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高二数学下期中测试卷

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2023-2024学年四川省成都市高二下册期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年四川省成都市高二下册期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年四川省成都市高二下册期中数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把答案填在答题卷指定的位置上）1．（4分）下面命题中，正确命题的个数为（）①桌面是平面；②一个平面长3米，宽2米；③用平行四边形表示平面，只能画出平面的一部分；④空间图形是由空间的点、线、面构成的；A．1B．2C．3D．42．（4分）如果OA∥O1A，OB∥O1B，那么∠AOB与∠A1O1B1（）A．相等B．互补C．相等或互补D．以上均不对3．（4分）空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为（）A．60°B．120°C．30°D．60°或120°4．（4分）下面说法错误的是（）A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果两个不重合的平面有且只有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线D．经过一条直线和一点，有且只有一个平面5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与平面ACC1A1平行的棱共有（）A．2条B．3条C．4条D．6条6．（4分）棱柱的侧面一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．平行四边形7．（4分）两直线不平行是这两直线是异面直线的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件8．（4分）分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是（）A．异面B．平行C．相交D．可能共面，也可能异面9．（4分）已知直线a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（）A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线10．（4分）已知球的半径为6cm，则它的体积为（）A．36πcm3B．144πcm3C．288πcm3D．864πcm3 11．（4分）下列命题一定正确的是（）A．三点确定一个平面B．依次收尾相接的四条线段必共面C．直线与直线外一点确定一个平面D．两条直线确定一个平面12．（4分）已知平面α∥β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件13．（4分）已知斜线段长是它在平面α上的射影长的2倍，则斜线和平面所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为1，则异面直线DD1与AB之间的距离为（）A．B．1C．D．15．（4分）如图所示，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥SBB．二面角S﹣AB﹣D与二面角S﹣BC﹣D相等C．AB∥平面SCDD．平面SAB⊥平面SBC二、填空题：（本答题共5个小题，每小题4分，共20分）16．（4分）若正方体的对角线长为a，那么正方体的表面积为．17．（4分）已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为．18．（4分）用长和宽分别为3π和π的矩形硬纸板卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是．19．（4分）将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大的铅球，那么，这个大铅球的表面积是．20．（4分）已知一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则它的侧面积是．三、解答题：（本大题共7小题，满分70分。

2023-2024学年浙江省宁波市高二下学期期中数学试题(含答案)

2023-2024学年浙江省宁波市高二下学期期中数学试题(含答案)

2023-2024学年浙江省宁波市高二下册期中数学试题一、单选题1．已知集合{}2N 340A x x x =∈--<，{}N 12B x x =∈-<≤，则A B = （）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3C ．∅D ．()1,2-【正确答案】A【分析】计算{}0,1,2,3A =，{}0,1,2B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}{}2N 340N 140,1,2,3A x x x x x =∈--<=∈-<<=，{}{}N 120,1,2B x x =∈-<≤=，故{}0,1,2A B = .故选：A2．设,R x y ∈，则“x y <”是()2“0x y x -⋅<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】x ，R y ∈，若0,0x y =>满足x y <，则()20x y x -⋅=，即()20x y x -⋅<不成立；若()20x y x -⋅<，即有0x ≠，必有20x >，从而得0x y -<，即x y <成立，所以x y <是()20x y x -⋅<成立的必要不充分条件.故选：B3．已知随机变量()2~20,2X N ，则(16)P X <=（）(附：若()2~,X N μσ，则()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈，()220.9545P μσξμσ-≤≤+≈)A ．0.02275B ．0.1588C ．0.15865D ．0.34135【正确答案】A【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.【详解】由题意可得：20,2μσ==，则()16240.9545P ξ≤≤≈，所以()1(16)1160.02274522P X P ξ≤≤≈<=-⎡⎤⎣⎦.故选：A.4．如表为某商家1月份至6月份的盈利y （万元）与时间x （月份）的关系，其中123 6.5t t t ++=，其对应的回归方程为 0.7y x a=+，则下列说法正确的是（）x123456y0.31t 2.22t 3t 4.5A ．y 与x 负相关B ． 0.2a=C ．回归直线可能不经过点()3.5,2.25D ．2023年10月份的盈利y 大约为6.8万元【正确答案】D【分析】0.70>，y 与x 正相关，A 错误，计算中心点带入计算得到B 错误，回归直线一定经过中心点，C 错误，带入数据计算得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：回归方程为 0.7y x a=+，0.70>，y 与x 正相关，错误；对选项B ：1234563.56x +++++==，1235 0.3 2.2 2.64.25y t t t +==++++，故 2.250.7 3.5a=⨯+，解得0.2a =-，错误；对选项C ：回归直线一定经过点()3.5,2.25，错误；对选项D ： 0.70.2y x =-，当10x =时， 6.8y =，正确.故选：D5．函数21()|1|21f x x x x =---+的部分图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】分析函数的定义域排除A ，利用()()11f x f x +=-判断函数对称性排除D ，再代入特殊点，计算(0)0f =，排除B.【详解】由函数解析式可得，函数()21()|1|1f x x x =---，定义域为()(),11,x ∈-∞+∞ ，所以排除A ；因为()2211(1)|11|11f x x x x x -=---=---，()()2211(1)|11|111f x x x f x x x +=+---=-+-所以函数图像关于直线1x =对称，故排除AD ；又因为()21(0)|01|001f =--=-，所以排除B.故选：C6．我们把各个数位上的数字之和为8的三位数称为“幸运数”，例如“170，332，800”都是“幸运数”.问“幸运数”的个数共有（）A ．35个B ．36个C ．37个D ．38个【正确答案】B【分析】按照首位数字为18 进行分类，相加得到答案.【详解】当首位数字为1时，后两位相加为7，共有8种；当首位数字为2时，后两位相加为6，共有7种；当首位数字为3时，后两位相加为5，共有6种；当首位数字为4时，后两位相加为4，共有5种；当首位数字为5时，后两位相加为3，共有4种；当首位数字为6时，后两位相加为2，共有3种；当首位数字为7时，后两位相加为1，共有2种；当首位数字为8时，后两位相加为0，共有1种；故共有1234567836+++++++=个数.故选：B7．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<【正确答案】D【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解.【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<.则随机变量ξ的分布列为:ξ1P1p-p所以()()(),1E p D p p ξξ==-随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E pηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):ηp1p-P1p-p则()()()()1121E p p p p p pη=-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p pη=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误.()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确故选:D本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.8．设()f x 是定义在D 上的函数，如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ³，则称()f x 为D 上的“非严格递减函数”，已知集合12345{,,,,}A a a a a a =，其中12345a a a a a <<<<，集合*110{N |C 45}n B n +=∈≥，则满足定义域是A ，值域是B 的子集的非严格递减函数有（）个A ．56B ．126C ．252D ．462【正确答案】D【分析】计算17n ≤≤得到1,2,3,4,57{},6,B =，转化为1234511()4()3()2()1()1f a f a f a f a f a ≥+>+>+>+>>，计算得到答案.【详解】281010C C 45==，110C 45n +≥，故218n ≤+≤，17n ≤≤，故集合1,2,3,4,57{},6,B =，由12345a a a a a <<<<，则123457()()()()()1f a f a f a f a f a ≥≥≥≥≥≥，即有1234511()4()3()2()1()1f a f a f a f a f a ≥+>+>+>+>≥，则共有511C 462=个函数，故选：D.二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．命题“存在0x >，使得不等式210x x ++<成立”的否定是“任意0x ≤，都有不等式210x x ++≥成立”.B ．若事件A 与B 相互独立，且()01P A <<，()01P B <<，则()()P A B P A =.C ．已知24a b <+<，02a b <-<，则3311a b <+<.D ．在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好.【正确答案】BD【分析】对于A ：根据特称命题的否定分析判断；对于B ：根据独立事件的概率乘法公式结合条件概率公式分析运算；对于C ：以,a b a b +-为整体表示3a b +，结合不等式的性质分析运算；对于D ：根据残差的定义分析判断.【详解】对于A ：“存在0x >，使得不等式210x x ++<成立”的否定是“任意0x >，都有不等式210x x ++≥成立”，故A 错误；对于B ：由条件概率可知：()()()P AB P A B P B =，∵事件A 与B 相互独立，则()()()P AB P A P B =⋅，∴()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ⋅===，故B 正确；对于C ：∵()()32a b a b a b +=++-，由24a b <+<，02a b <-<，可得()428a b <+<，∴4310a b <+<，故C 错误；对于D ：根据残差的定义可知：残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，故D 正确；故选：BD.10．已知关于x 的函数：2()21f x ax ax =-+，其中a ∈R ，则下列说法中正确的是（）A ．当1a =时，不等式()4f x >的解集是(1,3)-.B ．若不等式()0f x ≤的解集为空集，则实数a 的取值范围为(0,1).C ．若方程()0f x =的两个不相等的实数根都在()0,2内，则实数a 的取值范围为()1,+∞.D ．若方程()0f x =有一正一负两个实根，则实数a 的取值范围为(),0∞-.【正确答案】CD【分析】对于A ：解一元二次不等式即可；对于B ：分析可得原题意等价于2210ax ax -+>恒成立，结合恒成立问题运算求解；对于C 、D ：整理可得212x x a-=-，根据题意结合图象分析运算.【详解】对于A ：当1a =时，不等式2()214f x x x =-+>，即2230x x -->，解得3x >或1x <-，即不等式()4f x >的解集是()(),13,-∞-⋃+∞，故A 错误；对于B ：若不等式()0f x ≤的解集为空集，等价于2210ax ax -+>恒成立，当0a =时，则10>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2Δ440a a a >⎧⎨=-<⎩，解得01a <<；综上所述：实数a 的取值范围为[)0,1，故B 错误；若方程2()210f x ax ax =-+=有根，则有：当0a =时，则10=不成立，不符合题意；当0a ≠时，则212x x a -=-，即22y x x =-与1=-y a有交点，结合图象，对于C ：若方程()0f x =的两个不相等的实数都在()0,2内，则22y x x =-与1=-y a有交点横坐标均在()0,2内，可得110a-<-<，解得1a >，所以实数a 的取值范围为(1,)+∞，故C 正确；对于D ：若方程()0f x =有一正一负两个实根，则22y x x =-与1=-y a有交点横坐标一个为正数一个为负数，可得10a->，解得a<0，所以实数a 的取值范围为(),0∞-，故D 正确；故选：CD.11．已知正数x 、y ，满足2x y +=，则下列说法正确的是（）A ．xy 的最大值为1.B 的最大值为2.C ．21x y+的最小值为3.D ．2211x y x y +++的最小值为1.【正确答案】ABD【分析】对于AB ，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD ，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可判断.【详解】对于A ，因为0,0,2x y x y >>+=，所以2x y =+≥1xy ≤，当且仅当x y =且2x y +=，即1x y ==时，等号成立，所以xy 的最大值为1，故A 正确；对于B ，因为()2222222()2()0a b a b a b ab a b +-+=+-=-≥，所以()222()2a b a b +≤+，当且仅当a b =时，等号成立，所以()222224x y ⎡⎤≤+=+=⎣⎦2≤，=且2x y +=，即1x y ==时，等号成立，2，故B 正确；对于C ，211213()313222212y x x y x y y y x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当2y xx y=且2x y +=，即42x y =-=-时等号成立，所以21x y +的最小值为32，故C 错误；对于D ，令1s x =+，1t y =+，则1x s =-，1y t =-，24s t x y +=++=，0,0s t >>，所以()()22221111112211s t x y s t x y s t s t s --+=+=-++-+=+++()11111221444ts s t s t s t ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当s t =且4s t +=，即2s t ==，即1x y ==时，等号成立，所以2211x y x y +++的最小值为1，故D 正确.故选：ABD.12．已知()f x 为非常值函数，若对任意实数x ，y 均有()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，且当0x >时，()0f x >，则下列说法正确的有（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 是()0,∞+上的增函数C ．()1f x <D ．()f x 是周期函数【正确答案】ABC【分析】令0x y ==，代入()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，即可得到()0f 再由()00f =，分别应用函数的奇偶性，单调性，值域和周期性判断A,B,C,D 选项即可【详解】对于A:由题意()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，令0x y ==，()()()202100f f f =+,解得：()00f =或()01f =±当()01f =时，令0y =，则()()()()()()()1==11100f x f f x f x f x f f x ++=+⋅+恒成立，又已知()f x 为非常值函数故舍去，当()01f =-时，令0y =，则()()()()()()()1==11100f x f f x f x f x f f x +-=-+⋅-恒成立，又已知()f x 为非常值函数故舍去，∴()00f =，令y x =-，则()()()()()=010f x f f f x f x x -+⋅-+=，所以()()=0f x f x +-，即()()=f x f x --，所以()f x 为奇函数，故A 正确；对于C ：令2x x y ==，()2222112222x x f f f f x x x x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为212,22x x f f ⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若12x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则()222112x f f x x f ⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭,又()f x 为非常值函数故舍去，所以12x f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，所以212,22x x f f ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()222112x f f x x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=<⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故C 正确:对于B:设任意的12,R x x ∈且120x x <<令21,x x y x ==-所以()()()()()2121211f x f x f x x x x f f +-+⋅--=，又因为()f x 为奇函数，所以()()()()()1122121f x f x f x x f x x f --=-⋅，()()121,1,f x f x <<()()()()11221,10x f x f f x f x ⋅<-⋅>又因为当0x >时，()0f x >，所以()()210,0f x f x >>，210x x ->，()()()()()21212101f x f x f x x f x f x --=>-⋅,即()()21f x f x >，所以()f x 是()0,∞+上的增函数,故B 正确;对于D:因为()f x 是()0,∞+上的增函数,又因为()f x 为奇函数且()00f =,所以()f x 是(),-∞+∞上的增函数,故()f x 不是周期函数,故D 错误.故选:ABC.三、填空题13．已知条件:11p k x k -<<+，3:21x q x -≥+，p 是q 的充分条件，则实数k 的取值范围是_______.【正确答案】[]4,2--【分析】先根据分式不等式求出q ，设条件p 对应的集合为A ，条件q 对应的集合为B ，由p 是q 的充分条件，可得A B ⊆，进而可得出答案.【详解】由321x x -≥+，得501x x +≤+，解得51x -≤<-，设{}{}11,51A x k x k B x x =-<<+=-≤<-，因为p 是q 的充分条件，所以A B ⊆，所以1511k k -≥-⎧⎨+≤-⎩，解得42k -≤≤-，所以实数k 的取值范围是[]4,2--.故答案为.[]4,2--14．已知：8290129(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-++- ，则4a =______.【正确答案】14【分析】变换()()()8881211(11)x x x x x =----+--，再利用二项式定理得到()()3434488C 1C 1a =-+-，计算得到答案.【详解】()()()()()888811111111)1(2x x x x x x x =-+--=---+---，()811x --展开式的通项为()()818C 11rrrr T x -+=--，()()3434488C 1C 1567014a =-+-=-+=.故1415．若函数2(2)3,14(),142,4a x a x f x x x x ax x -+≤⎧⎪⎪<≤⎨⎪-+>⎪⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为_______．【正确答案】17(2,]8【详解】因为()22,4f x x ax x =-+>，是开口向下的二次函数，故只能是在4x >上单减，故要求整个函数在R 上都是减的，每一段都是减的，则要求20,17234281816a a a a a -<⎧⎪-+≥⇒<≤⎨⎪≥-⎩，故答案为172,8⎛⎤⎥⎝⎦．点睛：这个题目考查了，已知分段函数的单调性求参的问题，一般这类题目要满足两个条件，一是分段函数每一段都是单调的，且要求在定义域上函数是上台阶或下台阶的，即每段的连接点处必须是连接起来的或者都是向下或向上的趋势，不能错位．16．将1，2，3，……，9，10这10个整数分别填入图中10个空格中，样本空间Ω为满足“每一行的最大数比上一行的最大数要大”的所有样本点构成的集合，事件A 为“第四行有一个数字是1”，事件B 为“第三行有一个数字是2”，则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为_______.【正确答案】310/0.3【分析】利用排列组合的性质和条件概率公式即可求解.【详解】假设每一行数字由小到大排列（最后再乘每一行的排列数），那么当每一行最后一个数字给定，只需挑出每一行的前几个数字即可，且10在第四行第4个数.当1在第四行时，第四行前3个数字选法28C ，第三行前2个数字选法25C ，第二行第1个数字选法12C .当1在第四行，2在第三行时，第四行前3个数字选法27C ，第三行前2个数字选法14C ，第二行第1个数字选法12C .所以2114321742432122143218524321C C C A A A A ()3(|)()C C C A A A A 10P AB P B A P A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故答案为.310四、解答题17．在21nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（n 为正整数）二项展开式中，若012C C C C 64nn n n n ++++= ，求：(1)展开式中所有项的系数之和；(2)展开式中含21x 的项的系数.【正确答案】(1)729(2)240【分析】（1）根据题意结合二项式系数的性质求得=6n ，再令1x =，求所有项的系数之和；（2）利用二项展开式的通项公式运算求解.【详解】（1）由题意可得0122=C C C C 64n n n n n n ++++= ，可得=6n ，故二项式为621x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令1x =，可得661237291⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以展开式中所有项的系数之和为729.（2）设621x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的通项为(6521662661C 2C rr rrr r rT x x -+--⎛⎫⋅==⋅ ⎪⎝⎭，令6522r -=-时，则2r =，此时2236422C 240T x x --⋅=⋅=，故展开式中含21x 的项的系数为240.18．为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场，得到天数与直播间人数的数据如下表所示：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天日期代码x 1234567直播间人数y （万人）4122123252728(1)求直播间人数y 和与日期代码x 的样本相关系数（精确到0.01）；(2)若使用ln y c d x =+作为y 关于x 的回归方程模型，计算该回归方程（结果保留1位小数），并预测至少要到哪一天直播间人数可以超过30万人.参考公式和数据：相关系数ni ix y nx yr -⋅=∑，其中711ln ,7i i i i u x u u ===∑，回归直线方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii nii x y n x yb a y b xxn x ==-⋅⋅==-⋅-⋅∑∑【正确答案】(1)0.93(2)ˆ5.212.3ln y x =+，第8天【分析】（1）根据题意可求得4,20x y ==，结合题中数据和公式运算求解；（2）根据题意令ln u x =，可得y c du =+，结合题中数据和公式求,cd ，进而根据回归方程运算求解.【详解】（1）由题意可得：777117722111114,2140,30,268666,77i i i i i i i i i i i x y x y x x y y ============∑∑∑∑∑，则ni i x ynx yr -⋅=∑530.932.65210.8≈≈⨯⨯，故直播间人数y 和与日期代码x 的样本相关系数为0.93.（2）∵ln y c d x =+，由题意令ln u x =，则y c du =+，可得77211213.20, 1.2,206.4,i i i i i u y u y u ===≈≈≈∑∑，则717221206.47201.2ˆ12.313.27 1.21.2i i ii i u yn u y dunu==-⋅⋅-⨯⨯=≈≈-⨯⨯-∑∑，ˆˆ2012.31.2 5.2cy d u =-⋅≈-⨯≈，所以ˆ 5.212.3yu =+，故y 关于x 的回归方程为 5.212.3ln y x =+⨯$，令 5.212.3ln 30y x =+>$，整理得ln 2.0x >，则2e 7.39x >≈，且*x ∈N ，所以8x ≥，故至少要到第8天才能超过30万人.19．对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个部分.要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次.设炮弹击落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是16，命中Ⅱ部分的概率是13，命中Ⅲ部分的概率是12，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立.(1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率；(2)求击落飞机的命中次数X 的分布列、数学期望和方差.【正确答案】(1)14(2)分布列见解析，()83E X =，19()18D X =【分析】（1）恰好在第二次射击后击落飞机存在两种情况，一种是连续命中Ⅱ部分两次，另一种情况是第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，根据这两种情况即可求出概率；（2）根据题意可知，击落飞机的次数可为1，2，3，4四种取值情况，根据四种取值情况求出对应概率即可求出分布列、数学期望和方差.【详解】（1）设恰好在第二次射击后击落飞机为事件A ，满足事件A 的情况有连续命中Ⅱ部分两次，或者第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，则25111()()6634P A =⨯+=.（2）依题意，X 的可能取值为1，2，3，4，1(1)6P X ==，1(2)4P X ==，12211111111(3)C ()()()32632623P X ==⨯⨯⨯++⨯+=，123111(4)C ()1324P X ==⨯⨯⨯=，所以X 的分布列为：X1234P16141314X 的数学期望()11118123464343E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.2X 14916P16141314()21111491491664346E X =⨯+⨯+⨯+⨯=X 的方差()22496419()(())6918D XE XE X =-=-=20．已知()224ax bx cf x x ++=+是定义在[]22-,上的函数，若满足()()0f x f x +-=且()115f =.(1)求()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在[]22-,上的单调性（不用证明），并求使()()22110f t f t ++-<成立的实数t的取值范围；(3)设函数2()24(R)g x x mx m =-+∈，若对任意12,[1,2]x x ∈，都有21()()g x f x <恒成立，求m 的取值范围.【正确答案】(1)()24x f x x =+(2)单调递增，302t -≤<(3)125m >【分析】（1）确定函数为奇函数，()00f =，()115f =，()115f -=-，代入数据计算得到答案.（2）确定函数单调递增，根据函数的奇偶性得到222212212211t t t t -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+<-⎩，解得答案.（3）只要2max 1min ()()g x f x <，最小值为1(1)5f =，题目转化为max 1925m x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，根据单调性计算最值得到答案.【详解】（1）[]2,2x ∈-，且()()0f x f x +-=，所以()f x 为奇函数，将0x =代入()()0f x f x +-=可得()00f =，即04c=，所以0c =，即()224ax bxf x x +=+，因为()115f =，所以()115f -=-，代入可得155155a b a b +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，故()24xf x x =+；()24x f x x =+，()()24xf x f x x -==-+，函数为奇函数，满足，故()24x f x x =+.（2）设1222x x -≤<≤，则()()()()()()211221212222212144444x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，1222x x -≤<≤ ，211200,4x x x x ∴-->>，()()210f x f x ∴->，即()()21f x f x >，故函数()24x f x x =+在[]22-,上单调递增，因为()24xf x x =+为奇函数，所以()()22110f t f t ++-<，即()()()222111f t f t f t +<--=-，根据单调性及定义域可得：222212212211t t t t -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+<-⎩，解得312220t t t ⎧-≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪-<<⎪⎪⎩302t -≤<.（3）只要2max 1min ()()g x f x <，函数()f x 在[]1,2上单调递增，最小值为1min 1()(1)5f x f ==.法一：21()245g x x mx =-+<在[]1,2上恒成立，只要max 1925m x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，195y x x =+在1,5⎡⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,25⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增，当1x =时，192455x x +=，当2x =时，1939245105x x +=<，故当1x =时，max 192455x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以125m >.法二：222()24()4g x x mx x m m =-+=-+-，[]1,2x ∈，当32m ≤时，max 1()(2)5g x g =<，14445m -+<，解得3920m >，舍去；当32m >时，max 1()(1)5g x g =<，11245m -+<，解得125m >，因此125m >，综上所述.125m >21．数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120合计90110200(1)根据0.010α=的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？(2)根据22⨯列联表的信息，A 表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B 表示“选到的学生数学成绩不优秀”，求()|P B A 的值；(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数X 的概率分布列及数学期望.附.()()()()22()n ad bc a b c d a c b dχ-=++++α0.0500.0100.001x α3.8416.63510.828【正确答案】(1)能(2)311(3)分布列见解析，158【分析】（1）计算216.498 6.635χ≈>，得到答案.（2）()(|)()P AB P B A P A =，计算得到答案.（3）根据分层抽样比例关系得到人数，确定随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】（1）零假设0H ：数学成绩与语文成绩无关，则22200(50803040)16.498 6.6359011012080χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，根据小概率值0.010α=的2χ的独立性检验，我们推断0H 不成立，故认为数学成绩与语文成绩有关；（2）()(|)()30311110P AB P B A P A ===，（3）按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.()3338C 10C 56P X ===，()125338C C 151C 56P X ===，()215338C C 30152C 5628P X ====，()3538C 1053C 5628P X ====，故X 的概率分布列为：X0123P15615561528528数学期望()11515510515012356562828568E X =⨯+⨯+⨯+⨯==.22．设0a >，0b >，函数2()f x ax bx a b =--+.(1)求不等式()(1)f x f <的解集；(2)若()f x 在[]0,1上的最大值为b a -，求ba的取值范围；(3)当[0,]x m ∈时，对任意的正实数a ，b ，不等式()(1)|2|f x x b a ≤+-恒成立，求m 的最大值.【正确答案】(1)答案见解析(2)[)1,+∞(3)1【分析】（1）变换得到(1)()0x ax a b -+-<，考虑1b a a ->，1b a a -<，1b aa-=三种情况，解不等式得到答案.（2）确定函数对称轴为2b x a=，考虑1022b a <<和122b a ≥两种情况，计算最值得到范围.（3）注意分类讨论的思想，分当2b a ≥时和当2b a <时两种情况进行讨论，当2b a ≥时2310b b x x a a ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭注意用换元法把b a 换成t ，得到()2310x t x x +--≥又由题意对任意的12t ≥不等式恒成立，而310x +>，只要12t =时不等式成立即可从而解出m 的取值范围，同理可求另一种情况【详解】（1）()(1)f x f <即()0f x <，即(1)()0x ax a b -+-<，()()10x ax a b -+-=的两根为1和b aa-当1b a a ->，即20b a >>时，解集为1,b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当1b a a -<，即02b a <<时，解集为,1b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当1b aa-=，即20b a =>时，解集为∅.综上所述：当20b a >>时，解集为1,b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当02b a <<时，解集为,1b a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；当20b a =>时，解集为∅.（2）因为0a >，0b >，所以0ba >，2()f x ax bx ab =--+的对称轴为2b x a=，当1022b a <<时，即b a <时，()()max 10f x f b a ==>-，不合题意；当122b a ≥时，即b a ≥时，()()max 0f x f =，而(0)0(1)f b a f =-≥=，符合题意.故ba取值范围为[)1,+∞.（3）①当2b a ≥时，不等式即为：()222ax bx a b b a x b a --+≤-+-，整理得：()230ax b a x b ---≤即：2310b b x x a a ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭，令bt a=，则12t ≥，所以不等式即()2310x t x t ---≤，即：()2310x t x x +--≥，由题意：对任意的12t ≥不等式恒成立，而310x +>，∴只要12t =时不等式成立即可，211022x x ∴--≤，112x ∴-≤≤而[]0x m ∈，，01m ∴<≤；②当2b a <时，同理不等式可整理为：23120b b x x a a ⎛⎫---+≤ ⎪⎝⎭，令b t a =，则102t <<，所以不等式即()21230x t x t ---+≤，即：()2320x t x x ++--≤，由题意：对任意的102t <<不等式恒成立，而30x +>，∴只要12t =时不等式成立即可，211022x x ∴--≤，112x ∴-≤≤而[]0x m ∈，，01m ∴<≤；综上，m 的最大值为1关键点睛：本题考查了解不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力。

山东省青岛第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)

山东省青岛第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)

青岛第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，则（ ）A. B. C. D.2. 若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D.3. 下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（ ）A. 若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数就越接近于1B. 经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线C. 在经验回归方程中，若解释变量增加1个单位，则预测值平均减少0.5个单位D. 若甲、乙两个模型的决定系数分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好4. 已知，则下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则5. 7名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排2名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（ ）A. 210种B. 420种C. 1260种D. 630种6. 已知一组样本数据的方差为9，且，则样本数据的方差为（ ）A. 9.2B. 8.2C. 9.8D. 97. 若不等式的解集为，则不等式解集为（ ）A B. ..{1,2,3,4,5},{1,3,5},{1,2,5}U T S ===()U S T = ð{2}{1,2}{2,4}{1,2,4}x |1|x a +<04x <<a 1a ≤-5a >1a <-5a ≥r ˆ20.5yx =-x ˆy 2R ,,R a b c ∈a b >ac bc>0a b >>0.40.4a b -->a b >1122a cb c++⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0,0a b c >>>b b c a a c+>+125,,,x x x 1324x x x x +=+123451,1,1,1,x x x x x -+-+20ax bx c ++≥[]1,30ax ccx b+≥+(]4,3,3∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭(]4,3,3∞∞⎛⎫--⋃+⎪⎝⎭C. D. 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A ，则（ ）A. 若，则取最大值时B. 当时，取得最小值C. 当时，随着的增大而减小 D. 当的，随着的增大而减小二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）A. 各二项式系数的和为64 B. 常数项是第3项C. 有理项有3项D. 各项系数的绝对值的和为72910. 已知位于第一象限的点在曲线上，则（ ）A. B. C. D.11. 二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表：…-1012……22…且当时，对应的函数值．下列说法正确的有（ ）A. B. C. 关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间D. 和在该二次函数的图象上，则当实数时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 函数定义域是______．13. 已知集合，，若中恰有一个整数，的43,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦43,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭n ,~(,)X X B n p N*,01n p ∈<<10,0.8n p ==()P X k =9k =12p =()D X 112p <<()P A n 102p <<()P A n 61x ⎛- ⎝(,)a b 111x y+=(1)(1)1a b --=-228a b +≥23a b +≥+221223a b +≥2,(,y ax bx c a b c =++0)a ≠x y x ym n32x =0y <0abc >1009mn >x 20ax bx c ++=12-()112,P t y +()222,P t y -12t <12y y >()ln(21)f x x =+-{}2|60M x x x =+->{}2|230,0N x x ax a =-+≤>M N ⋂则的最小值为_________.14. 已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射升空，并于北京时间2024年4月26日3时32分，成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个自主交会对接过程历时约6.5小时!奔赴星辰大海，中国人探索浪漫宇宙脚步驰而不息，逐梦太空的科学探索也不断向前。

2022-2023学年山东省枣庄市高二下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省枣庄市高二下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省枣庄市高二下学期期中数学试题一、单选题1．若277C C x =，则x =（）A ．2B ．5C ．2或5D ．7【答案】C【分析】由组合数的性质，即可求解.【详解】由组合数性质C m n mn n C -=，可知2x =或5x =.故选：C2．()51x -的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）A ．0B ．1-C ．32-D ．32【答案】D【分析】根据()na b +的二项展开式系数之和为2n 求解即可【详解】()51x -的二项展开式中所有项的二项式系数之和为5232=故选：D3．如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（）A ．48种B ．72种C ．64种D ．256种【答案】A【分析】利用分步乘法原理求解即可【详解】从A 开始摆放花卉，A 有4种颜色花卉摆放方法，C 有3种颜色花卉摆放方法，B 有2种颜色花卉摆放方法；由D 区与A ，B 花卉颜色不一样，与C 区花卉颜色可以同色也可以不同色，则D 有2种颜色花卉摆放方法.故共有432248⨯⨯⨯=种绿化方案.故选：A4．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A ．48B ．54C ．60D ．72【答案】C【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有2215312215C C C A ∙∙=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A =种方法；按照分步乘法原理，共有41560⨯=种方法；故选：C.5．函数(e 3)()x f x x =-的单调递减区间是（）A ．(),2-∞B ．()0,3C ．()1,4D ．()2,+∞【答案】A【分析】求出导函数()f x '，由()0f x '<得减区间．【详解】由已知()(3)(2)x x x f x e x e x e '=+-=-，2x <时，()0f x '<，2x >时，()0f x '>，所以()f x 的减区间是(,2)-∞，增区间是(2,)+∞；故选：A ．6．已知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下面四个图象中，()y f x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先利用函数()y xf x '=的图象求得函数()f x 的单调区间，进而得到正确选项.【详解】由题给函数()y xf x '=的图象，可得当1x <-时，()0xf x '<，则()0f x '>，则()f x 单调递增；当10x -<<时，()0xf x '>，则()0f x '<，则()f x 单调递减；当01x <<时，()0xf x '<，则()0f x '<，则()f x 单调递减；当1x >时，()0xf x '>，则()0f x '>，则()f x 单调递增；则()f x 单调递增区间为(),1-∞-，()1,+∞；单调递减区间为()1,1-故仅选项C 符合要求.故选：C7．已知函数()2ln xaf x x x=-有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()0,∞+C ．1e ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【分析】将问题转化为方程ln xa x=有三个根，令ln ()x g x x =（0x >），分析()g x 的单调性，作出()g x 的图像，结合函数图像可得答案【详解】解：因为函数()2ln xaf x x x=-有三个零点，所以方程2ln 0x a x x -=有三个根，即方程ln xa x =有三个根，令ln ()xg x x=（0x >），当1x >时，ln ()x g x x =，则'21ln ()x g x x -=，当1e x <<时，'()0g x >，当>x e 时，'()0g x <，所以()g x 在(1,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，所以当x e =时，()g x 取得极大值1(e)g e=，当1x =时，()0g x =，当01x <<时，ln ()x g x x =-，则'21ln ()0x g x x -+=<，所以ln ()x g x x=-在(0,1)上递减，所以ln ()xg x x=的大致图像如图所示，由图像可得当10a e <<时，直线y a =与ln ()x g x x=的图像有三个交点，所以实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，故选：D8．对任意的(]12,1,3x x ∈，当12x x <时，1122ln 03x a x x x -->恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．()3,+∞C ．[)9,+∞D ．()9,+∞【答案】C【分析】将不等式等价变形，构造函数()ln 3af x x x =-，再借助函数单调性、最值求解作答.【详解】依题意，11211222ln 0ln (ln )0333x a a a x x x x x x x -->⇔--->，令()ln 3af x x x =-，(1,3]x ∈，则对任意的12,(1,3]x x ∈，当12x x <时，12()()f x f x >，即有函数()f x 在(1,3]上单调递减，因此，(1,3]x ∀∈，()1033af x a x x'=-≤⇔≥，而max (3)9x =，则9a ≥，所以实数a 的取值范围是[9,)+∞.故选：C二、多选题9．下列求导运算正确的是（）A ．()1ln 22'=B ．()1xx'=C ．()sin cos x x '=D ．()()22212x x ''-=【答案】CD【分析】根据函数求导公式和运算法则，计算即可.【详解】对于A 选项：（()ln 20'=，所以A 选项错误；对于B 选项：()111221212x x x x -'⎛⎫'===⎪⎝⎭，所以B 选项错误；对于C 选项：由公式得()sin cos x x '=，所以C 选项正确；对于D 选项：()()()()22221212x x x ''''-=+-=，所以D 选项正确；故选：CD.10．已知()1nx +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（）A ．8n =B ．()1nx +的展开式中2x 项的系数为56C ．奇数项的二项式系数和为128D ．()21nx y +-的展开式中2xy 项的系数为56【答案】AC【分析】利用二项式定理求得()1nx +的展开通项公式，从而得到关于n 的方程，解出n 的值判断AB ，利用所有奇数项的二项式系数和为12n -判断C ，根据二项式定理判断D.【详解】因为()1nx +的展开式通项为1C C k k k kr n n T x x +==，所以()1nx +的展开式的第1k +项的二项式系数为C kn ，所以26C C n n =，解得8n =，A 正确；2x 的系数为28C 28=，B 错误；奇数项的二项式系数和为1722128n -==，C 正确；根据二项式定理，()821x y +-表示8个()21x y +-相乘，所以()21x y +-中有1个选择x ，1个选择2y -，6个选择1，所以()21nx y +-的展开式中2xy 项的系数为()71187C C 156-=-，D 错误；故选：AC11．（多选）将《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和《中华戏曲》7本书放在一排，则（）A ．戏曲书放在正中间位置的不同放法有77A 种B ．诗集相邻的不同放法有662A 种C ．四大名著互不相邻的不同放法有3434A A 种D ．四大名著不放在两端的不同放法有45A 种【答案】BC【分析】根据题设，依次分析各选项的条件，再列式即可判断作答.【详解】对于A ，戏曲书只有1本，将戏曲书放在正中间，其余6本书全排列，不同放法种数为66A ，A 错误；对于B ，诗集共2本，把2本诗集看为一个整体，则7本书的不同放法种数为266266A A 2A =，B 正确；对于C ，四大名著互不相邻，先将四大名著全排列，再在每种排列的中间3个空隙中放置其他书，共有33A 种放法，则不同放法种数为3434A A ，C 正确；对于D ，在第2至第6这5个位置上任选4个位置放四大名著，共有45A 种放法，其余3本书在剩下的3个位置上全排列，则不同放法种数为4353A A ，D 错误．故选：BC12．已知函数()f x 为定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，若当0x <时，()()0xf x f x '->，且()20f =，则（）A ．()()πe e πf f <B ．当2m <时，()()22f m mf >C ．()()43340f f -+<D ．不等式()0f x >解集为()(),20,2-∞- 【答案】CD【分析】构造函数()()f xg x x=，其中0x ≠，分析函数()g x 的奇偶性与单调性，利用函数()g x 的单调性与奇偶性可判断AC 选项；取2m =-可判断B 选项；分0x <、0x >解不等式()0f x >，可判断D 选项.【详解】构造函数()()f xg x x=，其中0x ≠，因为函数()f x 为定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，则()()f x f x -=-，所以，()()()()f x f x g x g x x x--===-，故函数()g x 为偶函数，当0x <时，()()()20'-'=>xf x f x g x x ，所以，函数()g x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，因为()20f =，则()()2202f g ==，则()()220g g -==.对于A 选项，()()e<πe πg g ∴> ，，即()()e πe πf f >，所以，()()πe e πf f >，A 错；对于B 选项，不妨取2m =-，则()()220g g -==，即()()2222f f -=-，此时()()2222f f -=-，B 错；对于C 选项，因为偶函数()g x 在()0,∞+上单调递减，则()()()334g g g -=>，即()()3434f f ->-，整理可得()()43340f f -+<，C 对；对于D 选项，当0x <时，由()0f x >可得()()()02f x g x g x=<=-，解得<2x -，当0x >时，由()0f x >可得()()()02f x g x g x=>=，解得02x <<.综上所述，不等式()0f x >解集为()(),20,2-∞- ，D 对.故选：CD.【点睛】结论点睛：四种常用的导数构造法：（1）对于不等式()()0f x g x ''+>（或0<），构造函数()()()F x f x g x =+；（2）对于不等式()()0f x g x ''->（或0<），构造函数()()()F x f x g x =-；（3）对于不等式()()0xf x cf x '+>（或0<）（其中c 为常数且0c ≠），构造函数()()c F x x f x =；（4）对于不等式()()0f x cf x '+>（或0c <）（其中c 为常数），构造函数()()e cx F x f x =.三、填空题13．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】310/0.3【分析】根据古典概型计算即可【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率310P =.故答案为：310.解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为35C 10=甲、乙都入选的方法数为13C 3=，所以甲、乙都入选的概率310P =故答案为：31014．已知567117C C 10C m m m -=，则8C m=____________.【答案】28【分析】由已知条件，利用组合数公式求出m 的值，即可求解8C m的值.【详解】解：567117C C 10C m m m -= ，!(5)!!(6)!7!(7)!5!6!107!m m m m m m ⨯-⨯-⨯-∴-=⨯，且05,m m Z ≤≤∈，两边乘以5!!(5!)m m -，得67(7)(6)161076m m m ----=⨯⨯，即223420m m -+=，解得m =2或m =21，05,m m Z ≤≤∈，2m ∴=，28887C C 2821m=⨯∴==⨯.故答案为：28．15．设点A 在直线310x y -+=上，点B 在函数()ln f x x =的图象上，则AB 的最小值为___________.【答案】11ln34+【分析】设函数()ln f x x =与直线310x y -+=平行的切线为l ，利用导数的几何意义得出切点P ，再由距离公式得出AB 的最小值.【详解】设函数()ln f x x =与直线310x y -+=平行的切线为l ，则l 的斜率为3，由()13f x x '==，得33x =，所以切点为31,ln332P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则点P 到直线l 的距离就是AB 的最小值，即11ln31121ln324++=+.故答案为：11ln34+.16．若112222log 2023xx x x ⋅=⋅=，则12x x 值为________．【答案】2023【分析】利用对数运算法则得到22log 22222log 2log xx x x ⋅=⋅，构造函数()2(0)x f x x x =⋅>，利用其单调性得到122log x x =，进而求出结果.【详解】因为122log 12222220232log 2log x xx x x x ==⋅=⋅⋅，令()2(0)x f x x x =⋅>，则()(ln 21)20x f x x '=⋅+⋅>在区间(0,)+∞上恒成立，即()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，所以122log x x =，则12222log 2023x x x x =⋅=，故答案为：2023.四、解答题17．若122nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项为352，求正整数n 的值【答案】4【分析】由题可得211222nn x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用通项公式即得.【详解】因为211222nn x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其通项公式为2121C ()()(02,N)2r n rr r n T x r n r x-+=-≤≤∈，则由通项知，展开式的常数项为()()()22211351C 1C 222nnnn n nn n n x x ⎛⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为3502>，故n 为偶数，解得4n =.18．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【答案】（1）115（2）186【详解】（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，红球4个，取法有种，红球3个和白球1个，取法有种；红球2个和白球2个，取法有种；根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有12490115++=种．（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.第一种，4红1白，取法有41466C C =种；第二种，3红2白，取法有324660C C ⋅=种，第三种，2红3白，取法有2346120C C ⋅=种，根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有660120186.++=19．已知()32f x x a x=--(1)若0a =，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；(2)若过点(1,0)P -的直线l 与曲线()f x 在1x =处相切，求实数a 的值.【答案】(1)560x y --=(2)11-【分析】（1）先对函数()f x 求导得到()f x '，从而得到曲线()f x 在1x =处的切线斜率，再求得点()()1,1f ，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）利用导数的几何意义得到()15f '=，再根据两点间的斜率公式得到关于a 方程，即可求解.【详解】（1）当0a =时，()32f x x x =-，则()()22230f x x x x'=+≠，所以()11f =-，()15f '=所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()151y x +=-，即560x y --=.（2）由()32f x x a x =--，得()()22230f x x x x'=+≠，因为直线l 与曲线()f x 在1x =处相切，所以直线l 的斜率()15k f '==，又()()()1011111222f a k f -===----，所以1522a --=，解得：11a =-，故实数a 的值为11-.20．已知函数f (x )＝x ＋4x，g (x )＝2x ＋a .（1）求函数f (x )＝x ＋4x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）若∀x 1∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[5,17]2；（2）1a ≤.【解析】（1）先求导数，判断函数单调性，结合单调性求解值域；（2）把条件转化为()()12min min f x g x ≥，分别求解()()12,f x g x 的最小值可得实数a 的范围.【详解】（1）()222441x f x x x -'=-=，因为1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()0f x '<，即函数()f x 为减函数，因为()51217,12f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以值域为[5,17]2.（2）因为∀x 1∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，所以()()12min min f x g x ≥，因为2[2,3]x ∈，所以()2224a g x a ≥+=+，所以54≥+a ，即1a ≤.21．设e ()x x f x =-.(1)求函数()f x 的极小值点.(2)若函数()(2)=-+g x f x a 满足22(0)2e g '=-+，求a 的值.(3)求函数()()()'=-h x xf x f x 的单调区间.【答案】(1)0(2)2-(3)在(,0)-∞和(ln2,)+∞上严格增，在(0,ln 2)上严格减【分析】(1)先对函数求导，求出导函数的零点，列表表示出函数随自变量变化情况，即可求解；(2)根据题意，写出函数()g x 的解析式，对函数求导，根据导函数的值即可求解；(3)结合（1）求出函数()h x 的解析式，对其求导，并用表格列出函数随自变量变化情况，即可求出结果.【详解】（1）因为函数e ()x x f x =-，所以()e 1x f x '=-，令()e 10x f x '=-=，解得：0x =，列表如下：x(,0)-∞0(0,)+∞()f x '-0+()f x 单调递减极小值单调递增所以极小值点为0.（2）因为2()(2)e 2x a g x f x a x a -+=-+=+-，所以()22e2x a g x -+'=-+，又因为()2202e 22e a g =-+=-+'，所以2a =-.（3）由（1）可知：2()()()e e 1x x h x xf x f x x x '=-=--+，所以()e 2x h x x x '=-，令()e 20x h x x x '=-=，解得：0x =或ln 2x =，列表如下：x (,0)-∞0(0,ln 2)ln 2(ln2,)+∞()h x '+0-0+()h x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数()h x 在区间(,0)-∞和(ln2,)+∞上单调递增，在区间(0,ln 2)上单调递减.22．已知函数()ln 22f x x ax =++.(1)讨论()f x 的单调性(2)若函数()()12e ax g x f x x +=-有且只有12,x x 两个零点，证明：122x x a+>-.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求得()1f x a x'=+，分0a ≥和a<0，两种情况分类讨论，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；（2）化简()()11ln 2e 2e 1ax ax g x x x ++=-+，令12e ax t x +=，得到()11ln 2e 2e 1ax ax x x ++-+ln 1t t =-+，令()ln 1(0)h t t t t =-+>，利用导数求得函数的单调性转化为()g x 有且只有12,x x 两个零点等价于函数()12e 1ax x x ϕ+=-有且只有12,x x 两个零点，利用导数求得()x ϕ的单调性，分0a ≥和a<0，两种情况讨论得到要使()x ϕ有12,x x 两个零点，转化为1210a a ϕ⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭，不妨令1210x x a <<-<，令()1142e 2e ax ax H x x x a +--⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用导数求得函数单调性，即可求解.【详解】（1）解：因为()ln22(0)f x x ax x =++>，所以()1f x a x'=+.若0a ≥，则()0f x ¢>恒成立；若a<0，令()0f x '=，解得1x a=-，当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；当1,x a ∈-+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，综上所述，当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当a<0时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.（2）证明：()()()11112e ln22e 2ln 2e 2e 1ax ax ax ax g x f x x x x ax x x ++++=-=-++=-+，令12e ,0ax t x t +=>，则()11ln 2e 2e 1ln 1ax ax x x t t ++-+=-+，令函数()ln 1(0)h t t t t =-+>，则()11h t t'=-，可得()h t 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又由()10h =，所以()h t 有且仅有一个零点1t =，即12e 1ax x +=，故函数()g x 有且只有12,x x 两个零点等价于函数()12e1(0)ax x x x ϕ+=->有且只有12,x x 两个零点，可得()()121e ax x ax ϕ+'=+，若0a ≥，则()0x ϕ'>恒成立，()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，则()x ϕ最多只有一个零点，不符合题意；若a<0，则当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增；当1,x a ∈-+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭()(),0,x x ϕϕ<'单调递减.当0x →或x →+∞时，()0x ϕ<，故要使()x ϕ有12,x x 两个零点，则需1210a a ϕ⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭，即20a -<<，不妨令1210x x a <<-<，今函数()()112412e 2e 0ax ax H x x x x x x a a a ϕϕ+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=++<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()()21122e 1e ax ax ax H x +++⎡=-'⎤⎢⎥⎣⎦，因为120,0a x a-<<<<-，所以110,e 1ax ax ++>>，故()()0,H x H x '>在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，又因为10H a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()10H x <，即()()1212x x x a ϕϕϕ⎛⎫=<-- ⎪⎝⎭，因为()121,x x a a ϕ-->-在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减，所以212x x a >--，即122x x a +>-.。

福建省福州市2023-2024学年高二下学期期中联考试题 数学含答案

福建省福州市2023-2024学年高二下学期期中联考试题 数学含答案

2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（答案在最后）（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62B.102C.152D.5402.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.5124.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A. B.C. D.5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π46.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.2157.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.8828.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.610.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412a b下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y gx =过点(1,0)的切线方程．16.已知n⎛⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62 B.102C.152D.540【答案】A 【解析】【分析】利用组合和排列数公式计算【详解】5275762254622C A =+´+创=故选：A2.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=【答案】B 【解析】【分析】利用常见函数的导数可以判断B 、C 的真假，利用积的导数的运算法则判断D 的真假，利用商的导数的运算法则判断A 的真假.【详解】∵()22cos cos cos sin cos x x x x x x x x x x x ''⋅-⋅--⎛⎫== ⎪⎝'⎭，故A 错误；∵()21log ln 2x x '=，故B 正确；∵()22ln 2x x '=，故C 错误；∵()()()33323e e e 3e e x x x x x x x x x x ⋅'''=⋅+=+，故D 错误.故选：B.3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.512【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分别令1x =与0x =代入计算，即可得到结果.【详解】当1x =时，20911a a a a ++++=L ；当0x =时，0512a =所以，1211511a a a +++=-L 故选：C4.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】求导后得到斜率为2，再由极值点是导数为零的点小于零，综合直线的特征可得正确答案.【详解】因为()2f x x b '=+，所以函数()f x '的图象是直线，斜率20k =>；又因为函数()f x 的顶点在第二象限，所以极值点小于零，所以()f x '的零点小于零，结合直线的特征可得C 符合.故选：C5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π4【答案】A 【解析】【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线的倾斜角.【详解】()()2e 22,0xf x x f =--∴'-'= ，设切线的倾斜角为[),0,πθθ∈，则tan θ=，即2π3θ=，故选：A ．6.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.215【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案.【详解】记事件A 表示“球取自甲箱”，事件A 表示“球取自乙箱”，事件B 表示“取得黑球”，则()()()()1212,,2635P A P A P B A P B A =====，由全概率公式得()()()()111211232530P A P B A P A P B A +=⨯+⨯=．故选：B ．7.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.882【答案】C 【解析】【分析】根据题意，按使用颜色的数目分两种情况讨论，由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论：若用两种颜色涂色，有27C 242⨯=种涂色方法；若用三种颜色涂色，有()37C 3221630⨯⨯⨯+=种涂色方法；所以有42630672+=种不同的涂色方法.故选：C.8.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为002e x x k ≤在0x ∈R 上能成立，利用导数求2()exxg x =的最大值，求k 的范围，即知参数的最大值.【详解】由题设，0x ∃∈R 使02e x x k ≤成立，令2()exxg x =，则()21e x g x x ⋅-'=，∴当1x <时()0g x '>，则()g x 递增；当1x >时()0g x '<，则()g x 递减；∴2()(1)e g x g ≤=，故2e k ≤即可，所以k 的最大值为2e.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.6【答案】AD 【解析】【分析】根据二项式展开式得到321C n r r r nT x-+=，再令302n r-=，则得到123C C n n n =，解出即可.【详解】展开式的通项为131221C ()()C n r r n rr rr nnT x x x---+==，若要其表示常数项，须有302n r-=，即13r n =，又由题设知123C C n n =，123n \=或123n n -=，6n ∴=或3n =.故选：A D ．10.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412ab下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的【答案】AC 【解析】【分析】结合统计结果对选项逐一分析即可得.【详解】对A ：由3924482a b +++=⨯，则33a b +=，故A 正确；对B ：由选择化学的有39人，选择物理的有36人，故至少有三人选择化学并选择了历史，故选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生最多有9人，故B 错误；对C ：确定选择化学后，还需在物理、历史中二选一，在生物、地理、政治中三选一，故共有236⨯=种不同的选考科目组合，故C 正确；对D ：由于地理与政治选考该科人数不确定，故该说法不正确，故D 错误.故选：AC.11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2【答案】BCD 【解析】【分析】构造函数()ex xf x =，将e ln 0x ax a -<恒成立问题转化为()()ln f x f a <恒成立问题，求导，研究()e xxf x =单调性，画出其图象，根据图象逐一验证选项即可.【详解】由e ln 0x ax a -<得ln ln ln e ex a x a aa <=，设()e x x f x =，则()1ex xf x ='-，当1x <时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，又()00f =，()11e f =，当0x >时，()0ex xf x =>恒成立，所以()ex xf x =的图象如下：，ln ln e ex a x a<，即()()ln f x f a <，2x ≥，对于A ：当3e a =时，ln ln 31>2a =+，根据图象可得()()ln f x f a <不恒成立，A 错误；对于B ：当2e a =时，()ln ln 211,2a =+∈，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，B 正确；对于C ：当e a =时，ln 1a =，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，C 正确；对于D ：当2a =时，ln ln 2a =，又()()ln 22ln 212ln 2ln 2,2e 2ef f ===，因为221263ln 23ln 2e e ⨯-⨯=，且2e,e 6>>，即26ln 1,1e ><，所以221263ln 23ln 02e e⨯-⨯=->，即()()ln 22f f >，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键将条件变形为ln ln e e x ax a <，通过整体结构相同从而构造函数()e x x f x =来解决问题.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.【答案】38【解析】【分析】利用条件概率的概率公式()()()P AB P B A P A =即可求解.【详解】由题意可得：()415P A =，()215P B =，()110P AB =，由条件概率公式可得()()()13104815P AB P B A P A ===，故答案为：38.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．【答案】200【解析】【分析】根据X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，求得(130)p X ≥即可.【详解】因为X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，所以()()113012901300.22P X P X ⎡⎤≥=-≤≤=⎣⎦，又该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为10000.2200⨯=人.故答案为：200.14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有211421226C C C A =种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有336A =种方法，则共有6636⨯=种分配方案.故答案为：36四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y g x =过点(1,0)的切线方程．【答案】（1）1（2）22y x =-【解析】【分析】（1）利用导数求解参数即可.（2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可.【小问1详解】定义域为,()0x ∈+∞，21()3f x ax x'=+，而(1)13f a '=+，而已知(1)4f '=，可得134a +=，解得1a =，故a 的值为1，【小问2详解】3()()ln g x f x x x x x =--=-，设切点为0003(,)x x x -，设切线斜率为k ，而2()31g x x '=-，故切线方程为300200()(31)()y x x x x x --=--，将(1,0)代入方程中，可得3200000()(31)(1)x x x x --=--，解得01x =(负根舍去)，故切线方程为22y x =-，16.已知n ⎛ ⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）10n =；（2）454；（3）2454x ，638-，245256x.【解析】【分析】（1）求出n⎛ ⎝的展开式的通项为1r T +，当=5r 时，指数为零，可得n ；（2）将10n =代入通项公式，令指数为2，可得含2x 的项的系数；（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，求出r 的值，代入通项公式并化简，可得展开式中所有的有理项．【详解】（1）n ⎛ ⎝的展开式的通项为233311122r rn r r n r r r r n n T C x x C x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为第6项为常数项，所以=5r 时，有203n r -=，解得10n =．（2）令223n r -=，得()()116106222r n =-=⨯-=，所以含2x 的项的系数为221014524C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，令()1023r k k Z -=∈，则1023r k -=，即352r k =-．r Z ∈，∴k 应为偶数．又010r ≤≤，∴k 可取2，0，-2，即r 可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为2221012C x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，551012C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，8821012C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2454x ，638-，245256x ．【点睛】关键点点睛：本题考查二项式展开式的应用，考查二项式展开式的通项公式以及某些特定的项，解决本题的关键点是求解展开式的有理项时，令()1023r k k Z -=∈，由r Z ∈以及010r ≤≤，求出k 的值，进而得出r 的值，代入通项公式化简可得有理项，考查了学生计算能力，属于中档题．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．【答案】（1）712（2）可判断该黑球来自3号箱的概率最大.【解析】【分析】（1）因先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球为黑球，其中有三种可能，即黑球取自于1号，2号或者3号箱，故事件B 属于全概率事件，分别计算出()i P A 和(|),1,2,3i P B A i =，代入全概率公式即得；（2）由“小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱”是求条件概率(|),1,2,3i P A B i =，根据条件概率公式分别计算再比较即得.【小问1详解】由已知得：1231()()()3P A P A P A ===,12311(|),(|),(|)1,42P B A P B A P B A ===而111111()(|)(),4312P BA P B A P A =⋅=⨯=222111()(|)(),236P BA P B A P A =⋅=⨯=33311()(|)()1.33P BA P B A P A =⋅=⨯=由全概率公式可得：1231117()()()().126312P B P BA P BA P BA =++=++=【小问2详解】因“小明取出的球是黑球，该黑球来自1号箱”可表示为：1A B ,其概率为111()112(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自2号箱”可表示为：2A B ,其概率为221()26(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱”可表示为：3A B ,其概率为331()43(|)7()712P A B P A B P B ===.综上，3(|)P A B 最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自3号箱的概率最大.18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】（1）0.648（2）分布列见解析，期望为95，甲比乙闯关成功的概率要大.【解析】【分析】（1）根据题意，直接列出式子，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得X 的可能取值为0,1,2,3，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列，然后计算甲闯关成功的概率比较大小即可.【小问1详解】记事件A 为“乙闯关成功”，乙正确完成每个程序的概率为0.6，则()()2233C 0.610.6(0.6)0.648;P A =⨯⨯-+=【小问2详解】甲编写程序正确的个数X 的可能取值为0,1,2,3，()()()()211233464664333310101010C C C C C C 13110,1,2,3C 30C 10C 2C 6P X P X P X P X ============，故X 的分布列为：X0123P 1303101216故()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，甲闯关成功的概率1120.648263P =+=>，故甲比乙闯关成功的概率要大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()()0,99,18U 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，分0a >、a<0两种情况讨论，分别求出函数的单调递增区间；（2）利用导数的几何意义求出切线方程，再令0x =、0y =求出在坐标轴上的截距，再由面积公式得到不等式，解得即可.【小问1详解】∵()313f x x ax =-定义域为R ，且()2f x x a '=-，①当a<0时，()20f x x a '=->恒成立，∴()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，令()20f x x a '=->，解得x <x >，∴()f x 在(,∞-，)∞+上单调递增，综上：当a<0时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(,∞-，)∞+.【小问2详解】由（1）得()2339f a a =-=-'，又∵()393f a =-，∴切线方程为()()()9393y a a x --=--，依题意90a -≠，令0x =，得18y =-；令0y =，得189x a=-，切线与坐标轴所围成的三角形的面积11816218299S a a =⨯⨯=--，依题意162189a >-，即919a>-，解得09a <<或918<<a ，即实数a 的取值范围为()()0,99,18⋃.。

2022-2023学年高二下学期期中教学质量检测数学试题(解析版)

2022-2023学年高二下学期期中教学质量检测数学试题(解析版)

亳州二中2022-2023学年第二学期期中教学质量检测高二数学试题考生注意：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知等差数列的公差为1，为其前项和，若，则（） {}n a n S n 36S a =2a =A. B. 1C.D. 21-2-【答案】D 【解析】【分析】先求得，然后求得.1a 2a 【详解】依题意. 1112335,1,112a a a a +=+==+=故选：D2. 已知是等比数列，，，则公比（ ） {}n a 22a =514a =q =A. B. -2 C. 2D.12-12【答案】D 【解析】【分析】由题意可得，开方可得答案． 35218a q a ==【详解】解：由题意可得， 35218a q a ==故可得 12q =故选：D ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，涉及公比的求解，属于基础题．3. 甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为、、，则密码能被译出的概率是231412（ ） A.B.C.D.18111278112【答案】C 【解析】【分析】首先求解出密码不能被译出的概率，再由对立事件的概率公式求得结果. 【详解】因为甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为、、， 231412所以此密码不能被译出的概率为，21111113428⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以此密码能被译出的概率为， 17188P =-=故选：C.4. 2022年12月4日是第九个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件A 表示“甲同学答对第一道2312题”，事件表示“甲同学答对第二道题”，则（ ） B ()P BA =∣A.B.C.D.34231213【答案】A 【解析】【分析】根据条件概率的计算公式，即可求得答案.【详解】依题意， ()()()()()12132,,23243P AB P A P AB P BA P A ==∴===∣故选：A 5. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若＝，则等于（ ） 53a a 5995S S A. 1 B. －1C. 2D.12【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.【详解】＝＝＝1. 95S S 19159()25()2a a a a ++5395a a 故选：A.6. 已知随机变量，，则（）()2~1,X N σ()00.8P X ≥=()2P X >=A. 0.2 B. 0.4C. 0.6D. 0.8【答案】A 【解析】【分析】由有随机变量的分布函数图象关于对称，结合已知条件即可求()2~1,X N σX 1X =；()2P X >【详解】由，知：随机变量的分布函数图象关于对称，()2~1,X N σX 1X =∴； ()(2)01(0)0.2P X P X P X >=<=-≥=故选：A【点睛】本题考查了正态分布的对称性，利用随机变量的分布函数图象关于对称求概率，属于简X μ=单题；7. 已知是数列的前项和，且满足，，则=（ ） n S {}n a n 11a =12n n a S +=2023a A. B. C. D.202123⨯2021320223202223⨯【答案】A 【解析】【分析】求出的值，由可得出，分析可知数列从第二项开始成以为公比的等比2a 2n ≥13n n a a +={}n a 3数列，由此可求得的值. 2023a 【详解】由已知可得，2122a S ==当时，由可得，两式作差可得，则，又2n ≥12n n a S +=12n n a S -=12n n n a a a +=-13n n a a +=2123a a =≠，所以，数列是从第二项开始以为公比的等比数列， {}n a 3则.2021202120232323a a =⨯=⨯故选：A.8. 已知数列满足若数列为递增数列，则实数a 的取值范围为{}n a ()()41,5,71,5,n n a n a a n n -⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩{}n a （ ）．A. B. C. D.()1,7()2,7()2,6()6,7【答案】C 【解析】【分析】由数列为递增数列，结合指数函数、一次函数性质列不等式，解不等式可求实数a 的取值{}n a 范围.【详解】因为数列为递增数列，所以必有 {}n a ()()5411,70,1761,a a a a -⎧->⎪⎪->⎨⎪-<-⨯-⎪⎩解得， ()2,6a ∈故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝6，则S 4＝（ ） A. －10 B. －8 C. 8 D. 10【答案】AC 【解析】【分析】设等比数列的公比为，解方程求出的值即得解.q 22226q q ++=q 【详解】设等比数列的公比为，由于，q 132,6a S == ，则 ，或，232226S q q =++=220q q +-=2q =-1q =所以或，3343162(2)10S S a q =+=+⨯-=-4148S a ==故选：AC.10. 2020年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价(元)和销售量(件)之间的一组数据如表所示： x y 价格 x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 1110865按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的有y x 3.2y x a=-+0.986r =（）A. 变量，线性负相关且相关性较强；B. ；x y 40a =$C. 当时，的估计值为12.8； D. 相应于点的残差约为0.4.8.5x =y ()10.5,6【答案】ABC 【解析】【分析】根据相关性、相关系数判断A 选项的正确性.利用样本中心点判断B 选项的正确性.将代入回归直8.5x =线方程，由此判断C 选项的正确性.求得时的估计值，进而求得对应的残差，从而判断D 选项10.5x =y 的正确性.【详解】对A ，由表可知随增大而减少，可认为变量，线性负相关，且由相关系数可y x x y 0.986r =知相关性强，故A 正确. 对B ，价格平均，销售量. ()199.51010.511105x =++++=()1111086585y =++++=故回归直线恒过定点，故，故B 正确. ()10,8 8 3.21040aa =-⨯+⇒=对C ，当时，，故C 正确.8.5x = 3.28.54012.8y =-⨯+=对D ，相应于点的残差，故D 不正确. ()10.5,6()6 3.210.5400.4e=--⨯+=- 故选：ABC11. 设随机变量的分布列为，，，分别为随机变量ξ()()1,2,51aP k k k ξ===+a R ∈()E ξ()D ξ的数学期望与方差，则下列结论正确的是（ ）ξA. B. C. D.()50 3.56P ξ<<=()317E ξ+=()2D ξ=()316D ξ+=【答案】ABC 【解析】【分析】利用分布列的性质求，而，根据期望、方差公式即可a ()()()0 3.512P P P ξξξ<<==+=求、、，进而可确定选项的正误. ()31E ξ+()D ξ()31D ξ+【详解】因为随机变量的分布列为， ξ()()1,2,51aP k k k ξ===+由分布列的性质可知，，解得， ()()()1251236a a aP P P ξξξ=+=+==++=1a =∴，A 选项正确； ()()()50 3.5126P P P ξξξ<<==+==，即有，B 选项正确；()1111252236E ξ=⨯+⨯+⨯=()()31313217E E ξξ+=+=⨯+=，C 选项正确()()()()2221111222522236D ξ=⨯-+⨯-+⨯-=，D 选项不正确.()()31918D D ξξ+=⨯=故选：ABC .12. 已知数列满足，，数列的前n 项和为，则（ ） {}n a 12a =-()*122,1n n a n n n N a n -=≥∈-{}n a n S A. B. 28a =-2nn a n =-⋅C. D.330S =-()1122+=-⋅-n n S n 【答案】ABD 【解析】【分析】求得数列的通项公式和前n 项和公式，再去验证选项即可解决.{}n a n a n S 【详解】由，12a =-()*122,1n n a nn n N a n -=≥∈-可得：，，，，， 21221a a ⨯=32232a a ⨯=43243a a ⨯=L ()12212n n n a a n ---=-则 21a a ⨯32a a ⨯43a a ⨯12n n a a --⨯⨯ 1n n a a -221⨯=⨯232⨯⨯243⨯⨯L ()212n n -⨯⨯-21n n -即，则，又时也成立，所以 1na a 12n n -=⋅2(2)nn a n n =-⋅≥1n =2n n a n =-⋅故选项B 判断正确；由，可知选项A 判断正确； 22228a =-⨯=-令 1231222322nn S n =-⨯-⨯-⨯--⋅ 则223411222322n n S n +=-⨯-⨯-⨯--⋅ 两式相减得()1231112(12)(2222)2212212n nn n n n S n n n +++-=++++-⋅=-⋅=-⋅-- 故选项D 判断正确； 由，可得选项C 判断错误.()313132234S +=-⋅-=-故选：ABD非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝12，则n ＝___. 3=【答案】48 【解析】【分析】化简已知得，，解方程组即得解. 12np =(1)9np p -=【详解】因为E (X )＝12，所以 （1）.12np =，所以 （2） 3=()9,(1)9D X np p =∴-=解（1）（2）得. 48n =故答案为：4814. 数列的前n 项和为，且，则＝___.{}n a n S ()()121nn a n =--2023S 【答案】 2023-【解析】【分析】利用分组求和计算得到答案. 【详解】，()()121nn a n =-- .2023(13)(57)(40414043)40452101140452023S ∴=-++-+++-+-=⨯-=- 故答案为：.2023-15. 已知函数的导函数为，且满足关系式，则()f x ()f x '()()232ln f x x xf x '=++()2f '=__________. 【答案】 94-【解析】【分析】根据题意求得，令，代入即可求解. ()()1232f x x f x''=++2x =【详解】由函数，可得， ()()232ln f x x xf x '=++()()1232f x x f x''=++令，可得，解得. 2x =()()()1924323222f f f '''=++=+()924f '=-故答案为：. 94-16. 若数列的前项和，则此数列的通项公式为____________．{}n a n 21nn S =+n a =【答案】13(1){2(2)n n n -=≥【解析】【详解】试题分析：当时，，又当时，，2n ≥11121(21)2n n n n n n a S S ---=-=+-+=1n =113a S ==所以＝．n a 13(1){2(2)n n n -=≥考点：数列的通项公式．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 求下列函数的导数（1）；()e ln sin xf x x x =++（2）. ()cos e xxf x =【答案】（1）； ()1e cos xf x x x'=++（2）. ()sin cos exx xf x +'=-【解析】【分析】（1）利用和的导数运算法则求导得解； （2）利用商的导数运算法则求导得解. 【小问1详解】因为，则. ()e ln sin xf x x x =++()1e cos xf x x x'=++【小问2详解】由题得=＝＝－. ()f x 'cos e x x '⎛⎫ ⎪⎝⎭()()2(cos )e cos e ex x xx x ''-sin cos e x x x +18. 在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知89a =520S =2913a a +=等差数列的前项和为,______,______. {}n a n *,n S n ∈N （1）求数列的通项公式; {}n a （2）设,求数列的前项和. 11n n n b a a +={}n b n n T 注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分. 【答案】（1）*1,n a n n =+∈N （2）()22n nT n =+【解析】【分析】(1)根据是等差数列,设出公差为,选择两个选项,将首项公差代入,解方程组,即可求得基{}n a d 本量,写出通项公式;(2)根据(1)中的通项公式,写出的通项,利用裂项相消即可求得前项和. {}n b n n T 【小问1详解】由于是等差数列,设公差为,{}n a d 当选①②时:,解得, 81517951020a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩121a d =⎧⎨=⎩所以的通项公式.{}n a ()*2111,n a n n n =+-⨯=+∈N 选①③时:,解得, 81291792913a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩121a d =⎧⎨=⎩所以的通项公式.{}n a ()*2111,n a n n n =+-⨯=+∈N 选②③时:,解得, 51291510202913S a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩121a d =⎧⎨=⎩所以的通项公式.{}n a ()*2111,n a n n n =+-⨯=+∈N 【小问2详解】由(1)知,, *1,n a n n =+∈N 所以, ()()111111212n n n b a a n n n n +===-++++所以 111111233412n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ()112222n n n =-=++19. 已知函数．()e ln 1xf x x =-+（1）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()1,1f （2）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． ()y f x =()()1,1f 【答案】（1）；()e 12y x =-+（2）. 2e 1-【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程；（2）由（1）所得切线方程求出数轴上的截距，再由三角形面积公式求面积即可. 【小问1详解】 由题设，，则，又， 1()e xf x x'=-(1)e 1f '=-(1)e 1f =+所以处的切线方程为，整理得. ()()1,1f (e 1)(e 1)(1)y x -+=--()e 12y x =-+【小问2详解】由（1），令时，；令时，； 0x =2y =0y =21ex =-所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 1222||21e e 1⨯⨯=--20. 某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该公司2014年至2020年的年销售额y 关于年份代号x 的统计数据如下表（已知该公司的年销售额与年份代号线性相关）． 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代号x12 3 4 5 6 7 年销售额y (单位：亿元) 29 333644485259（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）中的线性回归方程，预测2022年该公司的年销售额．附：样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为(),(1,2,,)i i x y i n = ˆˆˆy bx a =+，． ()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ˆˆa y bx=-【答案】（1）；ˆ523yx =+（2）68. 【解析】【分析】（1）利用最小二乘法原理求y 关于x 的线性回归方程； （2）把2022年的年份代号代入线性回归方程即得解. 【小问1详解】 由题得， 11(1+2+3+4+5+6+7)4,(29+33+3644485259)4377x y ===++++=∴，()()()()1277222218+44++4=2i i x x x x x =-=---∑ ，()()()()()()111777443+443140iii x x y y x yx y =--=--+--=∑ ∴, ()()()71721140ˆ528iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑∴, ˆˆ435423a y bx=-=-⨯=∴y 关于x 的线性回归方程为. ˆ523yx =+【小问2详解】2022年的年份代号为，729+=∴， ˆ592368y=⨯+=∴预测2022年该公司的年销售额为68亿元．21. 在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，提升产品品质，现随机选取了100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分（满分100分）.体验结束后，该公司将评分制作成如图所示的直方图.（1）将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”.根据已知条件完成下面列联表，能否在22⨯犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关.良 优 合计 男40 女40 合计（2）为答谢顾客参与产品体验活动，在体验度评分为和的顾客中用分层抽样的方法选[)50,60[]90,100取了6名顾客发放优惠卡.若在这6名顾客中，随机选取4名再发放纪念品，记体验评分为的顾[)50,60客获得纪念品数为随机变量，求的分布列和数学期望.X X 附表及公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()20P K k ≥0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）列联表见解析，能；（2）分布列见解析，. 43【解析】【分析】（1）根据题意，评分为“良”的有人，进而完成列联表，计算，进而得402 2.78 2.706K ≈>答案；（2）由题知随机抽取的6人中评分为有2人，评分为有4人，进而根据超几何分布求[)50,60[]90,100解即可；【详解】(1).根据题意，评分低于80分的有人，即评分为“良”的()0.010.010.021010040++⨯⨯=有人，所以列联表如下：40良 优 合计 男20 20 40 女20 40 60 合计 40 60 100由题得， ()221002********* 2.78 2.706406060409K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以，能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关.（2）由已知得体验度评分为和的顾客分别有10人，20人，则在随机抽取的6人中评[)50,60[]90,100分为有2人，评分为有4人.[)50,60[]90,100则可能的取值有0,1,2.X ，，， ()44461015C P X C ===()1324468115C C P X C ⋅===()2224466215C C P X C ⋅===则的分布列为XX 0 1 2 P 115 815 615所以，. ()18640121515153E X =⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查独立性检验，分层抽样，超几何分布，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意进行数据处理，分析频率分布直方图中的数据特征，完成列联表，进而根据分层抽样，超几何分布求解.22. 已知数列中，，. {}n a 11a =()*13n n n a a n N a +=∈+（1）求证：数列是等比数列；112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭（2）数列满足的，数列的前项和为，若不等式对{}n b ()312n n n n n b a =-⋅⋅{}n b n n T ()112n n n n T λ--<+一切恒成立，求的取值范围.*n ∈N λ【答案】（1）证明见解析（2）23λ-<<【解析】 【分析】（1）将递推公式两边取倒数，即可得到，从而得到，即可得1131n n a a +=+11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭证；（2）由（1）可得，从而得到，再利用错位相减法求和即可得到，即可得到231n n a =-12n n n b -=n T ，对一切恒成立，再对分奇偶讨论，即可求出的取值范围； ()12142n n λ--<-*n ∈N n λ【小问1详解】解：由，得 ()*13n n n a a n N a +=∈+13131n n n na a a a ++==+∴， 11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列 . 112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭111322a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【小问2详解】解：由（1）得，即. 1113322n n a -+=⨯231n n a =-所以 12n n n b -= ()0122111111123122222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯. ()121111112122222n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯两式相减得:， 012111111222222222n n n n T n n -+=+++⋅⋅⋅+-⨯=-∴ 1242n n n T -+=-因为不等式对一切恒成立， ()112n n n n T λ--<+*n ∈N 所以，对一切恒成立， ()12142n n λ--<-*n ∈N因为单调递增 1242n t -=-若为偶数，则，对一切恒成立，∴； n 1242n λ-<-*n ∈N 3λ<若为奇数，则，对一切恒成立，∴，∴ n 1242n λ--<-*n ∈N 2λ-<2λ>-综上：.23λ-<<。

高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析

高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析

高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析本试卷共5页 22小题 满分150分.考试用时120分钟.考生注意事项：1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅰ卷 第Ⅰ卷用2B 铅笔涂在答题卡上 第Ⅰ卷用黑色钢笔 签字笔在答题卡上作答2．质量监测时间120分钟 全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题 每小题5分 共40分 每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}2log 20A x x =∈-≤N {A x y =∈N ，则A B ⋃=（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【分析】根据对数的单调性 一元二次不等式的解法 结合并集的定义进行求解即可. 【详解】由(){}2log 20021121x x x A -≤⇒<-≤⇒≤<⇒=由{}210110,1x x B -≥⇒-≤≤⇒=所以A B ⋃={}0,1 故选：C2．复数z 满足()1i i z += i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A ．1z = B ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 C ．z 的实部为12D ．z 的虚部为1i 2【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出复数z 即可求得其模以及实部和虚部 以及对应的点所在象限 一一判断各选项 即得答案.【详解】因为()1i i z += 故i i (1i)11i 1i (1i)(1i)22z ⋅-===+++-则z ==A 错误 z 在复平面内对应的点为11(,)22位于第一象限 B 错误z 的实部为12C 正确z 的虚部为12D 错误故选：C ．3．在ABC 中 点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点 点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =（ ）A ．2133CA CB -+ B ．1526CA CB -C ．1233CA CB -+D 5162CA CB -+．【答案】D【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案方法二：设ABC 是等腰直角三角形 且4CA CB == 建立空间直角坐标系 写出点的坐标 设m A CA nCB E =+ 从而得到方程组 求出答案.【详解】方法一：如图 由题意得23CE CD = 34AD AB =故()22123333AE AC CE AC CD AC AD AC AC AD =+=+=+-=+()111151323262AC AB CA CB CA CA CB =+=-+-=-+方法二：不妨设ABC 是等腰直角三角形 且4CA CB == 以C 为坐标原点建立平面直角坐标系 如图所示 则()()()()20,0,0,4,4,0,3,1,2,3C A B D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则()()0,4,4,0CA CB == 设m A CA nCB E =+故()()102,0,44,03m n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以1042,43n m ==- 解得51,62m n =-=故5162CA C A B E -=+．故选：D ．4．函数()()()2sin 0,ππf x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图像如图所示，则ω ϕ的值分别是（ ）A ．2 π6- B ．2 π3-C ．2π3D ．4 5π6-【答案】B【分析】根据三角函数图像与性质求ω ϕ的值即可. 【详解】设()f x 的周期为T则由图像知35π9π3πππ4123124T T ⎛⎫=--==⇒= ⎪⎝⎭所以2π2Tω==，则()()2sin 2f x x ϕ=+ 因为()f x 在5π12x =处取得最大值 所以5π2π2π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈ 得π2π,Z 3k k ϕ=-+∈因为ππϕ-<< 所以π0,3k ϕ==-.故选：B5．在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1n a n- 公差为1n -的等差数列的前n 项记构成的新数列为{}n b 若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（ ） A ．252-B ．-13C ．272-D ．-14【答案】A【分析】根据题意 得到数列{}n b 中n a 及其后面n 项的和为n S ()()1112n n n n S n a n+=+-⨯求解. 【详解】解：数列{}n b 为：1122233331121,1,,,1,,,,1,,,233n n a a a a a a a a a a a n-------1231,,,,1,,n n n n n n a a a a a n nn+-----设n a 及其后面n 项的和为n S ，则()()()1111123222n n n n n S n a n n ++=+-⨯=-=- 所以数列{}n S 是以1为首项 公差为12-的等差数列.所以{}n b 前65项的和为1210710125222S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-故选：A.6．冬季是流感高发期 其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析 可以用函数模型()2rtW t =来描述累计感染甲型流感病毒的人数()W t 随时间t Z t ∈（单位：天）的变化规律 其中指数增长率r 与基本再生数0R 和世代间隔T 之间的关系近似满足01R rT =+ 根据已有数据估计出04R =时 12T =．据此回答 累计感染甲型流感病毒的人数增加至()0W 的3倍至少需要（参考数据：lg 20.301≈ lg30.477≈）（ ）A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天【答案】B【分析】先求得r 然后根据“()0W 的3倍”列方程 化简求得需要的时间. 【详解】依题意 01R rT =+ 且04R =时 12T =即14112,4r r =+⨯= 所以()142tW t = ()10W =令()1423tW t == 两边取以10为底的对数得14lg 340.477lg 2lg 3, 6.34lg 20.301t t ⨯==≈≈ 所以至少需要7天. 故选：B7．如图 在长方形ABCD 中 2AB = 1BC = E 为DC 的中点 F 为线段EC （端点除外）上的动点．现将AFD △沿AF 折起 使平面ABD ⊥平面ABC 在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥ K 为垂足．设AK t ，则t 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】设DF x = 求得x 关于t 的表达式 根据x 的取值范围求得t 的取值范围. 【详解】如图 在平面ADF 内过点D 作DH AF ⊥垂足为H 连接HK ．过点F 作//FP BC 交AB 于点P ．设FAB θ∠= AE AC == 所以cos θ∈⎝⎭．设DF x =，则12x <<．因为平面ABD ⊥平面ABC 平面ABD ⋂平面ABC AB =DK AB ⊥ DK ⊂平面ABD 所以DK ⊥平面ABC又AF ⊂平面ABC 所以DK AF ⊥． 又因为DHAF ⊥DKDH D = DK DH ⊂平面DKH 所以AF ⊥平面DKH 所以AF HK ⊥ 即AH HK ⊥．在Rt ADF 中 AF DH因为ADF △和APF 都是直角三角形 PF AD = 所以Rt Rt ADF FPA ≌△△ AP DF x ==．因为AHD ADF ∽△△,1AH DH AH AH AD DF ===所以cos AH AP AK AF θ=== 得1x t=． 因为12x << 所以112t<< 所以112t <<．故选：C【点睛】方法点睛：线面垂直 面面垂直转化的过程中 要从线面垂直得到面面垂直 需要“经过一个平面的垂线” 要从面面垂直得到线面垂直，则需要“在一个平面内 垂直于交线” 在答题过程中 要注意使用正确的符号语言.8．在直角坐标系xOy 内 圆22:(2)(2)1C x y -+-= 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A．⎡⎣ B．44⎡--⎣C．22⎡--⎣D．2⎡-⎣【答案】A【分析】由题意首先得出旋转后的直线为1:0l x y m 然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】连接OP 设POx θ∠=（即以x 轴正方向为始边 OP 为终边的角）由题意对于直线:0l x y m ++=上任意一点(),P x y存在R a θ=∈ 使得()cos ,sin P a a θθ 则直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后 点()cos ,sin P a a θθ对应点为1ππcos ,sin 22P a a θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即()1sin ,cos Pa a θθ- 因为()cos ,sin P a a θθ在直线:0l x y m ++=上 所以满足cos sin 0a a m θθ++= 设11sin ,cos x a y a θθ==- 所以110y x m -++= 即()1sin ,cos P a a θθ-所在直线方程为1:0l xy m而圆22:(2)(2)1C x y -+-=的圆心 半径分别为()2,2,1r = 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点所以圆心()2,2C 到直线1:0l x y m 的距离1d r =≤= 解得m ≤故选：A.【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线 从而即可顺利得解.二 多选题9．某校举行演讲比赛 6位评委对甲 乙两位选手的评分如下： 甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（ ）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.8 【答案】ACD【分析】由平均数 方差 百分位数 众数的概念及求法分别求解判断即可. 【详解】选项A 评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲评委对乙评分的平均数7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙所以x x <甲乙 故A 正确选项B 由A 知 两组数据平均数均约为7.8且纵向看 甲组数据与乙组数据仅一组数据7.5,7.8不同 其余数据相同 又甲组数据7.5与平均数的差明显大于乙组数据7.8与平均数的差 且差距较大 故与平均数比较 甲组数据波动程度明显大些即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差 故B 错误 选项C 由640% 2.4⨯=不是整数则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第3个数据 即：7.8 故C 正确 选项D 评委对乙评分中最多的数据 即众数为7.8 故D 正确.故选：ACD.10．下列说法正确的是（ ）A ．“α为第一象限角”是“2α为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B ．“π2π6k α=+ Z k ∈”是“1sin 2α=”的充要条件C ．设ππ,Z 4M k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭ π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件D ．“sin 0θ>”是“θtan 02>”的必要不充分条件 【答案】AC【分析】对于A 利用象限角 求得角α的范围 可判定充分性 取π3α= 验证必要性即可 对于B 考查1sin 2α=时 α的取值范围 可判定必要性不成立 对于C 根据集合M N 的关系即可判定 对于D 根据条件求得α的取值范围即可判断. 【详解】对于A,因为α为第一象限角 所以π2π2π,Z 2k k k α<<+∈ 则πππ,Z 4k k k α<<+∈, 当k 为偶数时 α为第一象限角 当k 为奇数时 α为第三象限角 所以充分性成立 当π3α=时 α为第一象限角，则2π23α= 为第二象限角 即必要性不成立 故A 正确 对于B 当π2π6k α=+ Z k ∈时 1sin 2α=成立，则充分性成立当1sin 2α=时 π2π6k α=+或5π2π6k α=+ Z k ∈, 故必要性不成立，则B 错误对于C ()41πππ,Z ,Z 44k M k k k αααα⎧⎫⎧⎫⎪⎪==±∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭而π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭则MN 故则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件 故C 正确对于D,当sin 0θ>时 2π2ππ,Z k k k θ<<+∈, 则πππ,Z 22k k k θ<<+∈ 则θtan 02> 故充分性成立 当θtan02>时 πππ,Z 22k k k θ<<+∈则2π2ππ,Z k k k θ<<+∈ 则sin 0θ>成立 所以“sin 0θ>”是“θtan 02>”的充要条件 故D 错误 故选：AC.11．椭圆C 的标准方程为22121,,82x y F F +=为椭圆的左 右焦点 点()2,1P ．12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 与1212,,PF PF F F 分别相切于点,,D E H ，则（ ）A ．126PF F S =△ B ．13x C ．1233y = D ．226PD PE ==【答案】BCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解12PF F S再结合三角形内切圆的几何性质逐项判断即可得结论.【详解】椭圆C ：22182x y +=，则22,2,826a b c ===-= 所以()()126,0,6,0F F又()2,1P 所以点P 再椭圆上 连接12,,,,,ID IE IH IP IF IF则121211122PF F p SF F y =⋅=⨯ 故A 不正确由椭圆的定义可得122PF PF a +==又12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 所以内切圆半径I r y = 由于121212PF F IF F IF PIF PSSSS=++()(121212121111122222I I I I I F F y PF y PF y y F F PF PF y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅++=⋅故3I r y === 故C 正确又1122,,PD PE DF F H EF HF ===所以12121212PF PF PD DF PE EF PD F H PE HF PD PE F F +=+++=+++=++=则2PD = 所以PD PE == 故D 正确又2PF == 所以222HF EF PF PE ==-又H I x x = I x = 即1x 故B 正确. 故选：BCD.12．已知函数()()e xf x a x =+ ()()lng x x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当1a =时 函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增C ．当1a =时 若存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立，则实数m 的最小值为0D ．当1a =时 若()()12(0)f x g x t t ==>，则()121ln x x t +⋅的最小值为1e【答案】BC【分析】对A 选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得 对B 选项：结合导数讨论单调性即可得 对C 选项：结合()f x 单调性 可转化为当1x ≥时 有()1ln m x x ≥+成立 求出()1ln x x +最小值即可得 对D 选项：采用同构法可确定12e xx = 再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.【详解】对A 选项：()()()e e 1e x x xf x x a x a +=+'=++若函数()y f x =存在两个极值，则函数()f x '必有两个变号零点令()()1e 0x f x x a =++='，则()1e xa x =-+令()()1e xh x x =-+，则()()2e xh x x +'=-则当2x >-时 ()0h x '< 当<2x -时 ()0h x '> 故()h x 在(),2∞--上单调递增 在()2,∞-+上单调递减故()()()221221e e h x h -≤-=--+=又当1x >-时 ()()1e 0xh x x =-+<恒成立当x →-∞时 ()0h x →故当210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭函数()f x '有两个变号零点即若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为210,e⎛⎫ ⎪⎝⎭故A 错误对B 选项：当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ ()11ln ln 1x g x x x x x='+=+++ 令()()x g x μ='，则()22111x x x x xμ'-=-= 则当()0,1x ∈时 ()0x μ'< 当()1,x ∞∈+时 ()0x μ'> 故()x μ在()0,1上单调递减 在()1,∞+上单调递增故()()120g x g '='≥> 故函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增 故B 正确对C 选项：当1a =时 ()()e 1xf x x =+()()()e e 11e 1x x x f x x x =++=++'令()()m x f x ='，则()()2e xm x x +'=则当<2x -时 ()0m x '< 当2x >-时 ()0m x '> 故()m x 在(),2∞--上单调递减 在()2,∞-+上单调递增故()()2212e 110e f x f -≥-=-+=-'>' 故()f x 在R 上单调递增则存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立等价于存在1x ≥ 使不等式()2ln mx x x x ≥+成立则当1x ≥时 有()1ln m x x ≥+成立由当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ 且()y g x =在(0,)+∞上单调递增 故()11ln10m ≥+= 即实数m 的最小值为0 故C 正确对D 选项：当1a =时 由B C 可知 ()f x ()g x 均为定义域上的增函数 由()00f = ()10g = 故有1>0x 21x >由()()12f x g x =，则()()1122e 11ln xx x x +=+即()()()111122e 1e 1ln e 1ln x x x x x x +=+=+ 故12e xx =又()()111e 10xf x t x ==+> 故()121ln ln x x t t t +⋅=令()ln n x x x =，则()1ln n x x x ='+ 令()()1ln p x n x x x==+'则()22111x p x x x x='-=- 则当()0,1x ∈时 ()0p x '< 当()1,x ∞∈+时 ()0p x '> 故()p x 在()0,1上单调递减 在()1,∞+上单调递增 即()()10n x n ''≥= 故()n x 在()0,∞+上单调递增 故()n x 无最小值 即()121ln x x t +⋅无最小值 故D 错误. 故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题 其中D 选项中涉及到多变量问题的求解 求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系 将多变量转化为单变量的问题 从而将其转化为函数最值问题的求解. 三 填空题13．()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40-【分析】由二项式定理得到()62x y -的通项公式 结合2xy+得到34,T T 得到42x y 的系数. 【详解】()62x y -的通项公式为()()66166C 2C 2rrr r r r r r T x y x y --+=-=-令2r =得 ()22424236C 260T x y x y =-= 此时4242602120x y x y ⋅=令3r =得 ()33333346C 2160T x y x y =-=- 此时3342160160xx y x y y-⋅=- 故42x y 的系数为12016040-=- 故答案为：40-14．设数列{}n a 满足12a = 26a = 且2122n n n a a a ++-+= 若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦． 【答案】2020【分析】根据题意 得到()()2112n n n n a a a a +++---= 得到{}1n n a a +-为等差数列 求得其通项公式 结合累加法 得到(1)n a n n =+ 求得2021112021()1n a n n =-+ 再利用裂项求和 求得12202120212021202120212021(2020,2021)2022a a a +++=⨯∈ 即可求解. 【详解】因为2122n n n a a a ++-+= 可得()()2112n n n n a a a a +++---= 又因为12a = 26a = 可得214a a -=所以数列{}1n n a a +-是首项为4 公差为2的等差数列 所以14(1)222n n n a n a +-=+-⨯=+ 当2n ≥时 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(1)22(1)2222(1)2n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+ 且当1n =时 12a =也成立 所以()1n a n n =+ 所以202111120212021()(1)1n a n n n n =⨯=-++ 所以122021202120212021111112021[(1)()()]22320212022a a a +++=-+-++- 120212021(1)2021(2020,2021)20222022=-=⨯∈所以1220212021202120212020a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.15．已知椭圆 22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点为12,F F ．直线y kx =与椭圆C 相交于,P Q 两点 若112PF QF = 且12π3PFQ ∠= ，则椭圆C 的离心率为． 【分析】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形 再根据椭圆的定义求出12,PF PF 再在12PF F △中 利用余弦定理求出,a c 的关系即可得解.【详解】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形，则21PF QF =由12π3PFQ ∠= 得12π3F PF ∠= 因为112PF QF = 所以122PF PF = 又122PF PF a += 所以1242,33a aPF PF == 在12PF F △中 由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠ 即2222164421442993323a a a a ac =+-⨯⨯⨯=所以c a =即椭圆的离心率c e a ==16．已知A M N 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则·AM AN 的取值范围是 ． 【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据正方体的性质可得·3cos ,a AM AN AM AN =≤结合夹角的定义可得3a ≤ 可得其最大值 根据数量积的运算可知24≥-MN a 可得其最小值.【详解】正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长度d 则,AM AN d ≤ 故·3cos ,a AM AN AM AN =≤ 而[]cos ,1,1AM AN ∈- 故3a ≤如图建立空间直角坐标系 取()0,0,0A ,M N 重合为()1,1,1时 则()()1,1,11,1,13a =⋅= 取得最大值3由对称性 设A 在下底面 (),,AM x y z = (),,AN a b c =由A 在下底面知0,0,0z c zc ≥≥≥ 当且仅当,M N 也在下底面时取等 此时,,A M N 共面时 设MN 中点为E ，则EM EN =-()()()()()2222··4MN a AM AN AE EM AE EN AE EN EN==++=-≥-=-当且仅当,A E 重合时取等又因为2MN ≤ 可得2142-≥-≥a MN 例如11,,022A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()()1,0,0,0,1,0M N ，则11111·,,0,,022222a AM AN ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以·AM AN 的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.四 解答题（共70分）17．（本题10分）如图 在ABC 中 6AB AC == 点D 是边BC 上一点且,cos AD AB CAD ∠⊥=2AE EB =(1)求BCE 的面积 (2)求线段AD 的长. 【答案】(1)(2)=AD【分析】（1）根据13BCE ABC S S =△△求解即可（2）解法1：在ABC 中根据余弦定理求出BC 结合等腰三角形的性质求cos B 在ABD △中勾股定理求AD 即可 解法2：由A BCABDACDSSS=+求得AD .【详解】（1）12,3BCEABCAE EB SS =∴=而11πsin 66sin 222ABCSAB AC BAC CAD ⎛⎫=⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠+ ⎪⎝⎭ 18cos 18CAD =∠== 1423BCEABCSS ∴==（2）解法1：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠= π1cos cos sin 23CAB CAD CAD ⎛⎫∴∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭在ABC 中 22212cos 3636266963BC AB AC AB AC CAB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BC ∴=∴在等腰ABC 中12cos BCB BA ==∴Rt ABD △中6cos ,BA BBD BD BD===∴=AD ∴==解法2：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠== 由A BCABDACDSSS=+得1166sin 22AD AD CAD =⨯⨯+⨯⨯⋅∠,即()11166223AD AD =⨯⋅+⋅⋅⋅解得=AD18．（本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 11a = 且满足()()11112n n n S nS n n ++=-+.(1)求数列{}n a 的通项公式(2)设()23cos πn a n n b a n =+⋅ 求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)n a n =(2)()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得()12n n n S +=结合1n n n a S S -=-即可求解（2）由（1）知()()213nnn b n =-+- 利用分组求和法计算即可求解. 【详解】（1）根据题意 ()()11112n n n S nS n n ++=-+ 所以1112n n S S n n +-=+由于1111S a ==，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1 公差为12的等差数列所以()111122n S n n n +=+-⨯= 所以()12n n n S += 当2n ≥时 1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=. 验证1n =时11a =满足通项公式 故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）由（1）知()()()223cos π13n n na n nb a n n =+⋅=-+-.设()21nn -的前n 项和为n A ，则当n 为偶数时 ()22222212341n A n n =-+-+-⋅⋅⋅--+()()()()()()2121434311n n n n ⎡⎤⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+-⎣⎦⎣⎦ ()()1123412n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+=. 当n 为奇数时 ()()2211122n n n n n n A A n n --+=-=-=-设()3n-的前n 项和为n B ，则()()()131333134nn nB +⎡⎤-⋅-----⎣⎦==+. 因为=+n n n T A B 所以()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数 19．（本题12分）如图 在四棱锥P ABCD -中 PAD 为等边三角形 AD CD ⊥ //AD BC 且22AD BC ==CD =PB = E 为AD 中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD(2)若线段PC 上存在点Q 使得二面角Q BE C --的大小为60︒ 求CQCP的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)12【分析】（1）首先连接PE 根据线面垂直的判定定理证明PE ⊥平面ABCD 再利用面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面ABCD . （2）设()01CQ CP λλ=≤≤,再利用向量法求二面角Q BE C --的平面角 再列方程得到12λ= 即得CQCP 的值．【详解】（1）证明：连接PEPAD 是边长为2的等边三角形 E 是AD 的中点PE AD ⊥∴PE =//DE BC DE BC = AD CD ⊥ ∴四边形BCDE 是矩形BE CD ∴==222PE BE PB ∴+= PE BE ∴⊥又AD BE E = AD BE ⊂平面ABCDPE ∴⊥平面ABCD又PE ⊂平面PAD∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）以E 为原点 以EA EB EP 为坐标轴建立空间直角坐标系 如图所示：则(00P()C -()0B ()0,0,0E ()0EB ∴=， ()100BC =-，，(1CP = 设()01CQCPλλ=≤≤则()1BQ BC CQ BC CP λλ=+=+=- 设平面QBE 的法向量为(),,m x y z =则00m EB m BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()010x y z λ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，令1z = 得()301m λλ=-，，又PE ⊥平面ABCD()001n ∴=，，为平面BEC 的一个法向量cos 3m n m n m nλ⋅∴==，二面角Q BE C --的大小为60︒12= 解得12λ=． 12CQ CP ∴=． 20．（本题12分）2023年秋末冬初 呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒 人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动 现从中抽取200名学生 记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图 根据图形 请回答下列问题：(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩 求5人中成绩低于50分的人数 (2)以样本估计总体 利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数(3)首轮竞赛成绩位列前10%的学生入围第二轮的复赛 请根据图中信息 估计入围复赛的成绩（记为K ）. 【答案】(1)2人 (2)71 (3)88K ≥【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可 （2）利用平均数公式求解即可（3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈，则()900.0250.050.1K -⨯+= 求出K 的值即可. 【详解】（1）成绩在[)40,50的人数为0.011020020⨯⨯=（人） 成绩在[)50,60的人数为0.0151020030⨯⨯=（人） 则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人成绩低于50分的人数为20522030⨯=+（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人（2）由()0.010.0150.0150.0250.005101a +++++⨯= 得0.030a = 则平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为71分（3）根据频率分布直方图可知：[]90,100的频率为0.005100.05⨯= [)80,90的频率为0.025100.25⨯=所以入围复赛的成绩一定在[)80,90可知入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈则()900.0250.050.1K -⨯+= 解得88K =故估计入围复赛的成绩为88K ≥分.21．（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 斜率为2的直线l 与x 轴交于点M l 与C 交于A B 两点 D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时 ABD △面积为169． (1)求C 的方程(2)当M 异于O 点时 记直线BD 与y 轴交于点N 求OMN 周长的最小值．【答案】(1)22142x y += (2)2【分析】（1）设出各点坐标 表示出面积后 结合面积与离心率计算即可得（2）要求OMN 的周长，则需把各边长一一算出 即需把M x N y 算出 设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理 借助韦达定理表示出M x N y 可得OMN 各边边长 结合基本不等式即可求得最值.【详解】（1）当M 与原点O 重合时 可设()00,A x y ，则有()00,B x y -- ()00,D x y -且002y x = 即有AD BD ⊥, 则()()00001116229ABD S AD BD x x y y =⋅=++=即201649x = 又00x > 故023x =，则043y = 即有22416199a b +=即c a =则22222a c b c ==+ 故222a b = 即有224161189b b += 解得22b = 故24a = 即C 的方程为22142x y +=（2）设直线l 方程为2y x t =+ 令0y = 有2t x =- 即2M t x =- 设点()11,A x y ()22,B x y ，则()11,D x y - 联立直线与椭圆方程：222142y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 有2298240x tx t ++-= ()222Δ64362414480t t t =--=->即t -<有1289t x x -+= 212249t x x -= BD l 为()122212y y y x x y x x -=-+-- 令0x = 故21222122122221122121212N x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x x x x -+-+++=+==--++ 由2y x t =+ 故()()2112211212121212224x x t x x t x y x y x x t x x x x x x ++++==++++ 其中2121224198429t x x t t x x t -==-+-+ 即12442N t y t t t ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则22OMN N M t C y x t =+=+2≥=当且仅当2t =±时等号成立故OMN周长的最小值为2+【点睛】本题考查了椭圆的方程 在求解直线与椭圆的位置关系问题时 常用方法是设而不求 借助韦达定理等手段 将多变量问题转变为单变量问题 再用基本不等式或函数方式求取范围或最值.22．（本题12分）已知函数21()ln 2f x x x ax =+-． (1)当12a =时 求在曲线()y f x =上的点(1,(1))f 处的切线方程 (2)讨论函数()f x 的单调性(3)若()f x 有两个极值点1x 2x 证明：()()121222f x f x a x x -<--． 【答案】(1)3230x y --=(2)详见解析(3)详见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出（2）求出导函数()1(0)f x x a x x '=+-> 在定义域()0,∞+内分类讨论解含参不等式即可求出 （3）由题意得2a > 12x x a += 121=x x 而()()1212f x f x x x --1212ln ln 12x x a x x -=-- 只需证明1212ln ln 2x x x x -<- 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭ 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立即可． 【详解】（1）由题可知 当12a =时 211()ln 22f x x x x =+- ()112f x x x ∴=+-' ∴(1)0f = 3(1)2f '= ∴切点为(1,0) 切线的斜率为32 ∴切线方程为：30(1)2y x -=- 即3230x y --=（2）对函数()f x 求导可得 ()1(0)f x x a x x '=+->． 当2a ≤时 ()120f x x a a x=+-≥-≥'．则()f x 在(0,)+∞上单调递增． 当2a >时 ()2110x ax f x x a x x -+=+-=='．则1x =2x = 令()0f x '>，则10x x << 或2x x >．()0f x '<，则12x x x <<综上：当2a ≤时 ()f x 在(0,)+∞上单调递增当2a >时 ()f x在⎛ ⎝⎭和∞⎫+⎪⎪⎝⎭上单调递增 ()f x在⎝⎭上单调递减． （3）()f x 有两个极值1x 2x1x ∴ 2x 是方程210x ax -+=的两个不等实根则2a > 12x x a += 121=x x()()2211122212121211ln ln 22x x ax x x ax f x f x x x x x ⎛⎫+--+- ⎪-⎝⎭=-- ()()()121212*********ln ln ln ln 122x x x x x x a x x x x a a x x x x -+-+---==+--- 1212ln ln 12x x a x x -=--． 要证：()()121222f x f x a x x -<--．即证：1212ln ln 2x x x x -<-． 不妨设1210x x >>> 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭． 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立． 令1()ln f x x x x =-+ (1)x >．则()22211110x x f x x x x -+=--=-<'． 从而()f x 在(1,)+∞上单调递减 故()(1)0f x f <=．所以()()121222f x f x a x x -<--．【点睛】本题考查了切线方程问题考查函数的单调性问题考查导数的应用以及分类讨论思想训练了构造函数法证明不等式的成立属难题.。

北京市2023-2024学年高二下学期期中测试数学试卷含答案

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北京市2023～2024学年第二学期高二数学期中测试（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第2页至第6页，答题纸第1页至第3页．共150分，考试时间120分钟．请在答题纸上侧密封线内书写班级、姓名、准考证号．考试结束后，将本试卷的答题纸交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）1.函数1()f x x =在3x =处的瞬时变化率为（）A.3- B.9- C.13-D.19-【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 在3x =处的导数值即得.【详解】由1()f x x =，求导得21()f x x'=-，所以1(3)9f '=-.故选：D2.设函数()y f x =的导函数图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A.()exf x = B.()ln f x x=C.()e xf x x =⋅ D.()ln f x x x=⋅【答案】D 【解析】【分析】由图象可得导函数的定义域及单调性，再逐项求导并判断得解.【详解】观察图象知，函数()y f x =的导函数定义域为(0,)+∞，且在(0,)+∞上单调递增，有一个正零点，对于A ，()e x f x '=，其定义域为R ，无零点，不符合题意，A 不是；对于B ，()ln f x x =定义域为(0,)+∞，求导得1()f x x'=，函数()f x '在(0,)+∞上单调递减，不符合题意，B 不是；对于C ，()(1)e x f x x '=+定义域为R ，而零点为1-，不符合题意，C 不是；对于D ，函数()ln f x x x =⋅定义域为(0,)+∞，()1ln f x x '=+在(0,)+∞上单调递增，有唯一零点1ex =，符合题意，D 是.故选：D3.设ξ的分布列如表所示，又设25ηξ=+，则()E η等于（）ξ1234P16161313A.76B.176C.173D.323【答案】D 【解析】【分析】根据分布列求出()E ξ，再根据期望的性质计算可得.【详解】解：依题意可得111117()123466336E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，所以1732()(25)2()52563E E E ηξξ=+=+=⨯+=．故选：D ．4.已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则（）A.()()2sin f x f x x '+=B.()()2cos f x f x x '+=C.()()2sin f x f x x -'-=D.()()2cos f x f x x-'-=【答案】B 【解析】【分析】根据基本初等函数的求导公式结合导数的加法运算法则即可得出答案.【详解】解：因为()sin cos f x x x =+，所以()cos sin f x x x '=-，所以()()2cos f x f x x '+=，()()2sin f x f x x '-=.故选：B.5.从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是()A.25B.12C.35D.34【答案】D 【解析】【分析】设事件i A 为“第i 次抽到偶数”，i ＝1，2，则所求概率为()()()12211n A A P A A n A =∣【详解】设事件i A 为“第i 次抽到偶数”，i ＝1，2，则事件“在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数”的概率为：()()()1122321124111C C 3C C 4n A A P A A n A ===∣.故选：D.6.某校高二年级计划举办篮球比赛，采用抽签的方式把全年级10个班分为甲、乙两组，每组5个班，则高二（1）班、高二（2）班恰好都在甲组的概率是（）A.14B.29C.49D.12【答案】B 【解析】【分析】利用概率的古典概型计算公式结合组合的应用即可求得结果.【详解】易知将10个班分为甲、乙两组共有510C 种分组方式，其中高二（1）班、高二（2）班恰好都在甲组的情况共有38C 种，所以高二（1）班、高二（2）班恰好都在甲组的概率是38510C 2C 9P ==.故选：B7.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【解析】【详解】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A ．考点：次独立重复试验．8.设函数()324f xax bx x =++的极小值为－8，其导函数()y f x ='的图象过点（－2，0），如图所示，则()f x ＝（）A.32243x x x --+ B.3224x x x --+C.34x x -+ D.3224x x x-++【答案】B 【解析】【分析】由题设2()324f x ax bx '=++，根据所过的点可得31b a =+，结合图象求出极小值点并代入()f x 求参数，即可得解析式，注意验证所得参数是否符合题设.【详解】由题设，2()324f x ax bx '=++，则(2)12440f a b '-=-+=，故31b a =+，所以2()32(31)4(32)(2)f x ax a x ax x '=+++=++，令()0f x '=，可得2x =-或23x a=-，由图知：a<0且2x =-处有极小值，所以8488a b -+-=-，即1a =-，2b =-，经验证满足题设，故32()24f x x x x =--+.故选：B9.一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为13，而乱猜时，4个答案都有机会被他选择，则他答对正确答案的概率是（）A.13B.512C.12D.712【答案】C【分析】依题意分两种情况对答对正确答案进行讨论，再利用全概率公式计算可得结论.【详解】根据题意可设“知道正确答案”为事件A ，“他答对正确答案”为事件B ；易知()()13P AB P A ==；而()()()()6141123P AB P A P B =-=⨯=；因此他答对正确答案的概率是()()()216131P B P AB P AB =+=+=.故选：C10.设P 为曲线e x y =上一点，Q 为曲线ln y x =上一点，则|PQ |的最小值为（）A.2B.1C.D.2【答案】C 【解析】【分析】由导数求出两曲线的切线【详解】e x y =，e x y '=，0x =时，1y '=，1y =，所以1y x =+是e x y =图象的一条切线，切点为(0,1)，ln y x =，1y x'=，1x =时，1y '=，0y =，所以1y x =-是ln y x =的图象的一条切线，切点为(1,0)，10101k -==--，这两条切线平行，两切点连线恰好与切线垂直，|PQ |的最小值即为两切点间的距离．所以min PQ =，故选：C ．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11.设函数()ln xf x x=，则(1)f '=___．【答案】1【解析】【分析】求出函数的导函数，代入计算可得；【详解】解：因为()ln x f x x =，所以()21ln x f x x -'=，所以()21ln1111f -'==；故答案为：112.某不透明纸箱中共有8个小球，其中2个白球，6个红球，它们除颜色外均相同．一次性从纸箱中摸出4个小球，摸出红球个数为X ，则()E X =______．【答案】3【解析】【分析】根据给定条件，可得X 服从超几何分布，再利用超几何分布的期望公式计算即得.【详解】依题意，摸出红球个数X 服从超几何分布，63,484p n ===，所以()3==E X np .故答案为：313.已知随机变量X 的分布列如下：X012Pp0.6若() 1.2E X =，则p =______；当p =______时，()D X 最大．【答案】①.0.1##110②.0.2##15【解析】【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，期望公式计算得p 值；利用方差与期望的关系建立关于p 的函数，探讨函数的最大值即可.【详解】由() 1.2E X =，得010.62(0.4) 1.2p p ⨯+⨯+⨯-=，因此0.1p =；依题意，() 1.42E X p =-，2222()010.62(0.4) 2.24E X p p p =⨯+⨯+⨯-=-，因此()()()()()()2222 2.24 1.4240.20.4D X E X E Xp p p =-=---=--+，则当0.2p =时，()D X 取得最大值.故答案为：0.1；0.214.李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A 商品获利8元．现计划在“五一”期间对A 商品进行广告促销，假设售出A 商品的件数m （单位：万件）与广告费用x （单位：万元）符合函数模型231m x =-+．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x 应投入_______万元．【答案】3【解析】【分析】设李明获得的利润为()f x 万元，求出()f x 关于x 的表达式，利用基本不等式可求得()f x 的最小值及其对应的x 的值.【详解】设李明获得的利润为()f x 万元，则0x ≥，则()()2161688324251252111f x m x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=--=--=-+≤- ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦25817=-=，当且仅当1611x x +=+，因为0x ≥，即当3x =时，等号成立.故答案为：3.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15.函数()e ln kxf x x =⋅（k 为常数）的图象可能为______．（选出所有可能的选项）①②③④【答案】①②③【解析】【分析】求导可得()1e ln kxf x k x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭'，并构造函数()1ln g x k x x=+，对参数k 的取值进行分类讨论并得出函数()g x 的最值，进而求得函数()f x 的单调性，即可求得结论.【详解】易知函数()e ln kxf x x =⋅的定义域为()0,∞+，则()1e ln kxf x k x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭'，令()1ln g x k x x =+，可得()2211k kx g x x x x='-=-；显然当0k =时，()ln f x x =，没有对应函数图象；因此0k ≠，当0k <时，易知()210kx g x x -'=<在()0,∞+恒成立，可知()1ln g x k x x=+在()0,∞+上单调递减，易知()110g =>，即()10f '>；当x 趋近于+∞时，()1ln g x k x x=+趋近于-∞；即存在()01,x ∞∈+，使得()00g x =，也即()00f x '=;所以当()00,x x ∈时，()00f x '>，此时()f x 单调递增，当()0,x x ∞∈+时，()00f x '<，此时()f x 单调递减，又易知()10f =，且1x >时()0f x >，1x <时()0f x <，此时图象可能为③；当0k >时，令()210kx g x x -'==，解得1x k=；当10,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，此时()g x 在10,k ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1,x k ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()0g x '>，此时()g x 在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增；即()()min 11ln 1ln g x g k k k k k k ⎛⎫==+=-⎪⎝⎭，若0e k <≤时，()()min 1ln 0g x k k =-≥，即()1e ln 0kxf x k x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭'恒成立，此时函数()f x 单调递增，且()10f =，此时图象可能为①；若e k >时，()()min 1ln 0g x k k =-<，即存在两个实数根12,x x ，且()12,0,1x x ∈满足()1ln 0g x k x x=+=，不妨取()120,1x x <∈，因此可得当()10,x x ∈时，()0g x '>，此时()g x 在()10,x 上单调递增；当()12,x x x ∈时，()0g x '<，此时()g x 在()12,x x 上单调递减；当()2,x x ∞∈+时，()0g x '>，此时()g x 在()2,x ∞+上单调递增；且()10f =，因此图象可能为②.由于()0f x =时，1x =，函数不可能有2个零点，故④不可能，故答案为：①②③【点睛】关键点点睛：本题关键在于对函数()f x 求导，构造函数并对参数k 的取值进行分类讨论，进而得出函数单调性即可得出结论.三、解答题：（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16.已知函数32()324f x x x x=+-（1）求()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）1550x y ++=；（2）单调递增区间是(,4),(2,)-∞-+∞，单调递减区间是(4,2)-.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即得.（2）由（1）的导函数，解导函数大于0，小于0的不等式即可.【小问1详解】函数32()324f x x x x =+-，求导得2()3624f x x x '=+-，则(1)15f '=-，而(1)20f =-，所以()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为2015(1)y x +=--，即1550x y ++=.【小问2详解】函数32()324f x x x x =+-的定义域为R ，由（1）得)()34((2)f x x x +'=-，由()0f x '>，得<4x -或2x >，由()0f x '<，得42x -<<，所以函数()f x 的单调递增区间是(,4),(2,)-∞-+∞，单调递减区间是(4,2)-.17.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．（1）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；（2）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X 表示这2名学生中获奖的人数，求X 的分布列和数学期望EX ；（3）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为0p ；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为1p ；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为2p ，试比较0p 与122p p +的大小．（结论不要求证明）【答案】（1）1240（2）分布列见解析，期望12EX =（3）1202p p p +>【解析】【分析】（1）直接计算概率11102511200300C C ()C C P A =；（2）X 的所有可能取值为0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；（3）计算出01350p =，12124p p +=，比较大小即可.【小问1详解】设事件A 为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,抽到的2名学生都获一等奖”，则11102511200300C C 1()C C 240P A ==，【小问2详解】随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.记事件B 为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,事件C 为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件B ,C 相互独立,且()P B 估计为1015151,()2005P C ++=估计为252540330010++=.所以1328(0)()()()1151050P X P BC P B P C ⎛⎫⎛⎫====-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,131319(1)()()()()()1151051050P X P BC BC P B P C P B P C ⎛⎫⎛⎫==⋃=+=⨯-+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,133(2)()()()51050P X P BC P B P C ====⨯=.所以X 的分布列为X012P28501950350故X 的数学期望()2819310125050502E X =⨯+⨯+⨯=【小问3详解】1202p p p +>，理由：根据频率估计概率得04090135250050200p +===，由（2）知115p =，2310p =，故1213150510224200p p ++===，则1202p p p +>.18.为了解甲、乙两厂的产品质量，从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取了几件测量产品中的微量元素x 的含量（单位：毫克）．规定微量元素x 的含量满足：160170x ≤<（单位：毫克）为优质品．甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表如下：含量频数[)150,1551[)155,1602[)160,1654[)165,1702[]170,1751（1）从乙厂抽取的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中优质品数ξ的分布列及其数学期望；（2）从甲乙两厂的产品中各随机抽取2件，求其中优质品数之和为2的概率；（3）在（2）的条件下，写出甲乙两厂的优质品数之和η的数学期望．（结论不要求证明）【答案】（1）分布列见解析，65（2）37100；（3）115.【解析】【分析】（1）求出ξ的可能值及对应的概率，列出分布列并求出数学期望.（2）利用频率估计概率，求出甲乙厂产品中优质品率，再分别求出抽出的2件产品中优质品数的概率，进而求出优质品数和为2的概率.（3）由（2）的信息求出η的分布列及数学期望.【小问1详解】乙厂抽取的10件产品中优质品数有6件，ξ的可能取值为0,1,2，11224664222101010C C C C 281(0),(1),(0)C 15C 15C 3P P P ξξξ=========，所以ξ的分布列为：ξ012P21581513数学期望为2816()012151535E ξ=⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】记甲乙两厂的优质品数分别为,X Y ，由样本频率估计：甲厂产品中优质品率为12，乙厂产品中优质品率为35，21221111111(0)(1),(1)C (1),(2)()2422224P X P X P X ==-===⋅⋅-====，()212234331239(0)(1),(1)C (1,2(5255525525P Y P Y P Y ==-===⋅⋅-====，(2)(0,2)(1,1)(2,0)P X Y P X Y P X Y P X Y +====+==+==191121437425225425100=⨯+⨯+⨯=，所以优质品数之和为2的概率为37100.【小问3详解】由（2）知，η的可能值为0,1,2,3,4，14111214137(0),(1),(2)425254252255100P P P ηηη==⨯===⨯+⨯===，191123199(3),(4)22542510425100P P ηη==⨯+⨯===⨯=，所以η的数学期望11373911()01234255100101005E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19.已知函数()1e xaxf x +=（1）当13a =-时，求()f x 的极值；判断此时()f x 是否有最值，如果有请写出最值（结论不要求证明）（2）若()f x 是单调函数，求a 的取值范围．【答案】（1）()f x 的极小值为413e -，无极大值；最小值为413e-，无最大值；（2）{}0【解析】【分析】（1）求函数()f x 求导，代入13a =-得出函数()f x 在定义域内的单调性可得()f x 在4x =处取得极小值()4143e f =-，也是最小值；（2）对参数a 的取值范围进行分类讨论，得出不同情况下的单调性，满足()f x 是单调函数即可得出结论.【小问1详解】易知()f x 的定义域为R ，由()1exaxf x +=可得()()()2e 1e 1e e x xxxa ax a axf x -+--=='，当13a =-时，()111433e 3ex xxx f x --+-=='，令()0f x '=可得4x =；因此当(),4x ∞∈-时，()0f x '<，此时()f x 在(),4∞-上单调递减，当()4,x ∞∈+时，()0f x '>，此时()f x 在()4,∞+上单调递增，因此可得()f x 在4x =处取得极小值()4143ef =-；所以()f x 的极小值为413e -，无极大值；根据极值与最值得关系可得，此时()f x 在4x =处也取得最小值413e -，无最大值；【小问2详解】由（1）可知，()1e xa axf x '--=，显然当0a =时，()10ex f x '-=<恒成立，此时()f x 为R 上单调递减函数，满足题意；当0a ≠时，令()10e x a axf x --'==，解得1a x a-=；由一次函数1ax y a -=+-的性质可知，当0a >时，1ax y a -=+-为单调递减，若1,a x a ∞-⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '>，此时()f x 为1,a a ∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增函数；若1,a x a ∞-⎛⎫∈+⎪⎝⎭，()0f x '<，此时()f x 为1,a a ∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减函数；显然此时()f x 不是单调函数，不满足题意；当a<0时，1ax y a -=+-为单调递增，若1,a x a ∞-⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '<，此时()f x 为1,a a ∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减函数；若1,a x a ∞-⎛⎫∈+⎪⎝⎭，()0f x '>，此时()f x 为1,a a ∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增函数；显然此时()f x 不是单调函数，不满足题意；综上可知，0a =;即a 的取值范围为{}0.20.已知函数()(m )e ,x f x x m R =-∈，.（1）若2m =，求()f x 在区间[1,2]-上的最大值和最小值；（2）设()()=g x x f x ，求证：()g x 恰有2个极值点；（3）若[2,1]x ∀∈-，不等式e 2x k x ≥+恒成立，求k 的最小值.【答案】（1）()()max min e,0f x f x ==.（2）证明见解析（3）min ek =【解析】【分析】（1）求得()(1)e x f x x '=-，令()0f x '=，可得1x =，求得函数的单调区间，结合极值的概念与计算，即可求解；（2）求得2()[(2)]e x g x x m x m '=----，结合0∆>，得到方程2(2)0x m x m ---=有两个不同的根，结合极值点的定义，即可求解；（3）根据题意转化为[2,1]x ∀∈-，不等式2e x x k +≥恒成立，设2()xx h x +=e，利用导数求得函数()h x 的单调性与最大值，即可求解.【小问1详解】解：由函数()(2)e x f x x =-，可得()(1)e x f x x '=-，令()0f x '=，可得1x =，则()(),,x f x f x '的关系，如图下表：x1-(1,1)-1(1,2)2()f x '+0-()f x 3(1)ef -=极大值(1)ef =(2)0f =综上可得，函数max min ()(1),()(2)0f x f e f x f ====.【小问2详解】解：由函数2()()()x g x xf x mx x e ==-，可得22()(2)e [(2)]e x x g x mx x m x x m x m '=-+-=----，因为22(2)440m m m ∆=-+=+>，所以方程2(2)0x m x m ---=有两个不同的根，设为12,x x 且12x x <，则有x1()x -∞，1x 12()x x ，2x 2(,)x ∞+()g x '-0+0-()g x极小值极大值综上可得，函数()g x 恰有2个极值点.【小问3详解】解：因为e 0x >，所以[2,1]x ∀∈-，不等式2e xx k +≥恒成立，设2()xx h x +=e，可得2(2)(1)()x x x x e x e x h x e e -+--'==，所以()(),,x h x h x '的关系，如图下表：x 2-(2,1)--1-(1,1)-1()h x '+0-()h x (2)0h -= 极大值(1)eh -=3(1)eh =所以max ()(1)e k h x h ≥=-=，所以实数k 的最小值为e .【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．21.对任意正整数n ，记集合(){}121212,,,,,,,n nnn A a a a a a aa a a n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈++⋅⋅⋅+=N ，(){}121212,,,,,,,2n n n n B b b b b b b b b b n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈++⋅⋅⋅+=N ．()12,,,n n a a a A α=⋅⋅⋅∈，()12,,,n n b b b B β=⋅⋅⋅∈，若对任意{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅都有i i a b ≤，则记αβ<．（1）写出集合2A 和2B ；（2）证明：对任意n A α∈，存在n B β∈，使得αβ<；（3）设集合(){},,,n nnS A B αβαβαβ=∈∈<．求证：nS中的元素个数是完全平方数．【答案】（1）()()(){}22,0,0,2,1,1A =，()()()()(){}24,0,3,1,2,2,1,3,0,4B =（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合n A 与n B 的定义，写出集合2A 和2B 即可；（2）任取()12,,,n n a a a A α=⋅⋅⋅∈，令()121,1,,1n a a a β=++⋅⋅⋅+，只需证明n B β∈，即可证明结论成立；（3）通过集合n A 、n B 、n S 的定义，说明满足条件的解对()()()1212,,,,,,,nna a ab b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与方程12n x x x n ++⋅⋅⋅+=的两解组成对()()()1212,,,,,,,n n a a a z z z ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是一一对应的关系.进而证明n S 中的元素个数是完全平方数.【小问1详解】()()(){}22,0,0,2,1,1A =，()()()()(){}24,0,3,1,2,2,1,3,0,4B =【小问2详解】任取()12,,,n n a a a A α=⋅⋅⋅∈，令()121,1,,1n a a a β=++⋅⋅⋅+，则αβ<，同时1i a +∈N ，{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅且()1112n niii i a n an ==+=+=∑∑，则n B β∈，所以对任意n A α∈，存在n B β∈，使得αβ<；【小问3详解】设方程：12n x x x n ++⋅⋅⋅+=①，122n y y y n ++⋅⋅⋅+=②()12,,,n a a a ⋅⋅⋅是方程①的解，()12,,,n b b b ⋅⋅⋅是方程②的解；若()12,,,n a a a α=⋅⋅⋅，()12,,,n b b b β=⋅⋅⋅，αβ<，即()()()1212,,,,,,,nna a ab b b ⋅⋅⋅ 是一个满足条件的解对，令i i i z b a =-（1i =，2，…，n ），则122n z z z n n n ++⋅⋅⋅+=-=，则（1z ，2z ，…，n z ）是方程①的解，即当()()()1212,,,,,,,nna a ab b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是满足条件的解对时，()()()1212,,,,,,,nna a a z z z ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是方程①的一对解对；反之()()()1212,,,,,,,nna a a z z z ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是方程①的解时，令i i i b a z =+，则()()()1212,,,,,,,nna a ab b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是满足条件的解对．即满足条件的解对()()()1212,,,,,,,nna a ab b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与方程①的两解组成对()()()1212,,,,,,,nna a a z z z ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是一一对应的关系．所以满足条件解对个数2m m m ⨯=，即n S 中的元素个数是完全平方数．。

高二数学下期中试题及答案

高二数学下期中试题及答案

高二数学下期中试题及答案（考试时间：120分钟）一、选择题：（本大题共10小题；每小题5分，共50分。

）1.若a 、b 是异面直线，直线c ∥a ，那么b c 与 （ ） (A)一定是异面直线 (B)一定是相交直线 (C) 不可能是相交直线 (D)不可能是平行直线2. 右图用符号语言可表述为 （ ） (A) m =βα ，α⊂n ，m A ⊂，n A ⊂ (B) m =βα ，α∈n ，A n m = (C) m =βα ，α⊂n ，A n m = (D) m =βα ，α∈n ，m A ∈，n A ∈3、将四名教师分配到三个班级去参加活动，要求每班至少一名的分配方法有 （ ） A 、72种 B 、48种 C 、36种 D 、24种4. n∈N *，则（20-n ）(21-n)……(100-n)等于（ ）A ．80100n A - B ．nn A --20100C ．81100n A -D ．8120n A -5. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R ）（ ） A.R π42 B. R 3π C. R 2π D. 3R6．（1-x ）2n-1展开式中，二项式系数最大的项是 （ ）A ．第n -1项B ．第n 项C ．第n -1项与第n +1项D ．第n 项与第n +1项7．在直二面角A —CD —B 中，∠ACD=30°,∠ACB=60°， 则sin∠BCD 等于 ( )A.332 B.36 C.22 D.33F E DCBA8. 两个球的体积之比是27:8，那么这两个球的表面积之比为 （ ） (A)2∶3 (B) 2∶3 (C) 4∶9 (D)8∶279. 已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V 与面数F 满足的关系是（ ） (A)42=+V F (B)42=-V F (C)22=+V F (D) 22=-V F10．二面角βα--l 为60°，直线α⊂m ，且直线m 与l 成60角，那么直线m 与平面β所成角的正弦值为 （ ） A ．43 B ．23 C ．43 D ．21二、填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分。

2023-2024学年山东省聊城高二下学期期中数学质量检测试题(含解析)

2023-2024学年山东省聊城高二下学期期中数学质量检测试题(含解析)

2023-2024学年山东省聊城高二下册期中考试数学质量检测试题第Ⅰ卷（60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．已知函数()y f x =在0x x =处的导数()01f x '=-，则()()0002lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）．A ．1-B ．1C ．12D ．2-2．学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，假设每种菜足量，则不同的选法共有（）．A ．53种B ．35种C ．35A 种D ．35C 种3．设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm 规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为120，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为（）．A ．15B ．110C ．115D ．1204．若22nx ⎫⎪⎭的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（）．A ．90B ．90-C ．180D ．180-5．函数()2x xe ef x x --=的图像大致为（）A ．B ．C．D ．6．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（）．A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种7．在()()()()2391111x x x x ++++++++L 的展开式中，3x 的系数为（）．A ．120B ．84C ．210D ．1268．已知()f x 的定义域为()0,x ∈+∞，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x x f +>--的解集是（）．A ．()0,1B ．()2,+∞C ．()1,2D ．()1,+∞二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()35,02ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若函数()()2g x f x x a =+-有3个零点，则实数a 可能的取值有（）．A ．3B ．2C ．1D ．010．现有来自两个社区的核酸检验报告表，分装2袋，第一袋有5名男士和5名女士的报告表，第二袋有6名男士和4名女士的报告表．随机选一袋，然后从中随机抽取2份，则（）．A ．在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为13B ．两份报告表都是男士的概率为518C ．在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为815D ．两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为81511．设()72670126721x a a x a x a x a x -=+++++L ，则下列结论正确的是（）．A ．25588a a +=B ．1271a a a +++=L C ．71357132a a a a ++++=D ．712731a a a +++=-L 12．已知函数()y f x =是奇函数，对于任意的π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦满足()()sin cos 0f x x f x x '->（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（）．A ππ63f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ36f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．ππ46f ⎛⎫⎛⎫>-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ππ42f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第Ⅱ卷（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（15题第一个空3分，第二个空2分）13．若函数()f x 满足()()4ln 2x f f x x '=-，则()2f '=__________．14．党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作、若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为__________．15．已知()()()20121111nn n bx a a x a x a x +=+-+-++-L 对任意x ∈R 恒成立，且19a =，236a =，则b =__________；122n a a na +++=L __________．16．下列说法不正确的有__________．（1）曲线ln xy x x=+在点()1,1处的切线方程为21y x =-．（2）函数()219ln 2f x x x =-在[]1,1a a -+上存在极值点，则a 的取值范围是()2,4．（3）已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则15a b -=或6-．（4）已知函数()()()221,184,1x a x x f x a x x ⎧-+-≤⎪=⎨-+>⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是()2,5．四、解答题：本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项．问题：已知二项式1nx ⎫-⎪⎭，若__________，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中所有的有理项．18．（8分）一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．（1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．19．（8分）某学习小组有3个男生和4个女生共7人：（1）将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？（2）将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？（3）现有7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？20．（10分）已知函数()2ln x x f xx -=-．（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 在区间[]1,e 上的最值．21．（12分）某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．（1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．22．（12分）已知函数()ln af x x x=+，a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，证明：()21f x a a-≥．23．（12分）已知函数()()2xf x e x =-．（1）求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程；（2）设()()ln 2g x f x x x =+-+，记函数()y g x =在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值为()g a ，证明：()1g a <-．试题答案一、单选题：1．D 2．B 3．B 4．C 5．B 6．A 7．C 8．B二、多选题：9．CD 10．BC 11．ACD12．BC三、填空题：13．114．15015．①1②．（3）（4）四、解答题17．解：选①，由01222n n n C C C ++=，得6n =（负值舍去）．（3分）选②，令1x =，可得展开式中所有项的系数之和为0．由010264nnn n n C C C +++-==L ，得6n =．（3分）选③，设第1r +项为常数项，()3211n rrrr n T C x-+=-，由2302r n r =⎧⎪⎨-=⎪⎩，得6n =．（3分）由6n =得展开式的二项式系数最大为36C ，则展开式中二项式系数最大的项为()33223346120T C xx --=-=-．（4分）（2）解：设第1r +项为有理项，()632161rr rr T C x-+=-，（5分）因为06r ≤≤，r ∈N ，632r-∈Z ，所以0r =，2，4，6，则有理项为03316T C x x ==，23615T C x ==，4335615T C x x --==，66676T C x x --==．（8分）（错1个减1分，最多减3分）18．解：（1）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则()210210719xC P A C -=-=，得到5x =．故白球有5个．（4分）（2）()355310k kC C P X k C -==，0k =，1，2，3．于是可得其分布列为X 0123P112512512112（8分）（对1个给1分）19．解：（1）根据题意，分2步进行分析：①将3个男生全排列，有33A 种排法，排好后有4个空位，②将4名女生全排列，安排到4个空位中，有44A 种排法，则一共有3434144A A =种排法．（2分）（2）根据题意，分2种情况讨论：①男生甲在最右边，有66720A =，②男生甲不站最左边也不在最右边，有1155553000A A A =，则有72030003720+=种排法．（5分）（3）根据题意，7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，还有3个空座位，分2步进行分析：①将4名女生全排列，有44A 种情况，排好后有5个空位，②将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，有25A 种情况，则有4245480A A =种排法．（8分）20．解：（1）由题意知：()()220x f x x x-'=>．令()0f x '=，解得2x =．（2分）2x =把()f x 定义域划分成两个区间，()f x '在各区间上的正负，以及()f x 的单调性如下表所示．x()0,22()2,+∞()f x '－0＋()f x 单调递减单调递增（4分）所以()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞．（5分）（2）结合（1）的结论，列表如下：x1()0,22()2,+∞e()f x '－0＋()f x 1单调递减ln 2单调递增2e所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值是ln 2，最大值是1．（10分）21．解：（1）从7名成员中挑选2名成员，共有2721C =种情况，记“男生甲被选中”为事件A ，事件A 所包含的基本事件数为16C 种，故()62217P A ==．（4分）（2）记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，由（1），则()121P AB =，且由（1）知()27P A =，故()()()1121267P AB P B P A A ===．（8分）（3）记“挑选的2人一男一女”为事件C ，事件C 所包含的基本事件数为114312C C ⨯=种，由（1），则()124217P C ==，“女生乙被选中”为事件B ，则()1442121C P BC ==，故()()()4121437P BC P B C P C ===．（12分）22．（1）解：函数()ln af x x x=+的定义域为()0,+∞，（1分）()221a x af x x x x-'=-=．（2分）①当0a ≤时，对任意的0x >，()0f x '>，此时，函数()y f x =在()0,+∞上单调递增；（4分）②当0a >时，令()0f x '<，可得0x a <<；令()0f x '>，可得x a >．此时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞．（6分）综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间；当0a >时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞．（6分）（2）证明：由（1）可知，当0a >时，()()min ln 1f x f a a ==+，要证()21a f x a -≥，只需证21ln 1a a a -+≥，即证1ln 10a a+-≥．（8分）构造函数()1ln 1g a a a=+-，其中0a >，则()22111a g a a a a-'=-=．（10分）当01a <<时，()0g a '<，此时函数()y g a =单调递减；当1a >时，()0g a '>，此时函数()y g a =单调递增，所以，()()min 10g a g ==，所以1ln 10a a+-≥恒成立，因此，()21f x a a-≥．（12分）23．（1）解：由题意可得()()1xf x x e '=-，所以()()22221f e e '=-=，（1分）又知()20f =，（2分）所以曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为()202y e x -=-，即2220e x y e --=．（4分）（2）证明：由题意()()()2ln 22ln 2f x f x x x x e x x =+-+=--++，则()()()()11121111x x x x f x e x e x e x e x x x ⎛⎫'=+--+=--+=-- ⎪⎝⎭，当112x <<时，10x -<，令()1x h x e x =-，则()210x h x e x '=+>，所以()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，（6分）因为121202h e ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()110h e =->，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即001x e x =，即00ln x x =-，（8分）故当01,2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x <，又10x -<，故此时()0g x '>；当()0,1x x ∈时，()0h x >，又10x -<，故此时()0g x '<，即()g x 在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在()0,1x 上单调递减，则()()()()00000max 2ln 2xg x g a g x x e x x ===--++()000000122232x x x x x x =-⋅--+=--，（10分）令()232G x x x =--，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()22221220x G x x x -'=-=>，所以()G x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()11G x G <=-，所以()1g a <-．（12分）。

2023-2024学年天津市高二数学下学期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年天津市高二数学下学期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年天津市高二数学下学期期中考试卷试卷共120分，考试用时100分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．曲线1y x x=-在2x =处的切线斜率为（）A ．－3B ．34C ．54D ．52．用0~6这7个自然数，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（）A ．60B ．90C ．180D ．2103．函数ln xy x=的单调递增区间为（）A ．(),e -∞B ．()0,e C ．()1,+∞D ．()e,+∞4．()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．30B ．10C ．30-D ．10-5．已知函数()y f x =，其导函数()y f x ='的图象如图所示，则对于()y f x =的描述正确的是（）A ．在区间(),0∞-上单调递减B ．当0x =时取得最大值C ．在区间()3,∞+上单调递减D ．当1x =时取得最小值6．甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种7．已知函数()32113f x x x ax =+-+在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞8．函数()()sin 1cos f x x x x =-+在区间[]0,2π上的最大值为（）A ．－1B ．1C ．π1+D ．π2+9．若对任意的()12,,x x m ∈+∞，不等式122112ln ln 2x x x x x x ->-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．31,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()3e ,+∞D ．)3e ,⎡+∞⎣第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．10．设函数()21e xf x -=，()f x '为其导函数，则()1f '=．11．765765A 6A 6A --=．12．在1，2，3，L ，500中，被5除余3的数共有个．13．在6⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数为；14．如图，现要用4种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有种不同的着色方法．（用数字作答）15．已知函数()()()()22f x x a x a =--∈R ，当2x =时，()f x 有极大值，则a 的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知函数3()12f x x x =-．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求函数()f x 的极值．17．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛．(1)每个小组有多少种选法?(2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法?(3)如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法？18．已知函数()()()256ln f x a x x a =-+∈R ，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6．(1)求a 的值；(2)求()f x 在区间[]1,3上的最小值．19．已知函数()ln af x x x=+，a ∈R ．(1)若()f x 在点()()1,1f 处取得极值．①求a 的值；②证明：()1f x ≥；(2)求()f x 的单调区间．20．已知函数()e x f x x x a =--，()22g x x x =-，a ∈R ．(1)求函数()y f x =-的导数；(2)若对任意的[]11,e x ∈，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，求a 的取值范围；(3)设函数()()ln h x f x x =-，若在区间()0,e 上存在零点，求a 的最小值．1．C【分析】先求导数，利用导数的几何意义可得答案.【详解】211'=+y x ，当2x =时，54y '=，所以曲线1y x x =-在2x =处的切线斜率为54.故选：C 2．C【分析】借助分步乘法计数原理计算即可得.【详解】百位上有1~6共6种选择，十位、个位共有6530⨯=种选择，故共有630180⨯=个.故选：C.3．B【分析】先求导数，利用导数大于零可得增区间.【详解】定义域为()0,∞+，21ln xy x-'=，令0'>y 得ln 1x <，即0e x <<，增区间为()0,e .故选：B4．D【解析】利用乘法分配律以及二项式展开式的通项公式，求得展开式中33x y 的系数.【详解】()5x y -的展开式中32x y ，23x y 的系数分别为25C ，35C -所以()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为2355210C C -=-.故选：D ．【点睛】本小题主要考查二项式展开式通项公式的运用，属于基础题.5．C【分析】根据导数图象与函数图象的关系可得答案.【详解】由图可知，0x <时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；01x <<时，()0f x '<，()f x 为减函数；当0x =时，()f x 有极大值，不一定为最大值；13x <<时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；当1x =时，()f x 有极小值，不一定为最小值；3x >时，()0f x '<，()f x 为减函数；综上可得只有C 正确.故选：C 6．B【分析】借助分步乘法计数原理计算即可得.【详解】相同的那一本有5种可能选法，不同的一本有4312⨯=种可能选法，故共有51260⨯=种选法.故选：B.7．A【分析】由题设可得()0f x '≥在R 上恒成立，结合判别式的符号可求实数a 的取值范围.【详解】因为函数()32113f x x x ax =+-+，则()22f x x x a =+-'，因为()f x 在R 上为单调递增函数，故()0f x '≥在R 上恒成立，所以440a ∆=+≤，即1a ≤-，故选：A.8．C【分析】借助导数可求得函数的单调性，即可得其最大值.【详解】()()()cos cos 1sin 1sin f x x x x x x x '=-++=+,则当()0,πx ∈时，()0f x ¢>，当()π,2πx ∈时，()0f x '<，故()f x 在()0,π上单调递增，在()π,2π上单调递减，故()()()πsin ππ1cos ππ1f x f ≤=-+=+.故选：C.9．D【分析】首先不等式通过变形，再构造函数()ln 2x f x x-=，转化为利用导数判断函数的单调区间，即可求参数的取值范围.【详解】设12x x m >>，不等式122112ln ln 2x x x x x x ->-，变形为2121ln 2ln 2x x x x -->，设函数()ln 2x f x x-=，则函数()f x 在区间(),m ∞+单调递减，由()23ln 0xf x x'-==，得3e x =，当()30,e x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()3e ,x ∞∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以3e m ≥.故选：D 10．2e【分析】首先求函数的导数，再求导数值.【详解】由()21e x f x -=可知，()212e x f x -'=，所以()12e f '=.故答案为：2e 11．0【分析】借助排列数的计算公式计算即可得.【详解】765666765666A 6A 6A 7A 6A A 0--=--=.故答案为：0.12．100【分析】构造出等差数列52n a n =-，求项数即可.【详解】被5除余3的数是()51352,n n n *-+=-∈N ，则其是首项为3，公差为5的等差数列通项公式，则52n a n =-，10051002498500a =⨯-=< ，10151012503500a =⨯-=>，且该数列为递增数列，∴在1500-个数字中，有100个数被5除余3，故答案为：100.13．192-【分析】先求出二项展开式的通项公式，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求出展开式中2x 项的系数.【详解】由二项展开式的通项公式得()6116322166C 2C 21rrr r r r r r T x x x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中令32r -=，即1r =，故展开式中2x 的系数为()1156C 21192-=-.故答案为：192-.14．48【分析】按照分步计数原理，即可求解.【详解】按照分步计数原理，第1块有4种方法，第2块有3种方法，第3块有2种，第4块有2种方法，所以共有432248⨯⨯⨯=种涂色方法.故答案为：4815．2a >【分析】先求导数，结合极大值情况可求范围.【详解】()()()()()()22222322f x x x a x x x a '=-+--=---，令()0f x '=，得2x =或223a x +=，且()f x '是开口向上的二次函数，因为当2x =时，()f x 有极大值，所以2223a +>，解得2a >.故答案为：2a >16．(1)单调增区间为(,2)-∞-和(2,)+∞，单调减区间为(2,2)-(2)极大值16，极小值16-【分析】（1）对()f x 求导，利用导数与单调性的关系即可求解；（2）根据函数的单调性，求出函数的极值即可.【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，导函数2()312f x x '=-，令()0f x '=，解得2x =±，则()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(,2)-∞-2-(2,2)-2(2,)+∞()f x '+0-0+()f x取极大值取极小值故函数()f x 的单调增区间为(,2)-∞-和(2,)+∞，单调减区间为(2,2)-;（2）由小问1知，当2x =-时，函数()f x 取得极大值16;当2x =时，函数()f x 取得极小值16-．17．(1)495(2)1980(3)11880【分析】（1）从12名学生中任选4名即可，（2）先从12名学生中选4名，然后再从这4名学生中选1人，再利用分步乘法原理可求得结果，（3）先从12名学生中选4名，然后对这4名学生进行全排列即可【详解】（1）由题意可得每个小组有41212111094954321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种选法，（2）由题意可得先从12名学生中选4名，然后再从这4名学生中选1人，所以由分步乘法原理可得共有4112412111094495419804321C C ⨯⨯⨯=⨯=⨯=⨯⨯⨯种选法，（3）由题意可得先从12名学生中选4名，然后对这4名学生进行全排列，所以由分步乘法原理可得共有4412449543211880C A =⨯⨯⨯=种选法18．(1)12a =(2)8【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）借助导数可得函数的单调性，即可得函数的最值.【详解】（1）因为()()256ln f x a x x =-+，所以()()625f x a x x'=-+，令1x =，则()116f a =，()168f a '=-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为：()()16681y a a x -=--，由点()0,6在切线上，可得61686a a -=-，解得12a =；（2）由（1）得()()()2156ln 02=-+>f x x x x ，所以()()()2365x x f x x x x--'=-+=，令()0f x '=，解得12x =，23x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示：x()1,22()2,3()f x '＋－()f x 单调递增单调递减又由于()18f =，()326ln38f =+>，所以，当1x =时，()f x 取得最小值8.19．(1)①1；②证明见解析；(2)答案见解析.【分析】（1）①先由()f x 在点()()1,1f 处取得极值，求出参数a 的值；②经分析函数()1ln f x x x=+在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增，即1x =时，()f x 取得最小值，即可得证；（2）分0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调区间即可.【详解】（1）①由于函数()ln a f x x x =+，得()221a x af x x x x-'=-+=，因为()f x 在点()()1,1f 处取得极值，所以()11101af a -'==-=,所以1a =，经检验()1ln f x x x =+的导函数()21x f x x-'=在区间(0,1)上小于0，在区间(1,)+∞上大于0，故()f x 在点()()1,1f 处取得极小值．②由①得，()1ln f x x x =+，()21x f x x-'=．令()0f x '=，解得1x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x ()0,11()1,+∞()f x '－＋()f x 单调递减1单调递增所以，当1x =时，()f x 取得最小值．所以()()11f x f ≥=，即()1f x ≥．（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()221a x af x x x x-'=-+=，当0a ≤时，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，令()0f x '=解得x a =，()0f x ¢>的解集为{}x x a >，()0f x '<的解集为{}0x x a <<，所以()f x 的单调递增区间为(),a +∞，单调递减区间为()0,a 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(),a +∞，单调递减区间为()0,a .20．(1)e e 1x x y x --'=-++；(2)(],e 1-∞-；(3)1.【分析】（1）求出函数()f x -，再结合复合函数求导法则求导即得.（2）求出函数()f x 在[]1,e 上的最小值，()g x 在[]1,2上的最大值，再由给定恒成立建立不等式求解.（3）求出函数()h x ，由()0h x =分离参数，构造函数()e ln x p x x x x =--，利用导数探讨值域即可得解.【详解】（1）函数()e xf x x x a =--，则()e x f x x x a --=-+-，由e x y x x a -=-+-，求导得e e 1x x y x --'=-++，所以函数()y f x =-的导数是e e 1x x y x --'=-++.（2）函数()e x f x x x a =--，求导得()()1e 1xf x x '=+-，[]1,e x ∈，e 211e,e e e x x ≤+≤+≤≤，则e 2e (1)e (1e)e x x ≤+≤+，()0f x ¢>，函数()f x 在[]1,e 上单调递增，于是e 1()e 1,[e e ]f x a a +∈----．又()()22211g x x x x =-=--，则()g x 在[]1,2上也是单调递增，()[]1,0g x ∈-，由对任意的[]11,e x ∈，[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥成立，等价于1min 2max [()][()]f x g x ≥，因此e 10a --≥，解得e 1a ≤-，所以实数a 的范围是(],e 1-∞-．（3）依题意，()e ln x h x x x x a =---，由()0h x =，得e ln x x x x a --=，令()e ln xp x x x x =--，(0,e)x ∈，求导得11(1)(e 1)()e e 1(1)e x x xxx x x p x x x x x x++-'=+--=+-=，令()e 1x q x x =-，(0,e)x ∈，求导得()e e 0x x q x x '=+>，即函数()q x 在()0,e 上单调递增，显然()010q =-<，()1e 10q =->，则存在唯一的()00,1x ∈，使得()00q x =，即00e 10xx -=，即01e x x =，00ln x x =-，则当00x x <<时，0())(0,q p x x <'<，当0e x x <<时，()0,()0q x p x '>>，函数()p x 在0(0,)x 上单调递减，函数()p x 在0(,e)x 单调递增，因此0min 000000(e ln 11)()xp x p x x x x x x ==--=-+=，当00x x <<时，令()e x x x x ϕ=-，求导得()(1)e 1x x x ϕ'=+-，11令(1)e 1x y x =+-，当00x x <<时，(2)e 0x y x '=+>，即函数()x ϕ'在0(0,)x 上递增，()(0)0x ϕϕ''>=，函数()ϕx 在0(0,)x 上递增，()(0)0x ϕϕ>=，于是当00x x <<时，()e ln ln x p x x x x x =-->-，而函数ln y x =-在0(0,)x 上递减，值域为0(ln ,)x -+∞，因此当00x x <≤时，函数()p x 无最大值，值域为[1,)+∞，函数()p x 在(0,e)的值域为[1,)+∞，要使()h x 在()0,e 存在零点，则1a ≥，所以a 的最小值为1．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈①若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()max min f x g x <；②若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()max max f x g x <；③若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()min max f x g x <；④若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。

河南省信阳市普通高中2023-2024学年高二下学期期中教学质量检测数学试题(含答案)

河南省信阳市普通高中2023-2024学年高二下学期期中教学质量检测数学试题(含答案)

信阳市普通高中2023-2024学年高二下学期期中教学质量检测数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B 铅笔将准考证号填涂在相应位置。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，，则可表示不同的值的个数为（ ）A ．10B ．6C ．8D ．92．已知函数，则（ ）A ．B ．1C ．2D ．33．五声调式是由五个音构成的调式，是我国特有的．这五个音的名称依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ）A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种4．已知函数的导数为，若，则（ ）A．26B ．12C ．8D ．25．二项式展开式中的常数项是（ ）A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项6．已知函数的图象如右图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ）{}2,3,7x ∈{}3,4,8y ∈--xy ()21f x x =+()()11limx f x f x∆→+∆-=∆32()f x ()f x '()()32312f x x f x x '=++()2f '=12x ⎛⎝()y xf x ='()f x '()f x ()y f x =A ．B ．C ．D ．7．春节档电影《热辣滚烫》通过讲述主人公的成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力．它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想．甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《热辣滚烫》，恰好买到了七张连号的电影票．若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）A ．192B ．240C ．96D ．488．若动点在直线上，动点在曲线上，则的最小值为（）A ．BCD ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．在某地新高考“”的改革方案中，选择性考试科目有6门，即：物理、化学、生物、政治、历史、地理．根据相关要求，学生首先要在物理、历史2门科目中选择1门；再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，高考考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．现某学生想选三门选考科目，下列说法正确的是（）A ．若物理必选，则选法总数为B ．若生物必选，则选法总数为⋅⋅⋅⋅⋅⋅P 1y x =+Q 22x y =-PQ 1418312++24C 1123C CC ．若化学、生物至少选一门，则选法总数为D ．若历史必选，政治、地理至少选一门，则选法总数为10．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数，则下列选项中正确的是（ ）A ．B ．既有最大值又有最小值C ．若方程有4个根，则D ．若，则第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知的展开式中项的系数为______．13．对于各数互不相等的整数数组（是不小于3的正整数），若对于任意的，，当时有，则称，是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组中的逆序有“2与1”“4与3”，“4与1”，“3与1”，所以整数数组的“逆序数”等于4。

2023-2024学年山西省太原市高二下学期期中数学试题1(含解析)

2023-2024学年山西省太原市高二下学期期中数学试题1(含解析)

2023-2024学年山西省太原市高二下册期中数学试题一、单选题1．随机变量X 的分布列为X -101Pabc其中a ,b ,c 成等差数列,则()||1P X =等于A ．16B ．13C ．12D ．23【正确答案】D【详解】因为a ,b ,c 成等差数列,所以2b =a+c ,又a+b+c =1,所以b =13,所以P (|X|=1)=a+c =23，故选D.2．在等差数列{}n a 中，56789450a a a a a ++++=，则311a a +的值为（）A ．45B ．75C ．180D ．300【正确答案】C【分析】利用等差数列的性质求出7a ，再利用等差数列的性质可得结果.【详解】由()()567895968775450a a a a a a a a a a a ++++=++++==，得到790a =，则31710218a a a =+=．故选：C.3．已知无穷等差数列{}n a 中，它的前n 项和n S ，且76S S >，78S S >那么()A ．{}n a 中7a 最大B ．{}n a 中3a 或4a 最大C ．当8n ≥时，0n a <D ．一定有311S S =【正确答案】C【分析】根据等差数列中，76S S >，得7760a S S =->，又由78S S >，得8870a S S =-<，进而得到870d a a =-<，即可得到答案．【详解】由题意，因为无穷等差数列{}n a 中，它的前n 项和n S ，且76S S >，78S S >，由76S S >，可得7760a S S =->，又由78S S >，可得8870a S S =-<，所以870d a a =-<，所以当17,n n N +≤≤∈时，0n a >，当8,n n N +≥∈时，0n a <．故选C ．本题主要考查了等差数列前n 项和与通项n a 的关系的应用，其中解中熟记等差数列的前n 项和与通项n a 之间的关系，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．不相等的三个正数a 、b 、c 成等差数列，并且x 是a 、b 的等比中项，y 是b 、c 的等比中项，则x 2、b 2、y 2三数()A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列【正确答案】B【详解】由已知条件，可得由②③得22{x a by c b==代入①，得22x y b b+＝2b ，即x 2＋y 2＝2b 2.故x 2、b 2、y 2成等差数列，故选B.5．已知ξ～B （n ，p ），且E ξ=7，D ξ=6，则p 等于（）A ．17B ．16C ．15D ．14【正确答案】A【分析】ξ服从二项分布，由二项分布的期望和方差公式解出p 即可.【详解】由于随机变量(),B n p ξ ，则7E np ξ==，()16D np p ξ=-=，∴617p -=，∴17p =，故选：A.本题主要考查二项分布的期望和方差公式，属于基础题.6．同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X ，则X 的数学期望是A ．1B ．2C ．32D ．52【正确答案】A【分析】利用二项分布求解即可【详解】∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为111=224⨯，∴1~(4,)4X B ，∴1()414E X =⨯=.故选A.求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布~(,)B n p ，也可以直接利用公式()E np ξ=求数学期望.7．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为A ．100B ．110C ．120D ．180【正确答案】B【详解】试题分析：10人中任选3人的组队方案有310120C =，没有女生的方案有3510C =，所以符合要求的组队方案数为110种排列、组合的实际应用8．安排A ，B ，C ，D ，E ，F ，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有A ．30种B ．40种C ．42种D ．48种【正确答案】C利用间接法求解，首先计算出所有的安排方法，减掉A 照顾老人甲的情况和B 照顾老人乙的情况，再加回来多减一次的A 照顾老人甲的同时B 照顾老人乙的情况，从而得到结果.【详解】6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：2264C C 90=种安排方法其中A 照顾老人甲的情况有：1254C C 30=种B 照顾老人乙的情况有：1254C C 30=种A 照顾老人甲，同时B 照顾老人乙的情况有：1143C C 12=种∴符合题意的安排方法有：9030301242--+=种本题正确选项：C本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.二、多选题9．数列{}n a 是递减的等差数列，{}n a 的前n 项和是n S ，且69S S =，以下结论正确的是（）A ．80a =B ．当n 等于7或8时，n S 取最大值；C ．存在正整数k ，使0k S =；D ．存在正整数m ，使2m m S S =.【正确答案】ABCD【分析】由69S S =及等差中项的性质可得80a =，根据80a =以及等差数列的性质即可逐一求解.【详解】69S S = ，967890S S a a a ∴-=++=，由等差数列的性质得830a =，80a ∴=，故A 正确；数列{}n a 是递减的等差数列，127890a a a a a ∴>>>>=>L L ，∴当n 的值等于7或8时，n S 取得最大值，故B 正确；又 80a =，则1511581()151502S a a a =+⨯==，∴存在正整数15k =时，使0k S =，故C 正确；由等差数列的性质，得105678910850S S a a a a a a -=++++==，∴存在正整数5m =，使2m m S S =，故D 正确；故选：ABCD ．10．已知数列{}n a 是等比数列，以下结论正确的是（）A ．2{}n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 项和3=+nn S r ，则1r =-【正确答案】ACD【分析】根据给定条件，利用等比数列定义、性质逐项分析判断作答.【详解】令等比数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q -=，对于A ，222112()n n n n a a q a a ++==，且210a ≠，则2{}n a 是等比数列，A 正确；对于B ，320a =>，则2530a a q =>，B 错误；对于C ，由123a a a <<知，11(1)0(1)0a q a q q ->⎧⎨->⎩，则10(1)0q a q >⎧⎨->⎩，111(1)0n n n a a q a q -+-=⋅->，即N n *∀∈，1n n a a +>，数列{}n a 是递增数列，C 正确；对于D ，显然1q ≠，则111(1)111n n n a q a aS q q q q -==⋅----，而3=+n n S r ，因此113,1,111a aq r q q ===-=---，D 正确.故选：ACD11．下列等式成立的是（）A ．111C C 1mm n n m n +++=+B ．32853C 2C 128-=C ．11C C r r n n r n --=D ．12C C C 2n nn n n +++= 【正确答案】AC【分析】根据组合数公式计算可以判断A,B,C 选项，特殊值法可以判断D 选项.【详解】()()()()()111!!11!C ,C !!11!1!!!mm n n n n m m n m n m n n n m m m n m +++++==⨯=-++-+-,A 选项正确;32853563C 2C 14082=⨯--=,B 选项错误;()()()()()()()()111!!!!C ,C !!1!!1!!1!!r r n n n n n n r rn n r n r r n r r n r r n r ---====-------,C 选项正确;当2n =时，12222C C 32+=≠,12C C C 2n nn n n +++= 错误,D 选项错误.故选:AC.12．已知离散型随机变量X 服从二项分布(),B n p ，其中N ,01n p *∈<<，记X 为奇数的概率为a ，X 为偶数的概率为b ，则下列说法中正确的有（）A ．1a b +=B ．12p =时，a b =C ．102p <<时，a 随着n 的增大而增大D ．112p <<时，a 随着n 的增大而减小【正确答案】ABC【分析】选项A 利用概率的基本性质即可，B 选项由条件可知满足二项分布，利用二项分布进行分析，选项C ，D 根据题意把a 的表达式写出，然后利用单调性分析即可.【详解】对于A 选项，由概率的基本性质可知，1a b +=，故A 正确，对于B 选项，由12p =时，离散型随机变量X 服从二项分布1,2B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()11C 10,1,2,3,,22kn kk nP X k k n -⎛⎫⎛⎫===-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1351111C C C 2222nnn n n n a -⎛⎫⎛⎫=+++=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()0241111C C C 2222nnn n n n b -⎛⎫⎛⎫=+++=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b =，故B 正确，对于C,D 选项，()()()1111222nnnp p p p p a -+---⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦==，当102p <<时，()1122np a --=为正项且单调递增的数列，故a 随着n 的增大而增大故选项C 正确，当112p <<时，()12na p =-为正负交替的摆动数列，故选项D 不正确.故选：ABC.三、填空题13．在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于______．【正确答案】112【详解】由题意可得：2256,8n n =∴=，结合二项式展开式通项公式可得：()848318822rr rr rr r T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令8403r -=可得：2r =，则常数项为.()2282428112C -=⨯=14．从1，2，3，4，7，9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同的对数值的个数为____.【正确答案】17【详解】①当取得两个数中有一个是1时，则1只能作真数，此时log a 1=0，a=2或3或4或7或9．②所取的两个数不含有1时，即从2，3，4，7，9中任取两个，分别作为底数与真数可有54⨯=20个对数，但是其中39242439,log log log log ==，49232349,log log log log ==．综上可知：共可以得到20+1﹣4=17个不同的对数值．故答案为17．点睛：本题是一道易错题，防止重复，其中39242439,log log log log ==，49232349,log log log log ==，处理计数原理问题，贵在不重不漏，需要同学们熟练掌握对数的运算法则.15．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，则公差d 为_________.【正确答案】5【分析】设偶数项和为32k ，则奇数项和为27k ，由3227354k k +=可得k 的值，根据公差32276k kd -=求得结果．【详解】设偶数项和为32k ，则奇数项和为27k ，由322759354k k k +==可得6k =，故公差32275566k k kd -===，故5．本题考查等差数列的定义和性质，得到6k =，公差32276k kd -=，是解题的关键．16．数列{}n a 的通项222(cossin )33n n n a n ππ=⋅-，其前n 项和为n S ，则30S =__________．【正确答案】470【详解】试题分析：22222(cossin )cos 333n n n n a n n πππ=-= 222230241cos2cos 3cos 230cos 2033S ππππ∴=⋅+⋅+⋅++⋅ 22222222111111123456282930222222=-⨯-⨯+-⨯-⨯++-⨯-⨯+ 2222222221[(1223)(4526)(2829230)]2=-+-⨯++-⨯+++-⨯ 2222222222221[(13)(46)(2830)(23)(56)(2930)]2=--+-++-+-+-++- 1[2(4101658)(5111759)]2=--++++-++++ ，故答案应填：470．数列求和．【方法点晴】本题考查了二倍角的余弦公式，分组求和方法的应用，是中档题．解题的关键是平方差公式的应用，首先利用二倍角公式将数列的通项公式化简后代入到求和公式中，求出特殊角的三角函数值之后，注意分组，再利用平方差公式求解．四、解答题17．（1）将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法?（2）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数?【正确答案】（1）67200；（2）1260【分析】（1）先分组，再分配，注意部分平均分组需要除以数量相同组数的全排列；（2）分取出的数字有0和没有0两种情况讨论，先将数字取出，再进行排列.【详解】（1）依题意可得共有33341074433C C C A 67200A ⋅⋅⋅=种不同的分法；（2）从1，3，5，7，9中任取2个数字有25C 10=种取法，从0，2，4，6中任取2个数字，若取出的有0，则有13C 3=种，再将取出的数字排列，则有21135333C C A A 540⋅⋅⋅=个；若取出的没有0，则有23C 3=种，再将取出的数字排列，则有224534C C A 720⋅⋅=个；综上可得共有5407201260+=个没有重复数字的四位数.18．n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和.【正确答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11646n -+【分析】（I ）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an }的通项公式：（Ⅱ）求出bn 11n n a a +=，利用裂项法即可求数列{bn }的前n 项和．【详解】解：（I ）由an 2+2an ＝4Sn +3，可知an +12+2an +1＝4Sn +1+3两式相减得an +12﹣an 2+2（an +1﹣an ）＝4an +1，即2（an +1+an ）＝an +12﹣an 2＝（an +1+an ）（an +1﹣an ），∵an ＞0，∴an +1﹣an ＝2，∵a 12+2a 1＝4a 1+3，∴a 1＝﹣1（舍）或a 1＝3，则{an }是首项为3，公差d ＝2的等差数列，∴{an }的通项公式an ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1：（Ⅱ）∵an ＝2n +1，∴bn ()()111121232n n a a n n +===++（112123n n -++），∴数列{bn }的前n 项和Tn 12=（11111135572123n n -+-++-++ ）12=（11323n -+）11646n =-+.本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．19．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.【正确答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）20243【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为23，故2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从面()()33210,1,2,333k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列为：X0123P1272949827随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=.(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ，则2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭.且{3,1}{2,0}M X Y X Y ===== .由题意知事件{}3,1X Y ==与{}2,0X Y ==互斥，且事件{}3X =与{}1Y =，事件{}2X =与{}0Y =均相互独立，从而由(Ⅰ)知：{}{}()()3,12,0P M P X Y X Y ===== ()()3,12,0P X Y P X Y ===+==(3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+=.本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.20．某校准备从报名的7位教师（其中男教师4人，女教师3人）中选3人去边区支教．(1)设所选3人中女教师的人数为X ，写出X 的分布列，求X 的数学期望及方差；(2)若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率．【正确答案】(1)分布列详见解析，9()7E X =，24()49D X =；(2)12【分析】（1）确定X 的所有可能取值，求出相应的概率，由此能求出X 的分布列，E (X )和D (X )；（2）设事件A 为“甲地是男教师”，事件B 为“乙地是女教师”，利用条件概率公式，即可求出概率.【详解】（1）解：(1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，且3437C 4(0)C 35P X ===，123437C C 18(1)C 35P X ===，213437C C 12(2)C 35P X ===，3337C 1(3)C 35P X ===，所以X 的分布列为：X0123P 43518351235135故4181219()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，2222949189129124()(0(1)(2)(373573573573549D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（2）设事件A 为“甲地是男教师”，事件B 为“乙地是女教师”，则124637C A 4()A 7P A ==，11143537C C C 2()A 7P AB ==，所以()()1()2P AB P B A P A ==.21．已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.（Ⅰ）设22*1,N n n n c b b n +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；（Ⅱ）设()22*11,1,n k n k k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2n k k T d =<∑【正确答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【详解】试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：21n n n b a a +=，从而22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此根据等差数列定义可证：()212122n n n n c c d a a d +++-=-=（Ⅱ）对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简()2211n n n n k T b ==-∑()()()2222221234212n n b b b b b b -=-++-++-+()221d n n =+，再利用裂项相消法求和()222111111111111212121n n n k k k k T d k k d k k d n ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，易得结论.试题解析：（I ）证明：由题意得21n n n b a a +=，有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此()212122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}n c 是等差数列.（Ⅱ）证明：()()()2222221234212n n n T b b b b b b -=-++-++-+()()()22224222212n n n a a d a a a d d n n +=+++=⋅=+ 所以()222211111111111112121212n n n k k k kT d k k d k k d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑.等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和22．某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数012345≥保费0.85a a 1.25a 1.5a1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345≥概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.【正确答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）311；（Ⅲ）1.23．【详解】试题分析：试题解析：（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+=又()()P AB P B =，故()()0.153(|).()()0.5511P AB P B P B A P A P A ====因此所求概率为3.11（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为X0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.300.150.200.200.100.050.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.051.23.EX a a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23条件概率，随机变量的分布列、期望【名师点睛】条件概率的求法：（1）定义法：先求P （A ）和P （AB ），再由P （B|A ）＝()()P AB P A ，求出P （B|A ）；（2）基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n （A ），再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n （AB ），得P （B|A ）＝()()n AB n A .求离散型随机变量均值的步骤：（1）理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值；（2）求X 取每个值时的概率；（3）写出X 的分布列；（4）由均值定义求出EX ．。

江苏省新海高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

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江苏省新海高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、单选题1．9091100⨯⨯⨯L L 可表示为（ ）A ．10100AB ．11100AC ．12100AD ．13100A2．已知向量()2,1,3a =-r ，()4,2,b x =-r ，且a b ⊥r r ，则x =（ ）A ．103B ．113C ．4D ．63．某班5名同学到甲、乙、丙三个社区参加志愿服务活动，每名同学只选1个社区，甲社区安排1名，乙社区安排2名，丙社区安排2名，则不同的安排方法共有（ ） A ．180种B ．90种C ．60种D ．30种4．投掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，则在60次试验中成功次数X 的均值是（ ） A ．35B ．30C ．20D ．155．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如20713=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和小于15的概率是（ ） A ．27B ．421C ．17D ．146．若22222C C m m +=，则22234C C C m ++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．54B ．55C ．164D ．1657．若函数()2ln 1f x x a x =-+在()1 ,2上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]0,2B ．(),2-∞C ．[)8,+∞D ．(],2-∞8．在棱长为2的正四面体ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值是（ ）A ．23B C ．23-D ．34二、多选题9．某种产品的价格x （单位：元/kg ）与需求量y （单位：kg ）之间的对应数据如下表所示：根据表中的数据可得回归直线方程ˆˆ15.4ybx =+，则以下正确的是（ ） A ．相关系数0r >B ．第一个样本点对应的残差为-0.2C ．ˆ0.32b=- D ．若该产品价格为35元/kg ，则日需求量大约为4.2kg 10．对于832x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，下列说法正确的是（ ）A ．展开式共有8项B ．展开式的各项系数之和为1C ．展开式中的常数项是112D ．展开式的各二项式系数之和为12811．已知()16P A =，()1|5P B A =，若随机事件A ，B 相互独立，则（ ） A ．()14P B =B ．()130P AB =C ．()5|6P A B =D ．()1315P A B +=三、填空题12．若3212nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，仅第6项二项式系数最大，则n 等于．13．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布()26.40,0.05N ，则()6.25 6.45P ξ≤≤≈．（精确到0.01）参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈．14．三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是1”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是2”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是4”，则甲的卡片上的数字是．四、解答题15．已知函数()()2e xf x x =-．(1)求()f x 在0x =处的切线方程； (2)求()f x 在区间[]0,3上的最小值．16．已知()()25nf x x =+展开式的各二项式系数和为512，且()()()()201225222nnn x a a x a x a x +=+++++⋅⋅⋅++．(1)求123n a a a a +++⋅⋅⋅+；（结果保留指数幂形式） (2)求2a 的值；(3)求证：()161f -能被6整除．17．航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究．某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：参考数据：80x =，106y =，163716i i i x y ==∑，2147230i i x ==∑(1)建立y 关于x 的回归模型ˆˆˆy bx a =+，根据所给数据及回归模型，求ˆb ；（精确到0.1）(2)该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，100台推进器中有20台报废，其中保养过的推进器占比35%．请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为推进器报废与保养有关附：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++；18．已知圆220x y x y m +--+=与x 轴交于点()2,0P ，且经过椭圆G ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点，椭圆G ．(1)求椭圆G 的方程；(2)若点A 为椭圆G 上一点，且在x 轴上方，B 为A 关于原点O 的对称点，点M 为椭圆G 的右顶点，直线P A 与MB 交于点N ，PBN V ，求直线P A 的斜率． 19．联合国将每年的4月20日定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉［jié］造字的贡献，促进联合国六种官方语言平等使用．为宣传“联合国中文日”，某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，竞赛分为“个人赛”和“对抗赛”，竞赛规则如下：①个人赛规则：每位留学生需要从“拼音类”、“成语类”、“文化类”三类问题中随机选1道试题作答，其中“拼音类”有6道，“成语类”有8道，“文化类”有10道，若答对将获得一份奖品．②对抗赛规则：两位留学生进行答题比赛，每轮只有1道题目，比赛时两位参赛者同时回答同一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得-1分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分，对抗赛共设3轮，累计得分为正者将获得一份奖品，且两位参赛者答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．(1)留学生甲参加个人赛，根据以往答题经验，留学生甲答对“拼音类”、“成语类”、“文化类”的概率分别为25，25，35，求留学生甲答对了所选试题的概率；(2)留学生乙和留学生丙参加对抗赛，根据以往答题经验，每道题留学生乙和留学生丙答对的概率分别为35，12，设随机变量X为“第一轮中留学生丙的得分”，求()E X和()D X；(3)在（2）的条件下，求留学生丙获得奖品的概率．。

天津市河东区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

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天津市河东区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、单选题1．从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，则不同的挂法共有（ ） A ．9种B ．6种C ．5种D ．4种2．二项式7(12)x +的展开式的第4项的系数是（ ） A ．8B ．35C ．280D ．5603．某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示：如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是（ ） A ．815B ．59C ．23D ．16254．下列求导数的运算中正确的是（ ）A ．()2e 2e x x x x '=⋅B ．'=C ．()2[ln 21]21x x '-=- D ．()22ln21x x a '+=⋅+5．已知函数()πsin cos 4f x f x x ⎛⎫=- ⎪'⎝⎭，那么π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（ ）A1 B 1 C ．2 D ．26．已知随机变量X 的分布列如下表：若()1E X =，离散型随机变量Y 满足21Y X =-，则（ ） A ．0.4a =B ．0.2b =C ．()2E Y =D ．() 3.2D Y =7．已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A ．()f x 有三个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线8．将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，做成一个无盖方盒．若要使方盒的容积V 最大，则边长x 为（ ） A ．8aB ．6aC ．4aD ．2a9．设()0,1a ∈，若函数()(1)x xf x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎣⎭二、填空题10．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =．11．12⎫⎝的展开式的中间一项为. 12．函数()=2cos f x x x -在区间[]0,π上的最大值为.13．某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩()2~90,X N δ，且()600.1P X <=，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是．14．从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数．15．已知函数()21nn f x x x x =+++-L ，其中[)0,,N x n ∈+∞∈且2n ≥，则()2n f '=．三、解答题16．盒中有 4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球． (1)求取到2个标有数字1的球的概率；(2)设X 为取出的2个球上的数字之和，求随机变量X 的分布列及数学期望．17．在nax⎛⎝的展开式中，所有项的二项式系数的和为128.(1)求n 的值；(2)若展开式中x 的系数为280-，求实数a 的值.18．已知函数()2ln 2f x x x ax a =+-∈R ,.(1)若函数()y f x =在1x =处取得极大值，求a 的值；(2)设()()()0,4a g x f x a x <=+-，试讨论函数()y g x =的单调性.19．设函数()3e ax bf x x x +=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-+．(1)求,a b 的值；(2)求()f x 的极值点的个数．。

2023-2024学年福建省泉州高二下册期中数学试题(含解析)

2023-2024学年福建省泉州高二下册期中数学试题(含解析)

2023-2024学年福建省泉州高二下册期中数学试题一、单选题1．在二项式82x⎫-⎪⎭的展开式中，含x的项的二项式系数为（）A．28B．56C．70D．112【正确答案】A【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得展开式中含x的项的二项式系数.【详解】∵二项式82x⎫⎪⎭的展开式中，通项公式为34218C(2)rr rrT x-+=⋅-⋅，令3412r-=，求得2r=，可得含x的项的二项式系数为28C28=，故选：A.2．已知随机变量X的分布列如表，若()5E X=，则=a（）X3aP 13bA．23B．4C．6D．12【正确答案】C【分析】结合分布列的性质，以及期望公式，即可求解.【详解】由分布列的性质可得：113b+=，解得23b=，∵()12 35 33E X a⨯+⨯==，解得6a=.故选：C.3．甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一排，甲乙相邻，且甲不站中间的方法种数有（）A．24B．36C．42D．48【正确答案】B【分析】首先将甲乙之外的3人全排列，再分甲在排头或甲在排尾和乙在中间两种情况，即可得到答案.【详解】根据题意，分两步分析，①将甲乙之外的3人全排列，共有336A =种排法，排好后有4个空位，②甲乙相邻，将甲乙看成一个整体，甲不站中间，则甲乙在排头或甲乙在排尾，共22224A A ⋅=种排法，乙在中间，共2种排法，所以甲不站中间的方法种数共有()64236⨯+=种.故选：B4．函数e 2xy x =-的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】分别讨论0x ≥与0x <两种情况，利用导数与函数的关系研究()f x 的图像，从而得解.【详解】因为()e 2,0e 2e 2,0x xx x x y f x x x x ⎧-≥==-=⎨+<⎩，当0x ≥时，()e 2x f x x =-，则()e 2xf x '=-，令()0f x '<，得0ln 2x ≤<；令()0f x ¢>，得ln 2x >；所以()f x 在[)0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，所以()()()ln 2min ln 2e 2ln 221ln 20f x f ==-=->，从而排除B ；当0x <时，()e 2xf x x =+，则()e 20x f x '=+>，所以()f x 在(),0∞-上单调递增，从而排除D ；又()()111e 2120ef --=+⨯-=-<，从而排除C ；由于排除了选项BCD ，而选项A 又满足上述()f x 的性质，故A 正确.故选：A.5．已知函数()sin cos f x ax x x =++在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．(,-∞C ．)+∞D ．[)2,+∞【正确答案】C【分析】求出函数的导数，问题转化为max (sin cos )a x x ≥-，根据三角函数的性质求出a 的取值范围即可.【详解】∵函数()sin cos f x ax x x =++在R 上单调递增，∴()cos sin 0f x a x x '=+-≥，即sin cos a x x ≥-，故max (sin cos )a x x ≥-，而πsin cos 4x x x ⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭则实数a ≥故选：C.6．甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.2．若甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为A ．0.36B ．0.49C ．0.51D ．0.75【正确答案】C【分析】乙至少赢甲一局的对立事件为甲两局不输，由此能求出乙至少赢甲一局的概率．【详解】乙至少赢甲—局的概率为10.70.70.51P =-⨯=.故选C本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知事件A ，B 满足1()2P A =，1()3P B =，下列说法错误的是（）A ．若()0PB A =，则A ，B 是互斥事件B ．若()56P A B +=，则A ，B 是互斥事件C ．若()13P A B =，则A ，B 是相互独立事件D ．若()16P AB =，则A ，B 是相互独立事件【正确答案】C【分析】利用互斥事件的定义判断AB ；利用相互独立事件的定义判断CD.【详解】事件A ，B 满足1()2P A =，1()3P B =，对于A ，∵()()()0P AB P B A P A ==，∴()0P AB =，∴A ，B 是互斥事件，故A 正确；对于B ，∵()()511()623P A B P A P B +==+=+，∴A ，B 是互斥事件，故B 正确；对于C ，∵()13P A B =，∴()()13P AB P B =，∴1()()()()3P AB P B P A P B =≠，∴A ，B 不是相互独立事件，故C 错误；对于D ，∵()()111()623P AB P A P B ==⨯=，∴A ，B 是相互独立事件，故D 正确.故选：C.8．已知不等式()ln ln e 0ax x a ⎡⎤-+≤⎣⎦成立，则（）A ．1a ≥B ．1a ≤C ．e a ≥D ．ea ≤【正确答案】B【分析】利用指对互化以及对数函数的单调性，将问题化为()ln e 0x a f x x a -=-+≤恒成立，再利用导数研究单调性、最值求解.【详解】解：()()ln ln e 00ax x a x ⎡⎤-+≤>⎣⎦，原式可化为()ln ln e a x x a ⎡⎤≤-⎣⎦，即ln e (0)x a a x x -+≤>，即ln e 0(0)x a x a x --+≤>，令()ln e (0)x a f x x a x -=-+>，因为当0x →时，ln x →-∞，e 0x a --<，故此时()f x →-∞；当x →+∞时，e x a -→+∞比ln x →+∞快得多，故此时()f x →-∞；令1()()e x a h x f x x -'==-，且21()e 0x a h x x-'=--<恒成立，故()h x 在()0,∞+上单调递减，且当0x +→时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →-∞，故存在00x >，有001e 0x a x --=，即001e x a x -=，所以00ln x x a -=-，当()00,x x ∈时，()0h x >，()f x 此时单调递增，()0,x x ∈+∞时，()0h x <，()f x 此时单调递减，故()0max 00001()ln e 2x af x f x x a a x x -⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭，显然0012x x +≥=，当且仅当01x =时取等号，故0012220a x a x ⎛⎫-+≤-≤ ⎪⎝⎭，解得1a ≤，即1a ≤即为所求.故选：B.二、多选题9．已知1是函数32()1f x x bx x =+++的一个极值点，则（）A ．2b =-B ．()f x 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递增C ．1是函数()f x 的极大值点D ．()f x 的对称中心为22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】AD【分析】根据()10f '=，可求得b 的值，再逐项分析判断即可.【详解】解：2()321f x x bx +'=+，则()13210f b '=++=，解得2b =-，∴32()21f x x x x =-++，2()341'=-+f x x x ，令()0f x '<，解得113x <<，令()0f x ¢>，解得13x <或1x >，∴函数()f x 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且在1x =处取得极小值，由三次函数的性质可知，其对称中心为22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上，选项AD 正确，选项BC 错误.故选：AD.10．某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.从该工厂的一批产品中随机抽查1件产品（）A ．该产品是次品的概率为3.5%B ．该产品是正品的概率为65%C ．若该产品是次品，则该次品由甲车间生产的可能性最大D ．若该产品是正品，则该正品由甲车间生产的可能性最大【正确答案】ACD【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式计算即可.【详解】解：对于A ，该产品是次品的概率为45%4%35%2%20%5% 3.5%⨯+⨯+⨯=，故A 正确；对于B ，该产品是正品的概率为45%(14%)35%(12%)20%(15%)96.5%⨯-+⨯-+⨯-=，故B 错误；对于C ，若该产品是次品，则该次品由甲车间生产的可能性为45%4%183.5%35⨯=；若该产品是次品，则该次品由乙车间生产的可能性为35%2%73.5%35⨯=；若该产品是次品，则该次品由丙车间生产的可能性为20%5%103.5%35⨯=；可知该次品甲车间生产的可能性最大，故C 正确；对于D ，若该产品是正品，则该正品由甲车间生产的可能性为45%(14%)43296.5%965⨯-=；若该产品是正品，则该正品由乙车间生产的可能性为35%(12%)34396.5%965⨯-=；若该产品是正品，则该正品由丙车间生产的可能性为20%(15%)19096.5%965⨯-=；可知该正品甲车间生产的可能性最大，故D 正确.故选：ACD.11．()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，有()()20xf x f x '+>恒成立，则（）A ．()()142f f <B ．()()142f f -<-C ．()()4293f f <D ．()()4293f f -<-【正确答案】AC【分析】令()()2g x x f x =，求出函数的导数，结合函数的单调性判断即可.【详解】令()()2g x x f x =，∵当0x >时，()()20xf x f x '+>，∴当0x >时，[]2()2()()()2()0g x xf x x f x x xf x f x '''=+=+>，∴()()2g x x f x =在()0,∞+上单调递增；又()f x 为定义在R 上的奇函数，2y x =为定义在R 上的偶函数，∴()()2g x x f x =为R 上的奇函数；∴()g x 在R 上单调递增.由()()21g g >，可得()()421f f >，故A 正确；由()()12g g ->-，可得()()142f f ->-，故B 错误；由()()23g g <，可得()()4293f f <，故C 正确；由()()23g g ->-，可得()()4293f f ->-，故D 错误.故选：AC.12．某同学研究得：一个盒子内有5个白球，1个红球，从中任取2球的方法数可以是26C ，也可以是2155C C +，故221655C C C =+.类比可得（）A ．12335556C C C C ++=B ．111C C C m m m n n n ++++=C ．2122C 2C C C m m m m nn n n ++++++=D ．2221111112C C C C C C C C C C m n r m n m r n r m n r+++++++=【正确答案】BC【分析】由组合数及类比推理的知识逐项进行分析即可.【详解】对于A ，122556C C C +=，233656C C C +≠，故A 错误，对于B ，由类比推理，111C C C m m m n n n ++++=，故B 正确，对于C ，211212112C C C C C C C m m m m m m nn n n n n m n ++++++++++++=+=，故C 正确，对于D ，由于,,m n r 不一定相等，所以无法由类比推理推出，故D 错误.故选：BC.三、填空题13．一渔船出海打渔，出海后，若不下雨，可获得3000元收益；若下雨，将损失1000元.根据预测知某天下雨的概率为0.6，则这天该渔船出海获得收益的期望是______.【正确答案】600【分析】根据已知条件，结合期望公式，即可求解.【详解】解：预测知某天下雨的概率为0.6，则某天不下雨的概率为10.60.4-=，故这天该渔船出海获得收益的期望是30000.4(1000)0.6600⨯+-⨯=.故600.14．某班宣传小组有3名男生和2名女生.现从这5名同学中挑选2人参加小剧场演出，在已知抽取1名男生的条件下，2名都是男生概率是______.【正确答案】12##0.5【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.【详解】设事件A 表示“抽取1名男生”，事件B 表示“另1名也是男生”，则1315C 3()C 5P A ==，5223C 3()C 10P AB ==，故()()()3110325P AB P B A P A ===.故答案为.1215．已知O 是坐标原点，()1,0P ，Q 在函数()()ln 1f x x =+的图象上，M 为线段PQ 的中点，则OM 斜率的最大值是______.【正确答案】1e【分析】先求出直线OM 的斜率，再利用导数求函数的最值即可.【详解】设(),Q x y ，∵()1,0P ，M 为线段PQ 的中点，∴1,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，ln(1)11OM y x k x x +==++，设ln(1)()1x g x x +=+，则21ln(1)()(1)x g x x '-+=+，当()0,e 1x ∈-时，则()0g x '>，()g x 单调递增，当()1,e x ∈-+∞时，则()0g x '<，()g x 单调递减，∴当e 1x =-时，()g x 取得最大值为1e ，∴OM 斜率的最大值是1e，故答案为.1e16．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数的一些代数性质直观地体现在数阵中.在杨辉三角的100行数字中，存在两个相邻的数字之比为1:2的共有______行.【正确答案】33【分析】由题意设设第n 行相邻的两个数为1C ,C r rn n -，根据组合数公式化简，再由整除取值即可.【详解】由题意，第n 行各数从左到右均满足C ,N,N,rn r n r n ∈∈≤，设第n 行相邻的两个数为1C ,C r r n n -，则1C :C 1:2r rn n -=，则!!()!1(1)!(1)!!2n r n r r n r n -⨯=--+，化简得112r n r =-+，即31r n =+，0n =，1，2， (100)故33r =，6，…，99，共有33项.故33.四、解答题17．已知()12nx +的展开式的所有项的二项式系数和为512.(1)若2012(12)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，求11234(1)n n a a a a a --+-++- ；(2)求()12nx +展开式中系数最大的项.【正确答案】(1)2(2)675376T x=【分析】（1）由题意，利用二项式系数的性质求得n ，再利用赋值法求得要求式子的值.（2）设第1r +项系数最大，则11991199C .2C .2C .2C .2r r r r r r r r ++--⎧≥⎨≥⎩，求得r 的值，可得()12nx +展开式中系数最大的项.【详解】（1）∵()12nx +的展开式的所有项的二项式系数和为2512n =，∴9n =.∵9290129(12)(12)n x x a a x a x a x +=+=+++⋅⋅⋅+，∴令0x =，可得01a =，∴再令=1x -，可得1234911a a a a a -+-+--=- ，即()1234911a a a a a --+-++=- ，∴123492a a a a a -+-++= .（2）设第1r +项系数最大，则11991199C .2C .2C .2C .2r r r r r r r r ++--⎧≥⎨≥⎩，求得172033r ≤≤，∴6r =，故()12nx +展开式中系数最大的项为666679C 25376T x x =⋅⋅=.18．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了抽样调查，得到该市100位居民的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)0,0.5，[)0.5,1，…，[]4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)现从这100位居民中月均用水量在[)3,4的人中，随机抽取4人进行电话回访，求至少有2人月均用水量在[)3,3.5的概率；(2)把这100位居民的月均用水量的频率视为该市居民的月均用水量的概率，现从该市随机抽取1位，用X 表示月均用水量不低于2.5吨的人数，求X 的期望和方差.【正确答案】(1)3742(2)数学期望为0.27，方差为0.1971.【分析】（1）由题意首先求得100位居民中月均用水量在[)3,4的人数，然后计算所求的概率即可；（2）首先求得a 的值，然后利用二项分布的期望方差公式计算即可.【详解】（1）由题意，100位居民中月均用水量在[)3,4的人数：()1000.120.080.510⨯+⨯=人；其中[)3,3.5中6人，[3.5,4)中4人，2231464646410C C C C C 37C 42P ++∴==.（2）由题意，(0.080.160.420.500.120.080.04)0.51a a ++++++++⨯=，解得：0.30a =，则用水量不低于2.5吨的人数所占的概率为(0.300.120.080.04)0.50.27p =+++⨯=，据此可得X 服从二项分布：~(1,0.27)X B ，其数学期望为：10.270.27⨯=，方差为10.27(10.27)0.1971⨯⨯-=.19．已知函数()ln 1f x x ax =-+.(1)若()0f x ≤，求a 的取值范围；(2)求证：1111231n ++++>- 2n ≥，N n ∈.【正确答案】(1)[)1,+∞(2)证明见解析【分析】（1）问题转化为ln 1x a x +≥恒成立，令ln 1()x g x x+=，()0,x ∈+∞，根据函数的单调性求出a 的取值范围即可；（2）根据11ln k k k+<，对k 赋值累加即可.【详解】（1）由题可知：()f x 的定义域是()0,∞+若()0f x ≤，则ln 1x a x +≥恒成立，令ln 1()x g x x +=，()0,x ∈+∞，则只需()max a g x ≥，而2ln ()x g x x-'=，令()0g x '>，解得01x <<，令()0g x '<，解得1x >，故()g x 在()0,1递增，在()1,+∞递减，故()()max 11g x g ==，故只需1a ≥，即若()0f x ≤，则实数a 的取值范围是[)1,+∞；（2）证明：由（1）知，1a =时，ln 1≤-x x 在()0,∞+恒成立，当且仅当1x =时“＝”成立，令1k x k +=，+N k ∈，则1x >，则11ln k k k +<，故234111ln ln ln ln 11231231n n n ++++<++++-- ，故1111ln 231n n ++++>- ，而2n ≥，则12n n +>，∴2(1)2n n n +>，即n >∴ln n >故1111231n ++++>- 20．在京西购物平台购买手机时，可以选择是否加购“碎屏无忧”的保障服务，“碎屏无忧”服务有两种（两种服务只能购买一种）：一为“1年碎屏换屏”，价格100元，在购机后一年内原屏发生碎屏可免费更换一次屏幕；一为“2年碎屏换屏”，价格150元，在购机后两年内原屏发生碎屏可免费更换一次屏幕，若未购买“碎屏无忧”服务，则碎屏后需更换屏幕，更换一次屏幕需要300元.已知在购机后的第一年，第二年，第三年原屏发生碎屏的概率分别是0.4，0.2，0.1.每部手机是否发生碎屏相互独立且每年至多碎屏一次.(1)DD 在京西购物平台购买了一部手机，求这部手机在第二年原屏才发生碎屏的概率；(2)CC 拟在京西购物平台购买一部手机，并决定3年后再换部新手机.请问CC 是否应该购买加购“碎屏无忧”的保障服务？说明理由.【正确答案】(1)0.12；(2)CC 在京西购物平台购买一部手机，应加购“碎屏无忧”的保障服务，理由见解析.【分析】（1）利用独立事件的乘法公式可求概率；（2）设购买“1年碎屏换屏”需花费X 元，购买“2年碎屏换屏”需花费Y 元，不买保险需花费Z 元，则可求各随机事件的概率分布及数学期望，从而可判断是否购买保险.【详解】（1）设该手机第二年原屏才碎裂为事件A ，()()10.40.20.12P A =-⨯=，从而该手机第二年原屏才碎裂的概率为0.12；（2）设购买“1年碎屏换屏”需花费X 元，则X 可取值100,400,700，则(400)0.20.90.80.10.26P X ==⨯+⨯=，(700)0.20.10.02P X ==⨯=，故(100)10.260.020.72P X ==--=，故()1000.724000.267000.02190E X =⨯+⨯+⨯=.设购买“2年碎屏换屏”需花费Y 元，则Y 可取值150,450,750，则(450)0.60.80.10.40.20.90.12P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，(750)0.40.20.10.008P Y ==⨯⨯=，(150)10.120.0080.872P Y ==--=，故()1500.8724500.127500.008190.8E Y =⨯+⨯+⨯=，设不买保险需花费Z 元，则Z 可取值0,300,600,900，故(300)0.40.80.90.60.20.90.60.80.10.444P Z ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，(900)0.40.20.10.008P Z ==⨯⨯=，(0)0.60.80.90.432P Z ==⨯⨯=故(600)10.0080.4440.4320.116P Z ==---=，故()3000.4446000.1169000.00800.432210E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=，因为()()()E X E Y E Z <<，故CC 在京西购物平台购买一部手机，应加购“碎屏无忧”的保障服务.21．本次数学考试的第9-12题是四道多选题，每题有四个选项，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.若每道多选题的正确答案是两个选项或者三个选项的概率均为12.现甲乙两位同学独立解题.(1)假设每道题甲全部选对的概率为12，部分选对的概率为14，有选错的概率为14；乙全部选对的概率为13，部分选对的概率为13，有选错的概率为13，求这四道多选题中甲比乙多得13分的概率；(2)对于第12题，甲同学只能正确地判断出其中的一个选项是符合题意的，乙同学只能正确地判断出其中的一个选项是不符合题意的，作答时，应选择几个选项才有希望得到更理想的成绩，请你帮助甲或者乙做出决策.【正确答案】(1)281(2)甲应选择1个选项才有希望得到更理想的成绩；乙应选择3个选项才有希望得到更理想的成绩.【分析】（1）先分析包含的事件有哪些种，再求概率即可.（2）分别求出选择1,2,3个选项三个情况下的得分的期望，取期望最大的情况即可.【详解】（1）由题意知：甲比乙多得13分的情况包含：A ：甲四道全对；乙一道全对，一道部分选对，两道选错，即甲得20分，乙得7分.B ：甲三道全对，一道部分选对；乙两道部分选对，两道选错，即甲得17分，乙得4分.C ：甲三道全对，一道选错；乙一道部分选对，三道选错，即甲得15分，乙得2分.()42114311111C C 2333108P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()3432441111C C 243108P B ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()3431441111C C 243162P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()281P P A P B P C =++=.（2）若为甲出方案.则甲可能的选项个数为：1，2，3.记1A 表示选1个选项的得分，则期望为()12E A =.记2A 表示选2个选项的得分，则得分可能为0，2，5，()212111232320P A =⨯⨯=+=，()21212332P A =⨯==，()21112365P A =⨯==此时期望为()211130252362E A =⨯+⨯+⨯=.记3A 表示选3个选项的得分，则得分可能为0，5，()3112220365P A ⨯==+=，()31123615P A =⨯==此时期望为()351505666E A =⨯+⨯=.∵35226>>.∴甲应选择1个选项才有希望得到更理想的成绩.若为乙出方案.则乙可能的选项个数为：1，2，3.记1B 表示选1个选项的得分，类比甲的情况，则()1111215021232323E B ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.记2B 表示选2个选项的得分，则得分可能为0，2，5，此时()212111026152322311E B ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.记3B 表示选3个选项的得分，则得分可能为0，5，此时()3211505122E B =⨯+⨯⨯=.∵5115263>>.∴乙应选择3个选项才有希望得到更理想的成绩.22．已知函数21()ln 2f x x ax x =-+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个极值点1x ，2x ，且()()123ln 24f x f x -≥-，求a 的取值范围.【正确答案】(1)答案见详解(2),2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论即可求解；（2）结合函数极值与导数零点关系进行转化后，结合题目特点进行合理的构造，然后结合导数与单调性关系即可求解.【详解】（1）因为函数21()ln 2f x x ax x =-+，则211()x ax f x x a x x -+'=-+=，0x >，令()21g x x ax =-+，则24a ∆=-，①当0a ≤或0∆≤，即2a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，②当0Δ0a >⎧⎨>⎩时，即2a >时，令()0f x ¢>，得02a x <<或2a x >，∴()f x 在0,2a ⎛ ⎪⎝⎭和,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减，综上所述，当2a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当2a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭和2a a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减；（2）由（1）得，当2a >时，()f x 有两极值点1x ，2x ，由（1）得1x ，2x 为21(0)x g x ax =-+=的两根，所以12x x a +=，121=x x ，不妨设21x x >，因为121=x x ，故1201x x <<<，易知()f x 在()12,x x 单调递减，故()()12f x f x >，所以()()()()22121211122211ln ln 22f x f x f x f x x ax x x ax x -=-=-+-+-()()221122121ln 2x x x a x x x =-+-+，将12x x a +=代入化简可得：()()()222112212222221111ln ln 22x f x f x x x x x x x ⎛⎫-=-+=-+ ⎪⎝⎭，即原不等式等价转化为2222221113ln ln 224x x x ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，令()221t x t =>，构造111()ln 2h t t t t⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()()22102t h t t -'=>，故()h t 在1t >时单调递增，又因为3(2)ln 24h =-，故要使得3()ln 24h t ≥-，仅需2t ≥，即222x ≥，又因为()22222121212222122a x x x x x x x x =+=++=++，故212a t t=++，由上可知2t ≥，故292a ≥，故a的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭.方法点睛：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.。

辽宁省鞍山市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题含答案

辽宁省鞍山市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题含答案

2023-2024学年度下学期期中考试高二数学（A ）（答案在最后）时间：120分钟满分：150分命题范围：选择性必修二，选择性必修三结束.第I 卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设随机变量X 服从正态分布()3,4N ，若()()263P X a P X a >-=<-，则a =（）A.2-B.1- C.12D.1【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得答案.【详解】由题意随机变量X 服从正态分布()3,4N ，即正态分布曲线关于3x =对称,因为()()263P X a P X a >-=<-，故2(63)3,12a a a -+-=∴=-，故选：B2.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且213S a =，则公比q=A.12B.13C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】将已知转化为1,a q 的形式，解方程求得q 的值.【详解】依题意1113a a q a +=，解得2q =，故选C.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量1,a q ，属于基础题.基本元的思想是在等比数列中有5个基本量1,,,,n n a q a S n ，利用等比数列的通项公式或前n 项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列1,a q ，进而求得数列其它的一些量的值.3.已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为（）A.1100B.160 C.150D.130【答案】B 【解析】【分析】利用全概率公式可求解得出.【详解】设B 表示汽车中途停车修理，1A 表示公路上经过的汽车是货车，2A 表示公路上经过的汽车是客车，则()123P A =，()213P A =，()10.02P B A =，()20.01P B A =，则由全概率公式，可知一辆汽车中途停车修理的概率为()()()()()11222110.020.013360P B P A P B A P A P B A =+⋅=⨯+⨯=.故选：B.4.函数()sin cos f x x x x =+的导数()f x '的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据已知，利用函数的求导公式以及函数的奇偶性、函数值进行排除.【详解】因为()sin cos f x x x x =+，所以()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，令()()cos g x f x x x '==，R x ∈，则()()cos g x x x g x -=-=-，所以函数()cos g x x x =是奇函数，故A ，C 错误；又()ππcos π=-π<0g =，故B 错误.故选：D.5.若(2nx 二项展开式的第二项的二项式系数等于第五项的二项式系数，则该展开式中的含4x 项的系数为（）A.80B.14- C.14D.80-【答案】A 【解析】【分析】根据二项式定理，以及组合数的性质，建立方程，可得答案.【详解】由二项式(2nx ，则其展开式的通项()(()()121C 2C 210,N rn n rrrr n rr nnT x xr n r ---+==-≤≤∈，展开式的第二项和第五项的二项式系数分别为1C n ，4C n ，则14C C n n =，解得5n =，则通项为()()155215C 2105,N rr rr T xr r --+=-≤≤∈，令1542r -=，解得2r =，则展开式中含4x 项的系数为()22523554C 2128021-⨯⋅⋅-=⨯=⨯.故选：A.6.有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过，500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为（）A.89B.19 C.79D.59【答案】A 【解析】【分析】由条件概率公式求解即可.【详解】记灯泡寿命超过500小时为事件A ，灯泡寿命超过800小时为事件B ，则()()0.9,0.8P A P AB ==，所以()()()0.88|0.99P AB P B A P A ===.故选：A7.数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为A.333412963C C C B.33341296433C C C A A C.33331296444C C C A D.333312964C C C 【答案】A 【解析】【详解】将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题只需每个课题依次选三个人即可，共有3331296C C C 中选法，最后选一名组长各有3种，故不同的分配方案为：333412963C C C ，故选A.8.已知函数32()1f x x ax x =-+--在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A.(,)-∞⋃+∞B.[C.(,)-∞⋃+∞D.(【答案】B 【解析】【分析】由题得()0f x '≤在R 上恒成立，解不等式24120a ∆=-≤即得解.【详解】由题意知，2()321f x x ax '=-+-，因为()y f x =在R 上是单调函数，且()y f x '=的图象开口向下，所以()0f x '≤在R 上恒成立，故24120a ∆=-≤，即a ≤≤故选：B【点睛】结论点睛：一般地，函数()f x 在某个区间可导，()f x 在这个区间是增函数⇒'()f x ≥0.一般地，函数()f x 在某个区间可导，()f x 在这个区间是减函数⇒'()f x ≤0.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.对两个变量x 与y 进行线性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据：()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，则下列说法正确的是（）A.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好B.由样本数据利用最小二乘法得到的回归方程表示的直线必过样本点的中心()x yC.用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好D.若变量x 与y 之间的相关系数0.80r =，则变量x 与y 之间具有很强的线性相关性【答案】ABD 【解析】【分析】根据残差的平方和的性质判断A ，根据回归方程的性质判断B ，根据相关指数的性质判断C ，根据相关系数的定义判断D.【详解】对于A ，由残差的意义可得，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，A 正确；对于B ，若回归方程为ˆˆˆy bx a =+，则ˆˆy bx a =+，即回归方程表示的直线必过样本点的中心(,x y ，B 正确；对于C ，相关指数2R 越大，说明残差的平方和越小，即模型的拟合效果越好，C 正确；对于D ，变量x 与y 之间的相关系数0.80r =，故相关系数较为接近1，所以变量x 与y 之间具有很强的线性相关性.D 正确；故选：ABD.10.设等差数列{}的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，100S >，60a <，则（）A.数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项为第6项B.2445d -<<-C.50a > D.0n S >时，n 的最大值为5【答案】ABC 【解析】【分析】利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A 选项的正误；根据已知条件列出关于d 的不等式组，求出d 的取值范围，可判断B 选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断C ，D 选项的正误.【详解】对于C 选项，由()()110105610=502a a S a a +=+>且60a <，可知50a >，故C 正确；对于B 选项，由53635632122031230252450a a d d a a d d a a a d d =+=+>⎧⎪=+=+<⎨⎪+=+=+>⎩，可得2445d -<<-，故B 正确；对于D 选项，因为100S >，()111116111102a a S a +==<，所以，满足0n S >的n 的最大值为10，故D 错误；对于A 选项，由上述分析可知，当15n ≤≤且*N n ∈时，0n a >；当6n ≥且*N n ∈时，0n a <，所以，当15n ≤≤且*N n ∈时，0nnS a >，当610n ≤≤且*N n ∈时，0nnS a <，当11n ≥且*N n ∈时，0nnS a >.由题意可知{}单调递减，所以当610n ≤≤且*N n ∈时，6789100a a a a a >>>>>，由题意可知{}n S 单调递减，即有6789100S S S S S >>>>>，所以678910111110a a a a a ->->->->->，由不等式的性质可得6789106789100S S S S Sa a a a a ->->->->->，从而可得6789106789100S S S S S a a a a a <<<<<，因此，数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项为第6项，故A 正确.故选：ABC.11.如果函数()f x 对定义域内的任意实数，都有()()0f x xf x '+>，则称函数()y f x =为“F 函数”．下列函数不是“F 函数”的是（）A.()e xf x = B.()ln f x x =C.()2f x x= D.()sin f x x=【答案】ABD 【解析】【分析】令()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>，可得函数()g x 在定义域内是单调递增函数，称函数()y f x =为“F 函数”，逐项验证可得答案．【详解】令()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>，即函数()g x 在定义域内是单调递增函数，称函数()y f x =为“F 函数”．对于A ，()e xf x =，()()()e=∈=xg xf x x x x R ，()()e e 1e x x x g x x x '=+=+，当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减，不符合在定义域内是单调递增函数，则函数()e xf x =不是“F 函数”．故A 正确；对于B ，()ln f x x =，()()()ln 0>==g xf x x x x x ，()ln 1g x x '=+，当10e x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1ex >时，()0g x '>，()g x 单调递增，不符合在定义域内是单调递增函数，则函数()ln f x x =不是“F 函数”．故B 正确；对于C ，()2f x x =，()()()3=∈=g xf x xx x R ，()203'=≥x x g ，所以()g x 单调递增函数，则函数()2f x x =是“F 函数”．故C 错误；对于D ，()sin f x x =，()()()sin ∈==g x xf x x x x R ，()sin cos g x x x x '=+，当3ππ2<<x 时，()0g x '<，()g x 单调递减，不符合在定义域内是单调递增函数，则函数()sin f x x =不是“F 函数”．故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()()g x xf x =，根据()0g x '>可得函数()g x 在定义域内是单调递增函数，称函数()y f x =为“F 函数”．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.演讲比赛结束后，4名选手与1名指导教师站成一排合影留念.要求指导教师不能站在两端，那么有______种不同的站法.(用数字作答)【答案】72【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①，指导教师不能站在两端，易得指导教师有3种站法，②，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：①，指导教师不能站在两端，则指导教师有3个位置可选，有3种站法；②，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，有4424A =种情况，则有32472⨯=种不同的站法；故答案为72．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．13.已知随机变量X ，Y 满足21Y X =+，且随机变量X 的分布列如下：X 012P1613a则随机变量Y 的方差()D Y 等于______；【答案】209##229【解析】【分析】根据分布列中概率和为1可得a ，再由期望、方差公式计算出()D X ,最后利用()()2D aX b a D X +=计算可得答案.【详解】因为11163a ++=，所以12a =，()11140126323=⨯+⨯+⨯=E X ，()22214141450126333239⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D X ，所以()()()520214499=+==⨯=D Y D X D X .故答案为：209.14.若函数()3231f x ax ax =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围为______.【答案】1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由已知()()'23632fx ax ax ax x =-=-,分为0a =、0a <和0a >进行讨论,利用函数的单调区间和()01f =即可得到答案.【详解】由已知()()'23632fx ax ax ax x =-=-,当0a =时,函数()0f x =无解,不符合题意;当0a <时,()'0fx >得02x <<,()'0f x <得0x <或2x >,即函数()f x 的增区间为()0,2,减区间为()(),0,2,-∞+∞,又()01f =,所以函数()f x 有且仅有1个零点,与题意不符;当0a >时,()'0fx >得0x <或2x >,()'0f x <得02x <<,即函数()f x 的增区间为()(),0,2,-∞+∞,减区间为()0,2,又()01f =,要使函数()3231f x ax ax =-+有3个不同的零点,则需()20f <,即81210a a -+<,解得14a >.故答案为:1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说阴、证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123n = ，，，，从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．（条件①：55a =；条件②：12n n a a +-=；条件③：24S =-.）选择条件和．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足n n b a =，并求数列{}n b 的前n 项的和n T 【答案】（1）25n a n =-（2）当12n ≤≤时2=4n T n n -+，当3n ≥时248n T n n =-+【解析】【分析】（1）根据12n n a a +-=可知数列{}n a 是以公差2=d 的等差数列，然后求出首项，即可得通项.（2）由52,12;25,3n n n b n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，分情况讨论即可得nT 【小问1详解】选①②，由12n n a a +-=可知数列{}n a 是以公差2=d 的等差数列，又55a =得13a =-，故()32125n a n n =-+-=-选②③，由12n n a a +-=可知数列{}n a 是以公差2=d 的等差数列，由24S =-可知124,a a +=-13a ∴=-，()32125n a n n =-+-=-选①③，无法确定数列.【小问2详解】52,12;252525,3n n n n n a n b a n n n -≤≤⎧=-∴==-=⎨-≥⎩ ，其中n N ∈,当12n ≤≤，n N ∈时，2=4n T n n-+当3n ≥，n N ∈时，数列{}n b 是从第三项开始，以公差2=d 的等差数列()()21252=4+482n n n T n n +--=-+.16.已知函数()ln 22f x x x =-+-．（1）求曲线()y f x =的斜率等于1的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．【答案】（1）1y x =-；（2）极小值ln 21-，无极大值．【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，根据()01f x '=，求切点坐标，再求切线方程；（2）根据极值的定义，利用导数求极值.【详解】（1）设切点为()00,x y ，因为()12f x x=-+'，所以0121x -+=，01x =，0ln1220y =-+-=，所以切线方程l 为()011y x -=⨯-，即1y x =-．（2）()f x 的定义域为0,+∞．令()0f x '=即120x -+=，12x =，令()0f x '>，得12x >，令()0f x '<，得102x <<，故()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 存在极小值1ln 212ln 212f ⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭，无极大值．17.随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型.为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数值达到35及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成如下频率分布直方图.其中质量指数值分组区间是：[)20,25，[)25,30，[)30,35，[)35,40，[]40,45.（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关；甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等质量非优等合计（2）在摘取的用乙种有机肥料的西红柿中，从“质量优等”中随机选取2个，记区间[]40,45中含有的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.()20P x χ≥0.1000.0500.0100.0050.001x 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为，“质量优等”与使用不同的肥料有关（2）分布列见解析，2()3E X =【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可计算并判断结果.（2）随机变量X 的可能取值有0，1，2，服从超几何分布，利用超几何分布的公式可计算概率值，从而列出分布列并计算期望.【小问1详解】解：由题意可得22⨯列联表为：甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等603090质量非优等4070110合计100100200则()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++2200(42001200)20018.18210.8281001001109011⨯-=≈>⨯⨯=⨯.所以有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关.【小问2详解】由频率分布直方图可得“质量优等”有30个，区间[]40,45中含有10个，随机变量X 的可能取值有0，1，2，021020230C C 19038(0)C 43587P X ====，111020230C C 20040(1)C 43587P X ====，210230C 459(2)C 43587P X ====，随机变量X 的分布列如下：X012P38874087987384092()0128787873E X =⨯+⨯+⨯=.18.已知数列{}n a 满足11a =，11n n S a n +=--.（1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）设1n n nb a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）222n nn S +=-.【解析】【分析】（1）利用给定的递推公式，结合12,n n n n a S S -≥=-推理判断作答.（2）由（1）求出n b ，再利用错位相减法求和作答.【小问1详解】当1n =时，122S a =-，解得23a =，当2n ≥时，11n n S a n +=--，1n n S a n -=-，两式相减得11n n n a a a +=--，即121n n a a +=+，即有()1121n n a a ++=+，而21142(1)a a +==+，则N n *∀∈，()1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）知12nn a +=，于是12n n n n nb a ==+，则231232222n n n S =++++ ，于是231112122222n n n n n S +-=++++ ，两式相减得2311111(1)11222112221212222121n n n n n n n n n S +++-+=++++-=-=--，所以222n n n S +=-.19.设函数()e xf x ax =-，0x ≥且R a ∈．（1）求函数()f x 的单调性；（2）若()21f x x ≥+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）e 2a ≤-【解析】【分析】（1）求导后分1a ≤与1a >两种情况讨论即可；（2）方法一：讨论当0x =时成立，当0x >时参变分离可得2e 1x x a x --≤，再构造函数()2e 1x x g x x --=，0x >，求导分析最小值即可；方法二：将题意转化为2max11e x x ax ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，再构造函数()21e xx ax h x ++=，求导分类讨论单调性与最大值即可.【小问1详解】()e x f x a '=-，0x ≥，当1a ≤时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在[)0,+∞上单调递增；当1a >时，[)0,ln x a ∈时，()0f x '≤，则()f x 在[)0,ln a 上单调递减；()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '≥，则()f x 在[)0,ln a 上单调递增．【小问2详解】方法一：2e 1x ax x -≥+在0x ≥恒成立，则当0x =时，11≥，显然成立，符合题意；当0x >时，得2e 1x x a x --≤恒成立，即2min e 1x x a x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭记()2e 1x x g x x --=，0x >，()()()2e 11x x x g x x'---=，构造函数e1xy x =--，0x >，则e 10x y '=->，故e 1xy x =--为增函数，则0e 1e 010x x -->--=.故e 10x x -->对任意0x >恒成立，则()g x 在()0,1递减，在()1,+∞递增，所以()()min 1e 2g x g ==-∴e 2a ≤-．方法二：211e xx ax ++≤在[)0,+∞上恒成立，即2max11e x x ax ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭．记()21e x x ax h x ++=，0x ≥，()()()11e xx x a h x '-+-=-，当1a ≥时，()h x 在()0,1单增，在()1,+∞单减，则()()max 211ea h x h +==≤，得e 2a ≤-，舍：当01a <<时，()h x 在()0,1a -单减，在()1,1a -单增，在()1,+∞单减，()01h =，()21ea h +=，得0e 2a <<-；当0a =时，()h x 在()0,∞+单减，成立；当a<0时，()h x 在()0,1单减，在()1,1a -单增，在()1,a -+∞单减，()01h =，()121eaah a ---=，而1e 11a a -≥-+，显然成立．综上所述，e 2a ≤-．。

2023-2024学年天津市武清区高二下学期期中数学试题(含解析)

2023-2024学年天津市武清区高二下学期期中数学试题(含解析)

2023-2024学年天津市武清区高二下册期中数学试题一、单选题1．下列运算正确的是（）A ．()33ln xx x'=B ．2sin cos sin x x x x x x '+⎛⎫=⎪⎝⎭C ．()21log ln 2x x '=D ．2111x x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的四则运算逐个计算即可．【详解】对于A 选项，()33ln 3x x '=，故A 选项错误；对于B 选项，2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 选项错误；对于C 选项，()21log ln 2x x '=，故C 选项正确；对于D 选项，2111x x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，故D 选项错误；故选：C2．已知函数3()31f x x x m =-+-有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(1,3)-B ．(,1)(3,)-∞-⋃+∞C ．(2,2)-D ．(,2)(2,)-∞-+∞ 【正确答案】A【分析】构造新函数3()31h x x x =-+并利用导数求得其极值，再利用函数()f x 的零点即函数3()31h x x x =-+与直线y m =的图像的交点横坐标，进而求得实数m 的取值范围.【详解】令3()31h x x x =-+，则2()33h x x '=-，由()0h x '>得，1x >或1x <-；由()0h x '<得，11x -<<，则当1x >或1x <-时3()31h x x x =-+单调递增；当11x -<<时3()31h x x x =-+单调递减.则=1x -时()h x 取得极大值(1)3h -=；1x =时()h x 取得极小值(1)1h =-.函数3()31f x x x m =-+-有三个零点，即函数3()31h x x x =-+与直线y m =的图像有3个不同的交点，则实数m 的取值范围是(1,3)-故选：A3．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A ．()f x 在区间()1,1-上单调递增B ．()f x 在区间()2,0-上单调递增C ．1-为()f x 的极小值点D ．2为()f x 的极大值点【正确答案】D【分析】由图象可确定()f x '在不同区间内的正负，由此可得()f x 单调性，结合极值点定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,1x ∈时，()0f x ¢>；()f x \在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增，A 错误；对于B ，当()2,0x ∈-时，()0f x '<，()f x \在()2,0-上单调递减，B 错误；对于C ，()f x 在()2,0-上单调递减，1x ∴=-不是()f x 的极小值点，C 错误；对于D ，当()0,2x ∈时，()0f x ¢>；当()2,3x ∈时，()0f x '<；()f x \在()0,2上单调递增，在()2,3上单调递减，2x ∴=是()f x 的极大值点，D 正确.故选：D.4．若函数()2ln 1af x x x=+-在区间(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(2,)-+∞D ．[2,)-+∞【正确答案】D【分析】先利用导数与函数单调性的关系列出关于实数a 的不等式，解之即可求得实数a 的取值范围.【详解】()2ln 1a f x x x =+-，则2222()a x a f x x x x +'=+=由函数()2ln 1af x x x=+-在区间(1,)+∞上是增函数，可得2222()0a x a f x x x x +'=+=≥在区间(1,)+∞上恒成立，即2a x ≥-在区间(1,)+∞上恒成立，又由(1,)x ∈+∞，可得2(,2)x -∈-∞-，则2a ≥-故选：D5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，且(1)0f =则()0f x >的解集为（）A ．(,1)(0,1)-∞-⋃B ．,1(),)1(-∞-⋃+∞C ．(1,0)(0,1)- D ．(1,0)(1,)-⋃+∞【正确答案】D【分析】设函数()()g x xf x =，其中x ∈R ，根据()f x 的奇偶性得出()g x 为偶函数和(0)0g =，根据(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<得出()g x 在定义域内的单调性，由(1)0f =得出(1)g 和(1)g -的值，画出简图，分类讨论即可得出()0f x >的解集．【详解】设函数()()g x xf x =，其中x ∈R ，则()()()g x f x xf x +''=，因为()f x 是R 上的奇函数，所以()()()()g x x f x xf x g x -=-⋅-==，且(0)0f =，所以()g x 是R 上的偶函数，(0)0(0)0g f =⨯=，因为当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<，所以()0g x '<，即()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，因为(1)0f =，所以(1)0f -=，所以(1)1(1)0g f =⨯=，(1)1(1)0g f -=-⨯-=，画出()g x 的简图，如图所示，当0x >，()0f x >时，()()0g x xf x =>，则1x >，当0x <，()0f x >时，()()0g x xf x =<，则10x -<<，当0x =，()0f x =，不合题意，综上所述，()0f x >时，(1,0)(1,)x ∈-⋃+∞，故选：D6．已知函数()1ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A利用导数分析函数ln 1y x x =--的单调性以及函数值符号，由此可得出函数()y f x =的图象.【详解】对于函数ln 1y x x =--，该函数的定义域为()0,∞+，求导得111x y x x-'=-=.当01x <<时，0'<y ，此时函数ln 1y x x =--单调递减；当1x >时，0'>y ，此时函数ln 1y x x =--单调递增.所以，函数ln 1y x x =--的最小值为min 1ln110y =--=，即对任意的0x >，ln 10x x --≥.所以，函数()y f x =的定义域为()()0,11,+∞ ，且()0f x >，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.所以，函数()y f x =的图象如A 选项中函数的图象.故选：A.思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.7．如果自然数n 是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n 叫做“集中数”．那么数字0，1，2，3一共可以组成“集中数”个数有（）A ．20B ．21C ．25D ．26【正确答案】B【分析】由分类计数加法原理和分布计数乘法原理，分别讨论十位是0，1，2，3，再确定百位和十位的可能情况即可．【详解】当十位是0时，百位可选1，个位可选0和1，共2个，当十位是1时，百位可选1和2，个位可选0，1和2，共236⨯=个，当十位是2时，百位可选1，2和3，个位可选1，2和3，共339⨯=个，当十位是3时，百位可选2和3，个位可选2和3，共224⨯=个，综上所述，共269421+++=个，故选：B ．8．已知函数211,0()e ,0xx x f x x -⎧+≥=⎨<⎩，点M 、N 是函数()y f x =图像上不同的两个点，设O 为坐标原点，则tan MON ∠的取值范围是（）A ．22e 20,2e 1⎛⎫+ -⎝⎭B ．22e 20,2e 1⎛⎤+ ⎥-⎝⎦C ．22e 20,2e 1⎛⎫+ +⎝⎭D ．22e 20,2e 1⎛⎤+ ⎥+⎝⎦【正确答案】B【分析】作出函数()f x 的图形，求出过原点且与函数()f x 的图像相切的直线的方程，结合两直线夹角公式，数形结合可得出tan MON ∠的取值范围．【详解】当0x <时，1()x f x e -=，则1()0x f x e -'=-<，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，且()(0)f x f e >=，当0x ≥时，2()1f x x =+，作出函数()f x 的图像，如图所示，设过原点且与函数()(0)f x x ≥的图像相切的直线的方程为1y k x =，设切点为211(,1)x x +，斜率111()2k f x x '==，所以切线方程为：2111(1)2()y x x x x -+=-，将原点坐标代入切线方程可得，2111(1)2()x x x -+=-，即211x =，解得11x =，所以过原点且与函数()(0)f x x ≥的图像相切的直线的方程为2y x =，设过原点且与函数()(0)f x x <的图像相切的直线的方程为2y k x =，设切点为()212,e xx -，斜率212x k e -=-，所以切线方程为：22112()x x y ee x x ---=--，将原点坐标代入切线方程可得，22112()x x ee x ---=--，即21x =-，所以过原点且与函数()(0)f x x <的图像相切的直线的方程为2e y x =-，设直线2y x =与2e y x =-的夹角为θ，设直线2y x =的倾斜角为α，直线2e y x =-的倾斜角为β，则()2222tan tan e 2e 2tan tan 1tan tan 1(e )22e 1βαθβαβα---+=-===++-⨯-，结合图形可知，22e 20tan 2e 1MON ∠+<≤-，故选：B ．二、填空题9．设a 为实数，函数32()(3)f x x a x ax =+-+的导函数为()f x '，若()f x '是偶函数，则=a ___________．【正确答案】3【分析】求出()f x '，根据()f x '是偶函数即可得出a 的值．【详解】因为32()(3)f x x a x x α=+-+，所以2()32(3)f x x a x a '=+-+，又因为()f x '是偶函数，所以()f x '是关于y 轴对称的二次函数，所以2(3)06a --=，解得3a =，故3．10．若函数2()ln 2x f x x =-在区间1,2m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，则实数m 的取值范围为___________．【正确答案】1(,1)2【分析】首先求出()f x 的定义域和极值点，由题意得极值点在区间1,2m m ⎛⎫+ ⎝⎭内，且0m >，得出关于m 的不等式组，求解即可．【详解】函数2()ln 2x f x x =-的定义域为(0,)+∞，且2(11)1)1)((x f x x x x xx x -==+-'=-，令()0f x '=，得1x =，因为()f x 在区间1,2m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，所以0112m m m >⎧⎪⎨<<+⎪⎩，解得112m <<，故1(,1)2．11．若函数()ln f x x x x =-在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值为M ，最小值为N ，则实数M N -=__________．【正确答案】2ln 21-【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，即可求出函数的极小值，再求出区间端点处的函数值，即可求出函数的最值，即可得解.【详解】因为()ln f x x x x =-，所以()ln f x x '=，所以当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时()0f x '<，(]1,2x ∈时()0f x '>，所以()f x 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,2上单调递增，所以函数在1x =处取得极小值，又111111ln 2222222f ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，()22ln 22f =-，()11f =-，因为()311115312ln 22ln 22ln 22ln 2ln 2ln 32ln e2222222⎛⎫----=-++=-=-> ⎝⎭，所以()max 2ln 22f x =-，()()min 11f x f ==-，所以2ln 22M =-，1N =-，则2ln 2212ln 21M N -+=-=-.故2ln 21-12．若函数()ln 2f x x x =--在区间()()*,1N k k k +∈上有零点，则实数k =__________．【正确答案】3【分析】先利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，再根据零点存在性定理求出函数()f x 的零点所在区间，进而确定k 的值.【详解】由()()ln 20f x x x x =-->，得()111x f x x x-'=-=，令()0f x ¢>，则1x >；令()0f x '<，则01x <<，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，而函数()f x 的极小值为()110f =-<，又22110e ef ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在()0,1上存在唯一零点1x ，此时0k =（舍去）；因为()31ln 30f =-<，()42ln 40f =->，所以函数()f x 在()3,4上存在唯一零点2x ，此时3k =.综上所述，3k =.故3.13．已知函数e ()xf x a x=-，当210x x >>时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为____________．【正确答案】(,1]-∞【分析】由当210x x >>时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，得出()()1122x f x x f x <，设函数()()e x g x xf x ax ==-，则()0g x '≥，其中,()0x ∈+∞，由e x a ≥即可得出实数a 的取值范围．【详解】因为当210x x >>时，()()12210f x f x x x -<恒成立，两边同乘以12x x ，得()()11220x f x x f x -<，即()()1122x f x x f x <，设函数()()e x g x xf x ax ==-，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，因为()x g x e a '=-，其中,()0x ∈+∞，所以()0g x '≥，即e x a ≥，因为,()0x ∈+∞时，e (1,)x ∈+∞，所以1a ≤，故(,1]-∞．14．为美化重庆市忠县忠州中学校银山校区的校园环境，在学校统一组织下，安排了高二某班劳动课在如图所示的花坛中种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求相邻区域颜色不同，则有______种不同方案．【正确答案】72【分析】根据题意，按选出花的颜色的数目分2种情况讨论，利用排列组合及乘法原理求出每种情况下种植方案数目，由加法原理计算可得答案【详解】如图，假设5个区域分别为1，2，3，4，5，分2种情况讨论：①当选用3种颜色的花卉时，2，4同色且3，5同色，共有种植方案3343C A 24⋅=（种），②当4种不同颜色的花卉全选时，即2，4或3，5用同一种颜色，共有种植方案1424C A 48⋅=（种），则不同的种植方案共有244872+=（种）.故72三、解答题15．编号为1,2,3,4的四位同学，分别就座于编号为1,2,3,4的四个座位上．(1)每位座位恰好坐一位同学，求恰有两位向学编号和座位编号一致的坐法种数？(2)每位座位恰好坐一位同学，求每位同学编号和座位编号都不一致的坐法种数？(3)每位座位恰好坐一位同学，求编号1,2的两位同学必须相邻坐在一起的坐法种数？【正确答案】(1)6(2)9(3)12【分析】（1）由题意从4人中选出2人，他们的编号和座位编号一致，其余2人不一致，即可得答案；（2）考虑第一位同学先选，再分类考虑余下同学的选法，由分类和分步计数原理可求得答案;（3）考虑编号1,2的两位同学先选座位，再考虑其余两人选座位，由分步计数原理可得答案.【详解】（1）由题意从4人中选出2人，他们的编号和座位编号一致，其余两人的不一致，只有一种坐法，故坐法种数为24C 16⨯=；（2）不妨第一位同学先选座位，有3种选法，如果与他选的座位编号相同编号的同学选和第一位同学编号相同的座位，则其余两人只有1种坐法；如果与他选的座位编号相同编号的同学选其余两编号的座位，有2种选法，其余2人只有1种坐法，故共有的坐法种数为3(12)9⨯+=；（3）编号1,2的两位同学必须相邻，可以坐编号为1,2或2,3或3,4的座位，两人内部全排列，其余两人在余下的位置上随便选座位，有22A 2=种坐法，故共有的坐法种数为22223A A 12=.16．已知函数()e ,R x f x x a a =-⋅∈．(1)若曲线在点(0,(0))f 处切线与直线0x y +=平行，求a 的值；(2)若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)2a =；(2)10ea <<【分析】（1）先求得函数()f x 的导数，列出关于a 的方程，解之即可求得a 的值；（2）先将函数()f x 有两个零点转化为方程e x xa =有二根，再构造函数()xx h x e =，并利用导数求得其单调性和极值，进而求得实数a 的取值范围．【详解】（1）由()e ,R x f x x a a =-⋅∈，可得()1e x f x a '=-⋅，则(0)1f a '=-，则11a -=-，解之得2a =.（2）由函数()e ,R x f x x a a =-⋅∈有两个零点，可得方程e xxa =有二根，令()x x h x e=，则()21()x x xx e xe x h x e e --'==由()0h x '>，可得1x <；由()0h x '<，可得1x >，则当1x <时()h x 单调递增；当1x >时()h x 单调递减，则当1x =时()h x 时，()h x 取得极大值1(1)eh =，又(0)0h =，且当x 趋向于正无穷时，e x y =趋向于正无穷的速率远远大于y x =趋向于正无穷的速率，所以()xxh x e =趋向于0，则由方程e xxa =有二根，可得10e a <<17．已知函数()ln (1),R f x x a x a =+-∈．(1)当12a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；(2)当1x >时，()0f x >，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)3ln 202x y -+-=(2)[0,)+∞【分析】（1）利用导数运算法则求出()f x '，进而求出(2)f '和(2)f ，再利用导数的几何意义即可求出切线方程；（2）方法一：由当1x >时，()0f x >得出当1x >时，ln 1x a x >--恒成立，设ln ()1xg x x =-，(1,)x ∈+∞，判断出()0g x '<，再根据当x →+∞，()0g x →，即可得出实数a 的取值范围；方法二：先求出()f x '，再分别讨论0a =，0a >和a<0时()f x 的情况，即可得出实数a 的取值范围．【详解】（1）当12a =时，1()ln (1)2f x x x =+-，则11()2f x x '=+，1(2)ln 22f =+，所以11(2)122f '=+=，所以函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为：1(ln 2)22y x -+=-，即3ln 202x y -+-=．（2）方法一：参数分离因为当1x >时，()0f x >，所以ln (1)0x a x +->，即1x >时，ln 1xa x >--恒成立，设ln ()1xg x x =-，(1,)x ∈+∞，则2211(1)ln 1ln (1))(1()x x xx x g x x x ----=--'=，设1()1ln h x x x=--，(1,)x ∈+∞，因为当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，所以1()1ln h x x x=--在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0h x h <=，所以()0g x '<，即()g x 在(1,)+∞上单调递减，因为当x →+∞，ln 1)0(xx x g →-=，所以0a -≤，即0a ≥，所以当1x >时，()0f x >，实数a 的取值范围是[0,)+∞．方法二：分类讨论11()ax f x a x x+'=+=，①当0a =时，因为1x >，所以()0f x '>，即()f x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0f x f >=，符合题意；②当0a >时，因为1x >，所以()0f x '>，即()f x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0f x f >=，符合题意；③当a<0时，令()0f x '=，得1x a=-，当11a-≤，即1a ≤-时，()0f x '<，即()f x 在(1,)+∞单调递减，所以()(1)0f x f <=，不符合题意，当11a->，即10a -<<时，在1(1,)x a ∈-时，()0f x '>，则()f x 在1(1,)a-单调递增，在1(,)x a∈-+∞时，()0f x '<，则()f x 在1(,)a -+∞单调递减，所以1()()ln()1f x f a a a≤-=----，设()ln()1m a a a =----，(1,0)a ∈-，所以当(1,0)a ∈-时，()0m a '>，则()m a 在(1,0)-上单调递增，所以()(1)0m a m >-=，所以()0f x ≤，不合题意，综上所述，当1x >时，()0f x >，实数a 的取值范围是[0,)+∞．18．已知函数2()1,R ex ax f x a =-∈．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()f x 的极大值为5，求a 的值．【正确答案】(1)答案见解析(2)2e -【分析】（1）求出导数得()()2e xax x f x -'=，分0a >、a<0、0a =讨论得出单调性.（2）结合（1）中结论得到函数的极大值点，再代入计算可得.【详解】（1）因为2()1ex ax f x =-，x ∈R ，且()()()2222e e e e x x x x ax x ax ax f x --'=-=．①当0a >时，当(),0x ∈-∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增．②当a<0时，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,2x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．③当0a =时()0f x '=，()f x 为常数函数，不具有单调性；综上所述：当0a >时，()f x 在(),0∞-，()2,+∞上单调递增，在()0,2上单调递减；当a<0时，()f x 在(),0∞-，()2,+∞上单调递减，在()0,2上单调递增；当0a =时，()f x 为常数函数，不具有单调性.（2）由（1）可得当0a >时()f x 在0x =处取得极大值，但()01f =，不符合题意；当a<0时()f x 在2x =处取得极大值，所以()222215ea f ⨯=-=，解得2e a =-，符合题意，综上可得2e a =-.19．已知函数()()222e (1)x f x x a x =-++.(1)若0a =，（i ）求()f x 的极值.（ii ）设()()()f m f n m n =≠，证明.3m n +<(2)证明：当e a ≥时，()f x 有唯一的极小值点0x ，且()02332e ef x -<<-.【正确答案】(1)（i ）()f x 的极小值为()31e ,2f x -无极大值；（ii ）证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）（i ）求导，结合函数的单调性求得极值；（ii ）由题分析得33,222m n <<<，设()()()33,,22g x f x f x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，结合()g x 的单调性可得()0g x >，进而得()0g n >即()()3f m f n >-，利用()f x 单调性即可证得结论；（2）利用导数可得()f x '在R 单调递增，()2140,15e 02e f a f -'⎛⎫-=-+>-=-< ⎪⎝⎭'，则011,2x ⎛⎫∃∈-- ⎪⎝⎭使()00f x '=，从而当()()0,,0x x f x '∈-∞<，()()0,,0x x f x ∈+∞>'，可证得当e a ≥时，()f x 有唯一的极小值点0x ，且011,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭；由()00f x '=得()()020023e 12x x a x -+=-，从而得()02200031e 22x f x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，令()2231e 22t t t t ϕ⎛⎫=--+ ⎝⎭，利用()t ϕ单调性可证得()02332e ef x -<<-.【详解】（1）（i ）若()()20,2e x a f x x ==-，则()()223e x f x x -'=，由()0f x '=，得32x =.当3,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>.()f x \的单调递减区间为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故()f x 的极小值为()331e ,22f f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭无极大值.（ii ）由（i ）可知，()f x 的极值点为()3,2f x 在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，当32x <时，()0f x <，又()20f =，不妨设m n <，则若()()()f m f n m n =≠，则33,222m n <<<，设()()()()()262332e 1e ,,22x xg x f x f x x x x -⎛⎫=--=---∈ ⎪⎝⎭，则()()()26223e e x x g x x -=--'.设()2623e e ,,22x xh x x -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为增函数，则()302h x h ⎛⎫>= ⎪⎝⎭.32,2302x x <<∴-> ，则()g x 在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，()302g x g ⎛⎫∴>= ⎪⎝⎭，32,()02n g n <<∴> 即()()()()()()330,3f m f n f n f n f m f n --=-->∴>-.33,2,31,22n n ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，又()3,,2m f x ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ 在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，3m n ∴<-，即3m n +<.（2）()()()223e 21x f x x a x =-++'，记()()p x f x '=，()()244e 2xp x x a =-+'，记()()()()2,421e xx p x q x q x '=-'=，当12x =时，()0q x '=，当()()1,,0,2x q x p x ⎛⎫'∈-∞< ⎝'⎪⎭在1,2⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭x 单调递减，当()()1,,0,2x q x p x ⎛⎫'∈+∞> ⎝'⎪⎭在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭单调递增，()1e,22e 02a p x p a ⎛≥''⎫≥∴=-≥ ⎪⎝⎭，()p x ∴在R 单调递增，即()f x '在R 单调递增，()12144e 0,15e 02e f a a f --⎛⎫-=-+=-+>-=-''< ⎪⎝⎭，011,2x ⎛⎫∴∃∈-- ⎪⎝⎭使()00f x '=，当()()()0,,0,x x f x f x ∈-∞<'在()0,x x ∈-∞单调递减，当()()()0,,0,x x f x f x ∞'∈+>在()0,x x ∈+∞单调递增，所以当e a ≥时，()f x 有唯一的极小值点0x ，且011,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()()()()()0202000023e 23e21012xx x f x x a x a x -=-++=∴+=-' ()()()00222200000312e 1e 22x x f x x a x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭ 令()()222231115e ,1,,2e 222416t t t t t t t t ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+∈--∴=---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦' ，()11,,02t t ϕ⎛⎫∈--∴< '⎪⎝⎭ ()t ϕ∴在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，()()231312e 2e t ϕϕϕ⎛⎫∴-=-<<-=- ⎪⎝⎭即()02332e e f x -<<-.方法点睛：利用导数证明不等式常见解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将问题逐步转化，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数，再通过导数研究函数的性质进行证明．。

高二下学期期中考试数学试卷含答案

高二下学期期中考试数学试卷含答案

高二下学期期中考试数学试卷含答案下学期期中考试数学试题一、选择题1.已知i是虚数单位，z是z的共轭复数，若z(1+i)=3+2i，则z的虚部为（）。

A。

-1B。

iC。

-iD。

12.把4个不同的小球全部放入3个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法总数为（）。

A。

2B。

3C。

4D。

53.曲线y=xex+1在点(0,1)处的切线方程是（）。

A。

2x-y+1=0B。

x-y+1=0C。

x-y-1=0D。

x-2y+2=04.函数f(x)=xlnx的单调递减区间是（）。

A。

(0,1/e)B。

(1/e,0)C。

(e,+∞)D。

(-∞,0)5.二项式1+x+x2(1-x)展开式中x4的系数为（）。

A。

120B。

135C。

140D。

1006.设随机变量的分布列为P(X=k)=C(6,k)/2^6，则P(X≥3)的值为（）。

A。

1B。

7/8C。

5/8D。

3/87.将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）种。

A。

10B。

12C。

9D。

88.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图像可能是（）。

A.B.C.D.9.若z∈C且z+2-2i=1，则z-1-2i的最小值是（）。

A。

3B。

2C。

4D。

510.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品任取3件，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率是（）。

A。

37/120B。

3/10C。

4/9D。

1/211.已知(1-x)^10=a+a1x+a2x^2+。

+a10x^10，则a8的值为（）。

A。

-180B。

45C。

180D。

-4812.定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>1，f(0)=4，则不等式exf(x)>ex+3的解集为（）。

A。

(0,+∞)B。

高二第二学期期中考试数学试卷

高二第二学期期中考试数学试卷

高二年级第二学期期中检测数学试题（满分:150分，考试时间:120分钟）一、选择题:本题共8小题，每小腿5分，共40分.只有一项符合题目要求.1.函数y = f （x ）位点（x 0，y o ）处的切线方形为y = 2x + 1.则x x x f x f x ∆∆--→2)2()(lim 000 等于（ ）A.4B. - 2C.2D.4 2.函数 f （x ）= 的图象大致形状是（ ）3.（x + 2y ）×（x - y ）5的展开式中x 2y 4的系数为（ ）A. - 15B.5C. - 20D.254.甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们和和两不相邻的排法共有（ ）A.36种B.72种C.144种D.246种 5.函数f （x ）= k x- lnx 在[1，e ]上单调递增，则k 的收值范围是（ ）A. [1， +∞）B.（e 1， +∞）C.[e 1， +∞）D.（1， +∞） 6.若函数f （x ）=31x 3 - 2+x 2 在（a - 4.a + 1）上有最大值，则实数a 的取值范围为（ ） A.（- 3.2] B.（- 3，2） C.（- 3.0） D.（- 3.0]7.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰.短道速滑和冰壶3个项目进行集训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种.A.30B60 C.90 D150 8.设a =24l 24e n ）（- ，b = e 1，c =44ln ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A.a < c < b B. c < a < b C .a < b < cD.b < a < c二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分，有多项符合题目要求.全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下求导运算正确的是（ ） A.)1(2x ʹ = 32x B.(ln 2x)ʹ = x 1 C .（l gx ）ʹ =10l 1n x D .（cos 2）' =-sin 210.由0.1，2，3，5，组成的无重复数字的五位数的四数，则（ ）A.若五位数的个位数是0，则可组成24个无重复数字的五位数的偶数B.若五位数的个位数是2，则可组成18个无重复数字的五位数的偶数C.若五位数的个位数是2，则可组成24个无重复数字的五位数的偶数D.总共可组成48个无重复数字的五位数的偶数11.甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机抽出一球放入乙箱中，分别以A 1，A 2表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是A.A 1，A 2两两互斥B.P （B|A 2） =75 C.事件B 与事件A 2相互独立 D.P （B ） = 149 12.已知函数f （x ） = e x - ax 2（a 为常数），则下列结论正确的有（ ）A.若f （x ）有3个零点，则a 的取值范围为（42e ，+ ）B.a = 2e 时，x = 1是f （x ）的极值点 C.a =21 时，f （x ）有唯一零点x 0且 - 1 < x 0 <- 21 D.a = 1时，f （x ）≥0恒成立三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f （x ）= 2ln x - x 2 + 1，则f （x ）的单调递增区间是 _________4.将3封不同的信随机放入2个不同的信箱中，共有n 种不同的放法，则在（x -x1）n 的展开式中，含x 2项的系数为 _________ .15.若直线y = kx + b 是曲线y = 1nx + 1的切线，也是曲线y = ln （x + 2）的切线.则b = _________16.给图中六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种不同的颜色可供选择，则共有_________ 种不同的染色方案.四、解答题:本题共6小圆，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算.17.（本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n且S n底2a n- 2（n∈N）（1）求数列{a n}的通项公式:（2）若b n =n naa 2log1+.求数列{b n}的前n项和T n18.（本小M满分12分）如图所示，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA = AB = BC = 0.5AD = 1. （1）求PB与CD所成的角:（2）求直线PD与面PAC所成的角的余弦值:（3）求点B到平面PCD的距离.从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试.（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设∑表示选出的3名同学中男生的人数，求∑的分布列.20.（本小题满分12分）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为4331，.（1）求第三次由乙投篮的概率:（2）在前3次投篮中，乙投篮的次数为∑求∑的分布列:（3）求∑的期望及标准差.已知函数f （x ）= x ln x +2 x（1）求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程:（2）当x > 1时，mx - m < f （x ）恒成立，求整数m 的最大值.22.（本小题满分12分）已知函数f （x ） = axlnx 2 - 2x .若f （x ）在x = 1处取得极值，求f （x ）的单调区间:（2）若a = 2，求f （x ）在区同[0.5，2]上的最值:（3）若函数h （x ） =xx f )( - x 2 + 2有1个零点，求a 的取值范围.（修考做据:1 m2 = 0.693）。

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歙州学校高二下学期期中测试数学卷（文科）
满分：150 时间：120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1. “0a >”是“0a >”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若全集为实数集R ，13|log 2M x x ⎧⎫
=≥⎨⎬⎩⎭
，则R C M 等于（ ）
A .1
,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B .(],0-∞∪1,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C .(],0-∞∪1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D .1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
3.设0.3
113211log 2,log ,3
2a b c ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭，则（ ）
A. a b c <<
B.a c b <<
C.b c a <<
D.b a c <<
4.若函数)(log )(b x x f a +=（其中b a ,为常数）的图像如右图所示，
则函数b a x g x
+=)(的大致图像是（ ）
5.已知函数()ln f x x x =，则()f x 在（ ）
A.()0,+∞上单调减
B.()0,+∞上单调增
C.10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调减 D.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调增
6.若点(),9a 在函数3x
y =的图像上，则tan
6
a π
的值为（ ） A.0 B.1
C.
3
D.
7.若()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则tan 2α=（ ） A .
47 B .47- C .12 D .12
- 8.在ABC ∆中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C
所对的边，且2
2
2
b c a +=+，则
()2sin cos sin B C B C --的值为（ ）
A.
3
B.2
C.2
D.12
9.函数()2
24x x f x +=-，若260x x --≤，则()f x 的最大值和最小值分别是（ ）
A.4,32-
B.32,4-
C.
2,03 D.4
,13 10.已知函数()sin f x x x =-，若12,,22x x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦且()()120f x f x +>，则下列不等式中正确的是（ ）
A. 12x x >
B.12x x <
C.120x x +>
D.120x x +<
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.命题：“存在00,30x
x R ∈≤”的否定是_________________________________.
12.计算52
3
log 393
3215log 4log 5964-
⎛⎫
-+--= ⎪⎝⎭
__________________.
13. 已知函数()x
f x a b =+的图像过点()1,1-，它的反函数()1
y f x -=的图像过点
()3,0-，则函数()f x =_____________________.
14.已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，(
)1f
x =
，则0x <时，
()f x =_____________________.
15.函数()2
2cos sin 21f x x x =+-，给出下列四个命题
①函数在区间5,88ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦上是减函数； ②直线8
x π
=
是函数图象的一条对称轴；
③函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移
4
π
个单位而得到；
④若0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则()f x 的值域为⎡-⎣. 其中所有正确命题的序号是_____________________.
第Ⅱ卷
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分12分）已知p ：方程2
10x mx ++=有两个不相等的负实数根；q ：方程
()244210x m x +-+=无实数根.若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围.
17.（本小题满分12分）已知()222sin f x x x =
-.
（1）求函数()f x 的最大值； （2）求函数()f x 的零点的集合.
18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且
222.a b c +-=
（1）求角C 的大小； （2）如果22cos sin 12
A
m B =--，求实数m 的取值范围.
19.（本小题满分12分）已知函数()()
212
log 32f x x mx m =-+.
（1）若1m =，求函数()f x 的定义域； （2）若函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围.
20.（本小题满分13分）设a 为实数，函数()3
2
f x x x x a =--+.
（1）求()f x 的极值；
（2）当a 在什么范围时，曲线()y f x =与x 轴有三个交点.
21.（本小题满分14分）已知函数()2
ln f x x a x =+.
（1）当2a e =-时，求函数()f x 的单调区间和极值； （2）若函数()()2
g x f x x
=+在[]1,4上是减函数，求实数a 的取值范围.。

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