正态分布
正态分布
x
当-x<0时 ( x ) P ( X x )
P( X x) 1 P( X x)
1 ( x ) (0 x 4.99)
当x 5时, ( x ) 1;当x 5时, ( x ) 0
P ( a X b) ( b) ( a)
或
令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得 f (μ+c)=f (μ-c) 且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x
当x→ ∞时，f(x) → 0, 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。
将标准正态分布概率密度的图形向左(或) 右平行移动 个单位，向上伸长(或压缩)
1
图形。
个单位，即可得一般正态分布概率密度的
( x )2 2 2
1 f ( x) e 2 ( x )
,
既然标准正态分布是关于y 轴对称的,而一 般正态分布是由标准正态分布平移 个单位 得来的,故f (x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到 最大值: 1 f ( ) 2
2
X
~N(0,1)
根据定理1,只要将一般正态分布的分布 函数转化成标准正态分布，然后查表就可解 决一般正态分布的概率计算问题.
设X ~ N ( , 2 ),Y ~ N (0,1) 其概率密度分别为：
( x ), 0 ( y ) 分布函数分别为： ( x ), 0 ( y )
P ( X a ) P (Y a
a
三大分布--正态分布
( k＝0,1, 2,, m ; m＝min{M，n} )
E(X ) nM
N
D(
X
)
nM
(N N
n)(N 2(N 1)
M
)
超几何分布的应用
注1：当n≤2时，虽可套用公式 但不如直接计算简捷 当n≥3时，套用公式 一般的，可减少操作量
注2：三个细节要留心 书写格式要正规 随机变量有范围 (高仿只用莫声张) 二项分布会区分
超几何分布的书写格式
由题意得X服从超几何分布
其中 N＝！,M＝！,n＝！
则
P( X
k)
C C k nk M NM CNn
(k＝0,1, 2,, m)
m ＝min{M，n}
从而X的分布列为
X
0
p
C C 0 n0 M NM
CNn
1
C C 1 n1 M NM CNn
… …
m
C C m nm M NM CNn
其密度函数f(xf ()x=)
1
e
(
x
80 200
)2
,
x,则(不, 正) 确的是
【B】
2 10
A.平均成绩为80分
B.分数在120分以上和分数在60分以下的人数相同
C.分数在110分以上和分数在50分以下的人数相同
D.这次考试的成绩标准差为10
(4)设随机变量ξ～N(2,4),则D(2ξ+3)＝_1_6__
一、概念：
1.正态曲线： 称函数 f (x) , (x)
1
e
(x )2 2 2
,
x (, )
的图象
2
(其中μ和δ＞0为参量)为正态分布密度曲线,简称正态曲线
正态分布
2. 一般正态分布的概率计算
对于一般正态分布的概率计算，可以应用定积分的
换元法将其转化为标准正态分布的概率计算.
定理 设X~ N(, ) ，则 X ~ N(0,1).
这样，若X~ N(, )，并记其分布函数为 F(x)，则
从而
F ( x)
P{X
x}
P
X
x
P
X
1 2
5
1
2
2
0.9772
P{0
X
1.6}
P
0
1 2
X 1 2
1.6 1
2
0.3 0.5
0.3 0.5 1
0.6179 0.6915 1 0.3094
P{
解：由题意知 X ~ N (10.05,0.062 )，于是
P{
X
10.05
0.12}
P
0.12 0.06
X
10.05 0.06
0.12
0.06
2 2
22 1
2 0.9772 1 0.9544
例4 设 X ~ N(, )，求 P{ X }, P{ X 2 },
越小，图形越陡峭.
o
1 x
0.5 1 1.5
x
特别地，当 0， 1时，称 X 服从标准正态分布，
记为 X ~ N(0,1)，其概率密度函数为
(x)
1
x2
5.正态分布(1)解析
•考生往往想知道之间在群体中的位置 •学校教师往往想知道自己任课班级在整个学校 的位置 •校长需要对不同学科考试分数进行各种比较 •如何进行科学合理的比较？如何使比较令他人 信服呢？
一、正态分布
1、正态分布 正态分布（正常状态下的分布），是一种理论上的
连续变量的概率分布。“两头小，中间大，左右对 称”圆滑曲线。
【2.5解】 2 4, 2
P(2.8 X 4.2) P(2.8 2.5 X 2.5 4.2 2.5)
2
2
2
P(0.15 Z 0.85) 0.3023 0.0596 0.2427
P(1.5 X 3.8) P(0.5 Z 0.65)
P(0 Z 0.5) P(0 Z 0.65) 0.1915 0.2422 0.4337
P(x 80) P( x 75 0.625) P(Z 0.625) 8
0.5 P(0 Z 0.625) 0.5 0.234 73.4%
这表明有73.4%的考生名列的得80分的某考生之后,而有26.6%的考 生成绩在80分以上。
2、利用正态分布求各种分数段内的百分比和人数
例2 某师大一年级有学生200人，高数成绩可以用正态分布来描 述，其平均成绩为μ=78（分 ),标准差为σ＝7（分），试在理 论上计算学生成绩在90分以上、80分至90分、不及格的人数。
故分数线定为x 8Z 75 88分
5、将等级评定结果转化为分数
某班口试有两位主试教师，最后综合两位主试教师的评定
结果确定每个学生的口试成绩。学生的成绩分为优、良、中、 及格、不及格五等。全班共60名学生，每位教师评定的等级人 数见表。在60名学生中抽出甲、乙两名学生，两名教师对他们 的评定结果列在下表中，试比较两名学生成绩的优劣。
正态分布概念
图2-4 频数分布与正态分布曲线示意图
一、正态分布的概念和特征
1.正态分布曲线的数学函数表达式：
X服从的概率密度函数f（x）
f (X)
1
1( X )2
e2
2
(-＜X＜ )
X为连续随机变量，μ为X值的总体均数， σ2 为总体方差，记为X~N（ μ ， σ2）
1．正态分布
正态分布的分布密度函数为：f(x)＝σ
解析：从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线 x＝20
对称，最大值为 2
1 ，所以 π
μ＝20，
1＝ 2π·σ 2
1 ，解得 π
σ＝
2.于是概率密度函数的解析式为 f(x)＝2 1πe－x－4202，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望是 μ＝20，方差是 σ2＝( 2)2＝2.
正态分布 (Normal distribution)
正态分布
概述
正态分布是描述连续型变量值分布 的曲线，医学上许多资料近似服从正态 分布。
正态分布在统计推断上有重要的作用。 直方图的频数分布与正态分布
（见图2-4）
频数（f）
25 20 15 10
5 0
2.30～ 2.90～ 3.50～ 4.10～ 4.70～ 5.30～
(5)最值性:当 x=μ时, f, ( x)取得最大值
1
2
σ越大，曲线越“矮胖”,表示总体的分布越
分散;反之σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体
的分布越集中．
(6) 几 何 性 : 参 数 μ 和 σ
y
的统计意义:E(x)=μ,曲
线的位置由μ决定
;D(x)=σ2, 曲 线 的 形 状
由σ决定.
标准的正态分布
标准的正态分布
正态分布是一种常见的概率分布，也称为高斯分布。
它的特点是呈钟形曲线，以平均值为中心对称，并且标准差越大，曲线越平缓。
正态分布在自然界和社会现象中都有广泛应用，例如身高、体重和智力分布等。
标准的正态分布是指平均值为0，标准差为1的正态分布。
它的概率密度函数可以用以下公式表示：
f(x) = (1 / (sqrt(2 * pi))) * exp(-x^2 / 2)
其中，pi表示圆周率，exp表示自然对数的底数e的指数函数，sqrt表示平方根。
这个公式可以用来计算任意一个实数x在标准正态分布中的概率密度。
标准正态分布的特点是它的累积分布函数可以用一张表格来表示，称为标准正态分布表。
这个表格中列出了标准正态分布的概率密度函数在不同数值处的取值，从而方便我们进行各种统计学分析和推断。
在实际应用中，有时我们需要将任意一个正态分布转化为标准正态分布，这可以通过标准化变量来实现。
标准化变量的计算方法是将原变量减去平均值，再除以标准差，得到的新变量就是标准化变量。
通过标准化变量，我们可以将不同平均值和标准差的正态分布转化为相同的标准正态分布，方便比较和分析。
总之，标准的正态分布是一种重要的概率分布，它在统计学和自然科学中都有广泛的应用。
理解和掌握标准正态分布的基本特征和应
用方法，对于进行各种统计学分析和推断是非常有帮助的。
《正态分布》说课稿
《正态分布》说课稿正态分布是统计学中非常重要的一个概念，它描述了大量随机变量的分布规律，被广泛应用于各个领域的数据分析和预测中。
本文将介绍正态分布的基本概念、性质、应用以及如何利用正态分布进行统计推断。
一、正态分布的基本概念1.1 正态分布的定义：正态分布又称高斯分布，是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，左右对称，中间最高。
1.2 正态分布的特点：正态分布具有唯一的均值和标准差，均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。
1.3 正态分布的标准化：通过标准化可以将正态分布转化为标准正态分布，即均值为0，标准差为1的正态分布。
二、正态分布的性质2.1 正态分布的均值和中位数相等：正态分布的均值和中位数相等，即曲线对称中心位置处的值。
2.2 正态分布的68-95-99.7法则：约68%的数据落在均值附近的一个标准差范围内，约95%的数据落在两个标准差范围内，约99.7%的数据落在三个标准差范围内。
2.3 正态分布的线性组合仍然是正态分布：对于正态分布的线性组合，如两个正态分布的和或差，仍然是正态分布。
三、正态分布的应用3.1 在自然科学中的应用：正态分布常用于测量误差、实验数据分析等领域，如物理学、化学等。
3.2 在社会科学中的应用：正态分布被广泛应用于人口统计、心理学研究、经济学分析等领域。
3.3 在工程技术中的应用：正态分布在质量控制、可靠性分析、风险评估等方面有重要应用。
四、利用正态分布进行统计推断4.1 正态分布的参数估计：通过样本数据估计总体的均值和标准差，得到对总体的估计。
4.2 正态分布的假设检验：利用正态分布进行假设检验，判断总体参数是否符合某种假设。
4.3 正态分布的置信区间估计：通过正态分布的性质，构建总体参数的置信区间，对总体参数进行估计。
五、结语正态分布作为统计学中重要的概念，具有丰富的性质和广泛的应用。
通过深入理解正态分布的基本概念和性质，我们可以更好地应用正态分布进行数据分析和推断，为各个领域的研究和实践提供有力支持。
正态分布
三． 特征
1． 是单峰曲线，x=μ 2． 以均数μ为中心左右对称 3． 有2个参数，μ：位置参数， σ：变异度参数 σ越大，数据越分散，曲线越平坦。 特别地 N（0，1）称为标准正态分布 （z分布、u分布）
四．正态曲线下面积的分布规律
通过对密度函数积分我们可以知道正态曲线下， 横轴上所夹的面积为1，标准正态分布下1.96~1.96部分的面积为0.95 （可以通过积分 求得）。也就是说|u|>1.96的面积为0.05，对 任意的x，-x~x区间面积为多少呢？统计学家 已将此编制成了正态分布界值表，不过表中 的面积是指p(u<x), 也记作φ（x）。
3． 正态分布是许多统计方法的理论 基础，如后面要讲的t检验、方差分析、 相关回归等，t分布、二项分布、 Poisson分布的极限分布也是正态分布。
4．估计频数分布
例 出生体重低于2500克为低体重儿。若 由某项研究得某地婴儿出生体重均数为 3200克，标准差为350克，估计该地当 年低体重儿所占的比例。2． 源自计医学正常值范围x u s
例 120名健康成年男性农民舒张压的均数 为10.1kPa，标准差为0.93kPa，求舒张 压的95%双侧正常值范围。 ±1.96s =10.1±1.96×0.93 即 8.28~11.92 kPa 95%参考范围（reference range）或正常 范围（normal range）仅仅告知95%健 康者的测定值在此范围之内，并非告知 凡在此范围之内皆健康，也非告知凡在 此范围之外皆不健康，所以不可将之作 为诊断标准。
以上讨论的是标准正态分布，对一般的正 态分布，某指标x~N(μ,σ2),则 u=(x-μ)/σ~N(0,1) 即-1.96<u<1.96的面积为0.95 μ-1.96σ<x<μ+1.96σ的面积为0.95
正态分布完整ppt课件
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
正态分布简单解释
正态分布简单解释
1 什么是正态分布？
正态分布，又称高斯分布，是概率统计学中的一种基本分布。
正态分布具有单峰性、对称性、钟形曲线的特点，是自然界中很多现象的统计分布。
2 正态分布的特点
正态分布的曲线正中间有一个顶峰，左右两侧对称，呈钟形。
这个顶峰代表了数据的平均值，也就是算术平均数。
而曲线两侧高度逐渐降低，代表了数据的集中程度。
曲线左右两侧的面积相等，也就是说左侧的面积等于右侧的面积，因此在平均值左右对称的情况下，有50%的数据落在平均值左边，有50%的数据落在平均值右边。
3 正态分布的应用
由于正态分布在自然界中很多现象中都具有普遍性和代表性，因此被广泛地应用于各种领域中。
例如，医疗诊断中使用正态分布来确定正常范围，制造业使用正态分布来控制产品质量，金融领域使用正态分布来进行风险分析等等。
此外，正态分布在统计学中也起着重要的作用，可以通过正态分布来推论总体参数，计算出置信区间和假设检验等。
4 正态分布的重要性
相信很多人都听过“大数定律”，那么正态分布对于这个定律的解释有很大的帮助。
基于中心极限定理，我们可以证明当样本容量达到一定程度时，样本均值的分布趋近于正态分布。
因此，正态分布在统计学中是非常重要的基础分布，也是许多分析方法的基础。
同时，在机器学习、人工智能等领域中，正态分布也是非常常用的一种概率分布，例如在回归分析中经常使用高斯分布来描述随机误差。
5 总结
正态分布在统计学中是非常基础和重要的概率分布，它的应用涵盖了各个领域。
理解和掌握正态分布的基本概念和特点，对于提高我们对大数据的分析能力和对实际问题的解决能力都具有重要意义。
正态分布简介
正态分布
一：正态分布的概念和和图形
正态分布的概率密度函数为：
(-∞＜ X ＜+
∞) 式中，有4个常数，μ 为总体均数，σ 为总体标准差，π为圆周率，e 为自然
,π，e 为固定常数，仅X 为变量，代表图形上横轴的数值，f(X)为纵轴数
分布曲线。
正态分布曲线是一簇曲线。
二：正态分布图的特点
1 对称的钟型（在均数处最高） 2两侧逐渐下降 3两端在无穷远处与横轴无限接近。
三：正态分布的特征
特征一 正态分布是一单峰分布，高峰位置在均数X= μ 处。
特征二 正态分布以均数为中心，左右完全对称。
特征三 正态分布取决于两个参数，即均数μ 和标准差σ μμ
μ 变小，曲线沿横轴向左移动。
σ
示数据的离散程度，若σσ 。
特征四 有些指标不服从正态分布，但通过适当变换后服从正态分布，如对数正态分布。
特征五 正态分布曲线下的面积分布是有规律的。
无论σ
μ,
①正态密度函数曲线与横轴间的面积恒等于1或100%；
②正态分布是对称分布。
其对称轴为直线X=μX>μX<μ等，各占50%；
四：标准正态分布
将正态分布变量作标准化变换，就得到均数为0，标准差为1的标准正态分布 标准化变换公式： 正态分布的概率密度函数方程就简化为标准正态分布的概率密度函数方程：
，(-∞＜ u ＜+∞) 22
()21()2X f X e μσσπ--= f σμ
-=X u 2221)(u e u -=π
ϕ。
正态分布
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
σ
1 2π
（4）曲线与x轴之间的面积为1
方差相等、均数不等的正态分布图示
σ=0.5
μ=0 μ= -1
μ= 1Βιβλιοθήκη 若 固定,随值的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
均数相等、方差不等的正态分布图示
b
P(a X b) a , (x)dx
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b
P(a X b) a , (x)dx
则称为X 的正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定. 正态分布记作N（ μ，σ2）.其图象称为正态曲线.
如果随机变量X服从正态分布， 则记作 X~ N（ μ，σ2）
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
例3、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单 位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是
（ C）
A.曲线b仍然是正态曲线；
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
4、特殊区间的概率:
若X~N (, 2 ),则对于任何实数a>0,概率
a
P( a x ≤ a) , ( x)dx a
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面 积 的随概着率越 大的，减即少X而集变中大在。这周说围明概率越越小大, 落。在区间 ( a, a]
《正态分布》说课稿
《正态分布》说课稿引言概述：正态分布是概率统计学中重要的一种概率分布，也被称为高斯分布。
它在自然界和社会科学中的应用非常广泛，被广泛用于描述各种随机变量的分布情况。
本文将从五个方面详细介绍正态分布的概念、性质、应用以及计算方法。
一、正态分布的概念1.1 正态分布的定义：正态分布是一种连续型的概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，摆布对称，以均值μ为中心，标准差σ决定曲线的宽窄。
1.2 正态分布的特点：正态分布具有惟一的均值和标准差，均值决定了曲线的位置，标准差决定了曲线的形状。
1.3 正态分布的标准化：通过标准化可以将正态分布转化为标准正态分布，使得计算更加方便。
二、正态分布的性质2.1 正态分布的对称性：正态分布的概率密度函数在均值处对称，即摆布两侧的曲线形状彻底相同。
2.2 正态分布的稳定性：正态分布具有稳定性，即多个独立的正态分布的和仍然服从正态分布。
2.3 正态分布的中心极限定理：根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似服从正态分布。
三、正态分布的应用3.1 统计判断：正态分布在统计判断中起到重要的作用，例如通过样本均值的正态分布来判断总体均值的置信区间。
3.2 质量控制：正态分布在质量控制中被广泛应用，例如通过控制图来判断产品质量是否稳定。
3.3 金融领域：正态分布在金融领域中的应用也非常广泛，例如股票收益率的分布通常被假设为正态分布。
四、正态分布的计算方法4.1 正态分布的概率计算：可以使用标准正态分布表或者计算机软件来计算正态分布的概率。
4.2 正态分布的参数估计：可以使用最大似然估计或者最小二乘法来估计正态分布的参数。
4.3 正态分布的抽样方法：可以使用随机抽样方法来获取符合正态分布的样本。
五、结语正态分布作为概率统计学中重要的一种分布，具有丰富的性质和广泛的应用。
通过深入了解正态分布的概念、性质、应用以及计算方法，我们可以更好地应用正态分布进行数据分析和判断，为各个领域的决策提供科学依据。
正态分布（Normaldistribution）又名高斯分布（Gaussiandistri。。。
[][][][]四个不同參数集的概率密度函数（绿⾊线代表标准正态分布）正态分布（Normaldistribution ）⼜名⾼斯分布（Gaussiandistri 。
正态分布（Normal distribution ）⼜名⾼斯分布（Gaussian distribution ），是⼀个在、及等都很重要的概率分布，在统计学的很多⽅⾯有着重⼤的影响⼒。
若X 服从⼀个为µ、为σ2的⾼斯分布，记为：X ∼N (µ,σ2),则其为正态分布的µ决定了其位置，其σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此⼈们⼜常常称之为钟形曲线。
我们通常所说的标准正态分布是µ= 0,σ = 1的正态分布（见右图中绿⾊曲线）。
⽂件夹 []概要正态分布是与中的定量现象的⼀个⽅便模型。
各种各样的測试分数和现象⽐⽅计数都被发现近似地服从正态分布。
虽然这些现象的根本原因常常是未知的， 理论上能够证明假设把很多⼩作⽤加起来看做⼀个变量，那么这个变量服从正态分布(在R.N.Bracewell 的Fourier transform and its application 中能够找到⼀种简单的证明)。
正态分布出如今很多区域:⽐如, 是近似地正态的，既使被採样的样本整体并不服从正态分布。
另外，常态分布在全部的已知均值及⽅差的分布中最⼤，这使得它作为⼀种以及已知的分布的⾃然选择。
正态分布是在统计以及很多统计測试中最⼴泛应⽤的⼀类分布。
在，正态分布是⼏种连续以及离散分布的。
历史常态分布最早是在发表的⼀篇关于⽂章中提出的。
在1812年发表的《分析概率论》（Theorie Analytique des Probabilites ）中对棣莫佛的结论作了扩展。
如今这⼀结论通常被称为。
拉普拉斯在试验中使⽤了正态分布。
于引⼊这⼀重要⽅法；⽽则宣称他早在就使⽤了该⽅法，并通过如果误差服从正态分布给出了严格的证明。
“钟形曲线”这个名字能够追溯到他在⾸次提出这个术语"钟形曲⾯"，⽤来指代（）。
什么是正态分布
什么是正态分布正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布（Gaussian Distribution），是概率论和统计学中最重要的概率分布之一。
它在自然界和社会科学中广泛应用，被认为是一种非常常见的分布模式。
正态分布的特点是呈钟形曲线，对称分布于均值周围。
其概率密度函数可以用以下公式表示：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x-μ)^2) / (2σ^2))其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，x表示随机变量的取值，μ表示均值，σ表示标准差，π表示圆周率，e表示自然对数的底。
正态分布的均值和标准差决定了曲线的位置和形状。
均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。
当均值为0，标准差为1时，曲线称为标准正态分布。
正态分布具有许多重要的性质和应用。
以下是正态分布的几个重要特点：1. 对称性：正态分布是对称的，均值处于曲线的中心位置，两侧的概率密度相等。
2. 峰度：正态分布的峰度较高，曲线较陡峭，尾部较平缓。
3. 独立性：正态分布的随机变量之间是相互独立的。
4. 中心极限定理：当样本容量足够大时，样本均值的分布接近正态分布。
正态分布在实际应用中具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 自然科学：正态分布常用于描述测量误差、实验数据、物理量的分布等。
2. 社会科学：正态分布常用于描述人口统计数据、心理测量数据、考试成绩等。
3. 金融领域：正态分布常用于描述股票价格、利率、风险收益等。
4. 质量控制：正态分布常用于描述产品尺寸、重量、强度等的分布。
5. 生物学：正态分布常用于描述身高、体重、血压等生物特征的分布。
正态分布的应用不仅限于上述领域，还广泛应用于工程、经济学、环境科学等各个领域。
总之，正态分布是一种重要的概率分布，具有对称性、峰度高、独立性等特点。
它在自然界和社会科学中广泛应用，用于描述各种随机变量的分布。
了解正态分布的特点和应用，对于理解和分析实际问题具有重要意义。
正态分布
或 x Z s
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例题：
例9-11 利用表9-1的资料计算95%参考值范围。
表9-1的资料近似服从正态分布，可以利用正
态分 布法计算95%参考值范围。
X 350.24，S 32.97
双侧95%的参考值范围：
X 1.96 S 350.24 1.96 32.97 ( 285.62 ~ 414.86) 20-29岁正常成年男子的尿酸浓度的95%参考值
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（二） 质量控制： 随机误差 系统误差
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判断异常的8种情况
有一个点距中心线的距离超过3个标准差（控制限以外） 在中心线的一侧连续有9个点 连续6个点稳定地增加或减少 连续14个点交替上下 连续3个点中有两个点距中心线距离超过2个标准差（警戒限 以外） 连续5个点中有4个点距中心线距离超过1个标准差 中心线一侧或两侧连续15个点距中心线距离都超出1个标准差 以内 中心线一侧或两侧连续8个点距中心线距离都超出1个标准差 范围。
的疾病和有关因素的同质人群。
一般认为至少应在 120 例以上。例数过少，
确定的参考值范围往往不够准确。
19
B.对选定的正常人进行准确的测量；
C.决定取单侧范围还是双侧范围值； 根据研究目的和专业知识确定单双侧 例：白细胞计数过低过高均异常，故双侧； 肺活量过低为异常，故单侧； 血铅、发汞含量过高为异常，故单侧。
知道面积求U值。 查附表1 得：0.10 对应的U值为-1.28
0.10
0.80
0.10
则: 80%的男孩身高集中： (116.9cm，129.2cm)
X 1.28 s
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三、正态分布的应用 （一） 确定医学参考值范围(reference range) ：
正态分布的4个特征
正态分布的4个特征正态分布，又称高斯分布或钟形曲线，是统计学中最重要的概率分布之一、它具有许多独特的特征和性质，下面将详细介绍正态分布的四个主要特征。
1.对称性：正态分布是一种对称的分布，其均值和中位数相等，即分布的中心处于对称的位置。
曲线在均值处取得最大值，两侧逐渐变小，呈现出典型的钟形形状。
正态分布的对称性使其成为许多统计推断方法的基础。
2.均值和标准差：正态分布的均值和标准差是其两个重要的描述性参数。
均值代表了分布的中心位置，标准差则衡量了数据集中程度的变异性。
在标准正态分布中（均值为0，标准差为1），大约68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内，约95%的数据落在均值加减两个标准差的范围内，而大约99.7%的数据落在均值加减三个标准差的范围内。
这种关系被称为"68-95-99.7规则"，在实际应用中经常被使用。
3.中心极限定理：正态分布具有重要的中心极限定理，它表明当独立随机变量的和趋于无穷时，其分布逼近于正态分布。
也就是说，无论初始数据的分布如何，其和的分布都会逐渐接近于正态分布。
这一定理在统计推断和抽样理论中起着至关重要的作用，使得我们可以使用正态分布对许多实际问题进行分析和推断。
4. 概率密度函数和累积分布函数：正态分布的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）用来描述随机变量的概率密度。
它的数学表达式为：f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-(x-μ)²/(2σ²))其中，f(x)表示在x点处的概率密度，μ表示均值，σ表示标准差，e表示自然常数。
概率密度函数的曲线是连续的，且总面积等于1 F(x)=Φ((x-μ)/σ)其中，Φ表示标准正态分布的累积分布函数，F(x)表示在x点之前的概率。
概率密度函数和累积分布函数是正态分布最基本的描述工具，它们可以帮助我们计算各个分布区域的概率、推断置信区间等。
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正态分布
1．关于正态分布N (μ，σ2)，下列说法正确的是( )
A ．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B ．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C ．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件
D ．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件
2．已知随机变量ξ服从正态分布N (4，σ2)，则P (ξ＞4)＝( )
A.15 B .14 C.13 D .12 3．若随机变量X 的密度函数为f (x )＝12π·e －x 22，X 在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1，p 2，则p 1，p 2的关系为( )
A ．p 1>p 2
B ．p 1<p 2
C ．p 1＝p 2
D ．不确定
4．若随机变量X ～N (1,9)，则D ⎝⎛⎭⎫13X 的值是( )
A ．1
B ．3
C ．9
D .13
5．已知随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，且P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－σ<X ≤μ
＋σ)＝0.682 6，若μ＝4，σ＝1，则P (5<X <6)等于( )
A ．0.135 8
B ．0.135 9
C ．0.271 6
D ．0.271 8
6．已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，则P (ξ＜3)等于( )
A.15
B.14
C.13
D.12
7．已知随机变量ξ服从正态分布N (2,σ2),P (ξ≤4)＝0.84,则P (ξ≤0)等于( )
A ．0.16
B ．0.32
C ．0.68
D ．0.84
8．设随机变量ξ～N (μ,σ2),且P (ξ≤c )＝P (ξ>c )＝p ,则p 的值为( )
A ．0
B ．0.5
C ．1
D ．不确定
9．已知随机变量X ～N (0,σ2)．若P (X >2)＝0.023,则P (－2≤X ≤2)＝( )
A ．0.477
B ．0.628
C ．0.954
D ．0.977
10．某地区高二女生的体重X (单位:kg)服从正态分布N (50,25),若该地区共有高二女生2 000人,则体重在50 kg ～65 kg 间的女生共有( )
A ．683人
B ．954人
C ．997人
D ．994人
11．图是三个正态分布X ～N (0,0.25)，Y ～N (0,1)，Z ～N (0,4)的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线分别是图中的________、________、________.
12．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝________.
13．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(2，＋∞)上取值的概率为________．
9．设X ～N (0,1)．
(1)求P(－1＜X≤1)；
(2)求P(0＜X≤2)．
14．一批电阻的阻值X服从正态分布N(1 000,52)(Ω)．今从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，可以认为()
A．甲、乙两箱电阻均可出厂
B．甲、乙两箱电阻均不可出厂
C．甲电阻箱可出厂，乙电阻箱不可出厂
D．甲电阻箱不可出厂，乙电阻箱可出厂
15．设随机变量X～N(1,22)，则Y＝3X－1服从的总体分布可记为________．12．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P(400＜X＜450)＝0.3，则P(550＜X＜600)＝________.
16．已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在
[80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝1
82π
.
(1)求概率密度函数；
(2)估计尺寸在72 ～88 mm间的零件大约占总数的百分之几？。