应用随机过程教学大纲

遵义师范学院课程教学大纲应用随机过程教学大纲（试行）课程编号：280020 适用专业：统计学学时数：48 学分数：____________ 2.5_______执笔人：黄建文审核人：_____________________系别：数学教研室：统计学教研室编印日期：二◦一五年七月课程名称：应用随机过程课程编码：学分：2.5 总学时：48 课堂教学学时：32 实践学时：16 适用专业：统计学先修课程：高等数学、线性代数、概率论、测度论或者实变函数（自学）一、课程的性质与目标：（一）该课程的性质《应用随机过程》课程是普通高等学校统计学专业必修课程。

它是在学生掌握了数学分析、线性代数和概率论等一定的数学专业理论知识的基础上开设的，要求学生掌握随机过程的基本理论和及其研究方法。

（二）该课程的教学目标（1）从生活中的需要出发，结合研究随机现象客观规律性的特点，并根据随机过程的内容和知识结构，着重从随机过程的基本理论和基本方法出发，就实际应用中的典型随机过程做应用研究，并在理论、观点和方法上予以总结、提高及应用。

（2）对各个章节的教学，随机过程侧重于基本思想和基本方法的探讨，介绍随机过程的基本概念，建立以分布函数等研究相关问题概率的实际应用思路，寻求解决统计和随机过程问题的方法。

着重基本思想及方法的培养和应用。

（3）结合学生实际，利用生活中的实例进行分析，培养学生的辩证唯物主义观点。

二、教学进程安排三、教学内容与要求第一章预备知识【教学目标】通过本章的学习，复习并扩展概率论课程的内容，为学习随机过程打下良好的基础，提供必备的数学工具。

【教学内容和要求】随机过程以概率论为其主要的基础知识，为此，本章主要对概率空间；随机变量与分布函数；随机变量的数字特征、矩母函数与特征函数；独立性和条件期望；随机变量序列的收敛性与极限定理等常用到的概率论基本知识作简要的回顾和扩展。

其中概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等既是本章的重点，又是本章的难点。

【课外阅读资料】《应用随机过程》，林元烈编，清华大学出版社。

【作业】0, x W01. 已知连续型随机变量X的分布函数为F（x） = *Aarcsinx, 0<xv1，1, x纣（1）求常数A ；（2）求P（1/2乞X「3/2）；（3）求X的概率密度函数f （x）.2. 已知二维连续型随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为f（x，y「，0其J y，I 0, 其它（1） 求概率P （x •丫乞1）；（2） 分别求出（X,Y ）关于X 、Y 的边缘密度函数f x （x ）、f Y （y ）,并判断X,Y 是否 独立。

3.已知一母鸡所下蛋的个数 X 服从参数为■的泊松分布，即 X 的分布律为-k二P （X 二k ） e , k =0,1,2，川，而每个鸡蛋能够孵化成小鸡的概率为p .证明：k!这只母鸡后代（小鸡）的个数丫服从参数为■ p 的泊松分布，即4. 玻璃杯成箱出售，每箱20只，设每箱含0,1,2只残品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1.顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看四只，若无残品，则买下,否则，退回。

现售货员随意取一箱玻璃杯，求顾客买下的概率 有效数字）5. 已知连续型随机变量X 的概率密度函数为1（1） 求概率 P （0 <X c1/2） ；（ 2）求 E （）X完成方式：独立 第二章随机过程的基本概念和基本类型【教学目标】通过本章学习，使学生理解随机过程的定义，了解随机过程的例子，理解并 掌握随机过程的有限维分布函数族和数字特征，了解随机过程的分类方式及分 类，掌握几种典型的随机过程，及其基本性质。

【教学内容和要求】本章主要内容包括随机过程的基本概念和例子； 随机过程的有限维分布函数 族和数字特征；随机过程的分类和几种典型随机过程及其性质的介绍。

其中随机 过程的概念，有限维分布族，柯尔莫哥洛夫存在定理是本章的重点和难点。

【课外阅读资料】《应用随机过程》，林元烈编，清华大学出版社 【作业】1. 设｛X(t),t ・T ｝是一、二阶矩存在的随机过程.试证明它是宽平稳的当且仅P(Y 二r)二('p)r r!（结果保留3个f(x)3 鈔0,0 ：：x :: 1= 0,1,2 川.当E［X(s)］与E［X(s)X(s t)］都不依赖于s.2. 设乙,Z2是独立同分布的随机变量，服从均值为0,为实数，方差为二2的正态分布.求过程｛X (t), t T｝，其中X (t)=乙cos t • Z2 sin ■ t的均值函数和方差函数.它是宽平稳的吗？3. 试证，若Z。

,乙,|||为独立同分布随机变量，定义X n=Z°乙川-Z n，则｛X「n —0｝是独立增量过程.4. 已知随机过程｛X(t),r T｝的均值函数\(t)和协方差函数X(t1,t2)，设(t)是一个非随机的函数，试求随机过程｛Y(t)二X(tr (t)｝的均值函数和协方差函数.完成方式：独立第三章Poisson过程【教学目标】通过本章的学习，使学生了解计数过程，理解掌握Possion过程的定义与基本性质，了解泊松过程的实际背景，熟悉它的若干推广及应用。

【教学内容和要求】本章主要讲解Possion过程的定义及性质，与Possion过程相联系的若干分布，Possion过程的若干推广和应用。

其中Possion过程理解、应用是本章的重点；Possion过程两个定义的等价性是本章的难点。

【课外阅读资料】《应用随机过程》，林元烈编，清华大学出版社。

【作业】1. 设N1(t )和叫(t )分别是强度为入1和入2的相互独立的齐次泊松过程,1) 证明X(t)=N1(t) +N2(t), t >0,是强度为入［+入2的泊松过程.2) 证明X(t)=Nj(t)—叫仁)，t>0,不是泊松过程.2. {X t ,t _0}是具有参数为■的泊松过程，S是相邻事件发生的时间间隔。

证明：P{S x +半沙} =P{S2}.3. {X t ,t _0}是具有参数为■的泊松过程，W n是第n个事件发生的时间，证明：1 EW n2 DW n2/u /u4. { N( t ),t >0}是强度为入的泊松过程,E n, n=1,2,…相互独立且同为参数为p的(0-1 )分布，证明X(t) ：：八n是参数为入P的泊松过程过程•完成方式：独立第四章更新过程【教学目标】通过本章的学习，使学生掌握更新过程的定义与基本性质、更新函数、更新方程，熟悉更新定理及其应用，了解更新过程的若干推广及应用。

【教学内容和要求】本章主要内容包括更新过程定义及若干分布，更新方程、更新定理及更新理论的应用，更新过程的若干推广。

其中更新过程理解及应用是本章的重点；更新定理及应用是本章的难点。

【课外阅读资料】《应用随机过程》，林元烈编，清华大学出版社。

【作业】1. 判断下列命题是否正确(1)N(t) :: n = T n t；(2)N(t)乞n =人—t；(3)N(t) n = T n:: t.2. 对于Poisson过程,验证定理4.1.3. 设P{X i =1} =1/3,P{X j =2} =2/3,计算P{ N( 1 ) k }P, N{ 和kP{N(1)=k}, P{N(2) =k}, P{N(3) -k}.完成方式：独立第五章Markov链【教学目标】本章是本课程的重点，通过教学要使学生掌握离散时间Markov链的基本概念，熟练掌握转移概率、状态分类与性质，极限分布和平稳分布，熟悉马尔可夫链的应用，了解连续时间的Markov链的定义及应用。

【教学内容和要求】本章主要内容包括离散时间Markov链的定义、例子及应用，转移概率及其计算，C-K方程，Markov链状态的分类及性质，常返性的判断，Markov链的极限情况和平稳Markov链的有关性质，连续时间Markov链及性质。

其中Markov (n) 链的定义，转移概率及其渐近性质是本章的重点；常返性的判别及性质，P j的渐近性质与平稳分布是本章的难点。

【课外阅读资料】《应用随机过程》，林元烈编，清华大学出版社。

【作业】1•假设一个修鞋匠有四把椅子，其中一把椅子为修鞋时顾客使用，另外三把椅子共顾客等待使用•当三把椅子全都被使用时，新到的顾客将会去其他地方寻找服务•假设该修鞋匠服务每一位顾客恰好都是10分钟•完成方式：独立2. 考虑一个三状态的Markov链{X n},其转移概率矩阵为：0 10 0P = 1 p q r ,2^0 0 1 一其中p, q, r>0, p+q+r=1.这一Markov链从状态1出发，一旦进入状态0或2就被吸收了.求：(1) 过程从状态1出发被状态0吸收的概率；(2) 需要多长时间过程会进入吸收状态.完成方式：独立3. 某市场上只有A, B, C三种啤酒.A种啤酒改变广告方式后经市场调查发现：买啤酒的顾客每两个月平均转移率如下：0.8 0.1 0.1A > A A >B A > C0.2 0.7 0.1B—； A B— B B—； C0.3 0.2 0.5C- A Cr B c— C设A, B, C三种啤酒的目前市场份额为25%, 40%, 35%，求半年后A种啤酒的市场份额•完成方式：独立第六章鞅【教学目标】通过本章的学习，复习并扩展概率论课程的内容，为学习随机过程打下良好的基础，提供必备的数学工具。

【教学内容和要求】基本概念，鞅的停时定理，停时定理、Doob极大不等式、停时定理的应用一关于期权值的界，一致可积性，鞅收敛定理，连续鞅。

理解鞅的基本概念(包括上鞅和下鞅) ；掌握停时的概念、Doob极大不等式、鞅的停时定理及其应用一一期权值的界；了解一致可积性；理解鞅收敛定理；掌握连续鞅的定义积相关性质。

【课外阅读资料】《应用随机过程》，林元烈编，清华大学出版社。

【作业】1. 考虑一个掷骰子的试验.设甲乙两人同时掷骰子，以X记甲掷出的点数，Y 表示甲乙二人掷出的点数之和，给出不同丫值下的所有E(X|Y)(y)值.完成方式：独立2. 设X「X2,川是独立同分布随机变量，令m(t)二E(e%)，固定t并假定m(t)「:，令S o =0,S n =X! Ill X n , -n o.证明｛M^m(『『是关于人公2，|||的鞅•完成方式：独立3. 令X o,XJH表示分支过程各代的个体数，X o =1,任意一个个体生育后代的分布有均值J.证明｛M^ ^X n｝是一个关于X o’XjH的鞅.完成方式：独立四、学习过程记录和考核要求1. 本课程考试采用开卷方式，总成绩包括卷面成绩和平时成绩。

其中，卷面成绩占50%平时成绩占50%平时成绩由任课老师根据每个学生的课后作业、考勤情况综合评定。