2011年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案_

２．已 知 △ＡＢＣ 的 两 条 高 线 的 长 分 别 为 ５ 和 ２０， 若第三条高线的长也是 整 数，则 第 三 条 高 线 长 的 最 大
值 为 （ ）． （Ａ）５ （Ｃ）７
（Ｂ）６ （Ｄ）８
３．方程｜ｘ２－１｜＝（４－２槡３）（ｘ＋２）的解的 个 数 为
（ ）．
（Ａ）１ 个
（Ｃ）９ 组
（Ｄ）１１ 组 ．
５．如图，菱 形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝３，ＤＦ＝１，∠ＤＡＢ ＝６０°∠ＥＦＧ＝１５°，ＦＧ⊥ＢＣ，则 ＡＥ＝（ ）
（Ａ）１＋槡２．
（Ｂ）槡６．
（Ｃ）２槡３－１．
（Ｄ）１＋槡３．
６．已 知
１ ｘ
＋ｙ１＋ｚ＝
１ ，１ ２ｙ
＋ｚ＋１ｘ ＝
１ ，１ ３ｚ
＋
ｘ１＋ｙ＝
１ ４
，则
线交于点 Ｆ，如 果 ＤＥ＝ ３４ＣＥ，
ＡＣ＝８ 槡５，Ｄ 为 ＥＦ 的 中 点，则
ＡＢ＝
．
第 二 试 （Ａ）
一、（本题满分２０分）已知 三 个 不 同 的 实 数ａ，ｂ，ｃ
满足ａ－ｂ＋ｃ＝３，方程 ｘ２＋ａｘ＋１＝０和 ｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝
０ 有 一 个 相 同 的 实 根 ，方 程ｘ２ ＋ｘ＋ａ＝０ 和ｘ２ ＋ｃｘ＋ｂ
ＡＥ 的延长线于点 Ｈ ．
由 Ｄ 为ＡＣ 的中点，知 ＣＨ＝２ＦＤ．
由 分 析 ２，ＢＦ＝４ＦＤ．
故 ＥＢＣＥ＝ＣＢＨＦ＝２．
由 ＥＢＣＥ＝ＳＳ△△ＡＡＣＢＦＦ ＝２ＳＳ△△ＡＡＢＤＦＦ ．
③
由 分 析 ２，△ＡＢＦ∽ △ＤＡＦ．
得
Ｓ△ＡＢＦ Ｓ△ＡＤＦ
＝
（ＡＢ ＡＤ
）２＝４．
④
由③、④得 ＢＥ＝２ＥＣ．
注 该证法灵活运用三角形面积比及三
角 形 相 似 的 性 质 ，别 开 生 面 ，直 截 了 当 ．
继续 探 究，还 有 其 它 的 证 法，如 用 梅 涅 劳
斯 定 理 等 ，限 于 篇 幅 ，此 不 赘 述 ．
（责 审 韩 乐 琴 ）
· ３１ · 网址：ｚｘｓｓ．ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ
第 二 试 （Ｃ） 一、（本题满分２０分）题目和解答 与（Ａ）卷 第 一 题 相同． 二、（本题满分２５ 分）如 图，已 知 Ｐ 为 锐 角 △ＡＢＣ 内一 点，过 Ｐ 分 别 ＢＣ，ＡＣ，ＡＢ 的 垂 线，垂 足 分 别 为 Ｄ，Ｅ，Ｆ，ＢＭ 为∠ＡＢＣ 的平分 线，ＭＰ 的 延 长 线 交 ＡＢ 于点 Ｎ ．如 果 ＰＤ＝ＰＥ＋ＰＦ，求 证：ＣＮ 是 ∠ＡＣＢ 的 平分线． 三、（本题满分２５分）题 目 和 解 答 与 （Ｂ）卷 第 三 题 相同．
电 子 信 箱 ：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ
（上 接 第 ３１ 页 ）
二 、填 空 题 ：（本 题 满 分 ２８ 分 ，每 小 题 ７ 分 ） １．在△ＡＢＣ 中，已 知 ∠Ｂ＝２∠Ａ，ＢＣ＝２，ＡＢ＝２
＋２槡３，则 ∠Ａ＝
．
２．二 次 函 数ｙ＝ｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ 的 图 像 的 顶 点 为 Ｄ ，与
ＢＤ 的延长线于点 Ｎ ．
助三角形中点的性质，沟通、转化，使 问 题 迎 刃
由 Ｄ 为ＡＣ 的中点，知 ＤＮ＝ＦＤ．
而解．
由 分 析 ２，ＢＦ＝４ＦＤ．
分析５ 如图３，连结 ＣＦ．
得 ＦＮ＝２ＦＤ＝ １２ＢＦ．
故 ＥＢＣＥ＝ＦＢＮＦ＝２．
即 ＢＥ＝２ＥＣ．
图３
分析４ 如 图 ３，过 点 Ｃ 作 ＣＨ ∥ＢＤ，交
＝０ 也 有 一 个 相 同 的 实 根 ．求 ａ，ｂ，ｃ 的 值 ．
二、（本 题 满 分 ２５ 分 ）如
图，在四边形 ＡＢＣＤ 中，已 知
∠ＢＡＤ＝６０°，∠ＡＢＣ＝９０°，
∠ＢＣＤ＝１２０°，对 角 线 ＡＣ，
ＢＤ 交于点Ｓ，且 ＤＳ＝２ＳＢ，Ｐ 为 ＡＣ 的 中 点．求 证：
（１）∠ＰＢＤ＝３０°；（２）ＡＤ＝ＤＣ．
三、（本题满分２５分）已 知 ｍ，ｎ，ｐ 为 正 整 数，ｍ＜
ｎ．设 Ａ（－ｍ，０），Ｂ（ｎ，０），Ｃ（０，ｐ），Ｏ 为 坐 标 原 点．若
∠ＡＣＢ＝９０°，且 ＯＡ２ ＋ＯＢ２ ＋ＯＣ２ ＝３（ＯＡ ＋ＯＢ ＋
ＯＣ）．
（１）证 明 ：ｍ＋ｎ＝ｐ＋３；
（２）求图像经过 Ａ，Ｂ，Ｃ 三点的二次函数的解析式．
（Ｂ）２ 个
（Ｃ）３ 个
（Ｄ）４ 个
４．今有长度 分 别 为 １，２，…，９ 的 线 段 各 一 条，现
从 中 选 出 若 干 条 线 段 组 成 “线 段 组 ”，由 这 一 组 线 段 恰
好可以拼接成一个正方形，则 这 样 的 “线 段 组”的 组 数
有 （ ）．
（Ａ）５ 组 （Ｂ）７ 组
ｘ 轴正方向从左至右依次交于Ａ，Ｂ 两点，与 ｙ 轴 正 方
向交于Ｃ 点，若 △ＡＢＤ 和 △ＯＢＣ 均 为 等 腰 直 角 三 角
形（Ｏ 为坐标原点），则ｂ＋２ｃ＝
．
３．能使２ｎ＋２５６是完全平方数的正整数ｎ 的值为
． ４．如 图，已 知 ＡＢ 是 ⊙Ｏ 的 直 径，弦ＣＤ 与ＡＢ 交于点Ｅ，过
点 Ａ 作 圆 的 切 线 与ＣＤ 的 延 长
第 二 试 （Ｂ）
一、（本题满分２０分）题目和解答与（Ａ）卷 第 一 题
相同． 二、（本 题 满 分 ２５ 分 ）如
图，在四边形 ＡＢＣＤ 中，已 知 ∠ＢＡＤ＝６０°，∠ＡＢＣ＝９０°， ∠ＢＣＤ＝１２０°，对 角 线 ＡＣ， ＢＤ 交于点Ｓ，且 ＤＳ＝２ＳＢ．求证：ＡＤ＝ＤＣ．
三、（本题满分２５分）已 知 ｍ，ｎ，ｐ 为 正 整 数，ｍ＜ ｎ．设 Ａ（－ｍ，０），Ｂ（ｎ，０），Ｃ（０，ｐ），Ｏ 为 坐 标 原 点．若 ∠ＡＣＢ＝９０°，且 ＯＡ２ ＋ＯＢ２ ＋ＯＣ２ ＝３（ＯＡ ＋ＯＢ ＋ ＯＣ）．求图像经过 Ａ，Ｂ，Ｃ 三点的二次函数的解析式．
数学竞赛之窗
２０１１年全国初中数学联合 竞赛试题及参考答案
第一试
一 、选 择 题 ：（本 题 满 分 ４２ 分 ，每 小 题 ７ 分 ）
１．已
知
ａ＋ｂ＝２，（１－ｂａ）２
＋
（１－ｂ）２ ａ
＝
－４，则
ａｂ
的 值 为 （ ）． （Ａ）１ （Ｂ）－１
（Ｃ）－
１ ２
（Ｄ）１２ ．
２ ｘ
＋
３ ｙ
＋
４ ｚ
的
值Ｂ）３２
（Ｃ）２
（Ｄ）５２
（下 转 第 ３２ 页 ）
檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪
（上 接 第 ３０ 页 ）
即 ＢＥ＝２ＥＣ．
分析 ３ 如 图 ３，过 点 Ｃ 作 ＣＮ ∥ＡＥ，交
注 上述三种证法都是通过 引 平 行 线，借