经典谱分析

ck = Ak e−iθk ,
√ 1 bk 2 a2 θk = tan−1 . k + bk , 2 ak Ak 关于fk 的图像即为振幅谱，θk 关于fk 的图像即为相位谱，其中fk = k/T . ∗ 定义Sk = A2 k = ck ck ，根据Parseval等式（证明详见附录B）： ∫ T ∞ ∑ 2 1 2 ck c∗ f (t)dt = k. T −T 2 k=−∞ Ak =
−∞
(8)
说明: • 与Fourier 级数类似（7）和（8）式的成立要求满足Dirichlet条件条件； • 对于周期为T 的函数，kT （k = ±1, ±2, · · · , ±∞）也是它的周期，因此 它也可以被看作是周期为∞的函数，Fourier积分也适用. 将（3）式代入 （7）式，可以得到周期函数的Fourier变换为： F (ω ) = 2π
∞ ∑ 2πk f (t0 − 0) + f (t0 + 0) = ck ei T t . 2 k=−∞ ∞ ∑ k=−∞
c k ei
2πk t T
,
(3)
∫
T 2
f (t)e−i
2πk t T
dt.
(4)
−T 2
所谓第一类间断点，指的是函数在该点t0 的左极限f (t0 − 0)和右极限f (t0 + 0)存在但不相 等，或者相等但不等于f (t0 )的点
经典谱分析
科研菜鸟
第一稿完成于2008年1月6日，第一次修改于2009年7月6日-18日
（ 一）周 期 函 数 的 Fourier级 数 展 开 1、 Fourier级 数 对任一周期为T 的时间函数f (t)，只要其满足Dirichlet条件，就可以展开成 如下形式的Fourier级数[1]： ) ∞ ( 2πk 2πk a0 ∑ f (t) = + ak cos t + bk sin t , 2 T T k=1 其中k 为正整数，且： a0 ak bk 2 = T 2 = T 2 = T ∫ ∫ ∫
(6)
−∞
由（6）式可以得到Fourier积分：
∫ ∞ 1 F (ω )eiωt dω f (t) = 2π −∞ ∫ ∞ F (ω ) = f (t)e−iωt dt.
−∞
(7)
由于ω = 2πf ，故而Fourier积分又可写成下面的形式： ∫ ∞ f (t) = F (f )ei2πf t df ∫−∞ ∞ F (f ) = f (t)e−i2πf t dt.
令ωk = 2πk/T = 2πfk ，于是有 △ωk = ωk+1 − ωk = 因此， 2π . T
∫ T ∞ ∑ △ω 2 f (t) = f (λ)eiωk (t−λ) dλ 2π − T 2 k=−∞ 1 f (t) = 2π ∫
∞
当T → ∞时，上式变为：
∫ e
iωt
∞ −∞
dω
f (λ)e−iωλ dλ.
−T 2
(10)
∫
TBiblioteka Baidu2
f (t)e−iωt dt.
1 |F (ω, T )|2 , T →+∞ T 根据（10）式可知S (ω )表示单位角频率内的谐波成份对平均功率的贡献. S (ω )称 为功率谱密度，S (ω )关于ω 的图像（或S (f )关于f 的图像）称为功率谱. 谱密度S (ω )在(−∞, ∞)上有定义，也称为双边功率谱密度. 有时用到单边功 率谱密度G(ω )，其定义为2 S (ω ) = lim G(ω ) = 2S (ω ), ω ≥ 0.
定义
这个定义利用了S (ω )是偶函数的性质，保证了G(ω )对角频率积分而总能量保持 不变。 说明: • 非周期函数的能谱和功率谱均为连续谱； • 当总能量有限时，计算能谱密度才有意义，而计算功率谱密度没有意义， 此时它恒等于0；当总能量无限且平均功率有限时，计算功率谱密度才有 意义，而计算能谱密度没有意义，此时它总是发散. • 由于|F (ω, T )|2 = F (ω, T )F (−ω, T )，故而: E (ω ) = E (−ω ), S (ω ) = S (−ω ). 这说明能谱密度和功率谱密度都为偶函数.
N∑ −1−r 1 Rr = fn fn+r N − r n=0
(12)
其中T = N △t，t = n△t，fn = f (t)，并且τ = r△t，r = 0, 1, 2, · · · , m，fn+r = f (t + τ ). 因为R(τ )是偶函数，因此R−r = Rr . 根据F (ω, T )的定义式，有： ∫ 1 T /2 R(τ ) = lim f (t)f (t + τ )dt T →+∞ T −T /2 [ ∫ ∞ ] ∫ 1 1 T /2 iω (t+τ ) = lim f (t) F (ω, T )e dω dt T →+∞ T −T /2 2π −∞ [ ] ∫ ∞ ∫ 1 1 T /2 = F (ω, T ) lim f (t)eiωt dt eiωτ dω T → + ∞ 2 π T −∞ −T /2 ∫ ∞ 1 1 lim F (ω, T )F ∗ (ω, T )eiωτ dω = 2π −∞ T →+∞ T ∫ ∞ 1 1 = lim |F (ω, T )|2 eiωτ dω 2π −∞ T →+∞ T ∫ ∞ 1 = S (ω )eiωτ dω 2π −∞ 因此S (ω )与R(τ )构成Fourier变换对： ∫ ∞ 1 R(τ ) = S (ω )eiωτ dω 2π ∫ ∞ −∞ S (ω ) = R(τ )e−iωτ dτ
T 2
(1)
f (t)dt
−T 2
T 2
f (t) cos
−T 2
T 2
2πk tdt T 2πk tdt. T
(2)
f (t) sin
−T 2
式（1）很容易写成下面复数形式： f (t) = 其中： 1 ck = T 说明： • （2）和（4）式中的积分上下限不一定为[− T , T ]，只要积分区间为T ，这 2 2 些等式依然成立，详细推导参见附录A； • Dirichlet条件为：f (t)在一个周期内（1）处处连续或只有有限个第一类间 断点1 ，（2）只存在有限个极大和极小值，也就是函数不作无限次振动； • Fourier级数只有在连续点处才收敛于f (t)，即（1）和（3）式只在连续点 处成立，而在间断点处则收敛于该点左极限与右极限的算术平均值，即
∞ ∑ k=−∞
ck δ (ω − ωk ).
• 对于定义在[0, T )上的非周期函数f (t)，除了利用Fourier积分计算F (ω )外， 上文还介绍了利用周期延拓的来计算ck ，两者之间的关系为： ck = F (ωk ) . T
这说明利用周期延拓方法做Fourier展开，只能反映非周期函数在ωk = 2πk 处的频率结构. T • 与Fourier级数相似，Fourier积分只有在连续点处才收敛于f (t)，即（7） 和（8）式只在连续点处成立，而在间断点处有 ∫ ∞ 1 f (t0 − 0) + f (t0 + 0) = F (ω )eiωt dω. 2 2π −∞ 3
T /2
f (t)f (t + τ )dt.
−T /2
(11)
R(τ )是偶函数. 证明如下：令t = t′ − τ ，代入上式，于是： ∫ 1 T /2 R(τ ) = lim f (t′ − τ )f (t′ )dt′ = R(−τ ), T →+∞ T −T /2 证毕. 此外，f (t)的时间序列只在t ∈ (0, T ]给出时，可得R(τ )近似估计式为： ∫ T −τ 1 ˆ R(τ ) ≈ R(τ ) = f (t)f (t + τ ) dt T −τ 0 其中0 ≤ τ < T . 上式可离散化为：
−∞
由于R(τ )是偶函数，上式还可写成如下的形式： ∫ 1 ∞ S (ω ) cos(ωτ )dω R(τ ) = π 0 ∫ ∞ S (ω ) = 2 R(τ ) cos(ωτ )dτ
0
(13) (14)
5
当总能量有限时，定义f (t)的自相关函数为： ∫ ∞ f (t)f (t + τ )dt. R(τ ) =
−∞
(15)
与上面的证明步骤相似，可以证明E (ω )与R(τ )也构成Fourier变换对： ∫ ∞ 1 R(τ ) = E (ω )eiωτ dω 2π −∞ ∫ ∞ E (ω ) = R(τ )e−iωτ dτ
−∞
由于R(τ )是偶函数，上式还可写成如下的形式： ∫ 1 ∞ E (ω ) cos(ωτ )dω R(τ ) = π 0 ∫ ∞ E (ω ) = 2 R(τ ) cos(ωτ )dτ.
0
(16) (17)
（三）平 稳 随 机 过 程 的 Fourier积 分 1、 平稳 随 机 过 程 的 功 率 谱 密 度 将时间函数f (t)替换为随机变量X (t)，于是相应于（7）式，得到随机过程 的Fourier变换对： ∫ ∞ 1 FX (ω )eiωt dω X (t) = 2π −∞ ∫ ∞ FX (ω ) = X (t)e−iωt dt. (18)
(5)
可知Sk 表示频率为fk 的谐波成分对“平均功率”的贡献（这里借用了物理学中 ∫ T 2 1 的概念，如果f (t)表示速度，那么 f 2 (t)dt就表示平均功率）. Sk 关于fk 的 T −T 2 图像称为功率谱. 说明： • 周期函数的振幅谱、相位谱和功率谱都是离散谱； • 由于ak = a−k , bk = −bk ，因此: Ak = A−k , θk = −θ−k , Sk = S−k , 这说明振幅谱和功率谱是偶函数，相位谱是奇函数. （二）一 般 函 数 的 Fourier积 分 1、 Fourier级 数 向 Fourier积 分 的 过 渡 非周期函数可以看作周期是无穷大的周期函数，因此将T → ∞，可以 将Fourier级数推广到对非周期函数适用的Fourier积分. 推广过程如下，将（4） 式代入（3）式，可得： ∫ T ∞ ∑ 2 2πk 1 f (t) = f (λ)ei T (t−λ) dλ T −T 2 k=−∞ 2
1
1
2、 如何 对 非 周 期 函 数 进 行 Fourier级 数 展 开 Fourier级数展开只对周期函数有效，要想对非周期函数进行Fourier级数 展开，首先必须将非周期函数转变为周期函数，转变方法如下：选择一个 长度为T 的区间[a, b]，将这个区间内的非周期函数f (t)沿时间轴左右平移kT 个 长 度 （k = ±1, ±2, · · · , ±∞） ， 这 样 就 构 造 了 一 个 周 期 为T 的 函 数f ′ (t), 这 个方法称为 周期延拓. 接着对f ′ (t)进行Fourier级数展开，并注意到只有在区 间[a, b]内，Fourier级数才收敛于f (t). 3、 振幅 谱 、 相 位 谱 和 功 率 谱 式（4）中的ck 是复数，并且有： c0 = 将ck 表示成如下形式： 于是有: a0 , 2 ck = ak − ibk . 2
2、 能谱 与 功 率 谱 与式（5）相同，非周期函数的Parseval等式为（详细推导参见附录B）： ∫ ∞ ∫ ∞ 1 2 |F (ω )|2 dω. f (t)dt = (9) 2π −∞ −∞ 定义 E (ω ) = |F (ω )|2 , 根据（9）式可知E (ω )表示单位角频率内的谐波成份对总能量的贡献. E (ω )称为 能谱密度，E (ω )关于ω 的图像（或E (f )关于f 的图像）称为能谱. 但是，有很多重要的时间函数总能量是无限的，例如正弦函数. 这时，我们 引入x(t)的平均功率： ∫ T 2 1 lim f 2 (t)dt. T →+∞ T − T 2 可以证明（详见附录B）： ∫ ∫ ∞ 1 1 1 ∞ 2 f (t)dt = lim |F (ω, T )|2 dω, lim T →+∞ T −∞ 2π −∞ T →+∞ T 其中： F (ω, T ) =
2
也有的定义为 G(ω ) =
{
2S (ω ) S (ω )
ω>0 ω=0
Matlab中用的即是此定义。
4
3、 自相 关 函 数 与 功 率 谱 以 及 能 谱 的 关 系 为： 当总能量无限且平均功率有限时，定义时间函数f (t)(t ≥ 0)的自相关函数 1 R(τ ) = lim T →+∞ T ∫