2017最新大学高数期末考试题
高数(二)期末复习题库
∫L xdy − 2 ydx = (
B
).
( D ) 4. xdy − ydx 2 2 2. 判断：若 L为正向单位圆周 x + y = 1, 则∫ = 2π .( ) 2 2 L x + y 3. 计算曲线积分 I = ∫ ( 2 xy − x 2 )dx + ( x + y 2 )dy , 其中L是由
2. 设f ( x )是周期为2π的周期函数，且
⎧ 0 , − π ≤ x < 0, 当x = π 时，它的傅里叶级数 f ( x) = ⎨ ⎩ x , 0 ≤ x < π.
收敛于：
π
2
第一型曲线积分
第10章 线面积分
⎧ x = ϕ ( t ), 1. 设f ( x , y )在曲线弧 L上连续， L的参数方程为 ⎨ ⎩ y = ψ ( t ), (α ≤ t ≤ β ), 其中ϕ ( t ),ψ ( t )在[α , β ]上具有一阶连续导数， 且ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) ≠ 0，则曲线积分 ∫ f ( x , y )ds =
∞ n =1
( B ) 若交错级数 ∑ ( −1)n un收敛，则必为条件收敛 ； (C ) 当 lim un = 0时，级数 ∑ un一定收敛;
n→ ∞ n =1 ∞
( D ) 若对级数 ∑ un的项任意加括号后所成 的新级数发散，
n =1
∞
则原级数一定发散 .
级数敛散性的判别
5. 下列命题正确的是 ( B )
L
( A) 1； ( B ) 3 ；
(C ) 2 ；
√
抛物线 y = x 2和x = y 2所围成的区域 D正向边界曲线 .
高数下期末考试试题及答案解析
WORD 格式整理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯线封号序密过超号班要学教不纸题卷试答⋯学⋯大峡．三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A）注意：1、本试卷共3页；2、考试时间110 分钟； 3 、姓名、学号必须写在指定地方题号一二三四总分得分阅卷人得分一、单项选择题（ 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）将每题的正确答案的代号 A、 B、 C或 D 填入下表中．题号12345678答案1．已知 a 与 b都是非零向量，且满足a b a b ，则必有（）.(A)a b0(B) a b0(C) a b0(D)a b02. 极限 lim( x2y2 )sin212().x0x yy0(A) 0(B) 1(C) 2(D)不存在3．下列函数中， df f 的是 ().（ A） f (x, y)xy（ B） f (x, y)x y c0 ,c0为实数（ C） f (x, y)x2y2（ D） f (x, y)e x y4．函数 f ( x, y)xy (3x y) ，原点 (0,0)是 f (x, y) 的 ().（ A）驻点与极值点（ B）驻点，非极值点（ C）极值点，非驻点（ D）非驻点，非极值点5 ．设平面区域 D : (x1)2( y 1)2 2 ，若 I 1x yd， I 2x y d ，D4D4I 33x yd，则有（） .4D（ A） I1I2I3（ B） I 1I 2I 3（ C） I 2I1I 3（ D） I 3 I 1I 26．设椭圆 L ：x2y 21的周长为 l ，则(3x2 4 y2 )ds（） .43Ll3l4l12l(A)(B)(C)(D)7．设级数a n为交错级数， a n0 (n) ，则（） .n 1(A) 该级数收敛(B)该级数发散(C) 该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛8. 下列四个命题中，正确的命题是（） .（ A）若级数a n发散，则级数a n2也发散n 1n 1（ B）若级数an2发散，则级数a n也发散n 1n 1（ C）若级数an2收敛，则级数a n也收敛n 1n 1（ D）若级数| a n |收敛，则级数an2也收敛n 1n 1阅卷人得分二、填空题 (7 个小题，每小题 2 分，共 14 分) ．3x 4 y2z60a 为.1. 直线3y z a与 z 轴相交，则常数x02．设 f ( x, y)ln( xy ), 则 fy(1,0)___________.x3．函数 f (x, y)x y 在 (3, 4) 处沿增加最快的方向的方向导数为.4．设 D : x2y22x ，二重积分( x y)d=.D5．设 f x 是连续函数，{( x, y , z) | 0z9x2y2 } ， f (x 2y 2 )dv 在的三次积分为.6. 幂级数( 1)n 1x n的收敛域是.n!n 17. 将函数 f ( x)1,x0为周期延拓后，其傅里叶级数在点1x2,0 x以 2于.专业资料值得拥有--学习资料分享----⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯线封号序密过超号班要学教不纸题卷试答⋯学⋯大峡．三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分三、综合解答题一（ 5 个小题，每小题7 分，共 35 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设 u xf ( x, x) ，其中 f 有连续的一阶偏导数，求u ，u．y x y解：4．设是由曲面z xy, y x, x 1 及 z 0 所围成的空间闭区域，求 I xy2 z3dxdydz .解：2．求曲面 e z z xy 3 在点 (2,1,0) 处的切平面方程及法线方程．解：5．求幂级数nx n 1的和函数 S(x) ，并求级数n n的和．n 1n 1 2解：3. 交换积分次序，并计算二次积分dxxsin y dy．y解：专业资料值得拥有--学习资料分享----⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯线封号序密过超号班要学教不纸题卷试答⋯学⋯大．峡三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分四、综合解答题二（ 5 个小题，每小题7 分，共 35 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解4．计算xdS ，为平面x y z 1在第一卦限部分.解：2．计算积分( x2y2 )d s，其中 L 为圆周 x2y2ax ( a0 ) ．L解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分蝌dxdy + dydz + dzdx，S其中为圆锥面 z2x2y2介于平面 z0 及 z 1之间的部分的下侧解：3．利用格林公式，计算曲线积分 I(x2y 2)d x (x 2xy)dy ，其中 L 是由抛物线 y x2和Lx y2所围成的区域 D 的正向边界曲线．yy x2x y2D专业资料值得拥有O x--学习资料分享----2017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题（8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）题号12345678答案D A B B A D C D1．已知 a 与 b 都是非零向量，且满足a b a b ，则必有（D）(A) a b0 ；(B)a b 0 ；(C) a b0 ； (D) a b0 ．2. 极限 lim( x2y2 )sin212( A )x0x yy0(A) 0；(B) 1；(C) 2；(D)不存在 .3．下列函数中， df f 的是 ( B )；（ A） f ( x, y)xy ；（ B） f ( x, y)x y c0 , c0为实数；（ C） f (x, y)x2y2；（ D） f (x, y)e x y.4．函数 f ( x, y)xy (3x y) ，原点 (0,0)是 f (x, y) 的 ( B).（A）驻点与极值点；（B）驻点，非极值点；（C）极值点，非驻点；（ D）非驻点，非极值点 .5 ．设平面区域 D： ( x 1)2( y 1)2 2 ，若 I1x y d ， I2x ydD4D4WORD 格式整理3 x yd ，则有（ A）I 34D（A） I 1I2I 3；（B） I 1I2I 3；（ C） I 2I1I 3；（D） I 36．设椭圆 L ：x2y 21的周长为 l ，则(3 x24y 2 )ds（ D）43L(A) l ；(B)3l；(C)4l ；(D)12l7．设级数a n为交错级数， a n0(n) ，则（C）n 1(A) 该级数收敛；(B)该级数发散；(C) 该级数可能收敛也可能发散；(D)该级数绝对收敛．8. 下列四个命题中，正确的命题是（D）（ A）若级数a n发散，则级数an2也发散；n1n 1（ B）若级数an2发散，则级数a n也发散；n1n 1（ C）若级数an2收敛，则级数a n也收敛；n1n 1（ D）若级数| a n |收敛，则级数a n2也收敛．n1n 1二、填空题 (7 个小题，每小题 2 分，共 14 分 ) ．3x 4 y2z60a 为31. 直线3y z a与 z 轴相交，则常数。
2017高数B期末考试题及答案
2017高数B期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数f(x)=x^2+3x-4，求f(-4)的值。
A. 0B. 1C. -1D. -3答案：B2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的结果。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B3. 求解微分方程dy/dx = 2x的通解。
A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x^2 + 2x + CD. y = 2x^2 + C答案：A4. 判断函数f(x)=|x|在x=0处的连续性。
A. 连续B. 间断C. 可导D. 不可导5. 计算二重积分∬(D) x*y dA，其中D是由x^2 + y^2 ≤ 1定义的圆盘。
A. π/4B. π/2C. πD. 2π答案：C6. 判断级数∑(n=1 to ∞) (-1)^n/n的收敛性。
A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 绝对收敛答案：A二、填空题（每题4分，共20分）7. 函数f(x)=sin(x)的导数为______。
答案：cos(x)8. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率为______。
答案：39. 函数y=ln(x)的不定积分为______。
答案：x*ln(x) - x + C10. 计算极限lim(x→0) (1/x - 1/tan(x))的值为______。
答案：1/211. 计算定积分∫(0,π/2) sin(x) dx的值为______。
三、解答题（每题10分，共50分）12. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,2]上的极值点。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。
由于f''(x)=6x-6，当x=0时，f''(0)<0，为极大值点；当x=2时，f''(2)>0，为极小值点。
计算得极大值为f(0)=2，极小值为f(2)=-2。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(山东卷,含解析)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设函数x 2y=4-的定义域A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A B =（A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) 【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<，选D.（2）已知a R ∈,i 是虚数单位，若3,4z a i z z =+⋅=，则a= （A ）1或-1 （B ）7-7或 （C ）-3 （D ）3 【答案】A【解析】由3,4z a i z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.（3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是 （A ） pq∧ （B ）p q⌝∧ （C ）p q ⌝∧ （D ）p q ⌝⌝∧【答案】B（4）已知x,y 满足x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6 【答案】C【解析】由x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x 画出可行域及直线20x y +=如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线3x +y 50=+与x -3=的交点(3,4)-时，2z x y =+最大为3245z =-+⨯=，选C. （5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170 【答案】C【解析】22.5,160,160422.570,42470166x y a y ==∴=-⨯==⨯+= ,选C.（6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0【答案】D【解析】第一次227,27,3,37,1x b a =<=>= ；第二次229,29,3,39,0x b a =<===，选D. （7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 21,2aba b a b ab ><<∴<+>= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B. （8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 【答案】C【解析】125425989C C =⨯ ,选C. （9）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A. （10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y x m =+的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞ （C ）()0,223,⎤⎡+∞⎦⎣（D ）([)0,23,⎤+∞⎦【答案】B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】()1C 3C 3rr r r rr n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．（12）已知12,e e 123-e e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .3【解析】()()2212121121223333e e e e e e e e e e λλλλ-⋅+=+⋅-⋅-=，()22212121122333232e e e e e e e e -=-=-⋅+=，()222221212112221e e e e e e e e λλλλλ+=+=+⋅+=+22321cos601λλλ=+=+，解得：33λ=． (13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .【答案】22π+【解析】该几何体的体积为21V 112211242ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+． （14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】22y x =±（15）若函数()x e f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+【答案】①④【解析】①()22xx x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质；②()33xx x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3xxe f x e x =⋅，令()3xg x e x =⋅，则()()32232xxxg x e x e x x ex '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴()3x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()22x x e f x e x =+，令()()22x g x e x =+，则()()()2222110xx x g x ex e x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．三、解答题：本大题共6小题，共75分。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷,参考解析)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：球的表面积公式 锥体的体积公式24S R =π13V Sh =球的体积公式 其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 343V R =π台体的体积公式其中R 表示球的半径 1()3a b V h S S =柱体的体积公式其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积V =Sh h 表示台体的高其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知}11|{<<-=x x P ，}02{<<-=x Q ，则=Q P A ．)1,2(-B ．)0,1(-C ．)1,0(D ．)1,2(--【答案】A【解析】取Q P ,所有元素，得=Q P )1,2(-.2．椭圆22194x y +=的离心率是 A．3B．3C ．23D ．59【答案】B【解析】e == B. 3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．π2+1 B ．π2+3 C ．3π2+1 D ．3π2+3 【答案】A 【解析】2π1211π3(21)1322V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+，选A. 4．若x ,y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x +2y 的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，+∞]D ．[4,+∞]【答案】D【解析】可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D. 5．若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B.6．已知等差数列[a n ]的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6”>2S 5的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】4652S S S d +-=，所以为充要条件，选C.7．函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，因此选D.8．已知随机变量ξ1满足P （1ξ=1）=p i ，P （1ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ8.【答案】A 【解析】112212(),(),()()E p E p E E ξξξξ==∴<111222121212()(1),()(1),()()()(1)0D p p D p p D D p p p p ξξξξ=-=-∴-=---<，选A.9．如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），PQR 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面较为α,β,γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B【解析】设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而高相等，因此αγβ<<所以选B10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I O A O B ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则A ．I １<I ２<I ３B ．I １<I ３<I ２C ． I ３<I １<I ２D ．I ２<I １<I ３【答案】C【解析】因为90AOB COD ∠=∠> ,所以0(,)OB OC OA OB OC OD OA OC OB OD ⋅>>⋅>⋅<< 选C非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2017高等数学考试题及答案
2017高等数学考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限lim(x→0) (sin x)/x 的值是多少？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是什么？A. 2x + 3B. x^2 + 3C. 2x^2 + 3xD. 3x + 2答案：A3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：B4. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx 的值是多少？A. 1/3B. 1/2C. 1/4D. 1/6答案：B5. 无穷级数∑(1/n^2) 从n=1到无穷的和是多少？A. 1B. π^2/6C. eD. ln(2)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = ln(x)的不定积分是 ________。
答案：xln(x) - x + C2. 微分方程dy/dx = 2x的通解是 y = ________。
答案：x^2 + C3. 函数f(x) = e^x 的反函数是 ________。
答案：ln(x)4. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点是 ________。
答案：x = 0 和 x = 25. 曲线y = x^2 在点(1,1)处的切线斜率是 ________。
答案：2三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点和极值。
答案：首先求导数：f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 3/3。
计算二阶导数：f''(x) = 6x - 12。
当x = 1时，f''(1) = -6 < 0，所以x = 1是极大值点，极大值为f(1) = 0。
当x = 3/3时，f''(3/3) = 2 > 0，所以x = 3/3是极小值点，极小值为f(3/3) = 2/3。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含解析)
2x
ex
1 ex ，其中 e 是自然对数的底数． 若 f ( a 1)
f (2a2) ≤ 0 ，则实数 a 的取值
范围是 ▲ ．
1 【答案】 [ 1, ]
2
【考点】利用函数性质解不等式
【名师点睛】 解函数不等式时， 首先根据函数的性质把不等式转化为 f ( g( x)) f (h(x)) 的形式， 然后
( 是点集、数集或其他
情形 ) 和化简集合是正确求解的两个先决条件．
（ 2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能
会因为不满足“互异性”而导致错误．
（ 3）防范空集．在解决有关 A B , A B 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况， 一定要先考
虑 时是否成立，以防漏解．
【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理、面面垂直性质定理 【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（ 转化为证明线线平行；（ 2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（ 证明线面垂直． 16．（本小题满分 14 分） 已知向量 a (cos x, sin x), b (3, 3), x [0, π].
5
【答案】
9
▲．
【考点】几何概型 【名师点睛】（ 1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （ 2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要 设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（ 3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，
p
p
lg x Q ，
因此 lg x 不可能与每个周期内 x D 对应的部分相等，
2017年成人高考高数真题及答案解析
2017年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（一）一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1.当0→x 时，下列变量是无穷小量的为（ ） A.21xB.x2 C.x sin D.()e x +ln 2.=⎪⎭⎫⎝⎛+→xx x 21lim 0（ ） A.e B.1-e C.2e D.2-e3.若函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0,0,21x a x e x f x，在x=0处连续，则常数a=（ ） A.0 B.21C.1D.2 4.设函数()x x x f ln =，则()='e f （ ） A.-1 B.0 C.1 D.25.函数()x x x f 33-=的极小值为（ ） A.-2 B.0 C.2 D.46.方程132222=++z y x 表示的二次曲面是（ ） A.圆锥面 B.旋转抛物面 C.球面 D.椭球面7.若()1210=+⎰dx k x ，则常数=k （ ） A.-2 B.-1 C.0 D.18.设函数()x f 在[]b a ,上连续且()0>x f ，则（ ） A.()0>dx x f ba ⎰B.()0<dx x f ba ⎰C.()0=⎰dx x f ba D.()dx x f ba⎰的符号无法确定9.空间直线231231-=-+=-z y x 的方向向量可取为（ ） A.（3，-1,2） B.（1，-2,3） C.（1,1，-1） D.（1，-1，-1）10.一直a 为常数，则幂级数()∑∞=+-121n nan （ ） A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.敛散性与a 的取值有关 二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。
将答案填写在答题卡相应题号后。
11.()=--→2sin 2lim2x x x _________12.曲线121++=x x y 的水平渐进方程为_________ 13.若函数()x f 满足()21='f ，则()()=--→11lim 21x f x f x _________ 14.设函数()xx x f 1-=，则()='x f _______15.()⎰-=+22cos sin ππdx x x _______16.⎰+∞=+0211dx x __________ 17.一直曲线22-+=x x y 的切线l 斜率为3，则l 的方程为_________ 18.设二元函数()y x z +=2ln ，则=∂∂xz_________ 19.设()x f 为连续函数，则()='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰xdt t f 0__________ 20.幂级数∑∞=03n n nx 的收敛半径为_________三、解答题：21～28题，共70分，接答应写出推理、演算步骤21.求201sin lim x x e x x --→22.设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=3211ty tx ，求dx dy23.已知x sin 是()x f 的一个原函数，求()⎰'dx x f x24.计算dx x⎰+401125.设二元函数122+-+=y x y x z ，求yx zx z ∂∂∂∂∂2及26.计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 22，其中区域(){}4,22≤+=y x y x D27.求微分方程2x dxdyy 的通解28.用铁皮做一个容积为V 的圆柱形有盖桶，证明当圆柱的高等于底面直径时，所使用的铁皮面积最小2017年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（一）试题答案解析1.【答案】C【解析】00sin sin lim 0==→x x2.【答案】C【解析】222021lim 21lim e x x xx xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅→→3.【答案】B【解析】因为函数()x f 在0=x 处连续，则()()21021lim lim 00====-→→f a e x f x x x4.【答案】D【解析】因为()()1ln ln ln +='+='x x x x x f ，所以()21ln =+='e e f 5.【答案】A【解析】因为()332-='x x f ，令()0='x f ，得驻点11-=x ，12=x ，又()x x f 6='' ()0<61-=-''f ，()0>61=''f ，所以()x f 在12=x 处取得极小值，且极小值()2311-=-=f6.【答案】D【解析】可将原方程化为13121222=++z y x ，所以原方程表示的是椭球面。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理(山东卷,含答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)；如果事件A 、B 独立，那么P （AB ）=P(A)﹒P(B)第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂= （A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) （2）已知a R ∈,i是虚数单位，若,4z a z z =+⋅=，则a= （A ）1或-1 （B（C ）（D（3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是 （A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q （4）已知x,y 满足x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170 （6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0（7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<（8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 （9）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A（10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .（12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 . (13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 . （15）若函数()x e f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+三、解答题：本大题共6小题，共75分。
四川大学高等数学2017期末试卷参考答案
Ω
Ω
用截面法计算三重积分
˚
ˆ
z2dxdydz =
1¨ dz
ˆ z2dxdy =
1
z2 · π(1 − z2) =
2 π,
0
0
15
Ω
Dz
或者用球面坐标计算三重积分
˚
ˆ 2π ˆ
z2dxdydz = dθ
π/2 ˆ dϕ
1
r2 cos2 ϕ · r2 sin ϕdr =
2 π,
0
0
0
15
Ω
˜
˝
因此， x2dydz + y2dzdx + 5z3dxdy = 15 z2dxdydz = 2πＮ
解方程组可得：x
=
1 ，y 2
=
1，z
=
10，于是Vmax
=
20Ｎ
五、证明题：（Ｗ分）
˜
设区域D为x2 + y2 1，I = sin(x2 + y2)5/2dxdy，求证：（Ｑ）I =
2π
´证01 明t si：n t（5dＱt）；I（=Ｒ）´02Iπ<dθ72´π01；ρ s（inＳDρ）5dIρ
> =
L与l之间的区域记为D，l围成的区域记为D ，那么由格林公式，
˛
˛
˛
ydx − xdy
ydx − xdy ydx − xdy
x2 + y2 =
x2 + y2 +
x2 + y2
L
L¨−l
˛l
1
= 0dxdy + ydx − xdy
2
D¨
l
1
= 2 − 2dxdy = −2π.
东北大学文科高数一期末试卷练习题 (5)
…
本试卷 共 3 页第 1 页
…
学院 班级 学号 姓名
…
… 2. 求由 xy2 ey cos(x2 ) 0 所确定函数的微分 dy . …
… 解.由于： y2dx 2xydy eydy 2x sin(x2 )dx 0
2分
…
○ …
所以，
dy
2x sin(x2 ) 2xy ey
y2
dx
x
(1 cos t)dt
3.
lim
x0
0
x sin x2
__________1/6_________.
4.向量组1 (1, 2,1)T ，2 (2, 3, 4)T ，3 (1, 1, 3)T 的秩 r{1, 2 ,3} ___ 2 ____ .
… 2.下列函数在指定的变化过程中，哪个是无穷小？[ D ];
9/2
2分 3分 4分
本试卷 共 3 页第 2 页
学院 班级 学号 姓名
…
…
…
得分：
…
六.（4
分）
a
为何值时线性方程组
x1 x2 2x3 3x4 1 2x1 x2 3x3 4x4 2
有解？有
3x1 3x2 4x3 5x4 a
…
○
…
解 .由于
解时求其通解.
…
1 1 2 3 1 1 5 0 1 1
A
的逆矩阵
A1
[
C ];
lim x( 1 sin x 1 sin x )
2分
x0
2sin x
1
3分
线 … …
( A)
4 2
13
；
(B)
1 2
43 ，
高数(二)期末考试试卷及答案
2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（B）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A、B、C或D填入下表中．1．a与b是向量，若baba+=+，则必有（）(A)⊥a b(B)0,0==a b或(C)a=b(D)⋅=a b a b2.()(),0,1sin()limx yxyx→=( ).（A）不存在（B）1（C）0（D）∞3．二元函数),(yxfz=在),(yx处可微的充要条件是（）（A）),(yxf在),(yx处连续（B）),(yxfx'，),(yxfy'在),(yx的某邻域内存在（C）),(yxfx'，),(yxfy'在),(yx的某邻域内连续（D）当0)()(22→∆+∆yx时，yyxfxyxfzyx∆'-∆'-∆),(),(是4．对函数(,)f x y=(0,0)是(,)f x y的( ).（A）驻点与极值点（B）驻点，非极值点（C）极值点，非驻点（D）非驻点，非极值点5．设平面区域D：1)1()2(22≤-+-yx，若21()dDI x yσ=+⎰⎰，32()dDI x yσ=+⎰⎰则有（）（A）21II<（B）21II=（C）21II>（D）不能比较6．设椭圆L：13422=+yx的周长为l，则()dLx y s+=⎰（）(A)0 (B) l (C) l3 (D) l47．下列结论正确的是( )(A)若11nnuu+<(1,2,)n=成立，则正项级数1nnu∞=∑收敛(B)当0lim=∞→nnu时，交错级数1(1)nnnu∞=-∑收敛(C)若级数1nnu∞=∑收敛，则对级数的项任意加括号后所成的新级数也收敛(D) 若对级数1nnu∞=∑的项适当加括号后所成的新级数收敛，则原级数也收敛8.设∑∞=1nnnxa的收敛半径为(0)R R>，则∑∞=12nnnxa的收敛半径为( A )(A) (B) R(C) 2R(D) 不能确定二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1．过点(1,2,3)且方向向量为(1,2,3)=n的直线方程为；2.设z是方程e zx y z+-=所确定的,x y的隐函数，则(1,0,0)zx∂=∂；3.设22(,)f x y x y=-，则(1,1)f=grad；4. 交换积分1d(,)dyy f x y x⎰的积分次序，变为；5．设L是直线21y x=+上从点（0，1）到点（1，3）的线段，将(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰转换成对弧长的曲线积分为；6.幂级数11(1)nnnxn∞-=-∑的收敛域是；7.设有周期为π2的函数，它在(,]ππ-上的表达式为()⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππxxxxf,1,1，其傅里叶级数在点π=x处收敛于.三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名……………………．……答题不要超过密封线…………．………………………………三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设(,)z z x y =由方程(23,2)0F x z y z --=所确定，其中F 是可微函数，求d z ． 解： 2.求曲面32=++xy z e z在点)0,1,2(处的切平面方程与法线方程. 解：3.计算二重积分22()d Dxxy y σ++⎰⎰，其中D 由1,0,0=+==y x y x 所围成．解：4．计算(1)d I x v Ω=+⎰⎰⎰，其中Ω是以原点(0,0,0)为形心，边长为a 正立方体．解：5．求幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域与和函数．解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短． 解： 2.计算d d Ly x x y -+⎰，其中L 是沿圆周1)1()1(22=-+-y x 正向一周．解：3．计算d Lxy s ⎰，其中L 为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：)0(222≥=+y x y x ．解：4．计算积分d I z S =∑⎰⎰，其中∑是上半球面222y x a z --=，(0)a >.解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分(cos cos cos )d x y z S ∑αβγ++⎰⎰， 其中∑为锥面222x y z +=介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧， (cos ,cos ,cos αβγ)是∑上点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦．解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(B)答案及评分标准一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）1．a 与b 是向量，若b a b a +=+，则必有（D ）(A)⊥a b ； (B)0,0==a b 或； (C)a =b ； (D)⋅=a b a b ．2.()(),0,1sin()limx y xy x →=( B ).（A ） 不存在；（B ） 1； （C ） 0； （D ） ∞ .3．二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充要条件是（ C ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内连续； (D)当0)()(22→∆+∆y x 时，y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000是比4．对函数(,)f x y =(0,0)是(,)f x y 的( C ). （A ）驻点与极值点； （B ）驻点，非极值点； （C ）极值点，非驻点； （D ）非驻点，非极值点. 5．设平面区域D ：1)1()2(22≤-+-y x ，若21()d DI x y σ=+⎰⎰，32()d DI x y σ=+⎰⎰则有（ A ）（A ）21I I <； （B ） 21I I =； （C ）21I I >； （D ）不能比较．6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则()d L x y s +=⎰（A ） (A)0； (B) l ； (C) l 3； (D) l 4．7．下列结论正确的是 ( C )(A) 若11n n u u +<(1,2,)n =成立，则正项级数1n n u ∞=∑收敛； (B) 当0lim =∞→n n u 时，交错级数1(1)nnn u∞=-∑收敛；(C) 若级数1nn u∞=∑收敛，则对级数的项任意加括号后所成的新级数也收敛； (D) 若对级数1nn u∞=∑的项适当加括号后所成的新级数收敛，则原级数也收敛．8.设∑∞=1n nnx a的收敛半径为(0)R R >，则∑∞=12n n n x a 的收敛半径为 ( A )(A)(B) R ； (C) 2R ； (D) 不能确定．二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1．过点(1,2,3)且方向向量为(1,2,3)=n 的直线方程为123123x y z ---==．2.设z 是方程e zx y z +-=所确定的,x y 的隐函数，则(1,0,0)z x ∂=∂_______12_____ 3.设22(,)f x y x y =-，则(1,1)f =grad （2，-2） ． 4.交换积分10d (,)d yy f x y x ⎰的积分次序为______21d (,)d xxx f x y y ⎰⎰___．5．设L 是直线21y x =+上从点（0，1）到点（1，3）的线段， 将(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰转换成对弧长的曲线积分为2)P Q ds +⎰． 6.幂级数11(1)nn n x n∞-=-∑的收敛域是 (1,1]- . 7.设有周期为π2的函数，它在(,]ππ-上的表达式为()⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10,1，其傅里叶级数在点π=x 处收敛于2π. 三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设(,)z z x y =由方程(23,2)0F x z y z --=所确定，其中F 是可微函数，求d z ． 解：d d d x y z z x z y =+………………2分12121222d d 33F F x y F F F F =-+-----………………5分12122d 2d 3F x F y F F +=+．………………7分或解：由12(2d 3d )(2d d )0F x z F y z ⋅-+⋅-=，得12122d 2d d 3F x F yz F F +=+．2.求曲面32=++xy z e z在点)0,1,2(处的切平面方程与法线方程. 解：令32),,(-++=xy z e z y x F z，………………2分 则2,,+===z z y x e F x F y F ，故(2,1,0)(1,2,3)n………………4分所求切平面的方程为 03)1(2)2(=+-+-z y x ， 即432=++z y x ， ………………6分法线方程为32112zy x =-=-.………………7分 3.计算二重积分22()d Dx xy y σ++⎰⎰，其中D 由1,0,0=+==y x y x 所围成．解：22()d Dxxy y σ++⎰⎰=1-1220d ()d x x x xy y y +++⎰⎰………………4分1320515()d 62324x x x x =-+-+=⎰．………………7分4．计算(1)d I x v Ω=+⎰⎰⎰，其中Ω是以原点(0,0,0)为形心，边长为a 正立方体．解：Ω的形心为(0,0,0)，Ω的体积V 为3a ，………………4分 故3I xV V V a =+==.………………7分5．求幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域与和函数．解：因为11limlim 12n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===+，所以1R = ． ………………1分 在左端点1x =-，幂级数成为0(1)1nn n ∞=-+∑，它是收敛的；在右端点1x =，幂级数成为011n n ∞=+∑，它是发散的，故该幂级数收敛域为[1,1)-． ………………3分令0()1nn xs x n ∞==+∑，[1,1)x ∈-，于是1()1n n x xs x n +∞==+∑，[1,1)x ∈-，逐项求导，得(())xs x '=101n n x n +∞='⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑=101n n x n +∞='⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑=0n n x ∞=∑=11x -，(1,1)x ∈- 将上式两端从0到x 积分，得01()d ln(1),111xxs x x x x x==---≤<-⎰， （根据和函数的连续性，当1x =-时，此式也成立）．于是，当0x ≠时，1()ln(1)s x x x=--，又(0)1s =．故 1ln(1), [-1,0)(0,1),()1, 0.x x s x xx ⎧--∈⎪=⎨⎪=⎩ ………………7分四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短． 解： 设),(y x 为椭圆4422=+y x 上任一点，则该点到直线0632=-+y x 的距离为13326yx d --=；令)44()326(222-++--=y x y x L λ，………………2分于是由224(623)20,6(623)80,440,x y L x y x L x y y L x y λλλ⎧=---+=⎪=---+=⎨⎪=+-=⎩ 得驻点 183(,)35M ，283(,)55M -，383(,)55M --，483(,)55M -，………………5分依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在， 其中1313133261min =--=M yx d 即为所求．………………7分 2.计算d d Ly x x y -+⎰，其中L 是沿圆周1)1()1(22=-+-y x 正向一周．解： 圆周1)1()1(22=-+-y x 所围区域D 的面积为 π⋅21，………………3分 由格林公式得d d (11)d d LDy x x y x y -+=+⎰⎰⎰=π2．………………7分3．计算d Lxy s ⎰，其中L 为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：)0(222≥=+y x y x ．解： :L 1cos {,[0,]sin x t t y tπ=+∈=，………………3分d (1cos )sin d 2Lxy s t t t π=+=⎰⎰．………………7分4．计算积分d I z S =∑⎰⎰，其中∑是上半球面222y x a z --=，(0)a >.解：d d S x y =d x y ………………3分d DI x y =………………5分3d d d DDx y a x y a π===⎰⎰．………………7分5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分(cos cos cos )d x y z S ∑αβγ++⎰⎰， 其中∑为锥面222x y z +=介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧， （cos ,cos ,cos αβγ）是∑上点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦． 解：设∑1为221(1)z x y =+≤的上侧，………………2分 则∑与∑1一起构成一个闭曲面， 记它们围成的空间闭区域为1=∑∑Ω+， 由高斯公式得 1(cos cos cos )d x y z S ∑∑αβγ+++⎰⎰3d d d x y z Ω=⎰⎰⎰=π………………4分而 22111(cos cos cos )d d d d d x y x y z S z x y x y ∑αβγπ∑+≤++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，………………6分因此 (cos cos cos )d x y z S ∑αβγ++⎰⎰=0 ………………7分。
2017高等数学试题及答案
2017高等数学试题及答案一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1. 函数y=x^2+1的导数是（）。
A. 2x+1B. 2xC. x^2D. 1答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是（）。
A. 0B. 1C. πD. 2答案：B3. 定积分∫(0,1) x^2 dx 的值是（）。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A4. 微分方程dy/dx = x的通解是（）。
A. y = x^2 + CB. y = e^x + CC. y = ln(x) + CD. y = sin(x) + C答案：A5. 函数y=e^x的不定积分是（）。
A. e^x + CB. e^x - CC. e^x * ln(x) + CD. e^x / x + C答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）6. 函数y=ln(x)的二阶导数是________。
答案：1/x^27. 极限lim(x→∞) (1/x) 的值是________。
答案：08. 定积分∫(0,π) sin(x) dx 的值是________。
答案：29. 微分方程dy/dx = y/x的通解是________。
答案：y = Cx10. 函数y=x^3的不定积分是________。
答案：1/4 * x^4 + C三、计算题（本题共4小题，每小题10分，共40分）11. 求函数y=x^3-3x+2的一阶导数和二阶导数。
答案：一阶导数：y' = 3x^2 - 3二阶导数：y'' = 6x12. 计算极限lim(x→2) [(x^2 - 4) / (x - 2)]。
答案：lim(x→2) [(x^2 - 4) / (x - 2)] = 413. 计算定积分∫(1,e) (1/x) dx。
答案：∫(1,e) (1/x) dx = ln(e) - ln(1) = 114. 求解微分方程dy/dx = 2x + 3，且y|_(x=0) = 1。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,参考解析)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，若A B ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 .5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= .6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是7.记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}na 的各项均为实数，其前n 项的和为S n，已知36763，44SS ==， 则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是11.已知函数()3xx12x+e -e-f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a ≤f f 0，则实数a 的取值范围是 。
2017级第一学期《高等数学》期末考试试卷(A类)
2017级第一学期《高等数学》期末考试试卷 (A 类)一、单项选择题（本题共15分，每小题3分）1. 下列曲线中必有渐近线的是 （ ）（A ）cos =+y x x ； （B ）2cos =+y x x ；（C ）1cos =+y x x ； （D ）21cos =+y x x。
2. 平面221x y z +-=与直线212122x y z ---==-的夹角是 （ ） （A ）8arcsin 9； （B ）8arccos 9； （C ）4arcsin 9； （D ）4arccos 9。
3. 若21()|1|2()d f x x f x x -=-+⎰，则()f x 等于 （ ） （A ）1()|1|2f x x =-+； （B ）()|1|1f x x =--； （C ）3()|1|5f x x =-+； （D ）3()|1|5f x x =--。
4. 下列选项中，肯定不是某个二阶常系数线性微分方程的一组解的是 （ ）（A ）e x x +，22e x x --，2e x x -+；（B ）e e x x x -+，2+e x x xe x -，e e x x x x -+；（C ）e 1x x -+，2x -，e x x -； （D ）(e 1)x x +，e 2e x x x --，+2+2e x x xe x -。
5. 对于命题：① 设函数f 在R 上可积，则f 在R 上连续的充要条件是变上限积分 0()()d xx f t t Φ=⎰在R 上可导； ② 若R 上的单调函数f 有原函数，则对于任意取定的常数a 和b ，必存在 ξ∈R ， 使得()d ()()ba f x x fb a ξ=-⎰， 下述选项正确的是 （ ）（A ）①错误，②正确； （B ）①正确，②错误；（C ）①和②均正确； （D ）①和②均错误。
二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设可导函数()=y f x 由方程cos()ln 1+-=xy y x 确定，则2lim [()1]n n f n→∞-=___________。
2016-2017高数二、二期末试题答案
课程名称:高等数学(二、二）（期末试卷）答案要求：1.答案一律写在答题纸上，写在其它位置无效 2.答题纸单独收，与试卷和草稿纸分开。
一、填空题（每空3分,共15分） 1．微分方程()460yxy y ''-+=的通解中含任意常数的个数为 4 个.2. 以函数2y x Cx =+为通解的一阶微分方程为2xy x y'=+.3. 若级数1n n u ∞=∑的部分和为21n ns n =+，则级数1n n u ∞=∑的和s = 2 .4. 为使级数()11np n n∞=-∑条件收敛，则常数p 的取值范围为01p <≤.5. 设幂级数1nn n a x ∞=∑的收敛区间为()3,3-，则幂级数()111n n n na x ∞-=-∑的收敛区间为()2,4-.二、单项选择题（每小题3分,共15分） 1．设,,xxx e e-是某二阶线性非齐次微分方程的三个特解，则该微分方程的通解为（ D ）.(A) 12xy C x C e =+； (B) 123x x y C x C e C e -=++；(C) ()12x x y C x C e e -=+-； (D) ()()12x x y C e x C e x x -=-+-+. 2．将微分方程()21yy y '''-=降为一阶微分方程时，做变量代换y p '=，则（ C ）.(A) y p '''=； (B) dp y ydy ''=； (C) dp y p dy ''=； (D) dp y x dx''=. 3．微分方程23y y x '''-=的特解形式为（ B ）.（其中,,a b c 为常数）(A)*2y ax bx c =++； (B) ()*2y x ax bx c =++；(C) ()*y x ax b =+； (D) ()*22y x ax bx c =++． 4．若级数1nn u∞=∑收敛，则必收敛的级数为（ A ）．(A) ()11n n n u u ∞+=+∑ （B ）()11nn n u n ∞=-∑ （C ）21n n u ∞=∑ （D ）()2121n n n u u ∞-=-∑5. 级数()1113n n n -∞=-∑的和s =（ A ）．(A)14 ； (B) 13 ； (C) 12； (D) 1 . 三、判断下列常数项级数是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛（每小题7分,共21分） 1.13n n n ∞=∑ ； 解：由正项级数的比值判别法11131lim lim 133n n n n n nu n u n ++→∞→∞+=⋅=<，所以该级数收敛，又因是正项级数，收敛的正项级数绝对收敛。
高数考试题(补考)
班 级 学 号 姓 名
二、填空题（5个小题，每小题4分，共20分） 7. 已知21)1('=
f ，则=--→h
f h f h )
1()1(lim 0 ； 8. 如果dt t x x ⎰
=
2
sin )(ψ，则=)('x ψ ；
9． =⎰xdx ln ； 10. =⎰+∞
-dx e x 02
x 11. 方程
y e dx
y
-x d =的通解为 。
三、计算题（4个小题，共41分，要求有必要的解题步骤）
12．（7分) 求极限x x x x 20
sin 2arcsin lim
→；
13.（7分）由参数方程为参数）
t 为常数，a ，（其中)
cos 1(y )sin (x ⎩⎨
⎧-=-=t a t t a ，所确定的函数的一阶导数dx
y
d ；
14.（7分)设 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=3
0,902,x
)(2
x x x x f ，求 ⎰
-3
2
)(dx
x f ；
15.（10分) 求
⎰
dx x
x 4
-
1
；
16．（10分）求微分方程 x e y y y 2'
2"=+-的通解。
四、应用题与证明题（2个小题，共15分，要求有必要的解题步骤） 17. （7分）求内接于半径为R 的圆内的长方形的最大面积。
.
18. （8分）曲线 1=xy 与直线 3x 及1x ==，及x 轴围成一个曲边梯形，求该图
形绕 x 轴旋转 一周所得旋转体的体积；。
2017高等数学考试题及答案
2017高等数学考试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 极限的定义是：A. 数列的极限B. 函数的极限C. 无穷小的极限D. 无穷大的极限答案：B2. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^2 + xD. f(x) = x^2 - x答案：A3. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = e^xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = ln(x)D. f(x) = x^2答案：B4. 以下哪个函数的导数为0？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^0D. f(x) = x^(-1)答案：C5. 以下哪个函数的不定积分为ln|x|？A. f(x) = xB. f(x) = 1/xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x^2答案：B6. 以下哪个选项是正确的洛必达法则的应用？A. 0/0 形式B. ∞/∞ 形式C. 0×∞ 形式D. ∞-∞ 形式答案：A7. 以下哪个选项是正确的二重积分的性质？A. 可交换积分顺序B. 可交换积分顺序，但需满足Fubini定理C. 不可交换积分顺序D. 可交换积分顺序，但需满足Lebesgue定理答案：B8. 以下哪个选项是正确的多元函数偏导数的定义？A. ∂f/∂x = lim(h->0) [(f(x+h, y) - f(x, y))/h]B. ∂f/∂x = lim(h->0) [(f(x, y+h) - f(x, y))/h]C. ∂f/∂y = lim(h->0) [(f(x+h, y) - f(x, y))/h]D. ∂f/∂y = lim(h->0) [(f(x, y+h) - f(x, y))/h]答案：D9. 以下哪个选项是正确的线性代数中矩阵的性质？A. 矩阵的行列式总是正数B. 矩阵的行列式可以是0C. 矩阵的行列式总是负数D. 矩阵的行列式总是1答案：B10. 以下哪个选项是正确的特征值和特征向量的定义？A. 特征值是矩阵的对角线元素B. 特征向量是矩阵的列向量C. 特征值是矩阵的非零行列式D. 特征值是满足Av=λv的λ，其中A是矩阵，v是特征向量答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是______。
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2x
2y
4e
4
x0
x0
y
则k
3
22
1y
4
45
3 22
25
1
2
8.函数 f ( x )
xe x 在 x 0
1 处的二阶泰勒公式为 f ( x )
e 2e x 1
3e
2
x1
2
3
e
6
3
x1
n
解由f
x
n
x ex ,代入泰勒公式即得
二．选择题： （每小题 4 分，共 32 分，每小题的四个选项中只有一个是正确的，要求写出简答过程，并且将答 案对应的选项的字母填入题后括号里）
C. f ( x ) 0, f ( x ) 0 ； D. f ( x ) 0, f ( x ) 0 。
解 设 x 0,
则x
,0
f -x f x
f -x f x
又 f -x 0
fx
f x0
由 f -x
f x且 f
x0
则f x 0
y 8. 函 数 f ( x ) 对 一 切 x 满 足
xf ( x )
解 f x0
1 e x0 x0
ex0 1 x0ex0
f ( x ) 的拐点。
当 x0 0 f x 0
0， 当 x0 0 f x0
0
也即 f
x0
0 ，则 x
x 0 不是拐点
又 f x0
三．解答题：
0 ,则 f ( x 0 ) 是 f ( x ) 的极小值
1.求函数 f ( x )
2
ln x
的单调区间与极值。 （ 8 分）
高等数学（上）期中测试题
一 填空题：（每小题 4 分，共 32 分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上）
1.设
f (x)
(1
1
x)x ,x
在(
0
,
) a 上处处连续，则
xa,x
0
1
解 lim 1 x x
lim
1
x0
x0
1 1
x
x
e1
--- 。
lim x a
x0
-1
a e a ,有连续性有
2. 已 知 f ( 3 )
e2x
cos x ，则 y ( 40 )
A （
）。
40
2x
40
2x
A. 2 e
cos x ； B. 2 e
sin x ；
e2x
C.
cos x ；
e2x
D.
sin x 。
n 2x
解e
n
2x
2e
n
cos x
n cos x
2
A 则即得结果 y 6.曲线 x
5
x B 3
的凹区间是（
）。
A. ( , 0) ； B. [0,
3 x[ f ( x )] 2
x
1 e ，若
f ( x0 ) 0 ，
( x 0 0) 则（ B ）。
A. f ( x 0 ) 是 f ( x ) 的极大值；
B. f ( x 0 ) 是 f ( x ) 的极小值；
C. ( x 0 , f ( x 0 )) 是曲线 y f ( x ) 的拐点；
D. f ( x 0 ) 不是 f ( x ) 的极值， ( x 0 , f ( x 0 )) 也不是曲线 y
cos t 1 1
co s t co s t
2
s in t
2
t0
1
5 1 co s t
20
5. 设 y
x1 x( x
0 ) ，则 y
t0
xx 1 x
x ln x
解 两边取对数有 ln y
1 x ln x
x 两边关于
求导得 y
y
ln x
1
x , 整理后即得结果
x
y 6. 设 函 数 y( x ) 由 方 程 x y cos( xy ) 0 确 定 ， 则
] ； C.(
,
) ； D. 以上都不对。
2
5
解y 1
x3 y
3
1
5
2 x
3
33
10 93 x
当x
0, +
y <0 时 ,
,则曲线是凹的
7.若 f ( x ) f ( x ), ( 且 f ( x ) 0 ，则在 (0,
x
) ，在 (
) C 内有（
）。
, 0) 内 f ( x ) 0
A. f ( x ) 0, f ( x ) 0 ； B. f ( x ) 0, f ( x ) 0 ；
2.设 f ( x )
1 x sin 2 , x
x
0
,x
0 ，则 f ( x ) 在点 x
0
A. 极限不存在； C ．连续，但不可导；
B. 极限存在，但不连续； D. 可导。
1
解 由 lim
x0
x sin 2 x
0
f0
则 f ( x ) 在点 x 0 处连续
0 处（ C ）。
又f 0
f x f0
lim
x 1.当
0 D 时，下列函数中为无穷小的函数是（
）。
1
1
1
x2
A. lg sin x ； B.cos ； C. sin e ； D. 。
x
x
解 A . lim lg sin x
x0
1
C . lim sin 不存在
x0
x
1
B . l i m c o s 不存在
x0
x
1
D . l i me x 2
0
x0
2 , 则 lim
f (3
h0
h ) f (3) 2h
1。
解 已知
f3
f (3)
f (3 h)
lim
2
h0
h
则 lim
f (3
h0
h) 2h
f (3)
1
f (3)
f (3 h )
lim
2h 0
h
1
f
3
2
1
2
1
2
3.函数 f ( x )
x
2 cos
x
在
[0
,
上的最大值为
]
3
2
6
解令 f
x
1 2 sin x 0 得 x
y sin xy 1
dy
dx 。
1 x sin xy
x 解 对方程两边关于
求导 得 :
1 y - sin xy y xy 0
y sin xy 1
ysi n x y 1
y
则 dy
dx
1 x sin xy
1 x s i nxy
y 7. 曲线
e
2x
在点 M
(0,1)
K 处的曲率
45 25
解y x0
2x
2e x0
x0
x0
1
x sin 2
lim
x
x0
x
lim
x0
1
1
sin
不存在
2
x
x
则 f ( x ) 在点 x 0 处不可导
y 3.设
arccos x
1
sin
，则 y ( )
A （
）。
2
2
1
A.
； B.
2
3
1
； C.
； D.
2
2
3
。
2
解y 1 x 2
arccos x 1 cos
2
2
1
1
1
x2
1 x
2
2
x
4.曲线
y
t cos t 在t
t sin t
处的切线方程是（
4
B ）。
2 A. y
8
4 (x
4
2 )；
8
2 B. y
8
C. y x ；
D. y
x。
4
2
(x
)；
4
8
dy
dy
dt
sin t t cos t
4
解
dx t
dx
cos t t sin t t
4
4
4
dt t
4
y 则切线方程为
24
42 4
2 x
42
y 5.已知函数
6
f0
2f
3f
6
6
2
2
则最大值为
3
6
4. 设
x 5( t sin t )
dy
，则
d2y
0,
1
y 5(1 co s t )
dx t 0
dx 2 t 0 2 0
解
dy
dx
t0
dy
dt
5 s in t 0
dx
5 1 cos t
t0
dt t 0
d2y
2 t0
dx
dy d
dx
dx
பைடு நூலகம்
dy d
dx
dt dx
dt
t0
x
0, 解 定义区间为
,
令f x
1
2 ln x
x
ln 2 x
2
x x2
2 ln x ln x
2