第五章二次型自测题及答案

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第五章二型习题解答p.232~236

第五章二次型习题解答p.232~2361.(Ⅰ)用非退化线性替换化下列二次型为标准形,并利用矩阵验算所得结果. (1) 323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=解: 先作线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x ,.4)(),,(2322231321y y y y x x x f ++--=再令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=3321311)(21zy z y z z y ,得.4),,(232221321z z z x x x f ++-=相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00111100110001000110112121212121T ,则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=141AT T T.(2) f (x 1,x 2,x 3)=x 12+2x 1x 2+2x 22+4x 2x 3+4x 23.解： f (x 1,x 2,x 3)=(x 1+x 2)2+x 22+4x 2x 3+4x 23 =(x 1+x 2)2+(x 2+2x 3)2+0令112223332y x x y x x y x =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 即 11232233322x y y y x y y x y=-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 则f (x 1,x 2,x 3)==y 12+y 22. 用矩阵验算112110112012122122001024024'--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100110110221020⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭100010000⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭(3) f (x 1,x 2,x 3)=x 12-3x 22-2x 1x 2+2x 1x 3-6x 2x 3解： f (x 1,x 2,x 3)=(x 1-x 2+x 3)2-(x 2-x 3)2-3x 22-6x 2x 3 =(x 1-x 2+x 3)2-4x 22-4x 2x 3- x 32 =(x 1-x 2+x 3)2-(2x 2+x 3)2.令1123223332y x x x y x x y x=-+⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 即11232233313221122x y y y x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩则f (x 1,x 2,x 3)=y 12-y 22验算有：131100*********1110133********13000000131122⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭(4) f (x 1,x 2,x 3,x 4)=8x 1x 4+2x 3x 4+2x 2x 3+8x 2x 4.解: 令1142233414x y y x y x y x y y =+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩f (x 1,x 2,x 3,x 4)=8(y 21-y 24)+2y 3(y 1-y 4)+2y 2y 3+8y 2(y 1-y 2)=8y 21-8y 24+8y 1y 2+2y 1y 3+2y 2y 3-8y 2y 4-2y 3y 42221323423243411118()8()82822828f y y y y y y y y y y y y ∴=++-+-+--222123234343434111118()2(2)2(2)8228448y y y y y y y y y y y y =++--++-+---22123234341118()2(2)4284y y y y y y y y =++--+-令112322343344341128124z y y y z y y y z y y z y y ⎧=++⎪⎪⎪=-+⎨⎪=-⎪⎪=+⎩ 即112342234334434153288978811221122y z z z z y z z z y z zy z z ⎧=--+⎪⎪⎪=+-⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪=-+⎩ 则2222123482f z z z z =-+-矩阵验算略222212323434341118()2(2)()()284y y y y y y y y y y =++--++--+(5) f (x 1,x 2,x 3,x 4)=x 1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4解：011110111110121110A ⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭(2)022242444000202220220100220242020042222042200024200020002122020022002122002000200020*********2Pi A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪⎪⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−−−→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪4000100004000032121212100210002⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪→ ⎪--- ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭∴2121212100210002X y ---⎛⎫⎪--⎪= ⎪-⎪⎝⎭则22221234443f y y y y =---.(6) f (x 1,x 2,x 3,x 4)=43423241312122212222442x x x x x x x x x x x x x x +++++++.解 : 由配方法可得.212,)(y )2123()22(.)(21)2123(2)22(2222)22(])22()22(2[),,,(232221444334322432112432432243214342322422243224324321214321y y y f x y x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=+++=++++-+++=+++++++-++++++=得于是令且非退化的线性替换为.23244433432243211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-=-+-=y x y y x y y y x y y y y x 故替换矩阵为 ,10001100123101121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=T 且有 .02121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=AT T T(7) 22221234122334222f x x x x x x x x x x =++++++ 解： 1100111001110011A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则110010011100010011101110011001110001100010001000010001000010001A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3,(1))1001010001002200200010002000020000100010001110001001110010001000110001001200110000101210111P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪−−−−→→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭即令X=1110011001100111Y -⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎪--⎝⎭则2222123422f y y y y =+-+.(Ⅱ) 把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。

《线性代数》第五章相似矩阵及二次型精选习题及解答

6
1 6
即为单位向量。
7
二, 正交向量组 1.向量的正交：
当x, y 0时，称为向量 x 与 y 正交。
显然，零向量与任何向量正交。
1
1
如：a1
1
，a2
2
1
1
由于：a1,a2 a1a2 1 1
a1 与 a2 正交。
1
1 2
0
1
8
2,正交向量组 ⑴ 定义：一组两两正交的非零向量。 ⑵ 定理 1：正交向量组是线性无关组。即：若 n 维向量a1, a2,ar 是一组两两正交的非零
x
x2
令：[ x,
y]
x1
y1
x2
y2
xn
yn
xn
[x, y]称为向量 x 与 y 的内积。
y1
y
y2
yn
例如：x
1 2
,
3 y 1
1
0
x, y= 1 3 21 1 0 5 x, x = 12 22 (1)2 6
3
内积实际上是一种向量的运算
不难看出：X ,Y X Y Y X
向量（正交向量组），则a1, a2,ar 线性无关。证明：设有 1, 2 ,r 使
1a1 2a2 r ar 0 以a1与上式做内积，即以a1 左乘上式两端得：
1 a1 2 0 由于 a1 0 1 0 若以a2 与(1.3) 式做内积，则易知2 0 同理可证：3 4 r 0 a1 a2 ar 线性无关。
则a3
应满足齐次方程组:
Ax
O
即：1 1 1 2
1 x1 0
1
x2 x3
0
10
解此方程组：

线性代数第五章（答案）

线性代数第五章（答案）第五章相似矩阵及二次型一、是非题（正确打√，错误打×）1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ )2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ )3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ )4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ )5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ )6．若112=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × )7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × )8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × )9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ )10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ )11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ )13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ )15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ )16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ )17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ )18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ )19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵。

高等代数试题二

第五章二次型一、单项选择题 1.(6.2) 下列二次型正惯性指数等于2的是( ) A: ()2223213212),,(x x x x x x x f -++=B: 3231212322213212265),,(x x x x x x x x x x x x f +--++= C: 21232221321),,(x x x x x x x x f -++=D: 323121232221321222),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=2.(6.3) 下列矩阵合同于单位矩阵( )A: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111 B: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010101 C: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛811172121 D: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----42322331212 3.(6.4) 下列二次型属于正定的是( )A: 2221321),,(x x x x x f +=B: 212322213212),,(x x x x x x x x f +++=C: 3121232221321634),,(x x x x x x x x x x f --++= D: 323121232221321222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=4.(6.1)与二次型32212132122),,(x x x x x x x x f +-=相对应的实对称矩阵是( )A: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--020201011 B:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010101011 C: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--001001111 D: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0111001015.(6.4) n 阶实对称矩阵正定的充要条件是( ) A: A 的主对角线上元素全大于零 B: A 的所有元素都大于零 C: A 的所有主子式都大于零 6.(6.4) 如果任意()00002121全不为即n n x x x x x x ≠≠≠代入实二次型),(21n x x x f 中都有0>f 则),(21n x x x f 是( )A:正定 B:负定 C:不是正定 D:不一定正定,7.(6.1) 设二次型AX X x x x f '=),,(321，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=103001311A 则这个二次型应是( )A: 232121213x x x x x x -+- B: 2331212162x x x x x x -+- C: 233121212622x x x x x x -+- D: 23212121262x x x x x x +-+-答案：1、B; 2、C; 3、C; 4、B; 5、C; 6、D; 7、B;二、判断题 1.(6.1) (1) ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121211123,x x x x x x f 是二次型。

九年级数学下册第五章《二次函数》练习(含答案解析)

九年级下册数学第五章《二次函数》练习一、单选题1. ( 2分) 下列二次函数的图象，不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是( )A. y=3x2+2B. y=3（x﹣1）2C. y=3（x﹣1）2+2D. y=2x22. ( 2分) 由表格中信息可知，若设y=ax2+bx+c，则下列y与x之间的函数关系式正确的是（）0 1x ﹣1ax2 1ax2+bx+c 8 3A. y=x2﹣4x+3B. y=x2﹣3x+4C. y=x2﹣3x+3D. y=x2﹣4x+83. ( 2分) 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，关于此二次函数有以下四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④ab＞0，其中正确的有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 44. ( 2分) 二次函数y=x2﹣（12﹣k）x+12，当x＞1时，y随着x的增大而增大，当x＜1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（）A. 12B. 11C. 10D. 95. ( 2分) 下列抛物线中，与轴有两个交点的是（）A. y=5x2-7x+5B. y=16x2-24x+9C. y=2x2+3x-4D. y=3x2-2x+26. ( 2分) 将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（）A. y=（x﹣6）2+5B. y=（x﹣3）2+5C. y=（x﹣3）2﹣4D. y=（x+3）2﹣97. ( 2分) 若函数y=a是二次函数且图象开口向上，则a=（）A. ﹣2B. 4C. 4或﹣2D. 4或38. ( 2分) 将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A. B. C. D.9. ( 2分) 若二次函数y=-2x2+bx+c的顶点坐标为（2，-3），则此函数有（）A. 最大值2B. 最大值-3C. 最小值2D. 最小值-3二、填空题10. ( 1分) 如图是一座抛物形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m，当水面下降3m时，水面的宽为________ m．11. ( 1分) 已知抛物线y=（x﹣2）2﹣3的部分图象如图所示，若y≤0，则x的取值范围为________．12. ( 1分) 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的关系式为h=30t﹣5t2，那么小球抛出________秒后达到最高点．13. ( 1分) 矩形的边长分别为2cm和3cm，若每边长都增加xcm，则面积增加ycm2，则y与x的函数关系式为________．14. ( 1分) 二次函数的图象与x轴交于A、B两点，P为它的顶点，则________．15. ( 1分) 已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是________．16. ( 2分) 已知y=（m﹣2）+3x+6是二次函数，则m=________ ，顶点坐标是________ ．三、解答题17. ( 5分) 已知二次函数的图象经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3），求函数的关系式．18. ( 5分) 利用函数图象求2x2﹣x﹣3=0的解四、综合题19. ( 10分) 已知抛物线的对称轴是直线，（1）求证：；（2）若关于x的方程，有一个根为4，求方程的另一个根．20. ( 15分) 某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足下表中的函数关系．（1）试求y与x之间的函数表达式；（2）设公司试销该产品每天获得的毛利润为S（元），求S与x之间的函数表达式（毛利润=销售总价-成本总价）；（2）当销售单价定为多少时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大？（3）最大毛利润是多少？此时每天的销售量是多少？21. ( 10分) 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R=500+30x，P=170﹣2x．（1）当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？（2）若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？答案部分一、单选题1.【答案】D【解析】【分析】根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，对各选项分析判断后利用排除法求解。

第五章相似矩阵及二次型线性代数含答案

第五章相似矩阵及二次型5.4.1 基础练习 1. (1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证ｎ阶方阵Ａ的满足2A A =，则Ａ的特征值为0或者1.4.已知三维向量空间中，12(111),(121)TTαα==-正交，试求3123,,αααα，使得是三维向量空间的一个正交基.5. 已知向量1(111)T α=，求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，问A 能否化为对角阵？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---，通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定？5.4.2 提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =，且A 的秩为r ，试求行列式det(2E －A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，问A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，分别求出正交矩阵P ，使1P AP -为对角阵. 4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形，并求所作的可逆线性变换.5. 设A，B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵ACB⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵？6. 判别二次型22256444f x y z xy xz=---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A，B是否相似11100111100,111100nA B⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第五章参考答案5.4.1 基础练习 1.[,]cos ||||||||4αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略.4. 设3123()0Tx x x α=≠，则[][]1223,0,,0αααα==，即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交，即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者，其基础解系为： 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1）正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2）标准化令1||||i i i ςββ=，则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得，1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0，得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理，对3λ=-7，由()3A-λE x=0，求得基础解系()31,2,2Tα=，由于201120112≠，所以123,,ααα线性无关，即A 有3个线性无关得特征向量，因而A 可对角化，可逆矩阵为：123201(,,)012112P ααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步，写出对应得二次型矩阵，并求其特征值 172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭， ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫⎪-=---=-- ⎪⎪---⎝⎭，从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。

第五章二次型自测题及答案

第五章二次型自测题姓名学号一、填空题1. 实二次型112222(,)41x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为，秩为，正惯性指数为，规范形为 .2. 与对称矩阵合同的矩阵只能是矩阵.3. 复二次型12(,,,)n f x x x 的规范形由所唯一确定.4. 实二次型222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++正定i d ⇔ ，i=1,2,…,n .5. 二次型12121312321(,,,)(222)(22)2n n n n n f x x x x x x x x x x x x x x x -=++++++++的矩阵 .6. 写出实对称矩阵1032150225302⎛⎫- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭所确定的二次型123(,,)f x x x = . 7. 两个复二次型等价充分必要条件是 . 8. 两个实二次型等价充分必要条件是 . 二、判断题1. 设A 、B 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵C ，使C AC B '=，则A 与B 合同.（）2. 若A 为正定矩阵，则A 的主对角线上的元素皆大于零. （）3. 若A 为负定矩阵，则必有0A <. （）4. 实对称矩阵A 半正定当且仅当A 的所有顺序主子式全大于或等于零. （）5. 若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零. （）6. 非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型. （）7. 若实二次型1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的符号差为s ，令i j i jb a =-，则二次型1211(,,,)nnn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑的符号差为－s. （）三、选择题1. 已知二次型22123121223(,,)244f x x x x x x x x x =+--，试对它作如下非退化线性替换11223311120111002x y x y x y ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭结果为（）. A. 2221231231(,,)2f x x x y y y =-+ B. 222123123(,,)42f x x x y y y =+-C. 2221231231(,,)22f x x x y y y =-+D. 2221231239(,,)4f x x x y y y =-+ 2. 下列矩阵合同于单位矩阵的是（）.A. 111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B. 101010101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C. 121271118⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ D. 21231323242⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭3. 下面的说法正确的是（）.A. 设,A B 为n 级对称矩阵，若存在n 级矩阵C ，使C AC B '=，则A 与B 合同；B. 两个对称矩阵一定合同；C. 矩阵1001⎛⎫ ⎪⎝⎭与矩阵1001⎛⎫⎪-⎝⎭在复数域上不合同；D. 矩阵1001⎛⎫ ⎪⎝⎭与矩阵1001⎛⎫⎪-⎝⎭在实数域上不合同.4. 下面的说法不正确．．．的是（）. A. 若A 为反对称矩阵，则2A 是反对称矩阵； B. 若A 为可逆对称矩阵，则A 与1A -合同；C. 若A 为实n 级可逆矩阵，A 与A -合同，则n 必为偶数；D. 令1200AA A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1200B B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如果1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，则A 与B 合同. 5. 与二次型212311223(,,)22f x x x x x x x x =-+相对应的实对称矩阵是（）.A. 110102020-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭B.110101010-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C. 111100100-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭D. 101001110-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭6. 二次型22(,)43f x y x xy y =-+的矩阵A =（）.A. 1223-⎛⎫ ⎪-⎝⎭B.1223⎛⎫⎪⎝⎭ C. 1223⎛⎫⎪-⎝⎭ D. 1223-⎛⎫⎪⎝⎭7. 二次型123(,,)f x x x X AX '=，113100301A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则这个二次型应是（）.A. 221121233x x x x x x -+-B. 2211213326x x x x x x -+- C. 221121332262x x x x x x -+- D. 22112123262x x x x x x -+-+8. 复数域中二次型222123123121323(,,)22242f x x x x x x x x x x x x =-++++的规范形为（）. A. 222123123(,,)f x x x z z z =++ B. 222123123(,,)f x x x z z z =-+C. 2212312(,,)f x x x z z =+ D. 21231(,,)f x x x z =9. 二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2，则c =（）. A. 4 B. 3 C. 2 D. 110. 设,A B 均为n 级矩阵，且A 与B 合同，则（）.A. ,A B 相似B. A B =C. ()()r A r B =D. ,A B 有相同的特征值11. 实二次型22123121223(,,)222f x x x x x x x x x =++-的规范形为（）. A. 222123123(,,)f x x x z z z =++ B. 222123123(,,)f x x x z z z =-+C. 222123123(,,)f x x x z z z =--D. 2212312(,,)f x x x z z =+12. 下列二次型正惯性指数等于2的是（）.A. 221231232(,,)()2f x x x x x x x =++-B. 222123123121323(,,)5622f x x x x x x x x x x x x =++--+C. 22212312312(,,)f x x x x x x x x =++- D. 222123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =++-+-13. 实二次型2221231231213(,,)56444f x x x x x x x x x x =--+++的秩与符号差为（）. A. 3,1- B. 3,1 C. 2,1- D. 2,114. 对称矩阵110121010A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩和负惯性指数等于（）.A. 3,1-B. 3,1C. 2,1-D. 2,115. n 级复数对称矩阵按合同分类，即两个n 实级对称矩阵属于同一类当且仅当他们合同，共有几类？（）.A. 1n +B. nC. 2n +D. 1n - 16. 如果任意120,0,,0n x x x ≠≠≠（即12,,,n x x x 全不为0）代入实二次型12(,,,)n f x x x 中都有0f >，则12(,,,)n f x x x 是（）.A. 正定B. 负定C. 不是正定D. 不一定正定 17. 下列二次型属于正定的是（）.A. 2212312(,,)f x x x x x =+B. 22212312312(,,)2f x x x x x x x x =+++ C. 2221231231213(,,)436f x x x x x x x x x x =++-- D. 222123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =+++++ 18. 实二次型22ax bxy cy ++是正定的当且仅当（）. A. 0a >且240ac b -> B. 0a >或240ac b -> C. 0a > D. 240ac b -> 四、计算题求二次型22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---的标准形，并写出所作的非退化线性替换. 五、证明题1. 证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使A ＋P ´P ＝0.2. 实二次型1211(,,,),()nnn ij i j i j f x x x a x x X AX A A ==''===∑∑，且秩(A)＝n . 二次型1211(,,,)n nij n i j i j A g x x x x x A===∑∑，证明：f 与g 具有相同的符号差，因而有相同的正负惯性指数.第五章二次型自测题答案一、填空题1. 实二次型112222(,)41x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为，秩为，正惯性指数为，标准形为，规范形为 .答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1332，2，1，22212112x x -，2221x x - 2. 与对称矩阵合同的矩阵只能是矩阵. 答案：对称3. 复二次型12(,,,)n f x x x 的规范形由所唯一确定.答案：它的秩4. 实二次型222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++正定i d ⇔ ，i=1,2,…,n .答案：>05. 二次型12121312321(,,,)(222)(22)2n n n n n f x x x x x x x x x x x x x x x -=++++++++的矩阵 .答案：0111101111011110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭6. 写出实对称矩阵1032150225302⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭所确定的二次型123(,,)f x x x = . 答案：12132365x x x x x x -+7. 两个复二次型等价充分必要条件是 . 答案：秩相等8. 两个实二次型等价充分必要条件是 . 答案：秩相等，正惯性指数相同二、判断题1. 设A 、B 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵C ，使C AC B '=，则A 与B 合同.（ F ）2. 若A 为正定矩阵，则A 的主对角线上的元素皆大于零. （ T ）解析：由A 正定,则对任一x≠0,x T Ax > 0.取x=εi ,第i 个分量为1,其余分量都是0.则 εi T Aεi = a ii > 0,i=1,2,...,n 所以 A 的对角线上的元素都大于零.3. 若A 为负定矩阵，则必有0A <. （ F ）4. 实对称矩阵A 半正定当且仅当A 的所有顺序主子式全大于或等于零. （ F ）5. 若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零. （ F ）6. 非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型. （ T ）7. 若实二次型1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的符号差为s ，令i j i jb a =-，则二次型1211(,,,)nnn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑的符号差为－s. （ T ）三、选择题1. 已知二次型22123121223(,,)244f x x x x x x x x x =+--，试对它作如下非退化线性替换11223311011121200x y x y x y ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭结果为（）. A. 2221231231(,,2)f x x x y y y =-+ B. 222123123(,,)42f x x x y y y =+-C. 2221231231(,,)22f x x x y y y =-+D. 2221231239(,,)4f x x x y y y =-+ 答案：A2. 下列矩阵合同于单位矩阵的是（）.A. 111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B. 101010101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C. 121271118⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ D. 21231323242⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭答案：C3. 下面的说法正确的是（）.A. 设,A B 为n 级对称矩阵，若存在n 级矩阵C ，使C AC B '=，则A 与B 合同；B. 两个对称矩阵一定合同；C. 矩阵1001⎛⎫ ⎪⎝⎭与矩阵1001⎛⎫⎪-⎝⎭在复数域上不合同；D. 矩阵1001⎛⎫ ⎪⎝⎭与矩阵1001⎛⎫⎪-⎝⎭在实数域上不合同.答案：D4. 下面的说法不正确．．．的是（）. A. 若A 为反对称矩阵，则2A 是反对称矩阵； B. 若A 为可逆对称矩阵，则A 与1A -合同；C. 若A 为实n 级可逆矩阵，A 与A -合同，则n 必为偶数；D. 令1200A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1200B B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如果1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，则A 与B 合同.答案：A5. 与二次型212311223(,,)22f x x x x x x x x =-+相对应的实对称矩阵是（）.A. 110102020-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭B.110101010-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C. 111100100-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ D. 101001110-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭答案：B6. 二次型22(,)43f x y x xy y =-+的矩阵A =（）.A. 1223-⎛⎫ ⎪-⎝⎭B. 1223⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1223⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D. 1223-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 答案：A7. 二次型123(,,)f x x x X AX '=，113100301A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则这个二次型应是（）.A. 221121233x x x x x x -+-B. 2211213326x x x x x x -+-C. 221121332262x x x x x x -+-D. 22112123262x x x x x x -+-+ 答案：B8. 复数域中二次型222123123121323(,,)22242f x x x x x x x x x x x x =-++++的规范形为（）. A. 222123123(,,)f x x x z z z =++ B. 222123123(,,)f x x x z z z =-+C. 2212312(,,)f x x x z z =+ D. 21231(,,)f x x x z = 答案：A9. 二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2，则c =（）. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 答案：B10. 设,A B 均为n 级矩阵，且A 与B 合同，则（）.A. ,A B 相似B. A B =C. ()()r A r B =D. ,A B 有相同的特征值答案：C11. 实二次型22123121223(,,)222f x x x x x x x x x =++-的规范形为（）. A. 222123123(,,)f x x x z z z =++ B. 222123123(,,)f x x x z z z =-+ C. 222123123(,,)f x x x z z z =-- D. 2212312(,,)f x x x z z =+答案：B12. 下列二次型正惯性指数等于2的是（）.A. 221231232(,,)()2f x x x x x x x =++- B.222123123121323(,,)5622f x x x x x x x x x x x x =++--+C. 22212312312(,,)f x x x x x x x x =++- D. 222123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =++-+- 答案：B13. 实二次型2221231231213(,,)56444f x x x x x x x x x x =--+++的秩与符号差为（）. A. 3,1- B. 3,1 C. 2,1- D. 2,1 答案：A14. 对称矩阵110121010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩和负惯性指数等于（）.A. 3,1-B. 3,1C. 2,1-D. 2,1答案：B15. n 级复数对称矩阵按合同分类，即两个n 实级对称矩阵属于同一类当且仅当他们合同，共有几类？（）.A. 1n +B. nC. 2n +D. 1n - 答案：A16. 如果任意120,0,,0n x x x ≠≠≠（即12,,,n x x x 全不为0）代入实二次型12(,,,)n f x x x 中都有0f >，则12(,,,)n f x x x 是（）.A. 正定B. 负定C. 不是正定D. 不一定正定答案：D17. 下列二次型属于正定的是（）.A. 2212312(,,)f x x x x x =+B. 22212312312(,,)2f x x x x x x x x =+++ - C. 2221231231213(,,)436f x x x x x x x x x x =++-- D. 222123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =+++++ 答案：C18. 实二次型22ax bxy cy ++是正定的当且仅当（）.A. 0a >且240ac b ->B. 0a >或240ac b ->C. 0a >D. 240ac b -> 答案：A四、计算题1. 求二次型22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---的标准形，并写出所作的非退化线性替换.解：经过非退化线性替换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132110043104311y y y x x x ，标准形为.494232221x x x +-五、证明题1. 证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使A ＋P ´P ＝0. 证明：因为A 是负定矩阵，所以存在可逆矩阵Q 使得Q T AQ=-E, 则 A=-(Q T )-1Q -1, 令P=Q -1为所求.2. 实二次型1211(,,,),()nnn ij i j i j f x x x a x x X AX A A ==''===∑∑，且秩(A)＝n. 二次型1211(,,,)n nij n i j i j A g x x x x x A===∑∑，证明：f 与g 具有相同的符号差，因而有相同的正负惯性指数证明：f 的矩阵为A, g 的矩阵为.||1*-=A A A 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=q p T E E AP P 00, 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==----q p T T E E P A P AP P 00)()(1111，所以结论成立.。

苏科版九年级下册数学第5章二次函数含答案

苏科版九年级下册数学第5章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是( )A. B. C. D.2、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（-1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是-1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个3、已知抛物线y＝x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是( )A.－1＜x＜4B.－1＜x＜3C.x＜－1或x＞4D.x＜－1或x＞34、抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为（）A.b=2，c=﹣6B.b=2，c=0C.b=﹣6，c=8D.b=﹣6，c=25、已知抛物线与x轴交于两点，则线段AB的长度为（）A.1B.2C.3D.46、若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m有实数根x1、x2，且x1＜x2，则下列结论中错误的是（）A.当m=0时，x1=2，x2=3 B.m＞﹣ C.当m＞0时，2＜x1＜x2＜3 D.二次函数y=（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）7、在同一直角坐标系中，函数与的图像大致如图（）A. B. C. D.8、二次函数y=﹣x2+1的图象与y轴的交点坐标是（）A.（0，1）B.（1，0）C.（﹣1，0）D.（1，0）或（﹣1，0）9、将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（）A.y＝2x 2+1B.y＝2x 2﹣3C.y＝2（x﹣8）2+1D.y＝2（x﹣8）2﹣310、已知：二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示：x …﹣1 0 1 2 …y …0 3 4 3 …那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（）A.（1，4）B.（2，0）C.（3，0）D.（4，0）11、一条开口向上的抛物线的顶点坐标是（－1，2），则它有（）A.最大值1B.最大值－1C.最小值2D.最小值－212、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论错误的是（）A. b2＞4 acB. abc＞0C. a﹣c＜0D. am2+ bm≥ a﹣b （m为任意实数）13、如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：① ；② ；③ ；④ ，则的大小关系为( )A. B. C. D.14、抛物线y=ax2+bx+c的图角如图，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a<；④b>1.其中正确的结论是（）A.①②B.②③C.②④D.③④15、已知双曲线的图象如图所示，则函数与的图象大致是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、已知平面直角坐标系内有两点与，当PQ的长最小时，a 的值为________.17、已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：···-3 -2 -1 0 ······0 -3 -4 -3 ···直接写出不等式的解集是________．18、函数y= （x-1）2+3，当x________时，函数值y随x的增大而增大．19、如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝3相交于点A、B，与y轴交于点C（0，﹣1），若∠ACB为直角，则当ax2+c＜0时自变量x的取值范围是________.20、若抛物线与轴没有交点，则的取值范围为________．21、某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为________．22、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2﹣x与x轴交于点A，点P在抛物线上，连结AP．若△OAP是以OA为底边的等腰三角形，则△OAP的面积是________．23、已知二次函数的图象经过原点及点（-2，-2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为________24、将抛物线y＝ (x－1)2 +3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为________25、抛物线y＝2x2+8x+12的顶点坐标为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知函数y=2x2-(3-k)x+k2-3k-10的图象经过原点，试确定k的值。

线性代数第五章答案

线性代数第五章答案第五章相似矩阵及二次型1. 试用施密特法把下列向量组正交化:(1)=931421111) , ,(321a a a ;解根据施密特正交化方法,==11111a b ,-=-=101],[],[1112122b b b a b a b ,-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .(2)---=011101110111) , ,(321a a a .解根据施密特正交化方法,-==110111a b ,-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ?-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . 2. 下列矩阵是不是正交阵:(1)---121312112131211;解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.(2)------979494949198949891.解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明因为H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵.4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明因为A ,B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T ,(AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,故AB 也是正交阵.5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)----201335212;解 3)1(201335212||+-=-------=-λλλλλE A ,故A 的特征值为λ=-1(三重). 对于特征值λ=-1, 由----=+000110101101325213~E A ,得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 1, -1)T , 向量p 1就是对应于特征值λ=-1的特征值向量.(2)633312321;解 )9)(1(633312321||-+-=---=-λλλλλλλE A ,故A 的特征值为λ1=0, λ2=-1, λ3=9. 对于特征值λ1=0, 由=000110321633312321~A ,得方程A x =0的基础解系p 1=(-1, -1, 1)T , 向量p 1是对应于特征值λ1=0的特征值向量. 对于特征值λ2=-1, 由=+000100322733322322~E A ,得方程(A +E )x =0的基础解系p 2=(-1, 1, 0)T , 向量p 2就是对应于特征值λ2=-1的特征值向量. 对于特征值λ3=9, 由--???? ??---=-00021101113333823289~E A ,得方程(A -9E )x =0的基础解系p 3=(1/2, 1/2, 1)T , 向量p 3就是对应于特征值λ3=9的特征值向量.(3)0001001001001000.（和书后答案不同，以书后为主，但解题步骤可以参考）解22)1()1(001010010100||+-=----=-λλλλλλλE A ,故A 的特征值为λ1=λ2=-1, λ3=λ4=1. 对于特征值λ1=λ2=-1,由=+00000000011010011001011001101001~E A , 得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 0, 0, -1)T , p 2=(0, 1, -1, 0)T , 向量p 1和p 2是对应于特征值λ1=λ2=-1的线性无关特征值向量.对于特征值λ3=λ4=1, 由------=-00000000011010011001011001101001~E A , 得方程(A -E )x =0的基础解系p 3=(1, 0, 0, 1)T , p 4=(0, 1, 1, 0)T , 向量p 3和p 4是对应于特征值λ3=λ4=1的线性无关特征值向量.6. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 证明因为|A T -λE |=|(A -λE )T |=|A -λE |T =|A -λE |,所以A T 与A 的特征多项式相同, 从而A T 与A 的特征值相同.7.设n阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)<n,证明a与b有公共的特征值,有公共的特征向量.< p="">证明设R(A)=r,R(B)=t,则r+t<n.< p="">若a1,a2,,a n-r是齐次方程组A x=0的基础解系,显然它们是A的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.类似地,设b1,b2,,b n-t是齐次方程组B x=0的基础解系,则它们是B的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n,故a1,a2,,a n-r,b1,b2,,b n-t 必线性相关.于是有不全为0的数k1,k2,,k n-r,l1,l2,,l n-t,使k1a1+k2a2++k n-r a n-r+l1b1+l2b2++l n-r b n-r=0.记γ=k1a1+k2a2++k n-r a n-r=-(l1b1+l2b2++l n-r b n-r),则k1,k2,,k n-r不全为0,否则l1,l2,,l n-t不全为0,而l1b1+l2b2++l n-r b n-r=0,与b1,b2,,b n-t线性无关相矛盾.因此,γ≠0,γ是A的也是B的关于λ=0的特征向量,所以A与B有公共的特征值,有公共的特征向量.8.设A2-3A+2E=O,证明A的特征值只能取1或2.证明设λ是A的任意一个特征值,x是A的对应于λ的特征向量,则(A2-3A+2E)x=λ2x-3λx+2x=(λ2-3λ+2)x=0.因为x≠0,所以λ2-3λ+2=0,即λ是方程λ2-3λ+2=0的根,也就是说λ=1或λ=2.9.设A为正交阵,且|A|=-1,证明λ=-1是A的特征值.证明因为A为正交矩阵,所以A的特征值为-1或1.（需要说明）因为|A|等于所有特征值之积,又|A|=-1,所以必有奇数个特征值为-1,即λ=-1是A的特征值.10.设λ≠0是m阶矩阵A m?n B n?m的特征值,证明λ也是n阶矩阵BA的特征值.证明设x是AB的对应于λ≠0的特征向量,则有(AB)x=λx,于是B(AB)x=B(λx),或BA(B x)=λ(B x),从而λ是BA的特征值,且B x是BA的对应于λ的特征向量.11.已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, 3,求|A3-5A2+7A|.解令?(λ)=λ3-5λ2+7λ, 则?(1)=3, ?(2)=2, ?(3)=3是?(A )的特征值, 故 |A 3-5A 2+7A |=|?(A )|=?(1)??(2)??(3)=3?2?3=18.12. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |. 解因为|A |=1?2?(-3)=-6≠0, 所以A 可逆, 故 A *=|A |A -1=-6A -1, A *+3A +2E =-6A -1+3A +2E .令?(λ)=-6λ-1+3λ+2, 则?(1)=-1, ?(2)=5, ?(-3)=-5是?(A )的特征值, 故 |A *+3A +2E |=|-6A -1+3A +2E |=|?(A )|=?(1)??(2)??(-3)=-1?5?(-5)=25.13. 设A 、B 都是n 阶矩阵, 且A 可逆, 证明AB 与BA 相似.证明取P =A , 则P -1ABP =A -1ABA =BA ,即AB 与BA 相似.14. 设矩阵=50413102x A 可相似对角化, 求x .解由)6()1(50413102||2---=---=-λλλλλλx E A ,得A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=1.因为A 可相似对角化, 所以对于λ2=λ3=1, 齐次线性方程组(A -E )x =0有两个线性无关的解, 因此R (A -E )=1. 由-???? ??=-00030010140403101)(~x x E A r知当x =3时R (A -E )=1, 即x =3为所求.15. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值;解设λ是特征向量p 所对应的特征值, 则(A -λE )p =0, 即=???? ??-???? ??------0001112135212λλλb a ,解之得λ=-1, a =-3, b =0.(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 解由3)1(201335212||--=-------=-λλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=λ2=λ3=1. 由-???? ??----=-00011010111325211~r b E A知R (A -E )=2, 所以齐次线性方程组(A -E )x =0的基础解系只有一个解向量. 因此A 不能相似对角化.16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:(1)----020212022;解将所给矩阵记为A . 由λλλλ-------=-20212022E A =(1-λ)(λ-4)(λ+2),得矩阵A 的特征值为λ1=-2, λ2=1, λ3=4. 对于λ1=-2, 解方程(A +2E )x =0, 即0220232024321=----x x x , 得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得T)32 ,32 ,31(1=p .对于λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即0120202021321=-----x x x , 得特征向量(2, 1, -2)T , 单位化得T )32 ,31 ,32(2-=p . 对于λ3=4, 解方程(A -4E )x =0, 即0420232022321=-------x x x , 得特征向量(2, -2, 1)T , 单位化得T )31 ,32 ,32(3-=p . 于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(-2, 1, 4).(2)----542452222. （和书后答案不同，以书后答案为准，解题步骤可以参考）解将所给矩阵记为A . 由λλλλ-------=-542452222E A =-(λ-1)2(λ-10),得矩阵A 的特征值为λ1=λ2=1, λ3=10. 对于λ1=λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即=???? ?????? ??----000442442221321x x x , 得线性无关特征向量(-2, 1, 0)T 和(2, 0, 1)T , 将它们正交化、单位化得T 0) 1, ,2(511-=p , T 5) ,4 ,2(5312=p .对于λ3=10, 解方程(A -10E )x =0, 即=???? ?????? ??-------000542452228321x x x ,得特征向量(-1, -2, 2)T , 单位化得T )2 ,2 ,1(313--=p . 于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(1, 1, 10).17. 设矩阵------=12422421x A 与-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.解已知相似矩阵有相同的特征值, 显然λ=5, λ=-4, λ=y 是Λ的特征值, 故它们也是A 的特征值. 因为λ=-4是A 的特征值, 所以0)4(9524242425|4|=-=---+---=+x x E A ,解之得x =4.已知相似矩阵的行列式相同, 因为100124242421||-=-------=A , y y2045||-=-=Λ,所以-20y =-100, y =5.对于λ=5, 解方程(A -5E )x =0, 得两个线性无关的特征向量(1, 0, -1)T , (1, -2, 0)T . 将它们正交化、单位化得T )1 ,0 ,1(211-=p , T )1 ,4 ,1(2312-=p .对于λ=-4, 解方程(A +4E )x =0, 得特征向量(2, 1, 2)T , 单位化得T )2 ,1 ,2(313=p .于是有正交矩阵?--=23132212343102313221P , 使P -1AP =Λ. 18. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1,1, 0)T , 求A .解令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(2, -2, 1)=Λ, A =P ΛP -1.因为---=???? ??=--11011101101111111011P ,所以---???? ??-???? ??=Λ=-1101110111000200020111111101P P A------=244354332. 19. 设3阶对称阵A 的特征值为λ1=1, λ2=-1, λ3=0; 对应λ1、λ2的特征向量依次为p 1=(1, 2, 2)T , p 2=(2, 1, -2)T , 求A .解设=653542321x x x x x x x x x A , 则A p 1=2p 1, A p 2=-2p 2, 即 =++=++=++222222122653542321x x x x x x x x x , ---① =-+-=-+-=-+222122222653542321x x x x x x x x x . ---② 再由特征值的性质, 有x 1+x 4+x 6=λ1+λ2+λ3=0. ---③由①②③解得612131x x --=, 6221x x =, 634132x x -=,642131x x -=, 654132x x +=. 令x 6=0, 得311-=x , x 2=0, 323=x ,314=x , 325=x . 因此-=022********A . 20. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .解设=653542321x x x x x x x x x A .因为λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 所以有=???? ??1116111A , 即?=++=++=++666653542321x x x x x x x x x ---①. λ2=λ3=3是A 的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R (A -3E )=1. 利用①可推出--???? ??---=-331113333653542653542321~x x x x x x x x x x x x x x x E A .因为R (A -3E )=1, 所以x 2=x 4-3=x 5且x 3=x 5=x 6-3, 解之得x 2=x 3=x 5=1, x 1=x 4=x 6=4.因此=411141114A .21. 设a =(a 1, a 2, , a n )T , a 1≠0, A =aa T . (1)证明λ=0是A 的n -1重特征值;证明设λ是A 的任意一个特征值, x 是A 的对应于λ的特征向量, 则有A x =λx ,λ2x =A 2x =aa T aa T x =a T a A x =λa T ax , 于是可得λ2=λa T a , 从而λ=0或λ=a T a .设λ1, λ2, ? ? ?, λn 是A 的所有特征值, 因为A =aa T 的主对角线性上的元素为a 12, a 22, ? ? ?, a n 2, 所以a 12+a 22+ ? ? ? +a n 2=a T a =λ1+λ2+ ? ? ? +λn ,这说明在λ1, λ2, ? ? ?, λn 中有且只有一个等于a T a , 而其余n -1个全为0, 即λ=0是A 的n -1重特征值.(2)求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 解设λ1=a Ta , λ2= ? ? ? =λn =0.因为A a =aa T a =(a T a )a =λ1a , 所以p 1=a 是对应于λ1=a T a 的特征向量.对于λ2= ? ? ? =λn =0, 解方程A x =0, 即aa T x =0. 因为a ≠0, 所以a T x =0, 即a 1x 1+a 2x 2+ ? ? ? +a n x n =0, 其线性无关解为p 2=(-a 2, a 1, 0, , 0)T ,p 3=(-a 3, 0, a 1, , 0)T , ? ? ?,p n =(-a n , 0, 0, , a 1)T .因此n 个线性无关特征向量构成的矩阵为--=112212100), , ,(a a a aa a a nn n p p p . 22. 设-=340430241A , 求A 100. 解由)5)(5)(1(340430241||+---=----=-λλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=5, λ3=-5.对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(1, 0, 0)T . 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得特征向量p 2=(2, 1, 2)T . 对于λ1=-5, 解方程(A +5E )x =0, 得特征向量p 3=(1, -2, 1)T . 令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(1, 5, -5)=Λ, A =P ΛP -1, A 100=P Λ100P -1. 因为Λ100=diag(1, 5100, 5100),--=???? ??-=--1202105055112021012111P ,所以--???? ?????? ??-=12021050555112021012151100100100A-=1001001005000501501.23. 在某国, 每年有比例为p 的农村居民移居城镇, 有比例为q 的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n (x n +y n =1).(1)求关系式??=??++n n n n y x A y x 11中的矩阵A ;解由题意知x n +1=x n +qy n -px n =(1-p )x n +qy n , y n +1=y n +px n -qy n = px n +(1-q )y n , 可用矩阵表示为--=??? ??++n n n n y x q p q p y x 1111,因此--=q p q p A 11.(2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即??? ??=??? ??5.05.000y x , 求?n n y x .解由??=??++n n n n y x A y x 11可知??=??00y x A y x n n n . 由)1)(1(11||q p q p qp E A ++--=----=-λλλλλ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=r , 其中r =1-p -q .对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(q , p )T . 对于λ1=r ,解方程(A -rE )x =0, 得特征向量p 2=(-1, 1)T . 令??-==11) ,(21p q P p p , 则 P -1AP =diag(1, r )=Λ, A =P ΛP -1, A n =P Λn P -1.于是 11100111-??-??? ????? ??-=p q r p q A n n-??? ????? ??-+=q p r p q q p n 11001111+--++=n n n n qr p pr p qr q pr q q p 1,+--++=??? ??5.05.01n n n n n n qr p pr p qr q pr q q p y x ??-+-++=n n r p q p r q p q q p )(2)(2)(21.24. (1)设??--=3223A , 求?(A )=A 10-5A 9; 解由)5)(1(3223||--=----=-λλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=5.对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(21. 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(21-.于是有正交矩阵?-=111121P , 使得P -1AP =diag(1, 5)=Λ,从而A =P ΛP -1, A k =P Λk P -1. 因此?(A )=P ?(Λ)P -1=P (Λ10-5Λ9)P -1 =P [diag(1, 510)-5diag(1, 59)]P -1 =P diag(-4, 0)P -1-??? ??-??? ??-=1111210004111121-=??? ??----=111122222.(2)设=122221212A , 求?(A )=A 10-6A 9+5A 8.解求得正交矩阵为---=20223123161P , 使得P -1AP =diag(-1, 1, 5)=Λ, A =P ΛP -1. 于是?(A )=P ?(Λ)P -1=P (Λ10-6Λ9+5Λ8)P -1 =P [Λ8(Λ-E )(Λ-5E )]P -1=P diag(1, 1, 58)diag(-2, 0, 4)diag(-6, -4, 0)P -1 =P diag(12, 0,0)P -1---???? ?---=222033*********223123161----=4222112112. 25. 用矩阵记号表示下列二次型: (1) f =x 2+4xy +4y 2+2xz +z 2+4yz ; 解=z y x z y x f 121242121) , ,(.(2) f =x 2+y 2-7z 2-2xy -4xz -4yz ; 解-------=z y x z y x f 722211211) , ,(.(3) f =x 12+x 22+x 32+x 42-2x 1x 2+4x 1x 3-2x 1x 4+6x 2x 3-4x 2x 4.解------=432143211021013223111211) , , ,(x x x x x x x x f .26. 写出下列二次型的矩阵: (1)x x x ?=1312)(T f ;解二次型的矩阵为=1222A .(2)x x x=987654321)(T f .解二次型的矩阵为=975753531A .27. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3;解二次型的矩阵为=320230002A . 由)1)(5)(2(320230002λλλλλλλ---=---=-E A ,得A 的特征值为λ1=2, λ2=5, λ3=1. 当λ1=2时, 解方程(A -2E )x =0, 由=-0001002101202100002~E A ,得特征向量(1, 0, 0)T . 取p 1=(1, 0, 0)T . 当λ2=5时, 解方程(A -5E )x =0, 由-???? ??---=-0001100012202200035~E A ,得特征向量(0, 1, 1)T . 取T )21 ,21,0(2=p .当λ3=1时, 解方程(A -E )x =0, 由=-000110001220220001~E A ,得特征向量(0, -1, 1)T . 取T )21 ,21 ,0(3-=p .于是有正交矩阵T =(p 1, p 2, p 3)和正交变换x =T y , 使f =2y 12+5y 22+y 32.(2) f =x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 3x 4.解二次型矩阵为----=1101111001111011A . 由2)1)(3)(1(1101111001111011--+=--------=-λλλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=-1, λ2=3, λ3=λ4=1.当λ1=-1时, 可得单位特征向量T )21 ,21 ,21 ,21(1--=p .当λ2=3时, 可得单位特征向量T )21 ,21 ,21 ,21(2--=p . 当λ3=λ4=1时, 可得线性无关的单位特征向量T )0 ,21 ,0 ,21(3=p , T )21 ,0 ,21 ,0(4=p .于是有正交矩阵T =( p 1, p 2, p 3, p 4)和正交变换x =T y , 使f =-y 12+3y 22+y 32+y 42.28. 求一个正交变换把二次曲面的方程3x 2+5y 2+5z 2+4xy -4xz -10yz =1化成标准方程.解二次型的矩阵为----=552552223A .由)11)(2(552552223||---=-------=-λλλλλλλE A , 得A 的特征值为λ1=2,λ2=11, λ3=0, .对于λ1=2, 解方程(A -2E )x =0, 得特征向量(4, -1, 1)T , 单位化得)231 ,231 ,234(1-=p .对于λ2=11, 解方程(A -11E )x =0, 得特征向量(1, 2, -2)T , 单位化得)32 ,32 ,31(2-=p . 对于λ3=0, 解方程A x =0, 得特征向量(0, 1, 1)T , 单位化得)21 ,21,0(3=p .于是有正交矩阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(2, 11, 0), 从而有正交变换--=???? ??w v u z y x 21322312132231031234,使原二次方程变为标准方程2u 2+11v 2=1.29. 明: 二次型f =x T A x 在||x ||=1时的最大值为矩阵A 的最大特征值. 证明 A 为实对称矩阵, 则有一正交矩阵T , 使得TAT -1=diag(λ1, λ2, ? ? ?, λn )=Λ成立, 其中λ1, λ2, ? ? ?, λn 为A 的特征值, 不妨设λ1最大. 作正交变换y =T x , 即x =T T y , 注意到T -1=T T , 有 f =x T A x =y T TAT T y =y T Λy =λ1y 12+λ2y 22+ ? ? ? +λn y n 2. 因为y =T x 正交变换, 所以当||x ||=1时, 有||y ||=||x ||=1, 即y 12+y 22+ ? ? ? +y n 2=1.因此f =λ1y 12+λ2y 22+ ? ? ? +λn y n 2≤λ1,又当y 1=1, y 2=y 3=? ? ?=y n =0时f =λ1, 所以f max =λ1.30. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵. (1) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3;解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3 =(x 1+x 2-2x 3)2+4x 2x 3+2x 22+x 32 =(x 1+x 2-2x 3)2-2x 22+(2x 2+x 3)2.令 ??+==-+=323223211222x x y x y x x x y , 即+-==+-=323223211221225y y x y x y y y x , 二次型化为规范形f =y 12-y 22+y 32,所用的变换矩阵为--=12002102251C .(2) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3; 解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3 =(x 1+x 3)2+x 32+2x 2x 3; =(x 1+x 3)2-x 22+(x 2+x 3)2.令 +==+=32322311x x y x y x x y , 即+-==-+=3 23223211y y x y x y y y x ,二次型化为规范形f =y 12-y 22+y 32,所用的变换矩阵为--=110010111C .(3) f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3. 解 f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3.</n.<></n,证明a与b有公共的特征值,有公共的特征向量.<>。

高等代数第5章习题参考答案

第五章二次型1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。

1）323121224x x x x x x ++-；2）23322221214422x x x x x x x ++++； 3）32312122216223x x x x x x x x -+--；4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++；6）4342324131212422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++。

解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=，先作非退化线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x （1）则()312221321444,,y y y y x x x f ++-=2223233121444y y y y y y ++-+-=()222333142y y y y ++--=，再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=33223112121zy z y z z y （2）则原二次型的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=，最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=++=333212321121212121z x z z z x z z z x （3）于是相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100211212102110001021021100011011T ，且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='100040001AT T 。

2）已知()=321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++，由配方法可得()()()233222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++=()()2322212x x x x +++=，于是可令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=333222112xy x x y x x y ，则原二次型的标准形为()2221321,,y y x x x f +=，且非退化线性替换为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321122yx y y x y y y x ，相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210211T ，且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='000010001100210211420221011122011001AT T 。

《线性代数》第五章相似矩阵及二次型精选习题及解答

故， β 3 = ( −
1 3
1 3
1 3
1) T ⇒ γ 3 =
β3 3 = (− 6 β3
3 6
3 3
3 T ) 2
⎛ 3 2 4⎞ ⎜ ⎟ 例 5.3 计算 3 阶矩阵 A＝ 2 0 2 的全部特征值和特征向量. ⎜ ⎟ ⎜ 4 2 3⎟ ⎝ ⎠
n n
f ( x) = xT Ax ，其中 A T = A .
6．熟悉矩阵 A 合同（或相合）于 B 的定义，理解合同关系是等价关系. 7．熟练掌握化二次型 xT Ax 为平方和（标准形）或求实对称矩阵 A 的相合标准形的 3 种方法：正交变换法；配方法；和同型初等行、列变换法. 8．了解惯性定理，会求矩阵 A 的正、负惯性指数和符号差，会求二次型的规范形. 9．熟练掌握正定二次型（正定矩阵）的定义和判别方法. 10．熟悉实对称矩阵 A 正定（二次型正定）的各种等价命题（正定的充要条件）. 11．理解 A 正定的必要条件： a ii > 0( i = 1, 2, L , n ); det( A ) > 0 . 12．会利用正交变换化二次型为标准型和极坐标平移方法判别一般二次曲线和曲面的类型.
故 A 是正交矩阵. 例 5.2 已知向量 α 1 = (1,1, 0, 0 ) , α 2 = (1, 01, 0 ) , α 3 = ( − 1, 0, 0,1) 是线性无关向
T T T
量组，求与之等价的正交单位向量组. 解法一先正交化，再单位化 (1) 取 β 1 =
α1
(2) 令 β 2 = k β 1 + α 2 ，使得 β2 与 β 1 正交
T −1 ∗
5.3 例题分析
例 5.1 设 a 是 n 阶列向量， E 是 n 阶单位矩阵，证明 A = E −

苏科版九年级下册数学第5章二次函数含答案

苏科版九年级下册数学第5章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如果点A（2，m）在抛物线y=x2上，将抛物线向右平移3个单位后，点A同时平移到点A′，那么A′坐标为（）A.（2，1）B.（2，7）C.（5，4）D.（﹣1，4）2、y=x2+（1-a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y 在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A.a=5B.a≥5C.a＝3D.a≥33、二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是（）A. B.当时，顶点的坐标为 C.当时，D.当时，y随x的增大而增大4、对于下列结论：①二次函数y=6x2，当x＞0时，y随x的增大而增大．②关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣4，x2=﹣1．③设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是c≥3．其中，正确结论的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个5、下列说法错误的是（）A.抛物线y=﹣x 2+x的开口向下B.两点之间线段最短C.角平分线上的点到角两边的距离相等D.一次函数y=﹣x+1的函数值随自变量的增大而增大6、如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①M的最大值是2；②使得M=1的x值是−或．其中正确的说法是（）A.只有①B.只有②C.①②都正确D.①②都不正确7、在同一直角坐标系中，反比例函数图像与二次函数图像的交点的个数至少有( )A. B. C. D.8、将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A.y=（x-1）2+2B.y=（x+1）2+2C.y=（x-1）2-2D.y=（x+1）2-29、关于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0，且函数的图象开口向下时，方程ax²+bx+c=0必有两个不相等的实根；③函数图象最高点的纵坐标是；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确命题的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个10、一次函数y=ax+c（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）A. B. C.D.11、二次函数与一次函数在同一坐标系内的图象可能是图（）A. B. C. D.12、如图，矩形的长和宽分别是4和3，等腰三角形的底和高分别是3和4，如果此三角形的底和矩形的宽重合，并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合．设矩形与等腰三角形重叠部分（阴影部分）的面积为y，重叠部分图形的高为x，那么y关于x的函数图象大致应为A. B. C. D.13、已知a<-1，点（a-1，），（a，），（a+1，）都在函数y=x²的图象上，则（）A. ＜＜B. ＜＜C. ＜＜D. ＜＜14、已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线的图象经过（3，0）点，则这条抛物线的解析式是（）A.y=﹣x 2﹣4x﹣3B.y=﹣x 2﹣4x+3C.y=x 2﹣4x﹣3D.y=﹣x 2+4x﹣315、已知点三点都在抛物线的图象上，则的大小关系是（）A. ＜＜B. ＜＜C. ＜＜D. ＜＜二、填空题(共10题，共计30分)16、在坐标系内画出y＝﹣2 x2+4x﹣1的图象（要求列表）；________并完成下列填空：此抛物线中，当x________时，y随x增大而减小；当x＝________时，y有最________值为________；对称轴为________；顶点坐标为________.17、已知点A（1，y1），B（- ，y2），C（-2，y3）在y=2(x+1)2-0.5的函数图像上，请用“<“号比较y1， y2， y3的大小关系________.18、抛物线的顶点关于x轴对称的点的坐标为________.19、抛物线向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为________．20、将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是________21、已知二次函数y=kx2+2x﹣1与x轴有交点，则k的取值范围________．22、已知点A（x1， y1）、B（x2， y2）为二次函数y=（x﹣1）2图象上的两点，若x1＜x2＜1，则y1________ y2．（填“＞”、“＜”或“=”）23、若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是________ （填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．24、二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示．由图象可知不等式的解集是________．25、二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x 轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为−2，且过(0,1)，求此函数的解析式.27、如图在平面直角坐标系内，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，开口向下的抛物线经过A、B两点，且其顶点P在⊙C上。

梁保松《线性代数》习题五解答本人亲自求解

170习题五1.判断下列命题是否正确并说明理由.（1）向量的内积仍是向量；错误，向量的内积是数量；（2）正交向量组一定是线性无关的向量组；正确，见本章定理1；（3）若α与12,αα正交，则α与12,αα的任一线性组合也正交；正确，因α与12,αα正交，即()()12,,0αααα==，则()()()()()112211221122,,,,,0ααααααααααα+=+=+=k k k k k k （4）n 维向量空间中的正交向量组所包含向量的个数至多等于n ；正确，因为正交向量组是线性无关的向量组，其逆否命题是：线性相关的向量组一定不是正交向量组，而对于n 维向量组来说，1n +个n 维向量必定线性相关，因此n 维向量空间中的正交向量组至多含有n 个向量.（5）TT12(cos ,sin ),(sin ,cos )θθθθεε=-=是2R 中的标准正交基；正确，()12,0εε=，121εε==，故12,εε正交且长度为1，故是2R 中的标准正交基；（6）正交矩阵行列式的值只能是1±；正确，正交矩阵A 满足TA A =E ，2T T1A A =AA A E ===，则1=A 或1-；（7）若A 是正交矩阵，则T1,-A A 及A 的伴随矩阵*A 也是正交矩阵；正确，()()()()TTTTT T T 1111T 1,,AA AA A A A A A A -----=====E E ()()()2**11111A A A A A A AA A ----===⋅=TTTE E .（8）正交矩阵的行向量组和列向量组都是标准正交向量组.正确,见正交矩阵的性质5.3.设,n∈R αβ，证明：（1）()22222++-=+αβαβαβ；（2）=αβ，则(),0+-=αβαβ.()()()()()()()()()()()()()()()()()22221,,,,,,,,,,,,,,2,,2αβαβαβαβαβαβαβααββαβααββααβααβββααβααβββααββαβ++-=+++--=++++---=++++--+=+=+⎡⎤⎣⎦证（）()()()()()()()()()222,,,,,,,,,0αβαβαβααββααβααβββααββαβ+-=+-+=+--=-=-=（）5.设A 是实反对称矩阵，证明()()1--+E A E A 是正交矩阵.证T =A A -,则171()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11111111111+++=E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E E A E A E A E A E A E A E A E A E A E EA E A E A A ------------+-⎡⎤⎡⎤-+-+=-++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-++-=-++-⎣⎦⎣⎦=--=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--TTTT TTTTT6.证明（1）设A 是正交矩阵，若1=-A ,则A 一定有特征值1-；（2）设A 是奇数阶正交矩阵，若1=A ,则A 一定有特征值1.证（1）因T T (1),E A AA A A A E A A E E A --=--=--=--=---故0E A --=.（2）T T n (1),E A AA A A A E A A E A E E A -=-=-=-=-=--故20.E A -=10.求齐次线性方程组1234123412340,30,230.x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩解空间的一组标准正交基.解（1）因系数矩阵111111011113001211230000----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则原方程等价于124340,20.--=⎧⎨-=⎩x x x x x 分别令()()()24,1,0,0,1x x =得基础解系()()121,1,0,0,1,0,2,1TTξξ==;(2)将基础解系正交标准化：()111,1,0,0,Tβξ==()()()()2122111,1111,0,2,11,1,0,0,,2,1,222TT Tξββξβββ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，)1111,1,0,0,,0,0||22βηβ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭TT，22211,,2,1.||22βηβ⎫==-=⎪⎭TT12,ηη为其解空间的一组标准正交基.11.判断下列命题是否正确并说明理由.（1）2212121212(,)2345f x x x x x x x x =++++是二次型；错误，二次型是二次齐次多项式；（2）A 是3阶实对称矩阵，T123(,,)x x x =X ，则TX AX 是二次型；正确，二次型与实对称方阵是一一对应的；（3）等价的矩阵有相同的秩，但相似的矩阵以及合同的矩阵未必有相同的秩；错误，相似、合同变换都是初等变换，初等变换不改变矩阵的秩；（4）相似或合同的矩阵必等价；正确，相似、合同变换都是初等变换，经初等变换的矩阵是等价的；（5）合同的矩阵未必相似，相似的矩阵也未必合同；172正确，T1,P AP P AP -==B B 不能相互推得；（6）合同变换把实对称矩阵仍变为实对称矩阵；正确，这是合同不变性；（7）n 阶方阵经相似变换未必能化为对角矩阵，而n 阶实对称矩阵必能通过相似变换化为对角矩阵；正确（8）任一实对称矩阵必合同于对角矩阵，即任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形；正确（9）可逆线性变换不改变二次型的秩；正确，可逆矩阵不改变二次型矩阵的秩，即可逆线性变换不改变二次型的秩；（10）二次型通过不同的可逆线性变换化成的标准形是唯一的.错误，二次型通过不同的可逆线性变换化成的规范形是唯一的15.判断下列命题是否正确并说明理由.（1）正交变换不改变向量的长度但会改变向量间的夹角；错误，正交变换不改变向量的内积，也就不会改变向量的长度、夹角；（2）对于任一实对称矩阵A ，必存在正交矩阵P ，使T 1-==P AP P AP Λ，即实对称矩阵A 既合同又相似于对角矩阵；正确，正交矩阵P 满足1P -=T P 满足；（3）任一n 阶方阵的不同的特征值所对应的特征向量线性无关，而n 阶实对称矩阵的不同的特征值所对应的特征向量线性无关且正交；正确，见有关定理；（4）若二次型T f =X AX 对于某一非零的n 维向量X ，有T0f ==X AX ，则该二次型既不是正定也不是负定的.正确，正定（负定）要求对于任一非零的n 维向量X ，T()0X AX =><f ；（5）一个二次型，若不正定则必负定；错误，除正定、负定外，还有半正定（T0X AX ≥）、半负定（T0X AX ≤）、不定等情形；（6）n 元实二次型正定的充要条件是其负惯性指标等于0；错误，n 元实二次型正定的充要条件是其正惯性指标等于n ，这与负惯性指标等于0的意义不同；（7）n 元实二次型正定的充要条件是其正惯性指标等于二次型的秩.错误，n 元实二次型正定的充要条件是其正惯性指标等于n ，而二次型的矩阵不一定满秩；（8）n 阶实对称矩阵A 正定的充要条件是其n 个特征值非负；错误，n 阶实对称矩阵A 正定的充要条件是其n 个特征值大于零，而不是非负；（9）若0≤A ，则A 必不正定；正确，因为A 正定，则0A >，其逆否命题为：0≤A ，则A 必不正定；（10）若A 主对角线上的元素不全为正，则A 必不正定.正确，因A 正定，其主对角线上的元素大于零；其逆否命题为：A 主对角线上的元素不全为正，则A 必不正定.18.把曲线22121261x x x x ++=用正交变换化为标准曲线，并指出该曲线的类型.解()1221212122136,31⎛⎫⎛⎫=++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Tx f x x x x x x X AX x ，173（1）()()134231E A λλλλλ--==-+-,特征值124,2λλ==-；（2）对于特征值14λ=，因()331143300E A ⎛⎫⎛⎫-=→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解120.+=x x 得基础解系T1(1,1)=-ξ；对于特征值22λ=-，因()331123300E A --⎛⎫⎛⎫--=→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解120.-=x x 得其基础解系T2(1,1)=ξ；（3）12,ξξ正交，将其单位化.1111),||22ξηξ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭TT，)2221,1,,||22ξηξ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭得正交矩阵2222Q ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭.(4)即经过正交变换X QY =，将二次型化为标准形221242y y -，即把曲线22121261x x x x ++=化为2212421y y -=，此为双曲线.19.三阶实对称矩阵A 的特征值是1,1,1-，特征值1-对应的特征向量为T(0,1,1),求矩阵A 及特征值1对应的特征向量.解设矩阵A 的属于1λ=的特征向量为T123(,,),x x x ξ=由于实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交，故有T1230.x x ξξ=+=解此方程组得到的解向量TT23(1,0,0),(0,1,1)ξξ==-是矩阵A 的属于1λ=的线性无关的特征向量.由1122331,1,1A A A ξξξξξξ=-==，得123123(,,)(,,)ξξξξξξ=-A ，因123,,ξξξ线性无关，知123(,,)ξξξ可逆，得1123123(,,)(,,)ξξξξξξ-=-A 01001212100101100001.10101212010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭22.t 取何值时，矩阵1121020t t ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭是正定的？解讨论矩阵的各阶顺序主子式：()12311211110,10,1050120∆==>∆==->∆==->t t t t tt，得5t >.23.求t 的取值范围，使二次型222123123121323(,,)44224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+为正定二次型.174解11231232311(,,)(,,)42124-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭T t x f x x x x x x t x X AX x ，讨论A 的各阶顺序主子式：()()2123111110,40,4242104124-∆==>∆==->∆==+->-t t t t t t t ，得21t -<<.24.设A 是n 阶正定矩阵，证明：（1）1-A 是正定矩阵；（2）若M 是n 阶可逆方阵，则TM AM 也是正定矩阵.证（1）A 正定，故A 为实对称矩阵且||0A ≠，因而1TT 11()(),A A A ---==即1A -为实对称矩阵.设A 的特征值为λ，则1A -的特征值为1/λ.由A 正定，A 的特征值0,λ>则1A -的特征值1/0,λ>故1A -正定.（2）因A 正定，故TA A =，从而()TTT M AMM AM =,T M AM 为实对称矩阵；因M 可逆，作可逆线性变换,Y MX =则由X O ≠时，有.Y O ≠于是由A 正定，得到()T T T T ()()0.X M AM X MX A MX Y AY ==>故实二次型()TTXMAM X 正定，从而T M AM 为正定矩阵.25.设()ij a =A 是n 阶正定矩阵，证明0,1,2,,ii a i n >= .证A 为正定矩阵，则对任意向量12(,,,),X O =≠ n x x x 均有T0.X AX >取()T11,0,,0X e == ，则有()()111212122211121111211001,0,,0,,,00n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 可见，分别取()T0,,1,,0i X e == ,可得到0>ii a （1,2,,= i n ）.。

二次型测试题答案

第五章、二次型
一、选择题 1、【答案】 D. 【解析】B E i, j AE i, j ,因 E i, j 等价,合同． 2、【答案】 B. 【解析】因奇数阶顺序主子式为负,偶数阶顺序主子式为正,故 A 是负定的． 3、【答案】 C. 【解析】因为 R( A) R( B) ,故 A 与 B 等价；
3
在 B. 中,由于 a33 6 ,易知 f 0, 0,1 6 即有 X 0 0, 0,1 0 ,而 X 0 AX 0 0 ,与
T
T
正定的定义不符；在 D. 中,由于 a33 0 ,易知 f 0, 0,1 0 ,与 X 0 , X T AX 0 相矛盾；二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零,在 A. 中,二阶主子式因此 A.B.D. 均不是正定矩阵．二、填空题 1、【答案】 2
2
当 A 为正定时 ,应有 2 k 0 且 k k k 2 0 , 解此不等式组得 k 应满足的条件为 1 k 0 ． 8、【答案】 2 【解析】利用二次型的正惯性指数是其矩阵的正特征值的个数,

2

1 0 0 1 0 0 2 因为 A 0 0 1 , E A 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1
,
i i 1
【解析】实对称矩阵 A 必合同于对角阵 diag 1,1, 1, , 1, 0, 0 ,其中 1 的个数为
p , 1 的个数为 r p ,0 的个数为 n r ,由合同的传递性知： A 合同于 B A 、 B 的
秩及正惯性指数相等,故选 D. 20、【答案】 C. 【解析】二次型正定的必要条件是： aii 0

线代第五章答案

第五章二次型一、温习巩固1、写出下列二次型的矩阵1）3111A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭2）1112133223112A ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ 3）1110213302231102000A ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭4）2112132********233a a a a a A a a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭5）2221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 6）135357579A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1. 写出下列矩阵对应的二次型1）2123213(,,)2f x x x x x x =+ 2）222123123(,,)32f x x x x x x =-+3）222123123121323(,,)23246f x x x x x x x x x x x x =+++++ 4）2221234123121323(,,,)23246f x x x x x x x x x x x x x =+++++ 2. 判定下列二次型的正定性1）解： 2221231132233(,,)3648f x x x x x x x x x x =++-+的矩阵为303012328A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，130A =>，2303001A ==>，330301230328A A ==-=>-，所以123(,,)f x x x 为正定2）解: 此二次型的矩阵为320222021A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦顺序主子式3203233,20,22240.22021==>=-<所以此二次型不是正定二次型.3）22212312233(,,)(1)6f x x x x x x x x λλλ=-+-+，当λ取何值时，二次型f 为正定．解 123(,,)f x x x 的矩阵为1000303A λλλ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，110A λ=->，()210100A λλλλ-==->，()()23190A A λλ==-->3λ>从而，故当3λ>时，二次型f 为正定．二、练习提高1.求一正交变换X PY =，把二次型2123132(,,)2f x x x x x x =+化为标准型。

线性代数习题册(第五章相似矩阵及二次型参考答案)

二、计算题
7. 用施密特（Schimidt）正交化过程将向量= 组α1
1 = 1 ,α2 1
1 = 2 ,α3 3
1

4

规范正交化.
9
解：根据施密特正交化方法,
1
b=1
a=1

1

,
1
−1
b2
= a2 − [[bb11,,ab12
−1
=
1 2

0 1

,

b3
=
= b3 | b3 |
1
1 6

−2 1

。
三、证明题
8. 设α 是一个 n 维非零列向量，试证 A=
E
−
α
2 Tα
αα
T
是一个正交矩阵.
解：
AT
A
= E − α2Tα αα
T
T

E
−
2 αTα
αα
T

( A) λ −1 A n
(B) λ −1 A
(C ) λ A
( D) λ −1 A n−1
分析：设 Aξ = λξ ，又 A 可逆，所以 A−1ξ = 1 ξ ， | A | A−1ξ =| A | 1 ξ
λ
λ
⇒ A*ξ = | A | ξ ， λ
5. 设 3 阶矩阵 A 的特征值为1, 3, 5 ，则 A 的行列式 A 等于（ D ）.
第五章相似矩阵及二次型
单元 12 向量的内积与正交性
一、选择题
1. 设 x, y ∈ Rn , [ x, y] 表示向量 x 与 y 的内积，则下列不正确的是（ D ）.

第五章二次型自测题及答案

第五章 二型习题解答p.232~236

《线性代数》第五章相似矩阵及二次型精选习题及解答

线性代数第五章（答案）

高等代数试题二

九年级数学下册第五章《二次函数》练习(含答案解析)

第五章 相似矩阵及二次型 线性代数 含答案

第五章二次型自测题及答案

苏科版九年级下册数学第5章 二次函数 含答案

线性代数第五章答案

高等代数第5章习题参考答案

《线性代数》第五章相似矩阵及二次型精选习题及解答

苏科版九年级下册数学第5章 二次函数 含答案

梁保松《线性代数》习题五解答 本人亲自求解

二次型测试题答案

线代第五章答案

线性代数习题册(第五章 相似矩阵及二次型参考答案)

第五章二型习题解答p.232~236

第五章相似矩阵及二次型线性代数含答案

苏科版九年级下册数学第5章二次函数含答案

苏科版九年级下册数学第5章二次函数含答案

梁保松《线性代数》习题五解答本人亲自求解

线性代数习题册(第五章相似矩阵及二次型参考答案)