和指数函数等周期函数，周期可以通过函数表达式或图像来确定。

3. 平移、缩放和翻转函数可以通过平移、缩放和翻转等方式进行变换。

平移指的是将函数图像沿着x轴或y轴进行平移，缩放指的是改变函数图像的大小或形状，翻转指的是将函数图像进行对称变换。

4. 复合函数复合函数是指一个函数作为另一个函数的自变量，通过这种方式可以得到新的函数。

复合函数的求导、积分和求极限等运算与单个函数类似，但需要注意变量的替换和链式求导法则。

函数及其表示总复习

2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法 .
3．映射的概念设 A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对
应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. 4．函数与映射的关系由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，
解由题意知：xx＋＋2x≥＋02≤5 或xx＋－2x<－02≤5 ，解之得－2≤x≤32或 x<－2. 所以原不等式的解集为－∞，32.
探究提高分段函数是一个函数，要注意每一分支中的自
变量的取值范围，这些范围的并集形成函数的定义域．同
样它的值域应是各阶段相应 y 的范围的并集．
巩固练习 (2010·湖北)已知函数 f(x)＝l2oxg，3x，xx≤＞00，，
(2)由于函数 f(x)＝ x· x＋1的定义域为{x|x≥0}，而 g(x) ＝ x2＋x的定义域为{x|x≤－1 或 x≥0}，所以它们不是同一函数． (3)两个函数的定义域、值域和对应关2 (2010·湖北)函数 y＝ log0.514x－3的定义域为
()
解析 y＝|xx|＝1－，1，x>x0<，0，排除 A； y＝|x－1|＝1x－－x1，，xx≥ <11，，排除 B； yy＝＝xx32x＋＋2＝x1＝|x|x＝，定x－义x 域xx、≥<0对0应，关y系＝均3 x相3 ＝同x．，排除 C.
答案 D
题型分类深度剖析
题型一对函数概念的准确理解例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数：
例3、已知函数y f (x 1)的定义域为[2,3], 求函数y f (2x 1)的定义域.

函数知识点与公式总结

函数知识点与公式总结一、函数的定义和性质函数的定义：函数是一个对应关系，它把一个集合的元素对应到另一个集合的元素。

一个简单的函数可以用如下的记号来表示：f：X→Y，表示一个函数f从集合X到集合Y的映射关系。

其中，X称为定义域，Y称为值域。

函数的性质：1. 定义域和值域：定义域是指函数的输入可以取的值的集合，值域是函数的输出可以取的值的集合。

2. 单调性：函数的单调性是指在定义域内，函数的增减趋势。

可以分为递增和递减两种情况。

3. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数的图像是否关于原点对称。

如果对于任意x∈定义域，都有f（-x）=f（x），那么函数是偶函数；如果对于任意x∈定义域，都有f（-x）=-f（x），那么函数是奇函数。

4. 周期性：函数的周期性是指函数在一定范围内具有重复的性质。

5. 函数的图像：函数的图像是函数在直角坐标系中的点的集合，描述了函数的性质和特点。

二、常见的函数公式1. 线性函数线性函数是指函数的图像是一条直线的函数。

线性函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b 是常数，a称为斜率，b称为截距。

2. 二次函数二次函数是指函数的图像是一个抛物线的函数。

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a≠0。

3. 指数函数指数函数是以常数e为底数的幂函数，一般形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。

4. 对数函数对数函数是指以常数a为底数的对数函数，一般形式为y=log_a(x)，其中a为底数，x为真数。

5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们描述了角度和弧度之间的关系。

6. 反比例函数反比例函数是指函数的图像是一条反比例曲线的函数，一般形式为y=k/x，其中k是常数。

7. 绝对值函数绝对值函数的一般形式为y=|x|，它表示x的绝对值，即x的正数部分。

8. 分段函数分段函数是指在定义域的不同区间上有不同函数式的函数，一般形式为f(x)=```{g(x)，a≤x≤bh(x)，b＜x＜c}```9. 复合函数复合函数是指一个函数的自变量（或生成元素）是另一个函数的值域，即f[g(x)]，表示函数f和g的复合。

高中数学函数知识点归纳

高中数学函数知识点归纳高中数学函数知识点归纳（上）函数是高中数学中一个非常重要的知识点，是数学中的基础概念之一。

函数的研究和应用贯穿于高中数学的整个教学过程。

下面将对高中数学中函数的知识点进行系统的归纳总结。

一、函数的定义及其表达方式1. 函数的定义函数是指在两个集合之间有规律地对应元素的关系。

一般地，设A、B是两个非空集合，则f是从A到B的函数，如果对于任意的a∈A，有且只有一个b∈B与之对应，即f(a)=b，称b是a的像，a是b的原像，记作f：A→B。

2. 函数的表达方式（1）显式表达式：y=f(x)，y是关于x的函数，f(x)是y的表达式。

（2）参数方程：x=f(t)，y=g(t)，t是参数，x和y均为t的函数。

（3）极坐标方程：r=f(θ)，θ是极角，r是极径。

二、函数的性质及其应用1. 奇偶性设f(x)是定义在R上的函数，如果对于任意x有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数。

如果对于任意x有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。

如果函数既不是奇函数也不是偶函数，则称其为一般函数。

奇偶性可以通过图像的对称性来判断。

2. 周期性设f(x)是定义在R上的函数，如果存在一个正数T，使得对于任意x有f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数，T称为函数的周期。

周期性可以通过函数的图像来判断。

3. 单调性设f(x)是定义在[a,b]上的函数，如果对于任意的x1<x2有f(x1)≤f(x2)，则称f(x)在[a,b]上是单调不降的；如果对于任意的x1<x2有f(x1)≥f(x2)，则称f(x)在[a,b]上是单调不增的；如果存在x1<x2，使得f(x1)<f(x2)，则称f(x)在[a,b]上是单调递增的；如果存在x1<x2，使得f(x1)>f(x2)，则称f(x)在[a,b]上是单调递减的。

4. 函数的极限当自变量趋近于某一值的时候，函数值也会趋近于某一值，这种趋近可以用极限来描述。

高中数学必修一之知识讲解-函数及其表示方法

函数及其表示方法【学习目标】(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。

函数概念例题和知识点总结

函数概念例题和知识点总结在数学的世界里，函数是一个极其重要的概念，它就像是一座桥梁，连接着不同的数学领域和实际应用。

为了更好地理解函数，让我们通过一些例题来深入探究，并对相关知识点进行总结。

一、函数的定义函数的定义可以简单地理解为：对于给定的一个非空数集 A，按照某种确定的对应关系 f，使得对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 与之对应，就称 f 是集合 A 到集合 B 的一个函数。

我们用符号 y ＝ f(x)来表示，其中 x 称为自变量，y 称为因变量。

二、函数的表示方法函数常见的表示方法有三种：解析式法、列表法和图象法。

解析式法就是用数学式子表示两个变量之间的对应关系，比如 y ＝2x ＋ 1 。

列表法是通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系，比如在一定范围内，给出 x 的值和对应的 y 的值。

图象法是用图象来表示两个变量之间的对应关系，比如画出函数 y＝ x²的图象。

三、函数的定义域和值域定义域是指自变量 x 的取值范围，而值域则是因变量 y 的取值范围。

例如，对于函数 y ＝ 1/x ，其定义域为x ≠ 0 ，值域为y ≠ 0 。

确定函数定义域时，需要考虑以下几点：1、分式的分母不为零。

2、偶次根式的被开方数非负。

3、对数函数的真数大于零。

四、函数的单调性函数的单调性是指函数在某个区间上是递增还是递减的性质。

如果对于区间 I 内的任意两个自变量的值 x₁、x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂) ，那么就说函数 f(x) 在区间 I 上是增函数；反之，如果都有 f(x₁) ＞ f(x₂) ，则函数 f(x) 在区间 I 上是减函数。

例如，函数 y ＝ x²在区间（∞， 0) 上是减函数，在区间（0, ＋∞）上是增函数。

五、函数的奇偶性如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做偶函数；如果都有 f(x) ＝ f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做奇函数。

函数表示方法及基本性质知识总结

函数表示方法及基本性质知识总结（一）、映射、函数、反函数1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别,映射是一种特殊的对应,而函数又是一种特殊的映射.2、对于函数的概念,应注意如下几点：（1）掌握构成函数的三要素(定义域、值域、对应法则),会判断两个函数是否为同一函数.（2）掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法,能根实际问题寻求变量间的函数关系式,特别是会求分段函数的解析式.（3）如果y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数,其中g(x)为内函数,f(u)为外函数.3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域,也就是反函数的定义域；（2）由y=f(x)的解析式求出x=f－1(y)；（3）将x,y对换,得反函数的习惯表达式y=f－1(x),并注明定义域.注意①：对于分段函数的反函数,先分别求出在各段上的反函数,然后再合并到一起.②熟悉的应用,求f－1(x0)的值,合理利用这个结论,可以避免求反函数的过程,从而简化运算.（二）、函数的解析式与定义域1、求函数的定义域一般有三种类型：（1）有时一个函数来自于一个实际问题,这时自变量x有实际意义,求定义域要结合实际意义考虑；（2）已知一个函数的解析式求其定义域,只要使解析式有意义即可.如：①分式的分母不得为零；②偶次方根的被开方数不小于零；③对数函数的真数必须大于零；④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；⑤三角函数中的正切函数y=tanx（x∈R,且k∈Z）,余切函数y=cotx （x∈R,x≠kπ,k∈Z）等.应注意,一个函数的解析式由几部分组成时,定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分（即交集）.（3）已知一个函数的定义域,求另一个函数的定义域,主要考虑定义域的深刻含义即可.已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x 的取值范围,而已知f[g(x)]的定义域[a,b]指的是x∈[a,b],此时f(x)的定义域,即g(x)的值域.2、求函数的解析式一般有四种情况（1）根据某实际问题需建立一种函数关系时,必须引入合适的变量,根据数学的有关知识寻求函数的解析式.（2）有时题设给出函数特征,求函数的解析式,可采用待定系数法.比如函数是一次函数,可设f(x)=ax＋b（a≠0）,其中a,b为待定系数,根据题设条件,列出方程组,求出a,b即可.（3）若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法求函数f(x)的表达式,这时必须求出g(x)的值域,这相当于求函数的定义域.（4）若已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还出现其他未知量（如f(－x),等）,必须根据已知等式,再构造其他等式组成方程组,利用解方程组法求出f(x)的表达式.（三）、函数的值域与最值1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域,求函数值域常用方法如下：（1）直接法：亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式应用不等式的性质,直接观察得出函数的值域.（2）换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元.（3）反函数法：利用函数f(x)与其反函数f－1(x)的定义域和值域间的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域,形如（a≠0）的函数值域可采用此法求得.（4）配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.（5）不等式法求值域：利用基本不等式a＋b≥[a,b∈（0,＋∞）]可以求某些函数的值域,不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.（6）判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.（7）利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上（或某个定义域的子集上）的单调性,可采用单调性法求出函数的值域. （8）数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法或图象,求出函数的值域,即以数形结合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的,事实上,如果在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小（大）值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同,因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是（0,16],最大值是16,无最小值.再如函数的值域是（－∞,－2]∪[2,＋∞）,但此函数无最大值和最小值,只有在改变函数定义域后,如x>0时,函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上,从文字表述上常常表现为“工程造价最低”,“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多现实问题上,求解时要特别关注实际意义对自变量的制约,以便能正确求得最值.（四）、函数的奇偶性1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x),如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(－x)=－f(x)（或f(－x)=f(x)）,那么函数f(x)就叫做奇函数（或偶函数）.正确理解奇函数和偶函数的定义,要注意两点：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（2）f(x)=－f(x)或f(－x)=f(x)是定义域上的恒等式.（奇偶性是函数定义域上的整体性质）.2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：注意如下结论的运用：（1）不论f(x)是奇函数还是偶函数,f(|x|)总是偶函数；（2）f(x)、g(x)分别是定义域D1、D2上的奇函数,那么在D1∩D2上,f(x)＋g(x)是奇函数,f(x)·g(x)是偶函数,类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”,“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”；（3）奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数；（4）奇函数的导函数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数.3、有关奇偶性的几个性质及结论（1）一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.（2）如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零,那么它既是奇函数又是偶函数.（3）若奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)=0成立.（4）若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数,则奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性是相同（反）的.（5）若f(x)的定义域关于原点对称,则F(x)=f(x)＋f(－x)是偶函数,G(x)=f(x)－f(－x)是奇函数.（6）奇偶性的推广函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a＋x)=f(a－x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称,即y=f(a＋x)为偶函数.函数y=f(x)对定义域内的任－x都有f(a＋x)=－f(a－x),则y=f(x)的图象关于点（a,0）成中心对称图形,即y=f(a＋x)为奇函数.（五）、函数的单调性1、单调函数对于函数f(x)定义在某区间[a,b]上任意两点x1,x2,当x1>x2时,都有不等式f(x1)>（或<）f(x2)成立,称f(x)在[a,b]上单调递增（或递减）；增函数或减函数统称为单调函数.对于函数单调性的定义的理解,要注意以下三点：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此定义中的x1,x2具有任意性,不能用特殊值代替.（3）单调区间是定义域的子集,讨论单调性必须在定义域范围内. （4）注意定义的两种等价形式：设x1、x2∈[a,b],那么：①在[a、b]上是增函数；在[a、b]上是减函数.②在[a、b]上是增函数.在[a、b]上是减函数.需要指出的是：①的几何意义是：增（减）函数图象上任意两点（x1,f(x1)）、（x2,f(x2)）连线的斜率都大于（或小于）零.（5）由于定义都是充要性命题,因此由f(x)是增（减）函数,且（或x1>x2）,这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.5、复合函数y=f[g(x)]的单调性若u=g(x)在区间[a,b]上的单调性,与y=f(u)在[g(a),g(b)]（或g(b),g(a)）上的单调性相同,则复合函数y=f[g(x)]在[a,b]上单调递增；否则,单调递减.简称“同增、异减”.在研究函数的单调性时,常需要先将函数化简,转化为讨论一些熟知函数的单调性.因此,掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,将大大缩短我们的判断过程.6、证明函数的单调性的方法（1）依定义进行证明.其步骤为：①任取x1、x2∈M且x1（或<）f(x2)；③根据定义,得出结论.（2）设函数y=f(x)在某区间内可导.如果f′(x)>0,则f(x)为增函数；如果f′(x)<0,则f(x)为减函数. （六）、函数的图象函数的图象是函数的直观体现,应加强对作图、识图、用图能力的培养,培养用数形结合的思想方法解决问题的意识.求作图象的函数表达式与f(x)的关系由f(x)的图象需经过的变换 y=f(x)±b （b>0）沿y 轴向上下平移b 个单位y=f(x ±a)（a>0）沿x 轴向左右平移a 个单位y=－f(x)作关于x 轴的对称图形y=f(|x|)右不动、左右关于y 轴对称y=|f(x)|上不动、下沿x 轴翻折y=f －1(x)作关于直线y=x 的对称图形y=f(ax)（a>0）横坐标缩短到原来的1a ,纵坐标不变y=af(x)纵坐标伸长到原来的|a|倍,横坐标不变y=f(－x)作关于y 轴对称的图形。

函数的概念及表示方法

函数的概念及表示方法一、知识梳理1、函数：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一的数)(x f 和它对应，那么就称f ：B A →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=，)(2、对于函数A x x f y ∈=，)(，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}A x x f ∈叫做函数的值域。

3、函数的三要素：定义域、值域和对应关系。

4、表示函数常用的三种方法是解析法、图像法和列表法5、在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数6、分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集二、典例精析例1、下列式子是否能确定y 是x 的函数？（1）222=+y x （2）111=-+-y x （3）x x y -+-=12例2、下列各题中的两个函数相等吗？请说明理由。

（1）()2)()(x x g x x f ==，（2）3)(39)(2+=--=x x g x x x f ，例3、已知集合{}{}54321，，，，==B A ，则从A 到B 的函数)(x f 有个例3、求下列函数的定义域（1）21)(-=x x f （2）241)(+-∙-=x x x f （3）()x x x y -+=01 （4）213)(+++=x x x f例4、（1）若函数)(x f 的定义域为[]41，，求)2(+x f 的定义域（2）已知)1(+x f 的定义域为[]30，，求)(x f 的定义域例4、已知函数32341++-=ax ax ax y 的定义域为R ，求实数a 取值范围变式：已知函数862++-=k kx kx y 的定义域是R ，求实数k 的取值范围例5、求下列函数的值域：（1）{}5432112，，，，，∈+=x x y （2）1+=x y （3）1+=x x y （4）2211xx y +-= （5）245x x y -+= （6）12--=x x y （7）152222++++=x x x x y例6、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=222112)(2x x x x x x x f ，，，中，若3)(=x f ，则x 的值为例7、作出下列函数的图像：（1）112-+=x x y （2）122+-=x x y变式：讨论关于x 的方程)(342R a a x x ∈=+=的实数解的个数例8、求下列函数的解析式（1）已知)(x f 是二次函数，且1)()1(2)0(-=-+=x x f x f f ，，求)(x f（2）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f（3）已知函数x x x x x f 11)1(22++=+，求)(x f （4）已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f三、过关精炼1、下列说法中，不正确的是（）A 、函数的值域中每一个数在定义域中都有数与之对应B 、函数的定义域和值域一定是不含0的集合C 、定义域和对应法则完全相同的函数表示同一个函数D 、若函数的定义域中只有一个元素，则值域也只含有一个元素2、函数x x y 22-=的定义域为{}3210，，，，那么其值域为（） A 、{}301-，，B 、{}3210，，，C 、{}31≤≤-y yD 、{}30≤≤y y 3、与x y =为同一个函数的是（）A 、()2x y =B 、2x y =C 、()⎩⎨⎧<->=)0(0x x x x y D 、x y = 4、若)()2(32)(x f x g x x f =++=，，则)(x g 等于（）A 、12+xB 、12-xC 、32-xD 、72+x5、一个面积为2100cm 等腰梯形，上底长为xcm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为（）A 、)0(50>=x x yB 、)0(100>=x x yC 、)0(50>=x x yD 、)0(100>=x x y6、已知a a f x x f ，则，16)(13)(=+==7、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<≤=)2(3)21(2)10(2)(2x x x x x f 的值域8、求下列函数的值域（1）x x y 422+--= （2）3222-+=x x y（3）{})3210(16322，，，∈-++-=x x x x x y。

初中数学知识归纳函数的表示法与函数的像

初中数学知识归纳函数的表示法与函数的像函数是数学中一个重要的概念，在初中数学中也经常遇到。

掌握函数的表示法和函数的像对于学习和理解数学知识非常关键。

本文将就初中数学中的函数的表示法和函数的像进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用这方面的知识。

一、函数的表示法函数的表示法主要有以下几种形式：1. 用文字描述法：函数可以用自然语言描述，例如“一个数的平方减去4”的函数可以表示为“f(x) = x^2 - 4”。

2. 用表格法：函数可以通过一个表格来表示，将自变量x和对应的函数值f(x)放在一起。

例如，我们可以用表格来表示函数y = 2x + 3： | x | y ||---|---|| 1 | 5 || 2 | 7 || 3 | 9 |表格中的每一行表示了函数在不同自变量取值下的函数值。

3. 用图像法：函数可以通过图像来表示。

我们可以将函数的自变量表示在横坐标上，函数值表示在纵坐标上，然后将这些点连接起来得到函数的图像。

例如，函数y = x^2的图像是一个抛物线。

二、函数的像函数的像指的是自变量经过函数变换后得到的函数值。

函数的像可以通过函数的表示法求解。

例如，对于函数y = 2x + 3，我们可以给定自变量x的值，然后根据函数的表示法计算出对应的函数值y。

如果给定x = 2，则有y = 2 * 2 + 3 = 7。

所以，像就是7。

函数的像可以是一个具体的数值，也可以是一个数值的集合。

例如，对于函数y = x^2，当自变量取值为1和2时，函数的值分别为1和4，所以函数的像是{1, 4}。

三、函数的表示法与函数的像的关系函数的表示法和函数的像之间存在着密切的关系。

通过函数的表示法，我们可以计算得到自变量和函数值之间的对应关系，进而求解函数的像。

对于某一个特定的自变量值，只有一个对应的函数值。

但对于某一个特定的函数值，可以有多个对应的自变量值。

这是因为函数的表示法中可能存在着多个解。

函数的像是函数的值的集合，它包含了所有的可能的函数值。

(文章)函数及其表示法要点归纳

函数及其表示法要点归纳一、学习目标1.理解函数概念，明确函数的三个要素，会求简单的函数的定义域和值域;2.了解映射的概念，理解和熟悉映射的表示方法；3.掌握函数的三种表示方法，能利用这些方法表示函数。

二、重难点归纳1.学习函数概念一定要注意理解其实质.⑴山于函数实质上是非空数集之间的对应关系。

按照函数定义，可以是“一对一”的，即不同的自变量的值，有不同的函数值与之对应，例如“y二2x+l ”,“y二3”等；也可以是“多对一”的，即多个自变量的值，有同一个函数值与它们对应，例如<4y = x\ xWR”，“y = 5, xWR”等等.但决不允许有“一对多”的情况出现，即不允许一个自变量的值与多个函数值相对应，例如“y二土依，x>0”就不是函数关系式，因为它不满足对于定义域内任意一个实数x,• •在函数值的集合中都有唯二确定的数/(X)与之对应，比如，当x = 4时，/(4)二2 或/(4)=-2.⑵函数的实质取决于定义域和对应法则，函数的核心是对应关系.在函数符号y*⑴中，/是表示函数的对应关系，等式y二/Ct)表明，对于定义域中的任意x,在“对应法则的作用下，即可得到y.因此，/是使“对应”得以实现的方法和途径，也是区分两个函数是否相同的一个重要因素。

/(X)可以是解析式，也可以是图象或数表.符号/(x)与/(°)既有区别又有联系./(a)表示当自变量x = a时函数/(X)的值，是一个常量；而是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量./(“)是/(x)的一个特殊值.⑶等式y=/(x)还表明，对于定义域中的任意x,在对应关系/■的作用下, 可得到y.因此，/是使“对应”得以实现的方法和途径.所以，给定一个函数, 若给定了该函数的定义域和对应法则，其值域应有它的定义域和对应法则唯一确定.所以，对应法则和定义域是确定函数的两个基本要素.如果两个函数的定义域和对应法则完全相同，它们就表示一个函数，而与自变量和因变量用什么字母表示无关；反之，如果两个函数表示同一种函数关系，则它们的定义域和对应法则也相同.2.函数的表示方法表示一个函数可用三种方法：解析法、图象法、列表法，它们各有特点，其中解析法是用解析式y二/（x）表示两个变量x、y的函数关系的方法，在理论研究方面尤为重要，但并不是每个函数的都有解析式，有时就是有解析式也不一定容易求出来。

函数的表达知识点归纳总结

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7知识讲解-函数及其表示方法-基础

函数及其表示方法要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：{|}(,);<<= {x|a≤x≤b}=[a，b]；x a x b a b(]x a x b a b≤<=；{|},<≤=；[){|},x a x b a b(][)x x b b x a x a≤=∞≤=+∞.{|}-,; {|},要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a 叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数与映射的区别与联系：设A 、B 是两个非空数集，若f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，这个映射叫做从集合A 到集合B 的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.4.函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.5.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.【典型例题】类型一、函数的概念例1：下列式子是否能确定y 是x 的函数？（1）222;x y +=（21;（3）y =【答案】（1）不能（2）能（3）不能【解析】（1）由222,x y +=得y =y 是x 的函数，如当1x =时，由它所确定的y 值有两个，即y=1±.（2）1,=得2(11y =+，∴当x 在{}|1x x ≥中任取一个值时，由它可以确定唯一的y 值与之对应，故由它可以确定y 是x 的函数.（3）由20,10x x -≥⎧⎨-≥⎩得x ∈∅，故由它不能确定y 是x 的函数.例2．下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，为什么？（1）0)1x ()x (f -=；1)x (g = （2）x )x (f =；2x )x (g =（3）2x )x (f =；2)1x ()x (g += （4）|x |)x (f =；2x )x (g =【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是【解析】(1) ()()f x g x 与的定义域不同，前者是{}|1,x x x R ≠∈，后者是全体实数，因此是不同的函数；(2)()||g x x =，因此()()f x g x 与的对应关系不同，是不同的函数；(3) ()()f x g x 与的对应关系不同，因此是不相同的函数；(4) ()()f x g x 与的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.举一反三：【变式1】判断下列命题的真假(1)y=x-1与1x 1x y 2+-=是同一函数； (2)2x y =与y=|x|是同一函数； (3)233)x (y )x (y ==与是同一函数；(4)⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-=)0x (x x )0x (x x )x (f 22与g(x)=x 2-|x|是同一函数. 【答案】(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题. 类型二、函数定义域的求法例3.求下列函数的定义域：（1）y =（2）y =（3）0y = 【答案】（1）[―8，3]；（2）{－1}；（3）（－∞，0）【解析】（1）要使函数y =则8030x x +≥⎧⎨-≥⎩ ，解得：－8≤x ≤3．故函数的定义域为[―8，3]（2）要使函数y =则22101010x x x ⎧-≥⎪-≥⎨⎪-≠⎩，解得：x =―1．故函数的定义域为{－1}．（3）要使函数0y = 则10||0x x x -≠⎧⎨->⎩，解得：x ＜0．故函数的定义域为（－∞，0）．举一反三：【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）： (1)3f (x)|x 1|2=--；(2)1f (x)x 1=-；（3）()f x =【答案】（1）(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；（2）[)3,1(1,)-⋃+∞；（3）[]0,1．【解析】(1)当|x-1|-2=0，即x=-1或x=3时，3|x 1|2--无意义，当|x-1|-2≠0，即x ≠-1且x ≠3时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；(2)要使函数有意义，须使x 10x 3x 1x 30-≠⎧≥-≠⎨+≥⎩，即且，所以函数的定义域是[)3,1(1,)-⋃+∞； (3)要使函数有意义，须使1x 0,x 0.-≥⎧⎨≥⎩，所以函数的定义域为[]0,1.类型三、求函数的值及值域例4. 已知f(x)=2x 2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x))【答案】（1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x 2-46x+40，4x 2-6x-55．【解析】(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x 2-46x+40；g(f(x))=g(2x 2-3x-25)=2×(2x 2-3x-25)-5=4x 2-6x-55.例 5. 求值域(用区间表示)：(1)y=x 2-2x+4，①[]4,1x ∈--；②[]2,3x ∈-；-2(2)() (3)()3x f x f x x ==+. 【答案】（1）[7，28] [3，12]；（2）)+∞；（3）(-∞，1)∪(1，+∞)．【解析】(1)法一：配方法求值域．2224(1)3y x x x =-+=-+，①当[]4,1x ∈--时，max min 28,7y y ==，∴值域为[7，28]；②当[]2,3x ∈-时，max min 12,3y y ==，∴值域为[3，12]．法二：图象法求值域二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为1x =，所以函数在区间(],1-∞上单调递减，在区间[)1,+∞上单调递增．所以①当[]4,1x ∈--时，值域为[7，28]；②当[]2,3x ∈-时，值域为[3，12]．(2))22-23(-1)22,2,y x x x ⎡=+=+≥∴+∞⎣值域为； (3)-23-5551-,0,13333x x y y x x x x +===≠∴≠++++，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞). 举一反三：【变式1】求下列函数的值域：（1）1y x =；（2）213x y x +=-；（3）2211x y x-=+；（4）254y x x =+- 【答案】（1）[)1,+∞；（2）{}|2y y ≠；（3）(]1,1-；（4）[]0,3．【解析】（1）0,11x x ≥≥，即所求函数的值域为[)1,+∞；（2）213x y x +=-2672(3)772333x x x x x -+-+===+---，703x ≠-，2y ∴≠，即函数的值域为{}|2y y ≠；（3）2211x y x-=+2211x =-++ 函数的定义域为R22211,021x x ∴+≥∴<≤+，221111x ∴-<-+≤+，(]1,1y ∴∈-，即函数的值域为(]1,1-．（4）25(2)9y x =+=--+20(2)99x ≤--+≤∴所求函数的值域为[]0,3．类型四、映射与函数例6. 判断下列对应哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些是从集合A 到集合B 的函数？（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x ，y ）|,x R y R ∈∈}，对应法则是：A 中的点与B 中的（x ，y ）对应．（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆；（3）A=N ，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f ：2x y x =→（5）A={0，1，2}，B={0，1，12}，对应法则是f ：x 1y x =→ 【解析】(1)是映射，不是函数，因为集合A 、B 不是数集，是点集；(2)是映射，集合A 中的任意一个元素(三角形)，在集合B 中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；不是函数．(3)是映射，也是函数，函数解析式为0,(2)()1,(21)x n f x x n =⎧=⎨=+⎩．（4）是映射，也是函数．（5）对于集合A 中的元素“0”，由对应法则“取倒数”后，在集合B 中没有元素与它对应，所以不是映射，也不是函数．举一反三：【变式1】下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？(1)A=N ，B={1，-1}，f ：x →y=(-1)x ；(2)A=N ，B=N +，f ：x →y=|x-3|；(3)A=R ，B=R ，;x1x 1y x :f -+=→ (4)A=Z ，B=N ，f ：x →y=|x|；(5)A=N ，B=Z ，f ：x →y=|x|；(6)A=N ，B=N ，f ：x →y=|x|.【解析】(1)、(4)、(5)、(6)是从A 到B 的映射也是从A 到B 的函数，但只有(6)是从A 到B 的一一映射；(2)、(3)不是从A 到B 的映射也不是从A 到B 的函数.【变式2】已知A ={1，2，3，k }，B ={4，7，a 4，a 2+3a }，a ∈N *，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y =3x +1是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k 的值．【答案】a =2，k =5【解析】若x ∈A ，y ∈B ，使B 中元素y =3x +1和A 中的元素x 对应，则当x =1时，y =4；当x =2时，y =7；当x =3时，y =10；当x =k 时，y =3k +1；又由a ∈N *，∴a 4≠10，则a 2+3a =10，a 4=3k +1解得a =2，k =5．类型五、函数解析式的求法例7. 求函数的解析式(1)若2()2f x x x =+，求(21)f x +；(2)若2(1)21f x x +=+，求()f x ；(3)已知1()2()32f x f x x -=+，求()f x ．【答案】（1）2()483f x x x =++；（2）2()243f x x x =-+；（3）2()2f x x x=---．【解析】求函数的表达式可由两种途径.(1)用代入法，22(21)(21)2(21)483f x x x x x +=+++=++．(2)法一：换元法令1t x =+，则1x t =-，所以22()2(1)1243f t t t t =-+=-+即：2()243f x x x =-+.法二：凑配法 2(1)21f x x +=+=22(1)4(1)3x x +-++，所以2()243f x x x =-+． (3)1()2()32f x f x x -=+ ①，用1x代替上式中的x ，得13()2()2f f x x x -=+ ② 由①②联立，消去1()f x，得 2()2f x x x=--- 故所求的函数为2()2f x x x =---．举一反三：【变式1】已知f(x+1)=x 2+4x+2，求f(x)．【答案】f(x)=x 2+2x-1【解析】(1)(法1)f(x+1)=x 2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1∴f(x)=x 2+2x-1；(法2)令x+1=t ，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t 2+2t-1∴f(x)=x 2+2x-1；(法3)设f(x)=ax 2+bx+c 则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x 2+4x+21x 2x )x (f 1c 2b 1a 2c b a 4b a 21a 2-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=∴；类型六、函数的图象例8.作出下列函数的图象. （1）1({21012})y x x =-∈--，，，，；（2）211x y x +=-；（3）2|2|1y x x =-+．【解析】(1){21012}x ∈--，，，，，∴图象为一条直线上5个孤立的点；如下图（1）．（2）213211x y x x +==+--， ∴先作函数3y x =的图象，把它向右平移一个单位得到函数31y x =-的图象，再把它向上平移两个单位便得到函数211xyx+ =-的图象．如下图（2）．（3）先作22y x x=-的图象，保留x轴上方的图象，再把x轴下方的图象对称翻到x轴上方．再把它向上平移1个单位，即得到2|2|1y x x=-+的图象，如下图所示（3）．类型七、分段函数例9.函数22,1,(),12,2, 2.x xf x x xx x+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩中，若()3f x=，则x的值为（）．A．1 B．1或32C．3± D．3. 【答案】D【解析】若1x≤-，由23x+=，得11x=>-，舍去．若12x-<<，由23x=，得3x=±，由于31-<-，舍去，故3x=．若2x≥，则23,x=得322x=<，舍去．综上知3x=．故选D．举一反三：【变式】已知函数2010()x,xf xx,x>⎧=⎨+≤⎩，若10()+()f a f=，则实数a的值等于（）A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】选A【解析】∵10()+()f a f=，∴1()()f a f=-，又∵1＞0，∴1212()=f⨯=∴2()f a=-作出函数()f x的图象，如图则12()f a a=+=-∴3a=-例10．已知函数()11f x x（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）画出该函数的图象；（3）写出该函数的值域．【答案】（1）121()()x x ,y x x .≥⎧=⎨-<⎩（2）如图（3）[)1,+∞．【解析】（1）由题意，去掉绝对值符号，则考虑x ＞1和x ＜1两种情况∴ 当x ≥1时，()11f x x x 当x ＜1时，()112f x x x即121()()x x ,y x x .≥⎧=⎨-<⎩（2）（3）由（2）图形可知，()f x 的值域为[)1,+∞．。

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函数及其表示法要点归纳
一、学习目标
1．理解函数概念，明确函数的三个要素，会求简单的函数的定义域和值域；
2．了解映射的概念，理解和熟悉映射的表示方法；
3．掌握函数的三种表示方法，能利用这些方法表示函数。

二、重难点归纳
1．学习函数概念一定要注意理解其实质．
⑴由于函数实质上是非空数集之间的对应关系。

按照函数定义，可以是“一对一”的，即不同的自变量的值，有不同的函数值与之对应，例如“y = 2x +1 ”，“y = x 3－3”等；也可以是“多对一”的，即多个自变量的值，有同一个函数值与它们对应，例如“y = x 2，x ∈R ”，“y = 5，x ∈R ”等等．但决不允许有“一对多”的情况出现，即不允许一个自变量的值与多个函数值相对应，例如“y =±x ，x ＞0”就不是函数关系式，因为它不满足对于定义域内任意一个．．实数x ，在函数值的集合中都有唯一．．
确定的数()f x 与之对应，比如，当x = 4时，(4)f =2或(4)f =－2．
⑵函数的实质取决于定义域和对应法则，函数的核心是对应关系．在函数符号y =()f x 中，f 是表示函数的对应关系，等式y =()f x 表明，对于定义域中的任意x ，在“对应法则f ”的作用下，即可得到y ．因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径，也是区分两个函数是否相同的一个重要因素。

()f x 可以是解析式，也可以是图象或数表．符号()f x 与()f a 既有区别又有联系．()f a 表示当自变量x = a 时函数f (x)的值，是一个常量；而()f x 是自变量x 的函数，在一般情况下，它是一个变量．()f a 是()f x 的一个特殊值．
⑶等式y =()f x 还表明，对于定义域中的任意x ，在对应关系f 的作用下，可得到y ．因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径．所以，给定一个函数，
若给定了该函数的定义域和对应法则，其值域应有它的定义域和对应法则唯一确定．所以，对应法则和定义域是确定函数的两个基本要素．如果两个函数的定义域和对应法则完全相同，它们就表示一个函数，而与自变量和因变量用什么字母表示无关；反之，如果两个函数表示同一种函数关系，则它们的定义域和对应法则也相同．
2．函数的表示方法
表示一个函数可用三种方法：解析法、图象法、列表法，它们各有特点，其中解析法是用解析式y =()
f x表示两个变量x、y的函数关系的方法，在理论研究方面尤为重要，但并不是每个函数的都有解析式，有时就是有解析式也不一定容易求出来。

用列表的方法解决某些问题时，简明扼要，是解决一些相关数学问题的有效方法。

函数图象是函数关系的直观表达形式，其中蕴涵了函数的一切信息，函数的图象为数形结合带来了便利条件，从图象上寻找突破口常常是解决问题的关键．
3．函数定义域常见问题
求函数定义域一般有三类问题：第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由()
f g x
f g x的定义域或由[()]
f x的定义域确定函数[()]
的定义域确定函数()
f x的定义域。

其中熟练掌握一些基本初等函数(一次函数、二次函数、分式函数)的定义域是求函数定义域的关键。

4．刻理解对应
．．两个概念
．．与映射
映射是两个集合之间的一种对应
．．关系，对应与集合一样，是一个原始概念，
不能用更基本的概念映射是两个集合之间的一种对应
．．关系，对应与集合一样，是
一个原始概念，不能用更基本的概念来定义它．理解对应
．．概念应注意下列三点：
⑴A的元素都能在f下确定至少一个元素属于B，即A 的元素都“参加”；
⑵A的元素在f下确定的元素存在即可，个数不限；
⑶“两允许两不允许”，即允许集合B中有剩余元素，不允许集合A中有剩余元素，允许多对一，不允许一对多．
5．函数是特殊的映射
用映射观点这样解释函数的定义，说明函数就是映射，是一类特殊的映射，而映射并不一定是函数，这一点可以从函数定义的三个“都．
”中反映出来．所以，每一个函数都要有映射的三大件：对应法则，原象集和象集．
三、例题精析
例1 已知函数)(2x f 的定义域是[1，2]，求)(x f 的定义域．
解：由)(2x f 的定义域是[1，2]，是指1≤x ≤2，所以1≤x 2≤4，
即函数)(x f 的定义域是[1，4]．
评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求)(x f 的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题．
例2 已知函数)(x f 的定义域是[1，4]，求函数)(2x f 的定义域．
解：由)(x f 的定义域是[1，4]，意思是凡被f 作用的对象都在[1，4]中，即要使)(2x f 有意义，
则有1≤x 2≤4 ⇒ 1≤x ≤2或－2≤x ≤－1．
∴函数)(2x f 的定义域是[1，2][－2，－1]．
评析：这类问题的一般形式是：已知函数)(x f 的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域．正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键．一般地，若函数)(x f 的定义域是A ，则x 必须是A 中的元素，而不能是A 以外的元素，否则，)(x f 无意义．因此，如果)(0x f 有意义，则必有x 0∈A ．所以，这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域是A ，据此求x 的取值范围，即由)(x ϕ∈A 建立不等式，解出x 的范围．例2和例1形式上正相反．。