线性代数期末模拟题

湖北文理学院2013-2014学年度下学期

《线性代数A 》试卷(A)

专业 班级 学号 姓名 课程类别： 必修 试卷编号： A 适用专业：

一．单项选择题（本题10小题，每小题3分，共30分）

1．设矩阵A 是三阶方阵 ，且三阶行列式2A =，则2A -=（ ）． A ．4- B ．4 C ．16- D ．8 2．设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（ ）．

A ．当A a =（0a ≠）时，

B a = B ．当A a =（0a ≠）时，B a =-

C ．当0A ≠时，0B =

D ．当0A =时，0B = 3．设,A B 是n 阶方阵，则下列结论正确的是( ) ．

A ．若0,A

B =则0A =或0B = B ．若0,AB =则0A =或0B =

C ．若0,AB =则0A =或0B =

D ．若0,AB ≠则0A ≠或0B ≠

4．设,A B 是n 阶方阵，且下列选项中符号有意义，则不成立的是( ) ． A ．()1

11A A λλ---= （λ为数） B ．()1

11AB A B ---= C ．()

()

1

1T

T

A

A

--=

D ．1

1A A --=

5．设12,,,s ααα都是n 维列向量，A 为m n ⨯的矩阵，下列选项正确的是（ ）． A ．若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关

B ．若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关

C ．若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关

D ．若12,,

,s ααα线性无关，则12,,

,s A A A ααα线性无关

6．下列矩阵中，( )不是初等矩阵．

A ．⎪⎪⎭⎫

⎝⎛1011 B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-001010100 D ．⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛105010001．

7．设,,A B C 均为n 阶方阵，,AB BA BC CB ==,则ABC =（ ）． A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA 8．矩阵A 的秩为r ，则( )成立．

A ．A 中所有子式都不为零

B ．A 中所有的r 阶子式都不为零

C ．A 中存在不等于零的1+r 阶子式

D ．A 中存在不等于零的r 阶子式 9．设12,λλ是方阵A 的两个不同特征值，对应的特征向量分别为1α，2α，则1α，

12()A αα+线性无关的充分必要条件是( )．

A ．10λ≠

B ．20λ≠

C ．10λ=

D ．20λ= 10．下列3R 的子集是3R 的子空间的是（ ）．

A ．{}1(0,1,)W z z =∈R

B ．{}2(,,)1,,,W x y z x y z x y z =++=∈R

C ．{}3(,,)230W x y z x y z =+-=

D ．41(,,),,,23x y W x y z z x y z ⎧-⎫===∈⎨⎬⎩⎭

R

二．填空题（每空3分，共15分）

11．排列495231678的逆序数为________.

12．行列式

101

12

123112x

x x x x

-中3x 的系数为_________________． 13．设4维向量(3,0,2,1),(3,2,

1,1),(1,2,1,0)T T T αβγ=-=--=-，向量η满足

220βηγα+-+=，则η=_________ _ ．

14．设A 为三阶方阵，3=A ，则A 的伴随矩阵*A 的行列式=*A ___ ． 15．设向量组123(1,1,1,1),(1,2,3,4),(0,1,2,3)ααα===，则向量组123,,ααα的秩是__ __．

三．计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）

512533

201034

---，其中元素ij a 的代数余子式记为ij A ．计算

313233342A A A A +-+

17．设02211232,32010121A ⎛⎫ ⎪---

⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭

求1A -．

18．化二次型222

123123122313(,,)25242f x x x x x x x x x x x x =+-++-为标准形，并写出

所作的变换．

19．求向量组1(7,0,14,3),α=2(2,1,0,1),α=-3(2,1,4,1),α=-4(1,3,2,0),α= 5(5,1,6,2)α=的一个最大无关组，关将其余向量用该最大无关组线性表示出来．

20．设122212221A -⎛⎫ ⎪

=-- ⎪ ⎪--⎝⎭

.（1）求A 的特征值；（2）求12E A -+的特征值.

21．求线性方程组12341234123423

222547

x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪

++-=⎨⎪+++=⎩的通解.

四．证明题（本题7分）

22.设方阵A 满足2560A A E -+=．证明： （1）A 与4E A -均可逆，并求它们的逆矩阵； （2）2A E -与3A E -中至少有一个为奇异矩阵．