线性代数期末模拟题

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(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。

1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。

x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。

4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。

5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。

二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且矩阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。

a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。

2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。

线性代数期末考试题及答案

线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。

2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。

四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。

答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。

线性代数模拟考试题（4套）

线性代数模拟考试题（4套）模拟试题⼀⼀、判断题：（正确：√，错误：×）（每⼩题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶⽅阵，则 B A B A +=+. ……………………( )2、可逆⽅阵A 的转置矩阵T A 必可逆. ……………………………( )3、n 元⾮齐次线性⽅程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( )4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶⽅阵，且0=A ，则矩阵A 中必有⼀列向量是其余列向量的线性组合.…………………………………………………………( ) ⼆、填空题：(每空2分，共20分)1、,A B 为 3 阶⽅阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= .2、⾏列式中元素ij a 的余⼦式和代数余⼦式,ij ij M A 的关系是 .3、在5阶⾏列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 .4、已知()??-==256,102B A 则=AB .5、若?--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵--2100013011080101是4元⾮齐次线性⽅程组b Ax =的增⼴矩阵,则b Ax =的通解为 .7、()B A R + ()()B R A R +.8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA .9、设=A-500210111t ，则当t 时，A 的⾏向量组线性⽆关.10、⽅阵A 的特征值为λ，⽅阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为 . 三、计算：(每⼩题8分，共16分) 1、已知4阶⾏列式1611221212112401---=D ，求4131211132A A A A +-+.2、设矩阵A 和B 满⾜B A E AB +=+2，其中=101020101A ，求矩阵B .四、(10分) 求齐次线性⽅程组=++-=-++=--+-=++-0242205230204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.五、(10分) 设三元⾮齐次线性⽅程组b Ax =的增⼴矩阵为+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011λλλλλλλλλλ，讨论当λ取何值时，b Ax =⽆解，有唯⼀解和有⽆穷多解，并在⽆穷多解时求出通解.六、(10分) 判断向量组---=? --=? =? -=1622,4647,3221,1123:4321a a a a A 的线性相关性，如果线性相关，求⼀个最⼤⽆关组，并⽤它表⽰其余向量. 七、综合计算：（本题14分）已知⼆次型31232221321422),,(x x x x x x x x f --+= （1）求⼆次型所对应的矩阵A ，并写出⼆次型的矩阵表⽰；（2）求A 的特征值与全部特征向量；（3）求正交变换PY X =化⼆次型为标准形, 并写出标准形；（4）判断该⼆次型的正定性。

2023线性代数期末模拟试题(三)

期末模拟试题(三)一．判断题（每小题2分，共5小题10分）正确的选“T”，错误的选“F”1. ,,. ( )A B AB O A B O ==若矩阵满足且可逆,则一定有2. . ( )可逆矩阵的逆矩阵不唯一3. ,,. ( )A B AB AB A B 若矩阵满足乘积为方阵则一定有=4. ,. ( )矩阵的行秩与列秩相等但是不等于矩阵的秩 5. ,. ( )n A A 若阶矩阵特征值都为单根则与对角矩阵相似二．选择题（每小题2分，共10小题20分）1. (),( ).n A B k 对阶可逆矩阵、其中为非零常数下列错误的是A. ()T T T A B A B +=+11B. ()A A--=111C. ()AB A B ---=111. ()D kA A k --=1112131131123213332122232122233132333132332222. ,, ( ).a a a a a a a a a C a a a P PC a a a aa a a a a P +++===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设矩阵为初等矩阵,若则100A. 020010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100B. 010201⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭120C. 010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭102D. 010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3. ,,,,,,( ).P Q R X n P Q PXQ R X ==设都是阶方阵且可逆则矩阵方程的解11A. RP Q --11B. P RQ --11C. RQ P --11D. P Q R--4. ,3,3( ).T A n A A A A ==设为阶方阵若的行列式则A. 3n 1B. 3n +2C. 3n +22D. 3n +3005. ,,()2,512,( ).5646A B R A B x x ===⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭已知同型矩阵等价且则A. 8B. 4C. 2D. 312126. ,(),( ).,,,,,,,n n b A αααααα= 已知向量组且则下列说法错误的是12A. , ,,,n AX b b ααα= 若有无穷多解则可由线性表出且表示式不唯一12B. , ,,,n AX b b ααα= 若有唯一解则可由线性表出且表示式唯一12C. ,,,,n AX b b ααα= 若无解则不能由线性表出D. ()(),AX b R A R A AX b =≠=若满足条件则有解7. ,0( ).A m n AX ⨯=若为矩阵则方程组仅有零解的充要条件为A. A 的列向量线性无关 B. A 的列向量线性相关C. A 的行向量线性无关D. A 的行向量线性相关8. ,02080,( ).A A I A I A I A -=+=+==设的为三阶矩阵且，，则A.1 B. 2 C.16- D. 8-2009. =020( ).005Λ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭下列矩阵与对角矩阵相似的矩阵是200A. 320005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭200B. 0210005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭246C. 020005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭200D. 820315-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭22212312312132310. ( ).(,,)22446f x x x x x x x x x x x x =---++二次型的矩阵为122A. 223232----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭131B. 223332---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭122C. 223232---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭121D. 222242----⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三．填空题(每小题2分,共5小题10分)11231. 34,45,(34) .2131T A B A B -==-+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设则321003702. , .245dc A y A x y z a b=已知四阶行列式则元素的代数余子式的值为1123. , .34A A -==⎛⎫⎪⎝⎭已知矩阵则其逆矩阵1234. (1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)2, .a a ααα=-===若向量组的秩为则5. ,248, .A 若是三阶方阵其特征值分别为、、则逆矩阵的特征值为四．计算题(第1、2小题每题8分,第3、4、5、6小题每题9分，共52分)130621511. ,,2,2.02121476A A A A ---=--⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭设矩阵求1212222. ,()2,.15103A A R A a A a -----==--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭已知矩阵矩阵的秩求的值和矩阵的标准形13. 24, (1) 2320 (2) 030,.003n A B A B B I A I A B -⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=---=已知阶矩阵和满足条件证明可逆；已知求12344. (2,0,1),(0,1,1),(1,1,2),(5,0,5),,.T T T T αααα===--=已知向量组求向量组的秩和一个极大无关组并将其余向量用该极大无关组线性表出12413123415. 22.30x x x x x x x x x -==---=+⎧⎪+⎨⎪⎩求非齐次线性方程组的通解21226. 224,242 (1) (2)()35,()..A f x x x A f A -=---=+-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭设矩阵求矩阵的特征向量和特征值；若多项式求方阵的多项式的特征值五．证明题(8分)123123112223313123 ,,,+2,3,,,==+4=5+6,,αααββββααβααβααβββ已知向量组线性无关且向量组满足判定向量组的线性相关性,并证明.,。

线性代数期末考试题及答案

《线性代数》期末考试题及答案一、单项选择题(每小题3分，共24分).1.设行列式1112132122233132331a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233234234234a a a a a a a a a a a a --=-( ). A. 6； B. -6； C. 8； D. -8.2.设B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则下列一定成立的是( ).A. 0A =或0B =；B. 0A =且0B =；C. 0=A 或0=B ；D. 0=A 且0=B .3.设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确．．．的是( ). A. ()T T T A B A B +=+； B . 111()A B A B ---+=+； C. 111()AB B A ---= ； D. ()T T T AB B A =.4.设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的解，是β对应的齐次方程组0Ax =的解，则Ax b =必有一个解是( ).A ．21α+α；B ．21α-α；C ． 21α+α+β ；D ．121122βαα++.5.齐次线性方程组123234 020x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩的基础解系所含解向量的个数为( ).A. 1；B. 2；C. 3；D. 4. 6.向量组12,,αα…,s α(2)s ≥线性无关的充分必要条件是( ).A. 12,,αα…,s α都不是零向量；B. 12,,αα…,s α任意两个向量的分量不成比例；C. 12,,αα…,s α每一个向量均不可由其余向量线性表示；D. 12,,αα…,s α至少有一个向量不可由其余向量线性表示. 7.若( )，则A 相似于B .A. A B = ； B . 秩(A )=秩(B )；C. A 与B 有相同的特征多项式；D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同. 8.正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( )必成立.A. A 的所有顺序主子式为非负数；B. A 的所有顺序主子式大于零；C. A 的所有特征值为非负数；D. A 的所有特征值互不相同.二、填空题(每小题3分，共18分)1.设3阶矩阵100220333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则*A A =_____________.2.1111n⎛⎫⎪⎝⎭=__________________(n 为正整数). 3.设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且det()0A ad bc =-≠，则1A -=________________.4.已知4阶方阵A 的秩为2，则秩(*A )=_________________.5.已知向量组123(1,3,1),(0,1,1),(1,4,)a a a k ===线性相关,则k =____________.6.3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则1A -的特征值为_________.三、计算题(10分，共44分)1.(7分)计算行列式01231000100001x x a a a a ---2.(7分)设矩阵121348412363A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，问a 为何值时，(1) 秩(A )=1； (2) 秩(A )=2.3.(15分)给定向量组12103a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，21324a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，33021a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=，40149a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，试判断4a 是否为123,,a a a 的线性组合；若是，则求出组合系数4.(15分)λ取何实值时，线性方程组12233414x x x x x x x x λλλλλλλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩有唯一解、无穷多解、无解？在有无穷多解的情况求通解。

线性代数期末模拟测试试卷(含答案)

线性代数期末模拟测试试卷（含答案）班别姓名成绩一、选择题1．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t 2.已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（）A.3B.-2C.5D.-53．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. 0≠A B. 01≠-AC.n A r =)(D.A 的行向量组线性相关4．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x5．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1513A ,其特征值为（） A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλC.4,221=-=λλD.4,221-==λλ二、填空题.答题要求：将正确答案填写在横线上6．三阶行列式ij a 的展开式中，321123a a a 前面的符号应是。

7．设123221,343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ij A 为A 中元ij a 的代数余子式，则 111213A A A ++= 。

8．设n 阶矩阵A 的秩1)(-<n A r ，则A 的伴随矩阵A *的元素之和∑∑===n i nj ij A 11 。

9．三阶初等矩阵()1,2E 的伴随矩阵为。

10．若非齐次线性方程组AX B =有唯一解，则其导出组0AX =解的情况是。

11．若向量组11121233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性相关，则向量组112222,a b a b αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的线性关系是。

线性代数模拟试题及答案(三套)

第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12i j ==。

令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。

2、若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =(1)n D- 。

即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D-。

3、设1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。

23111112121113,,010*********A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =15n +。

由矩阵的行列式运算法则可知：1555n n A A +==。

5、A 为n 阶方阵,TAA E =且=+<E A A 则,0 0 。

由已知条件：211,1T T TAA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-，而：0TTA E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。

6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。

可逆，则行列式不等于零：2002(32)032023A x y x y x y ==⨯-≠⇒≠。

二、单项选择题(每小题4分，共24分) 7、设0333231232221131211≠=M a a a a a aa a a ，则行列式=---------232221333231131211222222222a a a a a a a a a A 。

A ．M 8 B ．M 2 C ．M 2- D ．M 8-由于 ()()111213111213111213331323331323321222321222321222331323322222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=---8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。

线性代数期末试题及答案

线性代数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则|2A|等于：A. 4B. 8C. 16D. 32答案：C2. 若向量α=(1, 2, 3)，β=(2, 1, 0)，则α·β等于：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B3. 设A为n阶方阵，且A^2=I，则A的行列式|A|等于：A. 1B. -1C. 0D. 2答案：A4. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行向量线性相关还是线性无关？A. 线性相关B. 线性无关C. 线性独立D. 不能确定答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵B为2阶方阵，且B^2=0，则称矩阵B为______。

答案：幂零矩阵2. 若矩阵A和B可交换，即AB=BA，则称矩阵A和B为______。

答案：可交换矩阵3. 设向量α=(1, 2)，β=(3, 4)，则向量α和β的夹角的余弦值为______。

答案：3/54. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征值为1, 2, 3，则矩阵A的迹为______。

答案：6三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述矩阵的转置矩阵的定义。

答案：矩阵A的转置矩阵记为A^T，其元素满足A^T_{ij}=A_{ji}，即A^T的第i行第j列的元素是A的第j行第i列的元素。

2. 什么是线性方程组的齐次解？答案：线性方程组的齐次解是指当方程组的常数项全为零时，方程组的解，通常表示为零向量。

3. 说明矩阵的相似对角化的条件。

答案：矩阵A相似对角化的条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量，其中n是矩阵A的阶数。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 已知矩阵A=\[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}\]，求矩阵A的行列式。

答案：|A| = 1*4 - 2*3 = -22. 设线性方程组为：\[\begin{matrix} x + 2y - z = 1 \\ 3x - y + 2z = 2 \\ x + y + z = 3 \end{matrix}\]求方程组的解。

线性代数期末考试模拟试卷及答案

共7页，第1页学院：专业：学号：姓名：装订线一、填空题（每小题3分，共24分）1.设A 、B 是n 阶方阵，下列等式正确的是 .（A ）AB=BA （B ）))((22B A B A B A -+=-（C ）22A A = （D ）111)(---+=+B A B A2. 设A 为n 阶方阵，则0=A 的必要条件是 .(A) A 中有两行（列）元素对应成比例； (B) A 中必有一行为其余行的线性组合；(C) A 中有一行元素全为零； (D) A 中任意一行为其余行的线性组合.3. 设有向量组1α＝(1,-1,2,4)，2α＝(0,3,1,2)，3α＝(3,0,7,14)，4α＝(1,-2,2,0)与5α＝(2,1,5,10)，则向量组的极大线性无关组是（）（A ）231ααα，，； (B) 241ααα，，；(C)251ααα，，； (D) 2451αααα，，，.(C) A 的行向量线性无关； (D) A 的行向量线性相关.5. 、设3阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为41,31,21，则=)(det *B （）共7页，第2页共7页，第3页共7页，第4页答案一、选择题（每小题3分，共24分）1.C2.B3.B4.C5.A6.C7.A8.B 二、填空题（每小题4分，共24分）1.⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫-11001000003100001 ， 2. 332±， 3. ⎝⎛⎪⎪⎭⎫10101， 4. k 不存在 5. 40， 6. 0. 三．（8分）证明：由06))(4(1032=-+-=--I I A I A I A A ……………………5分所以I I A I A 6))(4(=+- ……………………6分故I A 4-可逆，且逆矩阵为6IA + ……………………8分四、（12分）解：2)3(111111111λλλλλ+=+++=A ………………………………………3分当03≠-≠λλ且时，方程组有唯一解………………………………5分当0=λ时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−→←⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010000111011131110111r B 知 )()(B R A R ≠ , 方程组无解…………………………………………8分当3-=λ时，增广矩阵为共7页，第5页⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000021103211 321131210112r B 2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解，解为T T c x )0,2,1()1,1,1(--+=，（c 为任意常数）……………………12分五、（10分）解：设有k x x x x ,,,,210 使得0)()()(22110=+++++++k k x x x x αβαβαββ ， (1) )………2分⇒0)(2211210=++++++++k k k x x x x x x x αααβ , (2)………4分若0210≠++++k x x x x ，则β可由k ααα,,,21 线性表示，⇒是0=Ax 的解,与已知矛盾.故必有0210=++++k x x x x ，从而02211=+++k k x x x ααα ，………………………………………………………7分由k ααα,,,21 是0=Ax 的一个基础解系知k ααα,,,21 线性无关，⇒021====k x x x ，0)(210=+++-=k x x x x ，因此向量组k αβαβαββ+++,,,,21 线性无关.…………………………………10分六、（10分）解：由已知(2)-=A E X A ， …………………………………………2分因为 100386(2,)0102960012129r--⎛⎫⎪-−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭A E A ………………………8分故1386(2)2962129---⎛⎫ ⎪=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭X A E A …………………………………………10分β共7页，第6页七、（12分）解：)1()1(3240102232-+-=------=-λλλλλλE A =0, ………… 2分1,1321=-==λλλ. ………（4分） (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-224000224)(1E A λ41113~⋅-r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000021211, 02121321=-+x x x ,令2312,c x c x ==，2112121c c x +-=,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1021012121321c c x x x .121-==λλ对应的特征向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021,012121ξξ它们是线性无关的. ………（8分）(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-424020222)(3E A λ~132r r -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*******1123~⋅-r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000201112122~21r r r --⋅⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000010101, ⎩⎨⎧==-00231x x x , 令13c x =，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011321c x x x ，对应的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1013ξ. ………（10分）(3)因为321ξξξ，，线性无关，所以A 可以对角化，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11000112121P , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=Λ100010001. ………（12分）共7页，第7页。

线性代数期末模拟试题F(附解答)

线性代数期末模拟试题F一单项选择题（每题3分，共18分）1．设33)(⨯=j i a A 为非零实矩阵，j i j i A a =，j i A 是行列式 ||A 中元素j i a 的代数余子式，则行列式||A ＝a . 0；b . 1；c . 2；d . 3。

2．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则 a . A A A n 2||)(-**=； b . A A A n 1||)(+**=； c . A A A n 1||)(-**=； d . A A A n 2||)(+**=。

3．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=96342321k A ，0)(33≠=⨯j i b B ，且0=AB ，则a . 当6=k 时，必有秩1)(=B r ；b . 当6=k 时，必有秩2)(=B r ；c . 当6≠k 时，必有秩2)(=B r ；d . 当6≠k 时，必有秩1)(=B r 。

4．设B A ,为 n 阶矩阵,且0=AB ,0≠B ，则必有a . 222)(B A B A +=+；b . 0||=B ；c . 0||*=B ；d . 0||*=A 。

5．设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T 为正定矩阵的 a . 充分条件； b . 必要条件； c . 充要条件； d . 无关条件。

6．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-==βαααA ，1,,,2231=-=βαααB ，则行列式 =+B Aa . 12；b . 12-；c . 3-；d . 16-。

二填空题（每题3分，共18分）7．设行列式 2154301200011311=D ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则 =+2414A A 。

8．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111b b a a A 相似于对角阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛210，则a = ，b = 。

线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间的基是该空间的一组向量，满足以下哪两个条件？A. 线性无关B. 可以表示空间中的任何向量C. 可以线性组合出空间中的任何向量D. 以上都是2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数目B. 矩阵中非零列的最大数目C. 矩阵的行向量组的秩D. 矩阵的列向量组的秩3. 线性变换的核是指：A. 变换后为零的向量集合B. 变换后为单位向量的向量集合C. 变换后保持不变的向量集合D. 变换后向量长度为1的向量集合4. 特征值和特征向量是线性变换中的基本概念，特征向量满足以下条件：A. 变换后保持不变B. 变换后与原向量成比例C. 变换后与原向量垂直D. 变换后与原向量正交5. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的逆矩阵？B. A的伴随矩阵C. A的行列式D. 与A相乘结果为单位矩阵的矩阵6. 行列式的性质不包括：A. 行列式与矩阵的转置相等B. 行列式与矩阵的伴随矩阵无关C. 行列式与矩阵的行（列）交换有关D. 行列式与矩阵的行（列）乘以常数有关7. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 方程组的系数矩阵是可逆的B. 方程组的系数矩阵是方阵C. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩D. 方程组的系数矩阵的秩等于未知数的个数8. 矩阵的迹是指：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行向量长度之和C. 矩阵的列向量长度之和D. 矩阵的行列式9. 线性无关的向量组可以作为向量空间的基，其必要条件是：A. 向量组中的向量数量等于向量空间的维数B. 向量组中的向量数量大于向量空间的维数C. 向量组中的向量数量小于向量空间的维数D. 向量组中的向量数量可以任意10. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的共轭转置？A. A的转置矩阵C. A的伴随矩阵D. A的复共轭矩阵的转置答案：1. D 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. D 8. A 9. A 10. D二、填空题（每空2分，共20分）1. 设向量空间V的基为{v1, v2, ..., vn}，则向量v可以表示为______ 。

线性代数模拟试卷及答案4套

线性代数模拟试卷（一）一、填空题（每小题3分，共6小题，总分18分）1、四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 展开式中，含有因子3214a a 且带正号的项为___________2、设A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B ，则AB -1=_________3、已知向量组)2- 5, 4,- ,0( , )0 t,0, ,2( , )1 1,- 2, ,1(321'='='=ααα线性相关，则t =_________4、设三阶方阵) , ,(B ), , ,(2121γγβγγα==A ，其中 , ,,21γγβα都是三维列向量且2B 1, ==A ，则=- 2B A _________5、A 为n 阶正交矩阵， , ,,21n ααα 为A 的列向量组，当i ≠j 时，)21 ,31(j i αα=_________ 6、三阶方阵A 的特征值为1，-2，-3，则 A =_______; E+A -1的特征值为______ 二、单项选择题（每小题2分，共6小题，总分12分） 1、设齐次线性方程组AX=0有非零解，其中A=()nn ija ⨯，A ij 为a ij (i,j=1,2,…n) 的代数余子式，则（） (A)0111=∑=ni i i A a(B)0111≠∑=ni i i A a(C)n A ani i i =∑=111(D)n A ani i i ≠∑=1112、若A -1+ E, E+A, A 均为可逆矩阵，E 为单位矩阵，则(A -1+ E)-1=( ) (A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A -1+ E (D) A(A+E)-13、设A, B 为n 阶方阵，A*,B*分别为A, B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B 00 A C ，则C 的伴随矩阵C* =( )(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A B 0 0 *B A (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B A 0 0 *A B(C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B B 0 0 *A A (D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A A 0 0 *B B 4、若向量组 , ,,21m ααα 的秩为r ，则（）(A) 必有 r<m (B)向量组中任意小于 r 个向量的部分组线性无关 (C) 向量组中任意 r 个向量线性无关(D) 向量组中任意 r+1个向量必线性相关5、已知 ,,321ααα是四元非齐次线性方程组AX=B 的三个解，且r(A)=3, 已知)3 2, 1, ,0( , )4 3, 2, ,1(321'=+'=ααα，C 为任意常数，则AX=B 通解X=( )(A) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321C (B)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32104321C(C) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54324321C (D) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321C6、设A 为三阶方阵，有特征值λ1=1，λ2= -1， λ3=2，其对应的特征向量分别为 ,,321ααα，记P=(132 ,ααα)，则P -1AP=( )(A) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1 2 1- (B)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1- 1 2(C) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1- 1 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1 1-三、计算下列行列式（12分）1、 D=1- 3 3- 131 1 41- 3 0 5-21- 1 3 2、D n = n1 1 1 1.....................1 1 3 1 111 12 111 1 1 1四、已知A 、B 同为3阶方阵，且满足AB=4A+2B (12分) （1）证明：矩阵A-2E 可逆（2）若B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 0 00 2 10 2- 1 ，求A五、求向量组 )1 1, 1,- ,1( , )3 2, 1, ,1(21'='=αα， , )6 5, 2,- ,4( , )1 3, 3, ,1( 43'='=αα)7- 4,- 1,- ,3(5'-=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（10分）六、已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=+++-=+-=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x 432143214314321 6 - 17231 4 032 ，讨论参数a 、b 为何值方程组有解，在有解时，求出通解（12分）七、用正交变换化二次型323121232221321222333),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=为标准形，并写出相应的正交变换（16分）八、已知 ,,,4321αααα是AX = 0的一个基础解系，若322211,ααβααβt t +=+=，144433,ααβααβt t +=+=,讨论t 为何值， ,,,4321ββββ是AX = 0的一个基础解系（8分）线性代数模拟试卷(二)三、填空题（每小题3分，共5小题，总分15分）1、j i a a a a a 53544231是五阶行列式展开式中带正号的一项，则i=_____, j=_____2、设n 阶方阵A 满足A 2 =A ，则A+E 可逆且（A+E ）-1=_______________(E 为n 阶单位阵)3、已知向量组)0 6, 1,- ,1( , )2k - k,- ,3 ,1( , )2- 2, 1, ,1(321'='='=ααα 若该向量组的秩为2，则k =_________4、已知四阶方阵A 相似于B ，A 的特征值为2，3，4，5，E 是单位阵，则=- E B _________5、向量α=（4，0，5）′在基)1 ,1- ,1(,)0 ,1 ,1( ,)1 ,2 ,1(321'='='=ηηη下的坐标为_________四、单项选择题（每小题2分，共5小题，总分10分）1、设 A 是三阶方阵A 的行列式，A 的三个列向量以γβα ,,表示，则 A =（） (A)αβγ (B) γβα---(C)αγγββα+++ (D) γβαβαα+++2、设A, B ，C 为n 阶方阵, 若 AB = BA, AC = CA, 则ABC=( ) (A) BCA (B) ACB (C) CBA (D) CAB3、 A, B 均为n 阶方阵, A*为A 的伴随矩阵， 3B 2, -==A ，则21-*B A = ( )(A) 32 12--n (B) 32 1--n (C) 23 12--n (D) 23 1--n4、已知向量组 , ,,4321αααα线性无关，则向量组（） (A)14433221 , , ,αααααααα++++线性无关(B)14433221 , , ,αααααααα----线性无关(C)14433221 , , ,αααααααα-+++线性无关 (D)14433221 , , ,αααααααα--++线性无关5、若A ～ B ，则有 ( )(A) A 、B 有相同的特征矩阵 (B) B =A(C) 对于相同的特征值λ，矩阵A 与B 有相同的特征向量 (D) A 、B 均与同一个对角矩阵相似三、计算下列行列式（13分）2、 D=2- 3 0 112 1 - 121 0 331- 2 1 4、D n = 11 1 111 x 1 1 (1)1 1 1 x 1 1 1 1 x x ++++a)设B= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 0 0 01- 1 0 00 1- 1 00 0 1- 1 ，C=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2 0 0 01 2 0 03 12 043 12 ,且矩阵A 满足 E C B C E A =''--)(1, 试将关系式化简并求A (12分)b)求向量组, )4 1,- 2, ,1(1'=α )2 3, 1, ,0( 2'=α， , )14 0, 7, 3,(3'=α , )10 1, 5, 2,( 4'=α)0 2,- 2, ,1(5'=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（13分）六、k 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++---=+++=+++kx x x x x k x x x x x x x x x x x 9 10 5 - 3)5(2 31 6 3 13 2 4321432143214321 有无穷多个解并求出通解（14分）七、用正交变换化二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +-+=为标准形，并写出相应的正交变换（16分）八、若矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0y 10 1- 01 x0 有三个线性无关的特征向量，证明：x – y = 0线性代数模拟试卷(三)一、填空题（每小题3分，共18分）1、A 是三阶方阵，且|A|＝6，则 |(3A)-1|＝。

线性代数模拟题及答案

模拟试题一一. 填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1．n 阶行列式D 的值为c, 若将D 的所有元素改变符号, 得到的行列式值为 .2．设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101 ，矩阵X 满足 E AX + = X A +2 ，则X = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2010301023．设n 阶矩阵A 满足 E A A 552+- = 0 ，其中E 为n 阶单位阵，则 1)2(--E A =4．设A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，则EA +*= .5．当 λ 满足条件时线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++-=-++-=+--00004321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλ 只有零解．二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共20分)1．131211232221333231333231232221131211222333 d a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=则=( ).① 6d ② ―6d ③ 4d ④ ―4d 2. 向量组 s ααα,,,21 的秩为s 的充要条件是（）。

① 向量组不含零向量② 向量组没有两个向量的对应分量成比例 ③ 向量组有一个向量不能由其余向量线性表示 ④向量组线性无关3. 当t =（）时，向量组 ),4,5( , )5,2,3( , )0,1,2(321t ===ααα线性相关。

① 5 ② 10③ 15 ④ 204．已知向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（）线性无关。

① α1+2α2+α3, 2α1+4α2+α3, 3α1+6α2 ② α1, α1+α2, α1+α2+α3 ③ α1+α2, α2+α3, α1+2α2+α3 ④ α1-α2, α2-α3, α3-α15. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=63322211t A , B 为三阶非零矩阵且AB = 0, 则( ). ① 当t = 4时,B 的秩必为1 ② 当t = 4时,B 的秩必为2 ③ 当t ≠ 4时,B 的秩必为1 ④ 当t ≠ 4时,B 的秩必为26．设非齐次线性方程组A X = b 中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则．① r = m 时，方程组A X = b 有解 ② r = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ③ m = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ④ r ＜ n 时，方程组A X = b 有无穷多解7．设矩阵A 和B 等价，A 有一个k 阶子式不等于零，则B 的秩（）k.① < ② = ③ ≥ ④ ≤8. 一个向量组的极大线性无关组（）. ① 个数唯一 ② 个数不唯一③ 所含向量个数唯一 ④ 所含向量个数不唯一9. 下列关于同阶不可逆矩阵及可逆矩阵的命题正确的是( ). ① 两个不可逆矩阵之和仍是不可逆矩阵 ② 两个可逆矩阵之和仍是可逆矩阵 ③ 两个不可逆矩阵之积仍是不可逆矩阵 ④ 一个不可逆矩阵与一个可逆矩阵之积必是可逆矩阵10．已知任一n 维向量均可由n ααα,,,21 线性表示，则n ααα,,,21（）。

线性代数模拟试题及答案

班级：姓名：学号：131《线性代数期末模拟试题一》一、填空（本题20分每小题2分）1．设为四阶行列式,若表示元素的余子式，表示元素的代数余子式，则+= .2．三阶行列式中只有位于两条对角线上的元素均不为零，则该三阶行列式的所有项中有项不为零，这一结论对阶行列式（填成立或不成立）。

3．设均为3维列向量，记矩阵记矩阵，若，则。

4．设矩阵,则。

5．设矩阵可逆，且矩阵,所以矩阵一定可以由矩阵经过（填行或列)初等变换而得到.6．设向量组，若则一定可以由向量唯一的线性表示。

7．非齐次线性方程组有唯一的解是对应的齐次方程组只有零解的充分但不必要条件。

8．设3阶矩阵的行列式，则矩阵一定有一个特征值。

9．阶矩阵有个特征值1，2，，阶矩阵与相似，则. 10．向量组: （填是或不是）向量空间一个规范正交基。

二、单项选择（本题10分，每小题2分）得分阅卷人班级：姓名：学号：132注意:请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效！1．设矩阵为阶方阵，则关于非齐次线性方程组的解下列说法( ）不正确（A ）若方程组有解,则系数行列式；（B ）若方程组无解,则系数行列式；(C ）若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解；（D) 系数行列式是方程组有唯一解的充分必要条件.2。

设为阶可逆矩阵，下列正确的是（）（A ）；（B) ；（C ）；（D ）。

3。

奇异方阵经过( ）后，矩阵的秩有可能改变。

(A ）初等变换； (B ）左乘初等矩阵； (C ）左、右同乘初等矩阵； (D ）和一个单位矩阵相加。

4．设非齐次线性方程组的系数矩阵是矩阵，且的行向量组线性无关，则有（）。

（A) 的列向量组线性无关；(B) 增广矩阵的行向量组线性无关；(C) 增广矩阵的任意4个列向量组线性无关；（D) 增广矩阵的列向量组线性无关。

5．设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值为 ( ) （A ） 4/3; (B) 3/4；(C ） 1/2；（D) 1/4。

线性代数期末模拟试题参考答案

课程模拟考核参考答案及评分标准考试课程：线性代数学年学期：2014-2015-1 试卷类型：A 考试时间：120分钟适用专业：13级机械设计制造及其自动化师范职教师资本科、13级生物工程非师范本科层次：本科一、选择题(每小题2分，共20分）1. 设0333231232221131211≠=a a a a a a a a a D , ij A 是D 的元素ij a 的代数余子式, 若∑=313i ij i A a ≠0, 则 ( C ) .(A) 1=j (B) 2=j (C) 3=j (D) 1=j 或3=j2. 在函数xxx x x f ----=231112)(中，3x 的系数是( B ) . (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 3. =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++c b b a z y y x ( C ) . (A)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡00b y c a z x (B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b z y a x (C)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b z y b a y x (D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡b c y z b a y x 4. 设A,B,C 均为n 阶方阵，且|A|≠0, 则必有( B ) .(A) AB=CA ⇒ B=C; (B) AB=AC ⇒ B=C; (C) BC=0 ⇒ C=0; (D) AB=C ⇒ B=E. 5. 向量组α1, α2, … αn 线性无关的充要条件是( D ) . (A) α1, α2, … αn 均不为零向量(B) α1, α2, … αn 中任意两个向量的对应分量不成比例 (C) α1, α2, … αn 中有一个部分向量线性无关(D) α1, α2, … αn 中任意一个向量都不能由其余1-n 个向量线性表示 6. 矩阵A 经行初等行变换化为阶梯形矩阵后( C ) .(A) 秩变大 (B) 秩变小 (C) 秩不变 (D) 化为单位方阵 7. 设A 是2阶可逆矩阵, λ为实数, 如果 |λA|=4|A|, 则 ( A ) . (A) λ=±2; (B) λ=±1; (C) λ=±3; (D) λ=4.8. 设n 元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A 的秩为r ，则Ax=0有非零解的充分必要条件是( B ) . (A) r=n; (B) r<n; (C) r≥n ; (D) r>n.9. 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡43503362a ，且矩阵A 的秩R(A)=2, 则a=( B ) . (A) 9; (B) 18; (C) 0; (D) 任何数.10. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=++02003131321x x ax x x x ax 仅有零解, 则a ≠ ( A ) .(A) 21-; (B) 21; (C) 41; (D) 41-.二、判断题 (每小题2分，共20分)1. n 阶行列式中, 若0元素多于n 2-n 个, 则行列式的值为0. （ √ ）2. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是|A|=0. （ × ）3. 设A,B 都是n 阶方阵, 若AB=0, 则B=0. （ × ）4. 333333222222111111d c c b b a d c c b b a d c c b b a +++++++++333222111c b a c b a c b a =333222111d c b d c b d c b +. （ × ） 5. 设A 与B 为n 阶方阵，则|AB|=|A||B|. （ √ ） 6. 设A,B 都是m ×n 矩阵, 则A+B=B+A. （ √ ） 7. 两个n 阶可逆矩阵之和一定是可逆矩阵. （ × ）8. 元素a ij 的代数余子式A ij 与不仅与a ij 所在有行、列有关, 而且与a ij 的值有关. （ × ）9.010100001111010001100111001111100010111100010001d c b a d c b a+++=. （ √ ） 10. 如果A 与B 可交换, 且A 可逆, 则1-A 与B 可交换. （ √ ）三、填空题(每小题2分，共20分) 1. 排列36715284的逆序数为 13 .2. 若010100≠---abb a，则a,b 满足的条件是 a≠0 或b≠0 .3. 行列式=cb fe da 0002101030 -3abc . 4. 设|A|=2, 且A 为三阶方阵，则|3A|= 54 . .5. 设行列式96330221a中，余子式321=M ，则=a 5/2 . 6. 设()()TT2,3,1,1,1,221-=-=αα, 若()T5,,13λα=可由21,αα线性表示，则=λ -8 .7. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101010101,10010101B x A , 且A=B, 则x= 1 . 8. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101a A ，则=nA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡101na .9. 设)0(,≠-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=cb ad d c b a A , 则A -1= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---a c b d bc ad 1 . 10. 行列式=-000010020100nn !)1(2)1(n n n -- .四、计算题 (每小题5分共30分)1.计算行列式20031001541121---- 解：原式=4121-0231- (2分) = 6∙6= 36. (3分)2. 解方程 013011132=x x解：按第一列展开, x 2-2x-3=0, (2分) 解为 x= -1, 3. (3分) 3. 计算 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-103110021212321 解：原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1341410 (5分)4. k 为何值时，行列式k2002k 0001k 10011≠0. 解：原行列式=(k-1)(k 2-4), (2分) 故 k ≠1且k ≠±2. (3分) 5. 解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-=+-=-+-0x 3x 2x x 0x 8x 14x 40x 4x 7x 20x x 5x x 43214324324321.解：经过初等行变换，原方程的矩阵化为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0000000022/71012/301, (2分) 故其解为 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=--=2413212211cx c x c 2c 27x c c 23x . (3分)6. k 为何值时，方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=-+0z y x 20z ky x 0z y kx 仅有0解.解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1121111k k −−−−→−+⨯-...,)3()2(2R⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3210111102k k k k (2分) −−−−−→−+⨯-...,)1()3(3/)1(k R ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----32101103/)2(02k k k k , k 2+k-2≠0即 k≠1, -2. (3分) 五、证明题(每小题5分共10分)1. 设A 可逆, 试证明 (A*)-1 = (A -1)* .证明：∵AA*=|A|E, (2分) ∴(A*)-1 = A/|A|=(A -1)-1/|A| = (A -1)*/(|A -1|·|A|) = (A -1)*. (3分) 2. 证明向量组α1=(1,2,0,1), α2=(1,3,0,−1), α3=(−1,−1,1,0),线性无关。

线性代数期末考试题及答案

线性代数期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为：A. 1/2B. 1/4C. 2D. 4答案：B2. 向量α=(1,2,3)和向量β=(4,5,6)，则向量α和向量β的点积为：A. 32B. 22C. 14D. 0答案：A3. 设A为3×3矩阵，且A的秩为2，则A的行向量线性相关，下列说法正确的是：A. 正确B. 错误答案：A4. 若A为n阶方阵，且A^2=0，则A的秩为：A. nB. n-1C. 0D. 不确定答案：C5. 设A为3阶方阵，且A的特征值为1，2，3，则矩阵A的迹为：A. 6B. 1C. 2D. 3答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的转置为\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]。

答案：\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]2. 设向量α=(2,3)，向量β=(4,6)，则向量α和向量β共线，其比例系数为2。

答案：23. 若矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式为2。

答案：24. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}\]，则矩阵B的逆矩阵为\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 &0\end{bmatrix}\]。

答案：\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\]5. 设矩阵C=\[\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\]，则矩阵C的特征值为1和2。

线性代数期末附答案 (1)

《线性代数》模拟试题（一）一、单项选择题（每小题3分，共27分）1. 对于n 阶可逆矩阵A ，B ，则下列等式中（）不成立. (A) ()111---⋅=B A AB (B) ())/1()/1(111---⋅=B A AB (C) ()111---⋅=B AAB (D) ()AB AB /11=-2. 若A 为n 阶矩阵，且0A =3，则矩阵=--1)(A E （）.（A ）2A A E +- （B ）2A A E ++ （C ）2A A E -+ （D ）2A A E -- 3. 设A 是上（下）三角矩阵，那么A 可逆的充分必要条件是A 的主对角线元素为（）. (A) 全都非负（B ）不全为零（C ）全不为零（D ）没有限制4. 设 33)(⨯=ij a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a aa a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ，那么（）.（A ）B P AP =21 （B ）B P AP =12 （C ）B A P P =21 （D ）B A P P =12 5. 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则向量组内（）可由向量组其余向量线性表示.（A ）至少有一个向量（B ）没有一个向量（C ）至多有一个向量（D ）任何一个向量6. 若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210253143212A ，其秩=)(A R （）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 (D) 47. 若方程组b AX =中方程的个数小于未知量的个数，则有（）.（A ）b AX =必有无穷多解（B ）0AX =必有非零解（C ）0AX =仅有零解（D ）0AX =一定无解 8. 若A 为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（）.（A ）1-A （B ）A 2 （C ）4A （D ）TA 9. 若满足条件（），则n 阶方阵A 与B 相似.（A ）B A = （B ）)()(B A R R = （C ）A 与B 有相同特征多项式（D ）A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同二、填空题（每空格3分，共21分）1. 若向量组321,,ααα线性无关，则向量组321211,,αααααα+++是线性 .2. 设A 为4阶方阵，且3)(=A R ，*A 是A 的伴随阵，则0=*X A 的基础解系所含的解向量的个数是 . 3. 设()2,1,11-=α，()5,,22k =α，()1,6,13-=α线性相关，则=k .4. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300050004A ，则=--1)2(E A .5. 设三阶方阵A 有特征值4，5，6，则=A ，TA 的特征值为，1-A 的特征值为 .三、计算题（共42分） 1. （6分）计算行列式ba b b b b b a b b bb b a b b b b b a ----+----+2. （8分）已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=200012021A ，求10A .3. （10分）设三阶方阵A 满足i i i αA α= )3,2,1(=i ，其中T )2,2,1(1=α，T )1,2,2(2-=α，T )2,1,2(3--=α，求A .4．（6分）在向量空间3R 中，取两组基：（I ）,110,011,101321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα （II ）,411,222,301321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βββ设α在基I 下的坐标为()T3,1,1，求α在基α在基II 下的坐标.5. （12分）λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+1610522321321321x x x x x x x x x λλ （1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并求其通解.四、证明题（每小题5分，共10分）1. 设A 为n 阶可逆阵，E A A =2. 证明A 的伴随阵A A =*.2. 若A ，B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =. 证明A 和B 都是不可逆的.《线性代数》模拟试题（一）参考答案一、单项选择题（每题3分，共27分）1. B2. B3. C4. C5. A6. B7. B8. B9. D 二、填空题（每空3分，共21分）1. 无关；2. 3 ；3. 3 ；4. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10000003121； 6. 120； 4，5，6； 615141,, 三、计算题（7+10+10+12=39分）1. 解：b a b b b b b a b b b b b a b b b b b a ----+----+a aa a a ab b bba 000000-+=4000000000a aa ab b b a ==. 2. 解：先求A 的特征值，λλλλ---=-20012021E A =)1)(3)(2(λλλ+--- 1,3,2321-===λλλ ，当21=λ时，由0X E A =-)2(得，A 的对应于2的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001ξ，当32=λ时，由0X E A =-)3(得，A 的对应于3的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112ξ，当12-=λ时，由0X E A =+)(得，A 的对应于1-的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0113ξ，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001η⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,0112132ηη.令()321,,ηηηP = ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-1321AP P AP P T，所以 T P P A 1010132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=1010211021102110212000)13()13(0)13()13(.3. 解：因为)3,2,1(==i i i i αA α，所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300020001),,(),,(321321ααααααA ，因此 1321321),,(300020001),,(-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααααααA .又),,(321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212122221，所以1321),,(-ααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=21212222191，故 =A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212122221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21212222191⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=62225020731. 4．解：()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=311211112,,,,321321αααβββ,(),311,,321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα所以 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-311311211112,,1321βββα ()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=323532321939192939591939295321,,311,,ββββββ， α在基II 下的坐标为()T 323532,,-.5. 解：)3)(5(61011211-+=---=λλλλD ，（1）当0≠D ，即5-≠λ且3≠λ时，方程组有惟一解.（2）当5-=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==1610155122151)(βA,B −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100013902151 此时3)(,2)(==B A R R ，方程组无解，（3）当3=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==1610153122131)(βA,B −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00001001717571778，此时2)()(==B A R R ，方程组有无限多个解.，并且通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10757871717321c x x x )(R c ∈. 四、证明题（5+5=10分） 1. 证：根据伴随矩阵的性质有E A AA =*又E A A =2，所以2A AA =*，再由于A 可逆，便有A A =*.2. 证：假设A 可逆，即1-A 存在，以1-Α左乘0AB =的两边得0B =，这与B 是n 阶非零矩阵矛盾；类似的，若B 可逆，即1-B 存在，以1-B 右乘0AB =的两边得0A =，这与A 是n 阶非零矩阵矛盾，因此，A 和B 都是不可逆的.。

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湖北文理学院2013-2014学年度下学期
《线性代数A 》试卷(A)
专业班级学号姓名课程类别：必修试卷编号： A 适用专业：
一．单项选择题（本题10小题，每小题3分，共30分）
1．设矩阵A 是三阶方阵，且三阶行列式2A =，则2A -=（）． A ．4- B ．4 C ．16- D ．8 2．设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（）．
A ．当A a =（0a ≠）时，
B a = B ．当A a =（0a ≠）时，B a =-
C ．当0A ≠时，0B =
D ．当0A =时，0B = 3．设,A B 是n 阶方阵，则下列结论正确的是( ) ．
A ．若0,A
B =则0A =或0B = B ．若0,AB =则0A =或0B =
C ．若0,AB =则0A =或0B =
D ．若0,AB ≠则0A ≠或0B ≠
4．设,A B 是n 阶方阵，且下列选项中符号有意义，则不成立的是( ) ． A ．()1
11A A λλ---= （λ为数） B ．()1
11AB A B ---= C ．()
()
1
1T
T
A
A
--=
D ．1
1A A --=
5．设12,,,s ααα都是n 维列向量，A 为m n ⨯的矩阵，下列选项正确的是（）． A ．若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关
B ．若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关
C ．若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关
D ．若12,,
,s ααα线性无关，则12,,
,s A A A ααα线性无关
6．下列矩阵中，( )不是初等矩阵．
A ．⎪⎪⎭⎫
⎝⎛1011 B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-001010100 D ．⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛105010001．
7．设,,A B C 均为n 阶方阵，,AB BA BC CB ==,则ABC =（）． A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA 8．矩阵A 的秩为r ，则( )成立．
A ．A 中所有子式都不为零
B ．A 中所有的r 阶子式都不为零
C ．A 中存在不等于零的1+r 阶子式
D ．A 中存在不等于零的r 阶子式 9．设12,λλ是方阵A 的两个不同特征值，对应的特征向量分别为1α，2α，则1α，
12()A αα+线性无关的充分必要条件是( )．
A ．10λ≠
B ．20λ≠
C ．10λ=
D ．20λ= 10．下列3R 的子集是3R 的子空间的是（）．
A ．{}1(0,1,)W z z =∈R
B ．{}2(,,)1,,,W x y z x y z x y z =++=∈R
C ．{}3(,,)230W x y z x y z =+-=
D ．41(,,),,,23x y W x y z z x y z ⎧-⎫===∈⎨⎬⎩⎭
R
二．填空题（每空3分，共15分）
11．排列495231678的逆序数为________.
12．行列式
101
12
123112x
x x x x
-中3x 的系数为_________________． 13．设4维向量(3,0,2,1),(3,2,
1,1),(1,2,1,0)T T T αβγ=-=--=-，向量η满足
220βηγα+-+=，则η=_________ _ ．
14．设A 为三阶方阵，3=A ，则A 的伴随矩阵*A 的行列式=*A ___ ． 15．设向量组123(1,1,1,1),(1,2,3,4),(0,1,2,3)ααα===，则向量组123,,ααα的秩是__ __．
三．计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）
512533
201034
---，其中元素ij a 的代数余子式记为ij A ．计算
313233342A A A A +-+
17．设02211232,32010121A ⎛⎫ ⎪---
⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭
求1A -．
18．化二次型222
123123122313(,,)25242f x x x x x x x x x x x x =+-++-为标准形，并写出
所作的变换．
19．求向量组1(7,0,14,3),α=2(2,1,0,1),α=-3(2,1,4,1),α=-4(1,3,2,0),α= 5(5,1,6,2)α=的一个最大无关组，关将其余向量用该最大无关组线性表示出来．
20．设122212221A -⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪--⎝⎭
.（1）求A 的特征值；（2）求12E A -+的特征值.
21．求线性方程组12341234123423
222547
x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪
++-=⎨⎪+++=⎩的通解.
四．证明题（本题7分）
22.设方阵A 满足2560A A E -+=．证明：（1）A 与4E A -均可逆，并求它们的逆矩阵；（2）2A E -与3A E -中至少有一个为奇异矩阵．。