弹性力学简明教程(第四版)_第三章_课后作业题答案

第三章 平面问题的直角坐标解答

【3-4】试考察应力函数3ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?

【解答】⑴相容条件:

不论系数a 取何值，应力函数3ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).

⑵求应力分量

当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得

6,0,0x y xy yx ay σσττ====

⑶考察边界条件

上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；

当a>0时，考察x σ分布情况，注意到0xy τ=，故y 向无面力 左端:0()6x x x f ay σ=== ()0y h ≤≤ ()00y xy x f τ===

右端:()6x x x l f ay σ=== (0)y h ≤≤ ()0y xy x l f τ=== 应力分布如图所示，当l h 时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为

主矢，主矩

x

f x

f

主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e ：

因为在A 点的应力为零。设板宽为b ，集中荷载p 的偏心距e ：

2()0/6/6

x A p pe

e h bh bh σ=-=⇒=

同理可知，当a

<0时，可以解决偏心压缩问题。

【3-6】试考察应力函数223(34)2F

xy h y h

Φ=

-，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画

出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。

【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）

4444

22420∂Φ∂Φ∂Φ

++=∂∂∂∂x x y y

，显然满足 （2）将Φ错误!未找到引用源。代入式（2-24），得应力分量表达式

3

12,0,x y Fxy

h

σσ=-=2234(1)2==--xy yx F y h h ττ （3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：

①在主要边界上（上下边界）上，2h

y =±，

应精确满足应力边界条件式（2-15），应力()

()

/2

/2

0,0y yx y h y h στ=±=±==

因此，在主要边界2h y =±上，无任何面力，即0,022x y h h f y f y ⎛⎫⎛

⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

②在x=0，x=l 的次要边界上，面力分别为：

22340:0,1-2x y F y x f f h h ⎛⎫

=== ⎪⎝⎭

3

221234:,12x y Fly F y x l f f h h h

⎛⎫

==-

=-- ⎪⎝⎭

因此，各边界上的面力分布如图所示：

③在x=0，x=l 的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：

x=0上 x=l 上

x

y

l

/2h 图3-9

/2

h (l h

1212h/2

/2

/2/2h/2

/2

/2/2h/2/2

12-h/2

/2

=0, 0=, =0, h N x N x h h h S y S y h h h x x h x F f dy F f dy y F f dy F F f dy F M f ydy M f ydy Fl

-----======-===-⎰⎰⎰⎰

⎰

⎰

向主矢：向主矢：主矩：

因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：

(a) (b)

因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F 作用的问题。 【3-8】设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q （图3-10），试求应力分量。

【解答】采用半逆法求解。

由材料力学解答假设应力分量的函数形式。 (1)假定应力分量的函数形式。

根据材料力学，弯曲应力y σ主要与截面的弯矩有关，剪应力

xy τ主要与截面的剪力有关，而挤压应力x σ主要与横向荷载有关，本题横向荷载为零，则0x σ=

(2)推求应力函数的形式

将0x σ=，体力0,x y f f g ρ==，代入公式（2-24）有

220x x f x y

σ∂Φ

=-=∂

对y 积分，得

()f x y

∂Φ

=∂ （a ） ()()1yf x f x Φ=+ （b ）

其中()()1,f x f x 都是x 的待定函数。 （3）由相容方程求解应力函数。 将（b ）式代入相容方程（2-25），得

x

y

b

g

ρh

h

b

q

图3-10

()()44144

0d f x d f x y dx dx

+= （c ） 在区域内应力函数必须满足相容方程，（c ）式为y 的一次方程，相容方程要求它有无数多个根（全竖柱内的y 值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即

()()44140,0d f x d f x dx dx

== 两个方程要求

()()32321,f x Ax Bx Cx f x Dx Ex =++=+ （d ）

()f x 中的常数项，()1f x 中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在Φ的表达式中成为y 的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d ）式代入（b ）式，得应力函数

()()3232y Ax Bx Cx Dx Ex Φ=++++ （e ）

（4）由应力函数求应力分量

220x x f x y

σ∂Φ

=-=∂ （f ）

226262y y f y Axy By Dx E gy x

σρ∂Φ

=-=+++-∂ (g)

2232xy

Ax Bx C x y

τ∂Φ=-=---∂∂ (h)

(5)考察边界条件

利用边界条件确定待定系数A 、B 、C 、D 、E 。 主要边界0x =上（左）：

()000,()0x xy x x στ====

将（f ），（h ）代入

()00x x σ==，自然满足

0()0xy x C τ==-= （i ）

主要边界x b =上，

()0x x b σ==，自然满足