利用法向量求二面角
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S
B
C
A
D
6
归纳总结
１：利用法向量求二面角的一般步骤．
２：法向量的夹角与求二面角大小的关系
３：探索性问题的解法：假设存在，在这个前提下推理或 计算，如果得出的结果符合问题的已知或正确的数学结 论，则肯定其存在，否则不存在．
7
链接高考
2016浙江高考17题节选 理
如图, 在三棱台ABC-DEF中, 平面BCEF 平面ABC, ACB 90， BE EF FC 1, BC 2, AC 3.求二面角B AD F的余弦值.
1
D1 B1
C1
在Rt A1 AO中，A1 B 2 4 6 cos A1OA 2 3 3 6
D
C
O
3A 即锐二面角A1 DB A的余弦值为 3
B
易错防范
1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐 角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的 角. 2.线面角 θ 的正弦值等于直线的方向向量 a 与平面的法向量 n 所成角的余弦值 的绝对值，即 sin θ ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为 cos θ ＝|cos〈a，n〉|. 3.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半 平面 α，β 的法向量 n1，n2 时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向， 从而确定二面角与向量 n1，n2 的夹角是相等，还是互补.
法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么时候互补？
n1, n2
cos
cos n1, n2
cos
n1 , n2
cos n1, n2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；
同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
S
M
B
C
A
D
5
实践操作
变式2：如图，ABCD是直角梯形，ABC BAD 90, SA 面ABCD, SA AB BC 2 AD, 在线段SC 不含端点 4 上是否存在点E，使得二面角S BD E余弦值的大小为 5 CE 若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 CS
cos AD , n
1.建系 解：建系如图 不妨设AB 2 A(0,0,0), D(1,0,0),C(2, 2,0),S(0,0, 2), 2.找点坐标
二面角的平面角是锐角，
6 所求二面角的余弦值为： 3
| AD || n |
3
5.定值
5
实践操作
变式1：如图，ABCD是直角梯形，ABC BAD 90, SA 面ABCD, SA AB BC 2 AD, 若M 为SC中点， 求二面角S-MD-B的余弦值。
课题：利用法向量求二面角
——小越中学 章惠芳
1
复习回顾
1.二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
2.二面角的范围：0,
3.如何作二面角的平面角？ 定义法：在棱上取一点，在两个半平面内 作垂直于棱的两条射线，这两条射线所夹 的角就是二面角 B
O
A
l
2
探究准备
转 转 转
2
课前热身
在正方体ABCD A1B1C1D1中，求锐二面角A1 DB A的余弦值。
解：作DB的中点O, 连结AO 1 , AO 在正方体中A1D AB, AD AB AO BD, AO BD 1
AOA 为二面角A1 DB A的平面角 1 A1 不妨设AA 2，则AO 2，
7
课后练习
在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO ⊥面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8， PO=4，AO=3，OD=2. 在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二 面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理 由。
P
A O B D
C
课堂总 结
思想方法
1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、 面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、 利用数量积的夹角公式计算. 2.合理建立空间直角坐标系 (1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系， 建系 方法的不同可能导致解题的简繁程度不同. (2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就 以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽 可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建 立时以其中的垂直相交直线为基本出发点. (3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系， 在没有现成的垂直关系时要通过其 他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.
4
探索方法
如图，ABCD是直角梯形，ABC BAD 90, SA 面ABCD, SA AB BC 2 AD, 求面SCD与 面SAB所成的二面角的余弦值。
z
S
A
设 n ( x, y, z)是面SCD的法向量， y 1， 2,0 , SD 1， 0， 2 3.求法向量坐标 B C DC 得n (2, 1,1) 由n DC且n SD. D x AD 面SAB AD (1,0,0)是平面SAB的法向量， 6 AD n 4.求两法向量夹角
3
课前热身 (2014· 衡水高二检测)如图所示，在正方体
ABCDA1B1C1D1中，
[解析]
120° 二面角ABD1C的大小为________．
连接 DA1，DC1，以 D 为原点，建立如图所示的 → 空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则DA1＝(1,0,1) → 是平面 ABD1 的一个法向量，DC1＝(0,1,1)是平面 BCD1 的 一个法向量，所以 → → DC1· DA1 1 → → cos〈DA1，DC1〉＝ ＝2， → → |DC1||DA1| → → ∴〈DA1，DC1〉＝60° . 又二面角 ABD1C 为钝角， ∴二面角 ABD1C 的大小为 120° .
[感悟提高]
转 转
(1)本题较好地体现了转化思想：空间线面的
转
位置关系― ― →直线的方向向量、平面的法向量之间垂直 化 或共线― ― →空间向量运算― ― →空间线面位置关系；空间 化 化 角― ― →向量的夹角― ― →空间向量的运算― ― →空间角． 化 化 化 (2)向量法是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等 元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空 间向量的运算，最后把运算结果回归到几何结论．这样就 把立体几何问题转化为空间向量来研究，体现了化归与转 化思想．
B
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归纳总结
１：利用法向量求二面角的一般步骤．
２：法向量的夹角与求二面角大小的关系
３：探索性问题的解法：假设存在，在这个前提下推理或 计算，如果得出的结果符合问题的已知或正确的数学结 论，则肯定其存在，否则不存在．
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链接高考
2016浙江高考17题节选 理
如图, 在三棱台ABC-DEF中, 平面BCEF 平面ABC, ACB 90， BE EF FC 1, BC 2, AC 3.求二面角B AD F的余弦值.
1
D1 B1
C1
在Rt A1 AO中，A1 B 2 4 6 cos A1OA 2 3 3 6
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O
3A 即锐二面角A1 DB A的余弦值为 3
B
易错防范
1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐 角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的 角. 2.线面角 θ 的正弦值等于直线的方向向量 a 与平面的法向量 n 所成角的余弦值 的绝对值，即 sin θ ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为 cos θ ＝|cos〈a，n〉|. 3.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半 平面 α，β 的法向量 n1，n2 时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向， 从而确定二面角与向量 n1，n2 的夹角是相等，还是互补.
法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么时候互补？
n1, n2
cos
cos n1, n2
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n1 , n2
cos n1, n2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；
同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
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实践操作
变式2：如图，ABCD是直角梯形，ABC BAD 90, SA 面ABCD, SA AB BC 2 AD, 在线段SC 不含端点 4 上是否存在点E，使得二面角S BD E余弦值的大小为 5 CE 若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 CS
cos AD , n
1.建系 解：建系如图 不妨设AB 2 A(0,0,0), D(1,0,0),C(2, 2,0),S(0,0, 2), 2.找点坐标
二面角的平面角是锐角，
6 所求二面角的余弦值为： 3
| AD || n |
3
5.定值
5
实践操作
变式1：如图，ABCD是直角梯形，ABC BAD 90, SA 面ABCD, SA AB BC 2 AD, 若M 为SC中点， 求二面角S-MD-B的余弦值。
课题：利用法向量求二面角
——小越中学 章惠芳
1
复习回顾
1.二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
2.二面角的范围：0,
3.如何作二面角的平面角？ 定义法：在棱上取一点，在两个半平面内 作垂直于棱的两条射线，这两条射线所夹 的角就是二面角 B
O
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2
探究准备
转 转 转
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课前热身
在正方体ABCD A1B1C1D1中，求锐二面角A1 DB A的余弦值。
解：作DB的中点O, 连结AO 1 , AO 在正方体中A1D AB, AD AB AO BD, AO BD 1
AOA 为二面角A1 DB A的平面角 1 A1 不妨设AA 2，则AO 2，
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课后练习
在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO ⊥面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8， PO=4，AO=3，OD=2. 在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二 面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理 由。
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A O B D
C
课堂总 结
思想方法
1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、 面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、 利用数量积的夹角公式计算. 2.合理建立空间直角坐标系 (1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系， 建系 方法的不同可能导致解题的简繁程度不同. (2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就 以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽 可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建 立时以其中的垂直相交直线为基本出发点. (3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系， 在没有现成的垂直关系时要通过其 他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.
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探索方法
如图，ABCD是直角梯形，ABC BAD 90, SA 面ABCD, SA AB BC 2 AD, 求面SCD与 面SAB所成的二面角的余弦值。
z
S
A
设 n ( x, y, z)是面SCD的法向量， y 1， 2,0 , SD 1， 0， 2 3.求法向量坐标 B C DC 得n (2, 1,1) 由n DC且n SD. D x AD 面SAB AD (1,0,0)是平面SAB的法向量， 6 AD n 4.求两法向量夹角
3
课前热身 (2014· 衡水高二检测)如图所示，在正方体
ABCDA1B1C1D1中，
[解析]
120° 二面角ABD1C的大小为________．
连接 DA1，DC1，以 D 为原点，建立如图所示的 → 空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则DA1＝(1,0,1) → 是平面 ABD1 的一个法向量，DC1＝(0,1,1)是平面 BCD1 的 一个法向量，所以 → → DC1· DA1 1 → → cos〈DA1，DC1〉＝ ＝2， → → |DC1||DA1| → → ∴〈DA1，DC1〉＝60° . 又二面角 ABD1C 为钝角， ∴二面角 ABD1C 的大小为 120° .
[感悟提高]
转 转
(1)本题较好地体现了转化思想：空间线面的
转
位置关系― ― →直线的方向向量、平面的法向量之间垂直 化 或共线― ― →空间向量运算― ― →空间线面位置关系；空间 化 化 角― ― →向量的夹角― ― →空间向量的运算― ― →空间角． 化 化 化 (2)向量法是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等 元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空 间向量的运算，最后把运算结果回归到几何结论．这样就 把立体几何问题转化为空间向量来研究，体现了化归与转 化思想．