周益春-材料固体力学习题解答习题三

--第三章 弹性本构关系和弹性问题的求解习题

习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出：在什么条件下，理想弹性体中的主应力方向和主应变方向相重合？

解：各向异性理想弹性体的广义虎克定律为：

zx

yz xy zz yy xx zx zx yz xy zz yy xx yz zx yz xy zz yy xx xy zx yz xy zz yy xx zz zx yz xy zz yy xx yy zx yz xy zz yy xx xx c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσγγγεεεσ666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++= （a ）

当0===zx yz xy τττ时，三个互相垂直的应力方向为主应力方向。当0===zx yz xy γγγ时，三个互相垂直的应变方向为主应变方向。在主应变方向上，剪应力分量为：

zz

yy xx zx zz yy xx yz zz

yy xx xy c c c c c c c c c εεετεεετεεετ636261535251434241++=++=++= （b ） 若使0===zx yz xy τττ，则式中xx ε，yy ε，zz ε具有非零解的条件为

063

62

61

53525143

4241=c c c c c c c c c （c ） 上式即为x ，y ，z 轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。如果材料性能对称于一个平面，如Oxy 平面，则04645363526251615========c c c c c c c c ，而且ji ij c c =，此时（c ）式恒等于零。在此情况下，当存在以x ，y ，z 轴为主方向的应变状态时，其对应的剪应力分量将成为

0434241==++=zx yz zz yy xx xy c c c ττεεετ （d ）

若应变分量之间满足0434241=++=zz yy xx xy c c c εεετ，则此点的应变主方向和应力主方向重合。如果材料性能对称于Oxy ，Oyz ，Ozx 三个平面，则有056342414====c c c c ，此时（d ）式总是满足的。由此可知，当x ，y ，z 轴为应变的主方向时，也必定为应力的主方向。但是，当应变主方向和正交轴不重合时，一般它与应力的主方向是不重合的。对于各向同性弹性体，不需要任何补充条件，应力主方向和应变主方向总是重合的。

习题2、对于各向同性弹性体，试导出正应力之差和正应变之差的关系式。且进一步证明：当其主应力的大小顺序为321σσσ≥≥时，其主应变的排列顺序为321εεε≥≥。

解：各向同性条件下的广义虎克定律为

()[]()[]()[]

)

3___(1

)2___(1

)1___(1

yy xx zz zz zz xx yy yy zz yy xx xx E

E E σσνσεσσνσεσσνσε+-=+-=+-=

将上式中的（1）－（2），（2）－（3），（3）－（1）分别得：

()()()xx zz xx zz zz yy zz yy yy xx yy xx E E E

σσνεεσσν

εεσσν

εε-+=--+=--+=

-111 即 ()()()()()()xx zz xx zz xx zz zz yy zz yy zz yy yy xx yy xx yy xx G E

G E G E εεεεν

σσεεεενσσεεεενσσ-=-+=--=-+=--=-+=-212121 证明：当其主应力的大小顺序为321σσσ≥≥时，其主应变的排列顺序为321εεε≥≥。

0>G 且321σσσ≥≥，利用上述正应力之差和正应变之差的关系式有321εεε≥≥。

习题3、将某一小的物体放入高压容器内，在静水压力2

/45.0mm N p =作用下，测得体积应变5

106.3-⨯-=e ，若泊松比v =0.3，试求该物体的弹性模量E 。

解：设kk zz yy xx σσσσ=++=Θ为第一应力不变量，而p zz yy xx -===σσσ，

pa mm N p zz yy xx 621035.1/35.13⨯-=-=-=++=Θσσσ

据各向同性条件下的广义虎克定律为有：Θ-=

E

e ν

21，其中体积应变5106.3-⨯-=++=zz yy xx e εεε，故有

()

2

421065/105.1/105.11035.110

6.33.02121mm N m N e E ⨯=⨯=⨯-⨯-⨯-=Θ-=

-ν 。 习题4、在各向同性柱状弹性体的轴向施加均匀压力p ，且横向变形完全被限制住（如图所示）。试求应力与应变的比值（称为名义杨氏模量，以c E 表示）。

解：设柱体的轴线z 轴，p zz -=σ。因为横向变形被限制， 所以0==yy xx εε。据各向同性条件下的广义虎克定律

()[]()[]

()[]

yy xx zz zz zz xx yy yy zz yy xx xx E

E E σσνσεσσνσεσσνσε+-==+-==+-=

1

01

01

得：()zz yy

xx σσ

ν

σ+=，()zz xx yy σσνσ+=，将此两式相减得：

()xx yy yy xx σσνσσ-=-，而泊松比v 的理论取值范围为

2/11<<-v ，故ν

νσσσ-=

=1zz

yy xx ，将其代入广义虎克定律得： []⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

--=-=νσνσνσσε121212zz zz xx zz zz E E

从而

()()()

νννεσ2111-+-=

=

E E zz zz c ，得解。

习题5、在某点测得正应变的同时，也测得与它成60。

和90。

方向上的正应变，其值分别为

6010100-⨯-=ε，6601050-⨯=ε，69010150-⨯=ε，试求该点的主应变、最大剪应变和主应

力（2

5

/101.2mm

N E ⨯=，

3.0=ν）。

解：设该点的x ，y 轴向的正应变分别为x ε，y ε，剪应变为xy γ。任意方向α（α为与x 轴正向的夹角）上的正应变为：

αγαεεεεεα2sin 2

2cos 2

2xy

y

x y

x -

-+

+=

，

所以2

20y

x y

x εεεεε-+

+=

，00

60120sin 2

120cos 2

2

xy

y

x y

x γεεεεε-

-+

+=

，

2

2

90y

x y

x εεεεε--

+=

，解由此三式组成的方程组得该点的x ε，y ε和xy γ分别为：

6906010150,10100--⨯==⨯-==εεεεy x ,

660

900103503

43-⨯=-+=

εεεγxy 。

（1）计算该点的主应变：

图3-1